Libro recopilacion demre

LIBRO RECOPILACIÓN PSU
EJERCICIOS DEMRE

CONTENIDOS
EJERCICIOS PSU
RESPUESTAS
ENSAYOS

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
2010

1

INDICE

Contenido Página
1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3
2 Números racionales, operatoria, propiedades 10
3 Potencias, propiedades, aplicaciones 20
4 Operatoria algebraica 26
5 Simbología 38
6 Razones y proporciones 42
7 Tanto por ciento 49
8 Raíces, propiedades, aplicaciones 57
9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de 64
ecuaciones
10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 79
11 Ecuación de segundo grado 83
12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 85
13 Funciones, operatoria, tipos de funciones 88
14 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de 108
Pitágoras, teorema de Euclides
15 Congruencia de triángulos 129
16 Semejanza de triángulos 133
17 Cuadriláteros 141
18 Polígonos 152
19 Ángulos en la circunferencia 153
20 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 162
21 Poliedros, volumen 166
22 División interior y exterior 173
23 Trigonometría 175
24 Probabilidad 183
25 Estadística 198
26 Transformaciones isométricas 209
27 Teorema de Tales 221
28 Evaluación de suficiencia de datos 226
29 Respuestas 243
30 Resumen contenidos Primer año medio 248
31 Resumen contenidos Segundo año medio 258
32 Resumen tercer año medio 269
33 Resumen Cuarto año medio 280
34 Ensayo 1 290
35 Ensayo 2 308
36 Ensayo 3 329
37 Ensayo 4 348
38 Ensayo 5 365
39 Ensayo 6 384

2

RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 )
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, …} se denominan “números naturales”. Si a este
conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, …} llamado
“conjunto de los números cardinales”.

NÚMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros”
Algunos subconjuntos de Z son:
+
Z+ = {1, 2, 3, …} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2, … } enteros no negativos
−
Z- = {-1, -2, -3, …} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3, …} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,
256, …
2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -
1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …

MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c
o bien b y c son divisores o factores de a.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por Cuando
2 Termina en cifra par.
3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son
Ceros.
5 La última cifra es cero o cinco.
6 Es divisible por dos y por tres a la vez.
7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las
Cifras restantes es múltiplo de siete.
8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son
Ceros.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
10 Termina en cero.
11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y
Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

3

NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores
de números primos
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
PRIMOS
Se descomponen los números en factores primos:
1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir
factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando
aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN Z
ADICIÓN
i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando
el signo común.
ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
MULTIPLICACIÓN
i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.

VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0

n, si n ≥ 0
DEFINICIÓN: 
− n si n < 0
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D: d = c, entonces D = d ⋅ c + r
r //
D = dividendo
d = divisor
c = cuociente o cociente
r = resto

4

OBSERVACIONES:
1) 0 ≤ r < d
2) La división por cero no está definida.

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.

RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta

A) – 2
B) 2
C) 4
D) – 4
E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y
el de las unidades es n, entonces a + 1 =

A) m + n + 1
B) 10m + n + 1
C) 100m + n + 1
D) 100m + 10n + 1
E) 10(m + 1) + n

EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)?

A) -11
B) -5
C) 5
D) 7
E) -7

5

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31
niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que
cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E) 7

EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde
depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el
banco?
A) $ 8p
B) $ 10p
C) $ 12p
D) $ 16p
E) $ 14p

EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el
último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número
de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
A) 5 x 4 20
B) 7 4 9
C) 8 8 13
D) 9 24 16 55
E) 16

EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos
II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar
de círculos
III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras
consecutivas es 2

A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

6

EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21
monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de
dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas
II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define a ◊ b = ab + b y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, el
valor de (2 ◊ 5) # (-2) es:

A) 82
B) 66
C) 60
D) 38
E) 22

EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7),
3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resulta
A) 41x - 2
B) 61x + 25
C) 41x - 109
D) 41x + 109
E) 41x - 21

EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una
cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?
A) De 1 forma
B) De 2 formas
C) De 4 formas
D) De 3 formas
E) De 6 formas

EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a
partir de hoy?
A) Viernes
B) Sábado
C) Lunes
D) Miércoles
E) Jueves

7

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4
pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180
cada uno?
A) $280
B) $200
C) $120
D) $100
E) $ 40

EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3),
respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres
artículos T?
A) 6n - 14
B) 6n – 6
C) 5n – 14
D) 3n – 14
E) 3n - 6

EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros
positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?

A) p = nq + r
B) q = np + r
C) q = np
D) p = nq
p 1
E) =1+
q q

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la
siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”.
¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
A) 8
B) 6
C) 9
D) 10
E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a
A) -12
B) -7
C) -2
D) 4
E) 12

8

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene
factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 1

EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de
cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si
repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:
1.000
A)
12
 1.000 
B) 6 •  
 2 
1.000
C)
26
1.000
D)
6
1.000
E)
25

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre:
I) divisible por 3
II) divisible por 6
III) divisible por 9
Es(son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a
estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La suma del menor y el mayor es 0
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) El mayor menos el menor es 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

9

II. NÚMEROS RACIONALES
a
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números
b
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la
letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
a c
Si , ∈Q, entonces:
b d

OBSERVACIONES
a a
1. El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también como
b b
−a a
o
b −b

b
2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
a c
Si , ∈Q, entonces:
b d
MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN
−1
a  a b
El inverso multiplicativo (o recíproco) de es   = , con a ≠ 0
b b  a

10

RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a) igualar numeradores.
b) igualar denominadores.
c) convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un
desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras
decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales

b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte
entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4

c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la
parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales
se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal
bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.
Así por ejemplo: 0,19
3,81
+ 22,2
26,20

2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales,
se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de
derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en
conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 · 2,3
963
642
7,383

11

3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar
el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número
decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales
tenga dicho número.
324
Por ejemplo: 3,24 =
100
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número
decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.
215 − 2
Por ejemplo: 2, 15 =
99
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el
período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
534 − 53
Por ejemplo: 5,3 4 =
90

 0,05 
EJEMPLO PSU-1: 5 • 
 

 0,5 
A) 0,5
B) 0,05
C) 0,005
D) 50
E) 500

2 5 3
EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = , b = y c = de menor a mayor es
3 6 8
A) a < b < c
B) b < c < a
C) b < a < c
D) c < a < b
E) c < b < a

EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ⋅ 2,5 + 10 =
A) 0
B) -20
C) 60
D) 75
E) 250

12

9 3
EJEMPLO PSU-4: − =
8 5
A) 0,15
B) 0,5
C) 0,52
D) 0,525
E) 2

5 1
EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta:
6 3
1
A) −
2
1
B)
2
2
C)
3
4
D)
3
2
E)
9

1 1
EJEMPLO PSU-6: +
3 3
− 0,75 − 0,25
8 8
15
A)
3
16
B)
3
16
C) −
3
D) 4
8
E)
3

t −r
EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces =
r
A) 80,89
B) 80,9
C) 88,9
D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores

13

1 1 1
EJEMPLO PSU-8: En la igualdad = − , si P y R se reducen a la mitad, entonces
P Q R
para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe

A) duplicar.
B) reducir a la mitad.
C) mantener igual.
D) cuadruplicar.
E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que
cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool
II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet
III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet

A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

1 1 1
EJEMPLO PSU-10: + + =
x x x
A) 3
1
B)
x3
3
C)
x
1
D)
3x
3
E)
x3

14

1
EJEMPLO PSU-11: Si P = RH , entonces H-1 es igual a:
2
2P
A)
R
R
B) −
2P
2P
C) −
R
2R
D)
P
R
E)
2P

1 1 1
EJEMPLO PSU-12: + ⋅ =
3 6 2
5
A)
12
2
B)
15
1
C)
9
2
D)
3
1
E)
4

2,6 − 2 ⋅ 3,8
EJEMPLO PSU-13: =
2,6 ⋅ 6 + 3,8
1
A) −
3
5
B) −
19,4
5
C)
19,4
2,28
D)
19,4
7,6
E)
9,8

15

1 2
EJEMPLO PSU-14: + =
3 1
1−
4
3
A)
2
1
B)
3
11
C)
6
D) 1
E) 3
50
+ 0,5
EJEMPLO PSU-15: 100 =
(0,5) ⋅ 2
A) 10
B) 1
C) 0,1
D) 0,25
E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850
metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?

A) 4,45 km
B) 4,55 km
C) 5,55 km
D) 5,45 km
E) 6,62 km

EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta
3 3 3
entre las fracciones: p = t = r =
a a−1 a+1
A) p <t < r
B) r < p < t
C) t < r < p
D) r < t < p
E) p < r < t

16

EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del
licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
a+b
A) $
3
a+b
B) $
5
C) $(2a + 3b)
3a + 2b
D) $
18
5 ⋅ (3a + 2b)
E) $
18

1
EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2
3
litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?
1
A) 2
3
2
B) 2
3
3
C) 2
2
1
D) 3
3
2
E) 1
3

1 1 2
EJEMPLO PSU-20: + • =
3 4 3
1
A)
2
1
B)
4
1
C)
5
1
D)
12
4
E)
21

17

1
EJEMPLO PSU-21: Se define a ∗ b = , entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a:
ab
1
A)
abc
a
B)
bc
bc
C)
a
ab
D)
c
c
E)
ab

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si
a a
P = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre
b c
verdadera(s)?
I) P - Q ≠ 0
P c
II) =
Q b
a2
III) P — Q = + d2
bc
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.

1
EJEMPLO PSU-23: =
1
1+
1
1+
1+1
5
A)
2
2
B)
5
C) 1
3
D)
5
1
E)
2

18

EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3
segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la
meta
III) Arturo llegó primero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de
azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe
multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?
A) 33, 3
B) 200
C) 1.200
D) 6
E) 0,03

a a
EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si S = + , entonces S −1 es:
b d
bd
A)
2a
ad + ab
B)
bd
b+d
C)
a
b+d
D)
2a
bd
E)
a( b + d )

EJEMPLO PSU-27: (0 ,2 ) −2 =
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
1
E)
5

19

III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIÓN

PROPIEDADES
1. 0 n = 0, si n ∈Z+
2. 1 n = 1
3. Si n es par, (−1) n = 1
4. Si n es impar, (−1) n = -1
Positivo si a ≠ 0 y n es par
Signos de una potencia: a n = 
Negativo si a < 0 y n es impar

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+

1.- Multiplicación de potencias de igual base

2.- División de potencias de igual base

3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

4.- División de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN:
0 0 no está definido
POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

POTENCIAS DE BASE 10
1
10 0 = 1 10 −1 = =0,1
10

20

1
10 1 = 10 10 −2 = =0,01
100
1
10 2 = 100 10 −3 = =0,001
1000
10 3 = 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:
1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · 10 n , en que 1
≤ k < 10 y n ∈ Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, en que p es
el menor entero y n ∈ Z.
3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la
suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la
potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,
centésima...) abcde = a · 10 2 + b · 10 1 + c · 100 + d · 10 −1 + e · 10 −2

3 −1 + 4 −1
EJEMPLO PSU-1: =
5 −1
12
A)
35
35
B)
12
7
C)
5
5
D)
7
5
E)
12

0 ,0009 ⋅ 0 ,0000002
EJEMPLO PSU-2: =
6 ⋅ 0 ,0003
A) 10-15
B) 10-12
C) 10-7
D) 10-6

EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51⋅ 10 −6 ; N = 45,1⋅ 10 −5 y P = 451⋅ 10 −7 ,
de menor a mayor, es
A) M, N, P
B) P, M, N
C) N, M, P
D) P, N, M
E) M, P, N

21

−3
1 
EJEMPLO PSU-4:  a − 2  =
2 
6
A ) 8a
B ) 8a − 5
1
C ) a −5
2
1
D ) a −6
8
1 6
E) a
2

EJEMPLO PSU-5: Si 2 2 x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?
A) 6
9
B)
2
C) 3
3
D)
2

EJEMPLO PSU-6: 4 −2 + 2 −3 − 2 −4 =
1
A)
8
1
B)
4
1
C)
6
D) − 8
E) − 6

EJEMPLO PSU-7: ( 2a ) 3 • ( 3a) 2 =

A) 72a2
B) 72a5
C) 6a5
D) 36a6
E) 36a5

22

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 2 6 ?

A) 25
B) 23
C) 16
3
1
D)  
2
6
1
E)  
2

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
I) a n ⋅ a n = a 2 n
II ) a 2 n − a n = a n
III ) ( 2 a n ) 2 = 2 a 2 n
A) Solo I
B) Sólo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?
I) 2 4 + 5 2
II ) 6 ⋅ 7 − 6 0 ⋅ 7 0
III ) 7 2 − 2 3
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas

4 ⋅ 18 n
EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión es
3 −1 ⋅ 6 2 n +1 ⋅ 2 − n
A) 2 n
B) 4⋅ 2 n
C) 2
D) 6
E) 36

23

3,6 ⋅ 10 6 ⋅ 0 ,00006
EJEMPLO PSU-12: =
20.000.000
A ) 1,08 ⋅ 10 −4
B ) 1,08 ⋅ 10 − 5
C ) 1,08 ⋅ 10 −6
D ) 1,08 ⋅ 10 −7
E ) 1,08 ⋅ 10 −15

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 4 n + 4 n + 4 4 + 4 n = 2 44 , el valor de n es:
11
A)
2
B) 11
C) 21
D) 22

–2
EJEMPLO PSU-14: (0,2) =

A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
E) 5

a6b −15
EJEMPLO PSU-15: =
a − 2b − 5
9
A) −
7
B) a8b − 10
C) a 4b − 20
D) a − 3b 3
E) − 9

EJEMPLO PSU-16: Si 9 ⋅ 9 = 3 x . Entonces x=

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 27

24

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente
hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:

A) 5.000 ⋅ 33 bacterias
B) 5.000 ⋅ 34 bacterias
C) 5.000 ⋅ 39 bacterias
D) 5.000 ⋅ 360 bacterias
E) 5.000 ⋅ 3180 bacterias

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?
1
I) 4x =
64
II) 4x ⋅ 43 = 1
III) (4−1 )x = 64

A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-19: Si p = 5,2 • 10 −3 y q = 2 • 10 −3 , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
se cumple(n)?
I) p + q = 7,2 • 10 −3
II) p • q = 1,04 • 10 − 5
III) p − q = 3,2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-20: Si 3 x + 3 −x = P , entonces 9 x + 9 − x es igual a:
A) P2
B) P2 + 2
C) P2 – 2
D) P2 – 1
E) 3P

25

IV. ALGEBRA y FUNCIONES

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos
dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre
paréntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los
mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y
mantener su factor literal.

USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los
paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de
los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos
de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se
encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a
los paréntesis desde adentro hacia fuera.

OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando
propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de
monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,
a · (b · c) = (a · b) · c

MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad

26

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio
y se reducen los términos semejantes, si los hay.

PRODUCTOS NOTABLES:

∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2
∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac
∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

EJEMPLO PSU-1: La expresión a 4 − b 4 se puede escribir como
A) (a − b) 4
B) (a + b) 2 (a − b) 2
C) (a 3 − b 3 )(a + b)
D) (a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 )
E) (a − b )(a 3 + b 3 )

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a · b =
n−p
A)
2
n − p4
4
B)
4
n − p2
2
C)
4
n−p
D)
4
E ) 4( n − p)

27

xy − x ay − a
EJEMPLO PSU-3: La expresión : es igual a:
y y2
A) 0
a
B)
xy
ax
C)
y
xa(y − 1)2
D)
y3
xy
E)
a

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n)
1?
2a + 3
I)
3 + 2a
a2 − b2
II )
(a − b ) 2
( b − a) 2
III )
a 2 + b 2 − 2 ab
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: El doble de − [− (a − ( − b ))]

A) 2a + 2b
B) a - b + 2
C) a + b + 2
D) a + b
E) -2a - 2b

EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y,
¿cuánto mide el ancho del rectángulo?

A) 2x + y
B) 4x + 2y
C) 7x + 4y
D) x + 2y
7
E) x + 2y
2

28

EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2 x 2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x -
3), el otro lado mide
A) (x + 8)
B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4)
D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)

1 a2 b2 − 1 1
EJEMPLO PSU-8: Si a + =9 y 2
= 36 , entonces a −
b b b
A) -9
B) 6
C) 4
D) 3
E) 1

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la
expresión algebraica 2 x 2 − 6x − 20 ?
I) 2
II) (x − 5)
III) (x + 2)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

z
EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide , entonces ¿cuánto
2
mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo?
z
A)
4
z
B) 2
2
C) z
z
D)
2
z2
E)
4

EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2 x 2 − 3) =
A) − 45
B) − 75
C) 15
D) 75
E) 105

29

x y
EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces + =
y x
x2 + y2
A)
xy
x+y
B)
xy
C) 1
2x + 2y
D)
xy
E) 2

EJEMPLO PSU-13: (3w − 2)2 − 2(2w − 3)(2w + 3) =

A) w 2 – 12w - 14
B) w 2 – 12w + 22
C) w 2 – 12w -5
D) w 2 – 12w + 13
E) w 2 – 12w + 14

EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6?

A) k + 1
B) k + 2
C) k – 6
D) k – 3
E) k – 2

30

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2
II) El área de la región achurada es (a + b)2
III) El área de AEFD es b2 + ab

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se
expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados?
A) (x – 1) y (x – 5)
B) (x + 2) y (x – 3)
C) (x – 1) y (x + 6)
D) (x + 1) y (x – 6)
E) (x – 2) y (x – 3)

EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x 2 y 2 + x 2 y + xy + x , ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones es (son) factor(es) de ella?
I) xy + 1
II) x + 1
III) y + 1
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

(
EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a 3n − 3 − 3n − 2 )
2

es:
A ) 2 ⋅ 3 2( n − 3 )
B) − 2 ⋅ 3( n −3)
C ) 4 ⋅ 3 2( n − 3 )
D ) 16 ⋅ 3 2( n − 3 )
E) − 8 ⋅ 3 2( n −3 )

31

EJEMPLO PSU-20: a ⋅ [a − a − (a − a) ⋅ a − a] : −a =
A) –a2
B) –a
C) a
D) 2a
E) a - 2

5a + 4 2a − 6
3a − 6 2a − 4
2a + 13
A)
3(a − 2)
2a − 5
B)
3(a − 2)
2a + 5
C)
3(a − 2)
2a − 3
D)
3(a − 2)
3a − 2
E)
a − 10

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=
A) 1
1
B)
m
1
C)
m2
1
D)
m3
1
E)
m4

EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)
A) 1 - a
B) a
C) 0
D) –a2
E) a2

EJEMPLO PSU-24: Si a ⋅ b = 10 y a2 + b 2 = 29 , entonces el valor de (a – b)2 es:
A) 9
B) 19
C) 29
D) 49
E) No se puede determinar el valor

32

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m + n ) 2 – 4mn?
A) (m – n)2
B) m2 – 2 + n2
C) m2 – 4mn + n2
D) 2m – 4mn + 2n
E) 2m – 2mn + 2n

m − mr
EJEMPLO PSU-26: Sea m ≠ 0, al simplificar la expresión resulta:
2m
A) 0
r
B) −
2
1−r
C)
2
m−r
D)
2
1 − mr
E)
2

x x
EJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces ¿cuál es el valor de de
t t +2
m?
A) 0
2x
B)
t(t + 2)
−x
C)
t+2
− 2x
D)
t(t + 2)
−2
E)
t(t + 2)

2
EJEMPLO PSU-28: (30 + 5) – (30 + 5)(30 – 5) =

A) 0
B) 50
C) 300
D) 350
E) 450

33

EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a
y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5
entonces, el sucesor de ese número entero es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) Ninguno de los anteriores

3x
EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el doble del ancho.
2
¿Cuánto mide su perímetro?
9x 2
A)
2
B) 3x
9x
C)
2
D) 9x
E) 6x

1 1 1
EJEMPLO PSU-32: Si a = ,b= yc= , entonces la expresión x – (a + b + c)
2x 4x 6x
equivale a:

12 x 2 − 11
A)
12 x
2
x −7
B)
12 x
11x
C)
12
11
D)
12 x
7
E)
12 x

34

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?

I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área
achurada.
II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del
cuadrado de lado a y el lado de b.
2 2
III. a(a + b) > a + b

A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados
de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A) 8 – x
B) 64 – 4x2
C) 64 – x2
D) 8 – x2
E) 64 – x4

EJEMPLO PSU-35: Si a∇b = (a + b) 2 y a# b = (a 2 + b 2 ) , ¿a cuánto equivale la expresión
A) -2m2 + 8p2
B) -2m2 + 6mp + 8p2
C) 8m2 + 6mp – 2p2
D) -2m2 + 3mp + 8p2

EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a
A) -10
B) 10
C) 13
D) -25
E) 25

35

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de
otro cilindro P, entonces
I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios
deben ser iguales.
II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las
alturas deben ser iguales.
III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las
alturas deben ser iguales.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo III.
D) sólo I y II.
E) sólo I y III

n
EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n 2 − + 3n es igual a:
3
A) 6
B) 9
C) 14
D) 17
E) 18

2  2 
EJEMPLO PSU-39:  x + y  x − y  =
3  3 
4 2
A) x − y2
3
4 2
B) x − y2
9
2 2
C) x − y2
9
4 2
D) x − y2
6
E) Ninguna de las expresiones anteriores

EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región
achurada se expresa como:
A ) x(z − y )
B ) x( y − z )
C ) xz
xy
D)
2
x( z + y )
E)
3

36

x+y
1−
x−y
EJEMPLO PSU-41: para que la expresión = sea positiva, se debe cumplir
x+y
1+
x−y
necesariamente que:
A) xy < 0
B) x < 0
C) xy > 0
D) y < 0
E) x > y

EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión x 2 − x 3 + x 4 ?
A) -9
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3

2
EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x – 2xy, si x = 2 e y = – 1?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 0

EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =
A) –a + b – c
B) a + b – c
C) –a – b + c
D) a – b – c
E) a + b + c

2
EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p) =
2 2
A) 6m – 10p
2 2
B) 9m – 25p
2 2
C) 9m – 15mp + 25p
2 2
D) 9m – 30mp – 25p
2 2
E) 9m – 30mp + 25p

37

V. SIMBOLOGÍA:

∗ Números natural cualquiera = n
∗ El antecesor de un número = n – 1
∗El sucesor de un número = n + 1
∗Número natural par = 2n
∗ Número natural impar = 2n – 1
∗El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2
∗El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1
∗El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2
∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1
∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n
1
∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número =
n
∗El triple de un número = 3n
∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra
de las decenas es d = 10d + u
∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra
de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
p
∗La razón o cuociente entre p y q =
q
∗ El valor absoluto de un número = | n |
p
∗p es directamente proporcional a q = = k( cons tan te )
q
∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:
A) [2(x-3)]2
B) 2(x2 – 32)
C) (2x – 6)2
D) 2(x – 3)2
E) (x2 – 32)2

38

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente
problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a
ti, me quedo con 4”?
2x
A) +5 = 4
5
2x
B) +5 = x
5
x
C) +9=x
5
2x
D) +9= x
5
x
E) +5 = 4
5

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se
multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe
A ) d + 2d ⋅ 3d 2
B ) d + 2d ⋅ ( 3d ) 2
C ) (d + 2d ) ⋅ ( 3d ) 2
D ) (d + 2d ) ⋅ 3d 2
E ) (d + 2 ) ⋅ ( 3d ) 2

EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al
cuadrado, se expresa como
2
 1
A)  n + 
 n
2
1
2
B) n +  
n
2
1
C) n +  
n
D ) n + ( −n ) 2
E) n 2 + (−n ) 2

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área del
nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como
A ) πr 2 + ε
B ) πr 2 + ε 2
C ) π(r 2 + ε 2 )
D ) π(r 2 + ε )
E ) π(r + ε ) 2

39

EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”,
se escribe

5m + m 2
A)
t
m
+ m2
B) 5
t
m2
C) 5m +
t
m m2
D) +
5 t
m
+ 2m
E) 5
t

EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si
hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean
correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan?
J
A) M − 2 = y J + 2 = 10
4
J
B) M − 2 = y J − 2 = 10
4
J
C) M + 2 = y J − 2 = 10
4
J
D) M − 2 = y J = 10
4
J
E) M + 2 = y J + 2 = 10
4

EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de
sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años

EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del
doble de (3 – b)” se representa como:
A) [2(3 + b] = 2(3 − b)2
2

B) 4(3 + b)2 = 4(3 − b)2
C) [2(3 + b] = 2(3 + b)(3 − b)
2

D) 2(3 + b)2 = 2(3 − b)2
E) 2(3 + b)2 = [2(3 − b)]
2

40

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho
del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:
A) (4x + 16) metros
B) (2x + 8) metros
C) (2x + 16) metros
D) (4x + 8) metros
E) (4x + 32) metros

EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291.
¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este
problema?
A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291
B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291
D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291
E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291

EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4
unidades”, se expresa como
A) 2a + c + 4 = 18
B) 2(a + c) – 4 = 18
C) 2(a + c) + 4 = 18
D) 4 – 2(a + c) = 18
E) 2a + c – 4 = 18

EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de café
en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?
36.000 48.000
A) +
x x + 40
36.000 48.000
B) +
x x − 40
x x + 40
C) +
36.000 48.000
x x − 40
D) +
36.000 48.000
36.000 48.000
E) +
x 40

41

VI. RAZONES y PROPORCIONES
a
RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b.
b
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

x y
PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe = ó x: a = y : b
a b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
(x : a = y : b) ⇔ (x — b = y — a)

OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de
proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0

PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.

OBSERVACIONES:
En una proporción directa, si una cantidad
aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa
corresponde a una línea recta que pasa por el
origen

PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores
correspondientes es constante
x1 — y1 = x2 — y2 = x3 — y3 = ..........= xn — yn = k k : constante

OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una
cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la
otra disminuye (o aumenta) el mismo número
de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa
corresponde a una hipérbola equilátera

42

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla: A 10 15 20
B 3 x 1,5

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales.
II. El valor de x es 2.
III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias.

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas
diarias.
II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.
III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total
300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces
¿cuántos duraznos hay en la quinta?

A) 54
B) 77
C) 84
D) 126
E) 210

43

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1.
Si x = 8, entonces y =
1
A)
2
1
B)
4
C) 2
D) 4
E) 9

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la
razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al
orden de las razones dadas?

A) 180 mm 120 mm 90 mm
B) 420 mm 180 mm 120 mm
C) 320 mm 240 mm 160 mm
D) 510 mm 120 mm 90 mm
E) Ninguna de las medidas anteriores

1
EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número y cuando a
b
toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:
A ) 10
8
B)
5
5
C)
8
1
D)
10
15
E)
4

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en
la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia
real es
A) 50 km
B) 65 km
C) 67,5 km
D) 62,5 km
E) ninguno de los valores anteriores.

44

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para
mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N
A) aumenta al doble.
B) disminuye a la mitad.
C) aumenta en dos unidades.
D) disminuye en dos unidades.
E) se mantiene constante.

1
EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a . Según los
y
a
datos registrados, el valor de , es
b
A) 256 z y
B) 16 8 2
1 a 4
C)
16 1 16
D) 64 1 b
1 4
E)
64

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos
ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?
A 1,75 km
B 17,5 km
C 175 km
D 1.750 km
E 17.500 km

EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los
pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =
A) 4: 7
B) 4: 3
C) 7: 4
D) 3: 7
E) 3: 4

45

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es
P⋅V
= constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura
T
absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la
temperatura
II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al
volumen
III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la
temperatura
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus
volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos
litros tiene la mezcla total?

A 6 litros
B 10 litros
C 12 litros
D 14 litros
E 16 litros

EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m:
h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres?
40m
A)
m+h
40(m + h)
B)
m
40(m + h)
C)
h
40h
D)
m+h
40m
E)
h

46

EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre
las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La constante de proporcionalidad es 36
II) El valor de t1 es 9
III) El valor de m1 es 36

A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3
hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?
A) 8
B) 21
C) 24
D) 28
E) 32

EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombres
se necesitan para fabricar x artículos en un día?
hx
A)
50
50x
B)
h
x
C)
50h
h
D)
50x

EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de
febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay en
febrero?
A) 416
B) 4.000
C) 12.500
D) 15.000
E) 17.500

47

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a
u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con
constante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas
variables representan este hecho?
x
A) =2 yw • v=8
u
B) x – u = 2 y w + v = 8
w
C) x • u = 2 y =8
v
D) x + u = 2 y w – v = 8
E) x + w = 10

EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín,
otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan
juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo?
A) 30
B) 28
C) 25
D) 20
E) 15

EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente
proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D =
0,25, entonces entre ambos índices se cumple:
A) D = 0,5C
B) D = C2
0,5
C) D =
C
D) D = 0,125C
0,125
E) D =
C

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de
electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas
diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias
II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente
proporcionales
III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

48

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los
términos de la proporción es 100:

P: Es el tanto por ciento
C: Es la cantidad de referencia
Q: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es

P
P% de C = C
100

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
a% de C ± b% de C = (a ± b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los
tantos por cientos
a b
El a% del b% de C = ⋅ ⋅C
100 100
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la
fórmula:
 i 
C F = C 1 + n ⋅
 100 


OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al
finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital
permanece inalterable.

INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

n
 i 
C F = C 1 +
 100 


49

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al
finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital
para producir nuevos intereses.

EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60%
de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los
cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?

A) 108
B) 72
C) 180
D) 90
E) 54

EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el
interés simple anual.

A) 5%
B) 5,25%
C) 5,5%
D) 5,75%
E) 15,75%

EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se
ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta
un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada
pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos.
¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?

A) $ 45.000
B) $ 50.000
C) $ 57.150
D) $ 72.000
E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las
ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?

A) $ 254.625
B) $ 532.000
C) $ 1.275.000
D) $ 1.812.500
E) $ 3.962.500

50

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían
10 vasos para llenar el jarro.
II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos
para llenar el jarro.
III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.

A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas
sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el
25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s) ?
I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en
éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.
III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la
capacidad de B.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad,
entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar

A) 4 litros.
B) 24 litros.
C) 40 litros.
D) 60 litros.
E) ninguno de los valores anteriores.

51

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%,
30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la
segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un
5,1?

A) 5,0
B) 5,1
C) 5,2
D) 6,0
E) 6,3

EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su
largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del
área original?

A) Se mantiene igual.
B) Aumenta en un 4%.
C) Disminuye en un 4%.
D) Aumenta al doble.
E) Disminuye a la mitad.

EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5%
del precio de un artículo?
1
I) del precio del artículo
8
II) El precio del artículo multiplicado por 12,5
III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100
m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta
$P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el
costo total es de:
A) $ 145⋅P
B) $ 170⋅P
C) $ 175⋅P
D) $ 245⋅P
E) $ 195⋅P

52

b
EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de es:
a
400
A)
7
35
B)
8
18
C)
35
35
D)
18
8
E)
35

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad
extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta
parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de
estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A) Menos del 91%.
B) Entre el 91% y el 93%.
C) Entre el 93% y el 95%.
D) Entre el 95% y el 97%.
E) Más del 97%.

EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso
y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el
metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa el costo total C en alfombras?

