Logica laso

Algunos
conceptos
elementales
de
lógica1

Eduardo
Laso

¿Qué
es
la
lógica?

Imaginemos
a
un
estudiante
que
debe
elegir
su
futura

carrera
profesional.
Luego
de
varias
cavilaciones
en
torno
de
sus

intereses,
las
alternativas
de
salida
laboral
y
los
consejos
de

familiares
y
conocidos,
decide
que
orientará
su
formación
en
el

campo
de
las
ciencias
sociales.
Sus
opciones
se
detienen
en
dos

alternativas:
psicología
y
sociología.
Luego
de
considerarlas,

descarta
la
psicología,
así
que
se
decide
por
la
sociología.
Lo
sepa
o

no,
ha
llegado
a
esta
conclusión
mediante
un
razonamiento.

Previamente
fue
descartando
otras
opciones
mediante
un
curso
de

pensamientos
en
el
que
se
han
puesto
en
juego
deseos,
intereses,

gustos
y
otros
procesos
psíquicos,
hasta
llegar
a
una
alternativa
de

la
que
descarta
una
para
quedarse
con
la
otra.
Este
razonamiento
se

puede
escribir
así:

1

El
presente
artículo
desarrolla
algunos
conceptos
básicos
de
la
lógica

formal
a
título
introductorio
al
tema,
con
el
objeto
de
allanar
el
camino

para
la
posterior
comprensión
de
los
temas
sobre
métodos
de

investigación
científica.
Apuntando
a
ese
objetivo,
el
texto
realiza
una

simplificación
de
un
conjunto
de
problemas
de
las
ciencias
formales
para

facilitar
una
primera
aproximación
al
concepto
de
razonamiento
y
de

validez.
Para
aquellos
que
estén
interesados
en
profundizar
en
la
compleja

temática
de
la
lógica,
pueden
remitirse
a
los
textos
que
se
encuentran
al

final
como
bibliografía
y
en
los
que
este
artículo
se
basa.

Estudiaré
la
carrera
de
psicología
o
la
carrera
de
sociología

Pero
no
estudiaré
psicología

___________________________________________________

Así
que
estudiaré
sociología

¿Qué
le
interesa
a
la
lógica
como
disciplina
en
este
breve

ejemplo?
No
el
proceso
mental
por
el
que
nuestro
estudiante
llegó
a

esta
conclusión.
Mucho
menos
los
factores
subjetivos
o
de
otro

orden
que
pudieron
mediar
para
alcanzar
una
alternativa
como

psicología
o
sociología.
Ni
siquiera
le
interesa
el
contenido
mismo

del
razonamiento:
no
es
materia
de
la
lógica
lo
que
hará
nuestro

estudiante
en
su
futura
vida
laboral.
En
lo
que
se
detendrá
la
lógica

es
en
el
razonamiento
mismo,
con
independencia
de
su
contenido

informativo.
Su
punto
de
interés
será
determinar
si
el
razonamiento

es
correcto.
Y
para
serlo,
la
conclusión
obtenida
se
debería

desprender
o
inferir
de
los
enunciados
de
los
que
parte,
o
sea,
de

sus
premisas:
dado
que
partimos
de
una
opción
entre
dos

alternativas
(estudiar
psicología/estudiar
sociología)
y
que
se

descarta
una
de
ellas
(estudiar
psicología),
se
concluye
que
se
afirma

la
otra
alternativa
(sociología).
Está
claro
que
el
interés
de
la
lógica

radica
en
la
forma
misma
del
razonamiento
y
no
en
su
contenido.
De

ahí
que
se
pueda
sustituir
las
proposiciones
por
letras
y
decir
que
si

aceptamos
que
hay
dos
alternativas
p
o
q,
y
descartamos
una
de

ellas
–por
ejemplo
p-‐
entonces
sólo
se
puede
concluir
q.

En
contraste
con
este
ejemplo,
supongamos
que
el

estudiante
hubiese
hecho
este
razonamiento:

Estudiaré
la
carrera
de
psicología
o
la
carrera
de
sociología

Pero
no
estudiaré
psicología

_______________________________________________

Así
que
estudiaré
filosofía

En
este
caso,
más
allá
de
si
efectivamente
sea
verdad
que

nuestro
estudiante
termine
estudiando
filosofía,
la
lógica
podrá

plantear
que
el
razonamiento
es
incorrecto:
no
se
desprende
de
los

puntos
de
partida
planteados
que
se
pueda
llegar
a
la
conclusión

propuesta.
El
razonamiento
es
en
este
caso
inválido
o
incorrecto.
Es

lo
mismo
que
si
hubiese
dicho:

p
o
q

No
p

___________

Por
lo
tanto
r

No
hay
manera
de
justificar
la
conclusión
a
partir
de
los

puntos
de
partida
que
se
tomaron.
No
se
desprende
r
de
la

alternativa
p
o
q
y
no
p.
De
este
tema
se
interesa
la
lógica:

determinar
la
corrección
de
las
relaciones
de
implicación
entre

proposiciones,
es
decir,
de
los
razonamientos.
Estudia
los
métodos
y

principios
que
permitan
distinguir
el
razonamiento
correcto
del

incorrecto.2

La
lógica
no
estudia
las
leyes
del
pensamiento,
que
es
uno

de
los
temas
de
estudio
de
la
psicología.
Si
bien
todo
razonamiento

implica
un
ejercicio
del
pensamiento,
al
revés
no
todo
el

pensamiento
es
un
razonamiento.
E
incluso
al
pensar
un

razonamiento,
no
es
materia
de
la
lógica
el
proceso
intelectivo

mismo
o
aquellos
procesos
mentales
que
condujeron
al

razonamiento
sino
sólo
el
razonamiento
mismo,
con
independencia

de
quien
lo
piense
y
de
los
procesos
psicológicos
involucrados
en

producirlo.
De
hecho,
la
mayor
parte
del
tiempo
los
procesos
de

pensamiento
no
siguen
las
leyes
de
la
lógica
clásica,
sino
leyes

psicológicas
ajenas
a
los
principios
lógicos.
Cabe
agregar
que
la

psicología
es
una
ciencia
de
hechos,
no
una
ciencia
formal
como
la

lógica.

Tampoco
la
lógica
estudia
el
razonamiento
en
tanto
un

especial
género
de
pensamiento
en
el
que
se
realizan
inferencias
y

se
derivan
conclusiones
a
partir
de
premisas.
Estudiar
determinado

tipo
de
procesos
de
pensamiento
sigue
siendo
materia
de
estudio
de

la
psicología
y
no
de
la
lógica.
No
son
de
la
incumbencia
de
la
lógica

los
oscuros
caminos
por
los
cuales
la
mente
llega
a
sus
conclusiones

2

En
cambio
es
materia
de
la
Filosofía
de
la
lógica
la
reflexión
en
torno
de

los
conceptos
que
la
lógica
como
ciencia
formal
aplica:
qué
es
“inferencia”,

“verdad”,
“validez”,
“implicación”,
etc.
Como
tal,
la
filosofía
de
la
lógica
no

hace
lógica,
sino
filosofía
aplicada
a
los
conceptos
que
la
lógica
emplea.
Del

mismo
modo
como
la
filosofía
de
la
ciencia
–la
Epistemología-‐
no
hace

ciencia
sino
filosofía:
se
pregunta
por
los
conceptos,
métodos
y
supuestos

en
los
que
la
ciencia
misma
se
basa
en
su
quehacer.

durante
los
procesos
mentales
de
razonamiento.
A
la
lógica
sólo
le

interesa
el
razonamiento
en
sí
mismo
como
producto
final
de
ese

proceso,
para
determinar
si
el
mismo
es
correcto
o
no.
Es
decir,
si
el

razonamiento
es
válido
o
inválido.
La
pregunta
que
se
hace
la
lógica

como
ciencia
formal
es
si
la
conclusión
del
razonamiento
se
deriva
o

no
de
las
premisas
o
puntos
de
partida.
Un
razonamiento
es

correcto
o
válido
si
la
conclusión
se
desprende
necesariamente
de

las
premisas,
es
decir,
si
las
premisas
constituyen
un
fundamento
de

la
conclusión
de
manera
tal
que
de
llegar
a
afirmar
la
verdad
de
las

premisas
entonces
queda
garantizada
la
verdad
de
la
conclusión.

La
lógica
estudia,
en
otras
palabras,
las
relaciones
de

implicación
entre
proposiciones,
es
decir,
los
razonamientos.
Como

ciencia
formal,
se
desinteresa
por
el
contenido
de
las
proposiciones

que
conforman
los
razonamientos,
para
detenerse
en
determinar
si

la
conclusión
de
un
razonamiento
se
deduce
necesariamente
o
no

de
sus
premisas.

Término,
oración
y
proposición

Un
término
es
una
palabra
–o
conjunto
de
palabras-‐
que

poseen
una
significación
referida
a
cosas,
o
a
cualidades
o

características
de
las
mismas.
Por
ejemplo
“casa”,
“perro”,
“lindo”,

“alto”,
“valeroso”,
“mortal”,
“el
autor
del
Martín
Fierro”
son

términos,
dado
que
refieren
a
un
objeto,
o
a
una
característica
o

propiedad
del
objeto.

Los
términos
se
limitan
a
mencionar
cosas,
no

afirman
nada
de
las
cosas
mencionadas.

