Imp variacion

CAPÍTULO
4
Ecuaciones diferenciales de orden superior
1
4.7 Variación de parámetros
El método de variación de parámetros es un procedimiento útil para la obtención de una solución particular
yp.x/ de la ecuación diferencial ordinaria lineal (no homogénea) y se basa en el conocimiento de la solución
general de la lineal homogénea asociada a dicha edo. lineal.
Haciendo referencia a las lineales de segundo orden diremos que el método de variación de parámetros es
útil para obtener una solución particular yp.x/ de la lineal
y 00
C p.x/y 0
C q.x/y D g.x/; (1)
a partir del conocimiento de la solución general de la lineal homogénea asociada
y 00
C p.x/y 0
C q.x/y D 0: (2)
Si suponemos que la solución general de la lineal homogénea (2) está dada por la combinación lineal
.x/ D C1 1.x/ C C2 2.x/;
debemos tener presente que y D 1.x/ & y D 2.x/ son soluciones de esta ecuación diferencial (2) tales
que W Œ 1.x/; 2.x/ ¤ 0 en todo el intervalo .˛; ˇ/ donde las funciones p.x/ & q.x/ son continuas. Es decir,
y D 1.x/ & y D 2.x/ forman un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial (2).
Supongamos pues que .x/ D C1 1.x/ C C2 2.x/ es la solución general de y 00
C p.x/y 0
C q.x/y D 0.
El método de variación de parámetros propone que la solución particular yp.x/ tenga la misma forma que
.x/, pero permitiendo variar a los parámetros C1 y C2. Esto es, propone que yp.x/ sea
yp.x/ D u1 1.x/ C u2 2.x/;
donde u1 D u1.x/ & u2 D u2.x/ son funciones de x, desconocidas ambas y que deben ser determinadas.
¿Cómo determinar a las funciones u1 & u2? De la siguiente manera.
yp D u1 1 C u2 2 )
) y 0
p D u0
1 1 C u1
0
1 C u0
2 2 C u2
0
2
1canek.azc.uam.mx: 15/ 1/ 2009
1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Aquí, antes de obtener y 00
p , se supone que
u0
1 1 C u0
2 2 D 0:
Esto se hace con la ﬁnalidad de que en la expresión de y 00
p no aparezcan u00
1 & u00
2 , ya que la inclusión de
estas segundas derivadas en y 00
p haría mucho más compleja la obtención de las funciones u1 & u2.
Se tiene entonces que
y 0
p D u1
0
1 C u2
0
2
por lo cual
y 00
p D u0
1
0
1 C u1
00
1 C u0
2
0
2 C u2
00
2
Ahora bien, yp es solución de la lineal
y 00
C p.x/y 0
C q.x/y D g.x/
si se cumple que
y 00
p C p.x/y 0
p C q.x/yp D g.x/
esto es,
Œu0
1
0
1 C u1
00
1 C u0
2
0
2 C u2
00
2 C p.x/Œu1
0
1 C u2
0
2 C q.x/Œu1 1 C u2 2 D g.x/ )
) u0
1
0
1 C u1Œ 00
1 C p.x/ 0
1 C q.x/ 1 C u0
2
0
2 C u2Œ 00
2 C p.x/ 0
2 C q.x/ 2 D g.x/
Pero
00
1 C p.x/ 0
1 C q.x/ 1 D 0 & 00
2 C p.x/ 0
2 C q.x/ 2 D 0;
por ser 1 & 2 soluciones de la homogénea. Entonces debe cumplirse que
u0
1
0
1 C u0
2
0
2 D g.x/
Concretando: las funciones u1 & u2 deben cumplir con el par de ecuaciones
u0
1 1 C u0
2 2 D 0 & u0
1
0
1 C u0
2
0
2 D g.x/
donde las incógnitas son u0
1 & u0
2.
Hemos obtenido un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas:
u0
1 1 C u0
2 2 D 0
u0
1
0
1 C u0
2
0
2 D g.x :
¿Tiene solución única este sistema para u0
1 & u0
2? Veamos.
El determinante s del sistema es
s D 1 2
0
1
0
2
D W. 1; 2/
Y debido a que W. 1; 2/.x/ ¤ 0 entonces s ¤ 0, por lo que el sistema de ecuaciones tiene una única
solución. Dicha solución única es
u0
1 D
0 2
g.x/ 0
2
s
D
g.x/ 2
W. 1; 2/
) u0
1.x/ D
g.x/ 2.x/
W. 1.x/; 2.x//

