Lectura 2 concepto de numero
- 1. LECTURA: (equivalentes, no equivalentes y utilizando *CONCEPTO DE NÚMERO tanto la correspondencia como la numeración ASPECTO DIDÁCTICO* hablada) y situaciones relacionadas con la correspondencia dinámica (intercambio) así PRESENTACIÓN como las referentes a la transitividad de la Partiendo de la idea de que los niños de equivalencia numérica. preescolar están en un nivel de su construcción del concepto de número, es CONCEPTO DE NÚMERO conveniente determinar en qué nivel o estadio se encuentran para diseñar estrategias Aspecto didáctico didácticas que le ayuden a desarrollar sus posibilidades y a superar sus limitaciones. La orientación general del trabajo con el De acuerdo con Lerner no se trata de número es la misma que la “enseñarle” (en sentido estricto) el concepto correspondiente a la clasificación y la de número al niño, sino de diseñar situaciones seriación: no se trata de “enseñarle” al que le permitan pasar de un nivel a otro, niño el número, sabemos que todos los tomando en cuenta las características del niños del jardín están en algún momento estadio por el que atraviesa. de su construcción espontánea de la Para el diseño de tales situaciones Lerner noción de número, las características del propone tornar en cuenta elementos; el tipo estadio por el que están atravesando de materiales, la consigna y las actividades. implican ciertas posibilidades de manejo Los materiales son de dos tipos, aquellos de esta noción y también ciertas que son complementarios cualitativamente limitaciones. Será necesario por lo tanto (p. ej. tazas y platos) y aquellos que son en primer término que determinemos en homogéneos cualitativamente (p. ej. dos qué estadio está cada niño y planteemos conjuntos de botones). Los conjuntos deben luego las situaciones adecuadas para tener por lo menos 6 ó 7 elementos. ayudarlo desarrollar sus posibilidades y La consigna se encuentra en estrecha -en los momento de transición de un relación con los materiales. Por ejemplo, para estadio a otro- a superar su limitaciones. los materiales que son complementarios Sabemos que éstas no se superan por cualitativamente, una consigna sería “pon una transmisión: verbal: si un niño nos dice taza a cada plato”. Para los materiales que que “hay más en la fila más larga”, nada son homogéneos cualitativamente; “haz con ganaremos con contestarle “Pero ¿cómo tus botones una fila que tenga igualito de no te das cuenta de que hay igual? Yo no botones que la mía, ni más ni menos”. puse ninguno más”. Las actividades que propone Lerner se Mucho más útil será para él que clasifican en situaciones que tienen que ver registremos sus propias afirmaciones y le con la comparación de conjuntos hagamos reflexionar sobre sus contradicciones (en el caso de que las haya) o sobre las que existen entre sus * Delia Lerner. “Concepto de número. Aspecto opiniones y las de otros niños a lo largo didáctico”. En: Clasificación, seriación y concepto de cada situación. En algunos casos, de de número. Consejo Venezolano del niño, las contradicciones saldrá la luz: los niños Venezuela, 1977 (División de primera y segunda que se centraban en una sola variable infancia) empezarán a considerar alternativamente las dos, los niños que se centraban en las 30
- 2. dos, pero alternativamente, empezarán a Con el primer tipo de material las coordinarlas, es decir a considerarlas consignas será en general del tipo: simultáneamente. ¿alcanzan los… para los...? es decir, por Pero en otros casos los niños no harán ej., “¿Alcanzan los cuadernos para los consciente la contradicción por más niños?” Con el segundo tipo de material énfasis que pongamos en enseñarla. Le este tipo de consigna no puede utilizarse, propondremos entonces otro tipo de ya que los elementos son homogéneos. ejercicios o, simplemente, cambiaremos Diremos entonces: “haz con tus botones de tema por un tiempo hasta que su una fila que tenga igualito de botones que construcción espontánea le permita la mía, ni más ni menos”, o bien “estos comprender los problemas que le caramelos son de Pablo y ésos de Pedro planteamos. ¿Los dos van a comer lo mismo o alguien va a comer más?” Los materiales: Lo fundamental al dar la consigna es tener en cuenta que ésta se refiere a la Trabajaremos en primer término con cantidad de elementos. Las consignas del materiales complementarios tipo “dale un vaso a cada niño” o “pon un cualitativamente, por ej., tazas y platos, cinturón en cada pantalón” son pantalones y cinturones, perros y casillas, aconsejables exclusivamente en la niños y chaquetas, niños y vasos, niños y primera etapa, cuando hemos cuadernos, etc. comprobado que los niños no establecen En segundo término utilizaremos pares aún espontáneamente la correspondencia de conjuntos formados por material para determinar la equivalencia. En este homogéneo cualitativamente, por caso, puede ayudar a los, niños a lograr la ejemplo: correspondencia. Pero, a partir del • dos conjuntos de caramelos (unos momento en que el niño establece de menta, otros de café) espontáneamente la correspondencia, no • dos conjuntos de botones (unos tiene sentido darle ese tipo de consigna: el redondos, otros cuadrados) niño probablemente nos hará caso y le • dos conjuntos de patitos, o pondrá un cinturón a cada pantalón, pero cualquier otro elemento de se quedará sin saber para que lo está plástico (unos de un color y otros haciendo, se le estará indicando la de otro color) solución de un problema, sin decirle cuál • dos conjuntos de monedas, etc. es el problema. Si centramos en cambio la Cada uno de los conjuntos debe tener consigna en la averiguación de la por lo menos 6 o 7 elementos, pues si son equivalencia o no equivalencia numérica menos, el problema puede resolverse de dos conjuntos, el niño descubrirá la perceptivamente, sin apelar a la correspondencia como método para correspondencia. establecer dicha equivalencia. Comprenderá entonces el sentido de su actividad y encontrará por sí mismo la La consigna: manera de resolver el problema que se le ha planteado. 31