A) C = 1,6 • p • 100 + p • 100
B) C = 0,6 • p • 100 + p • 100
C) C = 0,6 • p • 60 + p • 40
D) C = p • 60 + 0,6 • p • 40
E) C = 1,6 • p • 60 + p • 40

EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) Faltó la cuarta parte del curso
II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes
III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

53

EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento
es:
1
A) %
5
1
B) %
6
C) 3%
D) 20%
E) 30%

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es
álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:
A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
E) 28

EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del
precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600,
¿cuánto me descuentan?

A) $ 555
B) $ 510
C) $ 255
D) $ 45
E) $ 90

EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400,
ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?

4
A) %
3
B) 10%
C) 25%
D) 33, 3 %
E) 75%

EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro
y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación
al total del curso?
A) 20%
B) 80%
C) 16,6…..%
D) 83,3…..%
E) No se puede determinar

54

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M
recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000
más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende
$ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes,
cada empleado?
M P
A) $ 288.000 $ 72.000
B) $ 288.000 $ 172.000
C) $ 388.000 $ 172.000
D) $ 960.000 $ 240.000
E) $ 960.000 $ 340.000

EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre una
cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en
la cuenta, en pesos,
100
A) 1.000 + 1.000 ⋅
12
12
 100 
B) 1.000 + 1.000 •  
 12 
C) 2.000
100
D) 1.000 •
12
12
 100 
E) 1.000 • 1 + 
 12 

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta
parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
4
I) Las gallinas que no son blancas son T
5
II) El 20% de las gallinas son blancas
III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de
gallinas que son blancas
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál
número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?
A) Por 15%
B) Por 0,15
C) Por 1,5
D) Por 1,15
E) depende del precio de cada artículo

55

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés
compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada
nt
 1 
por: P = C1 +  .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto
 100n 
trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:
A ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 4
B ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 3
C ) 50.000 ⋅ (1,18) 4
D ) 50.000 ⋅ (1,015) 3
E ) 50.000 ⋅ (1,015) 4

EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha
sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación?
A) $ 21.450
B) $ 23.571
C) $ 28.050
D) $ 55.000
E) $ 115.500

EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una
estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo
en $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?
A) $ 600
B) $ 750
C) $ 792
D) $ 800
E) $ 19.200

EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practican
teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro
con respecto al total de alumnos del curso?
A) 83, 3 %
B) 80%
C) 20%
D) 16, 6 %

EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000,
durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5?
A) 5,0%
B) 5,5%
C) 5,27%
D) 5,25%
E) 5,05%

56

VII. RAÍCES

Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no
negativo, tal que b n = a
n
a = b ⇔ b n = a, b ≥ 0

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b,
tal que b n =a
n
a = b ⇔ b n = a, b ∈ R
OBSERVACIONES
1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL
n
2. La expresión a k , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de
k
exponente fraccionario n ak = a n
3. a 2 = a , para todo número real

PROPIEDADES

Si n a y n b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:
MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n n n
a • b = a⋅b

DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
a a
= n , b≠0
n
b b

POTENCIA DE UNA RAÍZ
n
am = ( a)
n
m
, a>0

RAÍZ DE UNA RAÍZ
nm nm
a = a

AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n
a = mn
am m ∈ Z+ , a ∈ R+

PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n
a • mb = mn
am ⋅ b n , a, b ∈ R +

FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b n
a = n b n ⋅ a, b ∈ R +

57

RACIONALIZACIÓN

Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción
equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz
a
Fracciones de la forma
b c
a
Fracciones de la forma
p b +q c

EJEMPLO PSU-1: 5 12 − 2 27
A) 16 3
B) 4 3
C) 2 3
D) 3 3
E) No se puede det er min ar

1 1 4
EJEMPLO PSU-2: 6+ − 5+ + 8− =
4 16 25
61
A)
20
7 6 2
B) − +
2 4 5
151
C)
20
7
D) 6 − 5+ 8+
20

a2x + 2 • ax + 1 =
3 3
EJEMPLO PSU-3:

A) a3x + 3
a3 x + 3
6
B)
C) a3x
D) ax + 3
E) a x + 1

58

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la
variable x toma los tres valores 0, 1, –1?
I) x 2 = −x
II) x2 = x

III) x2 = x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-5: ( 2 − 2)3( 2 + 2)4 + ( 2 − 2)4( 2 + 2)3 es un número:
A) Racional positivo
B) Racional negativo
C) Irracional positivo
D) Irracional negativo
E) No real

2
EJEMPLO PSU-6: 3
=
2
3
A) 4
3
B) 2
6
C) 8
6
D) 2
E) 1

EJEMPLO PSU-7: Si 2 = a , 3 = b y 5 = c entonces ¿cuál(es) de las expresiones
siguientes es(son) equivalentes a 60
I) 2bc
4
II) a 4b 2 c 2
III) a2bc
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III

59

2 7 + 14
EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión resulta
7
A) 2 3
B) 2 + 14
C) 2 + 2
D) 2 7 + 2
E) 4

EJEMPLO PSU-9: 12 − 2 + 8 − 3 =
A) 3+ 2
B) 15
C) 10 + 5
D) 20 − 5

EJEMPLO PSU-10: ( 50 + 512 − 242 ) : 2 =
A) 10
B) 10 2
C) 8 5
D) 32
E) 40

55 + 55 + 55 + 55 + 55
EJEMPLO PSU-11: =
3
55 + 55 + 55 + 55 + 55

A) 5
5
B) 56
C) 1
2
D) 53
3
E) 5 2

60

EJEMPLO PSU-12: Si 2 + 3 − 2 − 3 = t , entonces el valor de t2 – 2 es:
A) 2 3 − 2
B) 0
C) 2 3
D) 2
E) − 2

EJEMPLO PSU-13: (0,25)1 − a =
−a
1
A)  
2
1−a
1
B)  
2
a
−
1 2
C)  
2
a
12
D)  
2
a
1
E)  
2

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de
y = x2 + 5 + x2
I) (2,5)
II) (2,-5)
III) (2,-1)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I) 2⋅ 8
II) 3 +3 3
6
III)
24
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

61

6 3
2+ 2 2− 2
A) 0
3
B)
2 2
C) 6 − 9 2
6−9 2
D)
2
6−3 2
E)
2

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) x > x
1
B) < x
x
1
C) > x
x
D) x > 1
E) x < x

EJEMPLO PSU-18: 3 27x ⋅ 27−3 =
A) 27x ⋅ 27−9
B) 33x ⋅ 3−9
C) 3x +3
D) 9x +3
E) 3x −3

11 1
EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales − 3 2 , − ,− 7 ,− 2 3 ,− 4 , al
3 3
ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:
A) − 2 3
B) − 3 2
C) − 7
11
D) −
3
1
E) − 4
3

62

EJEMPLO PSU-20: (5 2 − 3 )( 3 + 5 2 ) =
A) − 25 5
B) 24 5
C) 7
D) 47
E) 0

EJEMPLO PSU-21: El número 216 es igual a:
A) 2 4
B) 32

C) ( 2) 4

D) 214
E) Ninguno de los números anteriores

63

VIII. ECUACIONES:

(a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones
adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.
(b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla
si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos
los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga
fracciones.
(c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Leer con atención el problema.
Paso 2: Anotar los datos del problema.
Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por
un literal (letra).
Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.
Paso 5: Resolver la ecuación.
Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.

PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un
a a
número. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x.
b b
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la
forma x y z queda representado por x · 102 + 101 + z · 100
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes
indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,
según corresponda:
Edad pasada Edad Actual Edad futura
(hace b años) (dentro de c años)
x-b x x+c
y-b y y+c

B. ECUACIONES LINEALES:
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1,
y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

d AB = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2

64

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB
son

PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de
inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x
hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA
RECTA

Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

(α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva

(α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0)

L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es

65

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la
ecuación anterior se escribe:

Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los
números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se
despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:
−A −C −A −C
y = x+ donde m= y n=
B B B B

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:

66

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen
un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta
en un sistema de ejes coordenados.

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCÓGNITAS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes
coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema
(figura 1).

ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).

L1 ∩ L2 L1 ∩ L2 = L1 = L2 L 1 ∩ L 2 = ∅ (Vacío)

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos:
sustitución y reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con
una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,
en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un
sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así
una ecuación con una incógnita.

67

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS

a1 x + b1 y = c 1
Sea el sistema:  Entonces:
a2 x + b 2 y = c 2

a1 b
* El sistema tiene solución única si ≠ 1
a2 b2
a1 b c
* El sistema tiene infinitas soluciones si = 1 = 1
a2 b2 c2
a1 b c
* El sistema no tiene solución si = 1 ≠ 1
a2 b2 c2

EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece a
esta recta, entonces el valor de m es
A) –2
B) –3
1
C) –
2
1
D)
2
E) 2

EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tiene
pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2).
Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale
A) − 5
B) − 2
C) 2
D) 5
1
E) −
2
1−x 2
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = ?
15 5
A) - 5
B) 5
C) – 25
D) 25
E) – 35

68

EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $
600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en
$ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio
de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?

A) $ 600
B) $ 580
C) $ 547
D) $ 537
E) $ 530

EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las
siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1?
5
A) y = x−2
4
5
B) y = (x − 2)
4
4
C) y = (x − 2)
5
4
D) y = x−2
5
5
E) y = − (x − 2)
4

EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se
sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la
temperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?
A) – 21º C
B) – 12,7º C
C) 12,7º C
D) 23º C
E) 25,9º C

EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la
recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k?
A) 20
3
B)
2
C) 8
7
D)
2
13
E)
6

69

3
EJEMPLO PSU-8: Si 1 − = 9, entonces x =
x
9
A) −
2
2
B) −
9
9
C)
2
8
D)
3
3
E) −
8

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4
con y + x = 0?

A) B) C)

D) E)

3x − my = 9
EJEMPLO PSU-10: En el sistema, 
nx + 4y = −11
¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ?
m n
A) − 2 1
B) − 2 − 1
C) 2 1
D) 4 −23

70

EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes
I) L1 // L2
II) La ecuación de L2 es y = -x + 3
III) Ambas rectas tienen igual inclinación
respecto del eje x

A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto:

A) (2,3)
B) (2,1)
C) (3,-2)
D) (0,2)
E) (3,2)

EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años.
¿Qué edad tendrá Juan en un año más?
A) 21 años
B) 20 años
C) 16 años
D) 15 años
E) 11 años

EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean
repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la
cuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?

A) $ 20.000
B) $ 22.000
C) $ 25.500
D) $ 26.000
E) $ 29.500

71

EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de
harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de
harina?

A) $(s − 3p)
 s − 3p 
B) $ 
 2 
 s + 3p 
C) $ 
 2 
s − p
D) $ 
 2 
E) $(s + 3p)

2x − 1
EJEMPLO PSU-16: Si − 3 = , entonces ¿cuánto vale x?
1 − 3x
2
A)
7
4
B)
7
2
C) −
5
D) 2
E) 4

EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por
la ecuación x = a?

A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).
B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).
C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).
D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).
E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

72

EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x
2
hectáreas, al del medio los de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las
3
hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió

A) 2.000 hectáreas
B) 4.000 hectáreas
C) 5.333, 3 hectáreas
D) 6.000 hectáreas
E) 8.000 hectáreas

5x − ky = 2
EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema  no tiene solución?
3x + 2y = 3
A) 2
B) -2
10
C) -
3
4
D) -
3
3
E) -
2

x+2
EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = −1 ?
3
A) -9
B) -5
C) -1
1
D)
3
E) 1

EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación
0,03x = 5,2?
26
A) 0,03x =
5
B) 3x = 5,2 ⋅ 10 − 2
3 1
C) x =5
100 5
3
D) x = 5,2
100
E) 3 ⋅ 10 − 2 x = 5,2

73

a + b = 6

EJEMPLO PSU-23: Si 1 1 2 , entonces a ⋅ b =
a + b = 3


A) 3
B) 9
1
C)
3
2
D)
3
E) 1

EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el punto medio del
segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son:
1 
A)  ,1
2 
1 3
B)  , 
2 2
C) (4,2)
D) (2,4)
E) (1,2)

EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis
compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le
costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?
A) 4a
B) 16a
a
C)
3
3a
D)
4
4a
E)
3

EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramos
de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana
siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30
por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos
de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana?

A) $450
B) $350
C) $400
D) $346
E) $292

74

EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A(-1,-2), B(5,-2) y C(5,3), en el sistema de ejes
coordenados, se pude afirmar que:
I ) AB ⊥ BC
II ) AB es paralelo al eje X
III ) (0 ,5) es un punto del trazo BC
Es(son) correcta(s):

A) Solo II
B) Solo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

x + y = 7a + 3b
EJEMPLO PSU-28: Según el sistema  , ¿cuál es el valor de y?
x − y = 7a − 3b
A) 6b
B) 3b
C) b
D) -b
E) -3b

EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientes

I. La pendiente de la recta L es negativa.
II. El punto (a, b) pertenece a la recta.
ax
III. La recta L es perpendicular a la recta y = .
b

A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30: Tres números enteros consecutivos suman cero. Entonces es
verdadero que:
I) El número mayor y el menor suman cero
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

75

EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación
y = px + q. ¿Cuál es el valor de q?
A) 1
B) 2
C) 0
D) -1
E) -2

EJEMPLO PSU-32: Si 3 ⋅ 2(2x + 4) = 24 , entonces x es igual a:
A) -4
B) 0
C) 3
D) 4
E) 36

EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a:
A) -20
B) -10
C) -30
D) 10
E) 30

EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que
una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm
D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La pendiente de AD y de BC no es un número real
II) La pendiente de DC es cero
III) La pendiente de AB es positiva
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

76

EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de
sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años

EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $
a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5
entonces, el sucesor de ese número entero es
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) ninguno de los anteriores.

2t − 1
EJEMPLO PSU-39: Si = 4 , entonces t =
2
A) 5
B) 3
3
C)
2
9
D)
2
7
E)
2

77

EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del
licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
a+b
A) $
3
a+b
B) $
5
C ) $( 2 a + 3b)
3a + 2 b
D) $
18
5 • ( 3a + 2 b)
E) $
18

78

VII-2: DESIGUALDADES
Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a ≥ b ó a ≤ b. las
desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el
sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bc

INTERVALOS
Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y
b. se simboliza por ]a , b[
Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos
ambos. Se simboliza como [a,b]
Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se
simboliza por: [a, b[
Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza
por: ]a, b]

]a , b[ = {x ∈ R / a < x < b}

En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este
caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo

[a , b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

79

En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, que
dichos puntos pertenecen al intervalo

[a , b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b}

Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda

]a , b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}

Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0, ax + b
≤ 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la
incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede
representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El
conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S1,
S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del
sistema, entonces: S = S1 ∩ S 2 ∩ S 3 .... ∩ Sn

PROBLEMAS DE INECUACIONES
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ≥ ó ≤,
tales como: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤), “como mínimo” (≥), “como máximo (≤),
“sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de
inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de
ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.

80

EJEMPLO PSU-1¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones
x − 1 < 2
 ?
x + 1 > 2
A) ] ,3[
1
B) ]− ∞,−3[ ∪ ]3,+∞[
C) ]− ∞,1[ ∪ ]3,+∞[
D) [1,3]
E) ]3,+∞[

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una
distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?

A) ]6,8[
B) ]6,28[
C) ] 12,−6[ ∪ ]6,28[
.
D) ]− ∞,28[
E) ]− ∞,−12[ ∪ ]− 6,6[ ∪ ]28, ∞[

EJEMPLO PSU-3: 3x – 8 < 5x + 5, ¿cuánto vale x?
13
A) x <
2
13
B) x>
2
13
C) x<−
2
13
D) x>−
2
2
E) x>−
13
2x + 4 ≥ 6
EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones , ¿cuál es el
x + 1 < 4
gráfico solución?
A) B)

C) D)

E)

81

EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número
menor que 47, entonces el número debe ser menor que:
A) 42
B) 49
C) 52
82
D)
7
52
E)
7
EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación –6 ≥ 4x
es

EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de
3x − 6 < 3
inecuaciones  es
4 − 2x ≤ 6

82

B. ECUACIONES CUADRATICAS:

— Ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0

− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
— Fórmula cuadrática: x =
2⋅a

— Número de soluciones: (∆: discriminante)
(∆: b2 – 4ac)
∆ > 0…. 2 raíces reales y distintas
∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales
∆ < 0…. No tiene raíces reales

— Cortes en el eje x: ∆ > 0…. 2 cortes en el eje x
∆ = 0…. 1 corte en el eje x
∆ < 0…. No corta el eje x

b c
— Propiedades de las raíces: x1 + x 2 = − x1 • x 2 =
a a
EJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que:
I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.
II. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.
III. Si a < 1, no hay intersección con el eje X.
A) Sólo I
B) I y II
C) II y III
D) Sólo II
E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más de
frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite
calcular las dimensiones del patio?
A) x(x + 2) – 24 = 0
B) x(x – 2) – 24 = 0
C) x(x – 2) + 24 = 0
D) x2 - 22 = 0
E) 4x - 20 = 0

EJEMPLO PSU-3: Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x − 1) = 20 son
A) 1 y 20
B) 2 y 20
C) 4 y 5
D) 4 y − 5
E) −4 y 5

83

EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces
¿cuál es el valor de c?
A) - 24
B) -8
C) -2
D) 2
5
E)
3

2
EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión x 2 + cuando x satisface la
x
15
igualdad x + = 16 ?
x
A) 4
B) 3
C) 1
D) 0
E) -1

EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es:
A) {0}
B) {1}
C) {0,1}
D) {0,-1}
E) Ninguno de los conjuntos anteriores

84

IX. LOGARITMOS:

(1) log a 1 = 0
( 2 ) log a a = 1
( 3) log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y
x
( 4 ) log a   = log a x − log a y
y
 
( 5) log a x y = y ⋅ log a x
1
(6 ) log a n m = ⋅ log a m
n

log b
— Cambio de base: log a b =
log a

EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 – log (a + b) =
A) 2
B) a + b
C) log a + 3log b
D) log a + log b
E) log (a + b)

 1 
EJEMPLO PSU-2: Si log  = 2 entonces x vale:
1 − x 
99
A) −
100
B) − 99
99
C)
100
101
D) −
100
19
E)
20

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?

A ) log 6 ⋅ log 2
B ) log 10 + log 2
C ) 2 ⋅ log 6
D ) log 2 ⋅ log 2 ⋅ log 3
E ) log 6 + log 2

85

1
log 2 8 − log 3  
EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión  9  es
log 4 16
5
A)
2
1
B)
2
C) 3
5
D)
4
7
E)
4

EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta
A) a3 = 2
B) a2 = 3
C) 23 = a
D) 32 = a
E) 3a = 2

EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces log 2 (log a a 2 ) =

A) 0
B) 1
C) 2
D) a
E) a2

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
I ) log 1 ⋅ log 20 = log 20
1
II ) log ⋅ log 30 < 30
2
III ) log 4 ⋅ log 10 = log 4
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

86

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
1
I ) log 3   = −2
9
II ) Si log 3 x = −2 , entonces x = 3
1
III ) Si log x 49 = −2 , entonces x =
7
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =
A) 4 • log 1.000
B) 6 + 2 • log 2
C) 2(6 + log 2)
D) 2(log 2)(log 1.000)
E) 3 + 2 • log 2

87

X. FUNCIONES:
DEFINICIÓN: función
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada
elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como: y
f: A → B x y
x → f(x) = y Re corrido

x
Do min io

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y
∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se
denota Dom f.
∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se
denota Rec f.
∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también
aumenta la variable dependiente.
∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente disminuye.
∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente,
la variable dependiente toma un único valor.

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Para encontrar los valores de las imágenes de una
función definida, se reemplazará la variable
independiente por el número o expresión que
corresponda.
Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería f(-1) =
3 — (-1) – 1 = - 4.
Si la imagen es 29 y la función es f(x) = 2x + 1, la pre-
imagen se obtendrá igualando
2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.
∗ Función continua: Es aquella en la que su gráfica
se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda
su extensión (figura 1).
∗ Función discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones
y/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).
∗ Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada cierto
intervalo, llamado período (figura 4).

88

A. FUNCION DE PRIMER GRADO:
y f (x) f (x) y
∗ f(x) = ax + b
a>0
a<0 m negativa
m positiva

x x

B. FUNCION LINEAL: y

∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0: f (x) = ax
f(x) = ax , con a ≠ 0
x
∗ La recta pasa por el origen.

C. FUNCION IDENTIDAD: y

Función lineal f(x) = ax, con a = 1:
f(x) = x f (x) = x

x
∗ La recta pasa por el origen.
∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función.
La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el
sentido negativo (figura 1 y 2).
La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo
(figura 3 y 4).
La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h
unidades en el eje x.

Si f(x) = ax entonces:
f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x – h), h < 0 f(x) = a(x – h), h > 0

89

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número real no
negativo.
 x Si x ≥ 0
f(x) = x =  , x∈R
− x , Si x < 0
Representaciones gráficas

a indica el punto de traslación en el eje b indica el punto de traslación en el eje
de las ordenadas de las abscisas.

y

E. FUNCION CONSTANTE: 3

∗ Función de grado cero. x
∗ Su gráfico es una recta horizontal. f (x) = 3

F. FUNCION CUADRATICA: y

∗ Función de segundo grado
f(x) = ax2 + bx + c
∗ Se grafica una curva llamada parábola.
x
f (x) = ax2 + bx + c

A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c ∈ lR y a ≠ 0 se le
denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una
parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta
recibe el nombre de eje de simetría.

90

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola

Si a > 0, la concavidad de la parábola está Si a < 0, la concavidad de la parábola
Orientada hacia arriba está orientada hacia abajo

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las
ordenadas en y = c.

CEROS DE LA FUNCIÓN
Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0

91

DISCRIMINANTE
La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c

EJE DE SIMETRÍA
El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas”
congruentes.

VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.

92

G. FUNCION RAIZ CUADRADA:

Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por

OBSERVACIONES:
i. La función es creciente.
ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.
∗ Su dominio son los IR+ U {0}.

H. FUNCION EXPONENCIAL:

La función f definida por f( x ) = a x , con a ∈ R + y a ≠ 1 se denomina función exponencial.

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL x
1
f( x) =  
f( x ) = 2 x 2

En las gráficas se puede observar que:
∗ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
∗ Si a > 1, entonces f(x) = a x es creciente.
∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente.
∗ La gráfica no corta al eje de las abscisas.

93

I. FUNCION LOGARITMICA:

Una función f definida por f( x ) = log a x , con a ∈ R + , a ≠ 1 y x > 0 se denomina función
logarítmica

f( x ) = log 2 x
f( x ) = log 2 x

f( x ) = log 1 x
2
f( x ) = log 1 x
2

En los gráficos se puede observar que:
∗ La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0)
∗ Si a > 1, entonces f( x) = log a x es creciente
∗ Si 0 < a < 1, entonces f( x) = log a x es decreciente
∗ La curva no intersecta al eje y

94

J. FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o
igual a x.
Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el
número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6.
Su representación gráfica es

OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.

APLICACIONES LINEALES

En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende,
es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional.
La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.

95

− 2x + 3
EJEMPLO PSU-1: Si f(x) = , entonces f(7) es igual a:
−2
A) 4
17
B)
2
11
C) −
2
11
D)
2
17
E) −
2

EJEMPLO PSU-2: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento
por horas. Un automovilista estaciona durante 4
días: el primer día 152 minutos, el segundo día
180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto
día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los
días que estacionó?
A) $ 1.900
B) $ 2.300
C) $ 2.400
D) $ 2.000
E) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1
y g(x) = x2 + 1?

A) B) C)

D) E)

96

EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2,
donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de
los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?
I) 6 segundos
II) 10 segundos
III) 14 segundos
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en I y en II
E) Sólo en I y en III

1
EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola y = ( x − 1) 2 ¿Cuál(es) de las siguientes
2
I) La parábola se abre hacia arriba
II) Su vértice se encuentra en (1,0)
III) Su eje de simetría es x = 1
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: ¿Cuál es el dominio de la función f( x) = x 2 − 4 en los números reales?
A) [2,+∞[
B) [− 2,+∞[
C) [0,+∞[
D) ]− ∞,−2] ∪ [2,+∞[
E) [4,+∞[

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto
del gráfico de la función f(x), en la figura?
I) f(– 2) > f(4)
II) f(– 1) + f(3) = f(– 3)
III) f(– 6) – f(8) = 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III

97

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?
A) y = (– x + 1)(x – 2)
B) y = (x + 1)(x – 2)
C) y = (– x + 1)(x + 2)
D) y = (– x – 1)(x – 2)
E) y = (x + 1)(– x – 2)

EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor
de f(a) es
A) 1
B) 1 − a
C) 2 − a
D) 1 + a
E) 3 − 2a

EJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-
2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?
A) -3
B) -2
C) 3
D) 2
3
E)
2

EJEMPLO PSU-11: Del gráfico de la función real f( x) = 1 − x , se puede afirmar que:
I) tiene su vértice en el punto (0,0)
II) sus ramas se abren hacia abajo
III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 • f(5x) es igual a
A) 125x
B) 25x
C) 125x2
D) 25x2
E) ninguna de las expresiones anteriores.

98

EJEMPLO PSU-13: Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El
menor valor que alcanza la función es
A) 5
B) 3
C) 2
D) 0
E) –1

EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero.
II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.
III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-15: Si f(x) = x a + 1 y f(2) = 9, entonces a =
A) 9
B) 4
C) 3
D) 2
E) 8

1−x
EJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por f( x) = ,
x+1
entonces f(-2)
A) 1
B) -1
C) 3
D) -3
1
E) -
3

99

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x)
= -(x + 1)2 + 1?

EJEMPLO PSU-19: Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x
II) Su valor mínimo es -1
III) f(-3) > 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

100

EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana.
¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de
agua y con el número de semana x?
A) y = -12 + 0,5x
B) y = - 0,5 + 12x
C) y = 12 + 0,5x
D) y = 12 – 3,5x
E) y = 12 – 0,5x

EJEMPLO PSU-21: De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
igualdades es(son) verdadera(s)?
I) f(-1) + f(1) = f(0)
II) 3⋅f(-2) – f(0) = 2⋅f(2)
III) f(-2) – f(1) = f(2) -1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de
los números reales t que satisfacen f(t) = 1?
A) {-2}
B) {-2,2}
C) {2}
D) {4}
E) No tiene solución en el conjunto de los números reales

EJEMPLO PSU-23: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x +
6?

101

EJEMPLO PSU-24: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =
A) 2x
B) x + x
C) x − x
D) x − x
E) 3 x − x

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la
función f(x) = x2 – 1?

EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes
tarifas según tramo de consumo:
Consumo en m3 Precio
0-9 $3.000
10 – 19 $ 8.000
20 o más $11.000
Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un
número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos
interpreta el sistema de cobros de la empresa?

102

EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
verdadera(s)?
I) La pendiente de la recta es igual a 5
II) El punto (1,15) pertenece a la recta
III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al
gráfico de la figura?

A) y = x2
B) y = x3
C) y = 4x4
D) y = 4x
E) y = 4x2

103

EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: A = π ⋅ r 2

I. π es variable.
II. r es variable y A sólo toma valores positivos.
III. A es función de r.

A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

x−3 −x
EJEMPLO PSU-30: Dada la función f( x) = , entonces f(-4)=
2−x
11
A)
6
1
B) −
2
1
C)
2
11
D) −
6
E) Otro valor

EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada
Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x)
es:
A ) y = 150 + 300 ⋅ [x]
B ) y = 150 ⋅ [x] + 300
C ) y = 150 ⋅ [x − 1] + 300
D ) y = 150 + 300 ⋅ [x − 1]
E ) y = 150 + 300 ⋅ [x + 1]

EJEMPLO PSU-32: Dada la función f( x) = ( x − 2 ) , se puede afirmar que:
I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2
II) f(3) = 1
III) El punto (5,3) pertenece a la función
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

104

EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, de
modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?
1
A) y5
2
1
B) - 1 y
2
C) 2 y 2
1 13
D) y
2 2
E) 2 y 10

EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para
sus clientes:
Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario
diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.
Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en
cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas
en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con
respecto a las llamadas mensuales de los clientes?
I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario
nocturno, entonces le conviene el plan Q.
II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario
nocturno, entonces le conviene el plan P.
III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en
horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-35: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $
1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de
lámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función
costo C(x)?
A) C(x) = x + 1.005.000
B) C(x) = 1.000.000x + 5.000
C) C(x) = 1.005.000x
D) C(x) = 5.000x + 1.000.000
E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000

105

EJEMPLO PSU-36: Dada la función f(x)= 2 1 − x − x , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
I ) f( −2 ) = f( −1)
1 1
II ) f   =
2 2
III ) f( 2 ) = 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7

EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:
A) x2 + 3x - 2
B) x2 + 5x – 3
C) x2 + 5x – 2
D) x2 + 5x
E) x2 + 3x

EJEMPLO PSU-39: dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x
III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III

106

EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática f( x ) = ax 2 + bx + c , ¿cuál(es) de las siguientes
I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo
II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen
III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntos
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el
gráfico de la figura?
A ) f ( x ) = 8x
B ) g( x ) = 2 x 2
C ) h( x ) = 4 x 2
D ) t( x ) = 2 x 3
E ) s( x ) = x 4

107

XI. ANGULOS:

Clasificación de ángulos
Según su medida, un ángulo puede ser:

DEFINICIÓN
Ángulo Agudo: su medida es menor que
90° ∠ AOB < ∠ α < 90º

DEFINICIÓN
Ángulo Recto: su medida es 90°, es decir,
mide la cuarta parte del ángulo completo. ∠BOC = 90 °
Se dice que sus lados son
“perpendiculares” (⊥)

DEFINICIÓN
Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que
90° y menor que 180° 90 ° < ∠ AOB < 180 °

DEFINICIÓN
Ángulo Extendido: Su medida es 180° ∠ BAC = 180 °

Ángulos en el plano

DEFINICIÓN
Ángulos adyacentes: dos ángulos son
adyacentes si y solo si tienen en común el
vértice y un lado, y sus interiores no se
intersectan.

Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD

108

DEFINICIÓN
Ángulos complementarios: dos ángulos
son complementarios si la suma de sus
medidas es 90°.”Complemento” de un
ángulo es la medida del ángulo que le falta
1
para completar de giro (90°).
4
α + β = 90° , complemento de α = 90° − α

DEFINICIÓN
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medidas
es 180°. “suplemento” de un ángulo es la
medida del ángulo que le falta para
1
completar de giro. (180°)
2 α + β = 180° Suplemento de α = 180° − α

Así entonces, podemos tener:

a) ángulos adyacentes complementarios
α + β = 90°

b) ángulos adyacentes suplementarios:
α + β = 180°

DEFINICIÓN
Ángulos opuestos por el vértice: son dos
ángulos cuyos lados forman dos pares de
rayos opuestos.

