Inv. op (inventario)

EQUIPO INVESTIGADOR
Camauta, Luis
C.I: 25.268.562
Ramos, Ivan
C.I: 21.178.630
Zapata, Leidimar
C.I: 25.321.820
Profesor:
Ing. Carlena Astudillo
El Tigre, Septiembre de 2018

INTRODUCCIÓN
El costo de mantener un cierto número de unidades en inventario puede
ser importante para una empresa. El objetivo de la Teoría de Inventarios es
establecer técnicas para minimizar los costos asociados a un esquema de
inventario para satisfacer una demanda.
En la presente investigación tiene como objetivo definir cada uno de los
conceptos que integran la investigación de operaciones en cuanto a la teoría
EOQ, EOQ con descuentos, POQ, Demanda estocástica, CPM, PERT,
Crashing, Cadenas de Markov en tiempo discreto, Clasificación de estados
en una Cadena de Markov, Distribución Estacionaria de una Cadena de
Markov, toma de decisiones bajo Condiciones de Certeza, Condiciones de
Incertidumbre y condiciones de riesgo; para finalizar con las conclusiones y
referencias bibliográficas.

FASE I
INVENTARIOS
 EOQ (Economic Order Quantity)
Es un método que, tomando en cuenta la demanda determinista de un
producto (es decir, una demanda conocida y constante), el costo de
mantener el inventario, y el costo de solicitar un pedido, produce como salida
la cantidad óptima de unidades a pedir para minimizar costos por
mantenimiento del producto. El principio del EOQ es simple, y se basa en
encontrar el punto en el que los costos por pedir un producto y los costos por
mantenerlo en inventario son iguales.
Este modelo fue desarrollado en 1913 por Ford Whitman Harris, un
ingeniero que trabajaba en Westinghouse Corporation, aunque el artículo
original en el que se presentaba el modelo fue incorrectamente citado
durante muchos años. Posteriormente la publicación de Harris fue analizada
a profundidad y aplicada extensivamente por el consultor R.H. Wilson, quien
publicó un artículo en 1934 que popularizó el modelo. Por esta razón, este
también suele ser conocido como el Modelo de Wilson.
El modelo EOQ parte de los siguientes supuestos básicos:
1. La demanda es conocida, constante e independiente. En general se
trabaja con unidades de tiempo anuales pero el modelo puede
aplicarse a otras unidades de tiempo.

2. El tiempo de espera, tiempo de carga o tiempo de reabastecimiento,
del proveedor, o de alistamiento es constante y conocido.
3. El inventario se reabastece instantáneamente cuando llega a cero,
con la llegada del lote pedido.
4. No existen descuentos por volumen de pedido.
5. Los costes totales son la suma de los costes de adquisición
(independientes de la cantidad pedida en virtud del supuesto anterior,
y, por tanto, irrelevantes para su cálculo), los costes de mantener el
inventario (proporcionales al volumen/importe del inventario) y los
costes de pedido (fijos por orden); su formulación es constante y
conocida a lo largo del período considerado.
Como consecuencia de estos supuestos:
 No habrá escasez de existencias.
 La cantidad óptima a pedir será constante.
El modelo de cantidad económica de pedido es ampliamente utilizado
como herramienta de gestión de inventarios en multitud de empresas a nivel
mundial. Esta herramienta abre la ventana a la optimización de la cantidad
por orden minimizando los costes.
El modelo de cantidad económica de pedido se caracteriza por su
sencillez a la hora de calcular la cantidad por orden o pedido. Así mismo, los
supuestos que introduce este modelo facilitan su aplicación pues se asume
la existencia de variables constantes como la demanda (tanto la demanda
anual es constante, como la demanda durante el "lead time").

