Manual de Geogebra

Documento de Ayuda para
GeoGebra
Manual Oficial de la Versión 3.0

Markus Hohenwarter y Judith Preiner
www.geogebra.org, Junio 2007

Ayuda en GeoGebra 3.0
Ultima modificación: 17 de Julio del 2007
GeoGebra Website: www.geogebra.org

Markus Hohenwarter, mhohen@math.fau.edu
Judith Preiner, jpreiner@math.fau.edu

Liliana Saidon (Dir Centro Babbage), liliana.saidon@centrobabbage.com
Ultima modificación: de versión en castellano, 21 de Julio del 2007

Búsqueda de Ayuda en GeoGebra
• En Línea: Búsqueda de Ayuda en GeoGebra
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Foro www.geogebra.org/forum Hispano parlante Liliana Saidon (Dir. Centro Babbage)

2

Indice general
Ayuda en GeoGebra 3.0............................................................................................. 2
Búsqueda de Ayuda en GeoGebra............................................................................. 2
Indice general ............................................................................................................. 3
1. ¿Qué es GeoGebra? .............................................................................................. 6
2. Ejemplos................................................................................................................. 7
2.1 Triángulo con Ángulos ...................................................................................... 7
2.2 Ecuación lineal y = m x + b ............................................................................. 7
2.3 Baricentro o Centroide de Tres Puntos A, B y C............................................... 8
2.4 Dividir el segmento AB acorde a la relación de 7 : 3......................................... 8
2.5 Juego de Ecuaciones Lineales de Dos Variables ............................................. 8
2.6 Tangente a una función de x............................................................................. 9
2.7 Exploración de funciones polinómicas .............................................................. 9
2.8 Integrales ........................................................................................................ 10
3. Entrada Geométrica.............................................................................................. 11
3.1 Anotaciones Generales................................................................................... 11
3.1.1 Menú Contextual ...................................................................................... 11
3.1.1.1 Avanzado .............................................................................................. 11
3.1.2 Expone y Oculta ....................................................................................... 11
3.1.3 Trazo ........................................................................................................ 12
3.1.4 Zoom ........................................................................................................ 12
3.1.5 Relación entre Ejes .................................................................................. 12
3.1.6 Protocolo de Construcción ....................................................................... 12
3.1.7 Barra de Navegación................................................................................ 13
3.1.8 Redefine ................................................................................................... 13
3.1.9 Caja de Diálogo de Propiedades .............................................................. 13
3.2 Modos ............................................................................................................. 13
3.2.1 Modos Generales ..................................................................................... 14
3.2.2 Punto ........................................................................................................ 15
3.2.3 Vector ....................................................................................................... 16
3.2.4 Segmento ................................................................................................. 16
3.2.5 Semirrecta ................................................................................................ 16
3.2.6 Polígono ................................................................................................... 17
3.2.7 Recta ........................................................................................................ 17
3.2.8 Sección Cónica......................................................................................... 18
3.2.9 Arco y Sector ............................................................................................ 18
3.2.10 Número y Angulo.................................................................................... 19
3.2.11 Control Booleano.................................................................................... 20
3.2.12 Locus Lugar Geométrico ........................................................................ 20
3.2.13 Transformaciones Geométricas.............................................................. 20
3.2.14 Texto ...................................................................................................... 21
3.2.15 Imágenes................................................................................................ 22
3.2.16 Propiedades de Imágenes...................................................................... 22
4. Entrada Algebraica ............................................................................................... 24
4.1 Anotaciones Generales................................................................................... 24

3

4.1.1 Modificación de valores ............................................................................ 24
4.1.2 Animación................................................................................................. 24
4.2 Ingreso Directo................................................................................................ 25
4.2.1 Números y Angulos .................................................................................. 25
4.2.2 Puntos y Vectores .................................................................................... 25
4.2.3 Recta ........................................................................................................ 26
4.2.4 Sección Cónica......................................................................................... 26
4.2.5 Función de x ............................................................................................. 26
4.2.6 Listas de Objetos...................................................................................... 27
4.2.7 Operaciones Aritméticas .......................................................................... 27
4.2.8 Variables Booleanas................................................................................. 28
4.2.9 Operaciones Booleanas ........................................................................... 29
4.3 Comandos....................................................................................................... 29
4.3.1 Comandos Generales............................................................................... 30
4.3.2 Comandos Booleanos .............................................................................. 30
4.3.3 Número..................................................................................................... 30
4.3.4 Ángulo ...................................................................................................... 32
4.3.5 Punto ........................................................................................................ 33
4.3.6 Vector ....................................................................................................... 34
4.3.7 Segmento ................................................................................................. 35
4.3.8 Semirrecta ................................................................................................ 35
4.3.9 Polígono ................................................................................................... 35
4.3.10 Recta ...................................................................................................... 35
4.3.11 Sección cónica ....................................................................................... 36
4.3.12 Función................................................................................................... 37
4.3.13 Curvas paramétricas .............................................................................. 38
4.3.14 Arco y Sector .......................................................................................... 38
4.3.15 Imagen ................................................................................................... 39
4.3.16 Locus – Lugar Gométrico ....................................................................... 39
4.3.17 Secuencia............................................................................................... 40
4.3.18 Transformaciones geométricas .............................................................. 40
5. Imprimiendo y Exportando.................................................................................... 43
5.1 Imprimiendo .................................................................................................... 43
5.1.1 Zona Gráfica............................................................................................. 43
5.1.2 Protocolo de Construcción ....................................................................... 43
5.2 Zona Gráfica como Dibujo .............................................................................. 43
5.3 Zona Gráfica al Portapapeles ......................................................................... 44
5.4 Protocolo de Construcción como Página-Web................................................ 44
5.5 Planilla Dinámica como Página-Web .............................................................. 45
6. Opciones .............................................................................................................. 47
6.2 Captación de Puntos....................................................................................... 47
6.3 Unidad Angular ............................................................................................... 47
6.4 Posiciones Decimales ..................................................................................... 47
6.5 Continuidad..................................................................................................... 47
6.6 Estilo de Punto ................................................................................................ 47
6.7 Estilo de ángulo recto...................................................................................... 47
6.8 Coordenadas .................................................................................................. 47
6.9 Rotulado.......................................................................................................... 48
6.10 Medidas de Tipografía .................................................................................. 48
6.11 Idioma ........................................................................................................... 48
4