Propiedad: ángulos opuestos por el vértice
tienen igual medida ( son congruentes)
α =β y γ = δ

109

Ángulos entre paralelas y una transversal

Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta
transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales
hay parejas que cumplen propiedades importantes

Opuestos por el vértice .Son congruentes.
∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠4 ∠6 ≅ ∠8 ∠5 ≅ ∠7

Ángulos Correspondientes.
Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con
L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el
nombre de correspondientes, y obviamente son
congruentes.
∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6 ∠3 ≅ ∠7 ∠4 ≅ ∠8

Ángulos alternos internos.
Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de
la transversal. Los ángulos alternos internos son
congruentes.
∡3 ≅ ∡5 ∡4 ≅∡6
Ángulos alternos externos
Son los que están en el exterior de las paralelas y a
distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos
externos son congruentes.
∠1 ≅ ∠7 ∠2 ≅ ∠8

Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen.

Observación: Sea L1 // L2, entonces:

(1) α = β si :

(2) α + β = 180°

110

Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: ε = α + β

Observaciones:
(a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual
medida (congruentes)

∠α ≅ ∠β

(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida
es de 90º

L1 ⊥ L 2

111

• Triángulo

DEFINICIÓN
Un triángulo lo podemos
entender como la unión de tres
segmentos determinados por tres
puntos no colineales. Estos tres
puntos se denominan vértices, y
los segmentos, lados del
triángulo; además, se determinan
tres ángulos, cuyos lados son los
lados del triángulo, y se
denominan ángulos interiores
del triángulo

Se acostumbra usar letras
minúsculas para los lados, de
acuerdo al vértice al que se
oponen. Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma
de las medidas de los ángulos interiores es 180°”
α + β + γ = 180°

DEFINICIÓN
Ángulo Exterior
Se llama ángulo exterior de un
triángulo, al ángulo formado por
un lado del triángulo y la
prolongación de otro.
α' ; β' ; γ' ángulos exteriores
Propiedades
(1) La medida de un ángulo
exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos interiores
no adyacentes

α' = β + γ
β' = α + γ
γ' = α + β

(2) La suma de las medidas de los
ángulos exteriores de un triángulo
es 360°
α'+β'+ γ' = 360°

112

• Clasificación de los triángulos

Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos

Según la medida de sus ángulos
Acutángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos interiores agudos

Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo
recto. Los otros dos ángulos interiores son
agudos y complementarios.

Los lados que forman el ángulo recto se
denominan “catetos” y el lado opuesto al
ángulo recto “hipotenusa”

Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo
interior obtuso

113

Según la medida de sus lados

Equilátero: tiene sus tres lados
congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos
interiores también lo son, y como la suma
de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°

Isósceles: es aquel que tiene dos lados
congruentes, llamados “lados”, y el tercero
se llama “base”
Se puede demostrar que los ángulos
opuestos a los “lados” son también
congruentes. A estos ángulos se les llama
“ángulos basales”

Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen
distinta medida, y por ende, sus ángulos
también

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO

Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos. Los
“Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas
notables”

• Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices,
simetrales y medianas.
• Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo tipo de
rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el
incentro y el circuncentro.

114

DEFINICIÓN
1. Transversal de gravedad.-
Es la recta que une un vértice, con el punto
medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb,
tc, donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres transversales de
gravedad se intersectan en un mismo punto
llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)

D,E, F : Puntos medios de los lados
AD = t a ; BE = t b ; CF = t c
t a ∩ t b ∩ t c = {G}
G : Centro de Gravedad ( o Baricentro) AG BG CG 2
⇒ = = =
GD GE GF 1
Propiedad: El baricentro divide a cada
transversal de gravedad en dos segmentos
que están en la razón 2 : 1. El segmento que
va desde el vértice al Baricentro mide el
doble que el segmento que va del Baricentro
al lado

DEFINICIÓN
2.- Altura.
Es la perpendicular bajada desde un vértice
al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ;
donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres alturas se intersectan en
un mismo punto llamado Ortocentro.

AE ⊥ BC ; BF ⊥ AC ; CD ⊥ AB
AE = h a ; BF = h b ; CD = h c
h a ∩ h b ∩ h c = {H}
H : Ortocentro

Propiedad: Las alturas de un triángulo son
inversamente proporcionales a los lados
a ⋅ ha = b ⋅ hb = c ⋅ hc = k

115

Observaciones:
∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo

∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puesto
que los catetos se confunden con las alturas.

DEFINICIÓN
3.- Bisectriz.-
Es la recta que pasa por un vértice y divide
al ángulo en dos ángulos congruentes. Se
denominan: b α ; b β ; b γ ; donde el subíndice
indica el ángulo que dimidia. Las tres
bisectrices se intersectan en un mismo
punto llamado Incentro, el cual
corresponde al centro de la circunferencia
inscrita al triángulo, se decir, el incentro
equidista de los lados del triángulo. El
radio de esta circunferencia se designa por
la letra griega “ ρ ”.
AE AC FB AB CG BC
= ; = ; =
EB CB FC AC GA BA
AF = bα ; BG = b β ; CE = bγ
b α ∩ bβ ∩ b γ = {I}
Propiedad: Las bisectrices dividen al lado
I: Incentro opuesto en la razón de las medidas de los
P, Q, R :Puntos de tan gencia lados que forman el ángulo

116

Observaciones:
∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al
triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices

∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se determinan tres
puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” o
centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.

DEFINICIÓN
4.- Simetral

Es la recta perpendicular a un lado del
triángulo, en su punto medio. Las
simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc ,
donde el subíndice indica el lado al cual es
perpendicular.
El punto de intersección de las simetrales se
denomina Circuncentro y corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo, es decir, el circuncentro es un
punto que equidista de los tres vértices del
triángulo. Su radio se designa por “r”

OD = S a ; OF = Sb ; OE = S c
S a ∩ Sb ∩ S c = {O} Observación: En general, las simetrales no
O : Circuncent ro
pasan por los vértices del triángulo.

DEFINICIÓN
5.- Mediana

Es el segmento de recta que une los
puntos medios de dos lados del
triángulo
P, Q, R : Puntos medios de los lados

PQ, QR , RP : Medianas

Propiedades:
• La mediana es paralela al tercer lado:
RP // AB ; QR // AC ; PQ // BC

117

• La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:
AB = 2 PR ; BC = 2 PQ ; AC = 2 QR

• Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos
congruentes

Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los
triángulos equiláteros e isósceles.

Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO

PROPIEDADES

(1) AB = BC = CA = a
( 2 ) ángulos iguales a 60° cada uno ,
α = 60°
(3) Las transversales de gravedad, alturas
y bisectrices son una misma recta
t a = tb = t c = ha = hb = hc = bα = bβ = b γ
( 4 ) AM = MB M ; punto medio
lado 3 a
( 5) Altura = = 3
2 2
(lado) 2 3 a 2
(6 ) Área = = 3
4 4
(7 ) Radio de la circunferencia inscrita
lado 3 a 3
= =
6 6
(8) Radio de la circunferencia circunscrita
lado 3 a 3
= =
3 3

118

TRIÁNGULO ISÓSCELES

PROPIEDADES
(1) AC = BC ; AB base
( 2 ) α 1 = α 2 ángulos basales
( 3) β ángulo del vértice
(4) La altura, bisectriz, simetral y
transversal trazadas desde el vértice del
ángulo distinto o trazadas a la base son
una misma recta. Para los otros vértices
y lados no ocurre lo Mismo hc = tc =
bβ= CM

La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto en
dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente
ángulo del triángulo

u a v b
= o bien =
v b u a

La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos,
cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior
del triángulo.

EA b
=
EB a

119

TEOREMA DE PITÁGORAS

“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los catetos”

“En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos, es decir a2 + b 2 = c 2 ”

RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

“Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 =
a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo”

— Tríos pitagóricos: (a – b – c)

a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29
12 35 37

TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Teorema:
“Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto a
dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”

AB
Tesis: BC =
2

120

Teorema:
“En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la
hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa”

AC
Tesis: BM =
2

Corolario:
“En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la
hipotenusa”
Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un
lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de
su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del
arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que
abarcan los dos catetos es de 180º

Por tanto, se cumplirá:
a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.
b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c.
c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

121

TEOREMAS DE EUCLIDES
El triángulo de la figura es rectángulo en C y
CD es altura.
a y b: catetos
c: hipotenusa
p y q: proyecciones de los catetos a y b,
respectivamente.
Los triángulos ACB, ADC y CDB son
semejantes.

Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
h2 = p • q
c

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional
Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

a2 = p • c b2 = q • c

a•b
hc =
c

Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados

ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

c2 = a2 + b2 c2 > a2 + b2
c2 < a2 + b2

OBSERVACIÓN:
“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al
cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”

122

a⋅b
ρ=
a+b+c

a+b+c
s= ; s : semiperíme tro
2

PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA

En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos
triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial

123

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC = 5 cm y BD = 4 cm. La
medida del segmento AD es:
3
A) cm
2
9
B) cm
4
3
C) cm
4
D) 4 cm
E) 9 cm

EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un
rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ?
I) x = z
II) x + y = EBD
III) x + y – z = 60°

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se
forman dos triángulos
A) isósceles rectángulos congruentes.
B) acutángulos escalenos congruentes.
C) acutángulos congruentes.
D) escalenos rectángulos congruentes.
E) equiláteros congruentes.

EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero
ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en
la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) El área del ∆ DEF es la sexta parte del área del ∆ ABC.
II) El lado FE es paralelo al lado AB .
III) El lado FE es perpendicular al lado AC .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

124

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y
DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:
A) 9 cm2
B) 9 3 cm2
C) 9 5 cm2
9
D) 5 cm2
2
9
E) 3 cm2
2

EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el ∆ ABC es rectángulo en C y AC = BC = 2 6 , entonces
CD es

A) 2 3
B) 2 6
C) 3
D) 6
E) 12

EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, CE = 3 cm y BE = 12 cm, entonces la
medida de CD es:
A) 6 cm
B) 3 5 cm
C) 3 2 cm
D) 9 cm
E) Indeterminable con los datos dados

EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se divide por dos y se
mantiene su base?

A) Se reduce en media unidad cuadrada
B) Se reduce a la mitad
C) Se reduce a la cuarta parte
D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada
E) Falta información para decir que ocurre con el

125

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividen
a BC en tres segmentos iguales. Si B'C' // BC, AC = 12, AC' = 4 y B'C' = 3,
área ∆AB' D'
Entonces
área∆ACE

1
A)
18
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
6
1
E)
9

p 4
EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si = yp+q=
q 1
10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)
I) a + b = 6 5
II) h = 4
III) El área del triángulo ABC = 20

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su
largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del
área original?

A) Se mantiene igual
B) Aumenta en un 4%
C) Disminuye en un 4%
D) Aumenta al doble
E) Disminuye a la mitad

126

EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus
lados iguales mide a, entonces la base c mide:
s−a
A)
2
2s − a
B)
2
C) s − a
D) 2s − a
E) 2(s − a)

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la figura?

A) 32º
B) 39º
C) 45º
D) 52º
E) No se puede determinar, faltan datos

EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. CD es perpendicular a AB . AD
= 9 y DB= 4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I ) CD = 6
II ) AC = 117
III ) BC = 52
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

1
EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25 cm y cm,
3
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
5
I) Su hipotenusa es igual a del cateto menor.
3
5
II) El área del triángulo es cm2
12
III) Su perímetro es igual a 1 cm.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

127

c
EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C y hc = . ¿Cuál(es) de las
2
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) (p + q)2 = 4pq
p q
II) q = ó p=
2 2
III) El ∆ ABC es isósceles.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

128

XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:

DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
AB ≅ PQ

AC ≅ PR

CB ≅ RQ

∆ABC ≅ ∆PQR ⇒ 
∠A ≅ ∠P

∠B ≅ ∠Q

∠C ≅ ∠R


POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos
ángulos adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al
mayor de esos lados respectivamente iguales.

129

EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se
intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)?
I) ∆PTS ≅ ∆STR
II) ∆PTS ≅ ∆RTQ
III) ∆PSR ≅ ∆RQP
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: En la figura, ∆ PTR y ∆ SVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) TR // VQ
II) PT // SV
III) ∠RQV ≅ ∠RPT
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. Si P, Q y R son
puntos medios de sus lados respectivos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes
II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes
III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

130

EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB . La circunferencia de centro C
y radio r interfecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s)
afirmación(es) es(son) verdadera(s)?

I. ABE ≅ ABE
II. ∆ BEC ≅ ADC
III. ABD ≅ ADC

A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura ∆ABC ≅ ∆BAD

I ) ∆AEC ≅ ∆ADB
II ) ∆AEC ≅ ∆BED
III ) AC ≅ DB
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes de
bases BC y AE , respectivamente. Si ∠BAC = 36º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) ∡ DAC ≅ ∡ CAB
II) ∆ ABC ≅ ∆ ACD
III) ∆ AEP ≅ ∆ DCP
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

131

EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y AD ≅ DB ,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) ∆ ADC ≅ ∆ BDC
II) ∡ ACD = 30º
3
III) CD =
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes
II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes
III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son
congruentes
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

132

XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS:

DEFINICIÓN:
Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del
uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus
lados homólogos proporcionales

∡A≅∡P
∡B≅∡Q
AB BC CD DE EA
∡ C ≅∡ R = = = =
PQ QR RS ST TP
∡D≅∡S
∡E≅∡T

Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir,
dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así, por ejemplo;
(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí
(2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí
(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí
En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes
entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las
circunferencias son semejantes entre si.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos,
motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras

∆ABC ≈ ∆PQR si y solo si :
∠A = ∠P ; ∠B = ∠Q ; ∠C = ∠R
y
AB BC CA
= =
PQ QR RP

133

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre
dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas
anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la
ocurrencia de los otros restantes.

* TEOREMA FUNDAMENTAL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los
ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro
Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo,
determina un triángulo semejante al primero
Si DE //AB , entonces ∆ CDE ~ ∆CAB

Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son
semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le
son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de
lados homólogos proporcionales.

TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)

Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes

Hipótesis: ∡ A ≅ ∡ D y ∡C≅∡F
Tesis ∆ ABC ∼ ∆ DEF

Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con
un tercero, el primero y el tercero son semejantes.

134

TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)

Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos
comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

CA CB
= ∧ ∠C ≅ ∠C'
C' A' C' B'
⇓
∆ ABC ~ ∆ A’B’C’

TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza)

Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los
triángulos son semejantes.

AB BC CA
= =
A' B' B' C' C' A'
⇒ ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas
LAL y LLL

Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos
son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que
le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares
de lados homólogos, proporcionales.

Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90°. Por
lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a
partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce:

a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.

135

b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente
proporcionales

c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa
y de un cateto respectivamente proporcional.

RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales
a los lados respectivos.

Sea ∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ∆ADC ∼ ∆ A’D’C’. De esa
CD AC
semejanza se deduce que: =
C' D' A' C'

En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de
dos triángulos semejantes.
h a t c bα
= = = .................. = λ
h' a t' c b' α

RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos
homólogos cualesquiera

136

perímetro ∆ABC h b
= c = a = ....................................
perímetro ∆A' B' C' h c' b a'

RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón
en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera

2 2
área ∆ABC  b a   hc 
 b  =  h  = ..........................
=   
área ∆A' B' C'  a'   c' 

• Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma
unidad, se establece una razón entre estas medidas.
Nota: MN es el segmento.
MN es la medida de MN
La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo.
Dicho número puede ser racional o irracional.

• Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos
son conmensurables entre si.
Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos
segmentos son inconmensurables entre si.

Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos
ángulos respectivamente congruentes.

• Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los
triángulos equiláteros son semejantes)

• Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus
perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos.

137

Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e
Perímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’
P a P b P e
= ; = ;.............; =
P' a' P' b' P' e'

EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el
triángulo Q?

A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud.
A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se
encuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la
sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?
A) 200 metros
B) 198,4 metros
C) 113,2 metros
D) 112,5 metros
E) 110 metros

EJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?

A) Que tienen igual área
B) Que tienen igual perímetro
C) Que sus lados son proporcionales
D) Que sus tres lados respectivos coinciden
E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno

138

EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son)
semejante(s)?
I) ∆ACD y ∆BCE
II) ∆BEC y ∆AEB
III) ∆ACD y ∆CAB
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes
I) ∆ ABE ∼ ∆ AFD
II) ∆ FEC ∼ ∆ BDC
III) ∆ CFE ∼ ∆ ABE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?

A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos son semejantes entre si

EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una
altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros,
respectivamente, ¿cuál es la altura del poste?
A) 3,5 metros
B) 7,1 metros
C) 14 metros
D) 35 metros

139

EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM
= 5, AB = 21 y CN = 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) CN : AB = CM : ED
35
II) Área ∆EDC =
2
Área ∆EDC 1
III) =
Área ∆ABC 9
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

AN
EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón es equivalente a:
NM
BC
A)
AB
AB
B)
BC
AC
C)
BC
AN
D)
NC
AM
E)
AC

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso
tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra
proyectada por el segundo piso?
A) 8 m
B) 10 m
C) 15 m
40
D) m
3

140

XV. CUADRILATEROS:

— Los ángulos interiores suman 360º
— Los ángulos exteriores suman 360º
— Clasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares)
> Trapecios (1 par)
> Trapezoides (ningún par)
A. PARALELOGRAMOS:

— Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.
— Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide

1. CUADRADO:
— 4 ángulos interiores rectos
— 4 lados iguales D C
— Lados opuestos paralelos d1
— Las diagonales son iguales y son perpendiculares
— Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales)
— Las diagonales bisectan los ángulos
— Se puede inscribir una circunferencia
— Se puede circunscribir una circunferencia d2
—d= a 2 A B
— p = 4a a
— A = a2
D C
2. RECTANGULO:
— 4 ángulos interiores rectos
— Lados opuestos de igual medida d1
b
— Lados opuestos paralelos
— Las diagonales son iguales y se dimidian d2
— Se puede circunscribir una circunferencia
A B
— p = 2a + 2b a
— A = ab

3. ROMBO:
— 4 lados iguales D C
— Lados opuestos paralelos
d2 d1
— Ángulos opuestos iguales
— Ángulos contiguos suplementarios h
— Las diagonales son perpendiculares
— Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos
— Se puede inscribir una circunferencia e f
— p = 4a A B
e⋅f a
— A = a — h // A =
2

141

4. ROMBOIDE:
— Lados opuestos de igual medida D C
— Lados opuestos paralelos d1
— Ángulos opuestos iguales
— Ángulos contiguos suplementarios
— Las diagonales se dimidian h b
— p = 2a + 2b d2
—A=a—h
A B
a
B. TRAPECIOS:

— Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.
— Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo

b
1. TRAPECIO ESCALENO: D C
— Lados no paralelos no son δ γ
congruentes. c d
— AB // CD M N
— α + δ = 180º h
— β + γ = 180º α β
—p=a+b+c+d A B
(a + b) a
— A = MN — h / A = •h
2
a+b
MN =
2

b
2. TRAPECIO ISOSCELES: D C
— Lados no paralelos son iguales (AD = BC) δ d1 γ
— AB // CD c d
— Las diagonales son iguales M N
— Ángulos contiguos suplementarios
—α=β d2
α h β
—γ=δ
A B
— p = a + b + 2c
(a + b) a
— A = MN — h / A = •h
2

142

3. TRAPECIO RECTANGULO:
— Uno de sus lados no paralelos es b
D C
perpendicular a las bases. γ
— AB es perpendicular a AD
— DA es perpendicular a DC c d
— AB // CD M N
— c = h = altura h
— Ángulos en A y D son rectos
β
— β + γ = 180º A B
—p=a+b+c+d a
(a + b)
— A = MN — h / A = •h
2

4. MEDIANA DE UN TRAPECIO: D C
— Segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos. M N
— Es paralela a las bases.
— MN = AB + DC
A B
2

D
δ b
C. TRAPEZOIDES:
γ C
— No tienen lados opuestos paralelos. c
d

α β
A B
a

D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:
D
— En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los δ C
ángulos opuestos son suplementarios. γ
(α + γ = β + δ = 180º)
α β
A B

143

D
c
C — En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las
d sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.
b (a + c = b + d)

B
A a

EJEMPLO PSU-1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:
A) 6 + 2 6
B) 6 + 6
C) 12 + 2 6
D) 12 + 6

EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El área de FCGI es 12
II) El área de ABFI es 6
III) El área de AEIH es 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2).
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro de la figura es 8 2 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

144

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?

A Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.
B Los ángulos consecutivos son complementarios.
C Las diagonales son bisectrices.
D Los ángulos opuestos son congruentes.
E Los ángulos opuestos son suplementarios.

EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados
congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es

4a 2
A)
9
5a 2
B)
3
3a 2
C)
4
5a 2
D)
9
8a 2
E)
9

EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las
I) El perímetro del polígono es 8 2 .
II) Cada diagonal del polígono mide 4.
III) El área del polígono es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

145

EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis
cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces
¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
1
I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio BC
2
II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una
1
circunferencia de radio AB
3
III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro
de ABCD.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PC = 3PB ,
QD = 2QC y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es
k2
A)
9
k2
B)
3
4k 2
C)
9
2k 2
D)
9
2
k
E)
6

EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la
medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide
5
A)
2
1
B)
5
2
C) 5
3
2
D)
5
E) 1

146

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los
triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región
sombreada es
A) 42 cm
B) 46 cm
C) 48 cm
D) 50 cm
E) 56 cm

EJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se
construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de
40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?

A) 3 m
B) 6 m
C) 12 m
D) 80 m
 − 3 + 165 
E) 

m

 2 

EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, AF = FC y α
mide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I ) FE = FC
AB
II ) FE =
2
III ) AB = BC
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado
cada uno. El área de la región achurada mide
A) 50 cm2
B) 75 cm2
C) 100 cm2
D) 112,5 cm2
E) 125 cm2

147

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?

A) 4p + 3q
B) 4p + 4q
C) 3p + 3q
D) 3p + 2q

EJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos
medios de los lados AD y AB , respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?
a2
A)
2
a2
B)
4
a2
C)
8
a
D)
4
a
E)
8

EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en
cuadrados congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones
siguientes es(son) verdadera(s)?
I) Área de la región sombreada es 13
II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD
III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro
del rectángulo ABCD

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II, III

EJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de
los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre
verdadera(s)?
I) ∆TLP ∼ ∆TMB
II ) ∆PML ≅ ∆LTM
III ) ∠DTA = ∠CBL
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III

148

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de
un cuadrado cuando su lado se duplica?
A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica
B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica
C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro
D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetro
E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área

EJEMPLO PSU-19: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo
ABCD?
A) 2
B) 6
C) 2 3
D) 3 3
E) 3 2

EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:
9
A)
8
B) 1
C) 2
2 3
D)
3
E) 3 −1

EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 3 3 cm. Si P,
B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:
A) 6 3 cm2
B) 9 3 cm2
C) 12 3 cm2
D) 9 cm2
E) 18 cm2

EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes
entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del
cuadrado?
A) 50 cm
B) 48 cm
C) 60 cm
D) 150 cm

149

EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área
del cuadrado?
a) d2
d2
B)
2
d2
C)
4
d2
D)
8
d2
E)
16

EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si ∆ AHD ≅ ∆ CFB y ∆ DGC ≅ ∆ BEA entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) ∠DCB ≅ ∠DAB
II) DC ≅ AB
III) ∠DCG ≅ ∠ADG
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos
congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?

A) 60 cm
B) 70 cm
C) 80 cm
D) 84 cm
E) 120 cm

EJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito
el trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de EFGH es 48
II) ∆ AEH ≅ ∆ CFG
III) HJ = EF

A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

150

EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura, EF // AB , DG = 5 cm, EG = 4 cm
y BG = 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABGE?
A) 28 cm
B) 34 cm
C) 32 cm
D) 35 cm
E) 42 cm

EJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla.
¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30 metros?
A) 600 m2
B) 1.050 m2
C) 1.200 m2
D) 2.100 m2
E) 2.400 m2

EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?
I) Sus perímetros son iguales.
II) Sus radios son de igual longitud.
III) Sus centros son coincidentes.

A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

151

XVI. POLIGONOS:

∗ Figura plana limitada por lados rectos.

∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:

> 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono
> 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono
> 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono
> 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono
> 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono
> 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono

∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º•( n − 2 )
(n = número de lados del polígono)
∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.
∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3
n ( n − 3)
∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: D =
2

A. POLIGONOS REGULARES:

∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

180 º ( n − 2 )
∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ángulo int erior =
n
360º
∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: ángulo exterior =
n

∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.

EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se
construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el
lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

152

XVII. CIRCUNFERENCIA:
DEFINICION:
Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a
un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta
distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el
centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio.

NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los
puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.
r = AO ( radio )
r = BO ( radio )
d = AB (diámetro )
De lo anterior se deduce que :
AO + BO = 2 r
AB = 2 r = d

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios

El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa.

Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario

ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas.

El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.

153

ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas
cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.

La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la
circunferencia

ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se
ubica fuera de la circunferencia.

La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en
la circunferencia

ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una
tangente y una cuerda

154

La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que
subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende

Corolarios

1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.

2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.

3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son
suplementarios (suman 180°)

155

4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia

T ⊥r

5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el
arco menor que determinan las rectas en la circunferencia

x + α = 180º

6. Dos líneas paralelas secantes a la
circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes

156

EJEMPLO PSU-1: En la figura AB ≅ BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE ,
entonces el ángulo α mide:

A) 10º
B) 40º
C) 20º
D) 70º
E) 80º

EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y ∡ BAC = 20°. El valor
del ∡ x es
A) 20°
B) 35°
C) 40°
D) 55°
E) 70°

EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el
triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es

A) 68°
B) 66°
C) 57°
D) 44°

EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida
del ángulo x es
A) 32º
B) 26º
C) 38º
D) 52º
E) 64º

157

EJEMPLO PSU-5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el ∡
BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) ∡ CBO = 20°
II) ∡ CAO = ∡ AOD
III) ∡ AOD =∡ BOD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura,
el ∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles
AED?
A) 70º
B) 50º
C) 40º
D) 20º

EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°.
Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide
A 55°
B 70°
C 110°
D 125°
E 220°

EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro,
∠DOC = 60º y DB es bisectriz del ∠OBC . ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
verdadera(s)?

I) ∆OBC ≅ ∆AOD
II) ∆ACB ≅ ∆BDA
III) ∆AED ≅ ∆BEC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

158

EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es
la medida del ángulo x?

A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 160º

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la
2
cuerda AC = y el ángulo ABC es inscrito de 45º?
2
2
A)
4
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
2
E) 1

EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Sus perímetros son iguales
II) Sus radios son de igual longitud
III) Sus centros son coincidentes
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden
1. AD , DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC .
¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?
A) 2 + 1
2
B)
2
C) 2 − 1
D) 3 −1
E) 2 − 2

159

EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°.
¿Cuál es la medida del ángulo AOC?

A) 12°
B) 24°
C) 48°
D) 132°
E) 156°

EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al
triángulo PQR. La medida del ángulo α es
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 125º
E) 130º

EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio
r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:
1
A) πr
3
1
B) πr
6
2
C) πr
3
1
D) πr
12

EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si α + β = 32º , entonces el
valor del ángulo γ es:
A) 16º
B) 32º
C) 48º
D) 64º
E) Indeterminable

160

EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la circunferencia de
centro O es:
A) 60º
B) 70º
C) 80º
D) 110º
E) 120º

EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. AB // DC , ¿Cuál(es) de las siguientes
relaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) α = β
II ) γ = α + β
III ) α + β + γ = 180 º
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y ∡ ABC =2∡DAB.
La medida del ∡ ABC es:
A) 100º
B) 30º
C) 35º
D) 60º
E) 70º

161

XVIII. CIRCULO:

A. SECTOR CIRCULAR:

π ⋅ r2 ⋅ α
Área del sector =
360º

B. SEGMENTO CIRCULAR:

Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo
AOB

π ⋅ r2 ⋅ α
− Área triángulo AOB
360 º

C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:

Área del anillo = ̟ — (R2 – r2)

R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de
ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas
es igual al producto de segmentos determinados en la otra

AP • PB = CP • PD

162

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan dos secantes, el
producto de una de ellas por su segmento
exterior es igual al producto de la otra
secante por su segmento exterior

PA • PC = PB • PD

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan una tangente y una
secante, la tangente es media proporcional
geométrica entre la secante y su segmento
exterior

2
PT = PA • PB

163

EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura, la distancia desde
el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide

A) 6 cm
B) 12 cm
C) 18 cm
D) 20 cm
E) 24 cm

EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio
r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM,
en términos de r, es
A) r
r 5
B)
2
r 3
C)
2
r 2
D)
2
4r
E)
3

EJEMPLO PSU-3: En la figura 12, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia de
centro O. Si QT : TP = 3 : 4 , QT = 6 y ST = 12, entonces RT mide
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10

164

EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetro
AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la cuerda CD perpendicular al diámetro,
entonces la longitud de la cuerda CD es
A) r 3
B) r 2
3
C) r 3
2
2
D) r 3
3
3
E) r
2

EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia desde el centro
hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 12 cm
D) 16 cm

EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, CD ⊥ BD ; CD = 4;
BD = 3. El radio es:
A) 5
25
B)
3
5
C)
3
25
D)
9
25
E)
6

EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, MP = OP
I) MQ = 6
II) PQ = 3 3
III) QN = 6 3
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

165

XIX. CUERPOS POLIEDROS:

POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se
denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos
polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).

ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista
común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la
arista en un mismo punto.

A. POLIEDROS REGULARES:

— Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.
— Son cinco:
b. Octaedro:
Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12
aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.

a. Tetraedro:
Tiene 4 caras (triángulos c. Icosaedro:
equiláteros), 4 vértices, Tiene 20 caras
6 aristas. (triángulos equiláteros),
12 vértices, 30 aristas.

e. Dodecaedro:
d. Hexaedro o cubo: tiene 12 caras
Tiene 6 caras (pentágonos
(cuadrados), 8 vértices, regulares), 20
12 aristas, 4 diagonales vértices, 30 aristas.
congruentes.

166

— Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total
de caras del poliedro.

B. POLIEDROS IRREGULARES:

— No tienen todas sus caras congruentes.
— Se clasifican en: > Prismas
> Pirámides

1. PRISMA:
— Tiene dos polígonos iguales de base y varios
paralelogramos como caras laterales.
— A = Área lateral — 2 Área basal
— V = Área basal — h

2. PIRAMIDE:
— Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son
triángulos que tienen un vértice en común también llamado
cúspide.
a⋅p
— A = Área basal • (nº de caras) • Área lateral h p
2

— V = Área basal — h a
3

XX. CUERPOS REDONDOS:
— Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.
— Los principales son: > Cilindro
> Cono
> Esfera

A. CILINDRO: r

— Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser h
cualquiera de sus lados.
— A = 2 π r (h + r)
— V = π r2 — h

B. CONO:
g
— Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje h
situado sobre uno de sus catetos.
— A = π r (g + r)
π ⋅ r2h r
—V =
3

167

C. ESFERA:

— Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su
diámetro.
— A = 4 π r2
4
—V = π r3
3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un
eje

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

168

EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D
del pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es: V = 10 ,79 ⋅ D 2 ⋅ L Si el
diámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen
del cilindro?
A) 7.900 cm3
B) 790 cm3
C) 79 cm3
D) 7,9 cm3
E) 0,79 cm3

EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno
de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo generado?
A) 4 m3
B) 6 m3
C) 8 m3
D) 16 m3
E) 24 m3

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente
el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC ?
A) 30π cm3
B) 45π cm3
C) 75π cm3
D) 180π cm3
E) 300π cm3

EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Las rectas AD' y BC' son paralelas.
II) Las rectas A'B y DC' son paralelas.
III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

169

EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la
figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo
geométrico que se genera es
A) 9 π cm3
27
B) π cm3
2
C) 36 π cm3
D) 27π cm3
E) 18π cm3

EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de lado 2 . La
altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del prisma?