4.7 Variación de parámetros 3
u0
2 D
1 0
0
1 g.x/
s
D
g.x/ 1
W. 1; 2/
) u0
2.x/ D
g.x/ 1.x/
W. 1.x/; 2.x//
De donde obtenemos u1 & u2 mediante integración
u1 D
g.x/ 2.x/
W. 1.x/; 2.x//
dx & u2 D
g.x/ 1.x/
W. 1.x/; 2.x//
dx
Sustituyendo u1.x/ & u2.x/ en yp.x/ se tiene que la solución particular de la lineal es
yp.x/ D 1.x/
g.x/ 2.x/
W. 1.x/; 2.x//
dx C 2.x/
g.x/ 1.x/
W. 1.x/; 2.x//
dx
Finalmente, podemos escribir la solución general de la lineal como
y.x/ D yp.x/ C .x/
y.x/ D yp.x/ C ŒC1 1.x/ C C2 2.x/
con la yp.x/ obtenida.
Ejemplo 4.7.1
Utilizando el método de variación de parametros, calcular una solución particular y escribir la solución general de la
ecuación diferencial ordinaria.
x2
y 00
4xy 0
C 6y D
1
x
Dado que y1 D x2
y y2 D x3
forman un conjunto fundamental de soluciones para la EDO homogénea asociada:
x2
y 00
4xy 0
C 6y D 0
H Sea yp.x/ D u1.x/y1.x/ C u2.x/y2.x/ una solución particular.
Entonces:
yp.x/ D u1x2
C u2x3
) y 0
p D u0
1x2
C 2u1x C u0
2x3
C 3u2x2
Considerando que:
u0
1x2
C u0
2x3
D 0 (A)
Entonces:
y 0
p D 2u1x C 3u2x2
) y 00
p D 2u0
1x C 2u1 C 3u0
2x2
C 6u2x
Sustituyendo en
x2
y 00
p 4xy 0
p C 6yp D
1
x
Se obtiene:
x2
.2u0
1x C 2u1 C 3u0
2x2
C 6u2x/ 4x.2u1x C 3u2x2
/ C 6.u1x2
C u2x3
/ D
1
x
2x3
u0
1 C u1.2x2
8x2
C 6x2
/ C 3x4
u0
2 C u2.6x3
12x3
C 6x3
/ D
1
x
2x3
u0
1 C 3x4
u0
2 D
1
x
; dividiendo por x2
2xu0
1 C 3x2
u0
2 D
1
x3
(B)
Entonces u0
1 y u0
2 deben satisfacer el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B)
x2
u0
1 C x3
u0
2 D 0
2xu0
1 C 3x2
u0
2 D x 3
)
u1 C xu0
2 D 0
2u0
1 C 3xu0
2 D x 4

El determinante del sistema es
W D
1 x
2 3x
D 3x 2x D x ) W D x
La solución del sistema es
u0
1 D
0 x
x 4
3x
W
D
x 3
x
D x 4
) u0
1 D x 4
u0
2 D
1 0
2 x 4
W
D
x 4
x
D x 5
) u0
2 D x 5
De aquí que
u1 D x 4
dx D
x 3
3
C c1 D
1
3
x 3
C c1
u2 D x 5
dx D
x 4
4
C c2 D
1
4
x 4
C c2
Tomando u1 D
1
3
x 3
y u2 D
1
4
x 4
se tiene que, una solución particular es
yp D u1x2
C u2x3
D
1
3
x 3
x2 1
4
x 4
x3
D
1
3
x 1 1
4
x 1
yp.x/ D
1
12
x 1
D
1
12x
Entonces la solución general, de la edo. dada, es
y D yp.x/ C k1y1.x/ C k2y2.x/
y D
1
12
x 1
C k1x2
C k2x3
Ejemplo 4.7.2
x2
y 00
xy 0
C y D 4x ln x
Dado que y1 D x y y2 D x ln x forman un conjunto fundamental de soluciones para la EDO homogénea asociada:
x2
y 00
xy 0
C y D 0
H Sea yp.x/ D u1.x/y1.x/ C u2.x/y2.x/ una solución particular
Entonces:
yp D u1x C u2x ln x ) y 0
p D u0
1x C u1 C u0
2x ln x C u2.1 C ln x/
Considerando que
u0
1x C u0
2x ln x D 0 (C)
Entonces
y 0
p D u1 C u2.1 C ln x/ ) y 00
p D u0
1 C u0
2.1 C ln x/ C u2
1
x
Sustituyendo en
x2
y 00
p xy 0
p C yp D 4x ln x

Se obtiene
x2
u0
1 C u0
2.1 C ln x/ C u2
1
x
xŒu1 C u2.1 C ln x/ C u1x C u2x ln x D 4x ln x
x2
u0
1 C u0
2.x2
C x2
ln x/ C u2.x x x ln x C x ln x/ C u1. x C x/ D 4x ln x
x2
u0
1 C x2
.1 C ln x/u0
2 D 4x ln x
Dividiendo por x2
u0
C .1 C ln x/u0
2 D
4
x
ln x (D)
Entonces u0
1 y u0
2 deben satisfacer el sistema conformado por las ecuaciones (C) y (D).
xu0
1 C .x ln x/u0
2 D 0
u0
1 C .1 C ln x/u0
2 D 4x 1
ln x
)
u0
1 C .ln x/u0
2 D 0
u0
1 C .1 C ln x/u0
2 D 4x 1
ln x
W D
1 ln x
1 1 C ln x
D 1 C ln x ln x D 1 ) W D 1
u0
1 D
0 ln x
4x 1
ln x 1 C ln x
W
D 4x 1
.ln x/2
u0
2 D
1 0
1 4x 1
ln x
W
D 4x 1
ln x
De aquí que
u1 D 4 x 1
.ln x/2
dx D 4 .ln x/2 dx
x
D
4
3
.ln x/3
C c1
u2 D 4 x 1
ln x dx D 4 .ln x/
dx
x
D 2.ln x/2
C c2
Tomando u1 D
4
3
.ln x/3
y u2 D 2.ln x/2
se tiene que, una solución particular es
yp D u1x C u2x ln x D
4
3
.ln x/3
x C 2.ln x/2
x ln x
yp.x/ D
2
3
x.ln x/3
Entonces la solución general es
y D
2
3
x.ln x/3
C k1x C k2x ln x
Ejemplo 4.7.3
y 00
C y D sec2
x:

H Primero se obtiene un conjunto fundamental de soluciones para la EDO homogénea asociada
y 00
C y D 0
Luego se aplica el método de variación de parámetros para determinar una solución particular.
Resolvemos pues:
y 00
C y D 0
Proponiendo y D e x
se obtiene:
2
C 1 D 0 ) D ˙
p
1 D 0 ˙ 1i
Entonces:
y1 D e0x
sen1x D senx
y2 D e0x
cos 1x D cos x
Funciones que forman un conjunto fundamental de soluciones
Se propone como solución particular
yp D u1 sen x C u2 cos x ) y 0
p D u0
1 sen x C u1 cos x C u0
2 cos x u2 sen x
Considerando que:
u0
1 sen x C u0
2 cos x D 0 (E)
Entonces
y 0
p D u1 cos x u2 sen x ) y 00
p D u0
1 cos x u1 sen x u0
2 senx u2 cos x
Sustituyendo en
y 00
p C yp D sec2
x; se obtiene
.u0
1 cos x u1 sen x u0
2 senx u2 cos x/ C .u1 sen x C u2 cos x/ D sec2
x
u0
1 cos x u0
2 senx D sec2
x (F)
Entonces u0
1 y u0
2 deben satisfacer el sistema
u0
1 sen x C u0
2 cos x D 0
u0
1 cos x u0
2 sen x D sec2
x
W D
senx cos x
cos x sen x
D sen 2
x cos 2
x D 1 ) W D 1
u0
1 D
0 cos x
sec2
x sen x
W
D
sec2
x cos x
1
D secx
u0
2 D
senx 0
cos x sec2
x
W
D
senx sec2
x
1
D sen x sec2
x
De aquí que
u1 D secx dx D ln.sec x C tanx/ C c1
u2 D sen x sec2
x dx D .cos x/ 2
. sen x/ dx D
.cos x/ 1
1
C c2
u2 D sec x C c2

Tomando u1 D ln.sec x C tanx/ y u2 D sec x; se tiene que, una solución particular es
yp D u1 senx C u2 cos x
yp D .sen x/ ln.sen x C tanx/ .sec x/ cos x
yp D .sen x/ ln.sec x C tan x/ 1
Entonces la solución general es
y D .sen x/ ln.sec x C tanx/ 1 C k1 sen x C k2 cos x
Ejemplo 4.7.4
y 00
3y 0
C 2y D
e3x
1 C ex
:
H Primero se obtiene un conjunto fundamental de soluciones para la EDO homogénea asociada
y 00
3y 0
C 2y D 0
Luego se aplica variación de parámetros para determinar una solución particular.
Para resolver:
y 00
3y 0
C 2y D 0
Proponemos y D e x
y se obtiene:
2
3 C 2 D 0 ) 1 D 1; 2 D 2; entonces
y1 D ex
y2 D e2x
funciones que forman un conjunto fundamental de soluciones
Se propone como solución particular
yp D u1ex
C u2e2x
) y 0
p D u0
1ex
C u1ex
C u0
2e2x
C 2u2e2x
Considerando que
u0
1ex
C u0
2e2x
D 0 (G)
Entonces
y 0
p D u1ex
C 2u2e2x
) y 00
p D u0
1ex
C u1ex
C 2u0
2e2x
C 4u2e2x
Sustituyendo en
y 00
p 3y 0
p C 2yp D
e3x
1 C ex
; se obtiene
.u0
1ex
C u1ex
C 2u0
2e2x
C 4u2e2x
/ 3.u1ex
C 2u2e2x
/ C 2.u1ex
C u2e2x
/ D
e3x
1 C ex
u0
1ex
C u1ex
.1 3 C 2/ C 2u0
2e2x
C u2e2x
.4 6 C 2/ D
e3x
1 C ex
u0
1ex
C 2u0
2e2x
D
e3x
1 C ex
(H)
Entonces u0
1 y u0
2 deben satisfacer el sistema



ex
u0
1 C e2x
u0
2 D 0
ex
u0
1 C 2e2x
u0
2 D
e3x
1 C ex

W D
ex
e2x
ex
2e2x D 2e3x
e3x
D e3x
) W D e3x
u0
1 D
0 e2x
e3x
1 C ex
2e2x
W
D
e2x
e3x
e3x.1 C ex/
D
e2x
1 C ex
u0
2 D
ex
0
ex e3x
1 C ex
W
D
ex
e3x
e3x.1 C ex/
D
ex
1 C ex
De aquí que
u1 D
e2x
1 C ex
dx
Utilizando el cambio de variable t D 1 C ex
u1 D ln.1 C ex
/ .1 C ex
/ C c1
u2 D
ex
1 C ex
dx D ln.1 C ex
/ C c2
Tomando u1 D ln.1 C ex
/ .1 C ex
/ y u2 D ln.1 C ex
/
Se obtiene la solución particular
yp D u1ex
C u2ex
D Œln.1 C ex
/ .1 C ex
/ex
C Œln.1 C ex
/e2x
D ex
ln.1 C ex
/ C e2x
ln.1 C ex
/ ex
.1 C ex
/
D Œex
ln.1 C ex
/Œ1 C ex
ex
.1 C ex
/
yp.x/ D ex
.1 C ex
/Œln.1 C ex
/ 1
Por lo tanto, la solución general es
y D ex
.1 C ex
/Œln.1 C ex
/ 1 C k1ex
C k2e2x
:
Ejercicios 4.7.1
Utilizando variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solución general de la
ecuación diferencial dada. Considerar que las funciones y1 D y1.x/ & y2 D y2.x/ forman un conjunto
fundamental de soluciones para la ecuación homogénea asociada.
1. x2
y 00
6y 0
C 10y D 8x3
I y1 D x2
& y2 D x5
2. x2
y 00
xy 0
3y D 30
p
xI y1 D x3
& y2 D
1
x

