Guia 3
- 1. 1 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Las funciones trigonométricas estudiadas en la circunferencia unitaria se pueden describir en triángulos rectángulos a partir de las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo. Estas relaciones se denominan razones trigonométricas. A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria, se definen las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Así: Sea P ( x , y ) el punto sobre la circunferencia unitaria determinado por el ángulo Ø en el primer cuadrante. Si el segmento P Q es perpendicular al eje x , entonces se forma el triángulo rectángulo O Q P , donde O P es la hipotenusa, OQ y P Q son los catetos. De acuerdo con su posición con respecto al ángulo Ø, los catetos se clasifican en: OQ: cateto adyacente al ángulo Ø. P Q : cateto opuesto al ángulo Ø. Si la longitud de la hipotenusa es 1 y las longitudes de OQ y PQ son x y y respectivamente, las relaciones trigonométricas se definen como: Ejemplos Determinar las razones trigonométricas para el ángulo β del triángulo rectángulo que aparece en la figura.
- 2. 2 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS Primero se halla la hipotenusa. Aplicamos teorema de Pitágoras Se reemplaza a=15, b= 8 Se resuelven las potencias y se suma. Se extrae la raíz. Como la hipotenusa es 17, respecto al ángulo β el cateto opuesto es 8 y el Cateto adyacente es 15, entonces: 2. Hallar el valor de y , si Como , entonces, 3 es el valor del cateto opuesto del ángulo y 4 es hipotenusa del triangulo rectángulo, como se muestra b B 3 C Primero se halla la longitud del cateto b. Aplicamos teorema de Pitágoras Se reemplaza a=3, c= 4 Se resuelven las potencias y se suma. Se despeja Se extrae la raíz Como es el cateto adyacente al ángulo , entonces: , ,
- 3. 3 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60° Las funciones trigonométricas para los ángulos 30°, 45° y 60° se evaluaron en la circunferencia unitaria como los ángulos medidos en radianes. Sin embargo, las razones trigonométricas de algunos triángulos especiales permiten identificar el valor de las seis razones trigonométricas para estos ángulos. ÁNGULOS DE 30° Y 600 Para determinar el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se considera un triángulo equilátero. Sea ABC un triángulo equilátero como se muestra en la figura. La medida de sus ángulos internos es igual a 60°. La altura h trazada desde el vértice B al lado AC, es también mediatriz de AC y bisectriz de <B. Por lo tanto, el BDC es rectángulo, la medida del <B = 30° y el lado DC = . Aplicamos el teore ma de Pitágoras para hallar , por lo tanto las razones trigonométricas para el ángulo de 30° son: De igual manera, se pueden hallar las razones trigonométricas para el ángulo de 60°. Hallarlas. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 45° Para determinar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de 45° se construye un triángulo isósceles rectángulo ABC, de tal manera que AC = BC = l son los catetos de igual medida y c es la hipotenusa. Los ángulos <A =<B = 45°. Por lo tanto,
- 4. 4 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS en el ACB rectángulo, se tiene que: l2 + I2 = c2 2l2 = c2 c = Así, los valores de las razones trigonométricas de 45° son: ÁNGULOS DE REFERENCIA Sea Ø un ángulo en posición normal. Se llama ángulo de referencia Ør al ángulo agudo que forma el lado final del ángulo Ø con uno de los semiejes del eje x. ÁNGULOS EN EL SEGUNDO CUADRANTE Si Ø es un ángulo en posición normal, cuyo lado final está en el segundo cuadrante, entonces el ángulo de referencia Ør para el ángulo Ø es: Ør = 180° - Ø ÁNGULOS EN EL TERCER CUADRANTE Si Ø es un ángulo en posición normal cuyo lado final está en el tercer cuadrante, entonces, el ángulo de referencia Ør para el ángulo Ø es: Ør = Ø - 180° ÁNGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE Si Ø es un ángulo en posición normal cuyo lado final está en el cuarto cuadrante, entonces, el ángulo de referencia Ør para el ángulo Ø es: Ør = 360° - Ø Ejemplos Encontrar el ángulo de referencia