Grafos 8.4.1
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Este documento trata sobre la conectividad en grafos. Explica que un camino es una secuencia de aristas que conectan vértices adyacentes, comenzando y terminando en dos vértices específicos. Un grafo se considera conectado si existe al menos un camino entre cada par de vértices. También presenta definiciones formales de caminos, circuitos y grafos conectados, así como un teorema para calcular el número de caminos entre dos vértices usando la matriz de adyacencia.
Grafos 8.4.1
- 1. Conetividad en Grafos Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones Esteban Andrés Díaz Mina
- 2. Introducción Existen muchos problemas que se pueden representar por medio de caminos que se forman al ir recorriendo las aristas de un grafo. Por ejemplo, el problema de determinar si se puede enviar o no un mensaje entre dos ordenadores usando enlaces intermedios puede estudiarse utilizando un modelo de grafos. Los modelos para planificar de forma eficiente la rutas de distribución de correo, y de recolección de basuras pueden resolverse utilizando modelos que involucran caminos definidos sobre grafos.
- 3. Caminos De manera informal, un camino es una secuencia de aristas que comienza en un vértice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectando pares de vértices adyacentes.
- 4. Caminos De manera informal, un camino es una secuencia de aristas que comienza en un vértice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectando pares de vértices adyacentes.
- 5. Caminos De manera informal, un camino es una secuencia de aristas que comienza en un vértice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectando pares de vértices adyacentes.
- 6. Caminos De manera informal, un camino es una secuencia de aristas que comienza en un vértice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectando pares de vértices adyacentes. a b c f
- 7. Definición 1 Un camino de longitud n de u a v, donde n es un entero positivo, en un grafo no dirigido es una secuencia de aristas e1, e2, e3, ..., en el grafo tal que f(e1)={x0, x1}, f(e2)={x1, x2},..,f(en)={xn-1, xn}, donde x0=u y xn=v. Cuando el grafo es simple, se denota este camino por la secuencia x0, x1, x2,.., xn (dado que listando estos vértices se determina de manera única el camino).
- 8. Ejemplo 1
- 10. Ejemplo 2 a b c f
- 11. Definición 1 El camino es un circuito si comienza y termina en el mismo vértice, esto es, si u=v. El camino o circuito se dice que pasa o atraviesa el vértice x1, x2, ...., xn-1. a b c fe
- 12. Definición 1 Un camino o circuito es simple si no contiene la misma arista más de una vez.
- 13. Ejemplo 3 Un camino o circuito es simple si no contiene la misma arista más de una vez. b c f
- 14. Ejemplo 3 Un camino o circuito es simple si no contiene la misma arista más de una vez. b c f e b Circuito Simple
- 15. Ejemplo 3 Un camino o circuito es simple si no contiene la misma arista más de una vez. b c f e b c
- 16. Ejemplo 3 Un camino o circuito es simple si no contiene la misma arista más de una vez. b c f e b c b Circuito No Simple
- 17. SolucionANDO Halle un camino de longitud 4. Halle un circuito de longitud 8. Halle un camino no simple de longitud 6.
- 18. Definición 2 Un camino de longitud n de u a v, donde n es un entero positivo, en un multigrafo dirigido es una secuencia de aristas e1, e2, e3, . . . , en el grafo tal que f(e1)={x0, x1}, f(e2)={x1, x2},..., f(en)={xn-1, xn}, donde x0=u y xn=v. Cuando no existen aristas múltiples en el grafo, este camino se denota por la secuencia de vértices x0, x1, x2, ...., xn. Un camino que comienza y termina en el mismo vértice es llamado un circuito. Un camino o circuito es simple si no contiene la misma arista mas de una vez.
- 19. SolucionANDO Halle un camino de longitud 6. Halle un circuito de longitud 5. Halle un camino no simple de longitud 4.
- 20. Conectividad en grafos No dirigidos ¿Cuándo una red de computadores tiene la propiedad de que cada par de computadores puede compartir información?. Si un mensaje puede ser enviado utilizando uno o más computadores intermedios.
- 22. Definición 3 Un grafo no dirigido se denomina conectado si existe un camino entre cada par de distintos vértices del grafo.
- 23. Número de Caminos entre dos vértices El número de caminos entre dos vértices en un grafo puede ser determinado usando la matriz de adyacencia. Teorema 2 Sea G un grafo con matriz de adyacencia A con respecto al conjunto ordenado v1, v2,...,vn (con aristas dirigidas y no dirigidas, con múltiples aristas y con ciclos). El número de diferentes caminos de longitud r de vi a vj, donde r es un entero positivo, es igual a la entrada (i, j)-esima de Ar.
- 24. Ejemplo A1 A1 A2
- 25. Ejemplo A1 A2 A3 Caminos de longitud 3 de A a B ABAB ABDB ACDB ACAB
- 26. Ejemplo Existen 13 Caminos de longitud 2 de A a A. A1 A1 A2
- 27. Ejemplo Halle el número de caminos de longitud 2 entre a y f. Existen 2 Caminos de longitud 2 entre a y f. abf aef
- 28. Finalizamos Conectividad en Grafos Hasta pronto