A pesar de ello, es robusto9a la hora de calcular la cantidad óptima por
orden minimizando los costes, pues aunque se produzcan cambios más o
menos significativos en las variables que se asumían constantes (v.gr:
demanda), el aumento de los costes totales respecto a su punto mínimo es
relativamente moderado.
Por otro lado, la sencillez a la hora de calcular y comprender el modelo de
cantidad económica de pedido, que viene dada por los supuestos que utiliza,
también tendrá algunos inconvenientes. Así, el hecho de que la demanda
sea constante se aleja de la realidad, donde se encontrarán demandas
estacionales, demandas irregulares (v.gr: compradores puntuales de grandes
volúmenes), etc.
De hecho, la demanda será uno de los elementos más inestables a los
que se enfrentará la empresa a la hora de planificar su producción. En
algunos casos, esta incertidumbre a la hora de predecir la demanda
provocará la utilización de métodos probabilísticos para facilitar el cálculo de
la cantidad óptima por pedido. Así mismo, este método considera que el nivel
de inventario se reabastece instantáneamente, fenómeno que en la práctica
no va a ocurrir en la mayoría de los casos y que llevará a la utilización del
Lote Económico de Producción. Finalmente, se ignoran los descuentos por
grandes volúmenes que en la práctica van a ser un elemento a considerar a
la hora de establecer la cantidad por perdido.
 EOQ CON DESCUENTOS
es una extensión del modelo básico de EOQ revisado en la sección
anterior y mantiene sus supuestos. Se asume que el costo de adquisición (C)
disminuye en la medida que aumenta el tamaño de lote. Adicionalmente se

considera que el costo de almacenar una unidad en inventario es un
porcentaje (I) del costo de adquisición. Por tanto la fórmula a utilizar es:
𝑄 =
√2𝐷𝑆
𝐼 ∗ 𝐶
Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un
incentivo a pedir lotes de un mayor tamaño, sin embargo, esto a la vez
incrementa el costo de mantener unidades en inventario.
Por tanto se busca determinar la cantidad óptima a pedir para cada nivel o
quiebre de precios, analizar si dicho tamaño de pedido es factible, ajustar el
tamaño de lote si es necesario y finalmente comparar las distintas
alternativas para ver cuál de ellas provee el menor Costo Total el cual está
definido por la siguiente expresión:
𝐶( 𝑄) = 𝐷 ∗ 𝐶 +
𝑆 ∗ 𝐷
𝑄
+
𝑄 ∗ 𝐼 ∗ 𝐶
2
 POQ (Cantidad económica de pedido en producción)
El modelo de Cantidad económica de pedido en producción (POQ)
considera supuestos similares al Modelo de Cantidad Económica de Pedido
(EOQ), sin embargo, asume que el reabastecimiento y consumo se realiza de
forma simultanea durante un período de tiempo determinado luego del cual
sólo se consume (demanda) a una tasa fija.
Dicha característica del modelo de lote económico con producción y
consumo simultáneo determina que su rango de aplicabilidad esta

principalmente asociado a sistemas con autoabastecimiento, es decir, donde
una parte del sistema productivo abastece en sus requerimientos a otra.
Los principales supuestos del modelo son:
 La recepción del inventario es constante durante un periodo de
tiempo.
 La producción y demanda es conocida y constante.
 El tiempo de entrega (lead time) se conoce y es constante.
 No existen descuentos por cantidad, sin embargo, dicha condición es
factible de flexibilizar al igual que el Modelo de Cantidad Económica
de Pedidos (EOQ) con descuentos por cantidad.
 Los dos únicos costos relevantes son el costo de mantener el
inventario y el costo de hacer un pedido.
 La falta de existencias (escasez) se evita si la orden se coloca en el
momento adecuado.
Una representación gráfica de la evolución del inventario en función del
tiempo para este modelo se presenta a continuación:

Donde d: demanda diaria y f: producción diaria. Luego esta implícito que
f>d. Adicionalmente si buscamos el mínimo de la función de costos totales en
términos del tamaño del lote de producción se obtiene la siguiente solución
para el modelo:
 DEMANDA ESTOCÁSTICA.
es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias
que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables
aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable,
generalmente el tiempo.1 Cada una de las variables aleatorias del proceso
tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar
correlacionadas entre sí.
Una de las variaciones de los modelos de control de inventarios con
demanda determinística más ajustados a la realidad es aquella en la cual se
elimina el supuesto de que la demanda es constante a lo largo del horizonte
de planeación, es decir, que la demanda puede variar con el tiempo.