6.12 Zona Gráfica ................................................................................................. 48
6.13 Grabar Ajustes .............................................................................................. 48
7. Herramientas y Barra de Herramientas ................................................................ 49
7.2 Definición de Herramientas Propias................................................................ 49
7.3 Personalizar la Barra de Herramientas ........................................................... 50
8. Interfase de JavaScript ......................................................................................... 51
Indice Alfabético ....................................................................................................... 52

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1. ¿Qué es GeoGebra?
GeoGebra es un software de matemática que reúne geometría, álgebra y cálculo. Lo
ha desarrollado Markus Hohenwarter en la Universidad Atlantic de Florida (Florida
Atlantic University) para la enseñanza de matemática escolar.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori se pueden modificar dinámicamente.

Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así,
GeoGebra tiene la potencia de manejarse con variables vinculadas a números,
vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un
repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos
singulares de una función, como Raíces o Extremos.

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana
algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

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2. Ejemplos
Para tener una impresión general de las posibilidades de GeoGebra revisaremos
algunos ejemplos.

2.1 Triángulo con Ángulos
Para empezar, hay que elegir el modo Nuevo Punto en la barra de herramientas y
dar clic tres veces en el área gráfica para crear los tres vértices A, B y C del
triángulo.
Se pasa a elegir el modo Polígono y a dar clic sobre los puntos A, B, C y,
nuevamente, sobre A para cerrar y crear el triángulo poly1. En la ventana algebraica,
se expondrá el área del triángulo.
Para pasar a los ángulos de nuestro triángulo, hay que elegir el modo Angulo en
la barra de herramientas y dar clic sobre el triángulo.

Ahora, se pasa a elegir el modo Desplaza y se arrastran los vértices para
cambiar dinámicamente al triángulo.
Si no se precisa la ventana algebraica y/o el eje de coordenadas, pueden ocultarse
apelando al menú Visualización.

2.2 Ecuación lineal y = m x + b
Nos concentraremos en el significado de m y b en la ecuación lineal y = mx + b
probando diferentes valores para m y b.
Para hacerlo, anotamos las siguientes líneas como entrada en el campo de texto
que aparece al pie de la pantalla (pulsando Enter al finalizar cada línea).
m = 1
b = 2
y = m x + b
Ahora podemos cambiar m y b en el campo de entrada o directamente en la ventana
algebraica vía clic derecho (MacOS: Apple + clic) sobre alguno de los números y
seleccionando Redefine. Por ejemplo, con los siguientes valores para m y b.
m = 2
m = -3
b = 0
b = -1
Es muy simple modificar m y b empleando
• las teclas flecha (ver Animación)
• los diales "deslizadores" con un clic derecho (MacOS: Apple + clic) sobre m o
b para pasar a seleccionar Expone/Oculta Objeto (apelando también al
modo Deslizador)
De forma similar podríamos investigar la ecuación de secciones cónicas como:
• elipses: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
• hipérbolas: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 o
• circunferencias: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2
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2.3 Baricentro o Centroide de Tres Puntos A, B y C
Vamos ahora, a construir el baricentro (o centroide) de tres puntos ingresando las
siguientes líneas como entradas en el campo de texto (pulsando Enter al finalizar
cada una). Por supuesto, también se puede emplear el mouse (término mencionado
como “ratón” en versiones más “castizas”) para realizar esta construcción usando los
modos correspondientes (ver Modos) en la barra de herramientas
A = (-2, 1)
B = (5, 0)
C = (0, 5)
M_a = PuntoMedio[B, C]
M_b = PuntoMedio[A, C]
s_a = Recta[A, M_a]
s_b = Recta[B, M_b]
S = Intersecta[s_a, s_b]
La alternativa a dar con la intersección de un par de rectas de medianas, sería
calcular el centroide (o baricentro) directamente como:
S1 = (A + B + C) / 3
y comparar ambos resultados usando el comando
Relación[S, S1].
A continuación, exploramos si S = S1 es cierto para otras posiciones de A, B, C
también. Lo hacemos, eligiendo, con el mouse, el modo Desplaza y arrastrando
uno de los puntos.