Los
términos
pueden
ser
categoremáticos
o

sincategoremáticos.
Se
llaman
categoremáticos
a
los
términos
o

palabras
que
poseen
significado
por
sí
mismos
(por
ej.
“gato”,

“rojo”,
“bueno”,
“Argentina”.
En
cambio
los
términos

sincategoremáticos
sólo
adquieren
sentido
por
su
unión
a
los

categoremáticos
(por
ej.
los
artículos
(el,
la,
los,
las),
adverbios
(ya,

como,
tal
vez,
casi,
más),
pronombres
(éste,
alguno,
mío).
Si
decimos

la
oración
“los
perros
son
negros”,
los
términos
“perros”
y
“negros”

son
términos
categoremáticos,
en
cambio
“los”
y
“son”
no
designan

ningún
objeto
o
propiedad
del
objeto.
El
verbo
“es”
o
“son”
se
limita

a
afirmar
una
conexión
entre
los
términos.

El
término
constituye
la
unidad
mínima
de
sentido
en
el

lenguaje.
Si
tomamos
un
término
cualquiera

(por
ej.
“casa”)
y
lo

analizamos
en
sus
partes
componentes,
enseguida
advertimos
que

el
término
está
formado
por
letras
(c/a/s/a).
“Casa”
tiene
un

sentido,
pero
cada
una
de
las
letras
con
las
que
está
formada
ya
no

lo
tiene.
Las
letras
no
significan
nada,
sólo
cumplen
la
función
de

soportar
fonemas
del

idioma
en
que
nos
comunicamos.

Dado
que
las
letras,
a
diferencia
de
los
términos,
no

significan
nada,
se
las
emplea
en
ciencias
formales
para
poder

escribir
formas,
estructuras,
o
variables.
Así
por
ej.
en
aritmética
si

queremos
escribir
un
número
cualquiera
y
no
uno
específico,

empleamos
las
letras
X,
Y
o
Z.
Lo
mismo
pasa
en
lógica:
si
queremos

representar
formalmente
términos
o
proposiciones
abstrayendo
su

contenido
informativo,
nuevamente
el
recurso
será
la
letra
(por
ej.

A,
B
o
C
para
términos,
p,
q,
r,
s
para
proposiciones).

Las
oraciones
están
formadas
por
términos
conectados

entre
sí.
La
vinculación
entre
los
términos
para
formar
oraciones
no

puede
ser
azarosa.
No
es
lo
mismo
decir
“el
día
está
nublado”
que

decir
“nublado
el
está
día”.
Las
reglas
sintácticas
y
gramaticales

propias
de
cada
lengua
determinan
cómo
deben
construirse

oraciones
bien
formadas
en
cada
lengua.
Tales
reglas
son

convencionales
y
no
responden
a
una
cuestión
lógica.
De
ahí
que

diversas
lenguas
cuenten
con
diferentes
reglas
sintácticas
y

semánticas.
El
estudio
de
estas
reglas
forma
parte
de
la
lingüística,

que
es
una
ciencia
fáctica.
Las
reglas
gramaticales
no
tienen
nada

que
ver
con
reglas
lógicas,
sino
con
convenciones
culturales.

Desde
la
gramática
es
posible
clasificar
las
oraciones
en
base

a
los
usos
o
funciones
del
lenguaje.
Hay
tres
funciones
o
usos

principales
que
podemos
distinguir:
el
uso
informativo,
el
directivo
y

el
expresivo.

• Función
informativa:
En
el
uso
informativo
empleamos
el

lenguaje
para
comunicar
información.
Para
ello
empleamos

oraciones
declarativas
en
las
que
informamos
algo
acerca

del
sujeto
de
la
oración.
Tal
información
puede
ser

verdadera
o
falsa.
“Todos
los
hombres
son
mortales”,
“Juan

lee”,
“el
triángulo
tiene
tres
lados”,
“San
Martín
cruzó
los

Andes”
o
“los
elefantes
vuelan”
son
todos
ejemplos
de

oraciones
declarativas
o
de
uso
informativo.
Las

proposiciones
afirman
o
niegan
algo
acerca
del
sujeto
de
la

oración.
Nos
dicen
que
“es
el
caso
de
que
X”,
y
por
lo
tanto

lo
que
nos
informan
puede
ser
verdadero
o
falso.

• Función
directiva:
en
el
uso
directivo
apuntamos
a
producir

o
causar
una
acción
en
el
receptor
del
mensaje.
Para
ello

empleamos
órdenes
o
consejos:
“siéntese”,
“hay
que
llegar

más
temprano”,
“váyase”,
“se
debe
respetar
al
prójimo”,

son
ejemplos
de
uso
directivo.
También
las
preguntas

pueden
ubicarse
en
esta
función,
ya
que
interpelan
al

receptor
de
la
pregunta
para
provocar
una
respuesta.

Consejos,
órdenes
y
preguntas
no
son
verdaderos
o
falsos,

ya
que
no
brindan
información
acerca
del
sujeto
de
la

oración.
Las
preguntas
pueden
responderse
pero
no
son

verdaderas
o
falsas.
“¿Qué
hora
es?”
no
informa
nada

acerca
de
la
hora,
y
apunta
a
que
quien
recibe
la
pregunta

dé
una
respuesta.
El
mismo
caso
ocurre
con
las
órdenes
y

los
consejos:
pueden
ser
obedecidos
o
no,
pero
no
son

verdaderos
o
falsos.
“Siéntese”
o
“Hay
que
estudiar”
pueden

ser
enunciados
a
acatar
o
a
rechazar,
pero
ellos
mismos
no

constituyen
una
información
que
pudiera
calificarse
como

posiblemente
verdadera
o
falsa.

• Función
expresiva:
el
uso
expresivo
del
lenguaje
apunta
a

manifestar
estados
emotivos
del
hablante.
No
informa

propiedades
o
características
del
sujeto
de
la
oración,
sino

que
comunica
sentimientos
de
aquel
que
habla.
“¡Qué

desgracia!”,
“¡Excelente!”,
“¡Dios
mío!”
constituyen

exclamaciones
que
expresan
las
emociones.
Éstas
pueden

proferirse,
pero
no
informan
nada
que
pueda
determinarse

como
verdadero
o
falso.
Manifiestan
estados
de
ánimo
del

hablante.
Tales
estados
pueden
ser
auténticos
o
simulados,

pero
ese
problema
es
terreno
de
la
psicología
y
no
de
la

lógica.
El
enunciado
expresivo
en
sí
mismo
no
tiene
valor
de

verdadero
o
falso
ya
que
no
explica
ni
describe
nada
acerca

del
sujeto
de
la
oración.

De
entre
estos
diferentes
tipos
de
oraciones,
nos
interesa

recortar
los
de
uso
informativo
o
declarativos,
dado
que
sólo
con

ellas
es
posible
hacer
razonamientos.
Este
tipo
de
oraciones
revisten

la
mayor
importancia
para
la
lógica,
dado
que
sólo
con
ellos
es

posible
establecer
relaciones
de
implicación.
No
es
posible
emplear

en
los
razonamientos
otro
tipo
de
oraciones,
ya
sean
órdenes,

exclamaciones
o
preguntas.

Ahora
bien,
la
lógica
considera
a
las
oraciones
declarativas
en
su

carácter
proposicional.
Se
desinteresa
por
el
problema
del

contenido
informativo
y
su
valor
de
verdad,
así
como
su
aspecto

gramatical
(o
sea,
las
palabras
con
las
que
se
construye
la
oración).

Una
proposición
en
lógica
es:

-‐ Una
oración
de
uso
informativo

-‐ Que
puede
ser
verdadera
o
falsa
(la
información
de
la

proposición
nos
dice
que
lo
que
afirma
“es
el
caso”
o

“acaece”,
y
será
verdadera
o
falsa
dicha
información
si
eso

que
afirma
que
acaece,
efectivamente
ocurre:
por
ej.
la

proposición
“Juan
es
pintor”
será
verdadera
si

efectivamente
Juan
es
un
pintor.
En
caso
de
que
fuera

abogado,
la
proposición
será
falsa).

-‐ Y
apunta
al
significado
de
la
oración
declarativa,
con

independencia
de
las
palabras
(por
ej.
“Juan
lee”,
“Juan
está

leyendo”
o
“John
reads”
son
tres
oraciones
declarativas
que

emplean
diferentes
palabras,
pero
por
tener
el
mismo

sentido
constituyen
la
misma
proposición
para
la
lógica.

Las
proposiciones
pueden
clasificarse
según
diferentes
criterios:

tradicionalmente
se
las
clasifica
por
cantidad,
cualidad,
modalidad
y

relación.
Nos
detendremos
en
la
clasificación
proposicional
por

cantidad.
En
ella
distinguimos
tres
tipos
de
proposiciones
en
función

de
la
cantidad
de
elementos
de
los
que
se
informa
o
predica
algo.
Lo

que
permite
distinguir
entre
proposiciones
singulares,
universales
y

particulares.

• Proposiciones
singulares:
Una
proposición
singular
es

aquella
que
informa
algo
acerca
de
un
solo
elemento
o

miembro
de
una
clase
o
conjunto.
Por
ej.
“Juan
lee”
es
una

proposición
que
informa
respecto
de
un
solo
individuo

(“Juan”)
la
propiedad
o
característica
de
que
“lee”.
Como

tal,
puede
ser
verdadera
o
falsa
la
información
de
que
Juan

lea.
Y
se
podrá
determinar
si
es
verdadera
o
falsa

contrastando
la
información
de
la
proposición
singular
con

el
hecho
al
que
se
refiere:
si
el
hecho
coincide
con
lo

informado
en
la
proposición,
en
tal
caso
la
proposición
es

verdadera.
De
lo
contrario
es
falsa.