3. x2
y 00
C xy 0
C 8y D
65
3
p
x
I y1 D x4
& y2 D x 2
4. x2
y 00
C 8xy 0
C 12y D
6
x2
I y1 D x 3
& y2 D x 4
5. x2
y 00
6xy 0
C 10y D 4x ln x 5xI y1 D x5
& y2 D x2
Utilizando variación de parámetros, determinar una solución particular y escribir la solución general
de la ecuación diferencial dada.
6. y 00
y D ex
7. y 00
y D e x
8. y 00
C y D sen x
9. y 00
C y D cos x
10. y 00
2y 0
C y D 6xex
11. y 00
C 2y 0
C y D 12xe x
12. y 00
C y D tanx
13. y 00
C 4y D 4 sec 2x
14. y 00
C 9y D 9 sec 3x tan3x
15. y 00
y D e 2x
sene x
16. y 00
C 4y D sen 2
2x
17. y 00
C 4y D cos 2
2x
18. y 00
2y 0
C y D
ex
x
19. y 00
C 2y 0
C y D
e x
x
20. y 00
C 3y0
C 2y D
1
1 C e2x
Respuestas a los ejercicios
1. yp.x/ D 4x3
I y D 4x3
C C1x2
C C2x5
2. yp.x/ D 8
p
xI y D 8
p
x C C1x3
C
C2
x
3. yp.x/ D
9
3
p
x
I y D
9
3
p
x
C C1x4
C
C2
x2
4. yp.x/ D
3
x2
I y D
3
x2
C
C1
x3
C
C2
x4
5. yp.x/ D x ln xI y D x ln x C C1x5
C C2x2
6. yp.x/ D
1
2
xex 1
4
ex
I y D
1
4
.2x 1/ex
C C1ex
C C2e x
7. yp.x/ D
1
4
e x 1
2
xe x
I y D
1
4
.1 2x/e x
C C1ex
C C2e x

8. yp.x/ D
1
2
.sen x x cos x/I y D
1
2
x cos x C C1 cos x C C2 sen x
9. yp.x/ D
1
2
.x sen x C cos x/I y D
1
2
x sen x C C1 cos x C C2 senx
10. yp.x/ D x3
ex
I y D .x3
C C2x C C1/ex
11. yp.x/ D x4
e x
I y D .x4
C C2x C C1/e x
12. yp.x/ D .cos x/ ln.sec x C tanx/I y D C1 cos x C C2 sen x .cos x/ ln.sec x C tanx/
13. yp.x/ D .cos 2x/ ln.cos 2x/ C 2x sen 2xI y D .C1 C ln cos 2x/ cos 2x C .C2 C 2x/ sen2x
14. yp.x/ D 3x cos 3x sen 3x .sen 3x/ ln.cos 3x/I y D 3x cos 3x .sen 3x/ ln.cos 3x/ C C1 sen 3x C
C2 cos 3x
15. yp.x/ D ex
cos e x
sen e x
I y D .ex
cos e x
C sene x
/ C C1ex
C C2e x
16. yp.x/ D
1
6
cos 2
2x C
1
12
sen 2
2xI y D
1
6
cos 2
2x C
1
12
sen 2
2x C C1 cos 2x C C2 sen2x
17. yp.x/ D
1
6
sen 2
2x C
1
12
cos 2
2xI y D
1
6
sen 2
2x C
1
12
cos 2
2x C C1 cos 2x C C2 sen2x
18. yp.x/ D xex
.ln x 1/I y D .C1 C C2x/ex
C xex
ln x
19. yp.x/ D xe x
.ln x 1/I y D .C1 C C2x/e x
C xe x
ln x
20. yp.x/ D e x
arctan ex 1
2
e 2x
ln.1 C e2x
/I y D e x
arctan ex 1
2
e 2x
ln.1 C e2x
/ C C1e 2x
C C2e x
4.7.1 Variación de parámetros para ecuaciones diferenciales de orden n
Descripción del método general
Una vez discutido el método de variación de parámetros para ecuaciones diferenciales de orden 2, en esta
sección extenderemos dicho método a ecuaciones diferenciales de orden n para n > 2. Así, consideraremos
el caso de la edo. lineal no homogénea:
y.n/
C an 1.x/y.n 1/
C C a0.x/y D g.x/ (1)
Asumimos que ya conocemos una base del espacio de soluciones de la ecuación homogénea asociada:
y.n/
C an 1.x/y.n 1/
C C a0.x/y D 0 (2)
De esta manera, suponemos conocido el conjunto fundamental de soluciones:
f 1.x/; 2.x/; ; n.x/g
a través del cual podemos formar la solución general de la ecuación .2/.
.x/ D c1 1.x/ C c2 2.x/ C C cn n.x/ (3)
En lo que sigue, supondremos también que las funciones an 1.x/; ; a0.x/ & g.x/ son continuas en el
intervalo .˛; ˇ/ donde el conjunto de funciones f 1.x/; 2.x/; ; n.x/g satisface:
W Œ 1.x/; 2.x/; ; n.x/ D
1.x/ 2.x/ n.x/
0
1.x/ 0
2.x/ 0
n.x/
:::
:::
:::
:::
.n 1/
1 .x/
.n 1/
2 .x/
.n 1/
n .x/
¤ 0, para todo x 2 .˛; ˇ/

