Indeterminadas
- 1. Formas indeterminadas José A. Mijares CI: V-10.520.900 Sección 1
- 2. Forma Indeterminada. Concepto. Se define como forma indeterminada a la expresión algebraica, que involucra límites del tipo: Estas aparecen cuando se trata de hallar limites mediantes operaciones usuales (suma, resta, producto, cociente, y/o potencia. Refiere George B Thomas, (Calculo de una variable 12 va. Edición, Pag. 396) Johann Bernoulli, destacado matemático suizo (1667-1748), descubre una regla para hallar los límites cuando los denominadores y numeradores tiende a “0” o a +∞. Esa regla recibe el nombre de Regla de L´Hôpital, en honor al noble Francés Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital, su mentor, con quien tenía una extraña negociación donde todos sus descubrimientos eran atribuidos a este último. La regla de L´Hôpital, es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy, que a su vez es una generalización del teorema del valor medio propuesta por Lagrange. Es a partir del Teorema de valor medio de Cauchy, que se puede demostrar la regla de L´Hôpital y se dá solo en los casos más arriba indicado, en indeterminaciones del tipo 0/0 o + ∞/∞. Más abajo podemos observar una tabla con las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de L´Hôpital
- 3. Regla de L’Hôpital. Consiste en el principio que el comportamiento de del cociente f´/ g ´ entre las derivadas de dos funciones implica el mismo comportamiento para para el cociente f/g entre las dos funciones. Teorema: Si f(x) y g(x) son funciones continuas en un entorno de a, es decir, en un intervalo alrededor del punto, salvo quizás en el punto a, y con derivadas continuas en dicho entorno, siendo g´(x) ≠ 0 cerca de a, = = 0 y existe el entonces el limite = Indeterminación Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos. Ejemplo. Determinemos Al sustituir, resulta = 0; y = 0 lo que genera una indeterminación del tipo Sin embargo, como ; si x ¹ 3, resulta que la función coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3. Como interesa analizar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), es posible determinar el comportamiento de analizando el de la función (x + 3). Por lo tanto puede decirse que = = 6 Indeterminación ∞ / ∞. Se aplica la regla de L’Hôpital, como se aplica a la forma indeterminada 0 / 0. Si f(x)→±∞ y g(x)→± ∞, cuando x → a, entonces: =