Ma 02 2007
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Este documento presenta conceptos básicos sobre números enteros y operaciones matemáticas con ellos. Explica qué son los números enteros, las reglas de signos para la suma y multiplicación, y el orden de las operaciones. También cubre tópicos como divisores, múltiplos, números primos, valor absoluto, y ejercicios de práctica relacionados.
![PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
Resolver los paréntesis.
Realizar las potencias.
Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
EJEMPLOS
1. -8 + 4 ⋅ 3 + 12 : -6 =
A) 2
B) 0
C) -12
D) -14
E) -18
2. 42 – 25
: 2 · 5 =
A) -38
B) -1
C) 1
D) 25
E) 38
3. 3 – ⎨2 – [1 – (12 : 4 ⋅ 3)] – 32
⎬ =
A) -16
B) 2
C) 4
D) 10
E) 18
3](https://image.slidesharecdn.com/ma022007-130630115050-phpapp02/85/Ma-02-2007-3-320.jpg)
![EJERCICIOS
1. 2 – 2 · (6 – 3 · 2) =
A) -14
B) -10
C) 0
D) 2
E) 10
2. Con respecto a ⎜-5⎥, ¿cuál es la relación correcta?
A) ⎢-5⎥ = -⎢-5⎥
B) ⎢-5⎥ < 5
C) ⎢-5⎥ > 5
D) ⎢-5⎥ < -5
E) ⎢-5⎥ = -(-5)
3. [-5 + (-3) · 7] : (-2) =
A) 28
B) 13
C) -28
D) -24
E) -13
4. -2 ⎢1 – 2⎥ – ⎢-3⎥ =
A) -9
B) -5
C) -1
D) 1
E) 5
7](https://image.slidesharecdn.com/ma022007-130630115050-phpapp02/85/Ma-02-2007-7-320.jpg)
![5. -2 [3 – {5 – 2 (7 – 15)}] =
A) -54
B) -36
C) -20
D) 54
E) 36
6. En la siguiente secuencia numérica 1 ⋅ 2, 2 + 3, 3 ⋅ 4, 4 + 5, … , el octavo término es
A) 15
B) 17
C) 56
D) 72
E) 90
7. Si al cuadrado de -3 se le resta el cuádruplo de -2 y al resultado se le agrega el triple
de 3, se obtiene
A) 26
B) 20
C) 11
D) 10
E) 8
8. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b – a es
A) -1
B) 0
C) 1
D) a2
+ a
E) 2a + 1
8](https://image.slidesharecdn.com/ma022007-130630115050-phpapp02/85/Ma-02-2007-8-320.jpg)
Ma 02 2007
- 1. C u r s o : Matemática Material N° 02 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2 UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS ( ) Los elementos del conjunto = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros”. OPERATORIA EN ADICIÓN Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto. MULTIPLICACIÓN Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. EJEMPLOS 1. -2 + (-107) = A) -109 B) -105 C) 105 D) 109 E) 214 2. (-3) ⋅ 3 ⋅ (-3) ⋅ (-3) ⋅ 3 = A) -243 B) -81 C) -3 D) 81 E) 243
- 2. DEFINICIONES: Sea n un número entero, entonces: El sucesor de n es (n + 1). El antecesor de n es (n – 1). El entero 2n es siempre par. El entero (2n – 1) es siempre impar. El entero (2n + 1) es siempre impar. Son pares consecutivos 2n y 2n + 2. Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3. El cuadrado perfecto de n es n2 . OBSERVACIONES: Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, … EJEMPLOS 1. Si al triple del sucesor de -3 se le resta el antecesor de -2, se obtiene A) -11 B) -9 C) -7 D) -4 E) -3 2. Si la suma de tres números impares consecutivos es 1.527, entonces el sucesor del número central es A) 506 B) 507 C) 508 D) 509 E) 510 2
- 3. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: Resolver los paréntesis. Realizar las potencias. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. EJEMPLOS 1. -8 + 4 ⋅ 3 + 12 : -6 = A) 2 B) 0 C) -12 D) -14 E) -18 2. 42 – 25 : 2 · 5 = A) -38 B) -1 C) 1 D) 25 E) 38 3. 3 – ⎨2 – [1 – (12 : 4 ⋅ 3)] – 32 ⎬ = A) -16 B) 2 C) 4 D) 10 E) 18 3
