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Juan D. Godino 1
FUNDAMENTOS ONTOLÓGICOS Y
EPISTEMOLÓGICOS SOBRE LA
COGNICIÓN MATEMÁTICA
Juan D. Godino
Departamento de Didáctica de la Matemática
Universidad de Granada

Juan D. Godino 2
ÍNDICE
1. Una perspectiva sobre el conocimientos matemático
2. Naturaleza de los objetos matemáticos
3. Lenguaje matemático: Representación y significación
 3.2. Teorías referenciales
 3.3. Teorías operacionales
 3.4. Semiótica y filosofía del lenguaje
4. Naturaleza de las matemáticas según Wittgenstein
 4.1. El lenguaje matemático como herramienta
 4.2. Alternativa al platonismo y mentalismo
 4.3. Creación intradiscursiva de los objetos
matemáticos (Sfard)
 4.4. Características y limitaciones del
convencionalismo de Wittgenstein como modelo de
cognición matemática

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Índice
5.Representaciones internas y externas
5.1. Sistemas de representación en educación matemática
5.3. Registros de representación, comprensión y aprendizaje
5.4. Esquemas cognitivos
5.5.Conceptos y concepciones en educación matemática
6. Epistemologías de la matemática
6.1. Constructivismos. Epistemología genética
6.2. Interaccionismo simbólico como acceso al conocimiento
6.3. Aprendizaje discursivo o comunicacional
6.4. Una epistemología experimental: La Teoría de las
Situaciones Didácticas
6.5. Antropología cognitiva: La matemática como actividad
humana
7. La metáfora ecológica en el estudio de la cognición
matemática
8. Necesidad de un enfoque unificado sobre la cognición y
la instrucción matemática

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1. UNA PERSPECTIVA SOBRE EL
CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
Las teorías referenciales y operacionales sobre el
significado, así como el marco general de la semiótica y
filosofía del lenguaje como punto de entrada al estudio de
los objetos matemáticos.
 La posición de Wittgenstein como promotor de la
visión antropológica sobre las matemáticas.

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Las nociones de representación interna y externa
sobre el conocimiento, incluyendo la noción de
esquema cognitivo y concepción en sus diversas
acepciones.
 Enfoques epistemológicos (constructivismos,
interaccionismo simbólico, aprendizaje discursivo,
antropología cognitiva).
Teoría de situaciones didácticas
Teoría antropológica en didáctica de las matemáticas
Uso de la metáfora ecológica en el estudio de los
conocimientos matemáticos institucionales.

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2. NATURALEZA DE LOS OBJETOS
MATEMÁTICOS
Importancia del “significado” para la didáctica de la
matemática:
"Un problema pertenece a una problemática de investigación
sobre la enseñanza de la matemática si está específicamente
relacionado con el significado matemático de las conductas de
los alumnos en la clase de matemáticas" (Balacheff)
Significado naturaleza de los objetos matemáticos
indagación ontológica y epistemológica
Brousseau Sierpinska Dummett Bruner
Pimm ........

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3. LENGUAJE MATEMÁTICO:
SIGNIFICADO, REPRESENTACIÓN Y
COMPRENSIÓN
Se considera esencial que los estudiantes conozcan
el significado de los términos, expresiones,
representaciones: EL LENGUAJE en sus diferentes
registros.
El 'significado' es uno de los términos más
ambiguos y más controvertidos de la teoría del
lenguaje.
Íntimamente relacionado con “representación”
Teorías referenciales, analíticas o realistas
Teorías operacionales o pragmáticas

Juan D. Godino 8
La complejidad del problema semántico del
lenguaje matemático se incrementa por la variedad
de registros semióticos utilizados en la actividad
matemática (uso del lenguaje ordinario, oral y
escrito, símbolos específicos, representaciones
gráficas, objetos materiales, etc.).
Además, no sólo nos interesa analizar el
"significado" de los objetos lingüísticos
matemáticos, sino también los diversos "objetos
matemáticos" (situaciones-problemas, técnicas,
conceptos, proposiciones, argumentaciones,
teorías, etc.).