Como hemos dicho, el método se apoya en la idea de que los parámetros c1; c2; ; cn de la ecuación .3/
pueden variar constituyéndose en un conjunto de funciones indeterminadas fu1.x/; u2.x/; ; un.x/g por
conocer, que permiten generar una solución particular
yp.x/ D u1.x/ 1.x/ C u2.x/ 2.x/ C C un.x/ n.x/ (4)
de la ecuación .1/. Como queremos determinar n funciones, es de esperarse que debemos imponer n condi-
ciones a las funciones uj .x/; j D 1; 2; : : :; n.
Es claro, que una de las condiciones debe ser sin lugar a dudas el cumplimiento de la ecuación .1/.
Respecto a las n 1 condiciones restantes, es un mérito del ingenio del descubridor de este método (el
matemático D’Alembert) haberse dado cuenta de la piedra angular del método. La idea central de la que
hablamos radica en no resolver para las funciones uj .x/ ecuaciones diferenciales que sean de orden
mayor que 1, es decir, buscaremos las restantes n 1 condiciones de manera que nunca tengamos que
considerar ninguna relación en la que intervenga alguna derivada u
.k/
j .x/ para k > 1.
Con esto en mente, a partir de (4) obtenemos:
y 0
p D u1
0
1 C u2
0
2 C C un
0
n C u0
1 1 C u0
2 2 C C u0
n n
(hemos omitido la dependencia funcional de x para simpliﬁcar la escritura)
Para tener la seguridad de que no aparezca ninguna u00
j .x/ requerimos que:
u0
1 1 C u0
2 2 C C u0
n n D 0 en el intervalo .˛; ˇ/ (5)
Entonces, tenemos ahora:
y 0
p D u1
0
1 C u2
0
2 C C un
0
n
Por lo tanto,
y 00
p D u1
00
1 C u2
00
2 C C un
00
n C u0
1
0
1 C u0
2
0
2 C C u0
n
0
n
Por la misma razón que expusimos anteriormente, ahora planteamos la condición:
u0
1
0
1 C u0
2
0
2 C C u0
n
0
n D 0 en el intervalo .˛; ˇ/ (6)
De donde se desprende que:
y 00
p D u1
00
1 C u2
00
2 C C un
00
n (7)
Si proseguimos de la misma manera, determinaremos que se deben cumplir las relaciones:
u0
1
.h/
1 C u0
2
.h/
2 C C u0
n
.h/
n D 0 en el intervalo .˛; ˇ/ para h D 0; 1; 2; : : :; n 2 (8)
y
y.k/
p D u1
.k/
1 C u2
.k/
2 C C un
.k/
n para k D 0; 1; 2; : : :; n 1 (9)
Finalmente, si para k D 0; 1; 2; : : :; n 1 sustituimos las relaciones .9/ en .1/, hallamos:
u1
.n/
1 C C un
.n/
n C u0
1
.n 1/
1 C C u0
n
.n 1/
n™y
.n/
p
Can 1 Œu1
.n 1/
1 C C un
.n 1/
n

y.n 1/
p
C C
C a0 Œu1 1 C C un n

yp
D g.x/ (10)
Ecuación última en la que hemos omitido la dependencia de "x“ en las funciones us y s para simpliﬁcar
nuestra escritura.
Si ahora reacomodamos la ecuación .10/ de la siguiente manera:
u1Œ .n/
1 C an 1
.n 1/
1 C C a0 1 C C unŒ .n/
n C an 1
.n 1/
n C C a0 n
u0
1
.n 1/
1 C C u0
n
.n 1/
n D g.x/ (11)

Observamos que como cada una de las funciones del conjunto f 1.x/; 2.x/; ; n.x/g satisface la ecuación
.2/, todos los términos en .11/ son iguales a cero con excepción del último; esto permite arribar a la con-
clusión de que:
u0
1
.n 1/
1 C C u0
n
.n 1/
n D g.x/ (12)
Al reunir todas las condiciones indicadas en .8/ junto con la .12/, concluimos que las funciones incógnitas
u0
1; : : : ; u0
n satisfacen las condiciones:



u0
1 1 C u0
2 2 C C u0
n n D 0
u0
1
0
1 C u0
2
0
2 C C u0
n
0
n D 0
:::
u0
1
.n 2/
1 C u0
2
.n 2/
2 C C u0
n
.n 2/
n D 0
u0
1
.n 1/
1 C u0
2
.n 1/
2 C C u0
n
.n 1/
n D g.x/
(13)
Ahora bien, como indicamos anteriormente:
W Œ 1.x/; 2.x/; ; n.x/ ¤ 0 , para todo x 2 .˛; ˇ/
Por lo tanto, considerando .13/ como un sistema de n ecuaciones con n incógnitas u0
1; : : : ; u0
n, podemos
utilizar la regla de Cramer para obtener la solución única para u0
1; : : : ; u0
n. Obtenemos:
u0
k D
Wk
W Œ 1.x/; 2.x/; ; n.x/
D
Wk
W
I k D 1; 2; : : :; n (14)
Donde Wk diﬁere de W Œ 1.x/; 2.x/; ; n.x/ D W en que tiene, como columna k-ésima, a la columna:





0
0
:::
g.x/





Las funciones W D W.x/ y Wk D Wk .x/ son continuas, así que las expresiones u0
k D
Wk
W
son integrables,
del cálculo de la integral se determinan las funciones incógnitas u1.x/; : : : ; un.x/.
1. Dado que las n constantes arbitrarias requeridas para la solución general de la ecuación .1/ están con-
tenidas en la solución general de la ecuación homogénea asociada, no será necesario sumar constante
alguna en ninguna de las n integrales de las expresiones .14/.
2. Si en lugar de la ecuación diferencial .1/, tuviéramos:
an.x/y.n/
C an 1.x/y.n 1/
C C a0.x/y D g.x/
(es decir, si an.x/ no es idénticamente igual a 1)
Entonces hay que poner
g.x/
an.x/
en lugar de g.x/.
4.7.2 Ejemplos sobre variación de parámetros
Ejemplo 4.7.5 Resolver la ecuación y.3/
C 4y 0
D cot.2x/.
H Primero hacemos dos observaciones:
1. Esta ecuación diferencial no puede ser resuelta por medio del método de coeﬁcientes indeterminados
(dada la presencia de la función cotangente).