• Proposiciones
universales:
una
proposición
universal

informa
algo
acerca
de
la
totalidad
de
los
elementos
o

miembros
de
una
clase
o
conjunto.
Por
ejemplo,
“Todos
los

hombres
leen”
informa
que
para
la
totalidad
del
conjunto

de
“los
hombres”
se
cumple
el
predicado
de
que
leen.
Las

proposiciones
universales
pueden
abarcar
un
conjunto

limitado
y
acotado
de
elementos,
o
referir
a
un
conjunto

infinito
o
innumerable
de
miembros
de
una
clase.
“Todos
los

alumnos
de
esta
clase
leen”,
a
diferencia
del
ejemplo

anterior,
remite
a
un
conjunto
limitado
y
abarcable
de

miembros.
Para
el
caso
de
proposiciones
universales
que

informa
sobre
un
conjunto
innumerable
o
infinito
de

elementos
–como
las
que
se
emplean
en
las
hipótesis
o
las

leyes
de
la
ciencia-‐
,
determinar
la
verdad
de
dichas

proposiciones
se
vuelve
imposible:
se
debería
contrastar
la

proposición
universal
con
la
totalidad
de
los
casos
que
ésta

abarca,
lo
que
resulta
impracticable.
En
cambio,
determinar

su
falsedad
no
constituye
un
problema:
basta
encontrar
un

caso
donde
no
se
cumpla
lo
que
afirma
la
proposición

universal,
para
saber
que
ésta
es
falsa.

• Proposiciones
particulares:
una
proposición
particular

informa
algo
acerca
de
por
lo
menos
un
elemento
o

miembro
de
una
clase
o
conjunto,
aunque
tal
vez
más.

“Algunos
hombres
leen”
significa
que
hay
por
lo
menos
un

miembro
de
la
clase
“hombres”
–tal
vez
más,
pero
por
lo

menos
uno-‐
que
“lee”.
Para
determinar
la
verdad
de
la

proposición
particular
alcanza
con
que
un
solo
caso
cumpla

lo
que
informa
la
proposición.
En
cambio
la
determinación

de
la
falsedad
de
la
proposición
particular
se
vuelve

imposible:
se
debería
verificar
para
la
totalidad
de
los

miembros
de
la
clase
o
conjunto
“hombres”
que
nadie
lea,
y

recién
allí
se
demostraría
la
falsedad
de
la
proposición

particular.
Pero
dado
que
el
conjunto
“hombres”
abarca
un

número
innumerable
de
elementos,
la
determinación
de
la

falsedad
se
vuelve
imposible.

En
ciencia
se
emplean
las
proposiciones
singulares
para

describir
hechos
o
para
recabar
datos.
Los
enunciados

observacionales
y
las
implicaciones
contrastadoras
de
hipótesis

se
construyen
en
base
a
proposiciones
singulares:
cada
dato,

cada
hecho
se
describe
en
una
proposición
singular.
En
cambio

en
la
ciencia
se
emplean
las
proposiciones
universales
para

plantear
hipótesis,
generalizaciones
o
leyes.

Formalización.
Lógica
de
términos

Como
ciencia
formal,
a
la
lógica
no
le
compete
el
estudio
del

contenido
informativo
de
las
proposiciones.
Le
basta
con
plantear

que
las
mismas
pueden
ser
verdaderas
o
falsas,
siendo
un
problema

de
las
ciencias
fácticas
-‐o
del
conocimiento
práctico-‐
determinar
si
la

información
de
las
proposiciones
coincide
o
no
con
los
hechos
a
los

que
se
refieren.
De
modo
que
a
la
lógica
no
le
interesa
el
contenido

informativo
de
la
proposición
sino
cómo
se
vinculan
las

proposiciones
entre
sí
de
manera
de
constituir
relaciones
de

implicación
válidas.
Lo
cual
es
independiente
del
contenido

informativo
que
contengan.
De
ahí
que
la
lógica
abstraiga
el

contenido
de
las
proposiciones
para
quedarse
con
su
forma
o

estructura.

Fue
Aristóteles
el
primero
en
fundar
las
bases
de
la
lógica

como
disciplina
de
las
ciencias
formales.
La
lógica
aristotélica
es

conocida
como
Lógica
de
términos,
dado
que
concebía
los
juicios
o

proposiciones
como
la
atribución
de
un
predicado
a
un
sujeto,
como

una
relación
entre
dos
términos
que
se
unen
en
la
afirmación
o
se

separan
en
la
negación.
El
juicio
o
proposición
aristotélica
se
concibe

así:
S
es
P
o
S
es
no
P.

Tomemos
el
ejemplo:
“Todos
los
hombres
son
mortales”,

proposición
universal
afirmativa.
No
es
tema
de
la
lógica
averiguar
si

es
verdadero
o
falso
el
hecho
de
que
los
hombres
sean
mortales.

Sólo
le
interesa
la
proposición
independientemente
del
contenido.

Vale
decir,
su
forma
o
estructura.

¿Cómo
podemos
abstraer
la
estructura
de
una
proposición?

Lo
que
nos
muestra
la
lógica
de
términos
de
Aristóteles
es
que
las

proposiciones
están
formadas
por
dos
tipos
de
términos:
variables
y

constantes,
en
función
de
la
estructura
proposicional.
Un
término
es

variable
si
su
sustitución
en
la
proposición
no
modifica
la
forma
de
la

proposición
misma.
En
nuestro
ejemplo,
son
términos
variables
“los

hombres”
y
“mortales”,
ya
que
si
los
cambiásemos
por
otros

términos
(por
ej.
“los
animales”
y
“vertebrados”,
o
“los
poetas”
y

“verdes”),
seguiríamos
teniendo
el
mismo
tipo
de
proposición:

seguiría
siendo
una
universal
afirmativa
(“Todos
los
animales
son

vertebrados”,
“Todos
los
poetas
son
verdes”).
De
modo
que
resulta

indiferente
el
término
variable
empleado
y
por
lo
tanto
puede
ser

cualquiera.
Así
que
puede
ser
reemplazado
por
una
letra:
“Todo
A
es

B”.

Diferente
es
el
caso
de
los
términos
constantes:
“todo”
no

es
intercambiable
por
“ninguno”
o
por
“algunos”,
dado
que
son

cuantificadores:
nos
indican
el
número
de
elementos
o
individuos
de

los
que
estamos
predicando
algo.
Lo
mismo
pasa
con
el
verbo
“ser”

que
cumple
la
función
de
conectar
o
vincular
los
términos
variables.

De
manera
que
dichos
términos
no
pueden
sustituirse
por
letras.
Lo

que
hace
que
la
lógica
aristotélica
no
alcance
una
formalización

completa
de
las
proposiciones,
ya
que
conserva
términos
del

lenguaje
cotidiano.
A
diferencia
de
la
posterior
lógica
proposicional,

no
puede
reducir
toda
proposición
posible
a
letra.

Si
sustituimos
los
términos
variables
por
letras,
la
estructura

de
una
proposición
universal
afirmativa
es:
“Todo
A
es
B”.
Si

reemplazamos
el
término
cuantificador
por
“Algunos”,

obtendríamos
una
proposición
particular
afirmativa.
Y
si
negamos
la

proposición
universal
afirmativa,
su
estructura
sería
“Ningún
A
es

B”,
mientras
que
la
negación
de
la
particular
afirmativa
nos
da

“Algún
A
no
es
B”.
Para
Aristóteles,
toda
proposición
posible
puede

reducirse
a
estas
cuatro
formas:

AFIRMATIVAS
NEGATIVAS

UNIVERSALES
Todo
S
es
P
Ningún
S
es
P

PARTICULARES
Algunos
S
son
P
Algunos
S
no
son
P

Una
vez
despejadas
las
estructuras
de
toda
proposición

posible,
Aristóteles
establece
las
relaciones
lógicas
que
presentan

entre
sí
estas
cuatro
estructuras
proposicionales:

TODO
A
ES
B

Contrarios

NINGUN
A
ES
B

ALGUNOS
A
SON
B

Subcontrarios

ALGUNOS
A
NO
SON
B

Contradictorios
Subalterna
Subalterna

1. Proposiciones
contrarias:
Proposiciones
universales

afirmativas
y
negativas
son
contrarias
entre
sí:
no
pueden

ser
ambas
verdaderas.
Si
es
verdad
que
“Todo
A
es
B”,

entonces
no
puede
ser
verdad
“Ningún
A
es
B”,
y
si
es

verdad
esta
última,
no
puede
ser
verdad
la
anterior.
Si
es

verdad
“Todos
los
hombres
son
mortales”,
entonces
es
falso

“Ningún
hombre
es
mortal”.
Y
si
es
verdad
“Ningún
hombre

es
cuadrúpedo”
entonces
es
falso
“Todos
los
hombres
son

cuadrúpedos”.
De
dos
contrarios,
uno
debe
ser
falso,

aunque
cabe
también
la
posibilidad
de
que
ambos

universales
pudieran
serlo:
por
ej.
“Todos
los
hombres
son

argentinos”
y
“Ningún
hombre
es
argentino”
son
ambas

falsas.

2. Proposiciones
subalternas:
De
toda
proposición
universal
es

válido
deducir
una
proposición
particular
correspondiente.