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3.1. TEORÍAS REFERENCIALES
Triángulo básico de Ogden y Richards:
A: la palabra ‘mesa’,
C: una mesa particular a la que me refiero
B: concepto de mesa, algo existente en mi mente.
.
Figura 1
A: signo
B: concepto (referencia)
C: significatum (referente)
C
A
B

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En las teorías realistas las expresiones lingüísticas
tienen una relación de atribución con ciertas
entidades (objetos, atributos, hechos).
el significado de un nombre propio consiste en
el objeto que se designa por dicho nombre;
los predicados (por ejemplo, esto es rojo; A es
más grande que B) designan propiedades o
relaciones o, en general, atributos;
las oraciones simples (sujeto - predicado -
objeto) designan hechos (por ejemplo, Madrid es
una ciudad)

Juan D. Godino 11
LECTURA COMPLEMENTARIA sobre la noción
de representación en filosofía, psicología y didáctica:
FONT, V. (2000). Algunos puntos de vista sobre las
representaciones en didáctica de las matemáticas.
Philosophy of Mathematics Education Journal.
Recuperable en Internet:
http://www.ugr.es/local/jgodino
(Foro teoria-edumat)
..

Juan D. Godino 12
3.2. TEORÍAS PRAGMÁTICAS
Ideas básicas :
El significado de las expresiones lingüísticas depende del
contexto en que se usan.
Niegan la posibilidad de observación científica, empírica e
intersubjetiva de las entidades abstractas - como conceptos o
proposiciones.
Lo único accesible a la observación científica es el uso
lingüístico.
"Para un gran número de casos -aunque no para todos- en que
empleamos la palabra "significado", este puede definirse así: el
significado de una palabra es su uso en el lenguaje"
(Wittgenstein, 1953, p. 20).

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Significado en WITTGENSTEIN:
Una palabra se hace significativa por el hecho de
desempeñar una determinada función en un juego
de lenguaje
No existe siempre una realidad en sí que sea
reflejada por el lenguaje
El mundo se nos revela sólo en la descripción
lingüística.
El lenguaje puede formar parte de diversas
"formas de vida“

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La concepción operacionista del significado resalta el
carácter instrumental del lenguaje.
"Pensad en los utensilios de una caja de herramientas: hay
allí un martillo, alicates, un serrucho, un destornillador,
una regla, un bote de cola, cola, clavos y tornillos. Las
funciones de las palabras son tan diversas como las
funciones de estos objetos" (Wittgenstein, 1953, p. 6).
Al igual que ocurre en el ajedrez, en el que "el significado"
de una pieza debemos referirlo a las reglas de su uso en el
juego, el significado de las palabras vendrá dado por su
uso en el juego de lenguaje en que participa.
RELATIVIDAD INSTITUCIONAL DEL SIGNIFICADO

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3.3. COMPLEMENTARIEDAD REALISMO -
PRAGMATISMO
Dilema entre teorías realistas y pragmáticas
ULLMAN:
 El investigador debe comenzar por reunir una muestra
adecuada de contextos y abordarlos luego con un espíritu
abierto, permitiendo que el significado o los significados emerjan
de los contextos mismos.
 Una vez que se ha concluido esta fase, puede pasar con
seguridad a la fase “referencial” y procurar formular el
significado o los significados así identificados
 Para nosotros el significado comienza siendo pragmático,
relativo al contexto, pero existen tipos de usos que permiten
orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje matemático.

Juan D. Godino 16
3.4. SEMIÓTICA Y FILOSOFÍA DEL LENGUAJE
La teoría del lenguaje de Hjemslev:
 El investigador en didáctica de la matemática acaba
analizando textos (diseños, transcripciones, pruebas, etc.)
 La teoría lingüística de Hjemslev intenta mostrar el camino
que lleva a una descripción autoconsecuente y exhaustiva del
texto por medio del análisis:
 Progresión deductiva de la clase al componente y al
componente del componente, así como a la identificación
adecuada de las dependencias mutuas entre las distintas
partes entre sí, sus componentes y el texto en su conjunto.
 Principio básico: Tanto el objeto sometido a examen como sus
partes tienen existencia sólo en virtud de las dependencias
mutuas

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LA NOCIÓN DE FUNCIÓN (Hjemslev):
La dependencia entre el texto y sus componentes y
entre estos componentes entre sí.
Se dice que hay función entre una clase y sus
componentes y entre los componentes entre sí.
A los terminales de una función los llama funtivos,
esto es, cualquier objeto que tiene función con otros
Sentido de función, como correspondencia
(dependencia) y como realización de un papel, toma
una “posición” definida en la cadena.

