![Estructuras matriciales:
•Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde
[arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
•Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño n2, donde n
es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento mx,y
es 1, de lo contrario, es 0.
Las representaciones de grafos más habituales están basadas en matrices de adyacencia y listas de
adyacencia. En este ejercicio se pretende representar distintos grafos utilizando tanto matrices como
listas de adyacencia.](https://image.slidesharecdn.com/grafos-120130235736-phpapp02/85/Grafos-4-320.jpg)
Grafos
- 1. Integrantes: Artemio Sequera C.I. 25.571.367 Informatica (Nocturno) Enero 2012
- 2. Grafos En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }. Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de la forma (u,v) tal que Para simplificar, notaremos la arista (a,b) como ab. En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro. Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de una ciudad.
- 3. Representación de grafos Lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas. Lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra. En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vértice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta.
- 4. Estructuras matriciales: •Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado) •Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño n2, donde n es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento mx,y es 1, de lo contrario, es 0. Las representaciones de grafos más habituales están basadas en matrices de adyacencia y listas de adyacencia. En este ejercicio se pretende representar distintos grafos utilizando tanto matrices como listas de adyacencia.
- 5. Grafo Euleriano Un grafo euleriano G es aleatoriamente trazable desde un vértice v si cualquier recorrido sin aristas repetidas que empieza en v puede prolongarse hasta obtener un recorrido euleriano cerrado. − Comprobar que el grafo de la figura es aleatoriamente trazable desde el vértice central, pero no lo es desde ninguno de los restantes vértices. − Dar un ejemplo de un grafo euleriano que no sea aleatoriamente trazable desde ninguno de sus vértices. − Dar un ejemplo de grafo euleriano que sea aleatoriamente trazable desde todos sus vértices. − Demostrar que el grafo euleriano G es aleatoriamente trazable desde v si y sólo si v pertenece a todos los ciclos de G Grafo hamiltoniano Es un camino que pasa por cada vértice exactamente una vez. Un grafo que contiene un camino hamiltoniano se denomina un ciclo hamiltoniano o circuito hamiltoniano si es un ciclo que pasa por cada vértice exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega). Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se dice grafo hamiltoniano. Estos conceptos se pueden extender para los grafos dirigidos.
- 6. Arboles En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cualesquiera dos vértices están conectados por exactamente un camino. Un bosque es una unión disjunta de árboles. Un árbol a veces recibe el nombre de árbol libre. Un árbol es un grafo simple unidireccional G que satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: - G es conexo y no tiene ciclos simples. - G no tiene ciclos simples y, si se añade alguna arista se forma un ciclo simple. - G es conexo y si se le quita alguna arista deja de ser conexo. - G es conexo y el grafo completo de 3 vértices K3 no es un menor de G. - Dos vértices cualquiera de G están conectados por un único camino simple. Si G tiene muchos vértices, n, entonces las definiciones anteriores son también equivalentes a cualquiera de las siguientes condiciones: - G es conexo y tiene n − 1 aristas. - G no tiene aristas simples y tiene n − 1 aristas. - La cantidad de hojas de un árbol siempre es mayor o igual a la mitad de la totalidad de los nodos.
- 7. Un grafo unidireccional simple G es un bosque si no tiene ciclos simples. Un árbol dirigido es un grafo dirigido que sería un árbol si no se consideraran las direcciones de las aristas. Algunos autores restringen la frase al caso en el que todos las aristas se dirigen a un vértice particular, o todas sus direcciones parten de un vértice particular. Un árbol recibe el nombre de árbol con raíz si cada vértice ha sido designado raíz, en cuyo caso las aristas tienen una orientación natural hacia o desde la raíz. Los árboles con raíz, a menudo con estructuras adicionales como orden de los vecinos de cada vértice, son una estructura clave en informática; véase árbol (programación).
- 8. Aplicaciones Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería. Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos. La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes. Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciónes. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.