Grafos

INSTITUTO UNIVERSITARIO TÉCNOLOGICO
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
Barquisimeto – Estado Lara

ÁLGEBRA I

Bachiller:

Geraldine Cadevilla
C.I: 17625053
Escuela: Informática

INSTITUTO UNIVERSITARIO TÉCNOLOGICO
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
Barquisimeto – Estado Lara

GRAFOS

Barquisimeto, 30 de enero de 2012.

 Def. 1: Un grafo “G” está formado por un
conjunto de vértices v es distinto vacío v
= {v1,v2,………vn} y un conjunto “A” de
aristas o lados, en donde a cada arista
se le asigna un par no ordenado (u,v)
con u,v en V tal que A = {a1, a2,….an}
 Notación: G = [V,A]
a
 Representación Geométrica:
u v

 Def. 2: Dado un grafo G = [V,A] se tiene
lo siguiente:

a) La multiplicidad del par (u,v) se define
como el número de aristas entre “u” y “v”.
Notación m(u,v).
b) Una arista “a” es un lazo si existe v en V tal
que a = (v,v).
c) Dos aristas a y b son paralelas si existen u,v
en V tal que: a = (u,v) = b.
d) Una arista a en A incide en un vértice
“v”, si “v” es extremo de “a”.
e) El grado de un vértice v en V, denotado
por g(v), representa el número de aristas
que inciden en “v”.
f) Dos vértices “u” y “v” son adyacentes si y
solo si existe una arista a en A con
extremos “u” y “v”.
g) Ges un grafo nulo si a es igual a vacío.

En matemáticas y en ciencias de la
computación, la teoría de grafos (también
llamada teoría de las gráficas) estudia las
propiedades de los grafos (también llamadas
gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de
objetos llamados vértices (o nodos) y una
selección de pares de vértices, llamados aristas
que pueden ser orientados o no. Típicamente, un
grafo se representa mediante una serie de puntos
(los vértices) conectados por líneas (las aristas).

Representación
Matricial de Grafos:

Matriz de Adyacencia y Matriz de Incidencia:
Dado un grafo G = [V,A] en donde v =
{v1,v2,………vn} y A = {a1, a2,….an} se
define:
a) Matriz de adyacencia, como la matriz
cuadrada nxn cuya componente con fila
“i” y columna “j” la representa el número
m(vi,vj).
b) Matriz de incidencia, como la matriz de
orden mxn cuya componente con fila “i”
columna “j” se define como la incidencia
de la arista ai con respecto al vértice vj.

Grafos Eulerianos y
Grafos Hamiltonianos:

Grafos Eulerianos: un grafo G = [V,A]
conexo es euleriano si y solo si existe un
ciclo en G que recorre todas las aristas.
Si existe una cadena simple que recorra
todas las aristas de G, diremos que el
grafo es Semi-euleriano.
Grafos Hamiltonianos: un grafo G = [V,A]
conexo entonces G es hamiltoniano si
existe un ciclo elemental que recorre
todos los vértices. G es Semi-
hamiltoniano si existe una cadena
elemental que recorre todos los vértices.

Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde
no se recorre dos veces la misma arista, y donde se
regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene
además que recorrer todos los vértices exactamente
una vez (excepto el vértice del que parte y al cual
llega).
Por ejemplo, en un museo grande, lo idóneo sería
recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un
ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo
(los vértices son las salas, y las aristas los corredores o
puertas entre ellas).
Se habla también de camino hamiltoniano si no se
impone regresar al punto de partida, como en un
museo con una única puerta de entrada. Por
ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de
un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma:
es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo
hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.

Árboles:
Un grafo G1 = [V1,A1] es un subgrafo de
G = [V,A] si y solo si V1 es subconjunto
de V y tambiés A1 es subconjunto de A.
un grafo T = [V,A] es un árbol si no posee
ciclos y es conexo.
Si T es un grafo con n mayor igual a
2, entonces: T es un árbol si y solo si T es
conexo y todas sus aristas son puentes.
Si T es un árbol con n vértices entonces n
es mayor igual a 2 entonces T tiene n-1
aristas.

Un subgrafo H de un grafo conexo Gse
denomina “árbol generador” si se
cumplen las siguientes condiciones:
1) H es un árbol.
2) H posee todos los vértices de G.

Aplicaciones:

 Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver
diversos problemas como por ejemplo la síntesis de
circuitos secuenciales, contadores o sistemas de
apertura. Se utiliza para diferentes áreas por
ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas
de Ingeniería.
 Los grafos se utilizan también para modelar trayectos
como el de una línea de autobús a través de las
calles de una ciudad, en el que podemos obtener
caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos
algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.
 Para la administración de proyectos, utilizamos
técnicas como PERT en las que se modelan los
mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos
para concretar los mismos.

 La teoría de grafos también ha servido de inspiración
para las ciencias sociales, en especial para
desarrollar un concepto no metafórico de red social
que sustituye los nodos por los actores sociales y
verifica la posición, centralidad e importancia de
cada actor dentro de la red. Esta medida permite
cuantificar y abstraer relaciones complejas, de
manera que la estructura social puede representarse
gráficamente. Por ejemplo, una red social puede
representar la estructura de poder dentro de una
sociedad al identificar los vínculos (aristas), su
dirección e intensidad y da idea de la manera en
que el poder se transmite y a quiénes.
 Los grafos son importantes en el estudio de la
biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y
las aristas representa los senderos de los animales o
las migraciones. Con esta información, los científicos
pueden entender cómo esto puede cambiar o
afectar a las especies en su hábitat.

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