- 3. Tipo de actividades número de elementos muy Las actividades que propondremos diferente, por ej.: una pila de pueden clasificarse de la siguiente bloques lógicos finos y otra de manera: gruesos, una pila de hojas de papel A. Comparación de conjuntos y una pila de libros de cuentos. Se (equivalentes no equivalentes), pedirá a los niños que, antes de partiendo del establecimiento de establecer la correspondencia, la correspondencia óptica y sin estimen dónde habrá más o si hay utilizar la numeración hablada. igualito y justifiquen su previsión. B. Comparación de conjuntos Luego se establecerá la utilizando tanto la correspondencia y se pedirá que correspondencia como la comparen su previsión con el numeración hablada. resultado real. Esto ayudará a los C. Situaciones de correspondencia niños a diferenciar la apariencia dinámica (intercambio). perceptiva del número de D. Situaciones referentes a la elementos. transitividad de la equivalencia b) Proponer uno solo de los numérica. conjuntos y pedir que se construya E. Clasificación de conjuntos. otro equivalente. Este tipo de F. Seriación de conjuntos. ejercicios corresponde al estilo de las experiencias de Piaget citadas Haremos finalmente algunas en el “Aspecto Psicológico”. En reflexiones sobre la representación de la este caso se debe disponer de más correspondencia. elementos de los que se piensa A. Comparación de conjuntos utilizar: por ej.: si trabajamos con (equivalentes o no equivalentes), caramelos, tendremos unos 15 partiendo del establecimiento de la caramelos de menta y 15 de café. correspondencia óptica, sin utilizar la Haremos una hilera de 7 numeración hablada. caramelos de menta y pediremos al niño que haga con los de café El problema puede plantearse de tres una fila que tenga igualito de maneras diferentes: caramelos que la nuestra. Es a) El maestro propone los dos importante que tanto nosotros conjuntos. como el niño dispongamos de más b) El maestro propone uno de los caramelos que los necesarios para conjuntos y pide a los niños que hacer la hilera, por varios motivos. formen el otro. 1. Porque podremos ver si el niño c) El maestro solicita a los niños que coloca muchos más caramelos en formen los dos conjuntos: lugar de colocar siete. a) Dar dos conjuntos y preguntar: 2. Porque puede ocurrir que efectuar “¿alcanzan los.... para los...?” la correspondencia con siete Proponer situaciones en que los elementos sea demasiado fácil conjuntos resulten equivalentes y para el niño y nos veamos otras en que no lo sean. precisados a utilizar más. En algunos casos se presentarán 3. Porque, en el curso de las conjuntos que parezcan tener un transformaciones, posteriores, el 32
- 4. niño puede proponer agregar y que los espectadores empiecen a elementos en una u otra hilera gritar “Juan va más rápido, puso para restablecer la igualdad. une más”. Algunos opinarán que c) Pedir al niño que forme dos pusieron igualito, otros que no. La conjuntos equivalente o no única manera de zanjar (arreglar) equivalentes. En este caso el la discusión será comprobarlo a maestro no forma efectivamente través de una nueva los conjuntos, sino que correspondencia (por ej., simplemente alude a los apareando los elementos ya elementos con los que el niño colocados). Es decir que de aquí puede formarlos. Por ej.: “vas a puede resultar un doble ejercido formar un conjunto de pinceles y de correspondencia a través de de hojas de papel, quiero que haya una sola situación, además de qué igualito de pinceles y de hojas”. permite descubrir una manera Los niños irán entonces al área de diferente de establecer la arte, buscarán los elementos correspondencia: controlar el necesarios y construirán los ritmo de los movimientos en lugar conjuntos. Por supuesto, esta de enfrentar los elementos o de situación tiene muchas respuestas colocarlos uno sobre otro. “correctas”, ya que los dos conjuntos a formar por el niño Conducción de las actividades pueden tener 3 elementos, 10 o 15. El primer niño lo hará 1. Establecimiento de la espontáneamente utilizando la correspondencia cantidad de elementos que quiera, se podrá luego pedir a otro niño En los tres tipos de situaciones citadas que trate de que los dos conjuntos hasta ahora, el primer paso para los niños sigan teniendo el mismo número, será encontrar la manera de determinar la pero que en cada uno haya más (o equivalencia de las pares de conjuntos en menos) elementos. El interés de cuestión. Es muy probable que los niños esto es que plantea el problema de intenten en principio contar los agregar o sacar el mismo número elementos; como sabemos que el saber de elementos de los dos conjuntos. contar no implica el manejo del número y Otra derivación interesante de este que la operación en la que se fundamenta tipo de ejercicio es pedir a dos la noción de número es la niños diferentes que construyan correspondencia, intentaremos en primer dos conjuntos equivalentes (uno lugar que los niños encuentren otra cada uno) en forma simultánea. La manera de establecer la equivalencia, forma que encuentran los niños en diremos por ej. “pero contar es muy fácil, general de resolver esto es ponerse eso ya sabemos hacerlo, tratemos de de acuerdo en el ritmo con que inventar otra manera de resolver este van poniendo cada elemento, ya problema”. En el caso (poco probable) de que, si uno lo hace más rápido que que los niños no encuentren otra manera, el otro los conjuntos no resultarán se continuará trabajando la situación de la equivalentes. Es frecuente que los manera en que lo sugeriremos luego, en niños no logren controlar el ritmo las situaciones que incluyen la 33
- 5. numeración hablada. (Es decir que en sola de las hileras, dejando la otra como ningún caso nos conformaremos con que testigo en la disposición original. Solo se el niño cuente los elementos del conjunto modifican las dos hileras al mismo propuesto, por ej., 7 y vaya luego a buscar tiempo cuando se quiere mostrar al niño 7 elementos para formar el otro conjunto, una discrepancia muy evidente entre sus sino que, cuando el niño utilice la afirmaciones y la realidad. Por ejemplo, sí numeración, intentaremos poner en el niño ha puesto 4 elementos en su hilera conflicto los datos que él extrae del y dice que tiene igualito que en la otra “contar” con los que extrae de los indicios hilera, en la cual hay 7 elementos, pueden figurales). juntarse los 4 elementos y separarse los 7 Los niños de la primera etapa no serán (o apilarse los dos conjuntos) y capaces aún—como hemos visto—de preguntarle si le parece que realmente hay establecer la correspondencia, sino que igualito. En cada una de las situaciones llenarán en general el espacio ocupado, planteadas se efectuarán dos o tres sin colocar un elemento debajo de cada transformaciones sucesivas, haciendo uno de los propuestos. después siempre las mismas preguntas. Es En este caso, se puede sugerir al niño la muy difícil decir en teoría cuáles son las solución, dándole una consigna referida transformaciones que deben elegirse en más directamente al apareamiento: “Dale cada caso, pues esto depende una chaqueta a cada niño” o “¿éste con enormemente de las respuestas de cada cuál va?” (Señalando el primer elemento niño. La idea general que guía la del conjunto modelo) “¿y éste?”