2.4 Dividir el segmento AB acorde a la relación de 7 : 3
Como GeoGebra nos permite operar con vectores, la tares es simple. Basta ingresar
las siguientes líneas como entradas en el campo de texto (pulsando Enter al finalizar
cada una):
A = (-2, 1)
B = (3, 3)
s = Segmento[A, B]
T = A + 7/10 (B - A)
Otro modo de hacerlo, podría ser...
A = (-2, 1)
B = (3, 3)
s = Segmento[A, B]
v = Vector[A, B]
T = A + 7/10 v
En la siguiente etapa podremos introducir un número t (por ejemplo, usando un dial
Deslizador) y redefinir el punto T como T = A + t v (ver Redefine).
Al cambiar t puede verse T desplazándose a lo largo de la línea recta, que podría
ingresarse ahora paramétricamente (ver Recta): g: X = T + s v

2.5 Juego de Ecuaciones Lineales de Dos Variables
Dos ecuaciones lineales en x e y pueden representarse como dos rectas. La
solución algebraica es la del punto de intersección de las rectas.

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Basta ingresar las siguientes líneas como entradas en el campo de texto (pulsando
Enter al finalizar cada línea):
g: 3x + 4y = 12
h: y = 2x - 8
S = Intersección[g, h]
Para cambiar las ecuaciones se puede dar un clic derecho (MacOS: Apple + clic)
sobre la que se va a modificar y seleccionar Redefine. Usando el mouse pueden
desplazarse las rectas, vía Desplaza o rotarlas con Rota en torno a un punto.

2.6 Tangente a una función de x
GeoGebra ofrece un comando para la tangente a una función f(x) en x=a. Basta
ingresar las siguientes líneas como entradas en el campo de texto (pulsando Enter al
finalizar cada línea):
a = 3
f(x) = 2 sin(x)
t = Tangente[a, f]
Al animar el número a (ver Animación) la tangente se desplaza por el gráfico de la
función f.
Otro modo de establecer la tangente a una función f en un punto T, podría ser.
a = 3
f(x) = 2 sin(x)
T = (a, f(a))
t: X = T + s (1, f'(a))
Esto muestra al punto T en el gráfico de f expresando la tangente t
paramétricamente.
Incluso, también podemos trazar la tangente de una función, geométricamente:
• Elegimos el modo Nuevo Punto y damos clic en el gráfico de la función f
para determinar allí a, digamos A, como punto de f.
• Elegimos el modo Tangentes y damos clic en la función f y luego en el
punto recientemente creado, digamos A.
Ahora, hay que elegir el modo Desplaza y arrastrar tal punto a lo largo de la
función con el mouse. La tangente de f en A, como puede observarse, también se
modifica dinámicamente, en correspondencia.

2.7 Exploración de funciones polinómicas
Con GeoGebra podemos explorar raíces, extremos locales y puntos de inflexión de
funciones polinómicas. Basta ingresar las siguientes líneas como entradas en el
campo de texto (pulsando Enter al finalizar cada línea).
f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1
R = Raíz[f]
E = Extremo[f]
I = PuntoInflexión[f]

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En el modo Desplaza podemos arrastrar la función f con el mouse. En este
contexto, las primeras dos derivadas de f podrían también interesarnos. Para
obtenerlas, basta ingresar las siguientes líneas como entradas en el campo de texto
(pulsando Enter al finalizar cada línea).
Derivada[f]
Derivada[f, 2]

2.8 Integrales
En relación con integrales, GeoGebra ofrece la posibilidad de visualizar como
rectángulos, las sumas inferior y superior de una función. Basta ingresar las
siguientes líneas como entradas en el campo de texto (pulsando Enter al finalizar
cada línea).
f(x) = x^2/4 + 2
a = 0
b = 2
n = 5
L = SumaInferior[f, a, b, n]
U = SumaSuperior[f, a, b, n]
Cambiando a, b o n (ver Animación; ver modo Desliza) se puede evidenciar la
influencia de estos parámetros sobre las suma inferior y la superior. Para el
incremento del número n se podría seleccionar 1 (dando clic con el botón derecho
(MacOS: Apple + clic) sobre el n y seleccionando Propiedades.

La integral definida se puede exponer, apelando al comando correspondiente, como
se anota a continuación:
Integral[f, a, b]
La antiderivada F se crea usando:
F = Integral[f].

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3. Entrada Geométrica
En este capítulo, explicaremos cómo emplear el mouse (término homólogo al más
“castizo”, ratón) en GeoGebra, para crear y modificar objetos.