2. El coeﬁciente de la mayor derivada de la ecuación es igual a 1.
Para la solución, determinamos en primer lugar la ecuación característica correspondiente a la ecuación
diferencial homogénea asociada, ésta es:
r3
C 4r D r.r2
C 4/ D 0
Las raíces de esta ecuación algebraica son: r1 D 0I r2;3 D ˙2i. Por lo tanto, el conjunto fundamental de
soluciones está integrado por las funciones:
1 D 1I 2 D cos.2x/I 3 D sen.2x/
El Wronskiano W D W. 1; 2; 3/ es:
W D W. 1; 2; 3/ D
1 cos.2x/ sen.2x/
0 2 sen.2x/ 2 cos.2x/
0 4 cos.2x/ 4 sen.2x/
D 8 sen 2
.2x/ C 8 cos 2
.2x/ D
D 8.sen 2
.2x/ C cos 2
.2x// D 8
De acuerdo a lo discutido en el procedimiento general, requerimos hallar W1; W2 y W3. Tenemos:
W1 D
0 cos.2x/ sen.2x/
0 2 sen.2x/ 2 cos.2x/
cot.2x/ 4 cos.2x/ 4 sen.2x/
D cot.2x/Œ2 cos 2
.2x/ C 2 sen2
.2x/ D 2 cot.2x/
W2 D
1 0 sen.2x/
0 0 2 cos.2x/
0 cot.2x/ 4 sen.2x/
D cot.2x/Œ2 cos.2x/ D 2 cot.2x/ cos.2x/
y
W3 D
1 cos.2x/ 0
0 2 sen.2x/ 0
0 4 cos.2x/ cot.2x/
D 2 sen.2x/ cot.2x/ D 2 cos.2x/
De esta manera, obtenemos para u1; u2 y u3 las siguientes expresiones:
Para u1:
u1 D
W1
W
dx D
2 cot.2x/
8
dx D
1
4
1
2
ln j sen.2x/ j D
1
8
ln jsen.2x/ j
Para u2:
u2 D
W2
W
dx D
2 cot.2x/ cos.2x/
8
dx D
D
1
4
cos 2
.2x/
sen.2x/
dx D
1
4
1 sen 2
.2x/
sen.2x/
dx D
D
1
4
csc.2x/dx sen.2x/dx D
D
1
4
1
2
ln j csc.2x/ cot.2x/ j C
1
2
cos.2x/ D
D
1
8
ln j csc.2x/ cot.2x/ j
1
8
cos.2x/
Finalmente para u3:
u3 D
W3
W
dx D
2 cos.2x/
8
dx D
1
4
1
2
sen.2x/ D
1
8
sen.2x/

Estamos ahora listos para dar la solución general la cual, como sabemos, está formada con la suma de la
solución general de la ecuación homogénea asociada y la particular que formaremos a través del método
de variación de parámetros . De esta manera la solución general es:
y D k1 1 C k2 2 C k3 3 C u1 1 C u2 2 C u3 3
D k1 C k2 cos.2x/ C k3 sen.2x/C
C
1
8
ln jsen.2x/ j
1
8
ln j csc.2x/ cot.2x/ j cos.2x/
1
8
cos 2
.2x/
1
8
sen 2
.2x/

D 1
8
D k1 C k2 cos.2x/ C k3 sen.2x/ C
1
8
ln jsen.2x/ j
1
8
ln jcsc.2x/ cot.2x/ j cos.2x/
Donde, por abuso de lenguaje, hemos identificado la constante k1
1
8
con la constante k1.
El ejemplo anterior mostró cómo generar una solución particular y la consecuente solución general de la
ecuación diferencial (por el método de variación de parámetros) si tan sólo se conoce el conjunto funda-
mental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada. Hay que decir que tuvimos a nuestro
favor el hecho de que la ecuación homogénea era de coeficientes constantes, característica que facilitó la
determinación del conjunto fundamental.
Si los coeficientes no son constantes, la tarea puede resultar mucho más compleja con excepción de algunos
casos particulares tal y como se muestra en lo que sigue.
Consideremos la ecuación de Cauchy-Euler cuya forma general es la siguiente:
anxn dn
y
dxn
C an 1xn 1 dn 1
y
dxn 1
C C a1x
dy
dx
C a0y D g.x/I donde a0; a1; : : : ; an son constantes.
Este tipo de ecuaciones pueden reducirse a coeficientes constantes si se realiza el siguiente cambio de va-
riable:
x D et
Ilustraremos la técnica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.7.6 Resolver la ecuación x3
y.3/
C 3x2
y 00
3xy 0
D x ln.x/.
H Primero hacemos el cambio de variable x D et
. Entonces, por la regla de la cadena:
y 0
D
dy
dx
D
dy
dt
dx
dt
D
dy
dt
d
dt
.et /
D
dy
dt
et
D e t dy
dt
La segunda derivada, un poco más compleja, termina con una expresión sumamente cómoda:
y 00
D
d2
y
dx2
D
dy 0
dx
D
dy 0
dt
dx
dt
D
d
dt
e t dy
dt
d
dt
.et /
D
D
e t d2
y
dt2
e t dy
dt
et
D e 2t d2
y
dt2
dy
dt
:

Para la tercera derivada encontramos que:
y 000
D
d3
y
dx3
D
dy 00
dx
D
dy 00
dt
dx
dt
D
d
dt
e 2t d2
y
dt2
dy
dt
d
dt
.et /
D
D
e 2t d3
y
dt3
d2
y
dt2
2e 2t d2
y
dt2
dy
dt
et
D e 3t d3
y
dt3
3
d2
y
dt2
C 2
dy
dt
:
Cabe decir que las expresiones anteriores son completamente generales. Si sustituimos todo lo anterior en
la ecuación x3
y.3/
C 3x2
y 00
3xy 0
D x ln.x/, hallamos:
e3t
e 3t d3
y
dt3
3
d2
y
dt2
C 2
dy
dt
C 3e2t
e 2t d2
y
dt2
dy
dt
3et
e t dy
dt
D et
ln.et
/:
Que al simpliﬁcarse produce:
d3
y
dt3
3
d2
y
dt2
C 2
dy
dt
C 3
d2
y
dt2
3
dy
dt
3
dy
dt
D tet
;
o bien
d3
y
dt3
4
dy
dt
D tet
:
Una ecuación diferencial con coeﬁcientes constantes a la cual le podemos aplicar un procedimiento cono-
cido. De esta manera, encontramos las raíces de la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial
homogénea, ésta es:
r3
4r D r.r2
4/ D r.r 2/.r C 2/ D 0
Deducimos que el conjunto fundamental de soluciones está integrado por las funciones:
1 D 1I 2 D e2t
I 3 D e 2t
Ahora consideramos el Wronskiano correspondiente, obtenemos:
W D W. 1; 2; 3/ D
1 e2t
e 2t
0 2e2t
2e 2t
0 4e2t
4e 2t
D 8 C 8 D 16
W2 D
1 0 e 2t
0 0 2e 2t
0 tet
4e 2t
D 2te t
W1 D
0 e2t
e 2t
0 2e2t
2e 2t
tet
4e2t
4e 2t
D tet
Œ 2 2 D 4tet
W3 D
1 e2t
0
0 2e2t
0
0 4e2t
tet
D 2te3t
Por último, para hallar las funciones incógnitas u1; u2 y u3 sólo requerimos integrar, de esta manera:
u1 D
W1
W
dt D
4tet
16
dt D
1
4
tet
dt D
1
4
et
.t 1/
u2 D
W2
W
dt D
2te t
16
dt D
1
8
te t
dt D
1
8
e t
.t C 1/
u3 D
W3
W
dt D
2te3t
16
dt D
1
8
te3t
dt D
1
72
e3t
.3t 1/

En conclusión, obtenemos:
y D k1 1 C k2 2 C k3 3 C u1 1 C u2 2 C u3 3
D k1 C k2e2t
C k3e 2t 1
4
et
.t 1/
1
8
e t
.t C 1/e2t
C
1
72
e3t
.3t 1/e 2t
D k1 C k2e2t
C k3e 2t
C et 1
4
t C
1
4
1
8
t
1
8
C
1
24
t
1
72
D k1 C k2e2t
C k3e 2t
C
1
9
et
.1 3t/
Sin embargo en la ecuación inicial, x es la variable independiente, no t.
De x D et
, hallamos que t D ln.x/, por lo tanto, sustituyendo en el resultado anterior, encontramos:
y D k1 C k2x2
C k3x 2
C
1
9
x.1 3 ln.x//
Ejemplo 4.7.7 Resolver el siguiente problema de valores iniciales
x2
y.3/
xy 00
C y 0
D
ln.x/
x
I y.1/ D 0; y 0
.1/ D 1; y 00
.1/ D 1
H Primero multiplicamos la ecuación por x a fin de llevarla a una ecuación tipo Cauchy-Euler, obtenemos:
x3
y.3/
x2
y 00
C xy 0
D ln.x/
Si hacemos ahora el cambio de variable x D et
e incorporamos los resultados .15/ .17/ del ejemplo 4:5:2,
encontramos:
e3t
e 3t d3
y
dt3
3
d2
y
dt2
C 2
dy
dt
e2t
e 2t d2
y
dt2
dy
dt
C et
e t dy
dt
D t
Al simplificar, hallamos:
d3
y
dt3
3
d2
y
dt2
C 2
dy
dt
d2
y
dt2
C
dy
dt
C
dy
dt
D t
ó
d3
y
dt3
4
d2
y
dt2
C 4
dy
dt
D t
Una ecuación diferencial con coeficientes constantes. La ecuación característica correspondiente a la ecuación
diferencial homogénea asociada es:
r3
4r2
C 4r D r.r2
4r C 4/ D r.r 2/2
D 0
Por lo tanto las raíces de la ecuación son r1 D 0 y r2 D r3 D 2. En consecuencia, las funciones que integran
el conjunto fundamental de soluciones son:
1 D 1; 2 D e2t
; 3 D te2t
Con ellas podemos calcular el Wronskiano W D W. 1; 2; 3/, éste es:
W D W. 1; 2; 3/ D
1 e2t
te2t
0 2e2t
.2t C 1/e2t
0 4e2t
.4t C 4/e2t
D .8t C 8/e4t
.8t C 4/e4t
D 4e4t

De manera similar:
W1 D
0 e2t
te2t
0 2e2t
.2t C 1/e2t
t 4e2t
.4t C 4/e2t
D tŒ.2t C 1/e4t
2te4t
D te4t
W2 D
1 0 te2t
0 0 .2t C 1/e2t
0 t .4t C 4/e2t
D t.2t C 1/e2t
D . 2t2
t/e2t
W3 D
1 e2t
0
0 2e2t
0
0 4e2t
t
D 2te2t
Así, por el método de variación de parámetros, las funciones incógnitas u1; u2 y u3 son:
u1 D
W1
W
dt D
te4t
4e4t
dt D
1
4
t2
2
D
1
8
t2
u2 D
W2
W
dt D
. 2t2
t/e2t
4e4t
dt D
1
4
.2t2
C t/e 2t
dt
Si en la última integral aplicamos integración por partes, hallamos que:
u2 D
1
16
e 2t
.3 C 6t C 4t2
/
También ( integrando por partes):
u3 D
W3
W
dt D
2te2t
4e4t
dt D
1
2
te 2t
dt D
1
8
e 2t
.2t C 1/
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
y D k1 C k2e2t
C k3te2t
C
1
8
t2
C
1
16
e 2t
.3 C 6t C 4t2
/e2t 1
8
e 2t
.2t C 1/te2t
D k1 C k2e2t
C k3te2t
C
1
8
t2
C
3
16
C
3
8
t C
1
4
t2 1
4
t2 1
8
t
D k1 C k2e2t
C k3te2t
C
1
8
t2
C
1
4
t
Donde hemos identiﬁcado (por abuso de lenguaje) k1 C
3
16
con k1. De x D et
, obtenemos t D ln.x/, por lo
tanto, la solución general de la ecuación en la variable “x" es:
y D k1 C k2x2
C k3x2
ln.x/ C
1
8
ln 2
.x/ C
1
4
ln.x/
De las condiciones iniciales obtenemos:
y.1/ D 0 W k1 C k2 D 0
Para aplicar la segunda condición requerimos la primera derivada, ésta es:
y 0
D 2k2x C k3Œx C 2x ln.x/ C
1
4
ln.x/
x
C
1
4x
Por lo tanto, y 0
.1/ D 1 produce:
1 D 2k2 C k3 C
1
4
ó 2k2 C k3 D
3
4

