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LABORATORIO Nº 1

MEDICIONES, ERROR Y REPRESENTACION

OBJETIVOS: Al término de este laboratorio, el alumno deberá estar en condiciones de:

1. Medir longitudes con un instrumento de precisión.
2. Aplicar fórmulas de propagación de error.
3. Entregar el resultado de una medida considerando su incerteza o error.
4. Seleccionar las variables independiente y dependiente en un experimento.
5. Efectuar mediciones experimentales
6. Representar gráficamente pares de valores experimentales.
7. Aplicar métodos para rectificar curvas más conocidas.
8. Establecer conclusiones a partir de una representación gráfica.

I INTRODUCCION TEORICA

MEDICION

Medir es establecer una comparación cuantitativa entre dos cantidades de igual naturaleza en que
una de ellas representa, por alguna razón, la unidad. Lord Kelvin afirmaba:

“Frecuentemente digo que cuando Ud., no puede medir aquello de lo que está hablando y
expresarlo en números, su conocimiento es pobre y de calidad poco satisfactoria, puede ser el principio
del conocimiento, pero en sus pensamientos, Ud., apenas ha avanzado al estado de Ciencia cualquiera
que sea el asunto del que esté tratando.”

Para medir una cantidad física podemos proceder realizando una:

* Medida directa: Cuando empleamos para medir el patrón en forma directa, por ejemplo:
medición de la estatura de una persona usando un metro.

* Medida indirecta: Se obtiene al aplicar fórmulas, por ejemplo: medición de la rapidez media de
un cuerpo mediante el cuociente entre la distancia recorrida y el tiempo
empleado.

* Medida con aparatos calibrados: Al usar instrumentos de medida en que se lee la posición del
índice sobre escalas graduadas estando el instrumento
previamente calibrado con patrones unitarios, por ejemplo:
utilizar un cronómetro para medir el tiempo.

ERRORES EXPERIMENTALES

Es importante destacar que a pesar de emplear los métodos más cuidadosos para medir y los
instrumentos más finos, no podremos encontrar la medida exacta de lo que vamos a medir. Esta
búsqueda no tiene sentido ya que es un ideal.

Toda medida va acompañada de una incerteza o error, sin embargo, es muy importante su
estimación para establecer conclusiones experimentales, la incerteza determina la calidad y los límites de
validez de la medida.

Los errores podemos clasificarlos en:

* Sistemáticos: Son aquellos que se repiten constantemente en el transcurso del experimento y
afectan el resultado de la misma forma, pueden producirse al utilizar un
instrumento mal calibrado o al emplear técnicas imperfectas, fórmulas incorrectas,
etc. Realmente, este es un error en el sentido de equivocación y no de incerteza,
sin embargo, en un buen trabajo de medición deben ser considerados.

* Accidentales o aleatorios: Se presentan en todas las medidas y son impredecibles, esto hace que
las medidas obtenidas sean a veces mayor que el valor “verdadero” u otras veces
menores. Este tipo de error tiene un tratamiento matemático y se produce, entre
otros factores, por las condiciones en que se realiza un trabajo, por variaciones de
voltaje en la red, por variaciones de temperatura, de humedad, etc., también
personales como un descuido casual o error accidental del experimentador.

TEORIA DE ERROR

Sin considerar los errores sistemáticos y/o personales, la medición debe ser expresada como:

x = x ± ∆x
En que x es el promedio aritmético o valor medio de las medidas realizadas, representa el valor más
probable de una medida y se obtiene como:

i=n
xi
x = ∑
i =1 n

Si n = 1, x corresponderá directamente a la lectura del instrumento, si el error aleatorio es importante,
el valor más representativo será el valor medio.

Si la medida de una longitud se indica como 56,47 ± 0,02 mm se interpreta indicando que existe una
alta probabilidad que la medida esté comprendida entre 56,45 mm y 56,49 mm.

CALCULO DEL ERROR

1. Si n = 1 ⇒ ∆ x el error apreciado o instrumental es igual a la mitad de la división más
pequeña de la escala utilizada para medir. Se aplica cuando el error aleatorio es despreciable
frente al error instrumental.

xmáx − xmín
2. Si 1 < n < 30 ⇒ ∆x = Se aplica cuando el error aleatorio es
2
importante frente al instrumental, pero solo se desea obtener una determinación rápida pero
burda de la incerteza.

∆x
3. Error relativo: Er =
x

4. Error porcentual: E % = E r * 100

Mientras menor sea el error relativo la medida ésta es más precisa, por ejemplo si la hora se indica como
14:43:15 es precisa, se indica con segundos, sin embargo, el reloj podría atrasarse o adelantarse en
varios minutos entonces es poco exacto

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Es todo dígito que tenga significado físico (aparte del cero utilizado para ubicar el punto decimal).
Mediante el número de cifras significativas se indica también la incerteza o error, por ejemplo:

2,91 mm tiene 3 cifras significativas, los dígito 2 y 9 son correctos en cambio el 1 es incierto, por lo
tanto el error es 0,01 mm

Dos valores pueden tener igual número de cifras significativas pero diferente error, por ejemplo:

137 Km tiene tres cifras significativas, igual que la anterior, pero el error es 1 Km.

Al multiplicar o dividir, el resultado obtenido no puede tener más cifras significativas que el factor con
menos cifras significativas:

Por ejemplo: 3,1416 x 2,34 x 0,58 = 4,26 ≈ 4,3

3 cifras: 3,14 3 cifras 3 cifras

El valor de π solo debe expresarse entonces con tres cifras significativas.