A) 9
B) 18
C) 9 2 3
D) 9 3
E) 9 6
2

EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una
encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:
A ) πr 3
B) 2πr3
C) 3πr3
D) 4πr3
4
E) πr3
3

EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las
coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden,
respectivamente,
1
A) 2 y3 2
2
1
B) 3 y 2
2
C) 3 y 3 2
1
D) 3 y3 2
2
1
E) 2 y 2
2

170

EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa la superficie a cubrir?

2
A) 12a
2
B) 6a
2
C) a
2
D) 4a
2
E) 8a

EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran en
forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el
cuerpo generado?

171

EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica
en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del
cilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm3, es
A) 512 - 32π
B) 512 - 16π
C) 512 - 128π
D) 256 - 32π
E) 480π

EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es:
A) equilátero
B) isósceles no equilátero
C) isósceles rectángulo
D) rectángulo en D
E) rectángulo en B

EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:

A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices
B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices
C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices
D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices
E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de 3 m y la base es un
hexágono regular de lado 2 m. Su volumen es:
A) 3 m 3
B) 9 m 3
C ) 18 m 3 3m
3
D) 3 3 m
E) 6 3 m 3

2 m

172

XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:

A. DIVISION INTERIOR:

DIVISIÓN INTERNA
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n

AP m
=
PB n

B. DIVISION EXTERIOR:

— Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m : n , significa encontrar en el exterior
del trazo AB (en su prolongación), un punto Q

AQ m m n m n
tal que: =
QB n

Q A B A B Q

C. DIVISION ARMONICA:

Dividir armónicamente
el trazo AB en la razón m n
m : n , significa dividirlo
interiormente (punto P)
y exteriormente (punto
A P B Q
Q) en una misma razón
AP AQ m
dada, tal que: = =
PB QB n

D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA
Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de
modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el
segmento mayor y el menor.

AB AP
= (AP > PB )
AP PB

AB
OBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO
AP
ÁUREO
AB 5 +1
= ≈ 1,618034
AP 2

173

EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medida
del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?
A) 45 cm
B) 15 cm
C) 60 cm
D) 25 cm
E) No se puede determinar.

EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si QR
mide 20, entonces ¿cuánto mide PR ?
A) 28
B) 28
C) 50
D) 70

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el
punto P en la razón 2:3?
A) Sólo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC
duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como
A) 1: 2
B) 1: 3
C) 1: 4
D) 1: 5
E) 1: 6

174

XXII. TRIGONOMETRIA:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos

AB : hipotenusa
AC y BC catetos
α y β : ángulos agudos

Si prolongamos los lados AB y AC , y unimos algunos puntos de dichas prolongaciones
mediante segmentos paralelos a BC , obtenemos entonces otros triángulos rectángulos
semejantes al triángulo ABC

∆ABC ∼ ∆ADE ∼ ∆AFG ∼ ∆AHJ
Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:

∆ ABC ∆ ADE ∆ AFG ∆ AHJ
cateto BC DE FG HJ CONSTANTE
= = = = K1
hipotenusa AB AD AF AH
cateto AC AE AG AJ CONSTANTE
= = = = K2
hipotenusa AB AD AF AH
cateto BC DE FG HJ CONSTANTE
= = = = K3
cateto AC AE AG AJ
En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón
entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un valor constante
Respecto al ángulo agudo α de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene que:

(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de
α, y se abrevia senα
(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de α, y se le abrevia cosα
(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de α, y se la abrevia tgα

175

Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las
calculadoras científicas usan esta última abreviatura

En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:

FUNCIÓN DEFINICIÓN RAZÓN ABREVIACIÓN
Seno cat. opuesto a sen α
de α hipotenusa c

Coseno cat. adyacente b cos α
de α hipotenusa c

Tangente cat. opuesto a tg α
de α cat. adyacnte b

Cotangente cat. adyacente b cotg α
de α cat. apuesto a

Secante hipotenusa c sec α
de α cat. adyacente b

Cosecante hipotenusa c cosec α
de α cat. opuesto a

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
senα = cos(90 º −α ) cos ecα = sec(90 º −α )
cos α = sen( 90º −α ) sec α = cos ec( 90º −α )
tgα = cot g(90 º −α ) cot gα = tg(90 º −α )

Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal,
considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto
observado esté por sobre o bajo esta última.

Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen
ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.

176

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º

3
30º 45º 60º
senα 1 2 3
2 2 2
cos α 3 2 1
2 2 2
tgα 3 1 3
2
3

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (∀α : 0 º < α < 90 º )

1. senα • cos ecα = 1 4. tgα =
senα
cos α
2. cos α • sec α = 1 5. cot gα =
cos α
senα
3. tgα • cot gα = 1 6. sen α + cos 2 α = 1
2

177

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tgα es igual a:
1 − p2
A)
p
p
B)
1 − p2
1 + p2
C)
p
p
D)
1 + p2
1
E)
1 − p2

EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado
un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces senβ=
3
A)
34
5
B)
4
3
C)
4
5
D)
34
3
E)
5

EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura:

Es verdadero que:
5
I ) senα =
29
2
II ) cos α =
29
5
III ) tan α =
2

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

178

EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de
elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es 12 m, determinar la distancia entre el
águila y el ratón.
12
A)
tan 70 º
12
B)
cos 70 º
12
C)
sen 70 º
cos 70 º
D)
12
sen 70 º
E)
12

EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la
tierra, es de 20 3 metros. El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros
de la tierra está fijo el cable en el poste?
A) A 10 3 metros
B) A 10 6 metros
C) A 30 metros
D) A 40 metros
E) A 60 metros

EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º
como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de
despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros?

A) 750 metros
B) 3.000 metros
C) 1.000 3 metros
D) 750 3 metros
E) 1.500 3 metros

179

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la
escalera de la figura?
1, 2
I) metros
sen 20 º
12
II ) metros
cos 70 º
III ) 1,2 ⋅ cos 70 º metros
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) ?
I) tg α = 2
4 5
II) sen α + cosβ =
5
III) tg β + tgα = 1

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área
2
es cm2, entonces tgα=
3
1
A)
3
2
B)
3
3
C)
2
3
D)
4
4
E)
3

180

EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm, entonces
el coseno del ángulo menor es:
5
A)
13
12
B)
13
5
C)
12
12
D)
5
13
E)
12

3
EJEMPLO PSU-11: Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y senα = ,
5
entonces tgα − cos α =
1
A) −
20
3
B)
20
1
C)
20
11
D)
15
8
E)
15

EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen α – cos α es igual a:
a−c
A)
b
c−a
B)
b
a−b
C)
c
b−a
D)
c
ac − ab
E)
bc

181

EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de 12 m de
altura, observa a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de altura
con un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?
A ) 6 ⋅ tg 40 º
6
B)
tg 40 º
6
C)
sen 40 º
6
D)
cos 40º
E ) 6 ⋅ sen 40 º

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si la hipotenusa es 1,
¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo?
I) sen γ + sen β + 1
II) cos γ + cos β + 1
III) sen β + cos β + 1
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las
siguientes opciones es verdadera?
b
A ) senα =
c
c
B ) cos α =
a
a
C ) cos β =
c
b
D ) senβ =
c
a
E ) tgα =
b

182

XXIII. PROBABILIDAD:

∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un
número indefinido de veces.
∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un
conjunto de resultados posibles.
∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si
se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral.
∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras
palabras, es un subconjunto del espacio muestral.
∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas,
bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra
cosa.

TIPOS DE EVENTOS
∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.
∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto
vacío (∅) del espacio muestral.
∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la
ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando
dos o más eventos no tienen elementos comunes.
∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes
y la unión de ellos es el espacio muestral.

∗ PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al
evento A por el número total de casos posibles.
La probabilidad de A se denotará por P(A).

∗ Observación:
1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que
no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre
2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%

∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS
∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

183

∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia
de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de
A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el
suceso B ha ocurrido.

∗ Probabilidad y triángulo de Pascal
Caras y sellos

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salir
tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras
(CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres
de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es
la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
C
1 1, 1
S
CC
2 CS SC 1, 2, 1
SS
CCC
CCS, CSC, SCC
3 1, 3, 3, 1
CSS, SCS, SSC
SSS
CCCC
4 CCCS, CCSC, CSCC, SCCC 1, 4, 6, 4, 1
CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC

184

CSSS, SCSS, SSCS, SSSC
SSSS
... etc ...

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos
6
caras. Así que la probabilidad es , o 37.5%
16

Triángulo de Pascal

DIAGRAMA DEL ARBOL:

— Representa de manera grafica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces
seguidas una moneda.

C CCS
Resultados favorables: 8 C S CCS
(CCC – CCS – CSC – CSS – C CSC
SCC – SCS – SSC – SSS) C
S S CSS
Casos favorables: 3
(CCS – CSC – SCC)
C SCC
C
S SCS
3 S
Probabilidad =
8 C SSC
S
S SSS

185

1
EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es . ¿Cuál es la
3
probabilidad de sacar una bola que no sea roja?
1
A)
3
B) 1
2
C)
3
1
D)
6
E ) Falta Información

EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que
sumen 3 ó 4?
1
A)
6
7
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
21
E)
36

EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?
7
A)
8
1
B)
4
1
C)
2
3
D)
8
5
E)
8

EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?
A) 0,4
B) 0,41
C) 0,42
D) 0,5

186

EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son
cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla
y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?
12 20 18 11
A) + + +
50 50 50 50
12 20 18 11
B) + + +
50 49 48 47
12 20 18 12
C) ⋅ ⋅ ⋅
50 50 50 50
12 20 18 12
D) ⋅ ⋅ ⋅
50 49 48 47
12 20 18 11
E) ⋅ ⋅ ⋅
50 49 48 47

EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes
a un cargo administrativo
NIVEL EDUCACIONAL
Sexo Universitaria Media Básica
Masculino 250 100 40
Femenino 225 110 25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
390
I) La probabilidad que sea varón es de
750
360
II) La probabilidad que sea mujer es de
390
475
III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de
750
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III

187

EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la
palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que
en ésta esté escrita una vocal es:
1
A)
10
2
B)
5
1
C)
5
1
D)
4
2
E)
3

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar
cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de
las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ?
1
I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de
2
1
II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de
4
2
III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de
3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y
amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha
verde antes de la roja?
1
A)
4
1
B)
2
3
C)
4
1
D)
8
1
E)
24

188

EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual
tamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una
2
ficha negra sea ?
3

A) 1N y 0B
B) 1N y 3B
C) 1N y 4B
D) 1N y 1B
E) 0N y 1B

EJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener
un número par menor que 5?

1
A)
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
E ) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la
probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?

3
A)
30
23
B)
30
7
C)
30
8
D)
30
6
E)
30

189

EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el
que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y
Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

1
A) Todos tienen probabilidad de ganar.
2
1
B) Todos tienen probabilidad de ganar.
3
C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.
D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.
E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2
sean caras y 1 sea sello?

3
A)
8
1
B)
8
2
C)
8
1
D)
3
2
E)
3

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres
dados?

3
A)
216
1
B)
216
3
C)
8
1
D)
18

190

EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradas
del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La
probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es:
1
A)
2
2
B)
5
5
C)
11
2
D)
11
1
E)
4

EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la probabilidad de que un
1
habitante sea una mujer es , ¿cuántas mujeres hay en el pueblo?
3
A) 200
B) 300
C) 400
D) 600
E) 800

EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la
probabilidad de que el suceso no ocurra?

A) 0,45
B) 0,55
C) 0,65
D) -0,45
E) -0,55

EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de
obtener un número impar o un número menor que 4?
1
A)
6
2
B)
6
4
C)
6
3
D)
6
6
E)
6

191

EJEMPLO PSU-20: ¿En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es
igual a 1?

A) Nacer en un año bisiesto
B) Que al tirar una moneda salga cara
C) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébol
D) Que un mes tenga 30 días
E) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6

EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados
Cara 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 13 15 17 16 20 19

I) La probabilidad de obtener par es de un 50%
II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30%
III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) verdadera(s) ?

I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6.
1
II) La probabilidad de obtener un número impar es .
2
1
III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es .
6

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

192

EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas. Si se escoge un
número al azar del 1 al 40, ¿cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al de
una niña en la lista del curso?
17
A)
40
1
B)
40
1
C)
17
17
D)
23
23
E)
40

EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas
contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
1
I) La probabilidad de sacar una M es .
12
7
II) La probabilidad de no sacar una vocal es .
12
III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente
forma:
PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO
NIÑOS 15 20 18 12
NIÑAS 30 25 27 33
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
65
I) La probabilidad de que sea un niño es .
180
45
II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es .
180
25
III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es .
45
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

193

EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga
un número menor que 2 o mayor que 4?
1
A)
6
1
B)
2
1
C)
3
2
D)
3
5
E)
6
EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y
recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los
puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T

EJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo.
¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para
3
que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea ?
4
A) 1 blanca y 0 negra
B) 0 blanca y 1 negra
C) 0 blanca y 5 negras
D) 3 blancas y 5 negras
E) 2 blancas y 2 negras

194

EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se
eligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas
sea diferente de 10?
8
A)
9
17
B)
18
16
C)
17
9
D)
10
7
E)
8

EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha
salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4?
1
A)
3
1
B)
6
1
C)
4
3
D)
6
4
E)
6

EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales
1
algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad
3
de sacar una ficha de cualquier otro color?
1
A)
2
1
B)
3
2
C)
3
D) 1

195

EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que
participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en
B, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la
probabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A?
7 1
A) ⋅
13 350
1
B)
4
3
C)
5
7
D)
12
7
E)
20

EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tiene
mayor probabilidad de salir en los dos dados?
A) 12
B) 10
C) 9
D) 7
E) 6

EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6
rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6
rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean
rojas es:
7
A)
50
1
B)
8
1
C)
252
19
D)
12
19
E)
37

196

EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener al menos una cara?
1
A)
32
1
B)
2
5
C)
32
1
D)
5
31
E)
32

EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entre
sí, donde la flecha no puede caer en los límites. La probabilidad de que la flecha caiga en
alguna de las regiones de números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número
mayor que 3 es de:
1
A)
2
1
B)
4
3
C)
8
1
D)
8
3
E)
4

EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de los puntos sea 3 o 4?
5
A)
36
7
B)
36
5
C)
12
7
D)
12
1
E)
2

197

XXIV. ESTADÍSTICA

Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se
emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y
comunicación de conjuntos de datos
Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se
quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, de
producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o
infinitas
Muestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria.
Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo,
nacionalidad, profesión, etc
Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso,
temperatura, salario, etc

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de
departamentos en un edificio, etc
Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc
TABULACIÓN DE DATOS
Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia
absoluta)
Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores
de la variable y el total de datos
Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias
absolutas hasta la que ocupa la última posición
Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la
frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición

Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior
Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e
inferior de cada intervalo

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media aritmética (x) : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de
x 1 + x 2 + x 3 + ...... + x n
datos. x =
n
Media aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias
Si los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn entonces
x 1 ⋅ f1 + x 2 ⋅ f2 + x 3 ⋅ f3 + ...... + x n ⋅ fn
la media aritmética es: x =
f1 + f2 + f3 + ........ + fn

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si
no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de
frecuencia es amodal

198

Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se
encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par
de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

A) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo
cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de
las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno

B) GRÁFICO DE SECTORES: La representación gráfica se hace por medio de un círculo,
dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variable

Asignatura Estudiantes que
la prefieren
Matemática 4
Lenguaje 3
Arte 2
Historia 1
Total 10

C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la
variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos,
de longitud proporcional a la dicha frecuencia

199

D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa gráficamente las
distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen
rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las
respectivas frecuencias de dichos intervalos

f
16
14

12

8

6

3

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Salarios en miles de $

E) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a un
punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se
obtiene un polígono de frecuencias

200

EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8,
¿qué se obtiene?
A) Mediana
B) Media Aritmética
C) Moda
D) Media geométrica
E) Desviación estándar

EJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto
si la suma de los 4 primeros es 302?
A) 78
B) 68
C) 62
D) 58
E) 72

EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) La moda es 17 años.
II) La mediana es mayor que la media (promedio).
III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.
A) Sólo I
B) Sólo II Edad 15 16 17 18 19
C) Sólo I y II (en años)
D) Sólo II y III Alumnos 50 40 60 50 20
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina
de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso
del niño al que le perdieron la ficha?

A) 39 kg
B) 29 kg
C) 21 kg
D) 20 kg
E) 19 kg

201

EJEMPLO PSU-5: El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos
en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ?
I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%.
II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%.
III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él se
indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisión, según una
muestra aleatoria, en un año determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es
TV 5.
II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros
centrales de esta ciudad.
III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos
cinco canales.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los
alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?
A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.
B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.
C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente.
D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente.
E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

202

EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gusta
hacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las
I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.
II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar.
III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por
los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes
I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40.
II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29.
III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.
A) Sólo I
Intervalos Frecuencia
B) Sólo II
de puntaje
C) Sólo III
D) Sólo I y III 10 – 19 6
E) I, II y III 20 – 29 8
30 – 39 12
40 – 49 5
50 – 59 9

EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las notas de
matemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de las
siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana
y la moda, respectivamente?
A) 4 y 5
B) 5 y 5
C) 4,1 y 4
D) 4,1 y 5
E) 4 y 4,5

203

EJEMPLO PSU-11: Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados
que se indican en la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba?
A) 4,25
B) 5,00
C) 5,16
D) 5,25
E) 5,50

EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron:
4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La mediana es 7
II) La moda es 5
III) La media aritmética (o promedio) es 5
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba
de matemática, obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 Nota f
II) La moda corresponde a la nota 5,0 3,0 3
III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 3,5 5
IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0 4,0 4
4,5 6
A) Sólo II y III 5,0 7
B) Sólo III y IV 5,5 5
C) Sólo I, II y III 6,0 4
D) Sólo I, II y IV 6,5 4
E) Sólo II, III y IV 7,0 2
Total 40
alumnos

EJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en
distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados ¿Cuántos artículos se han
vendido en total hasta el término del día miércoles?
Días Nº de Total
A) 24 artículos acumulado
B) 20 Lunes
C) 30 Martes 12 16
D) 8 Miércoles 8
E) Ninguna de las anteriores Jueves 6

204

EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos,
con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota
promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos
cursos es:

A) 5,7
B) 5,6
C) 5,5
D) 5,4
E) 5,3

EJEMPLO PSU-16: El gráfico de la figura representa la distribución de las notas obtenidas
por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
verdadera(s)?
I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5.
II) La moda es la nota 5.
III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000.

I. La moda es $10.000.
II. La mediana es $10.000
III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

205

EJEMPLO PSU-18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente
distribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son:
moda mediana
Edad Frecuencia
A) 16 17
13 5
B) 17 15
14 11
C) 15 17
D) 5 1 15 1
E) 17 16 16 5
17 13
EJEMPLO PSU-19: El promedio (media aritmética) de los números 3; 2; 5; 5 y 6 es
A) 4
B) 4,2
C) 5
D) 5,25
E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-20: La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de
una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
TRAMO NÚMERO DE SUELDO EN PESOS
PERSONAS DESDE – HASTA
A 3 5.000.000 – 7.000.000
B 2 2.000.000 – 3.000.000
C 5 800.000 - 1.200.000
D 15 500.000 - 700.000
E 13 300.000 - 400.000
F 7 150.000 - 250.000

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo.
II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D.
III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $ 21.000.000.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0
y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5.
II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.
III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

206

EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en iguales
condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El curso Q es el más homogéneo.
II) El curso R es el más homogéneo.
III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas.
A) Sólo I CURSO PROMEDIO DESVIACIÓN
B) Sólo II ESTÁNDAR
C) Sólo III Q 4,6 1
D) Sólo II y III R 5,2 0,8
E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-23: El gráfico de la figura, representa la distribución de los puntajes
obtenidos por un curso en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?

I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos
II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos
1
III) de los alumnos obtuvo 10 puntos
10

A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura
de un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La mediana de las notas es 4
II) La moda de las notas es 5
III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4

A) Solo I Notas 1 2 3 4 5 6 7
B) Solo II Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

207

EJEMPLO PSU-25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la siguiente tabla:
Cara 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 13 15 17 16 20 19

I) El 50% de las veces se obtuvo un número par
II) El 30% de las veces resultó 1 o 3
III) El 20% de las veces salió el número 5
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿qué
indicador estadístico se obtiene?
A) La moda
B) La media aritmética (o promedio)
C) La mediana
D) El rango
E) La desviación estándar

EJEMPLO PSU-27: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente
distribución de edades:
Edad Frecuencia
E1 N1
E2 N2
E3 N3
E4 N4
¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta
muestra?
E + E2 + E3 + E4
A) 1
4
E1 + E2 + E3 + E4
B)
N1 + N2 + N3 + N4
N ⋅ E + N 2 ⋅ E2 + N3 ⋅ E3 + N 4 ⋅ E4
C) 1 1
N1 + N2 + N3 + N4
N ⋅ E + N2 ⋅ E2 + N3 ⋅ E3 + N 4 ⋅ E4
D) 1 1
4
N + N2 + N3 + N4
E) 1
4

208

XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones
que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden
cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)
Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las
reflexiones (o simetrías)
Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta,
manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:
Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua
Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo
Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la
posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en
un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par
ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y
representa el desplazamiento vertical

EJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el
punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto
A) (1, -2)
B) (-5, 0)
C) (3, -1)
D) (-5, 2)
E) (1, 0)

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este
movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres
elementos:
El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar
la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.
Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto
cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto
correspondiente en la figura obtenida después de la rotación
El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los
punteros del reloj)
Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la
figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto
correspondiente de la figura original y el centro de rotación.

Rotación de 90º (x,y) ------- (-y,x)
Rotación de 180º (x,y) ------- (-x,-y)

209

EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación
en180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su
nueva posición?
A) En (2, 2)
B) En (2, 0)
C) En (4, 2)
D) En (0, 0)
E) En (0, 2)

Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el
movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’
equidisten del eje de simetría y el segmento PP' sea perpendicular al eje de simetría

Nota:
(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial
(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central

EJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de
simetría L, es el punto
A) Q
B) R
C) S
D) T
E) U

210

Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se
mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la
figura.

El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas
diagonales son ejes de simetría del cuadrado.
También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los
ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos

Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.
El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría
En el caso de los triángulos, tenemos:

Tipo Ejes
Triángulo equilátero Tres ejes de simetría
Triángulo Isósceles Un eje de simetría
Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría

En el caso de los cuadriláteros, tenemos:

Tipo Ejes
Cuadrado Cuatro ejes de simetría
Rectángulo Dos ejes de simetría
Rombo Dos ejes de simetría
Trapecio isósceles Un eje de simetría
Trapezoide Ningún eje de simetría

Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje
de simetría del círculo.

211

Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como
números de lados
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de
simetría?
I) Cuadrado
II) Rombo
III) Trapecio
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que
éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir
Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar.
También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos
Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es
que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.
Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros,
los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano

EJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10
cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado,
entonces el número de cerámicas que se ocuparían es
A) 120
B) 60
C) 40
D) 18
E) 12

EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es el
reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es un
segmento
A) paralelo al eje x.
B) paralelo al eje y.
C) de la bisectriz del segundo cuadrante.
D) de la bisectriz del primer cuadrante.
E) perpendicular al eje x.

212

EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el punto medio de P
MQ . ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ,
como también por la reflexión del eje NP?

A) S
B) Q
C) P
D) N
E) M

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la
traslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadas

A) (1, 2)
B) (2, 1)
C) (1, 1)
D) (2, 2)
E) (0, 2)

EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al punto P. ¿Cuál de las
opciones representa mejor la rotación de la figura?

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90º con respecto al
punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son:

A) (6,2)
B) (-3,6)
C) (6,-7)
D) (6,-3)
E) (6,-5)

213

EJEMPLO PSU-11: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(-1,-2) con respecto
a la recta y = 3?
A) (-1,8)
B) (1,8)
C) (-1,6)
D) (7,-2)
E) (-1,-4)

EJEMPLO PSU-12: ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares permite(n) teselar
(o embaldosar) el plano?
I) Pentágonos.
II) Triángulos equiláteros.
III) Hexágonos.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas
(8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?

A) (-8, -3)
B) (8, 3)
C) (-8, 3)
D) (-3, 8)
E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-14: La en I) está formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) es
un cuadrado y la figura en III) es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n)
simetría central?
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III

214

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría
II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría
III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto P(2,3), con respecto a
la recta L de ecuación y = x
A) (2,1)
B) (-2,3)
C) (-2,-3)
D) (2,-3)
E) (3,2)

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas
(8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?

A) (-8, -3)
B) (8, 3)
C) (-8, 3)
D) (-3, 8)
E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-18: En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el cuadrado
A’B’C’D’ con respecto al eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) D’ = (-5,6)
II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro
III) Ambos cuadrados tienen igual área
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

215

EJEMPLO PSU-19: En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo) con el triángulo
QPR respecto al eje T, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre
verdadera(s)?
I) RS ⊥ T
II) QR // NS
III) ∆PMR ≅ ∆NQS
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-20: En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada
al cuadrado dibujado con línea punteada. ¿Cuáles son los componentes del vector de la
traslación?
A) (1,2)
B) (-2,1)
C) (-1,2)
D) (2,1)
E) (-2,-1)

EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central.
¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura
con simetría central?
I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y tamaño
II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma forma y tamaño
III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y tamaño
A) Sólo I
B) Solo III
C) Solo en I y en II
D) Solo en I y en III

EJEMPLO PSU-22: En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones rígidas permite
obtener el polígono P a partir del polígono Q?

A) Simetría (reflexión) con respecto al eje y
B) rotación en 180º con respecto al origen
C) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotación
en 180º con respecto al origen
D) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotación
en 180º con respecto al origen
E) Rotación de 90º con respecto al origen

216

EJEMPLO PSU-23: El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B(-3,8) y C(3,7). Si se
aplica una traslación según el vector (5,-7), las nuevas coordenadas del triángulo serán:
I) A’(7,-4)
II) B’(-8,1)
III) C’(8,0)

A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En la figura, el ∆ ABC se traslada según el vector (4, 2). ¿Cuál(es) de las
I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).
II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5 .
III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual al
perímetro del triángulo ABC.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia
1
tiene radio . Si se gira toda la figura en torno al centro O en 180º, en el sentido de la
2
flecha, el punto A, que está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas
1 1
A)  ,− 
2 2
1 
B)  ,0 
2 
 1 1
C)  − ,− 
 2 2
 1
D)  0, 
 2
 1 1
E)  − , 
 2 2

217

EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1,2),
B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en
una unidad a la izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos
unidades hacia arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4)
II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7)
III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos lados
iguales y uno distinto es:
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0

EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son las coordenadas del
punto simétrico de P con respecto al eje y?
A) (-7,-9)
B) (7,9)
C) (-7,9)
D) (-9,7)
E) (-9,-7)

EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y C(4, 0), se le aplica
la traslación según el vector u = ( −5,7 ) , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) A se transforma en A’(-4, 9)
II) B se transforma en B’(-3, 8)
III) C se transforma en C’(-1, 7)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III

218

EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con respecto al eje RS.
¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante?

EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la
función g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación?

219

EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –1), ¿cuál(es) de las
I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es
el punto (4, – 1).
II) Al rotar el punto A en 90° en sentido
antihorario, en torno al origen, se obtiene el
punto (–1, 4).
III) Al trasladar el punto A dos unidades a la
derecha y 2 unidades hacia arriba, se
obtiene el punto (–2, 1).

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) de
la figura respecto a la recta L?

220

XXVI. TEOREMA GENERAL DE THALES

Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas
determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.
L 1 // L 2 // L 3
Hipótesis:
M 1 y M 2 transversales
AB A' B'
Tesis: =
BC B' C'

Nota: en una proporción es posible:
(a) alternar los términos medios
(b) alternar los términos extremos
(c) invertir las razones
(d) permutar las razones
(e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al
consecuente de cada razón

Teorema recíproco del teorema general de Thales
señala que:

“Si tres o más rectas son intersectadas por dos
transversales, determinando en estas segmentos
proporcionales, entonces las rectas son paralelas”

M1 y M2 transversales
AB A' B'
= ⇒ L 1 // L 2 // L 3
BC B' C'

221

EJEMPLO PSU-1: La figura muestra un rectángulo ABEF con BC = 10, CF = 5 y CD = 4.
¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE?
A) 16
B) 22
C) 28
D) 32
E) 36

EJEMPLO PSU-2: En el triángulo ABC de la figura, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, y
AP: PR: RB = 1: 2: 3, entonces el valor de CB es:

A) 96 cm
B) 72 cm
C) 48 cm
D) 36 cm
E) 24 cm

EJEMPLO PSU-3: En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y AB // DE . ¿Cuál es
el área del trapecio ADEB?

A) 36 cm2
B) 40 cm2
C) 50 cm2
D) 54 cm2
E) 60 cm2

222

EJEMPLO PSU-4: En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
AG AB
I) =
FE CD
BG AG
II ) =
CF GF
AG AB
III ) =
AF AC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, AC // DE La medida de BC es
A) 25
B) 20
C) 9
D) 30
E) 14

EJEMPLO PSU-6: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?

A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III

223

EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED
y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la distancia entre el punto
A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos
metros separan a la persona (punto A) del poste ED?
A) 1 metro
B) 9 metros
C) 6 metros
D) 3 metros
E) 30 metros

EJEMPLO PSU-8: En la figura AB // CD . Si CD mide el doble de AB , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos
II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes
III) AC = 2 ⋅ OA
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En el triángulo ABC de la figura, PM // AB Si PM = 10, AB = 15 y CT =
12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el
valor de x?

10 12 − x
A) =
15 12
10 12 − x
B) =
15 x
10 x − 12
C) =
15 12
10 12
D) =
15 12 − x
10 12
E) =
15 x

224

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso
tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra
proyectada por el segundo piso?