Juan D. Godino 18
FUNCIÓN DE SIGNO (Función semiótica)
Entre los posibles tipos de dependencias que se pueden
identificar entre partes de un texto destacan aquellas en que una
parte designa o denota alguna otra.
La primera (plano de expresión) funciona o se pone en
representación de la segunda (plano del contenido), esto es, señala
hacia un contenido que hay fuera de la expresión.
Esta función es la que designa Hjemslev como función de signo
y que Eco (1979: 83) presenta como función semiótica.
Signo: entidad generada por la conexión entre una expresión y
un contenido

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 Cualquier signo, cualquier sistema de signos,
cualquier lengua contiene en sí una forma de la
expresión y una forma del contenido.
 La primera etapa del análisis de un texto debe
consistir, por tanto, en un análisis que diferencie
estas dos entidades.
 En nuestra Teoría de las Funciones Semióticas
proponemos, además de las dependencias
representacionales, las de naturaleza operatoria o
actuativa (INSTRUMENTAL) y las cooperativas (dos
o más entidades cooperan para producir una unidad
significativa más global) (ESTRUCTURAL)

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SEMIÓTICA COGNITIVA DE U. ECO
Eco (1999). Kant y el ornitorrinco
TIPO COGNITIVO: es el procedimiento o regla que permite a
un sujeto construir las condiciones de reconocibilidad e
identificación de un objeto
CONTENIDO NUCLEAR: conjunto de interpretantes a que da
lugar un TC (palabras, gestos, imágenes, diagramas)
CONTENIDO MOLAR: la serie controlable de lo que se puede
decir sobre, o hacer con el objeto (caballo, mediana) de manera
específica y que es compartida socialmente.

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El constructo "contenido molar" tiene una gran similitud
con nuestro "sistemas de prácticas institucionales", que
consideramos como "el significado del objeto
institucional" correspondiente.
Parece que en la semiótica cognitiva de Eco faltaría la
noción que podría ser como el equivalente institucional al
"tipo cognitivo" (que para nosotros equivaldría al "objeto
personal").
En nuestro caso introducimos el objeto institucional como
"emergente del sistema de prácticas institucionales", que
podría interpretarse, en términos de Eco, como "aquello
que permite el reconocimiento público de un objeto", esto
es, la definición matemática de un objeto.

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4. NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS
SEGÚN WITTGENSTEIN
Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas
Investigaciones filosóficas
 Plantea el reto de superar el platonismo y psicologismo
dominante, y
 dejar de hablar de objetos matemáticos como entidades
ideales que se descubren, y
 dejar de considerar las proposiciones matemáticas como
descripción de las propiedades de tales objetos.
 Una visión alternativa: Las proposiciones matemáticas
deben verse como instrumentos, como reglas de transformación
de proposiciones empíricas.

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4.1. EL LENGUAJE MATEMÁTICO COMO
HERRAMIENTA
 Wittgenstein rechaza la concepción realista (Augustiniana)
del significado de las palabras:
 Las expresiones matemáticas tales como '0', '-2'; ; 0, o
incluso '+', 'x4', 'ex', se toman como nombres de entidades, y la
cuestión, "¿Qué significan", se reduce a, "¿En lugar de qué
están"?
 Wittgenstein: deberíamos considerar las palabras como
herramientas y clarificar sus usos en nuestros juegos de lenguaje.
 EJEMPLO: las palabras-numéricas son instrumentos para
contar y medir; el dominio de la serie de números naturales, se
basa en el entrenamiento en el recuento.
1


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"¿Cuál es el significado de la palabra 'cinco'"? –
"Aquí no se cuestiona tal cosa, sólo como se usa la palabra
'cinco'".
"Lo que estamos buscando no es una definición del concepto de
número, sino una exposición de la gramática de la palabra
'número' y de los numerales".
La asimilación de los términos matemáticos a nombres,
especialmente la concepción de que son nombres de objetos
ideales o abstractos, es fundamental para las confusiones que se
producen al reflexionar sobre las matemáticas.
Las proposiciones matemáticas se deben distinguir también de
las descripciones. Las deberíamos ver como instrumentos e
indagar sobre sus papeles, sus usos en la práctica.