. Otra elección de las transformaciones y de las posibilidad es reducir el número de preguntas a hacer es que el rol del elementos considerado, dejando, por maestro en este caso es hacer que el niño ejemplo sólo el 4 y volver a darle la tome conciencia de las contradicciones consigna. Si el niño está cerca de la que implican algunas de sus afirmaciones. segunda etapa, logrará por alguno de Por ejemplo; si uno ha alargado una de estos medios establecer la las hileras y el niño dice que hay más en correspondencia. Si está al principio de la la más larga, tal vez la transformación primera etapa, seguramente no lo logrará siguiente podría ser volver a alargar, pero a pesar de todo. De todos modos, le esta vez la hilera que ha quedado antes preguntaremos si hay igualito de... que más corta. Si el niño persiste en decir que de..., si él está seguro de que hay igualito hay más elementos en la más larga, se le y por qué le parece que es así. Si el niño hace notar que antes él había dicho que está seguro había más elementos en la otra. Puede de que hay igualito (aunque esto no ocurrir que el niño se dé cuenta de que es coincida con la realidad) se plantea el muy raro que hay en un caso más en una problema siguiente. hilera y en el otro caso más en la otra y que proponga entonces volver a la 2. Transformaciones correspondencia óptica, pero también puede ocurrir que el niño no se Se puede alargar una de las hileras, desconcierte en absoluto y que le parezca juntar sus elementos, apilarlos totalmente normal esa situación que es disponerlos en forma de figura cerrada para nosotros tan extraña. Haremos (triángulo, círculo, etc.), formar con ellos entonces otra transformación, por ejemplo un montón, etc. Se modifica cada vez una juntaremos los elementos de una de las 34
- 6. hileras. Puede ocurrir que el mismo niño Podemos entonces contestarle: “un niño nos diga ahora que “hay más en la hilera me dijo el otro día que había más aquí, más apretada”. Le diremos entonces “pero porque esta hilera es más larga”. Esta es antes me dijiste que había más en la más una contra-sugestión “negativa”: la larga, ahora me dices que hay más en la primera respuesta del niño puede más apretada, ¿cómo es esto?” De nuevo habernos llevado a pensar que ya el niño podrá captar o no el conflicto. conserva el número. Nuestra contra- Puede decirse en términos generales que sugestión lo lleva para atrás, lo que la mayor conciencia con respecto al queremos saber es si su conservación conflicto producido por afirmaciones resiste o no a las propuestas en contrario. contradictorias corresponde a un avance Puede ocurrir que el niño nos conteste: mayor dentro de la segunda etapa, ya que “uy, es verdad, me equivoqué” o bien que es la superación de ese conflicto, por se ría y diga “¿que tiene que ver que se coordinación de las variables en juego, la más larga? no agregaste ni sacaste nada”; que llevará a la conservación. En el primer caso deduciremos que está Pero para superar la contradicción, hay cerca de la conservación pero que ésta que ser consciente de que se está aún no se ha consolidado, en el segundo incurriendo en una contradicción. Los concluiremos que su conservación del niños de principio de la primera etapa no número está ya construida dado que son en absoluto conscientes de ella. puede resistir a las sugestiones en El trabajo en pequeños grupos contrario. colaborará también a que surjan estas contradicciones: si un mismo niño no se 3. Después de cada transformación contradice, es posible que diferentes niños tengan opiniones diferentes, --y en el caso de que el niño afirme que algunos dirán que hay más en la más no hay igualito-- se pregunta “¿Qué larga, otros dirán que hay más en la más habría que hacer para que haya igualito?” densa. Dejémoslos discutir. La respuesta a esta pregunta nos orientará Otra manera de generar el conflicto es también sobre la etapa por la que está que el maestro mismo haga contra-- atravesando el niño ya que, como hemos sugestiones, que pueden ser positivas o visto, los niños de la primera etapa suelen negativas. Por ejemplo, un niño dice “hay proponer que se agreguen o se saquen más en las que están apiladas, porque elementos para restablecer la longitud llega más alto”. El maestro contesta: inicial, en tanto que los niños de la “¿sabes que un niño me dijo el otro día segunda etapa proponen volver a ponerlos que había más en las que no están como antes, es decir cuando estaban en apiladas, porque forman una hilera correspondencia óptica. En este último mucho más larga?”. Esta es una contra- caso se puede retomar lo dicho por el sugestión “positiva” porque está dirigida niño y preguntarle: “¿quiere decir que a que el niño, que estaba centrado en una cuando están así hay igualito y cuando sola variable (el alto de la pila) llegue a están así (se repite la transformación tomar en cuenta la otra variable en juego realizada) hay más en ésta?”. Puede ser (la longitud de la hilera). Ahora bien, que el niño responda tranquilamente que supongamos que, ante una transformación sí, que en una disposición hay igualito y cualquiera el niño nos dice “hay igualito en la otra hay más; también puede ocurrir porque lo único que hiciste es juntarlas”. que el niño empiece a dudar y no sepa 35
- 7. qué contestamos, o bien que nos diga que que saque el primer elemento. Se le antes se había equivocado y que en pregunta si hay igualito y qué habría que realidad hay igualito en los dos casos. La hacer para que hubiera igualito. En este segunda y la tercera respuestas citadas caso, todos los niños, partir de la segunda nos revelan que el niño esta avanzando etapa, contestan que no hay igualito, dentro de la segunda etapa. La tercera, si porque se ha sacado uno de la hilera. bien puede ser una respuesta de Cuando sugieren volver a poner ese transición, no debe hacernos pensar que el elemento se les pide que lo coloquen al niño ha llegado a la conservación, pues final, es decir que la configuración bien podría ocurrir que cuando hagamos quedará así: la transformación siguiente el niño vuelva a decimos que hay más en una que en, las 00 0 0 0 0 0 dos hileras. X X X X X XX Variantes de las situaciones Luego se vuelve, a preguntar si hay de tipo A (comparación de conjuntos) igualito. Puede hacerse lo mismo con el segundo y el tercer elemento: En algunos casos se puede introducir un paso suplementario: 0 00 0 0 0 0 Una vez que el niño ha efectuado la XX X X X X X correspondencia, se le pide que guarde su colección en una caja (cerrada y opaca) y la otra colección en otra caja de las La intención de estos ejercicios es que los mismas características. Hecho esto, se le niños del segundo estadio tomen pregunta si en las dos cajas hay, por conciencia de que una transformación ejemplo, igualito