Ma 04 2007

C u r s o : Matemática
Material N° 04
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 4
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
NÚMEROS REALES
POTENCIAS EN
DEFINICIONES
OBSERVACIONES
2 0n
= 0, si n ≠ 0
2 1n
= 1
2 00
no está definido.
Positivo, si a ≠ 0 y n es par.
Signos de una potencia: an
=
Negativo, si a < 0 y n es impar.
a0
= 1 , a ≠ 0
a · a · a · a · a · a · a … · a = an
, con a ∈ – {0} y n ∈
n factores
a-n
=
n
1
a
, a ∈ – {0} y n ∈
EJEMPLOS
1. -20
– 32
=
A) 10
B) 8
C) -8
D) -9
E) -10
2. (-3) (-2)2
+ (-3)3
: 9 =
A) -15
B) - 9
C) 1
D) 7
E) 33
3. -2-4
=
A)
4
1
2
B) 8
C) 24
D) -42
E) -
4
1
2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b ∈ – {0}, m y n ∈
Multiplicación de potencias de igual base
División de potencias de igual base
Multiplicación de potencias de distinta
base e igual exponente
División de potencias de distinta base
e igual exponente
Potencia de una potencia (an
)m
= an · m
an
· am
= an + m
an
: am
= an - m
an
· bn
= (ab)n
an
: bn
= (a : b)n
EJEMPLOS
1. -38
⋅ 32
=
A) -316
B) -310
C) -36
D) 310
E) (-9)16
2. 58
: (-5)2
=
A) -510
B) -56
C) 54
D) 56
E) 510
3. (-4)2
: 22
=
A) 16
B) 4
C) 2
D) -2
E) -4
4. (35
· 85
)2
=
A) 245
B) 247
C) 2410
D) 2420
E) 2450
2

NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ABREVIADA
2 Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10n
, en
que 1 ≤ k < 10 y n ∈ .
2 Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n
, en que p
es el menor entero y n ∈ .
EJEMPLOS
1. 150.000.000 expresado en notación científica es
A) 1,5 · 10-8
B) 15 · 107
C) 1,5 · 107
D) 0,15 · 109
E) 1,5 · 108
2. La notación científica de 0,00627 es
A) 627 · 10-5
B) 62,7 · 10-4
C) 6,27 · 10-3
D) 0,627 · 10-2
E) 6,27 · 103
3. El número 0,000180 escrito en forma abreviada es
A) 180 · 10-6
B) 18 · 10-5
C) 1,8 · 10-4
D) 0,18 · 10-3
E) 18 · 105
3

NÚMEROS IRRACIONALES (I, Q')
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
Los números π = 3,141592 …, 2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
OBSERVACIÓN: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b
números racionales no negativos, son:
DEFINICIÓN:
PROPIEDADES
2 a ⋅ b = ab 2
a
b
=
a
b
2 a b = 2
a b
a = b ⇔ b2
= a
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A) 4
B) 9
C) 16
D) 27
E) 0,25
2. Si a = 2 y b = 8, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) número(s)
irracional(es)?
I) ab
II) 2
ab
III) a b
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Ninguna de las anteriores
3. Al ordenar en forma creciente los números a = 4 2 , b = 3 3 y c = 2 7 , se obtiene
A) a, b, c
B) a, c, b
C) b, c, a
D) c, a, b
E) b, a, c
4

NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los racionales ( ) y los irracionales ( ’) genera el conjunto de los
números reales el cual se expresa como lR.
Es decir
5
lR = ∪ ’
OPERATORIA EN lR
2 El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional
(excluyendo la división por cero).
La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.2
2 Por otra parte, la operación entre un número racional ( ) y un irracional ( ’) da como
resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma n a , con a < 0 y n par.
EJEMPLOS
1. La expresión 5 x− es un número real para:
I) Cualquier valor de x.
II) x = 5
III) x < 5
Es(son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
2. Si q =
1
2
y q’ = 2 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) número(s)
irracional(es)?
I) q2
· q’
II) q’2
· q
III) q’ : q
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJERCICIOS
1. (-1)0
+ (-2)1
+ (-1)2
+ (-2)3
=
A) -5
B) -8
C) -9
D) -10
E) 8
2. 5 – {-22
– [16 : (52
– 33
)]} =
A) -7
B) -3
C) -1
D) 1
E) 17
3.
9 -1
-3 -6
7 11
7 11
⋅
⋅
8
=
A) 1
B) 9
C) 76
· 11-12
D) 712
· 11-24
E) 712
· 11-12
4. 56
· 86
· 2-7
· 20-7
=
A) 40-1
B) 40-2
C) 40-42
D) 401
E) 4013
6