A) 8 m
B) 10 m
C) 15 m
40
D) m
3

AE 3
EJEMPLO PSU-11: En la figura, ED // BC. Si = , ¿cuál(es) de las siguientes
EC 2
AD 3
I) =
DB 2
EC 3
II ) =
ED 2
AC AB
III ) =
AE AD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Si en la figura L1//L2, entonces el valor de x es:
A) 2
B) 7
C) 12,5
D) 18

225

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 64 A LA Nº 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, se puede determinar el
capital de Q si:
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado
más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P: Q = 3: 2, luego
(P + Q): Q = 5: 2, de donde
$ 10.000.000: Q = 5: 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

226

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

1. Se puede determinar cuanto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatro
proporcionales si:
(1) La cuerda mide 72 cm
(2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

2. Si x e y son dos números distintos, se puede determinar el valor de la expresión
x2 − y2
si:
x−y

(1) x + y = 8
(2) x – y = 2

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola

3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del ángulo AOB se puede determinar
si:
(1) El área del sector achurado representa el 40%
(2) la medida del ángulo ACB = 72º

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola

a
4. El valor numérico de log(ab) + log   se puede determinar si:
b
(1) a = 1.000
(2) b = 100

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola

227

5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede determinar el precio promedio de
una manzana si:
(1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total es $ 4.800
(2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100 manzanas

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola

6. m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si:
(1) m es un número impar
(2) m ⋅ n es un número impar

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola

7. En la figura, el triángulo FEC es semejante con el triángulo BDE si:
(1) ∠FCB ≅ ∠CBD
(2) AC // BD

A) (1) Por sí sola
B) (2) Por sí sola

8. ax + by es igual a bx + ay si:
(1) x = y
(2) a = b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

228

9. En la figura, DE = AB = 10. Se puede determinar la magnitud AC si se sabe que:
(1) AD = 8
(2) = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

10. En la figura, EB = 6. Se puede determinar el valor de DB si:
(1) CE: EB = 3: 2
(2) AD = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

3 3
(x − 3)2 9 z 
11. Se puede determinar el valor numérico de la expresión 2
+ y  •   si:
(3 − x) z  9
(1) z = 9
(2) y = 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos. Se puede saber el número total de
trabajadores si:
(1) Enfermos: Sanos = 1: 3
(2) El 75% de los trabajadores están sanos
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

229

13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y caramelos tipo 2 que cuestan $4
c/u. se puede determinar la cantidad de caramelos de cada tipo que compró si:
(1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que tipo 1
(2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

14. En la siguiente tabla se muestra la edad de un grupo de personas. Se puede determinar
x si:

(1) El promedio es 6 Edad Frecuencia
(2) La mediana es 7 5 2
A) (1) por sí sola 6 X
B) (2) por sí sola 7 10
C) Ambas juntas (1) y (2) 8 6

15. Se puede determinar el monto de una deuda si:
(1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda.
(2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

16. Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que:
(1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7.
(2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

230

17. Se pueden calcular las edades de Juanita y de su madre si se sabe que:
(1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años.
(2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de su madre.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

18. Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x mayor que y si:
(1) x = n + y
x
(2) =y-5
n

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

19. En la figura el trazo AC corresponde a la sombra de la torre vertical AB, en un cierto
momento. Es posible calcular la altura de la torre si se sabe que, en ese mismo instante:
(1) Muy cerca de la torre, un poste vertical de 1 metro tiene una sombra de 1 metro.
(2) Se conoce la medida del trazo AC.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

20. En la figura, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersección
de los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del ∆ PBC si:
(1) El lado del cuadrado mide 8 cm.
(2) Se sabe que M es punto medio de AD.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

231

21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede
determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:
(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes.
(2) El número total de fichas es 36.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

22. a2 + b2 = (a + b)2 si :
(1) a = 0
(2) b = 0

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

23. Si x es un entero comprendido entre 80 y 90, se puede determinar el valor exacto de x
si:
(1) x es múltiplo de 4
(2) x es múltiplo de 7

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

x
24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede saber el valor de si:
y
(1) y es el triple de x.
(2) La suma de x e y es 8.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

232

25. En el rectángulo ABCD de la figura, el perímetro mide 28 cm. Se puede determinar el
área achurada si
(1) AB : BC = 4 : 3
(2) AC = 10

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

4
26. En la figura, sen α = , se puede afirmar que UT = 7 si:
7
(1) US = 4
(2) L1 // L2

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

2a − b
27. Se puede determinar el valor de si:
b
(1) a : b = 5 : 2
(2) a + b = 21

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
D) Ambas juntas, (1) y (2)

233

28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Se
puede determinar la relación que hay entre los volúmenes de los conos que se generan si
se sabe que:
(1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que un cateto de la de
Pedro.
(2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que mide el otro cateto de
la de Pedro.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

29. Se puede determinar la edad de Benjamín si:
(1) Benjamín es menor en 46 años que su padre que tiene el triple de su edad.
(2) Al sumar la edad de Benjamín con 1950 se obtiene su año de nacimiento que es
1973.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se puede determinar el número exacto si:
(1) La suma de sus cifras es 9.
(2) El número es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos congruentes. Se puede determinar
el perímetro de la figura MNPQRM si se sabe que:
(1) MQ = 12 cm
(2) PQ = 2 cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

234

32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabe
que:
(1) El 52% de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5% de la población son médicos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas y viudas, se puede determinar el
número de mujeres viudas si:
(1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3.
(2) Las casadas son 25.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar la
edad de Cecilia si:
(1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella.
(2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

35. Se puede concluir que x es un número negativo si se sabe que:
(1) 4x es negativo.
(2) x – 3 es negativo.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

235

36. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H si se
sabe que:
(1) a = 10
(2) a + b = 30
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

37. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm, se puede determinar el área del
triángulo NME si:

(1) AE = EC ; AM = MD
(2) AN = NM

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

38. En la figura, CD // AB .Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con el
triángulo DCB si:
(1) α = ε
(2) = AB = CD

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

236

39. Un automóvil tiene un rendimiento promedio de 10 km por litro de bencina. Se puede
determinar la velocidad promedio en un viaje entre dos ciudades A y B, si se sabe que el
automóvil:
(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina.
(2) Demoró en el viaje 30 minutos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

40. Se puede determinar que existe semejanza entre los triángulos ABC y DEC de la
figura, si:
(1) DE es mediana.
(2) α = ε
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

41. Sean n, m números enteros positivos y a = 2 n • 3 m . Se puede afirmar que el número
a
es el cuadrado de un número entero, si se sabe que:
2
(1) n es impar.
(2) m es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

42. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si:

(1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche
(2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

237

43. En la expresión 3a – 2b = 8 se puede determinar el valor de a si:
(1) b es la mitad de a
(2) b + 2 = a
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

44. En el triángulo ACD de la figura, BE // CD. Se puede determinar la medida del
segmento ED si:
(1) CD = 12
(2) = 3x
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6, entonces se puede determinar el valor
de x si:
(1) La moda es 6
(2) La mediana es 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se puede determinar el valor de a si:
(1) X e Y son inversamente proporcionales
(2) T e Y son directamente proporcionales
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola T X Y
C) Ambas juntas, (1) y (2) 5 354 432
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 10 a b

238

a b+5
47. La expresión toma siempre un valor positivo si:
a b+8
(1) a es un número positivo
(2) a es un número par
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

48. Sean m y p números enteros positivos, se puede determinar exactamente el valor de
ellos si:
m 11
( 1) =
p 19
( 2 ) (m + p ) 2 = 22.500
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se puede determinar siempre el valor
numérico de la altura si:
(1) Se conoce el área del triángulo
(2) Se conoce el perímetro del triángulo
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

50. En la figura PT es tangente en T a la circunferencia de centro O. PQ pasa por el centro
de la circunferencia y la intersecta en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valor
del radio si:
(1) Se conoce la medida de PT
(2) Se conoce la medida de RP
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

239

51. Se tienen los números 3, 7, 9, 5 y x. Se puede determinar el valor de x si:
(1) El promedio de los números es 8
(2) La mediana de los números es 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

x 2 + y 2 − 2 xy
52. Se puede determinar el valor numérico de , con x ≠ y , si se sabe que:
x−y
(1) x + y = 5
(2) x – y = 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

53. En la figura, se puede determinar la medida de AB si:
(1) AC = BC = 6 cm y AB < BC
(2) AB : AC = 2 : 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

a•b
54. Si c es un número entero positivo y G = , entonces G es positivo si:
c
(1) a y b son positivos
(2) a y b son negativos
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

240

55. Las edades de dos personas están en la razón de 3: 4. Se puede determinar las edades
si:
(1) La diferencia de edades es 5 años
(2) Las edades suman 35 años
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

56. Se puede conocer la edad de Paz si:
(1) La suma de las edades de su mamá y su hermana menor es 36 años
(2) La diferencia de edad entre Paz y su hermana menor es de 5 años
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

p a
57. Se puede determinar el valor numérico de la expresión : con m distinto de cero,
m 3m
si se conoce que:
(1) p = 4
p
(2) = 8
a
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

58. En la circunferencia de centro O, PB y PD son secantes, si PA = 6, entonces se puede
determinar PC si:
(1) PA: AB =3: 2
(2) DC = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

241

59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y (ay + bx) son iguales si se sabe que:
(1) a = b
(2) x = y
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7 cada uno y caramelos de tipo II que
cuestan $ 4 cada uno. Se puede saber la cantidad comprada de cada tipo si:
I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del tipo I
II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente
(sin necesidad de recortar baldosas) si:
(1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm.
(2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm y 20
cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

62. Sea a: b = 2: 3. Se pueden determinar los valores numéricos de a y b si:
(1) 2b: c = 6: 5 y c = 15
(2) a + b = 15
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

242

RESPUESTAS

NÚMEROS ENTEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B D A E D E D A E C A B A D D A B C A

21
D

NÚMEROS RACIONALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A D A D B B D B E C E A B E B A B A B A

21 22 23 24 25 26 27
C A D E A E C

POTENCIAS EN Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C E A A A B B A D C B C C B C C E D C

ÁLGEBRA y FUNCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D D E C A A E C E D B A B C E D C D C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A E E A A C D D E C D A D B C E D D B B

41 42 43 44 45
A E A B E

SIMBOLOGÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D D C A E B C A E A C C A

243

RAZONES y PROPORCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A D B C A C B C B A C C A D E A D A A

21 22
E A

TANTO POR CIENTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B D C E E A D C E D B B E D D E D C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29
B C E D E D A D D

RAÍCES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B A E B D B A C A A A B B A B D C E A D

21
E

ECUACIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C C A B B C B E D C E E A C B A C D A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B B B A E C B B D C B B A C D A E C D A

DESIGUALDADES

1 2 3 4 5 6 7
A C D A E D E

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1 2 3 4 5 6
D A E A B C

244

LOGARITMOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9
E C E A E B D C B

FUNCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B B E E D D D A B D A B D C D C D E E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E B A B A A D E D A A C C E D E A D B C

41
C

EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA

UNIDAD: ÁNGULOS – TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B D D B E A B B E E C E D D D D

UNIDAD: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8
D D E B D E C C

UNIDAD: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E A C E E A C E B A

UNIDAD: CUADRILÁTEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B C D D C E A D B B E B B C E D A E B

21 22 23 24 25 26 27 28 29
A A E C A E C A B

245

UNIDAD: POLÍGONOS

1
E

UNIDAD: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C B C C D E C D B C C B A B A B E

UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A D B C C A B C C D A D A D D E A E D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
D E C E C E D A D D E D C

UNIDAD: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1 2 3 4 5 6 7
E B C A D E E

UNIDAD: CUERPOS POLIEDROS – VOLUMEN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B C B D E A B D B C A A E B

UNIDAD: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

1 2 3 4
A B B D

UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A A E B C B D C D B A A B E A C

246

UNIDAD: TEOREMA DE THALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B C C A D D B A A D B

UNIDAD: ESTADÍSTICA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B A E B E D E D D A C D C A D E E E B E

21 22 23 24 25 26 27
C D D D E B C

UNIDAD: PROBABILIDAD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C D B A E D B D C A B C A A A D C B C E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
E B A E C B C E A B C E D A E B A

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A D A C B D D E C B D A E C D C A C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E D B A D C A E D E C E D C A D C D D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C E D B A C A C A C A B C D D E B C D B

61 62
B D

247

PRIMER AÑO MEDIO

• Eje Temático: Números y proporcionalidad
Contenidos Curriculares: Conjuntos numéricos - Potencias de base racional y exponente
entero - Regularidades numéricas
- Razones y proporciones – Porcentaje.

• Eje Temático: Álgebra y funciones
Contenidos Curriculares: Operatoria algebraica - Ecuaciones de primer grado.

• Eje Temático: Geometría
Contenidos Curriculares: Criterios de congruencia de triángulos - Transformaciones
isométricas – Teselaciones.

1. ( −2 ) 2 − ( −3) 2 − ( −4 ) 2 =
A) -25
B) -21
C) -3
D) 11
E) 29

2. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2 , 2 . 10-3 , 0,00002 , .... ¿Cuál es el
quinto término?
A) 2 • 10 −5
B) 2 • 10 −6
C) 2 • 10 −7
D) 2 • 10 −9
E) 2 • 10 −11

3. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T
= 2, entonces el valor de A es:
8
A)
9
9
B)
2
9
C)
4
8
D)
9
E) 9

248

4. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones permite(n) calcular “un número aumentado en su
25%”?
I. multiplicarlo por 5 y dividir el resultado por 4.
II. multiplicarlo por 1,25.
III. dividirlo por 0,8.
De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

5. ¿Qué porcentaje es 0,002 de 0,04?
A) 0,05%
B) 0,5%
C) 0,8%
D) 5%
E) 8%

6. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras necesita 49 fósforos
para ser construida?
A) la figura 23
B) la figura 24
C) la figura 25
D) la figura 99
E) la figura 100

7. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de las siguientes
magnitudes corresponde(n) a un número racional?
I. Su longitud o perímetro.
II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia.
III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

8. Si 0,002 • 10 x = 2.000; entonces x =
A) -7
B) -6
C) 5
D) 6
E) 7

249

2 8 + 2 10
9.
10
A) 27
B) 5 −18
C) 218 • 10-1
D) 236 • 10-1
E) 280 •10-1

10. Dada la sucesión: 2 • 21 , 3 •22 , 2 • 23 , 3 • 24 , 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre los
términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese orden?
3
A)
4
1
B)
4
4
C)
3
D) 3
E) 6

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. (0,2) −2 = 25
II. (0, 1 ) −2 = 81
III. (0,1 6 ) −2 = 36
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

4
12. Los de 0,008 escrito en notación científica es:
5
A) 64 • 10-4
B) 6,4 •10-3
C) 1 •10-2
D) 0,1 •10-1
E) 0,64 •10-2

250

13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una pizza. Sebastián
1 3
compró 260 gramos, Francisco de kg y Leonardo de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes
4 8
I. Sebastián compró menos que Francisco.
II. Leonardo compró más que Francisco.
III. Sebastián compró más que Leonardo.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.

14. (a – 2b)2 – (b – 2a)2 =
A) 5a2 – 3b2
B) 5a2 + 3b2
C) -3a2 – 3b2
D) 5a2 – 8ab + 3b2
E) -3a2 + 3b2

15. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar quince”, se expresa
mediante:
A) 2A – B = 15
B) 2A + 15 = B
C) 2A + B = 15
D) 2AB = 15
2A
E) = 15
B

16. Si x2 – y 2 = 2 y x+y = 4, entonces 2x – 2y =
A) 0,25
B) 0,5
C) 1
D) 2
E) 4

4a 2 − b 2
17. =
2 b − 4a
A) -a+b
B) -a-b
C) -4a-2b
−2a − b
D)
2
2a + b
E)
2

251

18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos
afirmar que el triángulo es:
A) equilátero.
B) isósceles no rectángulo.
C) isósceles rectángulo.
D) escaleno rectángulo.

19. Si (a - b)2 = 25 y a2+b2 = 9, entonces ab =
A) -17
B) -8
C) 2
D) 8
E) 17

1
20. Se define a * b = a + a + 1 , entonces 2 * 3 =
1
1+
b
A) 5
4
B)
7
7
C)
4
11
D)
4
5
E)
4

21. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la edad de Enrique
es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es el
doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de Enrique?
A) 11 años
B) 22 años
C) 33 años
D) 66 años
E) 77 años

22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes
expresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada?
I. ab – c2
II. a(b – c) + (a – c)c
III. (a – c)b + c(b – c)
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III

252

23. 32x • 22x =
A) 52x
B) 64x
C) 12x
D) 24x
E) 36x

24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2.
II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab.
III. El área de PQDF es 2a2 + ab
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

a−b  1
25. Se define : a ∇ b = , entonces − ∇( −3) =
a+b  3
1
A) −
3
5
B) −
4
4
C) −
5
4
D)
5
5
E)
4

a+1
26. Si a-1 + 1= 4 entonces =
a
A) 2
B) 4
C) 6
4
D)
3
6
E)
5

253

27. En un rectángulo de 42 cm de perímetro, el largo mide tres centímetros más que el
doble del ancho. ¿Cuál es su área?
A) 36 cm2
B) 42 cm2
C) 54 cm2
D) 90 cm2
E) 270 cm2

28. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en el cuadrado
EFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación?
A) (1,2)
B) (1,-2)
C) (2,1)
D) (2,-1)
E) (-2,1)

29. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el punto:
A) (3,-2)
B) (2,-3)
C) (-2,-3)
D) (3,2)
E) (-2,3)

30. Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que:
A) son congruentes por el criterio (L,L,L).
B) son congruentes por el criterio (L,A,L).
C) son congruentes por el criterio (A,L,A).
D) son congruentes por el criterio (L,L,A>).
E) no son congruentes necesariamente.

31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto (a,b), entonces a+b =
A) -5
B) -1
C) 1
D) 2
E) 5

254

32. Según los datos de la figura, el valor de α es:
A) 21º
B) 31,5º
C) 32º
D) 42º
E) Falta información.

33. Si el ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda en el vértice A,
entonces el punto B queda en el punto de coordenadas:
A) (3,1)
B) (-1,-3)
C) (-1,-2)
D) (0,-2)
E) (0,-3)

34. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si el ABC es isósceles
de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. ∆ CEA ≅ ∆ CFB.
II. ∆ SCE ≅ ∆ RCF.
III. ∆ CQE ≅ ∆ CPF.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con cuál(es) de ellas se
puede teselar (embaldosar) un plano?
A) sólo con I.
B) sólo con II.
C) sólo con III.
D) sólo con I y II.
E) sólo con I y III.

36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría?
I. Cuadrado.
II. Rectángulo.
III. Rombo.
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo I y II.
D) sólo II y III.
E) I, II y III.

255

37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + 2 cm. ¿Cuál es el área del
cuadrado?
A) 1 cm2
B) 2 cm2
C) 4 cm2
D) 8 cm2
E) 16 cm2

38. En la figura, AB = BC y ∆ ABC ≅ ∆ ABE ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
I. CE ⊥ AF
II. ∡ ACF ≅ ∡ AEF
III. ∡ CBE ≅ 2∡ CAE
A) sólo I.
B) sólo I y II.
C) sólo II y III.
D) sólo I y III.
E) I, II y III.

39. ¿Con cuál(es) de las siguientes figuras se puede teselar (embaldosar) un plano?
I. Rombos.
II. Romboides.
III. Triángulos escalenos.
A) sólo I.
B) sólo I y II.
C) sólo I y III.
D) sólo II y III.
E) I, II y III.

40. Si el punto A(-1,2) se refleja en torno a la recta x = 2, su imagen queda en el punto:
A) (3,2)
B) (4,2)
C) (5,2)
D) (1,2)
E) (6,2)

256

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D B E D B B D A A E B B E C C D D B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A E E E C B D E C E A D B E E D B E E C

257

SEGUNDO AÑO MEDIO

Eje Temático: Álgebra y funciones
Contenidos Curriculares: Funciones - Sistemas de ecuaciones - Operatoria con expresiones
algebraicas.
Contenidos Curriculares: Propiedades angulares en la circunferencia - Semejanza de
triángulos.
• Eje Temático: Estadística y probabilidades
Contenidos Curriculares: Sucesos equiprobables - Probabilidad de un evento - Regla de
Laplace - Regla de multiplicación de probabilidades - Probabilidad y frecuencia relativa.

1. Si f(x) = x2 – 3x, entonces f(-1) + f(2) =
A) -6
B) -2
C) 2
D) 4
E) 6

(a − b)x
2. Si f(x) = (a ≠ b), entonces f(a+b) =
a2 − b2
A) a+b
B) a - b
C) a2 – b2
D) a2 + b2
E) 1

3. Si x + y = 2, entonces x −1 + y −1 =
A) 2
1
B)
2
C) 2xy
2
D)
xy
xy
E)
2

4. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de ecuaciones: L1: (1+k)x – y = 2 ; L2: (1-k)x +
2y = 3 sean paralelas?
A) -3
B) 3
C) 2
D) 2
E) No existe tal valor de “k”

258

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que es perpendicular a
1
la recta de ecuación: y = - x + 3 y pasa por el punto (2,1)?
2
A) y - 1= 2(x - 1)
B) y - 1= -2(x - 2)
C) y - 2= 2(x - 1)
D) y - 1= 2(x - 2)
1
E) y - 1= (x - 2)
2

6. ¿Cuál debe ser el valor de K para que el sistema de ecuaciones:
2x - ky = 3
4x + 2y = 5 NO tenga solución?
A) -4
B) -2
C) -1
D) 1
E) 2

7. Si 2x – y = 3 y | x | = 2, entonces el o los valores posibles de y es(son):
I. 1
II. -7
III. 7
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) Ninguno de ellos.

8. Si x e y son números reales distintos de cero tales que x −1 + y −1 = 1 , entonces x+y =
A) 1
B) 2
C) x-y
D) xy
E) 1
x+y

9. Las rectas de ecuaciones: L1: 2x-y-m = 0 ; L2: px+2y+m = 0 se interceptan en el punto(2,-
2). Entonces m + p =
A) -5
B) -1
C) 5
D) 6
E) 7

259

10. Si |x| corresponde al valor absoluto de x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la función: y = -|x - 1|+1?
I. Pasa por el punto (-2,-2).
II. Intercepta al eje x en dos puntos.
III. Intercepta al eje y en el origen.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

2(a − b) + x( b − a )
11. Al simplificar la fracción algebraica: , resulta:
( a − b)( 2 − x )
A) 1
B) -1
1
C)
2−x

1
D)
a−b
E) a – b

2x 2y
12. Si x = y, entonces + =
x−y y−x
A) -2
B) 0
C) 2
1
D)
xy
−2( x + y )
E)
xy

13. Con respecto a la recta de ecuación: x+2y - 3= 0, se afirma que:
I. Pasa por el punto (3,0)
II. Intercepta a la recta de ecuación 2x - y-1= 0 en el punto (1,1).
III. Es perpendicular a la recta de ecuación 2x- y + 4= 0.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

260

14. Con respecto a las rectas L1 y L2 de la figura: Se afirma que:
−2
I. La ecuación de L1 es: y-1 = (x-2)
3
3
II. La ecuación de L2 es: y = x - 2
2
III. Las rectas son perpendiculares.
Es (son) correctas:
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

15. BCA es una semicircunferencia y ∡ ACO = 40º Entonces el ∡ABC mide:
A) 20°
B) 40°
C) 50°
D) 70°
E) 80°

16. En la figura: L1 // L2 y L1 ⊥ L3. Entonces x mide:
A) 1,5
B) 2,6
C) 3
D) 3,3
E) 4

17. En la figura: PT es un segmento tangente a la circunferencia que mide 6 cm. Si PA
mide 4 cm, entonces AB mide:
A) 2 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 9 cm
E) 13 cm

261

18. Si EB y AD son perpendiculares a AC y CE respectivamente. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. ∆ABF ~ ∆EDF.
II. ∆ABF ~ ∆EBC.
III. ∆ADC ~ ∆EBC.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

19. En la figura: L1//L2, entonces x =
A) 3
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12

20. En la figura: O es el centro de la circunferencia, entonces ∡ x:
A) 20º
B) 100º
C) 120º
D) 140º
E) 160º

21. En la figura, los triángulos ABC y ADE son rectángulos en B y D respectivamente.
Según los datos dados, BC mide
A) 6 cm
B) 8 cm
C) 9 cm
D) 10 cm
E) 12 cm

22. En la figura: L1//L2//L3 Si AC = 12; DF = 15 y FE = 3, Entonces AB mide:
A) 2,4
B) 4,8
C) 5,4
D) 6
E) 9,6

262

23. ABCD es un rectángulo y BE ⊥ AC , entonces BE =
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 4,8 cm
D) 2 2 cm
E) 2 5 cm

24. Según los datos dados en la figura, el ∡ x mide
A) 70°
B) 80°
C) 100°
D) 110°
E) 140°

25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto medio del lado AD,
entonces el área del ∆ AEM es:
a2
A)
18
a2
B)
12
a2
C)
9
a2
D)
6
a2
E)
4

26. O: centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ∡ χ?
A) 40º
B) 70º
C) 100º
D) 120º
E) 140º

27. En la figura “B” es punto de tangencia, “O” centro de la circunferencia. Entonces la
medida del ángulo x es:
A) 120°
B) 90°
C) 60°
D) 45°
E) 30°

263

28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que aparece sea un
múltiplo de tres?
1
A)
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
5
E)
6

29. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que NO
SALGA el color verde?
1
A)
3
5
B)
12
7
C)
12
2
D)
3
3
E)
4

30. Se tienen 10 fichas iguales numeradas del 0 al 9. Si se eligen 2 al azar, reponiendo la
primera, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 5?
A) 0,04
B) 0,05
C) 0,06
D) 0,2
E) 0,4

264

31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros 16 números
naturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 36?
7
A)
16
3
B)
8
1
C)
2
1
D)
4
9
E)
16

32. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color numerado del 1 al 10. ¿Cuál
es la probabilidad de extraer una bolita de color rojo o mayor que 5?

5
A)
20
10
B)
20
14
C)
20
15
D)
20
16
E)
20

33. La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares numerados del 1 al 4.
Si L1 y L2 son líneas que pasan por el centro, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I. La probabilidad de que salga un número impar es igual a la probabilidad de que
salga par.
II. La probabilidad de que salga el “1” es igual a la probabilidad de que salga un
“4”.
III. La probabilidad de que salga un número mayor que “1” es 0,75.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

265

34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello y en el
dado un número menor que 3?
1
A)
6
1
B)
3
1
C)
4
2
D)
3
1
E)
2

35. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la
probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:
1
A)
2
1
B)
5
2
C)
5
3
D)
5
1
E)
4

36. Al lanzar la ruleta de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
SIEMPRE verdadera(s)?
1
I. La probabilidad de que salga un número par es
4
1
II. La probabilidad de que salga el “1” es
5
1
III. La probabilidad de que salga el “4” es
6
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.

266

37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad de sacar una bolita
4
verde es , ¿cuántas bolitas rojas hay?
9
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16

38. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto de los puntajes.
¿Cuál es la probabilidad de que X > 20?
4
A)
36
5
B)
36
6
C)
36
7
D)
36
8
E)
36

39. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a optar solo por una
actividad extra programática. Si las tres cuartas partes de los estudiantes eligen practicar
deporte y una octava parte elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidad
de que al entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realiza
actividades extra programáticas?
1
A)
8
1
B)
4
5
C)
8
7
D)
8
3
E)
8

267

40. De 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger
uno defectuoso en 100 televisores?
1
A)
25
1
B)
50
1
C)
100
1
D)
20
2
E)
25

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C E D A D C C D C E A C E E C B C E C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B E C D B E E B C C C D A A C D D E A A

268

TERCER AÑO MEDIO

• Eje Temático: Álgebra y funciones
Contenidos Curriculares: Raíces cuadradas y cúbicas - Función cuadrática - Ecuaciones de
segundo grado - Intervalos en
los números reales - Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita
• Eje Temático: Estadística y probabilidades
Contenidos Curriculares: Variable aleatoria - Probabilidad y frecuencia relativa -
Probabilidad de eventos compuestos -
Probabilidad condicionada
Contenidos Curriculares: Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo - Teorema
de Euclides - Teorema de Pitágoras
- Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

1. 50 − 18 − 32 =
A) 0
B) - 8
C) 8
D) 18
E) 72

2. ¿Cuál es el vértice de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 4?
A) (3, 31)
B) (-3, 31)
C) (6, 4)
D) (3, -5)
E) (-6, 76)

3. Con respecto a las soluciones de la ecuación x2 – 2ax – 3a2 = 0, donde a ≠ 0, se afirma
que:
I. Una es el triple de la otra.
II. Tienen signos distintos.
III. Su suma es un número positivo.
¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y III.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.

269

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las funciones: f(x)=x2+2 y
g(x)=-x+1?

5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3, entonces p =
A) -6
B) -5
C) 5
D) 6
E) Falta información.

6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la siguiente?
A) y = -2x2 + 8x - 8
B) y = -x2 + 4x - 4
C) y = x2 - 4x + 4
D) y = -x2 - 4x + 4
E) y = -x2 - 4x - 4

7. Si a = 3 + 5 − 3 − 5 , entonces a2 =
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 2 5

2 2
8. − =
2 −1 2 +1
A) -4
B) -2
C) 1
D) 2
E) 4

270

9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto (2,3) entonces p + q =
A) -3
B) -2
C) 2
D) 5
E) 11

10. La solución del sistema de inecuaciones 2x – 3 < 5 es el intervalo
-x + 4 < 2
A) [2 , 4]
B) ]2 , 4[
C) ]2 , 4]
D) [2 , 4[
E) Ø

11. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x – 1 > 2
-2x + 1 > -1 ?
A) IR
B) IR – {1}
C) Ø
D) ]1, +∞]
E) [1, +∞[

12. A y B son dos eventos independientes. Si la probabilidad de que ocurra A es p y de que
ocurra B es q, ¿cuál es la probabilidad de que NO ocurran ambos eventos?
A) (1 - p) q
B) p (1 - q)
C) (1 - p) (1 - q)
D) pq
E) 1 - pq

3
x2
13. Si x≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes al cociente ?
x
1
I) 3
x
1
II ) x 3
III ) x
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo III.
D) Solo I y II.

271

14. Con respecto a la función cuadrática y = -x2 + 4x, se afirma que:
I. Intercepta al eje x en dos puntos.
II. Intercepta al eje y en el origen.
III. Su vértice es el punto (2,4)
¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)?
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y II.
D) Solo I y III.
E) I, II y III.

15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca cae fuera del disco,
entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga sobre el sector marcado
“rojo”?
8
A)
27
B) 1
1
C)
27
1
D)
3
1
E)
6

16. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas
oportunidades salga el color verde?
1
A)
3
1
B)
6
1
C)
9
1
D)
12
1
E)
144

272

17. Una persona contesta al azar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener sólo dos correctas?
1
A)
3
1
B)
4
1
C)
8
3
D)
8
1
E)
2

18. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga un
número mayor que 4?
1
A)
8
1
B)
9
2
C)
9
2
D)
3
1
E)
27

19. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos
resultantes sea 4?
2
A)
36
3
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
6
E)
36

273

20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos
resultantes sea 6?
4
A)
36
5
B)
36
6
C)
36
7
D)
36
12
E)
36

21. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la primera vez salga un
número mayor que 3 y la segunda vez salga un múltiplo de 3?
1
A)
36
3
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
6
E)
36

22. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos
sea menor o igual que 3?
1
A)
36
2
B)
36
3
C)
36
4
D)
36
5
E)
36

274

23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75% de las bolitas son
verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas blancas, reponiendo la primera?
1
A)
2
1
B)
8
1
C)
16
1
D)
25
16
E)
49

24. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen tres tarjetas,
reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la probabilidad de que las tarjetas
sumen 5?
A) 0,002
B) 0,003
C) 0,004
D) 0,006
E) 0,2

25. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar la flecha
dos veces, en ambas ocasiones salga el color verde?
4
A)
9
7
B)
9
8
C)
9
16
D)
81
49
E)
324

26. En el triángulo ABC de la figura, AE ⊥ BC y EF ⊥ AB . Si EC = 4 cm, EB = 2 cm y BF =
1 cm, entonces ¿cuál es el área del ABC?
A) 3 2 cm2
B) 6 2 cm2
C) 3 3 cm2
D) 6 3 cm2
E) 12 3 cm2

275

27. Si α es un ángulo agudo tal que sen α = 0,6, entonces tg α =
A) 0,75
B) 0,8
C) 1,25
D) 1,3
E) 1,6

28. En el ABC rectángulo en C de la figura, DB mide 5 cm más que AD y la altura CD
mide 6 cm, ¿cuál es el área del triángulo?
A) 6 cm2
B) 27 cm2
C) 39 cm2
D) 54 cm2
E) 78 cm2

29. Si tg α = 0,75, entonces cos α =
A) 0,4
B) 0,5
C) 0,6
D) 0,8
E) 4

30. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si CD = a, entonces ¿cuál(es) de las
I. AC = a 2
II. BC = 2a
III. DB = a 3
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y II.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.