de caramelos o si en espacial que provoca que haya más alguna hay más. El objetivo de esto es elementos de un lado, implica tener un elemento más de discusión: en la necesariamente que se sacaron elementos segunda etapa es muy probable que los de otro sector de la hilera. niños afirmen la equivalencia cuando los Una variante de esto sería que los elementos están guardados en las cajas, la elementos sean sacados del centro de la niegue luego, cuando se espacien o junten hilera y colocados sucesivamente en los los elementos puestos, en extremos, es decir que, si partimos de la correspondencia. Se le hará notar correspondencia óptica, sacaremos por entonces la contradicción entre ambas ejemplo, el segundo elemento de una de afirmaciones. las hileras y lo colocaremos antes del Experiencias en las que las primero, luego sacaremos el penúltimo transformaciones son descompuestas en elemento y lo colocaremos después del pasos: estas situaciones incluyen un último. Dibujamos a continuación las aprendizaje del significado de las configuraciones sucesivas que transformaciones, ya que será el mismo tendríamos. La importancia de estas niño quien las realizará y ya no en forma situaciones es la siguiente: cuando global, sino a través de pasos bien realizábamos las transformaciones definidos. Por ejemplo, una vez características de las situaciones dispuestos los elementos en anteriores, lo evidente para el niño correspondencia óptica, se pide al niño 36
- 8. parecía ser que “la hilera era más larga” conciencia de la disminución de la o que “los elementos están más juntos”. densidad. Por lo tanto, cuando vuelva a colocar el elemento en el extremo de la Correspondencia óptica: hilera, obteniendo como resultado una longitud mayor, será más probable que comprenda que esa longitud mayor está 0 0 0 0 0 0 0 en relación con la disminución de la XX X X X X X densidad que él mismo acaba de provocar y, por lo tanto, coordine –al menos en esta situación-- las dos variables en juego, 0 0 0 0 0 0 0 lo cual le permitirá afirmar la X X X X X X X conservación. Será de gran interés volver a hacer --después de varios de estos ejercicios-- los anteriores, en los que las El niño se centraba en una de las transformaciones no están variables y además no tenía en cuenta las descompuestas, para ver si se ha transformaciones mismas, sino los producido algún progreso en las resultados que éstas producían en las respuestas que los niños encuentran. configuraciones. Las situaciones que acabamos de describir constituyen un B. Comparación de conjuntos utilizando esfuerzo, por una parte, para lograr que el tanto la correspondencia como la niño se centre en las transformaciones y numeración hablada no en los resultados (puesto que se le a. Partiendo de dos conjuntos hace participar de la realización de la equivalentes: transformación) y por otra parte, para lograr que él descomponga las 1. Al igual que en los ejercicios transformaciones en una acción directa y anteriores, se comienza una acción inversa. Cuando los niños del disponiendo 7 fichas (caramelos, segundo estadio dicen que “hay más en la botones, etc.). Se pide al niño que más larga”, están considerando la acción haga debajo otra hilera con las de alargar como irreversible: por una suyas, de modo que haya igualito parte no se dan cuenta de que esa acción de fichas. de alargar puede ser anulada por una 2. Se efectúa una transformación. La acción de volver a juntar y, por otro lado, que suele ser muy fructífera en no ven que, al alargarse la hilera, su este caso es la que consiste en densidad disminuye, ya que los intervalos desplazar la hilera de abajo, de tal entre los elementos son mayores. En las modo que la primera ficha siga situaciones que acabamos de describir los coincidiendo con la primera de la niños empiezan por disminuir la otra, las siguientes estén densidad, ya que lo primero que se les ligeramente corridas, la penúltima pide es que saquen un elemento. de abajo coincidirá con la Cuando, una vez sacado, se les pregunta penúltima de arriba y la última de si hay igualito, los niños dirán sin duda abajo sobresaldrá: que hay más en la otra hilera porque, al sacar el elemento, quedó un lugar vacío. 0 0 0 0 0 0 0 Es decir que “empezarán” por tomar X X X X X X X 37
- 9. 2. Se pregunta si en las dos Se pregunta entonces “¿Y ahora, hileras hay igualito o en hay más alguna hay más. rojos o más blancos?” 3. Se pide al niño que cuente las “¿Por qué?” rojas (o sea la hilera de siete 3. Si el niño dice que hay más abajo, elementos). se pregunta cuántos más. 4. Se le pide que adivine, sin 4. Se plantea: “¿cuántas fichas hay contar, cuántas fichas blancas en la hilera de arriba?” “¿Cómo hay. podrías hacer para saberlo?” 5. Se juntan las fichas blancas “Cuéntalas”. (ocho), de tal modo que 5. Se tapa la fila de abajo y se “sobre” una ficha roja en cada solicita al niño que adivine extremo de la hilera. Se vuelve cuántas hay abajo. a preguntar entonces si hay 6. En caso de haber contradicción igualito o si en alguna de las entre la previsión numérica y la hileras hay más. afirmación con respecto a la 6. En el caso de que el niño cantidad, se hace notar esa conteste que hay más rojas, se contradicción. Por ejemplo, puede le recuerda que antes (al ocurrir que el niño haya dicho que contar dijo que había más hay más en la de abajo “porque el blancas. último no tiene compañero” y que, 7. Se pide nuevamente que sin embargo, habiendo contado los cuente uno de los conjuntos y siete elementos de la hilera de prevea cuántos elementos hay arriba prevea que en la de abajo el otro. también hay siete. Se le dirá 8. Finalmente, se le pide que entonces: “Pero antes me dijiste cuente cuidadosamente ambos que había más abajo. Ahora dices conjuntos y se le pregunta si que en los dos hay siete ¿Cómo es hay igualito o no. esto?” 7. Se le pide que cuente los Este tipo de ejercicios puede realizarse elementos de abajo (para estar aprovechando cualquier desigualdad que seguro de que efectivamente hay los niños hayan encontrado al poner en siete, por ejemplo). correspondencia dos conjuntos. 8. Se le pide qué recuerde cuántos había arriba y cuántos abajo y se C. Situaciones de correspondencia vuelve a preguntar si hay igualito dinámica (intercambio) empleando o no o si en alguna parte hay más. la numeración hablada. b. Partiendo de dos conjuntos no La particularidad de estas situaciones equivalentes: es que, antes de disponer los elementos en 1. El maestro alinea ocho fichas una configuración determinada, se realiza blancas y luego pone en un intercambio uno a uno de elementos: correspondencia óptica con ellas siete fichas rojas. a) “Trueque”. Este puede realizarse con cualquier material que los 38