Juan D. Godino 25
4.2. ALTERNATIVA AL PLATONISMO Y
MENTALISMO
 '2+2 = 4' es una afirmación sobre números
 ‘Los leones son carnívoros’es una afirmación sobre leones.
 Los enunciados sobre leones nos dicen hechos sobre leones,
pero lo que llamamos 'enunciados sobre números' tienen el papel
de reglas para el uso de las palabras numéricas o numerales.
 El fallo en distinguir estos diferentes usos de 'referir' es uno
de los muchos estímulos para apoyar el mito de que las
proposiciones necesarias se refieren a tipos especiales de
entidades, objetos abstractos, Objetos Ideales o Universales que
constituyen la esencia de las cosas.

Juan D. Godino 26
Somos propensos a pensar de la geometría como la ciencia
sobre Objetos Ideales.
Decimos que una línea euclídea no tiene amplitud mientras
que todas las líneas trazadas con un lápiz la tienen, que un
triángulo euclídeo tiene exactamente 180º, mientras que todos los
triángulos mundanos se desvían más o menos.
Esta es una imagen ofuscada.
Una geometría no es una teoría del espacio, sino más bien un
sistema de reglas para describir objetos en el espacio.
NO HAY NINGUNA COSA COMO “UN OBJETO IDEAL”
O “UN OBJETO ABSTRACTO”
La verdad de una proposición matemática es enteramente
independiente de cómo sean las cosas en la realidad.

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4.3. CREACIÓN INTRADISCURSIVA D LOS
OBJETOS MATEMÁTICOS
 Sfard (2000): presenta una visión Wittgensteiniana de las
matemáticas
 Distingue el discurso de la realidad de hecho y el discurso
matemático (realidad virtual)
 La tesis central que defiende Sfard en este trabajo es que "el
discurso matemático y sus objetos son mutamente
constitutivos: La actividad discursiva, incluyendo la
producción continua de símbolos, es la que crea la necesidad
de los objetos matemáticos; y son los objetos matemáticos (o
mejor el uso de símbolos mediado por los objetos) los que, a
su vez, influyen en el discurso y le lleva hacia nuevas
direcciones" (p. 47)

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4.4. CARACTERÍSTICAS Y LIMITACIONES DEL
CONVENCIONALISMO DE WITTGENSTEIN
COMO MODELO DE COGNICIÓN
MATEMÁTICA
 La adopción en el seno de las instituciones educativas de una
epistemología realista y una semiótica referencial parece útil.
 La metáfora del objeto matemático nos parece una
herramienta útil tanto para estructurar el cuerpo de
conocimientos matemáticos (o si se prefiere la gramática
matemática), como también para organizar los procesos de
estudio de las matemáticas.
 Considerar los objetos matemáticos (conceptos,
proposiciones, teorías) como las reglas gramaticales (al
menos desde el punto de vista institucional) permitiría
resolver el dilema y evitar las confusiones de las que nos
advierte.

Juan D. Godino 29
 La filosofía de Wittgenstein nos parece insuficiente para
basar en ella el análisis de los procesos de estudio de las
matemáticas.
 Concebir la matemática como la gramática del uso de
símbolos y expresiones resuelve el problema de explicar el
carácter necesario de las proposiciones, pero no para
explicar la eficacia de su aplicación, ni la motivación de su
adopción.
 ¿Cómo se generan las reglas? No basta con saber seguir las
reglas, hay que conocer su motivación, su aplicación, y sobre
todo saber derivar nuevas reglas útiles para organizar
nuestros mundos.
LA MATEMÁTICA ES CREACIÓN Y DESCUBRIMIENTO,
GRAMÁTICAY HEURÍSTICA

Juan D. Godino 30
5. REPRESENTACIONES INTERNAS Y
EXTERNAS
5.1. Usos de “representaciones”
1. Una situación física, externa y estructurada, o un
conjunto de situaciones de un entorno físico, que
se puede describir matemáticamente o se puede
ver como concretización de ideas matemáticas;
2. Una materialización lingüística, o un sistema
lingüístico mediante el que se plantea un problema
o se discute un contenido matemático, con énfasis
en las características sintácticas y en la estructura
semántica.