3.1 Anotaciones Generales
La ventana geométrica (a la derecha) expone gráficamente la representación de
puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, rectas y secciones cónicas.
Cuando el mouse se desplaza sobre un objeto, se ilumina y exhibe su descripción.
Atención: La ventana geométrica se denominará, ocasionalmente, zona gráfica o
“área gráfica”.
De diferentes modos (ver Modos), se indica a GeoGebra cómo reaccionar a cada
entrada del mouse en la ventana geométrica. Por ejemplo, dando clic en la zona
gráfica, se puede establecer un nuevo punto (ver modo Nuevo Punto), fijar la
intersección entre objetos (ver modo Intersección de dos objetos), trazar una
circunferencia por tres puntos (ver modos correspondientes a Circunferencia).

Atención: Al dar doble clic sobre un objeto en la ventana algebraica se abre su
campo a la edición.

3.1.1 Menú Contextual
Al pulsar la tecla derecha del mouse sobre un objeto, se despliega un menú
contextual en que se puede seleccionar, por ejemplo, la notación algebraica
(coordenadas polares o cartesianas, ecuaciones implícitas o explícitas, . . . ). Aquí
también se ubican comandos como Renombra, Redefine o Borra.
Al seleccionar Propiedades en el menú contextual se despliega una caja de diálogo,
donde pueden modificarse, por ejemplo, color, medida, grosor de trazo lineal , estilo
de trazo, y sombreado de los objetos.

3.1.1.1 Avanzado
La pestaña del sector Avanzado de Propiedades, permite anotar una Condición
para mostrar el objeto ,.
Por ejemplo establecer que un objeto será visible si está ubicado en cierto
cuadrantes pero no si lo estuviera en otros: Y[A] ≥ 0 ó en caso de X[A] ≥ 0.

3.1.2 Expone y Oculta
Los objetos geométricos pueden exponerse (expone) o no (oculta). Puede
emplearse en modo Expone/Oculta Objeto o el Menú Contextual para alternar
este estado, (des)tildando.
El ícono a izquierda de cada objeto en la ventana algebraica, informa sobre su actual
estado de visibilidad ( “expuesto” u “oculto”).

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Atención: Puede también apelarse a Tildar la casilla para Ocultar/Exponer
Objetos para afectar de tal modo a varios objetos seleccionados.
En el sector Avanzado , de las Propiedades, puede fijarse una Condición para
mostrar el objeto ,.

3.1.3 Trazo
Puede hacerse que los objetos geométricos dejen un trazo como huella a medida
que se los desplaza. Se apela al Menú Contextual para (des)activar ese “trazo”.
Atención: Con Actualiza Visualización del menú Visualización, se elimina todo trazo.

3.1.4 Zoom
Un clic de tecla derecha sobre el área gráfica (MacOS: Apple + clic), despliega un
menú contextual que permite una aproximación (ver modo Zoom Acercamiento) o
alejamiento (ver también el modo Zoom Alejamiento) del enfoque o “zoom”.
Atención: Para especificar el área a enfocar y ampliar, basta un clic del botón
derecho del mouse (MacOS: Apple + clic), al arrastrarlo, se desplaza el puntero para
hacer un “zoom” de la zona que quede enmarcada.
La rueda del mouse, permite hacer un zoom del área gráfica, de ampliación o
reducción según el sentido de giro.

3.1.5 Relación entre Ejes
Al dar clic con el botón derecho (MacOS: Apple + clic) sobre la zona gráfica y
seleccionar Propiedades, se despliega un menú contextual desde el que se puede:
• modificar la razón entre el eje-x y el eje-y
• ocultar / exponer los ejes de coordenadas individualmente
• modificar la disposición de los ejes (por ejemplo. marcas de graduación, color,
estilo de trazos lineales)

3.1.6 Protocolo de Construcción
El protocolo de construcción interactiva (menú Visualización, Protocolo de
Construcción) es una tabla que muestra todas las etapas de construcción. Aquí
puede rehacerse una construcción paso a paso apelando a la barra de navegación
que aparece al pie de la pantalla. Incluso es posible intercalar pasos de construcción
y modificar su secuencia. El menú de ayuda del protocolo de construcción ofrece
una explicación más detallada.
Atención: Apelando a la columna Puntos de Interrupción del menú Visualización
pueden definirse ciertos pasos de construcción como de quiebre, permitiendo
agrupar objetos.
Cuando se recorre tal construcción vía barra de navegación, se exhiben
simultáneamente los grupos de objetos.

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3.1.7 Barra de Navegación
GeoGebra ofrece una barra de navegación para recorrer los pasos de una
construcción. Para exponerla al pie de la ventana geométrica, basta seleccionar la
opción Barra de Navegación por pasos de construcción del menú Visualización.

