Geometria Euclideana Capt 3
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El documento presenta definiciones y propiedades geométricas de los triángulos, incluyendo cómo clasificarlos según el tamaño de sus lados y ángulos. También explica puntos y rectas notables como las medianas, mediatrices, bisectrices, alturas y más. Finalmente, proporciona ejercicios para aplicar estos conceptos.
Geometria Euclideana Capt 3
- 1. 24 Construir con las siguientes medidas un triángulo, ¿Cumple con CAPITULO III la condición anterior? 3 unidades “En cuanto a los matemáticos, no puedo informar de imperfecciones salvo que los hombres no entienden en 5 unidades grado suficiente las excelencias de las matemáticas 6 unidades puras” Francis Bacon EL TRIÁNGULO Se construye en cualquiera de los lados. Comencemos por el Definición: Un triángulo es la porción de plano limitado por lado de 6 unidades. tres rectas que se cortan dos a dos. 1.- Grafíca el lado de 6 unidades. 2.- Mide con tu compás el lado de 3 unidades y centra tu compás en cualquiera de los extremos, traza un semicírculo. 3.- Mide con tu compás 5 unidades haciendo centro en el otro extremo, traza el semicírculo correspondiente. 4.- Une los extremos del lado de 6 unidades con el punto de intersección de los arcos. Figura 25 Grafíca un triángulo con los siguientes lados, Los puntos ABC, se llaman vértices del triángulo y los 6 unidades, segmentos AB AC CB se llaman lados del triángulo. Estos 3 unidades, segmentos de recta lo limitan y se cortan en sus vértices. 2 unidades. Notación: el triángulo de la figura 25 se escribe ABC. Toma la base cualquiera de los tres lados. Por ejemplo el lado de tres unidades, luego con tu compás traza los otros dos. Cuando se conocen los tres lados del triángulo, lo construimos con la regla y el compás siempre y cuando cumpla con la No se forma un triángulo ya que no se cumple con la condición: siguiente condición. 6 es mayor que 2 + 3 Cada lado debe de ser menor que la suma de los otros dos. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 24
- 2. 25 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS POR LA MAGNITUD DE SUS TRIÁNGULO ESCALENO, LADOS Es aquel que tiene sus tres lados desiguales. Para construir un triángulo se necesitan tres condiciones. Por lo TRIÁNGULO EQUILÁTERO, tanto conociendo los tres lados y con la condición anterior. Los triángulos equiláteros tienen sus tres lados iguales. Construye un triángulo escaleno con los lados Con el segmento AB, construir un triángulo equilátero. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS ÁNGULOS. TRIÁNGULO RECTÁNGULO Figura 26 Es aquel que tiene un ángulo recto; un ángulo de 90°. Los lados La construcción: de un triángulo recto reciben nombres especiales: catetos, son 1.- Con el compás se toma la medida de AB . los lados que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado 2.- Haciendo centro en A se traza un arco. opuesto al ángulo recto. 3.- Haciendo centro en B se traza otro arco. 4.- Se unen los extremos Ay B con el punto donde se cruzan Dado los siguientes elementos construir un triángulo: dos lados los arcos y se forma un triángulo equilátero. y el ángulo comprendido. A B TRIÁNGULO ISÓSCELES, Tiene dos lados iguales y uno desigual. A Q Construir un triángulo isósceles con los siguientes segmentos. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Es el que tiene todos sus ángulos agudos. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 25
- 3. 26 Construir un triángulo con los datos que se dan: dos lados y el PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO. ángulo comprendido. MEDIANA Son las rectas que unen los vértices con los punto medios de los lados opuestos. 60° Trace las medianas, en el triángulo de vértices A, B, y C; con TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO las indicaciones que se dan. Es que tiene un ángulo mayor a 90° C Ejercicio B Construir un triángulo escaleno con las tres condiciones que se A dan. 1.- El lado opuesto al vértice A es BC, encuentre su punto medio, y una A con P. 2.- El lado opuesto del vértice B es AC . encuentre el punto 120° medio Q, una B con Q. 3.- El lado opuesto del vértice C es AB , encuentre el punto medio R, una C con R. BARICENTRO Es el punto donde se cruzan las medianas. MEDIATRICES Las mediatrices de los lados de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados y pasan por su punto medio. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 26