Finalmente, para usar la tercera condición requerimos la segunda derivada, al calcularla encontramos:
y 00
D 2k2 C k3Œ3 C 2 ln.x/ C
1
4
1 ln.x/
x2
1
4x2
De donde, de la condición y 00
.1/ D 1, hallamos:
1 D 2k2 C 3k3 C
1
4
1
4
ó 1 D 2k2 C 3k3
Al resolver el sistema: 


k1 C k2 D 0
2k2 C k3 D
3
4
2k2 C 3k3 D 1
Se determina fácilmente que k1 D
13
16
; k2 D
13
16
y k3 D
7
8
. Al sustituir estos valores en la solución
general, hallamos la siguiente solución particular:
y D
13
16
C
13
16
x2 7
8
x2
ln.x/ C
1
8
ln 2
.x/ C
1
4
ln.x/
D
1
16
Œ 13 C 13x2
14x2
ln.x/ C 2 ln 2
.x/ C 4 ln.x/
Ejercicios 4.7.2
Utilice el método de variación de parámetros para proporcionar la solución de cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales. Si se indica, utilice la información proporcionada.
1. y.3/
y 00
D 12x2
C 6x
2. y.4/
C y 00
D x2
C x
3. y.3/
C 3y00
C 3y0
C y D e x
4. y.3/
2y 00
y 0
C 2y D
2x3
C x2
4x 6
x4
5. y 000
D 2y 00
C 1
6. y.4/
C 16y 00
D 64 cos.4x/
7. y.3/
4y 00
C 4y 0
D 12e2x
C 24x2
8. y.4/
2y 00
C y D 100 cos.3x/
9. y.3/
6y 00
C 11y0
6y D ex
10. y.3/
D
24.x C y/
x3
11. x3
y.3/
x2
y 00
C 2xy 0
2y D x3
12. x3
y.3/
C 5x2
y 00
C 2xy 0
2y D x4
13. x3
y.3/
4x2
y 00
C 8xy 0
8y D 4 ln.x/
14. x3
y.3/
C x2
y 00
6xy 0
C 6y D 30x

15. xy.3/
C 2xy 00
xy 0
2xy D 1, si el conjunto fundamental de soluciones está integrado por: 1 D
ex
; 2 D e x
; 3 D e 2x
16. x2
y.3/
2xy 0
D 5 ln.x/, si el conjunto fundamental de soluciones está integrado por: 1 D 1; 2 D
ln.x/; 3 D x3
17. y.3/
y 0
D 2xI y.0/ D 0; y 0
.0/ D 1; y 00
.0/ D 2
18. y.4/
y D 8ex
I y.0/ D 1; y 0
.0/ D 0; y 00
.0/ D 1; y 000
.0/ D 0
19. y.3/
C 3y00
C 3y0
C y D 12e x
I y.0/ D 1; y 0
.0/ D 0; y 00
.0/ D 3
20. y.4/
y D cos.x/I y.0/ D 1; y 0
.0/ D 1; y 00
.0/ D y 000
.0/ D 0
Respuestas a los ejercicios 4:5:1
1. y D k1 C k2x C k3ex
x4
5x3
15x2
2. y D k1 C k2x C k3 cos.x/ C k4 sen.x/ C
x4
12
C
x3
6
x2
3. y D k1e x
C k2xe x
C k3x2
e x
C
1
6
x3
e x
4. y D k1ex
C k2e x
C k3e2x
C
1
x
5. y D k1e2x
C k2x C k3
1
4
x
6. y D k1x C k2 C k3 cos.4x/ C k4 sen.4x/ C
1
2
x sen.4x/
7. y D k1e2x
C k2xe2x
C k3 C 3x2
e2x
C 2x3
C 6x2
C 9x
8. y D k1ex
C k2xex
C k3e x
C k4xe x
C cos.3x/
9. y D k1ex
C k2e2x
C k3e3x
C
1
2
xex
10. y D k1x4
C x
1
2 k2 cos
p
23
2
ln.x/ C k3 sen
p
23
2
ln.x/ x
11. y D k1x C k2x ln.x/ C k3x2
C
x3
4
12. y D k1x C k2x 1
C k3x 3
C
x4
90
13. y D k1x C k2x2
C k3x4 1
2
ln.x/
7
8
14. y D k1x C k2x3
C k3x 2 5
6
x 5x ln.x/
15. y D k1ex
C k2e x
C k3e 2x
C
ex
6
e x
x
dx
e x
2
ex
x
dx C
e 2x
3
e2x
x
dx
16. y D k1 C k2 ln.x/ C k3x3 5
2
x ln.x/ C
15
4
x
17. y D
ex
e x
2
C x2
D sinh.x/ C x2

18. y D cos.x/ C 2 sen.x/ C e x
3ex
C 2xex
19. y D e x
.1 C x x2
C 2x3
/
20. y D
1
4
cos.x/
1
2
sen.x/ C
1
8
ex
C
5
8
e x 1
4
x sen.x/

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