Si
afirmamos
o
negamos
algo
acerca
de
la
totalidad
de
los

miembros
de
una
clase
o
conjunto,
de
eso
se
sigue
que

estamos
afirmando
o
negando
algo
de
una
parte
de
ese

conjunto
mismo.
Si
“Todo
A
es
B”
es
verdadero,
entonces

necesariamente
también
es
verdadero
“Algunos
A
son
B”,

dado
que
esta
última
proposición
está
contenida
en
la

universal
afirmativa.
Lo
mismo
ocurre
con
las
universales

negativas
y
sus
particulares
negativas
correspondientes:
si

“Ningún
A
es
B”
es
verdadera,
entonces
necesariamente
es

verdad
que
“Algunos
A
no
son
B”,
porque
esta
última
está

contenida
en
la
información
de
la
universal
negativa.
Si

“Todos
los
alumnos
son
estudiantes
de
medicina”,
entonces

es
indudable
que
“Algunos
alumnos
son
estudiantes
de

medicina”
y
cada
uno
de
ellos
son
estudiantes
de
medicina.

Si
“Ningún
alumno
es
estudiante
de
medicina”,
entonces
es

seguro
que
“Algunos
alumnos
no
son
estudiantes
de

medicina”
y
que
cada
uno
de
ellos
no
estudia
medicina.
La

relación
inversa
es
en
cambio
lógicamente
incorrecta:
de

afirmar
o
negar
algo
acerca
de
una
parte
de
un
conjunto
de

elementos,
no
se
sigue
de
allí
que
se
pueda
afirmar
lo

mismo
de
la
totalidad
de
los
elementos
de
ese
conjunto.

Que
“Algunos
A
sean
B”
no
implica
que
“Todo
A
es
B”,
ni

que
“Algunos
A
no
sean
B”
tampoco
implica
que
“Ningún
A

sea
B”:
que
algunos
alumnos
estudien
medicina
no
implica

que
necesariamente
todos
estudien
medicina,
y
que
algunos

alumnos
no
estudien
medicina
no
implica
que
nadie
lo
haga.

Dicho
resumidamente:
es
lógicamente
correcto
deducir

proposiciones
particulares
de
los
universales

correspondientes,
pero
la
inversa
es
lógicamente
incorrecta.

3. Proposiciones
contradictorias:
Lo
que
contradice
–hace

falsa-‐
a
una
proposición
universal
afirmativa
es
una

proposición
particular
negativa,
y
lo
que
contradice
a
una

proposición
universal
negativa
es
una
proposición
particular

afirmativa.
¿Qué
haría
falsa
la
afirmación
“Todos
los

alumnos
son
porteños”?
Que
haya
algunos
alumnos
que
no

lo
son.
¿Qué
haría
falsa
la
afirmación
“Ningún
alumno
es

porteño”?
Que
haya
algunos
alumnos
que
sean
porteños.

4. Proposiciones
subcontrarias:
proposiciones
particulares

afirmativas
y
negativas
son
subcontrarias
entre
sí.
Esto

significa
que
no
pueden
ser
ambas
falsas,
aunque
pueden

ser
ambas
verdaderas.
Si
afirmamos
“algunos
hombres
son

inmortales”
y
“algunos
hombres
no
son
inmortales”,
no

pueden
ser
las
dos
falsas:
por
lo
menos
una
debe
ser

verdadera.
Aunque
también
pueden
ser
ambas
verdaderas.

Por
ejemplo:
“algunos
hombres
son
porteños”
y
“algunos

hombres
no
son
porteños”,
son
ambas
verdaderas.

Una
vez
despejadas
las
cuatro
estructuras
proposicionales,

Aristóteles
propone
la
forma
mínima
de
razonamiento
llamado

silogismo:
vinculando
entre
sí
dos
proposiciones
es
posible
deducir

una
tercera.
El
silogismo
es
una
forma
de
razonamiento
que
tiene

dos
premisas
y
una
conclusión
y
contiene
tres
términos,
cada
uno
de

los
cuales
aparece
sólo
en
dos
de
sus
proposiciones
constituyentes.

Por
ejemplo:

Todos
los
hombres
son
racionales

Todo
B
es
A

Todos
los
griegos
son
hombres

Todo
C
es
B

Todos
los
griegos
son
racionales

Todo
C
es
A

De
estos
tres
términos,
se
llama
“término
mayor”
al
predicado

de
la
conclusión,
y
“término
menor”
al
sujeto
de
la
conclusión.
El

“término
medio”
no
aparece
en
la
conclusión
sino
sólo
en
las

premisas,
permitiendo
que
se
vinculen
lógicamente
los
otros
dos

términos
en
la
conclusión.
En
los
silogismos
distinguimos
entre:

-‐ Premisa
mayor:
aquella
que
contiene
el
término
mayor
de
la

conclusión
(o
sea,
el
término
predicado
de
la
conclusión)
(En

nuestro
ejemplo:
“racionales”)

-‐ Premisa
menor:
aquella
que
contiene
el
término
menor
de

la
conclusión
(el
término
sujeto
de
la
conclusión)
(En

nuestro
ejemplo:
“griegos”)

Los
silogismos
pueden
varias
por
su
figura
(la
posición
del

término
medio
en
el
razonamiento)
y
por
el
modo
(el
tipo
de

proposiciones
que
contiene:
universales
o
particulares
afirmativas
o

negativas).

Por
su
figura,
puede
presentar
cuatro
alternativas,
según
la

ubicación
del
término
medio:

M
–
P
P
–
M

P
–
M

M
–
P

S
–
M
M
–
S

S
–
M

M
–
S

S
–
P
S
-‐
P

S
–
P

S
–
P

Estas
cuatro
figuras,
combinadas
con
los
cuatro
tipos

posibles
de
proposiciones
arrojan
un
resultado
de
256
silogismos

posibles.
De
todos
ellos,
sólo
24
son
válidos
o
correctos.
En
el
resto

de
los
casos
se
pueden
alcanzar
conclusiones
falsas
a
partir
de

premisas
verdaderas,
lo
que
prueba
lo
incorrecto
del
razonamiento.

LOGICA
PROPOSICIONAL

A
diferencia
de
otros
campos
de
saber
desarrollados
por

Aristóteles

(como
la
astronomía,
la
física
y
la
biología)
que
con
la

llegada
de
la
ciencia
moderna
pasaron
a
ser
abandonados,
la
lógica

de
términos
de
Aristóteles
sobrevivió
al
pasaje
a
la
modernidad.
En

el
siglo
XVIII,
Kant
sostenía
en
su
“Crítica
de
la
Razón
pura”:
“…

Desde
Aristóteles
(la
lógica)
no
ha
tenido
que
rehacer
un
solo
paso,

a
menos
que
consideremos
como
mejoras
la
eliminación
de
algunas

sutilezas
innecesarias
o
la
definición
más
clara
de
su
objeto,
todo
lo

cual
tiene
que
ver
más
con
la
elegancia
que
con
la
solidez
de
la

ciencia.
Es
asimismo
notable
que
hasta
la
actualidad
no
haya
sido

capaz
de
avanzar
un
solo
paso,
de
modo
que,
según
toda
apariencia,

se
la
puede
considerar
completa
y
perfecta”.
Pero
esta
aparente

perfección
va
a
ser
conmovida
a
partir
de
la
segunda
mitad
del
siglo

XIX,
de
la
mano
de
dos
matemáticos
ingleses
-‐Augustus
De
Morgan
y

George
Boole-‐
quienes
plantean
que
los
métodos
de
la
matemática

son
aplicables
al
estudio
de
las
relaciones
entre
clases
y
entre

proposiciones.
Aportes
posteriores
de
los
filósofos
Peirce,
Frege,

Russell
y
Whitehead
dan
forma
a
lo
que
se
conoce
como
“lógica

proposicional”.

La
lógica
de
términos
aristotélica
pretende
reducir
la

totalidad
de
las
proposiciones
a
la
forma
“S
es
P”.
Sin
embargo
es

posible
imaginar
proposiciones
que
no
se
acomoden
a
esta

estructura:
“Juan
ama
a
María”,
“Llueve”
no
se
corresponden
a
los

tipos
de
proposición
clásica
estudiados
por
la
lógica
de
términos.

Tampoco
logra
alcanzar
una
formalización
completa
de
las

proposiciones,
dado
que
sólo
puede
sustituir
los
términos
variables

por
letras,
pero
no
los
términos
constantes.

La
lógica
proposicional
en
cambio
logra
alcanzar
una

formalización
completa
de
toda
proposición
posible,
con
el
simple

expediente
de
representar
mediante
letras
la
totalidad
de
una

proposición.
En
vez
de
sustituir
términos
por
letras
al
modo
de
la

lógica
de
términos,
se
reemplaza
la
totalidad
de
una
proposición
por

una
letra
minúscula,
a
partir
de
la
p
(p,
q,
r,
s,
etc.).
Así,
por
ejemplo,

“Juan
ama
a
María”
=
p;
“Llueve
=
q.

De
ese
modo
la
lógica

proposicional
alcanza
una
formalización
completa
de
toda

proposición
posible.

Debido
al
carácter
ambiguo
y
vago
de
las
palabras
de
los

lenguajes,
los
razonamientos
formulados
en
cualquier
lengua

natural
son
difíciles
de
evaluar.
Para
eliminar
este
problema,
la

lógica
se
vale
de
un
lenguaje
simbólico
artificial
al
cual
traducir
las

proposiciones
y
razonamientos
del
lenguaje
natural.

Proposiciones
atómicas
y
moleculares

La
lógica
proposicional
distingue
entre
proposiciones

atómicas
y
moleculares.
Se
llaman
atómicas
a
las
proposiciones

simples,
es
decir,
aquellas
que
no
contienen
dentro
de
ellas

proposiciones.
Consideremos
el
siguiente
ejemplo:
“Juan
lee”.
Esta

proposición
es
atómica,
dado
que
si
la
dividiéramos
en
sus
partes

componentes,
nos
quedarían
términos
y
no
proposiciones
(“Juan”,

“lee”).
Representamos
a
esta
proposición
en
lógica
proposicional

con
una
letra:
“p”.
Y
como
tal,
puede
ser
verdadera
o
falsa
(V/F).