- 10. niños tengan por costumbre quiera. Terminado el intercambio intercambiar. Daremos un se continúa de la misma manera ejemplo: se trabaja con dos que en los ejercicios de trueque. conjuntos de diez a doce figuritas. c) Estos dos tipos de ejercicios (a y La maestra plantea que tiene b) pueden realizarse también algunas figuritas de mariposas utilizando la numeración hablada. repetidas y que quiere cambiarlas La diferencia con la formulación por figuritas de “el Chavo” para anterior será entonces que el niño poder completar su álbum. contará las figuritas del maestro y Muestra las figuritas repetidas preverá cuántas figuritas suyas (por ejemplo siete) y le dice al tendrá que ir a buscar para niño: “¿Por cuál puedes intercambiarlas o bien --en los cambiarme éstas?” hasta ejercicios de venta-- contará intercambiar todas, de modo que cuántos bolívares tiene y preverá del lado de la maestra quede un cuántos juguetes podrá comprar. montoncito con siete figuritas de Una vez efectuada la previsión en “el Chavo” y del lado del niño el función del número, se realizará montoncito con siete figuritas de efectivamente el intercambio y la mariposa. Luego pregunta: “¿Hay experiencia continuará de la igualito de figuritas en los dos misma manera que las anteriores, montoncitos, o en algunos hay pero utilizando el número para más?” Algunos niños dirán que no contraponerlo a las afirmaciones lo saben. Se les pedirá entonces que estén basadas en la apariencia que piensen cómo pueden hacer perceptiva. Por ejemplo, puede para saberlo (sin contar). En el ocurrir que el niño haya contado caso de que los niños digan que siete bolívares y previsto en hay igualito se les pide que nos lo consecuencia que podrá comprar demuestren. Los niños siete juguetes. Sin embargo, establecerán entonces la cuando se le deforma la correspondencia óptica (en los dos configuración, el niño puede decir casos). Efectuaremos luego que hay más monedas porque la transformaciones siguiendo el fila de los juguetes es más corta. modelo de los ejercidos anteriores. Uno podrá plantearle entonces: b) “Venta”. La situación es similar a “pero ¿cuántas monedas me dijiste la anterior, sólo que en este caso que había?” y “¿cuántos uno de los conjuntos está juguetes?” y “¿Cuántos constituido por monedas de un juguetes?”. “Entonces “¿cómo es bolívar y el otro por un conjunto esto?, ¿hay siete y siete pero hay de elementos cualesquiera que más monedas?, explícame”. Puede sean comprables con monedas de ocurrir que el niño siga afirmando un bolívar (chocolate, juguetitos, lo mismo que antes, pero también cachitos, tarjetas). Se dice que se puede ocurrir que empiece a ver la va a jugar al vendedor, se le dan al contradicción. niño las monedas de un bolívar y se le pide que vaya eligiendo, (y pagando) los juguetitos que 39
- 11. D. Situaciones referentes a la la configuración: transitividad de la equivalencia numérica. Material: 1. Se desarrolla de la misma tres conjuntos de quince manera que en el punto a. elementos 2. Se efectúa una transformación cada uno, por ejemplo: (se juntan o espacian los un conjunto de fichas elementos, se apilan, etc.) un conjunto de ladrillitos sobre la hilera hecha por el un conjunto de botones niño y se pregunta si sigue habiendo igualito o si ahora a) La transitividad en base a la hay más en alguna de las correspondencia óptica: hileras. 3. Se desarrolla de la misma 1. Se comparan en primer manera que el punto 2 del término dos de esos conjuntos, ejercicio a. por ejemplo: 4. Se efectúa una transformación • el maestro hace una sobre la hilera de ladrillitos y hilera con nueve fichas se pregunta si hay igualito de y pide al niño que fichas que de ladrillos. coloque igualito de 5. Se colocan los ladrillitos en caramelos que de una caja y los caramelos en fichas otra (o bien se hace un • una vez establecida la montoncito con cada uno de correspondencia, se esos conjuntos) y se pregunta pregunta al niño si está si hay o no el mismo número seguro de que hay de ladrillos y de caramelos. igualito o si necesita Hacemos notar que, tanto en el alguna ficha más. ejercicio a como en el b, el 2. Se amontonan los caramelos último punto se refiere al puestos por niño, se los coloca establecimiento de la lejos, sobre una mesa y pide equivalencia entre dos que ahora haga con los conjuntos que no han sido ladrillitos una hilera donde efectivamente comparados a haya igualito de ladrillos que través de la correspondencia de fichas. Una vez establecida término a término: el niño ha la correspondencia, se le comparado el conjunto de las pregunta si está seguro de hay fichas con el de los caramelos igualito y el conjunto de las fichas con 3. Se le pregunta si él cree que el de los ladrillo y de ahí hay igualito de ladrillitos que deducirá (sin hacerla de caramelos o si hay más realmente) una comparación ladrillos o más caramelos. entre los caramelos y los ladrillitos. b) La transitividad después de realizadas transformaciones sobre Si llamamos A al conjunto de fichas, B al de los caramelos 40
- 12. y C al de los ladrillitos, mismo número de elementos que los diremos que el niño ha anteriores. El aula empezará seguramente establecido, por a “llenarse” con conjuntos de cuatro correspondencia, que A = B y formándolos hasta que comprendan: que A = C. De la 1. Que podrían seguir combinación de estas dos indefinidamente formando comparaciones deducirá que B conjuntos de cuatro elementos, lo = C. cual constituirá una aproximación Una variante de estos ejercicios sería intuitiva al hecho del que el hacer comparar por correspondencia A y número cuatro puede ser B, luego B y C y finalmente preguntar, representado por infinitos sin comparación efectiva, si A es o no conjuntos de cuatro elementos. igual a C. Es muy probable que los niños 2. Que, lo que uno le interesa es la del segundo estadio respondan mejor a la propiedad numérica de los situación a. que a la situación b., ya que conjuntos, no importa es decir, en la situación b. no lograrán siquiera pueden abstraerse las propiedades afirmar la igualdad se acaben los libros cualitativas de los conjuntos de los del aula, los niños crean que cuando una elementos. de las hileras está transformada, pero será válido de todos modos plantearles el Al principio los niños formarán problema y dejarlos discutir y, en caso de seguramente conjuntos con materiales que algunos similares a los utilizados por la maestra afirmen la equivalencia numérica y otros para el primer conjunto. Si éste estaba no, permitirles verificar a través del formando por libros, es posible que, establecimiento de la correspondencia. cuando se acaben los libros del aula, los Los primeros ejercicios de este tipo se niños crean que no se puede seguir harán con conjuntos de muchos elementos formando conjuntos. Si ocurre esto, la (ocho elementos o más) para que los maestra preguntará si están seguros de niños se vean obligados a utilizar la que no se puede seguir, “¿En que se correspondencia término a término al parecen estos conjuntos?” “¿Les parece formarlos. Luego se trabajara con que se puede formar algún otro que tenga conjuntos de pocos elementos: dos, tres, 4 elementos?”