276

31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total. En el 4º A hay 18
mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de mujeres entre los dos cursos es 25. Si se
eligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre
del 4ºA y el segundo sea una mujer del 4º B?
1
A)
35
12
B)
35
17
C)
50
5
D)
44
7
E)
250

I. sen 60° = cos 30°
II. sen 30° = sen2 45°
III. tg 30° > cos 60°
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo I y II.
D) Solo II y III.
E) I, II y III.

33. Según los datos dados, x + y =
A) 4,5
B) 8
C) 9,5
D) 10
E) 10,5

34. El ACB es rectángulo en C y CHBE es un rectángulo. Si AC = 6 cm y BC = 8 cm, ¿cuál
es el perímetro del rectángulo?
A) 16 cm
B) 16,8 cm
C) 22,4 cm
D) 30,4 cm
E) 46,08 cm

277

sen 30 º + cos 60 º
35. =
tg 30 º
A) 3
3
B)
2
3
C)
3
D) 3
E) 1

36. En un triángulo rectángulo, α es uno de los ángulos agudos tal que sen α = 0,6. Si la
hipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto mayor?
A) 9 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 13 cm
E) Falta información

37. Según los datos de la figura, x =
A) 2 2
B) 3 2
C) 2 6
D) 4 3
E) 18

38. En la figura, CD ⊥ AB , ∡ CBA = 20º y ∡BAD = 70º. Si AE = 2 cm y EB = 8 cm, entonces
AD =
A) 4 cm
B) 6 cm
C) 8 cm
D) 2 5 cm
E) 10 2 cm

39. En una superficie sintética la probabilidad de que un deportista resbale si la superficie
esté mojada es 0,8. Si la probabilidad de que la superficie esté mojada y que resbale el
deportista es 0,02, ¿cuál es la probabilidad de que la superficie esté mojada?
A) 0,025
B) 0,02
C) 0,25
D) 0,78
E) 0,8

278

40. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C y EFGD es un rectángulo. Si AE = 3
cm y ED = 4 cm, entonces BF =
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
16
D) cm
3
9
E) cm
4

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D B A C B A E E B C C D E C E D E B B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E C C D D D A C D E A E E C A C C D A D

279

CUARTO AÑO MEDIO

Eje Temático: Álgebra y funciones
Contenidos Curriculares: Logaritmos

Eje Temático: Geometría
Contenidos Curriculares: Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos generados por
traslación o rotación de figuras planas
- Rectas y planos en el espacio - Sistema cartesiano tridimensional

Eje Temático: Estadística y probabilidades
Contenidos Curriculares: Gráficos estadísticos - Estadígrafos de tendencia central

1. log25 5 =
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5

2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I. log4 2 = 0,5
II. log8 16 = 1,3
III. log 0,01 = -1
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

3. ( 2 x + 2 x ) 2 =
A) 4 x
B) 4 x + 1
C) 2 x + 1
D) 2 4 x
E) 2 8 x

4. log 8 + log 2 =
A) 0
B) 1
C) 4
D) 3 log 2
E) 4 log 2

280

5. Si 2 x = p, entonces 4 − x =
A) 2p
B) p-2
C) 4p
D) p-4
E) p4
1
6. El conjunto de las soluciones de la ecuación (0 ,25) x − 1 = es:
1− x 2
2
A) {-3}
B) {1}
C) {3}
D) {1,3}
E) {-3,1}

7. Si 3 x = 9 - y y 2 x + y = 0,125, entonces y – x =
A) 3-3
B) 3-2
C) 1
D) 3
E) 32

8. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica: log x = log (x+18) – log
(10 – x)?
A) {-6}
B) {-3}
C) {3}
D) {6}
E) {3,6}

9. Si 2 x + 2 x = 0,25, entonces x =
A) -4
B) -3
C) -2
D) -1
E) 1

10. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. x = 3 y 2
II. y = x x
III. 3 log x = 2 log y
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

281

11. El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log (x+6) = 2 log x es:
A) {3}
B) {-2}
C) {2}
D) {3,-2}
E) Ø

12. La solución de la ecuación: 2 x + 2 x = 2 −1 es x =
A) -4
B) -3
C) -2
D) -1
1
E) -
2

13. Sea la función f definida por f(x) = 3 x – 1. Si f(a) = 1, entonces a =
A) log2 3
B) log3 2
C) log 2 – log 3
D) log 3 – log 2
E) 0

14. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el segundo y su
radio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los volúmenes de ambos cilindros?
A) 1: 1
B) 1: 2
C) 1: 3
D) 1: 4
E) 1: 6

15. La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la esfera es 36 π cm3,
¿cuál es el volumen del cilindro?
A) 9 π cm3
B) 18 π cm3
C) 27 π cm3
D) 54 π cm3
E) 432 π cm3

16. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los vértices B y D son (3, 4,0)
y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide la diagonal AD del paralelepípedo?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 13
E) 17

282

17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta
L?
A) 10 π cm3
B) 11 π cm3
C) 12 π cm3
D) 16 π cm3
E) 17 π cm3

18. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el triángulo de la figura en
torno al cateto AB?
A) 4,5 π 3 cm3
B) 9 π 3 cm3
C) 12 π 3 cm3
D) 18 π 3 cm3
E) 36 π 3 cm3

19. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano horizontal. Si este
triángulo se traslada en dirección vertical “b” cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo
generado?
a2 b 3
A) cm 3
2
a2b 3
B) cm 3
4
a2b 3
C) cm 3
3
a2 b 3
D) cm 3
12
a2b 3
E) cm 3
6

20. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio 3 cm, tangente al lado
CD. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en
torno al lado AB?
A) 18 π cm3
B) 24 π cm3
C) 27 π cm3
D) 36 π cm3
E) 64 π cm3

283

21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado BC. ¿Cuál(es) de las siguientes
I. tg α= 2.
II. tg β= 0,5.
III. γ= α+β .
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

22. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y DC es una semicircunferencia. Si M y N son los
puntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al
hacer girar la figura sombreada en torno a la recta MN?
A) 6 π cm3
B) 9 π cm3
C) 12 π cm3
D) 24 π cm3
E) 36 π cm3

23. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la figura?
A) 13 3 cm
B) 18 3 cm
C) 11 + 2 3 cm
D) 16 + 2 3 cm
E) 22 + 2 3 cm

24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ; B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuál
es su área?
A) 2 3
B) 4 3
C) 8 3
D) 12 2
E) 16

284

25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo que se genera al girar la figura sombreada en torno al lado AD?

5
A) π
3
17
B) π
3
32
C) π
3
35
D) π
3
71
E) π
6

26. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son las
coordenadas del punto A?
A) (1 , 2, 3)
B) (2 , 1 ,3)
C) (1 , 3 , 2)
D) (2 , 3 , 1)
E) (3 , 2 , 1)

27. Se ha efectuado un estudio de precios de un artículo. Para ello se ha consultado en seis
supermercados, obteniendo los siguientes valores: $ 320 ; $ 350 ; $ 348 ; $ 332 ; $ 350 ; $ 327.
¿Cuál es la mediana de estos datos?
A) $ 335
B) $ 338
C) $ 340
D) $ 349
E) $ 350

28. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que se muestran en la
siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de estos datos?

A) 2 Número Frecuencia
B) 3 1 2
C) 3,5 2 3
D) 4 3 5
E) 5 4 4
5 2
6 3

285

29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las siguientes
I. Su mediana es 5 años.
II. Su media es 8 años.
III. Su moda es 12 años.
A) Sólo I.
B) Sólo I y II.
C) Sólo II y III.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.

30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de un curso electivo
de Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas?
A) 5,0
B) 5,5
C) 6,0
D) 6,5
E) 7,0

31. Si la media entre a, b y c es p, ¿cuál es la media entre a-2, b-2 y c-2?
A) p-6
B) p-3
C) p-2
D) p
E) p+2

32. El menor de 5 números consecutivos es “a”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
I. La media es a+2.
II. La mediana es igual a la media.
III. La moda es 1.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.

286

33. Un curso tiene 40 alumnos y la distribución por edad y sexo se muestra en la siguiente
tabla:
Si se elige un(a) alumno(a) al azar de este Hombres Mujeres Total
curso, se puede afirmar que: ≤ 15 años 16
> 15 años 22
18

18
I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es .
40
22
II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es
40
24
III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de 15 años es
40
Es(son) correcta(s):
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

34. Las estaturas de 8 alumnos seleccionados para representar a un Colegio en un
interescolar son las siguientes: (en cm) 170 ; 172 ; 173 ; 171 ; 170 ; 172 ; 173 ; 170
¿Cuál es la mediana de estas estaturas?
A) 170,5
B) 171
C) 171,5
D) 172
E) 175

35. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica Pedro durante una
semana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes para que la media de estudio diario
durante esa semana sea de dos horas?
A) 0
B) 0,5
C) 1
D) 1,5
E) 2

287

36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para realizar un estudio
acerca del tiempo en el cual permanecen estacionados. Los resultados se ilustran en la
siguiente tabla:
¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos? Tiempo (en Frecuencia
A) [0 , 1) horas)
B) [1 , 2) [0,1) 14
C) [2 , 3) [1,2) 10
D) [3 , 4) [2,3) 6
E) [4 , 5) [3,4) 3
[4,5) 1

37. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2 Kg. Elige 30 bolsas al
azar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de naranjas que contiene, obteniendo lo
siguiente:
¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra? Unds. Frecuencia
A) 10,87 9 4
B) 11 10 6
C) 11,2 11 6
D) 11,5 12 8
E) 12 13 6

38. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres cuartos medios de un
establecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo masculino.
II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B.
III. La media de alumnos(as) por curso es 30.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y III.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.

39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8 años, ¿cuál es la
mediana?
A) 6 años
B) 8 años
C) 10 años
D) 14 años
E) Falta información

288

40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis meses seguidos en
una casa de cambio fue el siguiente: $510; $515; $512; $508; $508; $519.
¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos?
A) $512 y $508.
B) $511 y $508
C) $511 y $519
D) $512 y $519
E) $512 y $508

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E C B E B E E E B E A C B B D D B B B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C E D C E D C B C C C C E C C B C C B B

289

FACSIMIL 1

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

0 ,002 − 0 ,05
1. =
0 ,018 − 0 ,002
3
A) −
16
B ) − 0 ,3
C) − 3
30
D) −
16
E ) Otro Valor

2. Dados los decimales 0,15 ; 0,149 ; 0,2 ; 0,1437 ; 0,07 ; al sumar el menor con el mayor se
obtiene:
A) 0,2137
B) 0,27
C) 0,2927
D) 0,299
E) 0,7127

3 4 5 6 7
3. Si los 5 primeros términos de una secuencia son: , , , , ,........ ¿cuál es el
2 4 6 8 10
término que ocupa la posición n-esima?

3+n
A)
n2
n+1
B)
n+2
n
C)
2n
2n
D)
n+2
n+2
E)
2n

4. La distancia de la Tierra a la Luna es de 386.000 Km. Ésta es, aproximadamente, cinco
milésimas de la distancia de la Tierra a Marte. ¿Cuál es la distancia aproximada de la
Tierra a Marte?
A) 1,93 x 102 Km
B) 1,93 x 105 Km
C) 772.000 Km
D) 77,2 — 10−2 Km
E) 77,2 — 106 Km

290

5. El valor de (0,25−2 − 5)2 es:
A) 9
B) 22
C) 50
D) 81
E) 121

6. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa
2
se ocupa la cuarta parte de los hombres y en la segunda los del resto. ¿Cuántos
3
hombres trabajan en la tercera etapa?
A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa.
B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa.
C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa.
D) Un tercio del total.
E) La mitad del total.

9 1
7. Los de 33 es igual a de:
11 10
A) 0,27
B) 2,7
C) 27
D) 270

8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre es posible afirmar
que:
I) a2 + b2 es un número real positivo
II) (a + b)2 es un número real positivo
III) (a + b)(a − b) es un número real positivo
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III

9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la edad de Marcela. El
promedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué edad tiene Raúl?
A) 36 años
B) 24 años
C) 18 años
D) 12 años
E) 9 años

291

10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta $ 30.000 más que A.
Además, verifica que si a B se le descuenta el 10%, ambas quedarán con el mismo valor.
¿Cuál será el valor de la mercancía B?
A) $ 300.000
B) $ 270.000
C) $ 99.000
D) $ 33.333
E) $ 30.000

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES

11. Si 89xy – 99 = 98xy , entonces xy = ?
A) –11
B) –9
C) 9
D) 11
E) 89

12. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume en partes iguales por
el total de los b alumnos del curso, pero a última hora desistieron del viaje c alumnos.
¿Cuál es el valor de la nueva cuota que deben cancelar los que realizan el viaje?
A) a
B) a (b − c)
a
C)
b−c
a
D)
b+c
a
E) − c
b

13. Con el 70% del perímetro de un cuadrado se construye un triángulo equilátero de 14
cm de lado. ¿Cuál es el área del cuadrado?
A) 25 cm2
B) 100 cm2
C) 225 cm2
D) 360 cm2
E) 400 cm2

14. En la expresión: xk − 2 = 3x , ¿para qué valor de k ocurre que no existe el valor de x?
A) 2
B) −2
C) −3
D) 3
E) 0

292

a b
15. Si a + b + c = 90 y = = c entonces el valor de c es:
2 2
A) 72
B) 36
C) 18
D) 12
E) 9

16. La expresión: “La mitad del cuadrado de 3a es equivalente al cuadrado de la mitad de
a”. Corresponde a:
2
3a 2  a 
A) = 
2 2
2
 3a  a2
B)   =
 2  2
2
( 3a ) 2  a 
C) = 
2 2
2
3a a2
D) =
2 2
E) Otra expresión

17. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta tiene b años y Sonia
tiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea?
A) 2a
B) 2b
C) a + 2b
D) 2a + b
E) 2a + 2b

18. Si al cuadrado de (x − 3) le restamos el triple de (3 − x) resulta:
A) x2 + 3x
B) x2 + 9x
C) x2 - 9x
D) x2 - 3x + 18
E) x2 - 3x

19. Si 2a − 3b = 8 y 3m + 2n = 18 , entonces 2 (a + 2n) + 3 (2m − b) = ?
A) 26
B) 34
C) 36
D) 44

293

20. Si x - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ?
A) 1
B) 19
C) 16
D) 253
E) 256

a 1
21. Sea = x + . ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre verdadera(s)?
b y
I) b = ay − bx
a−1
II) x =
b−y
a 1
III) = b +
x y
A) Sólo I
B) I y II
C) Sólo III
D) II y III
E) Ninguna

22. Si a + b = 25 ; entonces a2 + b2 = ?
ab = -150

A) 1.225
B) 925
C) 625
D) 325

23. Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) =?
A) −1
B) −6
C) 15
D) 26

24. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) =?
A) 8
B) 4
C) 3
D) 2

294

25. Si el punto P (4, 3) pertenece a la recta de ecuación x - 2py - 5 = 3 y además satisface la
ecuación de la recta qx + 1 - 2y = 3, entonces los valores de p y q son, respectivamente:
2
A) y 2
3
2
B) 2 y
3
2
C) − y − 2
3
2
D) − 2 y −
3
2
E) − y 2
3

26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la
figura?
A) y = x − 1
B) y = x − 1
C) y = x − 2
D) y = x − 1 − 1
E) y = x − 1 − 1

27. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x
− 1 < 5?

5 n + 8 + 5 n +9
28. =?
5 n + 9 + 5 n + 10
A) 5
B) 1
1
C)
5
D) 0

295

2 1
29. − =?
2 +1 2 −1
A) 2
B) 2
C) 2 - 1
D) 2 - 2
E) 2 - 3

a+b−c
30. Si 540 = 2a •—3b • 5c, entonces =?
2
A) 1
B) 2
C) 0
1
D)
2
E) 4

31. Si log x = a y log y = b , entonces log 3 xy = ?
A) 3a + 3b
B) 3ab
a b
C) +
3 3
1
D) ab
3
E) 3 3 a + b

1
 1  50
32. Un elemento radiactivo se desintegra de acuerdo a la relación M = M0 •   , donde
5
M0 es la cantidad inicial del elemento y M es la cantidad que queda de él después de
transcurridos los t años. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que una muestra de 400
gr de este elemento se reduzca en un 80%?
50 log 5 − log 4
A)
log 5
1
B ) 50 log
5
C ) 50
50(log 4 − log 5)
D)
log 5
E) Ninguna de las Anteriores

296

33. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es igual al semiproducto
de ellas, entonces:
A) r - p = 0
B) p = r
C) r + 2q = 0
D) r - 2q = 0
E) - 2q = pr

34. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f (x) = a (x − h)2+ k .
Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente:
A) 1 ; -8 ; 15
B) 1 ; 8 ; 15
C) 1 ; 4 ; -1
D) -1 ; 4 ; -1
E) -1 ; -4 ; -1

35. Una ameba, en condiciones de laboratorio, se duplica cada 3 minutos. Al cabo de 30
minutos de transcurrido un experimento se cuentan 210 amebas. ¿Con cuántos ejemplares
se inició éste?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 12

III. GEOMETRÍA

36. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le aplica una reflexión
con respecto al eje Y, y posteriormente una reflexión con respecto a la recta y = x.
¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante?
A) (1, −1)
B) (1, 1)
C) (−1, 1)
D) (−1, −1)
E) (0, −1)

297

37. Al ∆ ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica una rotación en 90º con
respecto al origen del sistema cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’, imágenes
de A y B respectivamente?
A) (−2, 0) y (1, 0)
B) (0, −2) y (0, 1)
C) (−2, 0) y (0, 1)
D) (0, −2) y (1, 0)
E) (−2, 0) y (1, 1)

38. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de P al
rotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º en sentido horario (figura)?
A) ( 2, −3) ; ( 3, −2) ; (−2, 3)
B) ( 2, −3) ; (−3, −2) ; (−2, 3)
C) ( 2, −3) ; (−2, −3) ; (−2, 3)
D) ( 3, −2) ; (−3, −2) ; (−3, 2)
E) (−2, 3) ; (−2, −3) ; ( 3, −2)

39. En la figura, ABCD es un paralelogramo. ¿Cuál(es) de la(s) afirmaciones siguientes
I) ∡1 + ∡2 +∡ 4 = 180º
II) ∡1 + ∡2 = ∡3
III) ∡1 + ∡2 = ∡3 + ∡5
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) Sólo III
E) Todas

40. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3 rombos congruentes
cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?
A) 20 cm
B) 40 cm
C) 60 cm
D) 80 cm
E) 100 cm

298

41. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie de la región circular
que tiene por radio la diagonal del cuadrado es:
πa 2
A)
2
B ) πa 2
3πa 2
C)
2
D ) 2 πa 2
E ) 4 πa 2

42. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del triángulo CDE?
1
A)
6
1
B)
3
1
C)
4
2
D)
3

43. En la figura se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero EFG. Si AD = 4 cm y
FG = 12 cm, entonces el perímetro del sector sombreado es:
A) 52 cm
 8 
B)  52 − 3  cm
 3 
 16 
C)  52 + 3  cm
 3 
 3
D)  13 −

 cm
 3 


44. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, los arcos AD y DC son
congruentes y Arco DA = 2 Arco BC. ¿Cuál es el valor del ∡ DEC?
A) 36º
B) 54º
C) 72º
D) 108º
E) 120º

299

45. En la figura, ABC equilátero, CE = EB y CD : DA = 2 : 1. ¿En qué razón están las áreas
del cuadrilátero ABED y el triángulo ABC?
A) 3 : 4
B) 2 : 3
C) 3 : 5
D) 4 : 5
E) Ninguna de las anteriores.

46. Dos triángulos son semejantes si tienen:
I) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
II) los tres lados proporcionales.
III) sus tres ángulos congruentes.
De las afirmaciones anteriores, es (son) siempre verdadera(s):
A) Sólo I
B) I y III
C) I y II
D) II y III
E) I, II, III

47. En la figura, PR = 5 cm y RQ = 12 cm. El ∆ PQR es rectángulo en R y RS ⊥ PQ .
Entonces, PS : SQ =?
5
A)
12
12
B)
5
25
C)
144
144
D)
25
E) Otro Valor

48. En el ABC de la figura, se tiene que AC = t, DE = u, AD = p, DB = q, BE = r y CE = s.
Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I) AB = p + q
II) CE = p + q - r
tq
III) CB =
u
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III

300

49. En la figura, O es el centro de la circunferencia, PQ = 2 RQ y Arco RS ≅ Arco SQ.
Entonces, el ∡ SOR mide:
A) 75º
B) 60º
C) 45º
D) 30º
E) 15º

50. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente a ella y una
secante que pase por su centro, entonces ¿cuál es el radio de la circunferencia si el
segmento exterior de la secante mide 8 cm y la tangente mide 12 cm?
A) 18 cm
B) 10 cm
C) 9 cm
D) 5 cm

51. De acuerdo a los datos de la figura, la longitud de
BC es:
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 9 cm
D) 5 3 cm
E) 3 5 cm

3
52. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, CD ⊥ AB y BC = 17 cm. Si tg α = , entonces
5
AD =?
25
A) 2 cm
6
25
B) cm
6
25
C) 3 cm
6
25
D) 3 cm
3

301

53. Con los datos de la figura, ¿cuál es el valor de sen2α + cos2α?
2m 2
A)
p2
m2 + n2
B)
p2
(m + n ) 2
C)
p2
m2 + n2
D)
2p 2
E) 1

54. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de 1.000 litros de
capacidad. Para ello determinó que la arista debía medir un metro de longitud. Cuando
terminó la construcción, notó que las aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es la
diferencia, en cc, de la capacidad del estanque que construyó?
A) 8
B) 404
C) 800
D) 61.208
E) Otro Valor

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

55. Una caja contiene 10 fi chas de igual peso y tamaño. Cada fi cha tiene grabada una letra
de la palabra LITERATURA. Si se escoge una fi cha al azar, ¿cuál es la probabilidad de
escoger una vocal?

1
A)
10
4
B)
10
5
C)
10
6
D)
10
7
E)
10

302

56. Si la probabilidad de un suceso es 0,001, entonces ¿cuál es la afirmación más adecuada?
A) Este suceso jamás ocurre.
B) Ese suceso siempre ocurre.
C) El suceso ocurre con mucha frecuencia.
D) Ese evento ocurre rara vez.
E) El suceso es seguro.

57. Un dado es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo
lanzamiento se obtenga un número par?

1
A)
2
B) 1
1
C)
12
1
D)
3
1
E)
6

58. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Los sucesos posibles son 36.
II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero.
2
III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es .
9
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Todas son verdaderas
E) Ninguna es verdadera

59. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se sacan 2 bolitas al azar
y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas se obtenga un número par?
1
A)
5
1
B)
4
2
C)
9
1
D)
10
1
E)
2

303

60. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU fueron los
siguientes:
450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675
782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690
Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:
A) 600,0
B) 612,8
C) 615,8
D) 616,2
E) 622,8

61. En la tabla Nº 1 se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces,
al sumar la media con la moda de la distribución se obtiene:

A) 3,1
B) 3,3 x 1 2 3 4 5 6 7
C) 5,12 f 1 7 4 3 5 4 1
D) 5,8

62. La tabla Nº 2 muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de Inglés. De
acuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota promedio del curso?
Nota Nº alumnos
A) 5,0
2 5
B) 4,5
3 5
C) 4,0
4 5
D) 3,5
5 5
E) 3,0

63. De acuerdo a la información de la tabla Nº 2 es correcto afirmar que:
A) la moda es 5
B) la mediana es 5
C) el promedio y la mediana son iguales
D) el promedio es mayor que la mediana
E) el promedio es menor que la mediana

304

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70

afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la
tarjeta de las respuestas la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;
pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para
responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

64. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y el resto chilenos.
¿Cuántas chilenas viajan?
(1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número de mujeres.
(2) Del total de pasajeros, los son hombres.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

65. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular?
(1) El cerco que lo rodea mide 500 metros.
(2) Los lados están en razón 2 : 3.

305

66. En la figura, EOA = 135º ¿Cuánto mide el ∡ AOB?
(1) Arco AB : Arco BC : Arco CD :Arco DE = 1 : 2 : 4 : 8
(2) EOB = 150º

67. Sean α y β ángulos. ¿En qué razón están sus suplementos?
(1) α + β= 90º
(2) α:β = 1 : 2

68. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál es el valor de BC?
(1) ABCD trapecio isósceles de base AB igual a 5 cm de longitud.
3
(2) DC = AB
5

69. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados, ¿cuál será el área sombreada?
(1) El área total es 100 cm2.
(2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie.

70. ¿Cuál es el promedio de edad en un curso mixto?
(1) La edad promedio de las niñas es 17 años.
(2) La edad promedio de los varones es 18 años.

306

PAUTA FACSIMIL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B E E E A D A D A A C C D C C E E D D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E B B A E D D C E B C C C C A A C B C C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
D C B A B E C E D D E A A D C D A D C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
D D C C C D C E D E

307

ENSAYO Nº 2

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para
responderla.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante
el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a
escala.

4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

< es menor que ≅ es congruente con

> es mayor que ∼ es semejante con

≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a

≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de

ángulo recto // es paralelo a

∠ ángulo AB trazo AB

log logaritmo en base 10 ∈ pertenece a

φ conjunto vacío | x| valor absoluto de x

[x] función parte entera de x

308

1. 12 : 2(-5 + 8) – 7 =

A) -31
B) -17
C) -12
D) -5
E) 11

2. Cuando un entero positivo n es dividido por 9 el resto es 7. ¿Cuál es el resto
cuando 5n es dividido por 9?

A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4

3. Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por

A) 10
B) 12
C) 15
D) 20
E) 32

4. Se tienen dos cajas A y B. la caja A contiene 4 fichas negras y 1 blanca; la caja B
contiene 4 fichas negras y 3 blancas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que
deben ser removidas de la caja A a la caja B para que la razón de fichas blancas y
fichas negras sea la misma en ambas cajas?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

2
5. Si x es el 66 % de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x?
3

1
A) 33 %
3
B) 75%
1
C) 133 %
3
D) 150%
2
E) 166 %
3

309

6. 48 + 12 + 3 =

A) 63
B) 7 3
C) 20 3
D) 4 15 + 3
E) 30 + 3

7. Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo muestra la figura.
¿Cuál de las siguientes opciones podría ser verdadera?

A) R—S=P P R S T
B) P—R=T -1 0 1
C) R—S=T
D) R—T=P
E) P—T=S

8. En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5)(5, 12, 13)(7, 24, 25)(9, 40,
41)…, la suma de los números que forman el séptimo trío es

A) 132
B) 182
C) 240
D) 306
E) 312

km
9. Manejando a un promedio de 48 , Juan llega a su destino exactamente en 2
h
horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta, demora exactamente 2 horas en
regresar. ¿Cuál fue el promedio de su regreso?

km
A) 50
h
km
B) 54
h
km
C) 55
h
km
D) 60
h
km
E) 64
h

310

10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 — 20 — b + c2, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a>b>c
B) b>a>c
C) c>a>b
D) a=b>c
E) a=b=c

11. (-a + b)2 =

A) –(a – b)2
B) (a – b)2
C) (a + b)2
D) –(a + b)2
E) (-a – b)2

12. Si x2 = 7, ¿cuál es el valor de (x + 1)(x – 1)?

A) 6
B) 8
C) 48
D) 50

13. Si los trinomios 9x2 + ax + 4 y x2 – 5x + b son cuadrados perfectos, entonces el
mayor valor de a + 4b es

A) 12
B) 13
C) 31
D) 37
E) 49

14. Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 =

A) 6
B) 9
C) 11
D) 20
E) 26

311

15. Sean a y b números enteros distintos de cero y a ≠ b. Si ab = m[(a + b)2 – (a – b)2],
entonces m =

A) -3ab
B) ab
C) 0
1
D)
4
E) 4

x2 − 2x − 7 -1
16. Si =x+2– , entonces A =
A A

A) x+4
B) x–4
C) x+3
D) x–3
E) x+2

a2bc + ab2c + abc2
17. Si abc ≠ 0, entonces =
abc
A) a+b+c
B) a + b + abc2
C) a 3b 3c 3
D) 3abc
E) 2abc

18. Si 2(2t – 2) = 1, entonces (t – 1)-1 es igual

A) 4
1
B)
2
1
C)
4
1
D) -
2
E) -4

19. Si la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es x + 2 y la
longitud de la hipotenusa es x + 3 donde x > -2, ¿cuál es la longitud del otro cateto?

A) x
B) x+1
C) x+ 5
D) x+5
E) 2x + 5

312

2
20. Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en del tiempo que tomará
3
para finalizar la segunda mitad. Si el examen completo lo rindió en 1 hora, ¿en
cuántos minutos realizó la primera mitad del examen?

A) 20
B) 24
C) 27
D) 36
E) 40

21. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2) y B(3, -3)?

A) -1
1
B) -
3
C) 0
1
D)
3
E) 1

22. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y (-4, 3), entonces a – b
=

A) -1
1
B) -
3
1
C)
3
2
D)
3
E) 1

 x − 5
23. Si f   = x – 1, entonces f(3) =
1 − x 

A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2

313

24. Sea f(x) = 2x – 5. Si g(x – 2) = f(x + 2), entonces g(-2) =

A) -9
B) -2
C) -1
D) 0
E) 2

y
25. Sea x y definida como x2 + para todo x e y. Si 3 4=5 m, ¿cuál es el valor
2
de m?

A) -28
B) -7
12
C)
5
D) 6
E) 60

26. Sea f(x) = 3x + 2. Si f(2m + 1) = f(m + 2) – 5, entonces m =

2
A)
3
1
B)
3
1
C) -
4
1
D) -
3
2
E) -
3

27. Si 3y = x + 1 y 4y + x = 13, ¿cuál es el valor de y?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

314

28. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = x + 2, en sentido horario y con centro (0,0), se
obtiene

A) y B) y C) y

2 -2 x 2

-2
2 x 2 x

D) y E) y

-2 x
-2 x

-2
-2

29. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector (-3, -2), entonces el
nuevo gráfico queda mejor representado por

A) y B) y C) y

-3 x
-2
-3 x
-2
-3 x

y y

D) E)
9
9 x
-2

-2 x

315

30. Si la ecuación x2 – 4x + 1 = 0 se escribe de la forma (x + a)2 = b, entonces ¿cuál de las
siguientes opciones es verdadera?