3.1.8 Redefine
Resulta muy útil introducir cambios tras la construcción de cualquier objeto. Esto
puede realizarse...
desde su Menú Contextual: desplegado apuntándolo y dando un clic derecho y
pasando a Redefine
marcándolo con Desplaza y dando doble clic sobre:
o la ventana algebraica para anotar lo necesario directamente
o el objeto en el Área Gráfica, para abrir la caja de diálogo con la que se
redefine, anotando lo necesario en el campo Definición.
Ejemplos:
Para ubicar un punto libre A sobre una recta h, se apela a su Menú Contextual y allí
al Redefine y se ingresa Punto[h] en el campo correspondiente de la caja de
diálogo emergente. Para eliminar el punto de esta recta y "liberarlo" nuevamente, se
lo redefine, por ejemplo, dando doble clic con Desplaza sobre A en el Área
Gráfica, a cierta posición de coordenadas libres.
Otro ejemplo es la conversión de una recta h que pasa por los puntos A y B en un
segmento que los tiene como extremos: se elige Redefine e ingresa
Segmento[A, B] en el campo correspondiente de la caja de diálogo emergente.
Esto también opera recíprocamente,
La herramienta que permite la redefinición de objetos es sumamente versátil para
una modificación retrospectiva de lo construido. Conviene tomar en cuenta que de
este modo también es posible cambiar el orden de las etapas de construcción dentro
del Protocolo de Construcción.

3.1.9 Caja de Diálogo de Propiedades
Esta caja de diálogo permite modificar las propiedades de los objetos (como color,
estilo de trazo). Puede abrirse esta caja con un clic derecho (MacOS: Apple + clic)
sobre un objeto, y eligiendo Propiedades o marcando esta opción en el menú Edita.
Para facilitar el manejo de numerosos objetos, la caja de diálogo de propiedades
está organizada según su tipo (por ejemplo, puntos, rectas, circunferencias). Pueden
modificarse las propiedades de los seleccionados usando los tabuladores del lateral
derecho y cerrando la caja de diálogo al completar los cambios.

3.2 Modos
Los siguientes modos pueden activarse en la barra de útiles. Hay que dar clic sobre
la flechita a la derecha del ícono para pasar a los otros modos de cada menú.

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Atención: En cualquier modo de construcción se pueden crear fácilmente nuevos
puntos, simplemente dando un clic sobre el área gráfica.

Marcando un Objeto
Se marca un objeto cuando se le da clic con el mouse

Rápida renominación de objetos
Para renominar un objeto seleccionado o creado recientemente, basta iniciar el
tecleo para que se abra la caja de diálogo de Renombra que le corresponde.

3.2.1 Modos Generales

Desplaza
Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el mouse.
Basta seleccionar un objeto dándole clic en el modo Desplaza para poder
• eliminarlo pulsando la tecla Del
• desplazarlo apelando a las teclas-flecha (ver Animación)
Atención: Pulsando la tecla Esc también se active el modo Desplaza.
Para seleccionar varios objetos, se debe mantener pulsada la tecla Ctrl.
Otro modo de selección múltiple es pulsar y mantener la tecla izquierda del mouse
para especificar el marco que encuadra a todos los objetos que luego pueden
desplazarse en conjunto al arrastrarlos con el mouse.
El marco de selección también puede emplearse para especificar una zona de la
ventana que desea imprimirse, fijarse para la exportación gráfica y hacia las hojas de
trabajo dinámicas (ver Imprimir y Exportar).

Rota en torno a un punto
Se selecciona en primer lugar, el punto que será dentro de rotación. Luego se
pueden rotar objetos libres alrededor de este punto, simplemente arrastrándolos con
el mouse

Relación
En este modo, se puede marcar un par de objetos para obtener información sobre
sus relaciones (ver también el comando Relación).

Desplaza Zona Gráfica
En este modo, se puede arrastrar y soltar el área gráfica y desplazar así el origen del
sistema de coordenadas.
Atención: También se puede desplazar la zona gráfica pulsando la tecla Shift y
arrastrándola con el mouse (en PC, también la tecla Ctrl).
En este modo, también puede escalarse cada uno de los ejes arrastrando el que
corresponda con el mouse.
Atención: También se pueden escalar los ejes en cualquier otro modo, pulsando y
sosteniendo la tecla Shift (en PC: también Ctrl) mientras se desplazan los ejes.

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Zoom Acercamiento
Se puede dar clic sobre cualquier punto de la zona gráfica para producir un "zoom"
de acercamiento ver también Zoom) Puede apelarse también a la rueda del mouse.

Zoom Alejamiento
Se puede dar clic sobre cualquier punto de la zona gráfica para producir un "zoom"
de alejamiento (ver también Zoom) Puede apelarse también a la rueda del mouse

Expone / Oculta objeto
Al dar clic sobre un objeto se lo expone/oculta respectivamente.
Atención: Todos los objetos que debieran estar ocultos se resaltan. Estos cambios
se efectivizan en cuanto se pasa a cualquier otro modo en la barra de útiles.

Expone / Oculta rótulo
Al dar clic sobre un rótulo se lo expone/oculta respectivamente.

Copia estilo visual
Este modo permite copiar las propiedades visuales como color, dimensión, estilo
lineal, etc., desde un objeto a los de destino. En primer lugar, debe seleccionarse el
objeto cuyas propiedades desean copiarse. Luego, se pasa a dar clic sobre todos los
otros objetos que deben adoptar dichas propiedades.