Juan D. Godino 31
3. Un constructo matemático formal, o un sistema de
constructos, que puede representar situaciones
mediante símbolos o mediante un sistema de
símbolos, usualmente cumpliendo ciertos axiomas
o conforme a definiciones precisas -incluyendo
constructos matemáticos que pueden representar
aspectos de otros constructos matemáticos.
4. Una configuración cognitiva interna, individual, o
un sistema complejo de tales configuraciones,
inferida a partir de la conducta o la introspección,
que describe algunos aspectos de los procesos del
pensamiento matemático y la resolución de
problemas.

Juan D. Godino 32
CARACTERÍSTICAS DE LAS
REPRESENTACIONES
Sistémicas: Componentes y estructura
R. EXTERNAS:
Signo o una configuración de signos, caracteres u objetos que
pueden ponerse en lugar de algo distinto de él mismo.
Convención y ambigüedad
Bidireccional
R. INTERNAS:
Constructos de simbolizaicón personal de los sujetos,
asignaciones de significado a las notaciones, imaginación visual,
estrategias y heurísticas, afectos.

Juan D. Godino 33
INTERACCIÓN R. EXTERNAS E INTERNAS
 Las representaciones internas son siempre
inferidas a partir de sus interacciones con, o su
discurso sobre, o la producción de
representaciones externas.
 Se considera útil pensar que lo externo representa
lo interno y viceversa.
 Un concepto matemático se ha aprendido y se
puede aplicar en la medida en que se han
desarrollado una variedad de representaciones
internas apropiadas, junto con las relaciones
funcionales entre ellas.

Juan D. Godino 34
OBJETIVO INSTRUCCIONAL
 Desarrollo de sistemas internos eficientes de
representación en los estudiantes que correspondan
de manera coherente, e interactúen bien, con los
sistemas externos convencionalmente establecidos
de las matemáticas.

Juan D. Godino 35
REFLEXIÓN CRÍTICA SOBRE LAS
REPRESENTACIONES:
Kaput se pregunta,
¿Qué es el sistema de numeración decimal?
¿Es interno, externo, o ambas cosas? ...
¿Qué representa (números)?
¿Para quién y bajo qué circunstancias?
¿Es un objeto matemático?
¿Es una parte de las matemáticas, o sólo un lenguaje usado
para representar y trabajar con objetos matemáticos reales, los
números naturales?
¿Qué son los números naturales?

Juan D. Godino 36
5.3. ESQUEMAS COGNITIVOS
G. VERGNAUD:
"Un esquema es la organización invariante de la conducta para
una cierta clase de situaciones"
Componentes de los esquemas:
Invariantes operatorios (conceptos y teoremas en acto)
Anticipaciones del fin a lograr, de los efectos y etapas
intermedias
Reglas de acción, “si ... entonces ...”
Inferencias (o razonamientos) que permiten “calcular” las
reglas y las anticipaciones a partir de las informaciones y del
sistema de invariantes operatorios.

Juan D. Godino 37
EJEMPLOS DE ESQUEMAS PERCEPTIVOS-
GESTUALES
 Contar un conjunto de objetos;
 Dibujar la imagen simétrica de una figura plana poligonal
sobre papel cuadriculado;
 Dibujar la imagen simétrica de una figura plana sólo con
regla y compás;
 Dibujar un gráfico o un diagrama.
En la aplicación de estos esquemas se ponen en juego
conceptos y teoremas matemáticos.
Contar un conjunto de objetos implica al menos el
concepto de correspondencia uno a uno y el concepto de
número cardinal.