A) a = 3, b = 2
B) a = 3, b = -2
C) a = 2, b = 3
D) a = -2, b = 3
E) a=b=3

1 2
31. Una solución o raíz de la ecuación +1= es
x2 x
A) 1
1
B)
2
1
C) -
2
D) -1
E) -2

32. ¿Cuál es el punto de intersección entre la parábola y = -x2 + 2x – 3 y la recta x = -1?

A) (1,-2)
B) (-1,-4)
C) (1,-6)
D) (-1,-6)
E) (-1,0)

33. Si 2x – 3 = 3y + 1 = 1, entonces (x + y)(x – y) =

A) 0
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16

3
3 ⋅ 2
34. =
6
3

3
A) 2
6
B) 2
3 2
C)
3
6
D) 18
6
E) 24

316

6
35. =
6 2 − 6

A) 2
B) 2 +1
C) 2 –1
D) 1– 2
2
E)
2

36. La gráfica lR se puede expresar como
-5 -1 6 12

A) ]-5-1] ∩ [6,12[
B) [-5,-1[ ∪ [6,12]
C) [-5,-1[ ∪ ]6,12]
D) [-5,-1 [ ∩ ]6,12]
E) [-5,12]
x+5 x − 3
≥
37. El conjunto solución del sistema 3 2 es
5(x − 1) ≥ 10

A) ∅
B) [3, +∞[
C) [19, +∞[
D) [3, 19]
E) ]-∞, 19]

38. En el ∆ABC de la figura, si AE y CD son bisectrices de los ángulos A y C,
respectivamente, entonces ∡ CDB =
C
A) 90º
E
B) 85º
C) 80º
D) 75º
20º 50º
E) 70º A D B

317

39. En la figura, la expresión que representa el área del ∆EFD inscrito en el rectángulo
ABCD es

D 12 C
A) 21 + 6x
B) 21 + 18x 6
C) 123 + 6x
F
D) 123 + 18x x
E) 21 – 6x
A 5 E B

1
40. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 53 cm y PBQR es un cuadrado de
2
1
lado 46 cm. ¿Cuál es el área de la región achurada?
2

D C
A) 7 cm2
49
B) cm2 R
4 Q
81
C) cm2
4
693
D) cm2 A P B
4
E) 700 cm2

41. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes en B. Si
AC = AB + BC , ¿cuál es la medida del ∡ ACD?

A) 20º 20º
B) 30º A C
O B O’
C) 45º
D) 50º D
E) 70º

42. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del lado del
cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada del sexto cuadrado?

A) 1+ 2
B) 1+2 2
C) 2+ 2 32
D) 1– 2

318

E) 1–2 2

43. En la circunferencia de la figura, Arco AB = Arco BC = 60º. Entonces, ∡x +∡ y =

A) 120º
B) 100º x
C) 90º A
D) 80º y
E) 60º
B C

44. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la quinta figura de la
sucesión debería ser

A)

B)

C)

D)

E)

319

45. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura con respecto a
la recta L?
L

A) B) C)

D) E)

46. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores están en la razón
de 2 : 3 : 5 : 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas del mayor y menor de los
ángulos?

A) 112,5º
B) 90º
C) 67,5º
D) 45º
E) 13,5º

47. En el círculo de centro O de la figura, si el área del ∆AOB es 25, ¿cuál es el área del
círculo?

A
A) 25π
B) 25π 2
C) 50π B
D) 50π 3 O
E) 625π

320

48. En la figura, AB = 4 cm, AC = 3 cm, DB = 5 cm y DE = 3 cm. ¿Cuál es el perímetro
del cuadrilátero ABDC?
D

A) (20 + 10 ) cm
B) (17 + 10 ) cm C
C) (15 + 10 ) cm E
D) (12 + 10 ) cm
E) (12 + 2 10 ) cm
A B

49. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son números enteros y de
perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo
60?

A) 120
B) 144
C) 240
D) 360
E) 480

50. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados de área 25 cada
uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original?

A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50

51. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ∆ABE es equilátero. ¿Qué parte del área del
cuadrado ABCD es el área de la región achurada?
D C
A) 2 3 E
B) 6 3
3
C)
12
3 3
D) A 3 B
4
3
E)
6

321

52. ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles ABCD de la figura, si DE = 3, AB = 12
y CD = 6?
D C
A) 21
B) 24
C) 18 + 4 2
D) 18 + 6 2
E) 24 + 6 2 A E B

53. La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la longitud de otro
lado. Si las longitudes de los tres lados son números enteros, ¿cuál es el mínimo
perímetro posible del triángulo?

A) 25
B) 21
C) 13
D) 10
E) 5

54. En la figura, la región achurada es un cuadrado de área 3, y el ∆ABC es equilátero.
¿Cuál es el perímetro del ∆ABC?
C

A) 3 3
B) 6 3
C) 2+ 3
D) 3+6 3
E) 6+3 3 A B

55. El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál es el área de otro
a
hexágono regular de lado ?
3

A) 12 cm2
B) 6 cm2
C) 3 cm2
D) 2 cm2
E) 1 cm2

322

56. En la figura, ∆ADC ∼ ∆BDC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es
(son) verdadera(s)?

I) ∡ DCB = 2∡ABC
C
II) ∡ ADC = ∡ CDB
III) CD ⊥ AB

A) Sólo I 30º
B) Sólo II A D B
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

57. En una caja A hay 5 ampolletas de 75 w y 3 de 100 w; en otra caja B hay 4
ampolletas de 100 w y 6 de 75 w. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una
ampolleta al azar, de cada caja, ambas sean de 75 w?

1
A)
8
3
B)
16
3
C)
8
1
D)
2
3
E)
4

58. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12, ¿cuál es la media
aritmética de 2 y x?

A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2

323

59. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál
es la probabilidad que sea impar y divisor de 18?

3
A)
40
1
B)
10
3
C)
20
1
D)
5

60. Si un matrimonio desea tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que salga, a lo
menos, una mujer?

3
A)
8
1
B)
4
7
C)
8
1
D)
2
5
E)
8

61. Si el promedio (media aritmética) de 3 enteros positivos y distintos es 4, ¿cuál es el
mayor valor posible para uno de esos enteros?

A) 5
B) 6
C) 9
D) 11
E) 12

62. Si al siguiente conjunto de datos: 7 – 10 – 9 – 3 – 7, se le agregan dos datos, su
mediana sería 9 y su moda sería 10. ¿Cuál sería su media?

A) 7
B) 8
C) 8,5
D) 9
E) 10

324

63. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que “chatea” un grupo
de 40 jóvenes. Luego, la moda es
Nº de horas frecuencia
A) 2 0 1
B) 3 1 6
C) 12,5 2 15
D) 15 3 10
E) 30 4 5
5 3

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida
si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta.

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.

Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

325


En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el

enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en

efecto:

P : Q = 3 : 2, luego
(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).

64. Se puede determinar el valor de A + B de la tabla de la figura, si:

(1) P y Q son inversamente proporcionales.
P Q
(2) A—B=1 4 A
0,5 40
A) (1) por sí sola B 100
B) (2) por sí sola

3x + 2y = 5
65. El sistema de ecuaciones tiene solución única si:
5x − 3ky = 6

(1) k ≠ -10
10
(2) k≠-
9

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

326

66. En la ecuación y = mx + 3, donde m es una constante, se puede determinar que el
par (x, y) = (2,7) es solución de la ecuación si :

(1) (1, 4) es solución de la ecuación y = mx + 2.
(2) (5, 3) es solución de la ecuación 3y = mx – 1.

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

67. En el ∆ABC de la figura, AB = 10. Se puede determinar que el ∆ABC es equilátero
si:

(1) AC = 10 C

(2) h=5 3

A) (1) por sí sola h
B) (2) por sí sola
A B

68. Se puede determinar el área del cuadrado ABCD de la figura si:

(1) Las coordenadas del punto A son (0,4).
(2) Los puntos D y B tienen coordenadas (4,8) y (4,0), respectivamente.

A) (1) por sí sola D
y
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) N
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) A C

B x

327

69. En la figura, L1 // L2. Se puede determinar el área del ∆ADC si:

(1) AD = 9
B D
(2) BE ⋅ AC = 24 L1

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) L2
E) Se requiere información adicional A E C

70. Se puede determinar el valor de x si:

(1) El promedio (media aritmética) de x2, 6x y 3 es -2.

(2) x4 = 9

A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E A E B D B D C B E B A D E D B A A E B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A D C A E B A C D A D D E B C D B A E
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A C C B D B C D D C E D C E D E A E A C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
C B A A B D E B B A

328

ENSAYO Nº 3
2
1. =
2
2+
2
2+
2+2
2
A)
7
7
B)
2
1
C)
2
5
D)
7
3
E)
5

2. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma hora para
dirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco demoró 7,02 minutos y Luis 7,2
minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Hugo llegó después que Luis.
II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de diferencia en
llegar al colegio.
III) Francisco llegó primero.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Solo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se necesitan dos hombres.
¿Cuántos hombres se necesitarán para construir una pared similar a la anterior en m horas
de trabajo?
A) 16m
m
B)
16
16
C)
m
D) 5m
E) 40m

329

4. El gráfico de la figura muestra el itinerario de un vehículo al ir y volver, en línea recta, a
un determinado lugar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El vehículo recorrió en total 420 Km.
km
II) Al regreso viajó con una rapidez de 70
h
III) Entre t = 2 y t = 3 recorrió 120 Km.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

5. De un cargamento de porotos, k toneladas son de porotos negros, las cuales
corresponden a un tercio del total. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
falsa(s)?
2
I) Los porotos no negros son del total.
3
2
II) El 66 % de los porotos no son negros.
3
III) El número de toneladas que no son porotos negros es dos veces el número
de toneladas de porotos que son negros.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) I, II, y III
E) Ninguna de ellas

6. Si R = 4,3 — 10-5 y S = 2 — 10-5, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)?
I) R + S = 6,3 — 10-5
II) R — S = 8,6 — 10-6
III) R – S = 2,3
A) Solo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III

7. Una orquesta sinfónica está compuesta por instrumentos de percusión, bronces y
cuerdas. Si el 20% corresponde a instrumentos de percusión, los bronces son 12 y éstos son
un cuarto de las cuerdas, ¿cuántos instrumentos tienen la orquesta?

A) 15
B) 48
C) 60
D) 63

330

E) 75
8. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo reajustaron de
acuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo del año 2008 será
A) $ 7,8 • 600.000
B) $ 0,78 • 600.000
C) $ 1,78 • 600.000
D) $ 1,078 • 600.000
E) $ 0,078 • 600.000

9. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de cada lado y se
obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos el
proceso 10 veces, el lado del triángulo que se obtiene es
500
A)
20
500
B ) 10 •
2
1
C) • 500
10
1
D ) 10 • 500
2
1
E ) 9 • 500
2

10. Si la tasa de natalidad T de cierto país es inversamente proporcional a la densidad de
población P y en un instante en que T= 0,1 se tiene que P = 0,4, entonces se cumple que
0 ,04
A) T =
P
B) T = 0,04 — P
P
C) T =
4
D) T = 4P
0 ,4
E) T =
P

t
11. Si t = 2, entonces t 2 − + 2 t es igual a:
2
A) 15
B) 9
C) 7
D) 6
E) 5

331

12. Si la expresión 5[3(4x – 1)] = 15, entonces 4x es igual a
A) -2
1
B) -
2
1
C)
2
D) 2
E) 4

13. ¿Cuál es el valor de (-x + 1)(x + 1) si 4 – 2x = 8?
A) -5
B) -3
C) 1
D) 3
E) 5

14. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12. Entonces, siempre se
cumple que:
I) Uno de ellos es divisible por 4.
II) El menor de los enteros es divisible por tres.
III) El término central es divisible por 2.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

3  3 
15.  a + b  •  a + b  =
5  5 
3
A) a 2 + b 2
5
9 2
B) a + b2
25
9 2 6
C) a + ab + b 2
25 5
6
D) a + 2b
10
3 6
E ) a 2 + ab + b 2
5 5

332

16. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene 500 monedas más que
Pablo, entonces el dinero que posee cada uno, respectivamente, es

A) $ 1.500 y $ 3.000
B) $ 1.000 y $ 2.000
C) $ 1.500 y $ 1.000
D) $ 10.000 y $ 15.000
E) $ 12.750 y $ 12.250

17. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el largo del rectángulo es
Y metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es

A) (4Y – 12) metros
B) (2Y – 6) metros
C) (2Y – 12) metros
D) (4Y – 6) metros
E) (4Y – 24) metros

1 1 1
18. Si m = ,n= yp= , entonces x – (m + n + p) es:
3x 6x 9x
18x − 11
A)
18x
7
B)
18x
7 x − 11
C)
18x
18x 2 − 11
D)
18x
E) Ninguna de las expresiones anteriores

19. ( 3 + 3 2 )( 3 2 − 3 ) =

A) 0
B) 15
C) 8 5
D) 9 5
E) 21

20. El número 3 24 es equivalente a
A) ( 3 ) 8
B) 3
C) 38
D) 312
E) ninguna de las anteriores

333

21. Si 4-x + 4x = U, entonces 2x + 2-x es igual a

A) 2U
B) U2
C) U
D) 2 + U
E) U+2

22. En la figura, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . ¿Cuál(es) de las siguientes
I) El perímetro del trapecio es 3x – y.
( y − x) 2 3
II) El área del trapecio es .
4
III) El trapecio es isósceles.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

23. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es igual a 200. Si y es un
entero par, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la ecuación que soluciona el
problema?
A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4)
B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2
C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2
D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2
E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)2

24. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones
4(x + 3) < 4
15 - 2x ≥ 5 es
A) ]-∞, -2]
B) ]-∞, -2[
C) ]-2, 5[
D) ]2, 5[
E) [5, +∞[

334

A−B
−1
25. Para que la expresión A + B sea negativa, se debe cumplir necesariamente que
A−B
+1
A+B
A) A > 0
B) B < 0
C) AB > 0
D) A < 0
E) AB < 0

 x + y = 5a + 2 b
26. Dado el sistema  , el valor de y es
 x − y = 5a − 2 b
A) 0
B) 2b
C) 4b
D) 5a
E) 10a

27. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m3 y un cargo fijo de
$ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3 consumidos mensualmente, ¿cuál de las
siguientes expresiones representa la función costo mensual C(x)?
A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100
B) C(x) = 1.980x + 1.100
C) C(x) = 3.080x
D) C(x) = 1.100x + 1.980
E) C(x) = x + 3.380

28. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación y + 3 = y2 + 3 es
A) {0, 1}
B) {0, -1}
C) {0}
D) {1}
E) ninguno de los anteriores

29. ¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es - 4?
I) 1 = 3 x — 81
1
II) 3 x = 1 • 3 − 3
3
x −1
III) ( 3 ) = 9 2
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II

335

1−x
30. Dada la función f ( x) = , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
2
verdadera(s)?
I) f(0) = f(1)
II) f(-2) = 3 f(0)
III) f(3) = f(-1)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

31. Si f(x) = log3x , entonces f(27) – f(3) es
A) 2
B) 3
C) 4
D) 8
E) 9

32. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, entonces f(x) es igual a
A) x2 + 2x – 2
B) x2 + 2x – 4
C) x2 – 2
D) x2 – 4
E) (x + 3)(x – 1)

33. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = 2−x ?

336

34. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x.
III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

35. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa semestral del i% de interés
compuesto n veces al semestre, obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el
nt
 i 
cual está dado por: C F = C o  1 +  Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de interés
 100n 
compuesto bimestral, al término de 1 año se tendrá
A) $ 25.000 (1,06)6
B) $ 25.000 (1,02)6
C) $ 25.000 (1,06)12
D) $ 25.000 (1,02)12
E) $ 25.000 (1,12)6

36. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I) La pendiente del segmento AB es creciente.
II) La pendiente del segmento BC se indetermina.
III) La pendiente del segmento CD es nula.
IV) La pendiente del segmento DE es decreciente.
A) Sólo I y III
B) Sólo II y III
C) Sólo I, II y IV
D) Sólo II, III y IV
E) I, II, III y IV

337

37. En la figura, el cuadrado ABCD tiene lado 2. Si F es el punto de intersección de las
diagonales del cuadrado OMCN y se gira toda la figura en 180º en el sentido de la flecha y
en torno al punto O, el punto F queda en las coordenadas

1 1
A )  ,− 
2 2
1 
B )  ,0 
2 
 1
C)  0, 
 2
 1 1
D )  − ,− 
 2 2
1 1
E)  , 
2 2

38. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y D(1,3) se le aplica una
traslación paralela al eje x en dos unidades a la derecha, y luego se le aplica otra traslación
paralela al eje y en tres unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3).
II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0).
III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0).
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

39. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados iguales es
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

40. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las coordenadas del punto
simétrico de Q con respecto al eje X?
A) (5 , 3)
B) (3 , 5)
C) (-3 ,5)
D) (3 ,-5)
E) (-5 ,-3)

338

41. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha dibujado el pentágono
EFGHD. Si K es el punto de intersección de DB con FG , ¿cuál(es) de las siguientes
I) El área del pentágono es 64.
II) ∆ AEF ≅ ∆ CGH
III) BK = KF
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

42. En la figura, el ∆ ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y de radio 2 3 . Si
los arcos AB, BC y CA son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) ∆ADC ≅ ∆BDC
II) AD = 3
III) ∡ DCB = 30º
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II, III

43. El ∆ ABO es isósceles y rectángulo en O. La circunferencia de centro O y radio r
intersecta a los lados del triángulo en D, E y F como lo muestra la figura. ¿Cuál(es) de las
I) ∆ ABD ≅ ∆ ADO
II) ∆ ABE ≅ ∆ BAD
III) ∆ ADO ≅ ∆ BEO
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

44. En la figura, el rectángulo se ha dividido en 8 cuadrados congruentes entre sí, y cada
cuadrado tiene un perímetro de 8 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo mayor?
A) 12 cm
B) 18 cm
C) 24 cm
D) 48 cm
E) Ninguno de los anteriores

339

45. En la semicircunferencia de centro O de la figura, DB = 6 y DE = 8. El diámetro de la
circunferencia es
A) 8
50
B)
3
25
C)
3
19
D)
3
E) Faltan datos para determinarlo

46. En la figura, N es punto medio del segmento OP y el segmento MN triplica al
segmento MP. El segmento MN es al segmento OP como
A) 3 : 8
B) 3 : 7
C) 3 : 6
D) 3 : 5
E) 3 : 4

47. En la figura, L1 // L2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
x a
I) =
c b
x c−b
II ) =
a b
x+a c
III ) =
a b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

48. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes entre sí?

A) Sólo I y II
B) Solo II y III
C) Sólo III y IV
D) Sólo I, II y IV
E) I, II, III y IV

340

49. La figura representa un poste perpendicular a la tierra que sobresale 2 metros y un
edificio. Las sombras del poste y del edificio miden 80 centímetros y 14 metros,
respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio?
A) 98 metros
B) 46 metros
C) 35 metros
D) 22,4 metros
E) 11,4 metros

50. En la circunferencia de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) ∆ AED ∼ ∆ CEB
II) ∆ AEC ∼ ∆ DEB
III) ∆ BCA ∼ ∆ DAC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

51. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de radio r y ∡ PQR = 15º.
La longitud del arco QP es

πr
A)
3
πr
B)
6
πr
C)
9
πr
D)
12
πr
E)
24

52. En la circunferencia de la figura, ε = 60º. Si β – α = 16º, entonces el valor del ángulo α es
A) 44º
B) 37º
C) 22º
D) 38º
E) Imposible de determinar

341

53. En la figura, se muestra un cubo de arista a. El ∆ BEG es
A) Rectángulo en B
B) rectángulo en E
C) isósceles rectángulo
D) isósceles no equilátero
E) equilátero

54. Respecto del triangulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es
falsa?
A) sen α = cos β
b
B) sen β =
c
b
C) tg β =
a
c c
D) tg α + tg β = •
a b
ab
E) sen α + sen β =
c

55. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de igual radio, una
encima de la otra como se muestra en la figura. Si la altura del prisma es h, entonces el
volumen de una esfera es

h3
A) π
48
h3
B) π
24
h3
C) π
4
h3
D) π
3
E) h 3 π

342

56. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las seis ocasiones ha
salido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente giro, salga un 6?
1
A)
5
1
B)
10
1
C)
6
1
D)
2
7
E)
10

57. Una canasta contiene cuatro tipos de frutas: A, B, C y D. Si la probabilidad de escoger
1
una fruta del tipo A es , ¿cuál es la probabilidad de extraer una fruta que no sea del tipo
4
A?
1
A)
4
1
B)
2
3
C)
4
D) 1

58. Un club de baile tiene 100 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las
categorías A (Avanzados) y B (Novatos). Se sabe que 22 hombres bailan en B,
18 hombres en A y 25 mujeres en B. Si se elige al azar un socio del club, ¿cuál es la
probabilidad de que sea mujer y baile en la categoría A?
1
A)
4
3
B)
5
7
C)
12
7
D)
20
7 1
E) •
13 35

343

59. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los dos dados, que
tiene menor probabilidad de salir?
A) Tanto el 2 como el 12
B) Sólo el 6
C) Solo el 2
D) Sólo el 12
E) Tanto el 1 como el 6

60. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros y 2 rojos, el segundo
4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12 rojos. Si se saca al azar un lápiz de cada
estuche, la probabilidad de que los tres lápices sean rojos es
8
A)
45
24
B)
45
8
C)
5
8
D)
9
8
E)
40

61. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y 30 metros. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 20.
II) La moda es igual a la mediana.
III) La media aritmética es menor que la mediana.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

344

62. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que tienen las familias de
un condominio. La fórmula correcta que permite determinar el número promedio de hijos
por familia para este condominio es

x+y+z
A)
4
x+y+z
B)
a+b+c+d
bx + cy + dz
C)
b+c+d
bx + cy + dz
D)
a+b+c+d
a+b+c+d
E)
x+y+z

63. El gráfico de la figura, representa la distribución de tiempos registrados en una carrera.
I) El 50% de los participantes marcaron 180 segundos.
II) 60 participantes registraron más de 120 segundos.
3
III) de los participantes registraron 120 segundos.
10
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

64. En la figura, se puede determinar el valor del ∡ δ si se sabe que:
(1) ABCD es un cuadrado y α = 70º.
(2) El ∆ AEF es equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

65. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar un trabajo, si:
(1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2.
(2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

345

66. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la cuarta parte de los
puntos de Hernán. Se puede determinar el número de puntos que tiene Hernán si:
(1) Se conoce el total de los puntos.
(2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
E) Se requiere la información adicional.

67. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil. Se puede
determinar el valor de x si:
(1) La moda es 3 años.
(2) El promedio es 4,3 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
D) Cada una por sí sola,(1) ó (2)

68. Una terraza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar
perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si:
(1) Se dispone de baldosas con forma rectángulos de lados 10 cm y 20 cm.
(2) Se dispone de baldosas con forma de hexágonos regulares.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

69. Sea m : n = 3 : 5. Se puede determinar los valores numéricos de m y n si :
(1) 3m : p = 18 : 7 y p = 21
(2) m + n = 16
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas junta, (1) y (2)

346

p (p − 2 ) 1
70. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión • + • q • r se
p−2 p r
puede determinar si:
(1) q = 8
(2) r = 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas junta, (1) y (2)

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D E C B E A E D D A C D B C C D A D B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E C C B C B B A E B A D D A B B D E B E

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
E E D C B A E E C C B C E E A B C D A A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
E D D C B A B A D A

347

ENSAYO Nº 4
5
1. 30 – — 10 + 16: (-0,5)-1 =
2
A) 117
B) 13
C) -3
D) -10,5
E) -18

1
2. El opuesto de - es el recíproco de
α
A) 0
1
B) -
α
1
C)
α
D) -α
E) α

3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál sería el mínimo
número de globos que faltarían para que todos sus alumnos quedaran con igual número
de globos?
A) 10
B) 15
C) 25
D) 35
E) 40

4. Al elevarse al cubo 2 se obtiene un número
A) entero
B) racional
C) irracional
D) no real
E) racional no entero

3600 • 0 ,0051 • 10 −3
5. Si A = , entonces A, escrito en notación científica, es
0 ,18 • 10 − 2 • 1,7 • 10 − 1
A) 0,06
B) 0,6
C) 6 — 10
D) 60
E) 0,6 — 102

348

6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el pedazo más largo mide
180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser cortada?
A) 324 cm
B) 360 cm
C) 540 cm
D) 900 cm

1
7. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las siguientes: “por cada
2
1
taza de leche agregar 4 tazas de agua”. Si se siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas
2
3
de agua se deben agregar a taza de leche?
4
3
A) 6
4
1
B) 6
2
1
C) 7
8
D) 6
E) 7

8. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque en 21 horas.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo?
A) 7 horas
B) 31,5 horas
C) 16 horas
D) 14 horas
E) 28 horas

9. Si el 15% de un número es 30, entonces el 30% del número es
A) 45
B) 60
C) 75
D) 100
E) 120

349

2
10. ¿Qué porcentaje de 4 es de 8?
3
A) 25%
2
B) 66 %
3
C) 120%
1
D) 133 %
3
E) 150%

11. En una prueba PSU, Donoso y Novoa contestaron todas las preguntas. Si Donoso
contestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Novoa contestó en forma correcta el
15% del total de incorrectas contestadas por Donoso, ¿qué fracción de las preguntas de la
prueba contestó en forma correcta Novoa?
3
A)
25
1
B)
20
3
C)
20
7
D)
20
3
E)
100

12. Dada la siguiente tabla: Si x es inversamente
proporcional a y2, entonces P — Q =
A) 576
B) 144
C) 48
D) 12
E) 4

13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de interés compuesto
anual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento de su capital?

350

2
14. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción para que la nueva fracción
3
sea igual a 0,25?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6

15. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y), el segundo 3y.
¿Cuánto costó el tercero?
A) 3y – 4x
B) 4x – 3y
C) 5x – 3y
D) 6x – 4y
E) 6x – 3y

−c + a + b
16. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces =
(a + b)c
A) 9
B) 0,9
C) 0
D) -0,9
E) -9

17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación para cada par de
números (x, y) en la tabla adjunta?
A) y = x + 5
B) y = 2x + 3
C) y = 2x + 5
D) y = 3x – 1
E) y = 3x + 1

18. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8 unidades mayor que el
cuádruplo del número menor. ¿Cuál es el producto de estos números?
A) 24
B) 12
C) 8
D) 0
E) -8

351

1
19. Si x = , entonces x + 1 es igual a
1− 2
A) 2 + 1
B) 2 – 1
C) - 2
D) 0
E) 1

20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto al gráfico de
la figura?
I) L1 tiene pendiente nula.
II) L2 tiene pendiente positiva.
III) L3 carece de pendiente.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III

21. Si A = 0 ,25 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A2 > A
II) (-A)2 > -A
III) (-A)3 > -A
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

1 a2b3
22. Al dividir por − 2 − 3 se obtiene
a2b3 a b
A) a2b3
B) a4b6
1
C) 2 3
a b
1
D) 4 6
a b
1
E) 6 9
a b

352

23. En la figura, ¿a cuál de las siguientes rectas corresponde la ecuación y = -2x + 1?
A) L1
B) L2
C) L3
D) L4
E) L5

4x − 2
24. Al despejar x en la ecuación = 3 se obtiene
a
A) x = 24a
3a + 4
B) x =
2
4a + 3
C) x =
2
4
D) x =
3a + 2
3a + 2
E) x =
4

x+4−4 x
25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a si x > 4?
x −2
A) x + x
B) x –2
C) x+2
D) 2 x
E) x

2
1 1
26. Si a – b = 4 y a — b = 2, entonces el valor de  −  es
a b
A) 2(a – b)
B) 2(b – a)
C) 2b – a
D) -4
E) 4

27. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el punto A(-3, 0), entonces
su ecuación general es
A) x – y – 3 = 0
B) x – y + 3 = 0
C) x + y – 3 = 0
D) x + y + 1 = 2
E) x + y + 3 = 0

353

28. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k. ¿Cuál de las
siguientes expresiones es igual al radio del círculo?
A) k
B) k( 2 + 1)
C) k( 2 – 1)
D) k(2 – 2 )
E) 2k

1 1 1
29. Si A = + , entonces =
m n A
A) m + n
B) mn
mn
C)
m+n
m+n
D)
mn
1
E)
mn

30. El punto (p, 16) pertenece a la función f(x) = 2x, si p =
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0

31. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos momentos marca las 5 con 2
minutos y se sabe que hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora que debería marcar
correctamente es: las cuatro con
A) 28 minutos
B) 30 minutos
C) 32 minutos
D) 48 minutos
E) 52 minutos

32. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales. ¿Para qué valor de x se
verifica que f(x) — g(x) = f(g(x))?
A) 1
B) -1
C) 0
D) 2
E) -2

354

33. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor el gráfico de la figura?
A) y = -x2
B) y = -x2 – 2
C) y = -2x2
D) y = 2 – 2x2
E) y = 2 – x2

1
34. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función f(x) = ?
x2 − 9
A) [3, +∞[
B) ]3, +∞[
C) ]-3, +∞[
D) [-3, 3]
E) ]-∞, 3[

5 n+4 − 5 n+2
35. =
5n
A) 10
B) 25
C) 500
D) 600
E) 625

36. El valor de x en la igualdad 2x + 1 + 2x + 2 = 3 es
A) 2
B) 3
C) 4
D) -1
E) -2

37. log 3
0, 3 =
1
A)
2
1
B)
3
1
C) -
3
1
D) -
2
E) -2

355

log ab 9
38. Si ab > 1, entonces =
log ab 3
A) logab 3
B) logab6
C) 2
D) 3
E) Depende de los valores de a y b

39. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β son
complementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) El ∆ ABC es rectángulo.
II) ∡ ABC = ∡ CBD
III) BC es bisectriz del ∡ ABD.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

40. El cuadrado de la figura, está formado por 4 rectángulos congruentes. Si el perímetro
de uno de los rectángulos es igual a 20 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El perímetro del cuadrado es igual a 32 cm.
II) La mitad del cuadrado tiene un perímetro de 16 cm.
III) El área de uno de los rectángulos es igual a 8 cm2.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

41. El cuadrilátero de la figura es un rombo. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I) ∡ABD ≅ ∡CDB
II) AD + DE = BC + CE
III) BE ≅ DE
A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas

356

42. En la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia de centro O. Si
Arco AB = 50º, entonces (∡ x + ∡ y) es igual
A) 25º
B) 30º
C) 50º
D) 75º
E) 100º

43. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada uno. Si FD ⊥ DA ,
entonces BF =
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 5 2 cm
D) 10 2 cm
E) 10 3 cm

44. ¿Cuál(es) de las figuras tiene(n) centro de simetría?
I) Rombo.
II) Triángulo equilátero.
III) Hexágono regular.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

45. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si a la recta se le realiza
una rotación de 180º en sentido antihorario con respecto al origen (0, 0), ¿cuál de los
siguientes puntos pertenece a la recta que se obtuvo?
A) (0, -4)
B) (0, -3)
C) (-4, -3)
D) (-3, -4)
E) (-5, 0)

46. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el área del círculo es
100 π , ¿cuál es el área del hexágono?
A) 600
B) 300
C) 200 2
D) 200 3
E) 120 3

357

47. En el rectángulo ABCD, AE ⊥ ED , AB = 6 cm y CE = 3 cm. ¿En qué razón están las
longitudes de EC y BC , respectivamente?
A) 1 : 5
B) 1 : 4
C) 2 : 5
D) 1 : 6
E) 1 : 3

48. Con los datos de la figura, la expresión sen α + cos α es igual a
x+1
A)
y
x+y
B)
y
y
C)
x+1
y
D)
x−1
x+y
E)
x

49. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?