Elimina objeto
Basta con dar clic sobre cualquier objeto que se desee eliminar.

3.2.2 Punto

Nuevo Punto
Al dar clic sobre el área gráfica se crea un nuevo punto. Atención: Sus coordenadas
quedan establecidas al soltar el botón del mouse nuevamente.

Al dar un clic sobre un segmento, recta, polígono, sección cónica, función o curva, se
crea un punto sobre el objeto en cuestión (ver también el comando Punto). Al dar clic
sobre la intersección de dos objetos se crea este punto de intersección (ver también
el comando Intersecta).

Intersección de dos objetos
Los puntos de intersección de los dos objetos pueden producirse de dos maneras …
• marcando dos objetos, se crean todos los puntos de intersección (si los
hubiese / fuesen posibles).
• dando clic sobre la intersección de los dos objetos: sólo se crea este único
punto de intersección

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Para segmentos, semi-rectas o arcos puede especificarse si se desea permitir la
intersección de puntos periféricos (ver Propiedades: Caja de Diálogo). Esto puede
emplearse para conseguir la intersección de puntos que yacen en la extensión de un
objeto. Por ejemplo, la extensión de un segmento o una semirrecta es una recta.

Punto Medio o centro
Se puede dar clic sobre...
• dos puntos para obtener su punto medio.
• un segmento para obtener su punto medio.
• una circunferencia o sección cónica para obtener su punto centro.

3.2.3 Vector

Vector entre dos puntos
Marca el punto de inicio y el de aplicación del vector

Vector desde un punto
Al marcar un punto A y un vector v se crea el punto B = A + v y el vector de A a B.

3.2.4 Segmento

Segmento entre dos puntos
Al marcar dos puntos A y B se establece un segmento entre A y B. En la ventana
algebraica podrá verse la longitud de dicho segmento

Segmento con una longitud dada a partir de un punto
Al dar clic sobre un punto A que desea fijarse como uno de los extremos del
segmento y especificar la longitud a deseada al aparecer la ventana que se
despliega a continuación, queda trazado el segmento.

Atención: De este modo se creará un segmento con la longitud a determinada entre
el punto A y el B que será su otro extremo. El extremo B puede rotarse en modo
Desplaza en torno al extremo inicial A.
3.2.5 Semirrecta

Semirrecta a través de dos puntos
Al marcar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B. En la
ventana algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta.

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3.2.6 Polígono

Polígono
Para que quede expuesta el área del polígono en la ventana algebraica, basta
marcar al menos tres puntos que constituirán sus vértices y volver a dar clic
nuevamente sobre el primero de ellos, para cerrarlo.

Polígono Regular
Al marcar dos puntos, A y B y anotar un número n en el campo de la caja de diálogo
emergente, se traza un polígono regular con n vértices (incluyendo los puntos A y B).

3.2.7 Recta

Recta entre dos puntos
Al marcar dos puntos A y B se fija la recta que cruza A y B. El vector que fija la
dirección de la recta es (B - A)..

Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es
paralela a g. La dirección de esta recta es la de g.

Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es
perpendicular a g. La dirección de esta recta es equivalente a la del vector
perpendicular a g.(ver también el comando VectorPerpendicular).

Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento queda establecida por un segmento s o por dos
puntos A y B. La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular
al segmento s. o AB (ver también el comando VectorPerpendicular).

Bisectriz
La bisectriz de un ángulo puede definirse de dos maneras
• Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo
determinado por A, B y C, con B como vértice.
• Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos.
Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1.

Tangentes
Las tangentes a una cónica pueden determinarse de dos maneras:
• Al marcar un punto A y una cónica c se producen todas las tangentes a c que
pasan por A.
• Al marcar una recta g y una cónica c se producen todas las tangentes a c que
son paralelas a g.
17

Al marcar el punto A y la función f se traza la recta tangente a f por x=x(A).

Recta Polar o Diámetro
Este modo crea la recta polar / diámetro de una sección cónica de una de estas
maneras:
• Se marca un punto y una sección cónica para establecer la recta polar.
• Se marca una recta o vector y una sección cónica para fijar su diámetro.

3.2.8 Sección Cónica

Circunferencia dado su centro y uno de sus puntos
Al marcar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en
M que pasa por P. El radio del círculo es la distancia MP.

Circunferencia dados su centro y radio
Tras marcar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor
del radio.

Circunferencia dados tres de sus puntos
Al marcar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que cruza por
dichos puntos. Si los tres puntos fueran colineales, la circunferencia quedaría
reducida a una recta.

Cónica dados cinco de sus puntos
Al marcar cinco puntos queda definida una sección cónica que pasa por ellos.
Atención: Siempre que no fueran colineales cuatro de estos cinco puntos, la sección
cónica queda efectivamente definida.

3.2.9 Arco y Sector
Atención: El valor algebraico de un arco es su longitud. El valor de un sector es su
área.

Semicircunferencia
Al marcar dos puntos A y B se produce una semicircunferencia por encima del
segmento AB.