FASE II
CPM/PERT
 CPM (CRITICAL PATH METHOD)
El método CPM o Ruta Crítica (equivalente a la sigla en inglés Critical
Path Method) es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de
proyectos. El objetivo principal es determinar la duración de un proyecto,
entendiendo éste como una secuencia de actividades relacionadas entre sí,
donde cada una de las actividades tiene una duración estimada.
En este sentido el principal supuesto de CPM es que las actividades y sus
tiempos de duración son conocidos, es decir, no existe incertidumbre. Este
supuesto simplificador hace que esta metodología sea fácil de utilizar y en la
medida que se quiera ver el impacto de la incertidumbre en la duración de un
proyecto, se puede utilizar un método complementario como lo es PERT.
Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto.
En este sentido, la longitud de la ruta crítica es igual a la trayectoria más
grande del proyecto. Cabe destacar que la duración de un proyecto es igual
a la ruta crítica.
Etapas de CPM
Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita seguir los
siguientes pasos:
1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.
2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe
comenzar antes y cuál debe seguir después.

3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a
sus relaciones de precedencia.
4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad.
5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que
determinará la duración del proyecto (Ruta Crítica).
6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el
proyecto.
Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad,
frecuentemente se utiliza la siguiente notación:
Dónde:
IC: Inicio más cercano, es decir, lo más pronto que puede comenzar la
actividad.
TC: Término más cercano, es decir, lo más pronto que puede terminar la
actividad.
IL: Inicio más lejano, es decir, lo más tarde que puede comenzar la actividad
sin retrasar el término del proyecto.
TL: Término más lejano, es decir, lo más tarde que puede terminar la
actividad sin retrasar el término del proyecto.
Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que
consiste en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una

actividad sin que esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una
actividad se puede obtener con la siguiente fórmula:
Holgura = IL - IC = TL - TC
 PERT (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE)
El método PERT (Program Evaluation and Review Technique) es una
metodología que a diferencia de CPM permite manejar la incertidumbre en el
tiempo de término de las actividades.
En este sentido el tiempo de ejecución de las actividades es obtenenido a
través de la estimación de 3 escenarios posibles:
 Optimista (a)
 Normal (m)
 Pesimista (b).
El tiempo (aleatorio) que requiere cada actividad está asociado a una
función probabilística beta, que ha demostrado ser la que mejor modela la
distribución del tiempo de duración de una actividad. A continuación se
presenta un gráfico que muestra la función de densidad de probabilidad para
la función beta, la cual tiene una asimetría positiva.

Luego, el tiempo esperado (te) y la varianza asociada a cada actividad se
obtienen a través de las siguientes fórmulas:
 CRASHING.
Es una técnica utilizada en la gestión de proyectos con el objetivo de
acortar la duración de un proyecto. Este objetivo se logra mediante la
asignación de un mayor número de recursos a las actividades (dinero,
trabajadores, máquinas, etc.) de modo de disminuir la duración de las
actividades. Por tanto, el concepto crashing involucra un análisis costo
beneficio, en el sentido de que un menor tiempo en el proyecto tiene
asociado mayores costos para la empresa.

Para poder realizar este análisis se requiere conocer: estimaciones de
tiempo (duración normal y duración crash) y estimaciones de costo (costo
normal y costo crash).
En principio, tiene sentido reducir el tiempo de aquellas actividades que
son críticas (holgura igual a cero) debido a que si reducimos el tiempo de una
actividad no crítica no reduciremos el tiempo para completar el proyecto. Sin
embargo, se debe tener especial cuidado dado que en la medida que
reducimos el tiempo en las actividades críticas, algunas actividades que
inicialmente no eran críticas pueden pasar ahora a ser críticas.