- 4. MÚLTIPLO Y DIVISOR En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. EJEMPLOS 1. El número 2.856 es el producto de tres factores. Si dos de los factores son 12 y 14, ¿cuál es el otro factor? A) 17 B) 16 C) 15 D) 13 E) Ninguna de las anteriores 2. ¿De cuáles de los siguientes números, 105 es múltiplo? I) 15 II) 21 III) 35 A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguno de ellos 3. ¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los cuadrados vacíos, para que el número de 6 cifras, 6 4 12 sea divisible por 3? A) 0 y 0 B) 1 y 2 C) 2 y 2 D) 3 y 4 E) 3 y 8 4
- 5. NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,… TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos. EJEMPLOS 1. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) primo(s)? I) 51 II) 91 III) 141 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II y III E) Ninguno de ellos 2. Al expresar los números 60 y 90 en factores primos, se obtiene respectivamente A) 22 · 32 · 5 y 2 · 32 · 5 B) 22 · 3 · 5 y 2 · 32 · 5 C) 2 · 32 · 5 y 2 · 32 · 5 D) 22 · 3 · 5 y 22 · 3 · 5 E) 23 · 3 · 5 y 2 · 32 · 5 5
- 6. VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un número y el 0. -3 -2 -1 0 1 2 3 ⎪-3⏐ = 3 , ⎪-3⏐ = 3 n, si n ≥ 0 DEFINICIÓN: | n | = -n, si n < 0 EJEMPLOS 1. Si a = -5, entonces a + ⎜a⎟ – ⎜-a⎟ = A) 10 B) 5 C) -5 D) -10 E) -15 2. -3 · ⎜2 – 4⎟ – ⎜-2⎟ = A) -8 B) -4 C) 0 D) 4 E) 8 3. Si a > b, entonces ⎜b – a⎟ = A) 0 B) b – a C) a – b D) -a – b E) a + b 6
- 7. EJERCICIOS 1. 2 – 2 · (6 – 3 · 2) = A) -14 B) -10 C) 0 D) 2 E) 10 2. Con respecto a ⎜-5⎥, ¿cuál es la relación correcta? A) ⎢-5⎥ = -⎢-5⎥ B) ⎢-5⎥ < 5 C) ⎢-5⎥ > 5 D) ⎢-5⎥ < -5 E) ⎢-5⎥ = -(-5) 3. [-5 + (-3) · 7] : (-2) = A) 28 B) 13 C) -28 D) -24 E) -13 4. -2 ⎢1 – 2⎥ – ⎢-3⎥ = A) -9 B) -5 C) -1 D) 1 E) 5 7
- 8. 5. -2 [3 – {5 – 2 (7 – 15)}] = A) -54 B) -36 C) -20 D) 54 E) 36 6. En la siguiente secuencia numérica 1 ⋅ 2, 2 + 3, 3 ⋅ 4, 4 + 5, … , el octavo término es A) 15 B) 17 C) 56 D) 72 E) 90 7. Si al cuadrado de -3 se le resta el cuádruplo de -2 y al resultado se le agrega el triple de 3, se obtiene A) 26 B) 20 C) 11 D) 10 E) 8 8. Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b – a es A) -1 B) 0 C) 1 D) a2 + a E) 2a + 1 8
- 9. 9. Si t + 3 es el sucesor del número 10, entonces el sucesor de t es A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12 10. Si a y b son números enteros y el antecesor de a es b y el sucesor de a es -9, entonces a + b = A) -21 B) -20 C) -19 D) -17 E) -15 11. Si a es un número par y b es un número impar, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones representa un número par? A) a + b B) 2a – b C) 3a + 3b D) 5a + 4b E) a + b – 2 12. Si x e y son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica es , entonces se cumple que x y 0 A) xy < 0 B) -x : y > 0 C) x + y > 0 D) x – y > 0 E) y – x > 0 9
- 10. 13. La descomposición del número 1.080 en sus factores primos es A) 23 · 32 · 5 B) 22 · 32 · 52 C) 23 · 33 · 5 D) 22 · 32 · 5 E) 23 · 33 · 52 14. Si a es primo, entonces a2 es siempre un número A) par B) impar C) primo D) compuesto E) par y compuesto 15. Si a < 0 y a > -b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) a > b B) -b > -a C) -a > b D) b < 0 E) b > a 16. Si se ubican los números 4, 6 y 8 en el cuadrado de la figura 1, de modo que las sumas de cada fila, cada columna y cada diagonal sea 18, con y < z, entonces el valor de la expresión 3(x + y) – 2z sería A) 12 x y zB) 14 C) 30 z x y y z x fig. 1D) 34 E) 46 10