Arco circular dado un centro y sus dos puntos extremos
Al marcar tres puntos M, A y B se produce un arco circular con centro en M, que
tiene como extremo inicial A y tiende hacia B.
Atención: El punto B no tiene que yacer necesariamente en el arco.

18

Sector circular dado un centro y dos puntos extremos
Al marcar tres puntos M, A y B se produce un sector circular con centro en M, que
tiene como extremo inicial A y tiende hacia B.
Atención: el punto B no tiene que yacer necesariamente en el sector

Arco de circunferencia que atraviesa tres puntos
Al marcar tres puntos se produce un arco de circunferencia que los cruza.

Sector de circunferencia que atraviesa tres puntos
Al marcar tres puntos se produce un sector de circunferencia que pasa por dichos
puntos.

3.2.10 Número y Angulo

Distancia o longitud
Este modo establece la distancia entre dos puntos, dos rectas o un punto y una
recta. También puede establecer la longitud de un segmento o una circunferencia.

Area
Este modo establece el área de un polígono, círculo o elipse como texto dinámico en
la ventana geométrica.

Pendiente
Este modo establece la pendiente de una recta como texto dinámico en la ventana
geométrica.

Desliza
Atención: En GeoGebra un deslizador no es sino la representación gráfica de un
número o ángulo libres.
Al dar clic sobre cualquier lugar libre de la zona gráfica, se crea un "dial” o deslizador
para ajustar el valor de un número. La ventana que se despliega permite especificar
el intervalo [mín, máx] del número o ángulo así como alineación y ancho del dial
(expresado en pixels).
Atención: Puede crearse fácilmente un deslizador correspondiente a un número o
ángulo existentes, simplemente apuntando a este objeto (ver Menú Contextual; ver
modo Expone / Oculta Objeto).
La posición de un deslizador puede ser absoluta en la pantalla o relativa al sistema
de coordenadas (ver Propiedades del número o ángulo correspondiente).

19

Angulo
Este modo crea . . .
• el ángulo entre tres puntos
• el ángulo entre dos segmentos
• el ángulo entre dos rectas
• el ángulo entre dos vectores
• todos los ángulos interiores de un polígono
Todos estos ángulos están limitados a una amplitud entre 0°˙ y 180°˙ Puede
establecerse si GeoGebra Admite ángulos cóncavos, tildando o no la casilla
correspondiente en la Caja de Diálogo de Propiedades.

Angulo de amplitud dada
Al marcar dos puntos A y B aparece una ventana donde puede anotarse la amplitud
del ángulo en el campo de texto de la ventana emergente. Este modo produce un
punto C y un ángulo α siendo α es el ángulo ABC.

3.2.11 Control Booleano

Tildar la casilla para exponer / ocultar objetos
Al dar clic sobre el área gráfica se crea una casilla a tildar (variable Booleana) para
exponer y ocultar uno o más objetos. En la ventana emergente se puede especificar
qué objetos quedarían afectados por el estado de tal casilla.
3.2.12 Locus Lugar Geométrico

Locus
Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A sobre
el que dar clic en segundo lugar y cuyo lugar geométrico va a trazarse.
Atención: Debe advertirse que el punto B debe ser un punto de un objeto (por
ejemplo: una recta, un segmento, una circunferencia).
Ejemplo:
• Anotar f(x) = x^2 – 2 x – 1 en el campo de entrada.
• Ubicar un nuevo punto A en el eje-x (ver modo Nuevo Punto; ver comando
Punto).
• Crear un punto B = (x(A), f’(x(A))) que dependerá del punto A.
• Seleccionar el modo Lugar Geométrico y sucesivamente dar clic sobre el
punto B y el A.
• Arrastrar el punto A a por el eje-x para ver desplazarse al punto B a lo largo
del lugar geométrico.

3.2.13 Transformaciones Geométricas
Las siguientes transformaciones geométricas operan sobre puntos, rectas, secciones
cónicas, polígonos e imágenes.

20

Reflexión de un objeto a través de un punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, con un clic se
marca el punto a través del cual se operará la reflexión.

Reflexión de un objeto a través de una recta
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, con un clic se
marca la recta - eje de simetría - a través de la que se operará la reflexión.

Rotación de un objeto en torno a un punto por un ángulo
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado. Luego, con un clic se
marca el punto que obrará como centro de rotación. Aparecerá, entonces, una
ventana donde puede especificarse la amplitud en grados del ángulo de rotación.

Translación de un objeto por un vector
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser transladado. Luego, con un clic
se marca el vector de translación.

Dilatación de un objeto desde un punto
Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser dilatado. Luego, con un clic se
marca el punto que obrará como centro de dilatación. Aparecerá, entonces, una
ventana donde puede especificarse el factor de dilatación.

