Grafos 8.2.1
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Este documento presenta definiciones clave de la teoría de grafos, incluyendo: 1) vértices adyacentes y aristas incidentes, 2) el grado de un vértice como el número de aristas incidentes, 3) teoremas sobre la suma de los grados de los vértices y la paridad de vértices de grado impar, y 4) grados de aristas de entrada y salida para grafos dirigidos.
Grafos 8.2.1
- 1. Terminología de la Teoría de Grafos Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones Esteban Andrés Díaz Mina
- 2. Introducción Se presenta el vocabulario básico de la teoría de grafos usado para resolver muchos tipos distintos de problemas.
- 3. Definición 1 Se dice que dos vértices u y v en un grafo no dirigido G se denominan adyacente en G si {u, v} es una aristas de G. Si e={u, v}, la arista e es llamada incidente con el vértice u y v. La arista e se dice que conecta a u y a v. Los vértices u y v son llamados puntos finales de la arista {u, v}.
- 4. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(a)=2
- 5. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(b)=4
- 6. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(f)=4
- 7. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(c)=4
- 8. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(e)=3
- 9. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(d)=1
- 10. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(g)=0
- 11. Definición 2 El grado de un vértice en un grafo no dirigido es el número de aristas que inciden en él, excepto un ciclo que contribuye con dos al grado de este vértice. El grado de un vértice v se denota por g(v). g(a)=2 g(b)=4 g(f)=4 g(c)=4 g(e)=3 g(d)=1 g(g)=0
- 12. Ejemplo ¿Cuál es el grado de cada uno de los vértices del siguiente grafo? g(a)=4 g(b)=6 g(c)=1 g(e)=6 g(d)=5
- 13. Teorema del Apretón de Manos Sea G=(V,E) un grafo no dirigido con e aristas. Entonces 2𝑒 = 𝑣 ∈𝑉 𝑔(𝑣)
- 14. Ejemplo ¿Cuántas aristas hay en un grafo con 6 vértices con g(a)=2, g(b)=4, g(f)=4, g(c)=4, g(e)=3, g(d)=1? 2e= 2+4+4+4+3+1 = 18. Luego e=9
- 15. Ejemplo ¿Cuántas aristas existen en un grafo con seis vértices, cada uno de grado tres? Dado que la suma de los grados de los vértices es 6*3=18, se concluye que 2e=18. Entonces, e=9.
- 16. Teorema 2 Todo grafo no dirigido tiene un número par de vértices de grado impar. Demostración. Sean V1 y V2 el conjunto de vértices de grado par y de grado impar respectivamente, de un grafo no dirigido G=(V,E). Entonces, 2𝑒 = 𝑣 ∈𝑉 𝑔(𝑣) = 𝑣 ∈𝑉1 𝑔(𝑣)+ 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) 2𝑒 = 𝑣 ∈𝑉1 𝑔(𝑣)+ 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) 𝑣 ∈𝑉1 𝑔(𝑣)= 2s 2𝑒 − 2𝑠 = 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) 2(𝑒 − 𝑠) = 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) 𝑒 ≥ 𝑠 Se concluye que 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) debe ser par, por lo tanto la cantidad de vértices de grado impar debe ser par.
- 17. Definición 4 En un grafo con aristas dirigidas el grado de aristas de entrada de un vértice v, denotado por g-(v), es el número de aristas con v como vértice terminal. El grado de aristas de salida de v, denotado por g+(v), es el número de aristas con v como su vértice inicial. (Nota: Un ciclo en un vértice contribuye con 1 al grado de aristas de entrada y 1 al grado de aristas de salida de ese vértice).
- 18. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(a)=2 g+(a)=4
- 19. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(b)=2 g+(b)=1
- 20. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(c)=3 g+(c)=2
- 21. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(e)=3 g+(e)=3
- 22. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(d)=2 g+(d)=2
- 23. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(f)=0 g+(f)=0
- 24. Ejemplo Encontrar el grado de las aristas de entrada y el grado de las aristas de salida de cada uno de los vértices en el siguiente grafo. g-(a)=2 g+(a)=4 g-(b)=2 g+(b)=1 g-(c)=3 g+(c)=2 g-(e)=3 g+(e)=3 g-(d)=2 g+(d)=2 g-(f)=0 g+(f)=0
- 25. Teorema 3 Sea G=(V, E) un grafo con aristas dirigidas. Entonces: 𝑣 ∈𝑉 𝑔 − (𝑣) = 𝑣 ∈𝑉 𝑔 + (𝑣) = 𝐸
- 26. Ejemplo 𝒗 ∈𝑽 𝒈 − (𝒗) = 𝟏𝟐, 𝒗 ∈𝑽 𝒈 + (𝒗) = 𝟏𝟐, 𝑬 = 𝟏𝟐 A partir del grafo se puede observar que: g-(a)=2 g+(a)=4 g-(b)=2 g+(b)=1 g-(c)=3 g+(c)=2 g-(e)=3 g+(e)=3 g-(d)=2 g+(d)=2 g-(f)=0 g+(f)=0
- 27. Finalizamos Terminología de la Teoría de Grafos Hasta pronto