Las
proposiciones
moleculares,
en
cambio,
son

proposiciones
compuestas:
contienen
otras
proposiciones
como

parte
de
sí
mismas.
Así
por
ejemplo,
la
proposición
“Juan
lee
y

escribe”
es
molecular,
por
contener
dentro
suyo
dos
proposiciones:

“Juan
lee”
y
“Juan
escribe”.
Las
proposiciones
moleculares
están

formadas
por
proposiciones
atómicas
unidas
o
conectadas
entre
sí

por
nexos
o
conectivas
lógicas.
En
nuestro
ejemplo,
la
“y”
está

uniendo
dos
proposiciones
atómicas.
Representamos
esta

proposición
molecular
en
lógica
proposicional
de
la
siguiente

manera:

p
=
“Juan
lee”

q
=
“Juan
escribe”

y
=
.

“Juan
lee
y
escribe”
=
p

.

q

Los
nexos
o
conectivas
lógicas
son
términos
empleados
para

conectar
fórmulas
o
proposiciones
entre
sí,
de
modo
que
el
valor
de

verdad
de
la
proposición
resultante
depende
del
valor
de
verdad
de

las
proposiciones
atómicas
que
la
conforman.

Si
bien
podemos
conectar
atómicas
para
conformar

moleculares,
el
sentido
de
los
nexos
lógicos
es
diferente:
no
es
lo

mismo
decir
“Juan
lee
y
escribe”
a
decir
“Juan
lee
o
escribe”
o
“Si

Juan
lee
entonces
escribe”.
En
estos
tres
ejemplos
tenemos
las

mismas
proposiciones
atómicas,
pero
el
sentido
cambia
en
función

del
nexo
lógico
en
juego.
Estudiaremos
4
nexos
principales:
la

conjunción,
la
disyunción,
la
negación,
y
el
condicional.

-‐ Conjunción:
el
sentido
de
la
conjunción
es
conectar

proposiciones,
suma
proposiciones
atómicas.
Son
ejemplos

de
nexos
de
conjunción:
“y”,
“pero”,
“aunque”,
“sin

embargo”.
Se
representa
en
lógica
simbólica
con
un
punto:

“.”.

-‐ Disyunción:
la
disyunción
propone
una
alternativa
entre

proposiciones.
En
lógica
podemos
distinguir
dos
tipos
de

disyunción:
la
exclusiva
y
la
inclusiva.
Las
disyunciones

exclusivas
proponen
alternativas
entre
proposiciones
que
no

pueden
ser
ambas
verdaderas,
ya
que
la
verdad
de
una

excluye
la
posibilidad
de
que
la
otra
sea
verdadera.
Por

ejemplo:
“el
número
X
es
par
o
es
impar”
o
“Juan
está
vivo
o

está
muerto”
proponen
alternativas
en
las
que
no
podrían

ser
ambas
verdaderas.
En
cambio
las
disyunciones
inclusivas

son
plantean
alternativas
entre
proposiciones
que
admiten

sin
contradicción
lógica
que
puedan
ser
ambas
verdaderas.

Así
por
ejemplo
“Iré
al
cine
o
iré
a
cenar”
o
“Juan
es

abogado
o
es
escritor”
proponen
alternativas
que
no
se

excluyen
mutuamente
y
por
lo
tanto
podrían
darse
ambas

como
verdaderas.
La
disyunción
exclusiva
se
representa
en

lógica
simbólica
con
el
signo
W,
y
la
disyunción
inclusiva
con

el
signo
V.

-‐ Negación:
Toda
proposición
afirma
algo.
Decir
“el
pizarrón

es
verde”
equivale
a
decir
“es
el
caso
que
el
pizarrón
es

verde”
o
“afirmo
que
el
pizarrón
es
verde”.
La
negación

rechaza
aquello
que
es
afirmado
por
una
proposición.
“No

es
el
caso
que”
o
“es
falso
que”.
Se
representa
en
lógica
con

el
signo
menos

(
-‐
)
puesto
delante
de
la
proposición
que

niega.

-‐ Condicional:
el
nexo
condicional
afirma

una
relación
de

antecedente
a
consecuente,
o
de
causa
a
efecto
entre

proposiciones.
Afirma
que
si
el
antecedente
es
verdadero

(se
produce
o
se
da
p),
entonces
también
es
verdad
el

consecuente
(se
sigue
de
eso
q).
Mientras
que
en
la

conjunción
y
la
disyunción
es
indiferente
el
orden
de
las

atómicas,
al
punto
que
se
pueden
permutar
sin
afectar
el

sentido
de
la
proposición
molecular
resultante
(es
lo
mismo

decir
“Juan
lee
y
escribe”
que
decir
“Juan
escribe
y
lee”),
en

el
caso
de
las
moleculares
las
atómicas
que
conecta
no
son

permutables.
No
es
lo
mismo
decir
“Si
tomo
veneno,

entonces

me
muero”
que
decir
“si
me
muero,
entonces

tomo
veneno”.
Dado
que
el
condicional
propone
una

relación
de
antecedencia
a
consecuencia,
la
relación
no
se

puede
invertir.
Y
el
antecedente
siempre
se
sitúa
en
la

proposición
acompañado
del
“si”
de
condición.
El

condicional
se
representa
en
lógica
con
el
signo
→.

Las
proposiciones
atómicas
pueden
ser
verdaderas
o
falsas.
Y

dependerá
de
su
correlación
con
el
hecho
al
que
se
refieren
que
lo

sean
o
no.
“Juan
lee”
será
verdadera
si
efectivamente
se
cumple
el

caso
de
que
Juan
lea.
De
lo
contrario
es
falsa.
En
otras
palabras:
la

verdad
de
las
atómicas
depende
de
su
correlación
con
los
hechos
a

los
que
se
refiere.
Y
desde
la
lógica
formal
sólo
podemos
decir
de

dicha
proposición,
que
p
es
V
o
F.
En
el
caso
de
las
proposiciones

moleculares,
dado
que
contienen
atómicas
unidas
por
nexos
lógicos,

la
verdad
o
falsedad
de
la
molecular
depende
de
la
verdad
de
las

atómicas
que
la
conforman.

Tablas
de
valores
de
verdad

Las
Tablas
de
Verdad
muestran
el
valor
de
verdad
de

proposiciones
moleculares
para
cada
combinación
de
verdad
que
se

le
pueda
asignar.
Veamos
en
cada
caso
de
nexo
lógico
cómo
serían

las
alternativas
de
V
o
F
de
moleculares
conformadas
por

conjunción,
disyunción,
negación
y
condicional.

a) Proposiciones
moleculares
formadas
por
conjunción:
Tomemos

el
ejemplo
“Juan
lee
y
escribe”,
molecular
formada
por
dos

atómicas
(“Juan
lee”,
“Juan
escribe”)
unidas
por
el
nexo
de
la

conjunción.
Cada
una
por
separado
se
escribe
formalmente
con

las
letras
p
y
q.
Cada
una
por
separado
puede
ser
V
o
F.
Pero

ahora
se
presentan
unidas
en
una
proposición
molecular

formada
por
conjunción.
Así
que
su
expresión
formal
sería
esta:

(p
.
q).
De
modo
que
combinadas
hay
4
alternativas
posibles:

que
p
y
q
sean
V,
que
p
y
q
sean
F,
que
p
sea
V
y
q
F,
o
que
p
sea

F
y
q
V.
De
esas
alternativas,
sólo
será
verdadera
la
molecular

por
conjunción
cuando
ambas
atómicas
que
la
forman
sean

todas
V.
En
los
demás
casos
será
F.
Escribamos
las
alternativas

en
una
tabla:

p
.
q

V
V
V

F
F
V

V
F
F

F
F
F

b) Proposiciones
moleculares
formadas
por
disyunción:
Si

ahora
tomamos
el
mismo
ejemplo
y
empleamos
la

disyunción
inclusiva,
tendremos
las
mismas
alternativas
de

combinaciones
de
verdaderos
y
falsos
para
p
y
para
q,
solo

que
ahora
la
proposición
molecular
resultante
será
falsa

únicamente
en
el
caso
de
que
ambas
atómicas
sean
falsas.