. En caso de que a ningún etc. niño se le ocurra (lo que no es probable) El trabajo con conjuntos de pocos la maestra formará, por ejemplo un elementos puede comenzarse con una conjunto de 4 gises y preguntará si ese actividad colectiva, en la que la maestra conjunto se parece a los anteriores. forme un conjunto de, por ejemplo, cuatro Seguramente los niños comprenderán elementos, pida a un niño que forme otro entonces que no es necesario que sean que tenga el mismo número de elementos libros, puesto que lo que ahora importa es (es decir que se “parezca” al conjunto que se parezcan en el número. Empezarán formado en el número de elementos). entonces a formar conjuntos con Luego se pedirá a otro niño que forme elementos diversos del aula. otro conjunto que se parezca a los dos ya Hasta este momento, los conjuntos formados en lo mismo y finalmente, se serán de todos modos homogéneos, es pedirá a todos los niños que formen todos decir que cada conjunto estará formado los conjuntos posibles que tengan el por elementos pertenecientes a la misma 41
- 13. clase. Si no surge espontáneamente, la los elementos que se parecen”. Los niños maestra puede formar un conjunto formarán así en un sitio la familia de los constituido, por ejemplo, por una silla, un conjuntos de 4 elementos, en otro sitio la niño, un lápiz y un libro y preguntar si familia de los conjuntos de 3 elementos, ella puede formar ese conjunto y decir etc. Se preguntará si en cada familia que se parece a los anteriores. En el caso podría colocarse algún conjunto más. Los de que algún niño lo haya hecho niños darán (verbalmente) ejemplos de espontáneamente, se analizará también la otros conjuntos que podrían incluirse en situación. Los niños verán entonces que, cada familia, hasta que esté claro que, cuando se trata de formar conjuntos que como dijo un niño, “todo el mundo” se parezcan entre sí, lo único necesario podría organizarse en conjuntos de 2, 3 o que los conjuntos tengan 4 elementos. 5 elementos. c) Transformar conjuntos Se podrá plantear el problema siguiente: pertenecientes a una familia en “¿Cómo vamos a llamar a este conjunto?” conjuntos pertenecientes a otra Se verá entonces que una posibilidad es familia: decir que es un conjunto de 4 cosas y otra Esta situación puede plantearse a partir posibilidad es decir que se trata de un de la anterior, o bien puede empezarse conjunto constituido por “una silla, un pidiendo a los niños que formen una lápiz, un niño y un libro”. Es decir que en familia de conjuntos de 3 elementos, otra este caso sólo se puede definir al conjunto familia de conjuntos de 5 elementos, otra por extensión (nombrando todos y cada familia de 4, etc. (por ejemplo, que uno de los elementos que lo componen) queden formadas las “familias de ya que, como los elementos no se parecen conjuntos” de 2, 3, 4 y 5 elementos. entre sí, no se puede encontrar una Se elegirá entonces a un niño que definición por comprensión. Este funcionará como “operador”. Recordemos problema no se nos había presentado que en la tesis sobre clasificación hemos antes, mientras clasificábamos a los utilizado ya la noción de operador, en las elementos en base a propiedades situaciones de reunión y disociación de cualitativas comunes, se nos presenta sólo conjuntos. El operador es el que introduce cuando clasificamos los conjuntos en base una modificación sobre un conjunto dado. a la propiedad numérica. En este caso la modificación que Este tipo de ejercicio puede repetirse introducirá será agregar un elemento en con uno o dos números más, o sea uno de los conjuntos de una familia formando conjuntos equivalentes de 3 o 5 determinada. Por ejemplo, se le pedirá: elementos, hasta que estemos seguros de “vas a agregar un elemento en uno de los que los niños han comprendido los dos conjuntos de la familia de 3 elementos”. aspectos a los que acabamos de aludir. El niño lo hará y luego se preguntará: b) Formar “familias” (o clases) de “¿Qué ocurrió con este conjunto?” conjuntos: “¿Sigue perteneciendo a esa familia?” La maestra formará varios conjuntos de Los niños verán que ese conjunto ya no se 3 elementos, varios de 5 elementos, parece en la propiedad numérica a los varios de 2, varios de 4, cuidando de que otros de la misma familia. “¿Qué haremos los conjuntos que tienen el mismo entonces con él?” Sin duda los niños cardinal no queden cerca unos de otros. propondrán pasarlo a la familia a la que Se pedirá a los niños que “pongan juntos debe pertenecer ahora, es decir a la 42
- 14. familia de los conjuntos de 4 elementos. que los niños entiendan que se trata, cada Se repetirá esa situación partiendo de las vez, de formar un conjunto equivalente al distintas familias de conjuntos formadas y anterior y agregar luego un elemento, es se verá que, en todos los casos, al actuar decir que cada conjunto tendrá un el operador “agregar un elemento”, el elemento más que el anterior. Se señalará conjunto sobre el cual actuó pasa a luego el primer conjunto de la serie, se pertenecer a otra familia. preguntará cuántos elementos tiene y se Luego se hará lo mismo con el pedirá a los niños que prevean cuántos operador “sacar un elemento” finalmente elementos tiene el siguiente, que se aplicarán sucesivamente los operadores comprueben si su previsión es acertada y “agregar 1” y “sacar 1”, de la siguiente prevean cuántos elementos tiene el manera: supongamos que los niño siguiente, y así sucesivamente hasta agregan un elemento en uno de los terminar la serie. Luego se hará lo mismo, conjuntos de la familia “2”. Ese conjunto pero empezando por el último conjunto pasará a pertenecer a la familia “3”. Se de la serie y pidiendo que prevean pedirá entonces al niño que representa al cuántos elementos tiene el anterior. Si operador “sacar 1” que saque un elemento esto ocasiona dificultades, se puede de uno de los conjuntos de la familia “3”. construir otra serie, empezando esta vez Se verá entonces que ese conjunto pasa a por ejemplo por un conjunto de 7 pertenecer a la familia “2”. El objetivo elementos, formando otro conjunto perseguido es que los niños comprendan equivalente y sacándole un elemento y así que el operador “sacar 1” tiene un efecto sucesivamente, hasta llegar a formar el exactamente