FASE III
CADENAS DE MARKOV
En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o
modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el
que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento
inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el
nombre de propiedad de Markov.
Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que
lo introdujo en 1907. Estos modelos estadísticos cuentan con un gran
número de aplicaciones reales.
Se define como un proceso estocástico discreto que cumple con
la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta
su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante
para describir en probabilidad su estado futuro.
 CADENAS DE MARKOV EN TIEMPO DISCRETO
Es un proceso estocástico en tiempo discreto con espacio de estados
discreto. Un proceso estocástico {Xn, n = 0, 1, 2,…} es una Cadena de
Markov en Tiempo Discreto (CMTD) si para cada n y xj, j=0,…, n+1, se
verifica

La probabilidad de transición en un paso del estado xn al xn+1 en el
instante n+1 es:
Sin pérdida de generalidad y para simplificar la notación, escribiremos la
probabilidad de transición en un paso del estado i al estado j en el instante
n+1 como
La CMTD se denomina homogénea si pij(n) no depende de n, es decir,
En tales casos escribiremos pij en lugar de pij(n).
La matriz formada por las probabilidades de transición en un paso se
denomina matriz de transición o matriz de probabilidades de transición y
toma la forma
P es una matriz cuadrada no negativa cuyas filas suman la unidad, es
decir, 0 ≤ pij ≤ 1 y Σj pij = 1 para cada i � S. Por lo tanto, P es una matriz
estocástica.

Gráficamente, una CMTD con espacio de estados finito se puede
representar mediante un diagrama de transición, es decir, mediante un grafo
dirigido finito, donde cada nodo representa un estado de la cadena, los arcos
representan las posibles transiciones entre estados y sobre los arcos se
indican las probabilidades de transición entre los estados representados por
los nodos unidos por cada arco.
 CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV
Un estado j se dice accesible desde el estado i si y sólo si para algún n:
Lo anterior implica que existe una probabilidad no nula que comenzando
en el estado i se puede llegar al estado j al cabo de n etapas. En nuestro
ejemplo el estado 2 es accesible desde el estado 0 (dado que desde 0 se
puede acceder a 1 y desde 1 se puede acceder a 2). Es trivial demostrar en
este contexto que el estado 2 es accesible desde 1 (como también 1 lo es
desde 2).
Adicionalmente si tanto el estado i es accesible desde j como viceversa
decimos que los estados i y j se comunican. Notar que 1 es accesible desde
0 (como 0 también es accesible desde 1) por tanto 0 y 1 se comunican.
También es posible demostrar que 1 y 2 se comunican. Luego
por transitividad el estado 0 y 2 se comunican. Lo anterior deja en evidencia
que en el ejemplo todos los estados se comunican entre sí, por lo cual
pertenecen a la misma clase de estados.

Una cadena es irreducible si tiene una única clase de estados, es decir,
los estados que la componen se comunican entre sí (son accesibles
viceversa).
Un estado se dice que tiene periodo d, para el mayor valor del
entero d que cumple:
Sólo para valores de n pertenecientes al conjunto {d, 2d, 3d, ….}.
Si d=1decimos que el estado es aperiódico.
En otras palabras, un estado es periódico si, partiendo de ese estado,
sólo es posible volver a él en un número de etapas que sea múltiplo de un
cierto número entero mayor que uno.
En el ejemplo se puede volver a cada estado con probabilidad no nula al
cabo de una etapa, condición suficiente (pero no necesaria) para afirmar que
los estados son aperiódicos.
Se denota por Fk(i,i) la probabilidad de que el proceso retorne al
estado i por primera vez al cabo de exactamente k etapas. De modo que:

Es la probabilidad que partiendo en i, el proceso regrese al estado i alguna
vez.
Si F (i, i)=1 se dice que el estado es recurrente (en caso contrario, es decir, F
(i, i) <1, el estado es transciente).
La demostración matemática de que un estado es recurrente no resulta
siempre trivial, no obstante en el ejemplo estamos frente a una cadena
irreducible con un número finito de estados, por tanto dichos estados
son recurrentes positivos.
El concepto de recurrente positivo se refiere a que el valor esperado del
número de etapas que le toma al proceso volver al estado i por primera vez,
partiendo del estado i es un número finito.
En resumen, se concluye que para el ejemplo propuesto, la cadena es
irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos.
 DISTRIBUCIÓN ESTACIONARIA DE UNA CADENA DE MARKOV.
Se dice que una Cadena de Markov en tiempo discreto admite una
distribución estacionaria en la medida que las probabilidades de largo plazo
existen y es independiente de la distribución inicial (f0).
En este sentido se deben verificar ciertos requisitos para la existencia de
esta distribución de probabilidades de largo plazo: la cadena debe ser
irreducible y sus estados deben ser recurrentes positivos aperiódicos. Se
recomienda revisar en detalle la clasificación de estados antes del cálculo de
la distribución estacionaria.