“Juan
lee
o
escribe”
sólo
es
falso
si
no
es
verdad
que
Juan

lee
ni
que
escribe.
En
las
demás
alternativas
la
molecular

será
verdadera.

p
V
q

V
V
V

F
V
V

V
V
F

F
F
F

Si
la
disyunción
hubiera
sido
exclusiva
(por
ejemplo:
“Juan

está
vivo
o
está
muerto”),
entonces
la
molecular
sería
falsa

también
en
el
caso
de
que
ambas
atómicas
se
plantearan

como
verdaderas
(lo
que
queda
excluido
de
este
tipo
de

disyunción).

p
W
q

V
F
V

F
V
V

V
V
F

F
F
F

c) Proposiciones
negativas:
“Juan
lee”
se
representa
con
la

letra
p,
y
puede
ser
verdadera
o
falsa.
Su
negación
(–
p)
será

lo

contrario:
si
“Juan
lee”
es
verdadera,
entonces
“Juan
no

lee”
es
falsa,
y
si
“Juan
lee”
es
falsa,
entonces
“Juan
no
lee”

es
verdadera.
La
negación
invierte
el
valor
de
V
y
F
de
la

proposición
a
la
que
afecta.

p
-‐ p

V
F

F
V

d) Proposiciones
moleculares
formadas
por
condicional:

Tomemos
como
ejemplo
de
molecular
formada
por

condicional
“Si
hay
fuego,
entonces
hay
calor”.
Nuevamente

tendremos
las
mismas
alternativas
de
V
y
F
para
p
y
q.
Pero

la
molecular
formada
por
condicional
sólo
será
falsa
si
el

antecedente
es
verdadero
y
el
consecuente
falso.
Un

condicional
plantea
que
si
se
produce
el
antecedente,
se

debe
producir
el
consecuente.
Por
lo
tanto
lo
único
que

haría
falsa
la
condición
es
que
el
antecedente
se
produzca

pero
no
se
siga
el
consecuente.
En
el
caso
de
que
ambas

sean
verdaderas,
o
falsas
o
el
antecedente
falso
y
el

consecuente
verdadero,
la
molecular
mantiene
su
valor
de

verdad.
Por
ejemplo,
puede
ser
que
no
haya
fuego
pero

haya
calor
por
otras
razones:
eso
no
hace
falsa
la
condición

de
que
“si
hay
fuego,
hay
calor”,
sólo
haría
falsa
la
condición

si
hay
fuego
y
no
hay
calor.

p
→
q

V
V
V

F
V
V

V
F
F

F
V
F

Razonamientos

Los
razonamientos
constituyen
una
especial
vinculación

entre
proposiciones.
No
es
una
colección
de
proposiciones

cualquiera,
sino
que
configura
una
estructura
formada
por
premisas

y
conclusión.
“Hoy
es
un
día
soleado.
Las
personas
salen
de
paseo.

Hay
muchos
automóviles
en
las
carreteras.
No
se
esperan
altas

temperaturas.
etc.”
es
un
ejemplo
de
sucesión
de
proposiciones.

Pero
no
configuran
un
razonamiento.
Para
que
haya
razonamiento

tiene
que
haber
una
relación
de
implicación
entre
ellas.
Es
decir,
que

de
afirmar
ciertas
proposiciones
como
verdaderas,
tengamos
que

afirmar
otras
proposiciones
también
como
verdaderas
porque
se

derivan
o
infieren
de
las
primeras.
Hay
una
relación
de
implicación

de
unas
a
otras.

Un
razonamiento
es
el
resultado
de
una
inferencia,
es
decir,

de
un
proceso
por
el
cual
partiendo
de
ciertas
proposiciones

aceptadas
como
punto
de
partida,
se
afirma
una
proposición
como

conclusión.
Conviene
en
este
punto
distinguir
el
proceso
de

inferencia,
de
la
implicación
entre
proposiciones.
La
implicación
es

una
relación
objetiva
entre
proposiciones,
dado
que
la
existencia
de

una
implicación
no
depende
de
que
tenga
lugar
el
proceso

intelectual
de
inferencia.
De
hecho
puede
haber
una
implicación

entre
proposiciones
que
un
determinado
sujeto
no
sea
capaz
de

inferir.

El
término
implicación
proviene
del
latín
inplicare,
y
se

refiere
al
hecho
de
que
hay
algo
“plegado”
o
doblado
en
el
interior

de
algo,
de
manera
que
eso
interior
no
es
visible
o
perceptible

aunque
está
allí.
Se
contrapone
a
“explicación”
(del
latín
explicare),

que
significa
desplegar
lo
que
está
plegado,
hacer
visible,
explícito,

lo
que
estaba
implicado
o
implícito
en
el
interior
de
algo
que
lo

contenía
y
ocultaba.

La
implicación
lógica
es
una
relación
entre
las
proposiciones

mismas
que
se
da
cuando
una
proposición
se
sigue
necesariamente

de
otra
o
de
otras
y
por
lo
tanto
puede
deducirse
de
ellas,
con

independencia
del
problema
de
si
las
proposiciones
son
verdaderas

o
falsas.
Si
afirmamos
que
“Juan
es
hijo
de
Pedro”,
y
“Pedro
es
padre

de
Juan”,
si
la
primera
proposición
es
verdadera,
entonces
la

segunda
forzosamente
también
lo
es,
dado
que
la
segunda
se
deriva

de
la
primera,
o
está
implicada
en
la
información
de
la
primera.
Si

afirmamos
que
“iré
al
cine
o
al
teatro,
pero
no
iré
al
cine”
e
“iré
al

teatro”,
si
las
dos
primeras
proposiciones
son
verdaderas,
entonces

la
tercera
también
debe
serlo,
porque
se
deduce
de
las
anteriores.

Un
razonamiento
es
una
relación
de
implicación
entre

proposiciones
que
conforma
una
estructura
formada
por
dos
partes:

premisas
y
conclusión.

Todo
A
es
B

Todo
B
es
C

Todo
A
es
C

Las
premisas
son
aquellas
proposiciones
de
las
que
se

parte

para
derivar
o
inferir
una
conclusión.
Constituyen
el
fundamento
o

la
justificación
de
la
conclusión,
es
decir,
las
razones
para
afirmarla.

Pueden
ser
una
o
más
de
una.
La
conclusión
de
un
razonamiento
en

cambio
es
siempre
una.
Es
la
proposición
que
se
deduce
a
partir
de

las
proposiciones
que
hemos
tomado
como
punto
de
partida
o

premisas.
Tanto
las
premisas
como
la
conclusión
son
lugares
en
la

estructura
de
un
razonamiento,
pudiendo
una
misma
proposición

ser
conclusión
o
premisa
en
diferentes
razonamientos.

Verdad
y
validez

Las
proposiciones
pueden
ser
verdaderas
o
falsas.
La
verdad

o
falsedad
de
las
proposiciones
–que
eventualmente
puedan

conformar
razonamientos-‐
constituye
un
problema
fáctico
o

material
que
involucra
a
las
ciencias
de
hechos
y
al
conocimiento

humano:
determinar
si
la
información
de
las
proposiciones
coincide

con
los
hechos
de
los
que
informa.

No
constituye
un
problema
de
la

lógica.
La
lógica
se
interesa
por
los
razonamientos,
es
decir,
por
las

relaciones
de
implicación
entre
proposiciones.
Estudia
las

condiciones
en
las
cuales
una
proposición
se
sigue
necesariamente

de
otras
y
puede
por
lo
tanto
deducirse
de
ellas.
Y
esto
con

independencia
de
si
tales
proposiciones
son
verdaderas
o
falsas.

A
diferencia
de
las
proposiciones,
los
razonamientos
no
son

verdaderos
o
falsos,
sino
válidos
o
inválidos.
Un
razonamiento
es

correcto
o
válido
cuando
la
conclusión
del
mismo
se
deduce
de

manera
necesaria
de
sus
premisas.
De
lo
contrario
es
inválido.
Así

por
ejemplo
el
siguiente
razonamiento:

Todo
A
es
B

Todo
B
es
C

Todo
A
es
C

PREMISAS

CONCLUSIÓN

Se
trata
de
un
razonamiento
válido
o
correcto,
dado
que
la

conclusión
se
deduce
necesariamente
de
sus
premisas,
con

independencia
del
significado
que
pudieran
tener
A,
B
o
C.
Si
todo

elemento
de
A
pertenece
a
B
y
todo
elemento
de
B
pertenece
a
C,

entonces
de
eso
se
sigue
que
todo
elemento
de
A
pertenece
a
C.

Esto
se
puede
demostrar
gráficamente:
podemos
representar
las

premisas
del
razonamiento
mediante
conjuntos.
En
caso
de
que
el

razonamiento
sea
válido
o
correcto,
una
vez
que
hayamos

representado
las
premisas,
debemos
encontrarnos
con
la
conclusión

representada
en
el
gráfico.
En
caso
contrario,
la
conclusión
no
está

implicada
necesariamente
en
las
premisas
y
el
razonamiento
es

inválido.

PRIMERA
PREMISA:
Todo
A
es
B

SEGUNDA
PREMISA:
Todo
B
es
C

C

B

Como
se
advertirá,
al
representar
las
dos
premisas,
nos

hallamos
con
la
conclusión:
el
conjunto
A
está
contenido
en
el

conjunto
C.
Lo
que
nos
indica
que
la
conclusión
“Todo
A
es
C”
se

encuentra
implicada
necesariamente
en
las
premisas.
O
sea,
que
se

trata
de
un
razonamiento
válido.

Consideremos
ahora
el
siguiente
razonamiento:

Todo
A
es
B

Todo
C
es
B

Todo
A
es
C

Es
un
razonamiento
inválido
o
incorrecto,
ya
que
la

conclusión
no
se
deduce
necesariamente
de
sus
premisas.

Demostrémoslo
representando
con
conjuntos
sus
premisas:

PRIMERA
PREMISA:
Todo
A
es
B

SEGUNDA
PREMISA:
Todo
C
es
B

B

B

Una
vez
representadas
las
dos
premisas,
se
advierte
que
los

conjuntos
A
y
C,
si
bien
pertenecen
a
B,
no
están
vinculados
entre

A

B

A

A
C

ellos.
No
observamos
al
final
representada
la
conclusión
“Todo
A
es

C”.
De
donde
se
sigue
que
el
razonamiento
es
inválido,
ya
que
la

conclusión
no
se
desprende
necesariamente
de
las
premisas.
Y
eso

incluso
si
le
diéramos
a
A,
B
y
C
una
interpretación
que
permitiera

que
el
razonamiento
tuviera
proposiciones
todas
verdaderas.
Aún

así
el
razonamiento
sería
incorrecto.