- 11. 17. Si p es un número entero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) (p2 – 1) es el entero antecesor del cuadrado de p. II) -(p – 1) es el entero antecesor de p. III) (p + 1)2 es el cuadrado del entero sucesor de p. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 18. ¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los cuadrados vacíos, para que el número de 5 cifras, 4 1 2 sea divisible por 6? A) 0 y 0 B) 0 y 1 C) 1 y 1 D) 1 y 2 E) 2 y 2 19. La suma de tres pares consecutivos es siempre divisible por: I) 4 II) 6 III) 12 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 20. Si n es un número natural par, entonces el sucesor par del sucesor de n + 1 está representado por A) n + 4 B) n + 3 C) n + 2 D) 2n + 2 E) 2n + 4 11
- 12. 21. Si p es un número entero par y q es un número entero impar, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)? I) p2 un número positivo. II) -q2 es un número positivo. III) (p – q)2 es un número impar positivo. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas 22. La siguiente secuencia de diagramas muestra el número de celdas negras (n) y blancas (b). ¿Cuál es la fórmula que relaciona n con b? … A) b = 5n B) b = 2n + 3 C) b = n + 4 D) b = n – 4 E) b = 2n + 1 23. En la siguiente secuencia numérica 3, 7, 15, 31, …, la suma del quinto con el sexto término es A) 63 B) 94 C) 127 D) 190 E) 318 12
- 13. 24. Con los números 2, 3, 4, 5 y 6, se debe completar el cuadrado de la figura 2, procurando que la suma de los números ubicados en filas, columnas y diagonales mayores sea siempre la misma y que estos números aparezcan sólo una vez tanto en filas como en columnas. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) falsa(s)? I) s = 3 II) q – r = 1 4 2 q III) p + s = 9 4 6 3 5 p 5 4 2 5 4 r s 2 4 fig. 2A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguna de ellas 25. Los cuadrados de la figura 3, están formados por palos de fósforos tal como se indica en los diagramas. ¿Cuántos palos de fósforos se necesitan para formar el diagrama número 100? A) 296 fig. 3B) 297 C) 299 1 2 3 D) 300 E) 301 26. Sean a, b y c números enteros. ¿Cuál es el menor? (1) a – b < 0 (2) c – a < 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 27. Si z es un entero comprendido entre 70 y 80, se puede determinar el valor exacto de z si: (1) z es múltiplo de 6. (2) z es múltiplo de 9. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 13
- 14. 28. Si n es un número entero, ¿es n + 1 un número impar? (1) 2n es un número par. (2) 3n es un número par. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 29. Sea n ∈ . La expresión 3(1 + n) representa un múltiplo de 6 si: (1) n es un número impar. (2) n + 1 es un número par. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 30. Si s y t son números enteros positivos, entonces ¿cuál es el valor de (s + t) ⋅ (s – t)? (1) s = t (2) s = 10 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 14
- 15. RESPUESTAS Ejemplos Págs. 1 2 3 1 A A 2 E E 3 A A B 4 A D E 5 E B 6 C A C 1. D 6. B 11. D 16. B 21. B 26. C 2. E 7. A 12. E 17. D 22. C 27. B 3. B 8. C 13. C 18. C 23. D 28. B 4. B 9. C 14. D 19. B 24. C 29. D 5. E 10. A 15. E 20. A 25. E 30. A CLAVES PÁG. 7 DSIMA02 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/ 15