contrario al del operando conjunto de un elemento. “agregar 1”. Se hará esto varias veces, partiendo cada vez de una familia de conjuntos diferente, empezando a veces por el operador “agregar 1” y otras veces por el operador “sacar 1”. Se reproducirá todo el trabajo realizado con estos operadores, pero utilizando “agregar dos elementos” y “sacar dos elementos”. F. Seriación de conjuntos. Será entonces sobre ésta serie que se a) Formar conjuntos agregando un preguntará --después de enumerar un elemento cada vez: conjunto dado-- cuántos elementos tendrán el siguiente y el anterior. Esto se La maestra comenzará formando un hará primero en forma ordenada, luego conjunto de dos elementos, luego formará salteando conjuntos. al lado un conjunto equivalente y le b) Ordenar conjuntos, en forma pedirá a un niño que agregue un creciente y decreciente: elemento, luego formará con conjunto Se presentará un conjunto de 6 equivalente al anterior y le pedirá a un elementos, otro de 4, otro de 7, otro de 1, niño que agregue un elemento, luego etc. (de modo que representen todos los pedirá a los niños que continúen haciendo números del 1 al 7), en forma lo mismo. Mostramos el resultado de esto desordenada. Se pedirá a los niños que los en el dibujo siguiente: Es importante ordenen desde el que tiene menos 43
- 15. elementos hasta el que tiene más bien dejan de lado los elementos elementos. Realizado el ordenamiento, se “repelidos” y ordenan uno solo de los que harán preguntas del siguiente tipo: “¿Qué tienen el mismo tamaño, o bien forman habría que hacer para que éste (el de 1 con los niños del mismo tamaño una elemento) tenga igualito de elementos que hilera perpendicular a la serie. éste (el de 2)?” Y así - sucesivamente, Ambas soluciones son válidas para el señalando (primero en forma ordenada y ordenamiento de familias de conjuntos: o luego salteando conjuntos) cada conjunto bien se elige un solo conjunto de cada de la serie y el siguiente. Luego se “familia”, y entonces se lo está deshará la serie de conjuntos y se les considerando como representante de su pedirá que vuelvan a ordenarlos, pero esta clase y se ordenan esos representantes, o vez de mayor a menor. Se efectuará bien se forman las familias de conjuntos y entonces el mismo trabajo que antes: se ordenan las familias mismas. Es “¿Qué habría que hacer para que éste (el indudable que, por analogía con la de 7 elementos) tuviera igualito que éste situación de seriación por tamaño, los (el de 6)?”, también primero en forma niños podrán aplicar una de las dos ordenada y luego salteando conjuntos. soluciones a la seriación numérica. Luego se preguntará que habría que hacer para transformar a cada conjunto en siguiente, y en el anterior. c) Ordenar familias de conjuntos en forma creciente y decreciente: Se presentarán a los niños varios conjuntos de 2 elementos, varios conjuntos de 3, etc. (hasta 6 ó 7), en forma desordenada, y se les pedirá que ordenen de tal modo que cada conjunto tenga un elemento más que el anterior: (Gráfico siguiente). Es probable que los niños hagan varias series, poniendo en cada una un conjunto de dos elementos, un conjunto de 3, etc. Se les pedirá que queremos que haga una sola serie con todos los conjuntos. Seguramente se desconcertarán y dirán que eso no se puede hacer. Se insistirá en que encuentren una manera de hacerlo. En caso de ser necesario, puede realizarse una situación de seriación por tamaño con los mismos niños: encontraremos niños que tienen el mismo tamaño “¿Qué’ hacemos con ellos?” Como ya hemos visto en la tesis sobre seriación, los niños dan dos soluciones: o 44
- 16. Queremos hacer notar que hemos sala podía constituir un conjunto, puesto omitido—voluntariamente-- la que su color de cabello era diferente al de consideración del “conjunto vacío” y del las demás y que podía haber ocurrido que “conjunto unitario”. Ambas nociones son hubiera en la clase otro niño pelirrojo y muy difíciles para los niños en edad de en ese caso ellos no hubieran dudado en preescolar. La primera, porque el constituir un conjunto de pelirrojos, etc. conjunto vacío es, por definición, el Pero el objetivo de esta explicación era conjunto que no tiene elementos. El niño exclusivamente que Laura no se sintiera llega a la noción de conjunto a través de mal. La maestra sabía (y era difícil la clasificación de elementos concretos y dudarlo a juzgar por lo ocurrido) que los pensar en un conjunto sin elementos niños no podían entender muy bien lo que resultará de un nivel de abstracción ella decía. incomprensible para él. Está comprobado De cualquier manera, este problema que los niños sólo compren de esta noción surgirá cuando efectúen los ejercicios en hacia los 11-12 años. El caso del conjunto que interviene el operador “sacar”: si los unitario es menos grave, pero presenta niños le han sacado un elemento a un también sus dificultades: la noción de conjunto de 3 o 4, seguramente se lo conjunto resulta, como dijimos recién, de sacarán también al conjunto de 2 y les la clasificación. Esta consiste, quedará un elemento. Lo más probable es básicamente, en la agrupación de que ellos no se cuestionen si ese elemento elementos. Es por lo tanto muy difícil es un elemento o un conjunto. También se para el niño pensar que va a “agrupar” un le ocurrirá a alguien sacarle un elemento solo elemento. Piaget ha mostrado que los al conjunto de un elemento y entonces no niños pequeños tienen, aun en los quedará ningún elemento. Dirán entonces comienzos del periodo operatorio-- “¡Pero no queda nada!”. Dejémoslo así. concreto, una gran resistencia a utilizar La educación no se termina en el nivel los criterios de clasificación que los preescolar. En el futuro tendrán tiempo de conducirán a formar un conjunto unitario. reflexionar sobre el conjunto vacío, sobre Contaremos al respecto una experiencia el conjunto unitario, sobre el conjunto personal: los niños de un grupo unitario y también sobre muchas otras preparatorio estaban realizando una cosas. actividad de clasificación espontánea, en la que el universo considerado eran ellos La representación de la correspondencia mismos. Eligieron entre otros, como criterio clasificatorio el color del cabello. En los libritos de Matemática para uso de Los niños de cabello oscuro comenzaron los niños preescolares, las tareas a agruparse, los rubios también. La representativas de la correspondencia maestra vio que una niñita (Laura) suelen ser presentadas de la siguiente caminaba des orientada por el salón. manera: Laura era pelirroja y no había en el grupo ningún otro niño pelirrojo. La maestra preguntó a todos los niños “¿Y qué hacernos con Laura?” Un decidido coro infantil le contestó: “¿Que se vaya?” La maestra tuvo que dar entonces una sensata explicación diciendo que Laura 45