Al sumar o restar números, importa la posición del punto decimal y no el número de cifras significativas,
por ejemplo:

123,62 error 0,01
+ 8,9 error 0,1

132,52 error 0,1 ⇒ 132,5

CRITERIOS DE APROXIMACIÓN

La última cifra significativa del resultado de la medición se aproxima por exceso si la cifra que le sigue
es mayor o igual a 5 y, por defecto si la cifra que le sigue es menor que 5.

FORMULAS DE PROPAGACION DE ERROR

Suponga que las variables o magnitudes físicas medidas con error son:

a = a ± ∆a b = b ± ∆b c = c ± ∆c

Según sea la operación a realizar entre variables, la expresión que debemos utilizar es:

SUMA : a + b + c = (a + b + c ) ± (∆a + ∆b + ∆c)

RESTA : a − b = (a − b ) ± (∆a + ∆b)

MULTIPLICACION : a * b = ( a * b ) [ 1 ± ( E a + Eb )]

= [1 ± ( E a + Eb ]
a a
DIVISIÓN :
b b

POTENCIACION : a n = (a ) n (1 ± n Ea )

⎡ n ⎤
POTENCIACION CON : a n / m = (a ) n / m ⎢ 1 ± Ea ⎥
⎣ m ⎦
EXPONENTE FRACCIONARIO

MULTIPLICACION POR : p * a = p * (a ± ∆a) = ( p * a ± p∆a)
CONSTANTE

REPRESENTACION GRAFICA

Una de las formas mediante la cual se puede establecer una relación entre dos variables de un
fenómeno, es mediante la representación gráfica de los valores obtenidos en un experimento.
Es fácil poder establecer mediante el análisis de la curva obtenida, en general, si se trata de una
proporcionalidad directa entre las variables o no, incluso en este último caso es posible efectuar alguna
transformación en una de las variables para rectificar la curva resultado, así se puede obtener la
constante de proporcionalidad o bien las intersecciones de la recta con los ejes.

En un experimento pueden encontrarse muchas variables, no obstante también algunas pueden
mantenerse constante para explorar la relación entre dos de ellas. A aquella que podemos otorgarle
valores arbitrariamente la denominaremos “variable independiente” designándola genéricamente como
X, a aquella cuyo valor depende del que le otorgamos a la anterior, la denominaremos “variable
dependiente” designándola como Y. Una vez encontrada la relación decimos que Y es función de X
designándolo como:

Y = f (X)

Los pares ordenados de valores así obtenidos (x , y) se representarán en el plano cartesiano XY
conformado por dos ejes perpendiculares, el eje X es de las abscisas y en él se ubican generalmente
los valores de la variable independiente; el eje Y es el de las ordenadas y en él se ubican los valores de
la variable dependiente.

Y (ordenada)

y P(x,y)

X (abscisa)
x

Las curvas que con más frecuencia se obtienen en nuestro trabajo de laboratorio son las
mostradas en la figura 1.

Y Y Y Y

y = mx + n y = mx y = k x2 y=k/x

RECTA RECTA QUE PASA SEMIPARABOLA HIPERBOLA
POR EL ORIGEN
Fig 1

En la tarea de extraer la mejor información a partir del gráfico, vemos que se logra cuando
establecemos una relación matemática entre las variables y de las curvas resultado la que nos permite
obtener conclusiones más directas, fidedignas y de manera simple es la recta. De ella determinamos la
pendiente y los puntos de intersección con los ejes con los que podemos indicar la ecuación d la recta.

¿Cómo sabemos que los puntos representados están contenidos en una recta? Existen métodos
que permiten lograr la determinación de los valores más probables de las constantes m y n, pueden
mencionarse el método gráfico, el método de los promedios y el de los mínimos cuadrados.
Describiremos el primero de ellos que es utilizado para un número limitado de puntos de moderada
precisión.

Método Gráfico

Para determinar el valor de la pendiente m y la ordenada en el origen n , se traza la mejor recta
que es la que se ajusta a los puntos representados, ello se consigue procurando que al trazar la recta
quede aproximadamente un número equivalente de puntos sobre y bajo ella. Luego m y n se
determinan a partir de dos puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2 ) de la recta así trazada:

y 2 − y1 y1 x 2 − y 2 x1
m= n=
x 2 − x1 x 2 − x1
Si la curva representada no resulta ser una recta, es posible rectificarla en forma elemental a
partir del reconocimiento de la curva original y si se trata de una de las representadas en la figura 1,
entonces es necesario realizar otro gráfico en que las variables en cada eje sean las adecuadas (puede
consultarlo con su profesor)

II MATERIALES Y MONTAJE

1. Un pie de metro.
2. Cuerpo sólido de forma cilíndrica o cúbica.
3. Soporte universal y prensa.
4. Cuerda y plomada para péndulo.
5. Huincha metálica.
6. Reloj cronómetro.

III DESARROLLO EXPERIMENTAL

ACTIVIDAD 1

a) Determine el volumen de un cuerpo sólido de forma geométrica conocida (cilindro, cubo,
paralelepípedo, etc.) midiendo cada dimensión necesaria con un pie de metro.
b) Indique su resultado incluyendo la incerteza del instrumento.
c) Calcule el error porcentual de la medida.

ACTIVIDAD 2

a) Considere un péndulo de 1,5 m de longitud.
b) Mida los períodos del péndulo variando la longitud de éste cada 10 cm.
c) Ordene los valores medidos (longitud-período) en una tabla identificando la variable
independiente y la dependiente.
d) Si al graficar, su resultado es una recta determine la relación funcional entre las variables,
si no es así, rectifique su gráfico considerando que para pequeñas amplitudes, el período y
la longitud del péndulo se relacionan mediante:

L
T = 2π
g

e) A partir del gráfico rectificado es posible determinar la aceleración de gravedad del lugar.
Hágalo y compare el valor obtenido con el que proporcionan los textos..
f) Establezca sus conclusiones.

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