Juan D. Godino 38
5.4. CONCEPTOS Y CONCEPCIONES
A. SFARD:
concepto o noción:
"una idea matemática en su forma 'oficial' - como un constructo
teórico dentro "del universo formal del conocimiento ideal".
concepción:
"aglomerado completo de representaciones internas y
asociaciones evocadas por el concepto - la contrapartida del
concepto en el universo interno o subjetivo del conocimiento
humano“
Dos facetas o descripciones:
Operacional y estructural

Juan D. Godino 39
El concepto puede verse como un objeto abstracto, con una
cierta estructura descrita mediante definiciones estructurales;
esto lleva a considerarlo como una cosa real -una estructura
estática que existe en algún lugar del espacio y del tiempo.
Esto supone reconocer la idea a primera vista y a
manipularla como un todo, sin especificar los detalles.
En contraste, interpretar una noción como un proceso
implica considerarlo como una entidad más bien potencial,
que adquiere existencia en cada circunstancia mediante una
secuencia de acciones.
Por ejemplo, la noción de función dada como un conjunto de
pares ordenados responde a una descripción estructural,
mientras que al proporcionar un proceso de cálculo de los
valores imágenes a partir de los originales se tiene una
descripción operacional.

Juan D. Godino 40
CONCEPTO Y CAMPO CONCEPTUAL
(VERGNAUD)
El concepto como tripleta (S, I, z):
S: conjunto de situaciones que hacen significativo el concepto;
I: conjunto de invariantes que constituyen el concepto;
z: conjunto de representaciones simbólicas usadas para
presentar el concepto, sus propiedades y las situaciones a las que
se refiere.
Campo conceptual:
Conjunto de situaciones, y de conceptos y teoremas, que se ponen
en juego en la solución de tales situaciones.
(estructuras aditivas; multiplicativas; álgebra elemental; ...)

Juan D. Godino 41
6. EPISTEMOLOGIAS DE LA MATEMÁTICA
6.1. CONSTRUCTIVISMOS RADICAL
La metáfora de la construcción:
“El conocimiento no es recibido pasivamente por el sujeto
cognitivo sino activamente construido” (Primer principio)
Constructivismo radical (von Glasersfeld):
“La función de la cognición es adaptativa y sirve a la
organización del mundo experiencial, no al descubrimiento de
una realidad ontológica.” (Segundo principio)
“De explorador condenado a buscar ‘propiedades estructurales’
de una realidad inaccesible, el organismo inmerso en la
experiencia se convierte ahora en un constructor de estructuras
cognitivas que pretenden resolver tales problemas según los
percibe o concibe el organismo.”

Juan D. Godino 42
CONSTRUCTIVISMO SOCIAL
 El sujeto individual y el dominio de lo social están
indisolublemente interconectados.
 Ontología relativista modificada: hay un mundo exterior
soportando las apariencias a las que tenemos un acceso
compartido, pero no tenemos un conocimiento seguro de él.
 Epistemología falibilista: el conocimiento convencional,
vivido y aceptado socialmente.
 Aprendizaje constructivista, con énfasis en el papel esencial
y constitutivo del lenguaje y la interacción social.

Juan D. Godino 43
Siguiendo los trabajos de Wittgenstein, Vygotsky, el
Interaccionismo Simbólico y la Teoría de la Actividad, se
considera el lenguaje como el conformador, y producto
resultante, de las mentes individuales.
Se concede una atención creciente al impacto del lenguaje en
gran parte de la investigación en la psicología de la educación
matemática, así como al papel cognitivo de características
lingüísticas tales como la metonimia y la metáfora.
Se reconoce que gran parte de la instrucción y el aprendizaje
tiene lugar directamente por medio del lenguaje.
Incluso el aprendizaje manipulativo y enactivo, enfatizado por
Piaget y Bruner, tiene lugar en un contexto social de significado
y es mediatizado de algún modo por el lenguaje y las
interpretaciones asociadas socialmente negociadas.

Juan D. Godino 44
LECTURA COMPLEMENTARIA:
Ernest, P. (1994). Varieties of constructivism: Their
metaphors, epistemologies and pedagogical
implications. Hiroshima Journal of Mathematics
Education 2: 1-14,
Traducción en español disponible en:
http://www.ugr.es/local/jgodino/
(Foro teoria-edumat)

Juan D. Godino 45
6.2. INTERACCIONISMO SIMBÓLICO
Promueve una visión sociocultural del origen y desarrollo del
conocimiento.
El foco de estudio son las interacciones entre individuos dentro
de una cultura.
Supuestos básicos:
 el profesor y los estudiantes constituyen interactivamente
la cultura del aula,
 las convenciones y convenios emergen interactivamente
 el proceso de comunicación se apoya en la negociación y
los significados compartidos.