- 4. 27 Construye la mediatriz del segmento dado. BISECTRIZ Se llama bisectriz de un ángulo al segmento de recta que divide al ángulo en dos partes iguales. Construye una mediatriz a cada lado del triángulo. Trazar la bisectriz al ángulo C B A A B Traza la bisectriz a cada ángulo del siguiente triángulo. CIRCUNCENTRO C Es el punto (P) donde se cruzan las mediatrices, siendo P el B centro de la circunferencia circunscrita al triángulo que pasa por los vértices A, B y C. A C Euclides en uno de sus postulados (el número 3) enuncia, que con un punto y un radio, se puede trazar una circunferencia. INCENTRO Incentro es el punto donde se cruzan las bisectrices. El incentro Ejercicio es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esto Trace una circunferencia circunscrita al triángulo. quiere decir que los lados son tangentes a la circunferencia. Construye la circunferencia, inscrita al triángulo del ejercicio anterior. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 27
- 5. 28 ALTURA 3.- La recta PQ es perpendicular La altura es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto. Ejercicio Trazar las tres altura al triángulo. Trazar una perpendicular al segmento que pase por el punto externo P. ORTOCENTRO Construcción El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. 1.- Haciendo centro en P se trazan dos arcos que intercepten el segmento Teorema 4 Nota: si no se cruzan hacer una prolongación del segmento con En todo triángulo la suma de los ángulos internos es igual a línea punteada 180° Mide cada uno de los ángulos internos de los siguientes triángulos y súmalos. La suma tiene que dar el número 180. C C A A B B A= O= Figura 28 B= P= C= Q= 2.- con centro en R y S trazar otros dos arcos que se crucen G Z MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 28 M Y
- 6. 29 A + C + B = 180° 60° + 70° + B = 180° B = 180° - 60° - 70° B B = 50° G= X= D C M= Y= ¿Cuál es la medida de los ángulos en el siguiente triángulo? N= Z= C A 2x Demostración del Teorema 4 Se traza un triángulo cualquiera, A, B y C. 3x B 5x C A D E A= B= C= A B Solución: La suma de los ángulos internos es de 180° Hipótesis: A + B + C = 180° 2x + 5x + 3x = 180 (Resuelve la ecuación) 1.- Por construcción se traza una paralela a AB que pase por C. 2.- A = D Por ser alternos internos. Teorema 5 3.- B = E Por ser alternos internos. En todo triángulo un ángulo externo es igual a la suma de los 4.- D + C + E = 180° Forman ángulo de lados ángulos internos no adyacentes. colineales 5.- A + C + B = 180° Se puede sustituir toda cosa Obtener el valor del ángulo externo de los siguientes triángulos, por su igual. suma los ángulos internos. ¿Cuál es valor del ángulo adyacente Ejemplos: C al ángulo D? ¿Cuál es el valor del ángulo B? 70° MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 29 60° A B
- 7. 30 A= 3.- D + B = A + B + C Igualdad de la suma B= Se eliminan cantidades 4.- D + B = A + B + C A + B= iguales D = A + C Conclusión Ejemplo: Encuentre el valor del A M= M= M+N= M Demostración del Teorema 4 Q R N Figura 30 Hipótesis: D = A + C Solución: Por el teorema del ángulo externo. E=B+A Como se va a encontrar el ángulo A, el B tiene signo más en un lado de la ecuación se pasa con signo contrario del otro lado. Son ángulos son E -B =A 1.- D + B = 180° suplementarios. 160 – 125 = A Teorema 3 de los ángulos 35 = A 2.- A + B + C = 180° internos MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 30