Decíamos
anteriormente
que
la
verdad
de
las
proposiciones

no
es
un
tema
de
la
lógica,
ya
que
depende
de
la
contrastación
del

contenido
informativo
de
las
proposiciones
con
los
hechos
o

situaciones
a
los
que
se
refiere.
En
cambio
la
validez
de
los

razonamientos
es
una
cuestión
formal
y
no
de
contenido

informativo:
es
el
problema
de
determinar
si
la
conclusión
de
un

razonamiento
se
deriva
necesariamente
de
sus
premisas,
con

independencia
del
sentido
de
lo
que
digan
las
proposiciones.
Hay

razonamientos
válidos
con
conclusiones
falsas,
así
como
inválidos

con
conclusiones
verdaderas.
La
verdad
o
falsedad
de
la
conclusión

no
determina
la
validez
o
invalidez
de
un
razonamiento.
Y
la
validez

de
un
razonamiento
no
garantiza
la
verdad
de
su
conclusión.

Tomando
los
dos
ejemplos
propuestos,
es
posible

interpretar
el
primer
ejemplo
de
razonamiento
válido
con
premisas

y
conclusión
falsas,
y
al
revés,
el
ejemplo
de
razonamiento
inválido

con
premisas
y
conclusión
verdaderas:

Todos
los
hombres
son
verdes

Todos
los
seres
verdes
son
voladores

Todos
los
hombres
son
voladores

Todos
los
hombres
son
vertebrados

Todos
los
mamíferos
son
vertebrados

Todos
los
hombres
son
mamíferos

¿Cómo
se
puede
determinar
si
un
razonamiento
de
lógica

proposicional
es
válido
o
inválido?
Tomemos
un
ejemplo:

p

→
q

p

________

q

Para
demostrar
la
validez
o
no
de
este
razonamiento
se
le

pueden
aplicarle
las
tablas
de
verdad.
Para
ello
debemos
reescribir

el
razonamiento
en
un
solo
renglón,
de
modo
de
poder
escribir

todas
las
posibilidades
de
V
y
F
que
puedan
tener
nuestro

razonamiento.

Al
hacerlo,
emplearemos
paréntesis
y
corchetes
para

distinguir
las
proposiciones
entre
sí,
así
como
las
premisas
de
la

conclusión,
de
manera
que
queden
claramente
distinguidas
las

proposiciones
y
no
se
confundan.
Y
también
deberemos
explicitar

los
nexos
o
conectivas
lógicas
entre
las
proposiciones
del

razonamiento.
En
el
caso
de
las
premisas,
las
mismas
se
conectan

entre
sí
mediante
el
nexo
lógico
de
la
conjunción.
La
relación
de

premisas
a
conclusión
en
cambio
es
de
condicional.
Nuestro

razonamiento

quedará
escrito
así:

PREMISAS
Y

CONCLUSIÓN
FALSAS

RAZONAMIENTO

VÁLIDO

PREMISAS
Y
CONCLUSIÓN

VERDADERAS

RAZONAMIENTO
INVÁLIDO

[(p
→
q)
.
p
]→
q

Dado
que
tendremos
que
escribir
todas
las
posibles

combinaciones
de
V
y
F
de
las
atómicas
puestas
en
juego
en
este

razonamiento,
deberemos
tener
en
cuenta
previamente
el
número

de
atómicas
que
el
razonamiento
contiene.
Para
nuestro
caso,

tenemos
sólo
dos
atómicas
(p/q).
Dado
que
cada
atómica
por

separado
puede
ser
V
o
F,
su
combinatoria
arroja
la
posibilidad
de

cuatro
alternativas
de
V
y
F:
que
ambas
sean
V,
que
ambas
sean
F,

que
p
sea
V
y
q
F,
o
que
p
sea
F
y
q
V.

Por
razones
de
orden
y
para

garantizar
que
no
nos
falten
combinaciones
posibles
o
estemos

repitiendo
combinaciones
ya
escritas,
cada
vez
que
ponemos

combinaciones
de
V
y
F
en
la
proposición
p,
lo
haremos
de
uno
en

uno

el
número
de
veces
que
el
razonamiento
lo
requiere
en
función

del
número
de
atómicas
en
juego.
Y
en
el
caso
de
q,
escribiremos
V
y

F
de
dos
en
dos
las
veces
que
el
número
de
atómicas
en
juego
nos

indica.
Como
decíamos
antes:
dado
que
hay
2
atómicas
en
juego,

habrá
que
poner
debajo
de
p
y
de
q
4
alternativas
de
V
y
F.
Si
en

cambio
hubiera
un
razonamiento
con
3
atómicas,
eso
nos
daría
una

combinación
de
8,
y
si
fueran
4,
entonces
serían
16
combinaciones

de
V
y
F.
La
fórmula
para
saber
el
número
de
combinaciones
de
V
y
F

de
un
razonamientos
es:
2ⁿ,
siendo
ⁿ
el
número
de
atómicas
en

juego
en
el
razonamiento
(así
por
ejemplo,
si
hubiera
4

atómicas

sería
2⁴
=
16
combinaciones
de
V
y
F).

[(p
→
q)
.
p
]
→
q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

Una
vez
escritas
las
alternativas
de
V
y
F
del
razonamiento,

se
aplican
las
tablas
de
verdad,
empezando
por
la
primera
premisa.

Para
el
caso,
se
trata
de
la
tabla
del
condicional,
en
la
cual
si
el

antecedente
es
V,
el
consecuente
es
F:

[(p
→
q)
.
p
]
→
q

V
V
V

V

V

F
V
V

F

V

V
F
F

V

F

F
v
F

F

F

El
resultado
obtenido
se
conecta
con
la
segunda
premisa
a

través
del
nexo
de
la
conjunción.
De
manera
que
habrá
que
recurrir

a
la
tabla
de
verdad
de
la
conjunción,
en
la
que
las
proposiciones

moleculares
serán
V
si
las
atómicas
que
la
forman
son
todas
V.

[(p
→
q)
.
p
]
→
q

V
V
V
V
V

V

F
V
V
F
F

V

V
F
F
F
V

F

F
v
F
F
F

F

El
resultado
obtenido
se
relaciona
con
la
conclusión
a
través
ahora

del
nexo
del
condicional,
obteniendo
así
este
resultado:

[(p
→
q)
.
p
]
→
q

V
V
V
V
V
V
V

F
V
V
F
F
V
V

V
F
F
F
V
V
F

F
v
F
F
F
V
F

Si
al
final
de
la
aplicación
de
las
tablas
de
verdad
a
un

razonamiento,
obtenemos
un
resultado
donde
todas
las
alternativas

dan
V,
eso
significa
que
el
razonamiento
es
válido
o
correcto.
¿Por

qué?
Porque
hemos
demostrado
que
el
razonamiento
tiene
una

estructura
equivalente
a
una
tautología.

El
término
“tautología”
proviene
del
griego
“ταυτολογία,
que significa "decir lo mismo".
Las
tautologías
son
enunciados

necesariamente
verdaderos
por
su
forma,
dado
que
no
informan

nada
nuevo
en
su
predicado
respecto
de
aquello
que
ya
está

contenido
como
información
en
el
sujeto
de
la
oración.
La

proposición
será
verdadera
cualquiera
sea
la
interpretación
o

asignación
de
valores
de
verdad
que
se
haga
a
sus
formas
atómicas.

Así
por
ej.
“los
perros
son
perros”
es
un
enunciado
tautológico,
dado

que
el
predicado
dice
lo
mismo
que
el
sujeto.
No
es
necesario
en

esta
proposición
dirigirse
a
los
hechos
para
saber
si
la
proposición
es

verdadera
o
falsa;

basta
el
análisis
de
su
forma
para
advertir
que
es

equivalente
a
decir
“A
es
A”
o
“si
p
entonces
p”.

Ahora
bien,
los
razonamientos

válidos
–como
las

tautologías-‐
no
informan
nada
nuevo
en
la
conclusión
que
no
esté

implícito
y
derivado
necesariamente
de
la
información
de
las

premisas.
Si
decimos
que
“Todos
los
hombres
son
mortales
y

Sócrates
es
hombre,
por
lo
tanto
Sócrates
es
mortal”,
la
conclusión

no
informa
nada
que
no
está
ya
de
antemano
en
las
premisas.
O
sea

que
un
razonamiento
válido
es
tautológico.
De
ahí
que
si
le

aplicamos
tablas
de
verdad,
deberíamos
obtener
V
en
cualquier

asignación
de
valores
de
verdad
de
sus
proposiciones
atómicas.

Si
por
el
contrario
obtuviésemos
sólo
F
o
algunos
valores
F
y

otro
V,
entonces
el
razonamiento
es
inválido
o
incorrecto.
En
el
caso

de
obtener
todos
valores
F,
estaríamos
ante
una
contradicción.
Y
si

obtuviésemos
algunos
V
y
algunos
F,
estaríamos
ante
una

contingencia:
en
determinadas
circunstancias
la
conclusión
sería
V
y

en
otras
circunstancias
F.

Razonamientos
deductivos
y
no
deductivos

La
lógica
formal
intenta
resolver
dos
requerimientos:
aclarar

las
implicaciones
que
se
pueden
extraer
de
las
proposiciones
que

afirmamos
y
hacer
estimaciones
acerca
de
las
realidades
que
no

hemos
experimentado
a
partir
de
la
que
sí
hemos
experimentado.

La
lógica
deductiva
responde
a
la
primera
necesidad.
La
lógica
no

deductiva
a
la
segunda.