Juan D. Godino 46
OBJETIVOS Y NOCIONES
 Comprender mejor los fenómenos de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas en la realidad escolar.
 No interesa elaborar teorías para la acción ni el diseño de
acciones didácticas.
NOCIONES TEÓRICAS:
Dominios de experiencia subjetiva
Patrones de interacción
Normas sociomatemáticas
LECTURA COMPLEMENTARIA:
Godino y Llinares (2000). El interaccionismo simbólico en
educación matemática.

Juan D. Godino 47
6.3. APRENDIZAJE DISCURSIVO
Kieran, Forman y Sfard (2001): Educational Studies in
Mathematics
 El aprendizaje, concebido como una adquisición
personal está siendo complementado por una nueva visión
como un proceso de participación en un hacer colectivo. Lo
importante no es el cambio del aprendiz individual sino el
cambio en los modos de comunicarse con los demás.
Énfasis en el lenguaje y la comunición
El aprendizaje se concibe en términos de discurso,
actividad, cultura, práctica, y su desarrollo se centra en
las interacciones interpersonales.

Juan D. Godino 48
 Este nuevo marco de investigación comienza a
designarse como discursivo o comunicacional por el
énfasis que atribuyen las investigaciones al lenguaje y a
la comunicación, siendo una de las diversas
implementaciones posibles del enfoque sociocultural,
ligado a la escuela de pensamiento de Vygotsky y a la
filosofía de Wittgenstein.
 Esta aproximación propone una visión del pensamiento
humano como algo esencialmente social en sus orígenes
y dependiente de factores históricos, culturales y
situacionales de manera compleja.

Juan D. Godino 49
ELAPRENDIZAJE COMO INICIACIÓN EN UN
DISCURSO
El aprendizaje matemático significa llegar a
dominar un discurso que sea reconocido como
matemático por interlocutores expertos.
DISCURSO:
Cualquier modalidad de comunicación, tanto si es
diacrónica como sincrónica, si se realiza con otras
personas o con uno mismo, tanto si es
predominantemente verbal o con la ayuda de otro
sistema simbólico.

Juan D. Godino 50
FACTORES DELAPRENDIZAJE DISCURSIVO
O COMUNICACIONAL
ÚTILES MEDIADORES:
Herramientas simbólicas, lenguaje, notaciones
gráficos, etc.
REGLAS META-DISCURSIVAS:
Normas implicitas que guian el curso general de las
actividades de comunicación (juegos de lenguaje;
normas sociomatemáticas; contrato didáctico)
CONFLICTOS DISCURSIVOS:
Desacuerdos en los usos habituales de las palabras.

Juan D. Godino 51
6.4. Una epistemología experimental: La
Teoría de Situaciones Didácticas
Para Brousseau, el conocimiento construido o
usado en una situación es definido por las
restricciones de esta situación, y, por tanto, si
el profesor crea ciertas restricciones artificiales
es capaz de provocar en los estudiantes la
construcción de un cierto tipo de conocimiento.
Se trata de una hipótesis que está más próxima
al constructivismo que a las aproximaciones
que se derivan de la noción Vygostskiana de
zona de desarrollo próximo.

Juan D. Godino 52
Teoría de Situaciones
Brousseau establece un programa de investigación
para la didáctica de la matemática que implica
estudios epistemológicos, diseño de situaciones
didácticas, experimentación, comparación del diseño
con los procesos que tienen lugar de hecho, revisión
de los estudios epistemológicos y del diseño, y estudio
de las condiciones de la reproductibilidad de las
situaciones.
Propone que el diseño de las situaciones didácticas
relativas a un concepto matemático dado se oriente a
la construcción de su génesis artificial, que simulará
los diferentes aspectos actuales del concepto para los
estudiantes, y que, sin reproducir el proceso histórico,
conducirá a resultados similares.

Juan D. Godino 53
Teoría de Situaciones
TIPOS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS:
Situaciones centradas sobre 'la acción', donde los estudiantes
hacen sus primeros intentos por resolver un problema propuesto por
el profesor;
Situaciones centradas sobre la 'comunicación', donde los
estudiantes comunican los resultados de su trabajo a otros
estudiantes y al profesor;
Situaciones centradas sobre la 'validación', donde se deben usar
argumentaciones teóricas mas bien que empíricas; y
Situaciones de institucionalización, donde los resultados de las
negociaciones y convenciones de las fases previas son resumidas,
y la atención se centra sobre los hechos 'importantes', los
procedimientos, las ideas, y la terminología 'oficial'.