- 8. 31 Corolario1: En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos, son complementarios. B R= Z= S R S= C Demostración del teorema 5 1.- A + X = 180° Ángulos suplementarios A A Figura 31 2.- B + Y = 180° Ángulos suplementarios Z 3.- C + Z = 180° Ángulos suplementarios Si C = 90° entonces A + B = 90° C B De otra manera: A + B + C = 180° Teorema 3 A + B = 180° - 90° Despeje A + B = 90° Complementarios Teorema 6 La suma de los tres ángulos externos de un triángulo suman 360° Hipótesis: X + Y + Z = 360° Mide y suma los tres ángulos externos del triángulo de la figura siguiente. 1 un corolario es una consecuencia de un teorema. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 31
- 9. 32 Ejercicios del Capitulo III 1.- Si el ángulo del vértice de un triángulo isósceles es igual a 30°, encuentre el ángulo exterior, comprendido por un lado y la base 5.- Usando tu regla y tu compás, construye una perpendicular al 2.- Tres puntos no alineados forman un triángulo, circunscribir segmento que pasa por P. la circunferencia de los puntos A, B y C. A B P 6.- Traza las bisectrices del triángulo de la figura. C B C 3.- Encuentre un punto sobre una recta que este a la misma distancia de dos puntos fuera de la recta l. B A A l 7.- Inscribe una circunferencia al siguiente triángulo. 4.- Construye un ángulo igual al de la figura. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 32
- 10. 33 B B Q C 10.- Circunscribe una circunferencia al triángulo siguiente. A C C 8.- Traza las medianas al siguiente triángulo. K P B A B A 11.- ¿Será inscrito a una circunferencia el cuadrilátero formado por los puntos A, B, C y D?. 9.- Traza las alturas del siguiente triángulo. C A A B D 33 MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. C
- 11. 34 14.- Dibuja el triángulo PQR tal que PQ=3, QR=6 P=45° 12.- Trazar un triángulo conociendo los siguientes valores: AB = 8, AC = 3, B = 20° 15.- Dibuja el triángulo RST tal que ST = 7, RT = 5 R = 60° 13.- Dibuja el triángulo MNL si MN= 6, ML=4, N=30° ¿Cuántos triángulos puedes construir? MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 34
- 12. 35 18.- Escribe las medidas de a, b y c de tal manera que dichos 16.- Dados los tres segmentos construir un triángulo. segmentos no formen un triángulo (tres ejemplos). 19.- Construye sobre un triángulo sus alturas, medianas y mediatrices y observa que el circuncentro, ortocentro y 17.- En cuales de los siguientes casos, puede construirse un baricentro, son puntos alineados. triángulo con los segmentos a, b y c. 1) a = 5, b=7 c=6 2) a = 3 b=2 c=7 3) a = 7 b=8 c=4 4) a = 6 b=9 c = 12 MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 35
- 13. 36 22.- Los tres ángulos interiores de un triángulo son los que a B continuación se enmarcan, encontrar el ángulo que falta: l1 55° A.- A= 49° 20’ D B=58°15’ Q C= 78° l1 l 2 B.- A= 39° 55’ B=73°22’ C= 75° N A T 65° M l2 C T= Q= M= N= D= L= 23.- En cada uno de los siguientes ejercicios encontrar lo que se 20.- Calcular para cada triángulo el valor del ángulo que se pide en cada caso. B indica. 40° 20° A= K M B= C= C= 106° A 40° C 21.- Encontrar el valor de los ángulos que se indican. X 20° Y 24.- Idém. 130° Z= MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 36
- 14. 37 A B A 65° 70° B 25.- Idém 29.- Construir los siguientes triángulos con los elementos que se dan. B 26.- Idém X= 2x+10 P C= X= a).- PQ = PR B= R= A 3x+5 C K= P= 115° x K Q R B B= 27.- Idém. C= 25° A= b).- D= G x= A 120° 75° D C x-15° Q= G= 2x+10° Q 5x-45° 28.- Idém MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 37
- 15. 38 40º 70º b) Que tengan igual un lado y los ángulos adyacentes sean 40 30.- Trazar perpendiculares a los lados del triángulo desde el y 70. Usa la escuadra y el compás. punto P. p 32.- Construir un triángulo, con las condiciones establecidas c) Que conozcas dos lados y el ángulo comprendido a) Que tengan tres lados iguales: MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 38
- 16. 39 d) Gráfica un triángulo de lados 5 y 6 unidades respectivamente y el ángulo comprendido sea de 70. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 39