En
la
lógica
deductiva
se
infieren
conclusiones
partiendo
de

proposiciones
ubicadas
como
premisas
del
razonamiento.
Si
bien

pueden
afirmarse
hechos
en
las
premisas,
la
conclusión
de
un

razonamiento
deductivo
no
afirma
ningún
hecho
nuevo:
afirma
lo

que
ya
estaba
contenido
en
las
premisas,
aunque
expresado
de

manera
diferente.
En
el
razonamiento
deductivo,
la
conclusión

pretende
estar
totalmente
contenida
en
las
premisas.
Así
por

ejemplo
si
decimos:

Todos
los
hombres
son
mortales

Sócrates
es
hombre

____________________________

Sócrates
es
mortal

La
conclusión
de
este
razonamiento
deductivo
no
nos

informa
nada
que
no
haya
estado
de
antemano
en
las
premisas:

“Sócrates
es
mortal”
está
implícitamente
contenido
en
“todos
los

hombres
son
mortales”.
Estos
razonamientos
se
caracterizan
porque

sus
conclusiones
no
contienen
más
información
que
las
premisas
de

las
que
parten.

a) Razonamientos
deductivos
válidos
(genuinamente

deductivos):

Los
razonamientos
deductivos
pueden
ser
válidos

(genuinamente
deductivos)
o
inválidos
(falacias),
es
decir,
los
que

pretenden
ser
válidos
pero
no
lo
son.
Un
razonamiento
deductivo
es

válido
cuando
sus
premisas
ofrecen
un
fundamento
necesario
para

la
conclusión,
vale
decir,
cuando
la
conclusión
se
deduce

necesariamente
de
sus
premisas.
La
relación
entre
premisas
y

conclusión
es
tal
que
si
las
premisas
fueran
verdaderas,
la

conclusión
no
podría
ser
falsa.
Tomaremos
cuatro
ejemplos
típicos

de
razonamientos
deductivos
válidos:

Modus
Ponens

Modus
Tollens

p
→
q

p
→
q

p

-‐
q

______

______

q

-‐
p

Silogismo
disyuntivo

Silogismo
hipotético

p
v
q

p
→
q

-‐p

q
→
r

______

______

q

p
→
r

En
todo
razonamiento
deductivo
válido
se
dan
tres
características

fundamentales:

-‐ Si
las
premisas
del
razonamiento
son
V,
la
conclusión
es

necesariamente
V.
Es
lógicamente
imposible
que
sea
F.
La

verdad
de
las
premisas
garantizan
la
verdad
de
la

conclusión.

-‐ Si
la
conclusión
del
razonamiento
es
F,
entonces
las

premisas
son
F

-‐ La
V
de
la
conclusión
no
garantiza
que
las
premisas
sean
V.

Podemos
tener
un
razonamiento
deductivo
válido
con

premisas
falsas
y
conclusión
verdadera.

PREMISAS
V
F
V
F

CONCLUSIÓN
V
V
F
F

b)
Razonamientos
deductivos
inválidos
o
falacias
formales:

Las
falacias
son
razonamientos
deductivos
que
parecen
válidos

pero
no
lo
son.
Como
los
deductivos
válidos,
sus
conclusiones
no

agregan
más
información
que
la
contenida
en
las
premisas,
pero

la
conclusión
de
estos
razonamientos
no
se
deduce

necesariamente
de
sus
puntos
de
partida.
Por
ende,
en
estos

razonamientos
es
posible
que
tengamos
premisas
V
y

conclusiones
F.
Si
les
aplicáramos
las
tablas
de
verdad
a
estos

razonamientos,
no
obtendríamos
al
final
un
resultado

tautológico
sino
contingente
o
contradictorio.
Tomemos
dos

ejemplos
típicos
de
falacias
formales:

-‐ Falacia
de
afirmación
del
consecuente:
se
parece
al
Modus

Ponens,
sólo
que
en
la
segunda
premisa
en
vez
de
afirmar
el

antecedente
p,
afirma
el
consecuente
q.

p
→
q

q

______

p

-‐ Falacia
de
negación
del
antecedente:
se
parece
al
Modus

Tollens,
sólo
que
en
vez
de
negar
el
consecuente
q
en
la

segunda
premisa,
niega
el
antecedente
p.

p
→
q

-‐p

______

-‐q

Basta
sustituir
las
letras
por
proposiciones
para
advertir

enseguida
que
la
conclusión
en
estos
casos
no
se
deduce

necesariamente
de
las
premisas.
Por
ejemplo:
“Si
es

hombre,
entonces
es
mortal.
Y
es
mortal.
Por
lo
tanto
es

hombre”.
Está
claro
que
el
hecho
de
tener
la
condición
de

mortal
no
asegura
el
ser
hombre:
también
los
animales
y

vegetales
son
mortales.
La
conclusión
no
es
por
lo
tanto

necesaria
y
estamos
ante
un
razonamiento
incorrecto.

c)
Razonamientos
no
deductivos:

Los
razonamientos
no
deductivos
responden
a
la
necesidad

de
apoyarnos
en
la
realidad
que
experimentamos
para
hacer

estimaciones
acerca
de
cosas
que
no
experimentamos.
Estos
tipos

de
razonamientos
parten
de
proposiciones
sobre
hechos
para

concluir
otros
hechos
o
generalidades.
No
pretenden
que
sus

premisas
ofrezcan
una
evidencia
total
de
la
verdad
de
su
conclusión,

sino
cierta
evidencia
o
fundamento
de
ella.

En
estos
razonamientos
la
conclusión
no
está
incluida
en
las

premisas
ya
que
contiene
más
información
que
éstas.
En
ese

sentido,
los
razonamientos
no
deductivos
son
inválidos
dado
que

sus
conclusiones
no
establecen
una
relación
de
implicación

necesaria
de
premisas
a
conclusión,
sino
una
relación
de
implicación

probable:
suponiendo
que
las
premisas
fueran
verdaderas,
es

probable
que
la
conclusión
lo
sea.
Pero
no
necesariamente.

Los
razonamientos
no
deductivos
ponen
en
juego
una

premisa
que
está
siempre
presente
aunque
no
explicitada,
sino

siempre
presupuesta:
la
suposición
de
que
hay
una
regularidad
en

los
hechos
del
universo
que
es
posible
descubrir
aplicando
la

experiencia
y
la
razón.
En
ese
sentido,
los
no
deductivos
son

razonamientos
“a
posteriori”,
a
diferencia
de
los
deductivos
válidos

e
inválidos,
que
son
“apriorísticos”,
vale
decir,
que
pretenden

extraer
conclusiones
de
premisas
basados
exclusivamente
en
reglas

lógicas
independientes
del
contenido
informativo
de
sus
premisas.

Los
razonamientos
no
deductivos
presuponen
implícitamente

alguna
ley
de
regularidad
de
la
realidad,
único
modo
justificar
el

inferir
hechos
de
otros
hechos.

Tomemos
dos
ejemplos
típicos
de
razonamientos
no

deductivos:
la
inducción
y
la
analogía.

-‐ Inducción:
en
el
razonamiento
inductivo
se
parte
de
un

conjunto
de
proposiciones
singulares
para
concluir
en
una

proposición
universal.
Las
premisas
aportan
alguna

justificación
de
la
conclusión
pero
ésta
contiene
más

información
que
las
premisas.
La
inducción
generaliza
de

premisas
singulares
a
una
conclusión
que
abarca
la
totalidad

de
los
casos.
Pasa
de
un
conjunto
de
enunciados
singulares

a
un
enunciado
universal.
Pero
tal
conclusión
puede
ser

falsa.

Juan
fuma
y
tose

A1
es
B

Carlos
fuma
y
tose

A2
es
B

Susana
fuma
y
tose

A3
es
B

Matilde
fuma
y
tose

A4
es
B

María
fuma
y
tose

A5
es
B

…….

…….

…….

An
es
B

_____________________________
_____

__________

Por
lo
tanto
todos
los
que
fuman,
tosen

Todo
A
es
B

Es
claro
en
el
ejemplo
que
el
contenido
informativo
de
la
conclusión

excede
a
la
información
de
las
premisas:
que
algunos
que
fuman

tosen
no
implica
que
necesariamente
todos
los
que
fuman
tosan,

pero
es
probable.
Las
premisas
dan
algún
fundamento
a
la

conclusión
pero
dicho
fundamento
no
es
necesario.

-‐ Analogía:
El
razonamiento
analógico
parte
de
premisas
en

las
que
establece
una
similitud
o
parecido
entre
elementos

o
conjuntos
de
elementos,
para
concluir
sobre
un
nuevo

elemento
del
conjunto.
La
conclusión
nos
informa
algo

nuevo
respecto
de
las
premisas,
pero
dicha
conclusión
es

sólo
probable.

El
cobre
conduce
electricidad

A1
es
B

El
hierro
conduce
electricidad

A2
es
B

El
estaño
conduce
electricidad

A3
es
B

El
oro
conduce
electricidad

A4
es
B

La
plata
conduce
electricidad

A5
es
B

El
mercurio
es
un
metal

(como
los
anteriores)

X
es
A

_________________________

_____

El
mercurio
conduce
electricidad

X
es
B

BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA:

Cohen, Morris & Nagel, Ernest (1965); Introducción a la
lógica y al método científico (2 v.), Buenos Aires, Amorrortu.
Copi, Irving (1985); Introducción a la lógica, Buenos Aires,
Eudeba.
Crosley, J. N., (1982), ¿Qué es la lógica matemática?,
Madrid, Tecnos.
Haack, Susan, (1982); Filosofía de las lógicas, Madrid,
Cátedra.
Kupperman, Joel & McGrade, Arthur S. (1973);
Fundamentos de lógica, Barcelona, Labor.
Palau, Gladys, (2002), Introducción filosófica a las lógicas no
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