La distribución estacionaria se obtiene a través de la solución única del
siguiente sistema de ecuaciones:

FASE IV
TOMA DE DECISIONES
 CONDICIONES DE CERTEZA
La toma de decisiones bajo certeza no es un proceso sencillo, cada una
de las tareas a las que se enfrenta quien toma la decisión bajo certidumbre
(identificar los actos disponibles, medir las consecuencias y seleccionar el
mejor acto) involucra el uso de la teoría de la programación lineal.
La certeza o certidumbre es la condición en que los individuos son
plenamente informados sobre un problema, las soluciones alternativas son
obvias, y son claros los posibles resultados de cada decisión. En condiciones
de certidumbre, la gente puede al menos prever (si no es que controlar) los
hechos y sus resultados.
Esta condición significa el debido conocimiento y clara definición tanto del
problema como de las soluciones alternativas. Una vez que un individuo
identifica soluciones alternativas y sus resultados esperados, la toma de la
decisión es relativamente fácil.
El responsable de tomar la decisión sencillamente elige la solución con el
mejor resultado potencial. Por ejemplo, de un agente de compras de una
imprenta se espera que ordene papel de calidad estándar al proveedor que
ofrezca el menor precio y mejor servicio. Por supuesto que generalmente el
proceso de toma de decisiones no es tan simple. Un problema puede tener
muchas posibles soluciones, y calcular los resultados esperados de todas
ellas puede ser extremadamente lento y costoso.

 CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE
En muchos problemas de decisiones se presentan variables que no están
bajo el control de un competidor racional y acerca de las cuales quienes
toman las decisiones tiene poca o ninguna información sobre la base de la
cual conocer el estado de cosas futuras.
La toma de decisiones bajo incertidumbre se presenta cuando no puede
predecirse el futuro sobre la base de experiencias pasadas. A menudo se
presentan muchas variables incontrolables. Algunas veces es posible
consolidar los efectos de esas variables no controlables en términos de su
distribución de probabilidad.
La toma de decisiones bajo incertidumbre implica que no se conoce la
probabilidad de que prevalezca uno u otro de los estados de resultado.
 CONDICIONES DE RIESGO
El riesgo es la condición en la que los individuos pueden definir un
problema, especificar la probabilidad de ciertos hechos, identificar soluciones
alternativas y enunciar la probabilidad de que cada solución dé los resultados
deseados.
El riesgo suele significar que el problema y las soluciones alternativas
ocupan algún punto intermedio entre los extremos representados por la plena
información y definición y el carácter inusual y ambiguo.

CONCLUSIONES
En la fase 1 vimos como la gestión de inventarios tiene como objetivo
principal equilibrar el coste / servicios. Para lograr equilibrarlos es necesario
tomar dos decisiones básicas que lo afectan directamente: Ellas son:
“cuándo hacer el pedido “y “cuánto pedir”. Este módulo presentará las
técnicas relacionadas con estas decisiones tanto para cantidades económica
de pedido (EOQ), como para el modelo de Descuento por Cantidad (EOQ
con descuento) y la demanda estocástica la cual busca eliminar el supuesto
de que la demanda es constante, es decir, que la demanda puede variar con
el tiempo.
En la fase 2 se logró aprender todo lo relacionado al PERT y CPM dos
tecnicas eficaces en la aplicación de proyectos de construcción de carreteras
y de edificios, y al desarrollo y producción de artículos de alta tecnología
tales como aviones, vehículos espaciales, barcos y computadores.
El PERT se desarrolló para proyectos en donde hubiera incertidumbre en
el tiempo de las actividades (usualmente debido a que el proyecto nunca se
había intentado antes y por tanto no había bases de datos, para los tiempos
de las actividades). Esto condujo al enfoque probabilístico que se tomó.
Mientras que en PERT los estimados de tiempo y sus distribuciones han
sido de controversia, el PER'I' ha constituido una herramienta útil para la
administración de proyectos. La principal desventaja es que no es funcional
para grandes proyectos, debido a los tres estimados de tiempo que se
requieren en cada actividad y a la capacidad limitada de los computadores
actuales, para almacenar esta vasta cantidad de datos. Además, el costo de