- 17. “Une con una flecha cada tacita con su situación de transición, con objetos que platico” no pueden moverse. Supongamos, por ejemplo, que acabamos de establecer una correspondencia efectiva, utilizando las chaquetas de los niños y el perchero (fijo en la pared). Hemos preguntado si alcanzan los ganchos del perchero para colgar las chaquetas de los niños. Ellos habrán colgado cada chaqueta en un gancho y encontrado; por ejemplo, que sobran algunos ganchos. La maestra preguntará entonces “¿Y qué pasaría si fueran los niños del otro preparatorio los que estuvieran en este salón?” Si analizamos en función de lo que ya “¿Alcanzarían los ganchos?” hemos dicho esta forma de plantear el “¿Sobrarían?” Los niños preguntarán problema, podemos observar que: cómo pueden hacer para saberlo, ya que 1) La consigna no se refiere al las chaquetas de los otros niños no están número de elementos, de modo allí. La maestra dibujará entonces en el que el niño no sabrá que pizarrón las chaquetas (sería mejor que el es lo que está haciendo cuando, pizarrón no estuviera muy cerca del obedeciendo la consigna, traza las perchero). “¿Bueno, y ahora, como flechas. podemos hacer?” Los niños verán que no 2) Como el trazado de la flecha ya pueden mover ni los ganchos del perchero está sugerido en el dibujo, y como ni las chaquetas dibujadas en el pizarrón. los elementos están dispuestos ya Entonces intentarán inventar alguna uno frente a otro, el niño no tendrá manera de poner en correspondencia siquiera el esfuerzo de decidir chaquetas y ganchos. cómo apareará los elementos, es Entonces intentarán inventar alguna decir que su trabajo se limitará manera de poner en correspondencia pura y simplemente a copiar un chaquetas y ganchos. Algunos dibujo, a trazar una flecha. propondrán dibujar un ganchito en cada No presentaremos entonces el trabajo chaqueta. Otros propondrán atar un trozo representativo de esta manera, sino que, de pabilo en cada gancho y llevarlo hasta en primer lugar, trataremos --como lo cada chaqueta, fijándolo con una chinche, hemos hecho en el caso de la otro dirán qué un niño señalará cada clasificación-- de que el niño comprenda chaqueta mientras otro señala cada la novedad del problema que se le gancho, otros pensarán que se puede plantea: como los elementos están poner un número en cada chaqueta y dibujados en una hoja de papel, no escribir el mismo número al lado del pueden moverse para enfrentarlos y gancho correspondiente. Todas estas establecer así la correspondencia óptica. soluciones se llevarán a la práctica. Una Habrá que encontrar entonces una manera niña propuso una vez fijar los ojos en un diferente de establecerla. gancho y hacer girar su cabeza hasta que sus ojos se posaran en una chaqueta, y así En primer término, presentaremos una sucesivamente. La maestra le dijo que lo 46
- 18. hiciera y salió del aula. Luego volvió y - Pedir a los niños que dibujen dos preguntó: “Bueno, ¿qué hiciste? Yo no conjuntos que tengan el mismo veo nada”. Los niños dijeron entonces número de elementos. que era mejor hacerlo de una manera que - Dibujar muchos conjuntos (de se conservara, para que pudieran enterarse elemento diferentes) equivalentes los que no lo hubieran visto. La a uno dado. La tarjeta puede importancia de esto es justamente el valor presentarse así: de la representación: no desaparece cuando se pasa a otra tarea, sino que permanece a la disposición de los que necesitan ó quieran “leerla”. --Establecimiento de correspondencia entre dos conjuntos dibujados: - Formar familias de conjuntos, Se dibujan en el pizarrón dos conjuntos, dados varios conjuntos de 10 a 12 elementos cada uno, para que equivalentes y no equivalentes. el problema no pueda resolverse por Los niños podrán utilizar aquí la simple percepción, lo cual haría difícil la forma de representación que correspondencia. Por otra parte, el dibujo emplean para la clasificación. debe estar hecho de modo que los Ejemplo de tarjeta: elementos no estén puestos ya espacialmente en correspondencia: como sobre la hoja de papel no podemos transformar la disposición espacial, será necesario proponerla ya transformada, por ejemplo: -Ordenar conjuntos de tal modo que cada uno tenga un elemento más (o un elemento menos) que el anterior. - Dado un conjunto (dibujado en una tarjeta) pedir al niño que dibuje otro que tenga el mismo número de elementos (o que tenga un elemento más o un elemento menos). 47
- 19. Conclusiones UNO DOS TRES CUATRO Deseamos recordar, a modo de síntesis, que los aspectos fundamentales a tener en cuenta Cuando, en situaciones como ésta, el cuando se planifica una situación niño dice “cuatro”, esto no significa didáctica referida al número, sea ésta necesariamente que comprende que concreta o representativa son los “cuatro” es el cardinal del conjunto siguientes: constituido por el 4° y todos los Nunca debemos conformarnos con precedentes, sino que “cuatro” puede ser situaciones que plantean los simplemente para él un nombre conjuntos en disposiciones adjudicado a ese cuarto elemento: por lo espaciales privilegiadas, ya que el tanto lo importante es que el niño cuente reconocimiento del número o la en situaciones en las que el número equivalencia numérica en una obtenido será puesto en comparación (o disposición determinada no en contradicción) con las conclusiones garantiza de ningún modo que el que extrae de las deformaciones de la número se conserve al variar dicha configuración, tal como hemos propuesto disposición. Será por lo tanto en el punto B. necesario efectuar siempre transformaciones sobre las Dado que uno de los factores configuraciones presentadas. importantes que lleva a la conservación No debe enfatizarse en absoluto el del número es la coordinación de las aprendizaje “en vacío” de la diversas variables en juego, será numeración hablada ya que, como fundamental tratar del que el niño tome hemos visto, el hecho de “saber conciencia de las contradicciones en que contar” no garantiza de ningún incurre al centrarse en forma alternativa modo manejo del número. Puede (y no coordinada) en cada una de esas alentarse, en cambio, la variables, tal como hemos propuesto en utilización del esquema de contar los ejercicios de tipo A. colecciones reales de objetos, ya que el contar objetos es una forma del esquema más general de poner en correspondencia. Pero, para que este esquema sea operativo no debe utilizarse aisladamente, sino en situaciones en las que esté en juego la equivalencia numérica de dos conjuntos. Utilizado aislada mente, el esquema de contar puede ser simplemente colocarle una etiqueta verbal a cada objeto: 48