Juan D. Godino 54
6.5. ANTROPOLOGÍA COGNITIVA. LA
MATEMÁTICA COMO ACTIVIDAD HUMANA
CHEVALLARD:
Teoría Antropológica de la Didáctica de las Matemáticas:
Sitúa la actividad matemática y la actividad de estudio de las
matemáticas en el conjunto de las actividades humanas y de las
instituciones sociales.
NOCIÓN DE PRAXEOLOGÍA:
Complejo formado por la cuaterna: [T///],
Tipo de tareas, técnicas, tecnología y teoría.
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA; ECOLOGÍA DE LOS
SABERES

Juan D. Godino 55
7. LA METÁFORA ECOLÓGICA Y COGNICIÓN
ECOLOGÍA: Disciplina interesada por las relaciones entre los
organismos y sus entornos pasados, presentes y futuros.
La epistemología ecológica aplica la metáfora ecológica a objetos
no vivos, sustituyendo los criterios de “viabilidad”, persistencia,
por nociones como utilidad, disponibilidad, acoplamiento o
compatibilidad.
E. MORIN: Las ideas, su hábitat, su vida, sus costumbres, su
organización

Juan D. Godino 56
ECOLOGÍA DE LAS IDEAS:
¿Cómo actúan unas ideas sobre otras?
¿Existe una especie de selección natural que determina la
supervivencia de ciertas ideas y la extinción de otras?
¿Qué tipo de economía limita la multiplicación de ideas en una
región del pensamiento?
¿Cuáles son las condiciones necesarias para la estabilidad (o la
supervivencia) de un sistema o subsistema de este género"
(Bateson, Ecología del espíritu, 1977)

Juan D. Godino 57
8. NECESIDAD DE UN ENFOQUE UNIFICADO
 ENFOQUE PSICOLOGISTA: Énfasis en la representación y
en el individuo ( Representaciones internas, concepciones,
esquemas, etc.)
 ENFOQUE ANTROPOLOGÍSTA: Énfasis en la acción,
rechazo de la representación y primacia de lo institucional.
 Enfoques insuficientes para analizar las distintas facetas
implicadas en el estudio de las matemáticas:
Equilibrio dialéctico entre lo individual y lo institucional
/social
Reconocimiento de los papeles instrumentales y
representacionales del lenguaje

Juan D. Godino 58
TEORÍA DE LAS FUNCIONES SEMIÓTICAS Y
ONTOLOGÍA MATEMÁTICA ASOCIADA
 Nuestra Teoría de las Funciones Semióticas y la ontología
pragmático-realista asociada trata de superar las
limitaciones de los enfoques representacionistas y
pragmatistas, aisladamente considerados.
 El punto de partida de nuestra teorización es la formulación
de una ontología de los objetos matemáticos que tiene en
cuenta el triple aspecto de la matemática como actividad de
resolución de problemas, socialmente compartida, como
lenguaje simbólico y sistema conceptual lógicamente
organizado, pero también la dimensión cognitiva individual.

Juan D. Godino 59
LECTURAS COMPLEMENTARIAS:
(Disponibles en el foro: teoria-edumat)
BROUSSEAU, G. (1986). Fondements et méthodes de la
didactiques des mathématiques. Recherches en Didactique des
Mathématiques, 7 (2): 33-115.
CHEVALLARD, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes
en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en
Didactique des Mathématiques, 19 (2): 221-266
ERNEST, P. (1994). Variedades de constructivismo: Sus
metáforas, epistemologías e implicaciones pedagógicas..
Hiroshima Journal of Mathematics Education 2: 1-14.

Juan D. Godino 60
GODINO, J. D. y LLINARES, S. (2000). El interaccionismo
simbólico en educación matemática. Educación Matemática, 12
(1): 70-92.
VERGNAUD, G. (1990). La teoría de los campos conceptuales.
Recherches en Didactiques des Mathématiques, 10 ( 2, 3): 133-170.
[Traducción de Juan D. Godino]

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