actualizar y mantener la información del proyecto con el tiempo en ambientes
tan dinámicos, puede ser excesivamente prohibitivo.
Por otra parte, el CPM se desarrolló para manejar proyectos repetitivos o
similares (ej., mantenimiento de plantas químicas). Obviamente, se gana
gran cantidad de experiencia con el tiempo en tales circunstancias, aun
cuando dos proyectos puede que no sean iguales. Esta experiencia llevó al
análisis de técnicas de colisión utilizadas en las redes CPM.
En cuanto al crashing busca acortar la duración de un proyecto; involucra
un análisis costo beneficio, en el sentido de que un menor tiempo en el
proyecto tiene asociado mayores costos para la empresa.
En la fase 3 como conclusión se puede decir que las cadenas de Markov
nos permiten hacer análisis sobre el estudio de los comportamientos de
ciertos sistemas en ciertos periodos que pueden ser cortos o largos. Además
se tiene una relación con las probabilidades absolutas. Pero sin embargo lo
más importante es el estudio del comportamiento sistemas a largo plazo,
cuando el número de transiciones tiene al infinito
Al conocer más o menos las probabilidades de un experimento, esto a su
vez nos permitirá conocer a corto y plazo los estados en que se encontrarían
en periodos o tiempos futuros y tomar decisiones que afectarán o
favorecerán nuestros intereses, y tomar una decisión de manera consciente y
no se comentan muchos errores.
Esto también nos proporcionara un tiempo estimado para que
identifiquemos cada estado y el periodo en que se encuentra con la

implementación de un proceso, también se establece las probabilidades
como una herramienta más en las cadenas de Markov.
Para finalizar, en la fase 4 se logro llegar a la conclusión que toda
empresa eficientemente bien manejada debe contar con una plana gerencial
plenamente capacitada en la toma de decisiones bajo condiciones de
certeza, incertidumbre y riesgo, pues su importancia es capital para la
eficacia y eficiencia de la correcta toma de decisiones.
Debido a que la mayoría de las decisiones tienen efecto sobre la gente, el
Gerente no puede ignorar la influencia de las relaciones humanas en una
decisión, especialmente cuando se selecciona una técnica para tomarla. Un
gerente debe tener el buen juicio para saber que tanta información debe
recoger, la inteligencia para dirigir la información y, lo más importante de
todo, el valor para tomar la decisión que se requiere cuando ésta conlleva un
riesgo en condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo.

 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MURDICCK ROBERT, Sistemas de información Administrativa. Editorial
Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A. México.
DICHTER ERNESTE, ¿Es usted un buen gerente? Editorial McGraw Hill
Latinoamericana, S.A.
MOODY PAUL E., Toma de decisiones gerenciales. Editorial McGraw Hill
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TERRY & FRANKLIN, Principios de Administración. Editorial Pañazo S.R.L.,
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COHEN ASÍN, Sistemas de Información para los negocios. Tercera Edición.
Mc Graw Hill, S. A. México.
GIBSON IVANCEVICH DONELY, Las Organizaciones. Octava Edición.
McGraw Hill. Barcelona (España).
LEON ORFELIO, Tomar Decisiones difíciles. Segunda Edición. Editorial
McGraw Hill. Madrid (España).
GOMEZ CEJA GUILLERMO, Planeación y Organización de Empresas.
Octava Edición McGraw Hill México

INTRODUCCIÓN A LAS CADENAS DE MARKOV. Investigación de
operaciones, 5ª edición, Editorial taha, pp. 822-826
PROBABILIDAD DE TRANSICIONES ESTACIONARIAS DE N PASOS
Investigación de operaciones, 5ª edición, Editorial taha, pp. 824-826
Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos, 4ª edición, Autor
Wayne l. wishston, Editorial Thompson, pp. 928-931.
ESTADO ESTABLE. Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos,
4ª edición, Autor Wayne l. wishston, Editorial Thompson, pp. 934-938.
ESTADOS ABSORBENTES. Investigación de operaciones, 5ª edición,
Editorial taha, pp. 826-830

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