7
5. 34
· 92
· 274
=
A) 39
B) 315
C) 320
D) 336
E) 2710
6. ¿Cuál es la tercera parte de 36
?
A) 16
B) 32
C) 35
D) 37
E) 318
7. 55
+ 55
+ 55
+ 55
+ 55
=
A) 55
B) 56
C) 525
D) 255
E) 2525
8. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
I) 114
· 115
= 119
II) 411
+ 45
= 416
III) 411
· 511
= 2011
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

9.
9 3
3
3 3
3
−
=
A) 0
B) 33
C) 39
– 1
D) 39
E) 36
– 1
10. En la serie:
-2 -1 0 1
-2 -1 0 1
3 -3 3 -3
; ; ; ;
4 4 4 4
... , el valor del sexto término es
A) -
27
16
B) -
27
64
C) -
9
16
D) -
9
12
E)
27
64
11. La luz recorre aproximadamente 300.000 kilómetros en un segundo. ¿Cómo se expresa
esta distancia en notación científica?
A) 300 · 103
km
B) 30 · 104
km
C) 0,3 · 106
km
D) 3 · 105
km
E) 3 · 106
km
12. 4-2
+ 2-3
– 2-4
=
A)
1
8
B)
1
6
C)
1
4
D) -6
E) -8
8

13. (0,4)-2
: (0,2)-2
=
A) 25
B) 4
C) 1
D)
1
25
E)
1
4
14.
-2 -2
-3
3 + 3
3
=
A) 6-1
B) 2-1
C) 6
D)
17
27
E)
28
9
15. (0,2-1
– 0,1-1
)-1
=
A)
1
10
B)
1
5
C) 5
D) -
1
5
E) -5
16. 1 –
-1
-1
1
1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ − ⎠
=
A) 3
B) 2
C)
4
3
D)
1
2
E) -1
9

17. La masa de un electrón, que es aproximadamente 0,000091083 · 10-23
gramos,
expresada en notación científica corresponde a
A) 9,1083 · 10-29
gramos
B) 0,91083 · 10-27
gramos
C) 9,1083 · 10-27
gramos
D) 91083 · 10-32
gramos
E) 9,1083 · 10-28
gramos
18. 5 · 10-3
– 2 · 10-4
=
A) 48 · 10-3
B) 48 · 10-4
C) 4,8 · 10-4
D) 3 · 10-7
E) 3 · 10-1
19. El valor de (103
)-3
· (10-3
· 0,5)-2
=
A) 2 · 10-3
B) 4-1
· 10-3
C) 4 · 10-3
D) 4 · 10-12
E) 4 · 10-15
20.
5 -
4 5
(0,1) (0,01)
100 (0,001)
⋅
⋅
2
=
A) 10-8
B) 10-6
C) 10-2
D) 100
E) 106
10

21. La expresión
0,08 · 16000000
0,0004 0,064⋅
escrita en notación científica es
A) 5 · 1010
B) 5 · 1012
C) 5 · 1011
D) 0,5 · 1011
E) 2 · 1011
22. ¿Cuál de los siguientes números es racional?
A) 5
B) 5 5
C) 25 5
D)
5
25
E) 0 · 5
23. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I) 3 12⋅
II) 2 + 2 2
III)
5
125
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
24. Al ordenar en forma decreciente los números a = 3 5 , b = 4 3 y c = 5 2 , se obtiene
A) c, b, a
B) a, b, c
C) b, a, c
D) c, a, b
E) b, c, a
11

12
25. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional.
II) Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es
racional.
III) Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Todas ellas
E) Ninguna de ellas
26. ¿Cuál es el valor de (-1)n
?
(1) n es par.
(2) n + 1 es impar.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. a2
= (2a)0
si:
(1) a = 1
(2) a = -1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

28. Se puede afirmar que 2,37 < M < 5,11 si:
(1) 2,4 < M
(2) M < 48 ⋅ 10-1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
29. a es irracional si:
(1) a es primo.
(2) a es múltiplo de 3.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
30. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Los números r y s son racionales si:
(1) x es un número irracional negativo.
(2) x es el inverso aditivo de 2 .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
13

RESPUESTAS
Ejemplos
14
DSIMA04
Págs. 1 2 3 4 CLAVES PÁG. 6
1 E A E
2 1. B 6. C 11. D 16. D 21. A 26. D
2. D
B D B C
3 7. B 12. A 17. E 22. E 27. DE C B
4
3. E 8. C 13. E 18. B 23. B 28. C
D D C
5
4. A 9. E 14. C 19. C 24. A 29. A
D C 5. C 10. B 15. D 20. E 25. B 30. B
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