A) Sólo I con II
B) Sólo I con III
C) Sólo II con III
D) Todos son semejantes entre sí
E) No son semejantes entre sí

50. El triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C. ¿Cuál es la medida de la altura h si
a = 4 y b = 3?
9
A)
5
12
B)
5
16
C)
5
D) 6
E ) 12

358

51. En la figura, Arco BCA es una semicircunferencia de centro O. Si CD ⊥ AB , AD = DO ,
∡ AOC = 60º y CD = 4 3 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) DB = 12
II) AD = 4
III) BC = 192
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

52. AB es diámetro de la circunferencia. Si AB ⊥ CD , CE = 6 y AE = 2 , ¿cuál es la longitud
de la circunferencia?
A) 20 π
B) 18 π
C) 10 π
D) 9 π
E) 6 π

53. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con respecto al triángulo
rectángulo de la figura?
I) a2 + b2 = 2h2
II) a — b = h2
1 1 1
III) 2 = 2 + 2
h a b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

54. En el ∆ ABC de lados 10, 12 y 20 de la figura, el segmento AD mide
A) 3
B) 5
C) 12
D) 15
E) 20

359

55. En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide el trazo que une
los centros de gravedad de ambos cuadrados?
A) 2
B) 2 5
C) 2 3
D) 2 2
E) 4

56. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de un 40%. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca?
A) 60%
B) 50%
C) 40%
D) 30%

57. Dada la palabra GEOMETRÍA, ¿cuál es la probabilidad de sacar una vocal?
2
A)
3
5
B)
9
4
C)
9
1
D)
3
2
E)
9

360

58. En una pirinola de 8 caras, en cada una de ellas se puede leer una de las siguientes
frases:
− Toma uno.
− Toma dos.
− Toma tres.
− Toma todo.
− Pone uno.
− Pone dos.
− Pone tres.
− Todos ponen.
Si se lanza la pirinola, con respecto a la cara que muestre (cara superior), ¿cuál(es) de las
I) La probabilidad que salga “Toma todo” es de un 12,5%.
II) Es igualmente probable “Tomar” que “Poner”.
III) La probabilidad de “Tomar más de uno” es de un 37,5%.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

59. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál de las siguientes
alternativas se indica una acción que una vez realizada permita que al extraer una bolita al
azar de la caja, la probabilidad de que ésta sea blanca corresponda a un 50%?
A) Agregar a la caja una bolita verde
B) Sacar de la caja una bolita verde y una blanca
C) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancas
D) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blanca
E) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas

60. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan a lo menos 3 sellos?
1
A)
16
1
B)
4
5
C)
16
5
D)
8
11
E)
16

361

61. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un curso en la prueba
de matemática. En relación a la distribución de las notas, es verdadero que
A) 6 alumnos dieron la prueba.
B) hay más mujeres que hombres.
C) las mujeres sacaron mejores notas.
D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los que
obtuvieron nota 7.
E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.

62. Se entrevistaron a 100 fumadores consultándoles por la cantidad de cigarrillos que
fuman diariamente. Sobre la base de la tabla siguiente que resume esta información:

I) La moda es 35.
II) La media aritmética es 19,6.
III) La mediana es 25.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

63. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al resultado de una prueba
de biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 5.
II) La mediana es menor que la moda.
III) El promedio es mayor que la mediana.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

362

Evaluación de Suficiencia de Datos

64. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero desconocido tal que
3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se sabe que:
(1) El MCD entre los tres es 1.
(2) x no es primo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

65. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple mensual x. Se puede
conocer el valor de x si:
(1) Don Humberto depositó $ 500.000.
(2) En un trimestre ganó $ 9.600.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

x + y = a + 3b
66. En el siguiente sistema:  , se puede determinar el valor numérico de y
 3x − y = a − 5 b
si:
(1) a = 4 ; b = 1
(2) a + 3b = 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

67. En el triángulo ABC de la figura, se puede conocer el valor de sen α si:
(1) ∡ ABC = 90º
(2) AB = 3, BC = 4, AC = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

363

68. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede determinar la medida del
lado del cuadrado A si:
(1) Se conoce el perímetro del cuadrado C.
(2) Se conoce el área del cuadrado B.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

69. En la figura, BC es tangente en C a la circunferencia de centro O. Se puede determinar
la longitud del radio de la circunferencia si:
(1) Se conoce la medida de BD .
(2) Se conocen las medidas de BC y AB .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

70. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es 0,6. Se puede
determinar el número de varones que hay en el curso si:
(1) En el curso hay 40 alumnos.
(2) En el curso hay 24 mujeres.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C E A C C A A D B D E D E D B A E A C B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D E B E B E B B C A B A C B D D E C A A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B C E D B D A A D B E A C D D A B E C C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
E C E C C A B C B D

364

ENSAYO Nº 5

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15 minutos para
responderla.
2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes
perpendiculares.

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.

1. Si m es un número positivo y el cuadrado de 2m es 16, entonces el doble de 2m es
A) 2
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16

2. ¿Cuál es el valor de 32 + 33?
A) 15
B) 18
C) 36
D) 243
E) 729

3. Si m es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)
número(s) real(es) positivo(s)?
I) m2
II) -m
III) m3
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la primera página de la
hoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para completar la novela?
A) 61
B) 62
C) 142
D) 143
E) 224

365

5. La cifra de las unidades de 699 es
A) 3
B) 4
C) 6
D) 9
E) No se puede calcular

6. r es directamente proporcional a t y r = 54 cuando t = 9. ¿Cuál es el valor de r si t =
6?
A) 20
B) 18
C) 15
D) 30
E) 36

7. Se compra un electrodoméstico al crédito pagándose por él, en total, la suma de $
187.000, incluido un interés del 10%. ¿Cuánto se habría ahorrado al cancelar al contado?
A) $ 1.700
B) $ 1.870
C) $ 17.000
D) $ 18.700
E) $ 170.000

8. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho fósforos también.
¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede construir un cuadrado?
A) 94 fósforos
B) 63 fósforos
C) 132 fósforos
D) 154 fósforos
E) 190 fósforos

9. El 0,1% de 100x es igual a 0,1. Entonces, el valor de x es
A) 0,0001
B) 0,01
C) 1
D) 10
E) 100

10. 2x - [3x -(3x - 2) - (4 - 5x)] =
A) 2 - 3x
B) 6 - 3x
C) 7x - 6
D) 7x - 6

366

11. (5a - 5b)2 =?
A) 25a - 25b
B) 10a - 10b
C) 25a - 25b - 10(a + b)
D) 25(a - b) – 2 • 5(a + b)
E) 25a + 25b – 2 • 5(a + b)

12. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá dentro de (2a + 3) años?
A) 6a años
B) 2a + 6 años
C) 4a + 4 años
D) 6a + 6 años
E) 6a + 12 años

x+4
13. El valor de la expresión cuando y = 4 es:
xy
A) 1
5
B)
4
x+4
C)
4
x+1
D)
x
x+4
E)
4x

14. Se definen las operaciones: a S b = a + b y a R b = a + (-b). ¿Cuál es el resultado de (2 S
3) R (3 R 2)?
A) 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10

15. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que Rosa. Si Rosa y
Daniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea es
A) 6 años
B) 7 años
C) 8 años
D) 9 años
E) 10 años

367

16. En un canasto hay n naranjas, 12 plátanos y 8 manzanas. Si se sacan 5 naranjas, p
plátanos y se agregan m manzanas, ¿cuánta fruta contiene el canasto?
A) n - p + m + 15
B) m - p + 15
C) n - p - m + 15
D) n - p + m + 25
E) n - p - m + 25

17. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros para llenarse. ¿Cuál es
el doble de la capacidad del jarrón?
A) R - q
B) 2p - q
C) 2R + 2q
D) 2R - 2q
E) 2p - 2q

18. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan $ 3b. ¿Cuánto cuestan
3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos?
A) 2a + 3b
B) 6a + 12b
C) 2a + 12b
8a + 9 b
D)
12
8a + 27 b
E)
12

19. ( 2 − x 2 − 1 ) 2 =?
A) 2 − x 2 − 1
B) 3 + x 2 − 4 x 2 − 1
C) 3 + x 2 − x 2 − 1
D) 4 − x 2
E) 5 − x 2

20. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una docena y media de
bebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces ¿cuánto cuestan 5 envases?
A) $ 75
B) $ 125
C) $ 150
D) $ 200
E) $ 250

368

21. Una persona asiste a un casino con $ p, apuesta $ r en la ruleta y gana $ g.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) p = r - g
II) Después de ganar, tiene $ (p + r + g).
III) p ≥ r
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) II y III

22. La figura muestra 2 cuadrados congruentes construidos con un alambre de largo x.
¿Cuál es la superficie total de la figura?
A) x 2
x2
B)
2
x2
C)
16
x2
D)
32
x2
E)
64

23. El perímetro de un rectángulo es igual a q y la suma de los valores recíprocos del
1
ancho y del largo es igual a El área del rectángulo es:
r
A ) qr
qr
B)
2
q
C)
2r
2q
D)
r
q
E)
r

369

24. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante una semana.
De acuerdo al gráfico podemos afirmar que:

I) La mayor variación diaria en el consumo ocurrió entre viernes y sábado.
II) Entre viernes y sábado se produjo una variación del 50%.
III) Entre lunes y martes la familia no consumió pan.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) II y III
E) I, II y III

25. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la función f(x) =
x2 − 1 ?
A ) [1, ∞[
B ) ]1, ∞[
C ) ]− ∞ ,−1] ∪ [1, ∞[
D ) ]− ∞ ,−1] ∩ [1, ∞[
E ) [− 1,1]

26. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces se cumple una de las
siguientes alternativas:
A) son perpendiculares
B) son paralelas
C) son coincidentes
D) se intersectan en (2,1)
E) el punto (2,4) pertenece a L1

370

27. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función f(x) = [x] + 1?

28. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura?
A) x + y + 1 = 0
B) x - y - 1 = 0
C) x + y - 1 = 0
D) -x + y + 1 = 0

I) 2 + 3 = 5
II) 2 + 7 es un número irracional
III) 2 • 18 es un número irracional
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III

a+b
30. Si a = 1 − 2 y b = 2 + 1 entonces ?
b
A) 1 − 2
B) 2 − 1
2
C)
3
D) 2
E ) 2( 2 − 1)

371

31. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x • (-2)x equivale a:
A) 22x
B) (-3)x
C) (-3)2x
D) 2-2x
E) 2x

I) log 0,1100 = 3
II) log 10 = 2
III) Si log x 25 = -2, entonces x = 0,2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III

33. De la función de segundo grado representada en el gráfico de la figura, podemos
deducir que la ecuación de segundo grado asociada a ella:
A) tiene una solución real.
B) tiene una solución imaginaria.
C) tiene dos soluciones imaginarias.
D) tiene dos soluciones reales.
E) una de las soluciones es x = 2.

34. ¿Cuál es el mayor valor de y = x + 1 si x es raíz de x 2 − 9 x + 8 = 0 ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 8
E) 0

372

35. Un depósito de $ m se reajusta todos los meses en un p%. ¿Cuál es el monto
acumulado después de t meses?
 p 
A ) mt  1 + 
 100 
t
 p 
B) m 1 + 
 100 
pt
C) m +
100
mpt
D)
100
mp t
E)
100

III. GEOMETRÍA
36. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
I) ∡ AED ≅ ∡ CDE
II) AD ≅ AC
III) AD ≅ CE
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

37. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto del eje de las
abscisas?

373

38. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes
I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene coordenadas (-3, 1).
II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda en el tercer cuadrante.
III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el punto (1, 3).
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y III
D) II y III
E) I, II, III

39. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus coordenadas cambian a
(m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector traslación aplicado?
A) (m, n)
B) (m + 3, n + 4)
C) (3, 4)
D) (-3,-4)
E) (4, 3)

40. Si el perímetro de un cuadrado es 72 cm, ¿cuál(es) de las siguientes conclusiones
es(son) falsa(s)?
I) Su área es 324 cm2
II) Su lado mide 18 cm
III) El doble de su perímetro equivale a la mitad de su área.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) Ninguna

41. ∆ ACD isósceles con AC = AD y K ∆ BDE rectángulo. El ∡ x mide
A) 10º
B) 15º
C) 25º
D) 30º
E) 50º

374

42. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos congruentes cuyas
diagonales miden 6 cm y 8 cm?
A) 30 cm
B) 40 cm
C) 48 cm
D) 60 cm
E) 80 cm

43. En la figura, ABCD es un cuadrado y E es punto medio de AB . Si el área achurada es
t 2, el lado del cuadrado mide
A) t
B) 2t
C) t
D) 2 t
E) No se puede calcular

44. En la figura, AB = AC = AD = 13 cm. Si CE = 1 cm, ¿cuánto mide BD ?
A) 5 cm
B) 10 cm
C) 10 3 cm
D) 11,5 cm
E) 12 cm

45. En la figura, ABCD y BEFG son cuadrados; BC = 4 cm; E es punto medio de CD .
¿Cuánto mide la superficie achurada?
A) 16 cm2
B) 20 cm2
C) 28 cm2
D) 32 cm2
E) 36 cm2

375

46. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡ AOB = 125º y ∡ COB = 100º. ¿Cuál es la
medida del ∡ ABC?
A) 55º
B) 67,5º
C) 112,5º
D) 135º
E) 225º

47. Un trazo AB queda dividido en sección áurea por un punto P si se cumple que
AB : AP = AP : PB , con AP > PB . ¿Cuál(es) de los siguientes trazos está(n) divido(s) en
sección áurea?

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) II y III
E) I, II y III

48. Si en la figura AB // CD , entonces x + y =
A ) 27 cm
1
B ) 27 cm
15
1
C ) 27 cm
14
1
D ) 27 cm
7

49. En la circunferencia de la figura, O es el centro, AD es diámetro y DC es tangente.
I) ∆ ABD ~ ∆ DBC
II) ∆ ABD ~ ∆ ADC
III) ∆ DBC ~ ∆ ADC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) II y III
E) I, II y III

376

50. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con los datos de la
figura?
I) a2 - p2 = b2 - q2
II) a2 + b2 = (p + q)2
III) h2 = (c - p)(c - q)
A) Sólo I y II
B) Sólo II y III
C) Sólo I y III
D) Todas
E) Ninguna

3
51. Si tgα = entonces senα + cos α =?
4
A) 7
7
B)
5
C) 1
D ) 0 ,5

52. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma posada en el extremo
superior de éste con un ángulo de elevación de 50º. ¿Qué distancia separa a la gata de la
paloma?
4
A)
tg 50 º
B ) 4 • tg 50º
4
C)
cos 50 º
cos 50º
D)
4
E ) 4 • cos 50 º

53. Si asumimos que la Tierra es geométricamente esférica y de un radio aproximado de
6.400 Km, ¿cuál es su superficie, expresada en notación científica?
A) 1,1 × 1012 Km2
B) 2,6 × 108 Km2
C) 4,1 × 107 Km2
D) 5,1 × 108 Km2
E) 6,4 × 108 Km2

377

54. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0,
1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?
A) 2 + 2 5
B) 4 5
C) 2 5
D) 12
E) 8

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

55. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número primo de entre los primeros 25
números naturales, éste sea par?
1
A)
25
12
B)
25
9
C)
25
1
D)
9
1
E)
12

56. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan un 1 y un 2?
1
A)
2
1
B)
3
1
C)
9
1
D)
18
1
E)
36

57. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer una
bolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son rojas?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 4

378

58. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón de 5: 2. ¿Cuál es la
probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólo
hay rubios y morenos en el curso?
2
A)
5
1
B)
6
2
C)
7
1
D)
7
2
E)
3

59. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las pintas
sea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo?
1
A)
81
1
B)
108
1
C)
9
2
D)
9

60. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5 de color blanco, 2 de
color negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del conjunto de poleras?
A) 2
B) 5
C) blanco
D) rojo y negro
E) amarillo

61. La tabla muestra las estaturas de un grupo de 20 niños de un colegio, agrupadas en
intervalos, donde Xi es la marca de clase, fi es la frecuencia y Fi es la frecuencia acumulada.
¿Cuál de las siguientes alternativas representa los valores correctos de p y q,
respectivamente?
A) 1,14 y 13 Estatura [m] Xi fi Fi
B) 1,15 y 13 1,10 – 1,12 4
C) 1,15 y 17 1,12 – 1,14 6
D) 1,16 y 13 1,14 - 1,16 p 7 q
E) 1,16 y 17 1,16 – 1,18 3

379

62. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5 , 5,5 y 4,0, cuyo promedio se pondera en un
60% para obtener la nota final. Si la nota mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberá
sacarse como mínimo en la última evaluación, para aprobar el curso?
A) 5,0
B) 4,0
C) 3,5
D) 2,0
E) 1,0

63. En un curso de Matemática de 32 alumnos, se registró la siguiente asistencia durante 2
meses: 24, 20, 25, 21, 23, 25, 28, 25, 30, 18, 15, 20, 18, 25, 23, 26. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son verdadera(s)?
I) La moda es menor que la mediana y que la media
II) La media es menor que la moda y la mediana
III) La media es mayor que la mediana
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III

380



Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:
pregunta;

64. a y b son números enteros distintos de cero. ab es negativo si:
(1) a < 0
a
(2) < 0
b

65. Si a es el 10% de b, entonces b =?
(1) a es el 50% de c ; c = 18
(2) c = 2a: a + c = 27

66. x2 = x si:
(1) x = 0
(2) 2x = 2

381

67. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del ∆ DFG si:
(1) E y F son puntos medios
(2) DG = GH = HB

68. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD de la figura?
1
(1) AE = AB ; CF = CG = AE
2
(2) El área achurada mide 23 cm2.

69. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una caja de cartón?
(1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo
(2) El alto de la caja es la mitad del ancho

70. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el origen si:
(1) su pendiente es 1,5.
(2) pasa por el punto (2; 3)

382

HOJA DE RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C C B D C E C C C A E D E B A A E E B B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D B B C A C C B E E C D C B D C C B C C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B A B B D B A C E D B C D A D D A C B C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
C D B B D D D C C D

383

ENSAYO Nº 6

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.

1. En un curso de 28 alumnos, 21 asistieron a clases. ¿Qué porcentaje faltó?
A) 75%
B) 25%
C) 7%
D) 0,75%
E) 0,25%

23 − 6
2. =?
2 −1
A) 0
B) -1
C) -2
D) -6
E) 4

3. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc cada una. “A” bebe
7 4 3
los de su lata, “B” toma los y “C” toma los . ¿Cuál(es) de las siguientes
10 5 4
I) A bebió más que B.
II) C bebió más que B.
III) A bebió menos que C.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III

4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de claveles, ¿cuántas
plantas de claveles hay en el huerto?
A) 8
B) 16
C) 24
D) 32
E) 40

384

5. En la secuencia siguiente, con cuatro palitos se forma un rombo y al agregar 3, se forma
un nuevo rombo.

¿Cuántos rombos se pueden formar con 169 palitos?
A) 56
B) 57
C) 59
D) 60
E) 63

6. Un artículo de ferretería se vende en $ 16.000, luego de aplicarle un 20% de descuento.
¿Cuál era el precio del artículo antes de aplicarle el descuento?
A) $ 12.800
B) $ 19.200
C) $ 20.000
D) $ 21.600
E) $ 28.000

7. d dulces cuestan $ p. ¿Cuántos dulces puedo comprar con $ x?
pd
A)
x
x
B)
pd
xd
C)
p
xp
D)
d
p
E)
xd

8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que hay el la caldera de
una industria durante 5 horas de funcionamiento. ¿Cuál de las siguientes alternativas
entrega la mayor información correcta que se puede obtener del gráfico?
Se agregó agua:
A) 4 veces en 5 horas.
B) cada 1 hora, 100 litros cada vez.
C) cada 1 hora, 200 litros cada vez.
D) 5 veces, 200 litros cada vez
E) cada vez que la caldera tenía menos de 250 litros.

385


9. x es el lado de un triángulo equilátero. Si el lado se aumenta en y unidades, entonces el
perímetro resultante es:
A) x + y
B) 3x + y
C) 3x + 3y
(x + y) 2
D)
2
xy
E)
2

10. La solución de la ecuación: 2x - 4 = 6 es
A) -1
B) 1
C) 5
D) 7
E) 8

11. (-2m2)3 = ?
A) -6m6
B) -6m2
C) -8m6
D) -8m2
E) -2m6

a2
12. =?
a .5
A) a 7
B) a −3
2
−
C) a 5

2
D) a 5
E ) a −7

13. Si x = 2 , entonces x + x2 =?
A) 4
B) 6
C) 2 + 2
D) 12
E) 20

386

3+ 6
14. Al simplificar la expresión resulta:
3
A) 6
B) 2
C) 1 + 2
D) 3 + 3 2
E) 3

p+1
15. Al simplificar la expresión con p ≠ 2, se obtiene:
p−2
A) − 2
1
B) −
2
C) − 1
D) 1
E) No se puede simplificar

16. Si se desarrolla la expresión (x - y)2 como x2 + y2 se está cometiendo un error. El error
consiste en
I) el exponente del primer término
II) el signo del segundo término
III) que falta el doble producto de x = (-y)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) II y III

17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación 0,01x = 3,14?
1
A) x = 3 ,14
100
B ) 0 ,01x = π
C ) x • 10 − 2 = 3 ,14
314
D ) 0 ,01x =
100
E ) x • 10 − 2 = 314 • 10 − 2

18. Si x = 3 es una solución de la ecuación 3x + 5 = x + k, entonces el valor de k es:
A) 5
B) -5
C) 8
D) 11
E) 17

387

19. Pedro (P) tiene el doble de la edad de José (J) y hace 3 años era el triple. ¿En cuál de las
alternativas se plantea el sistema que permite calcular las edades de Pedro y José?

20. (m + n)2 - 2n(m + n) = ?
A) (m + n)(m - n)
B) m2 - 2n2
C) m2 - n2 - n
D) m2 - n2 - 2mn
E) (m - n)2

21. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está dada por la relación
2
v2 = v 0 + 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la aceleración de gravedad y d es la
distancia recorrida por el móvil. ¿Qué rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caída
si se lanza con v0 = 10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2?
A) 10 m/s
B) 20 m/s
C) 100 m/s
D) 200 m/s
E) 400 m/s

22. Si el perímetro de un rectángulo es 2(x + y) y el ancho es x - y, ¿cuál es el largo?
A) 2y
B) 2x
C) 0
x+y
D)
x−y
E) 2x - 2y

388

x x
23. La diferencia entre y t es ¿Cuál es el valor de t?
m m−1
−1
A)
m ( m − 1)
B) 0
xm
C)
m ( m − 1)
2m − 1
D)
m ( m − 1)
−x
E)
m ( m − 1)

24. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $ 5.400. ¿Cuánto
dinero me sobraría si quiero comprar una revista que cuesta $ 3.000?
A) $ 1.080
B) $ 1.320
C) $ 1.500
D) $ 2.400
E) $ 4.500

25. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $ 400 a Beatriz, ambas
quedarían con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene Rosa?
A) $ 400
B) $ 800
C) $ 1.200
D) $ 1.600
E) $ 1.800

26. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas, precio contado.
¿Cuánto vale cada cuota?
A) $ (x + 1)
B) $ x
( x + 1)
C) $
3
( x + 3)
D) $
3
x
E) $
3

389

27. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $ 10.000. ¿Cuál es la
función que permite determinar el ahorro total y en el mes x?
A) y = 50.000x + 10.000
B) y = 50.000x - 10.000
C) y = 10.000x + 50.000
D) y = 10.000x - 50.000
E) y = x + 10.000 + 50.000

28. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta de
ecuación y - x + 2 = 0?
I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2).
II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0).
III) La pendiente de la recta es -1.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III

29. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta de ecuación x - y = 0?

30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto de las soluciones
de la ecuación x2 - 6x + 8 = 0?
I) Son reales.
II) Una es el doble de la otra.
III) Son negativas.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III

390

31. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 50t - t2, donde t se mide
en segundos y la altura y(t) en metros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son)
correcta(s)?
I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros.
II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos.
III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de 400 metros.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y III

32. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = 3 - 3x - x2?

33. Una bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuál es la fórmula que
permite calcular el número de bacterias que tiene un cultivo al cabo de t minutos si se
inicia el proceso con una sola bacteria? (NOTA: [x] = función parte entera de x)
A ) [20 t ]
 t 
B)  
 20 
C ) 2 • [20 t ]
 t 
D) 2 •  
 20 
 t 
 
E) 2  20 

391

34. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
I) log 1 + log 2 = log 2
II) log 2 + log 3 = log 6
III) log 4 - log 2 = log 2
A) Sólo II
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III

35. La figura representa a un rectángulo divido en 8 partes. ¿Cuál(es) de las siguientes
expresiones representa(n) el área de la región achurada?
bd b(d − c) d( b − a )
I) II ) III )
2 2 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) I, II y III

III. GEOMETRÍA
36. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos triángulos son
semejantes?
I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño.
II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño.
III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III

37. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un eje de simetría?

A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) En I y III
E) En I, II y III

392

38. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura respecto del eje
OP ?

39. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación de la figura
superior en torno al eje AB ?

A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) En I y en III

40. En la figura se tienen 5 cuadrados congruentes de 4 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro
total de la figura?
A) 32 cm
B) 40 cm
C) 80 cm
D) 200 cm

41. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de componentes (4, 2).
¿Cuáles son las coordenadas del vértice A trasladado?
A) (4, 2)
B) (5, 2)
C) (5, 3)
D) (3, 5)

393

42. ¿Cuál de las siguientes traslaciones permite dejar íntegramente el polígono de la figura
en el primer cuadrante?
A) (4, 0)
B) (0, 4)
C) (2, 3)
D) (4, 2)
E) (3, 0)

43. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta L. ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
I ) BC ≅ NO
II ) CO // AM
III ) BC // MO
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III

44. Un rectángulo de dimensiones 3 m × 2 m, se traslada 4 metros, apoyado sobre uno de
sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo generado?
A) 6 m3
B) 8 m3
C) 9 m3
D) 20 m3
E) 24 m3

45. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, AC ⊥ BC , CD ⊥ AB , AD = 16 cm y BC = 6
cm. Entonces, el área del ∆ ABC es:
A) 36 2 cm²
B) 48 cm²
C) 32 2 cm²
D) 12 2 cm²

46. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y AB // DC . ¿Cuál es el área del ∆ ABC?
A) 10 cm2
B) 20 cm2
C) 30 cm2
D) 40 cm2
E) 50 cm2

394

47. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?
I) ∆ DAB y ∆ BAC
II) ∆ EBD y ∆ DCB
III) ∆ BAC y ∆ DBC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III

48. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos medios. ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) ∆ ABN ≅ ∆ CBM
II) Área ∆ ABN = Área ∆ CBM
III) Área ∆ ABN = Área ∆ ANC
A) Sólo II
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) II y III

1
49. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 2 m, en ese mismo lugar,
2
proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del edificio?
A) 12 m
B) 10 m
C) 9 m
D) 8 m
E) 7 m

50. En la circunferencia de centro O, se trazan AB y DE diámetros y CD cuerda, como se
indica en la figura. Si AB // CD y ∡ AOE = 30°, entonces el ∡ x mide
A) 15°
B) 20°
C) 25°
D) 30°
E) 45°

395

51. En la circunferencia de la figura, ∡ DAC=30º y ∡ BCA =40º. ¿Cuál es la medida del
∡ x?
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 70º

52. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes a cos a?
1 1
I ) cot gα • senα II ) III )
sec α tgα • cos ecα
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III

53. En el cuadriculado de la figura, cada cuadrado es de lado 1. ¿Cuál es el valor de cos a?
4
A)
41
5
B)
41
4
C)
5
5
D)
4
41
E)
5

54. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura. Si el piloto observa
la torre de control con un ángulo de depresión de 30º, ¿a qué distancia d se encuentra el
avión del aeropuerto?
A) 750 m
B) 750 3 m
C) 3.000 m
D) 3.000 3 m
E) 4.500 m

396

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
55. En un estante hay 10 libros de Biología y 12 de Química. Si se sabe que 5 libros de
Biología y 6 de Química están en inglés y el resto en español, entonces ¿cuál es la
probabilidad de escoger un libro de Química en español?

18
A)
22
12
B)
22
6
C)
22
6
D)
12
6
E)
11

56. La probabilidad de que ocurra un suceso A es de 10% y la probabilidad de que ocurra
un suceso B, independiente de A, es de 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los
sucesos A y B simultáneamente?
A) 2%
B) 15%
C) 30%
D) 50%
E) 200%

57. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita roja es de 0,25.
¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna?
A) 0,25
B) 4
C) 8
D) 20
E) 25

58. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del suceso es 0,5?
A) Lanzar un dado y obtener un 5.
B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello.
C) Ganarse el sorteo del Loto.
D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz.
E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena.

59. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la mayor probabilidad
de ocurrencia?
A) Obtener 2 ó 4.
B) Obtener 4 ó 6.
C) Obtener un número par.
D) Obtener un número primo.
E) Obtener 2 ó más.

397

60. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos de un curso en una
prueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 3?
A) 3
B) 4
C) 12
D) 17
E) 35

61. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre los meses de Enero y
Junio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de mayor venta?
A) 200
B) 250
C) 300
D) 350
E) 400

62. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de 4º medio de un liceo.
I) La moda es 17 años.
II) El 20% del curso tiene 18 años.
III) La mediana es 17 años.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III

63. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18 Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11
Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 13 Kg.
II) La mediana es 13 Kg.
III) La media es 13 Kg.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III

398



Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra
pregunta;

64. ¿Cuánto dinero tiene Jaime?
(1) Si consigue $ 500, puede comprar 2 libros de $ 5.000 cada uno y le sobra dinero.
(2) Si compra un CD de $ 9.000, le sobrarían más de $ 500.
A) 1) por sí sola.
B) 2) por sí sola.
E) e requiere información adicional.

65. ¿Cuál es el volumen de un baúl?
(1) La razón entre el largo, el ancho y el alto es 5 : 3 : 2.
(2) El área basal es 6.000 cm2.

66. La expresión a + b, con a y b números reales, es positiva si:
(1) a > b
(2) a - b > 0

399

67. ¿Cuál es el valor de la expresión x2 - y2?
(1) x + y = 5 ; x - y = 2
(2) x = 3 ; y = 2

68. En la figura, ∆ ABC rectángulo isósceles de 18 cm2 de superficie. C es el centro del
círculo. Se puede determinar el área de la región achurada si:
(1) P es punto medio
(2) AB = 6 cm

69. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la región achurada si:
(1) ∡ ACB = 45º
(2) el radio del círculo es 5 cm

70. En la figura, el ∆ AMN es congruente con ∆ CMN si:
(1) ABCD es un cuadrado
(2) BM = MN = ND

400

RESPUESTAS CORRECTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B E B C A C C B C C C A E C E C B D C A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A E C D D C B C C E B E E A C D C E B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C D C E A A E E B D E E B C C A D D E C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
C E B E C E D A A A

401

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