para: a. Ø = 150° Como el lado final del ángulo Ø = 150° está en el segundo cuadrante, entonces, su ángulo Ør de referencia es: Ør = 180° - Ø Ør = 180° - 150°=30° Por lo tanto, el ángulo de referencia de Ø= 150° es Ør = 30°. b. Ø = 240° Como el lado final del ángulo Ø = 240° está en el tercer cuadrante, entonces, su ángulo Ør de referencia es: Ør = Ø - 180° = 240° - 180° Ør = 60° a. Ø = 660° Como los ángulos 660° y 300° son coterminales ya que: 660° - 360° = 300°, entonces, el lado final del ángulo está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, el ángulo de referencia Ør es: Ør = 360° - Ø Ør = 360° - 300° = 60°
- 5. 5 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS USO DE LA CALCULADORA Las calculadoras científicas se utilizan, entre otras cosas, para hallar el valor aproximado de las funciones seno, coseno y tangente para ángulos medidos en grados y radianes. Para determinar las funciones de un ángulo es necesario tener en cuenta si se va a trabajar con el ángulo en radianes o en grados.Para ángulos en radianes se ajusta la calculadora en el modo radianes con la siguiente instrucción MODE RAD. Para el caso de ángulos en grados se ajusta la calculadora en modo grados con MODE DEG. Las teclas sin, cos y tan en la calculadora permiten hallar los valores aproximados de las funciones seno, coseno y tangente de un ángulo. Para obtener las funciones trigonométricas seno, coseno o tangente de un ángulo, se digita la tecla que indica la función trigonométrica y luego, se digita el valor del ángulo en el modo que se desea, radianes o grados. En algunas calculadoras se digita primero el ángulo y luego la función. Para encontrar el valor de las otras funciones se aplican las relaciones recíprocas de un ángulo dado. En este caso se utiliza la tecla x - 1 de la siguiente manera: Se pone en paréntesis la función trigonométrica y el ángulo; luego, se oprime la tecla x - 1 y se obtiene el valor de la función recíproca. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra el proceso para determinar con la calcula- dora los valores de las funciones trigonométricas de sen158°, cos(-286°), sec325°. VALOR BUSCADO TECLAS QUE SE RESULTADO DIGITAN Sen 158° Sin158= 0,374606593 Cos(-286°) Cos-286= 0.275637355 Sec(325°) Cos325= x - 1 = 1.220774589 TALLER En los siguientes triángulos rectángulos, halla el valor de las funciones trigonométricas
- 6. 6 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS 1. Construye un triángulo rectángulo que cumpla con la condición dada. a. c. b. d. 2. Halla el valor de las funciones trigonométricas a partir de la información dada. a. c. b. d. 3. Expresa el valor de cada variable en términos de 'los datos suministrados, usando las funciones trigonométricas. 4. Demuestra las siguientes igualdades, a partir de la definición de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo que se muestra en la figura. a. d. e. b. c. 5. Completar la siguiente tabla Ø Ørad SenØ CosØ TanØ CotØ SecØ CscØ 30 45 60 6. Determina el valor de cada expresión a. d. b. e. c. f.
- 7. 7 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS 7. Encuentra el ángulo de referencia para cada ángulo en posición normal. a. 210 d. -315 b. 135 e. 780 c. 300 f. 695 8. Halla el valor exacto de la función trigonométrica a. c. b. d. 9. Usa la calculadora científica para determinar el valor de las siguientes funciones trigonométricas. Aproxima la respuesta a tres cifras decimales. a. e. b. f. c. g. d. h. 10. Determine el ángulo β para el cual se obtiene el valor de cada función trigonométrica a. d. b. e. c. f. 11. Soluciona los siguientes problemas a. Calcula la altura de la torre de acuerdo con la siguiente gráfica. b. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto situado a 10 m de la raíz se observa su copa bajo un ángulo de 30° c. Calcula el largo de una escalera que esta apoyada a una pared de 5 m de alta formando un ángulo de 37 45` y dista 4 m de la pared d. Hallar los lados que faltan en el triangulo rectángulo
- 8. 8 INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN GUIA 3 RAZONES TRIGONOMETRICAS