3.2.14 Texto

Texto
En este modo pueden crearse textos o fórmulas de LaTeX en la ventana geométrica.
• Al dar clic sobre el área gráfica se crea un nuevo texto en esa posición.
• Al dar clic sobre un punto, se crea un nuevo campo de texto cuya ubicación
se vincula y asocia a dicho punto.
A continuación, aparece una caja de diálogo en la que se puede ingresar texto.
Atención: También pueden usarse valores de objetos y así, crear textos dinámicos.
Entrada Descripción
“Este es un texto” texto simple (estático)
“Punto A = ” + A texto dinámico empleando el valor del punto A
“a = ” + a + ”cm” texto dinámico empleando el valor del segmento a
La posición de un texto puede ser absoluta - en pantalla - o relativa respecto del
sistema de coordenadas (ver Propiedades del texto).

Fórmulas LaTeX
En GeoGebra también se pueden escribir fórmulas. Para hacerlo, hay que tildar la
casilla correspondiente a una fórmula LaTeX en la caja de diálogo del modo Texto
y anotar la fórmula según la sintaxis de LaTeX.

21

Aquí, se explican algunos de los más importantes comandos de LaTeX. Revisando
cualquier documentación en LaTeX se obtiene más información sobre el tema.
LaTeX Entrada Resultado
a cdot b a ⋅b
a
frac{a}{b}
b
sqrt{x} x
sqrt[n]{x} n
x
r
vec{v} v
overline{AB} AB
x^{2} x2
a_{1} a1
sinalpha + cosbeta sin α + cos β
b
int_{a}^{b} x dx ∫ xdx
a

∑ i
n 2
sum_{i=1}^{n} i^2 i =1

3.2.15 Imágenes

Intercala imagen
Este modo permite añadir una imagen en una construcción.
• Al dar clic en el área gráfica se fija la esquina inferior izquierda de la imagen.
• Al dar clic sobre un punto se la establece como esquina inferior izquierda.
Luego, se abre una caja de diálogo para seleccionar archivos de entre los que se
puede seleccionar el que corresponda a la imagen a intercalar.

3.2.16 Propiedades de Imágenes
Posición
La posición de una imagen puede ser absoluta - en pantalla - o relativa respecto del
sistema de coordenadas (ver Propiedades de la imagen). Esto se lleva adelante
especificando los tres puntos vértices y ofrece la flexibilidad de escalar, rotar y hasta
distorsionar las imágenes
• 1. Esquina: (posición de la esquina izquierda inferior de la imagen)
• 2. Esquina (posición inferior derecha de la imagen)
Atención: Sólo puede fijarse esta esquina cuando ya se estableció la previa.
Pasa a controlar el ancho de la imagen.
• 4. Esquina (posición superior izquierda de la imagen)
Atención: Sólo puede fijarse cuando ya se estableció el la primera esquina
Pasa a controlar la altura de la imagen..
Atención: Ver también el comando Esquina
Ejemplos:
Para explorar los efectos de los puntos esquina, conviene crear tres puntos A, B y C.

22

• Fijemos A como la primera y B como la segunda esquina de la imagen. Al
arrastrar A y B en el modo Desplaza, puede explorarse su influencia muy
fácilmente.
• Podemos fijar, a continuación, A como la primera y C como la cuarta esquina,
para explorar cómo el desplazamiento de estos puntos influye en la imagen.
• Finalmente, pueden establecerse los tres puntos de esquina para observar
cómo al arrastrarlos, se distorsiona la imagen.
Tras observar cómo influir sobre la posición y tamaño de una imagen, vale la pena
experimentar otras alternativas. Al adjuntar una imagen a un punto A, se fija a 3
unidades su ancho y a 4, su altura, llevando adelante lo siguiente:
• 1. Esquina: A
• 2. Esquina: A + (3, 0)
• 4. Esquina: A + (0, 4)
Atención: Al arrastrar el punto A apelando al modo Desplaza, la imagen conserva
la medida deseada.

Imagen de Fondo
Puede establecerse una imagen de fondo (ver Propiedades de la imagen). Una
imagen de fondo, yace tras los ejes de coordenadas y ya no vuelve a resultar
accesible a la selección vía mouse.
Atención: Para modificar la condición de "telón de fondo" de una imagen, se deben
cambiar sus Propiedades desde dicha opción del menú Edita.

Transparencia
Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto objetos
como los ejes que queden tras ella. Para fijar esta condición de transparencia de una
imagen, se especifica un valor entre 0% y 100% para el valor de sombreado (ver
Propiedades de la imagen).

23

4. Entrada Algebraica
Pasaremos en este capítulo, a explicar cómo hacer ingresos por teclado para crear y
modificar objetos en GeoGebra.

4.1 Anotaciones Generales
Valores, coordenadas y ecuaciones de objetos libres y dependientes se exponen en
la ventana algebraica (a mano izquierda). Los objetos libres no dependen de ningún
otro objeto y pueden ser modificados directamente.

Pueden crearse y modificarse objetos vía entrada en el campo de texto al pie de la
pantalla (ver Entrada Directa; ver Comandos).
Atención: Siempre se debe pulsar la tecla Enter tras ingresar la definición de un
objeto en la línea de entrada.

4.1.1 Modificación de valores
Los objetos libres pueden ser modificados pero los dependientes, no. Para operar
cambiando el valor de un objeto libre, basta re-escribirlo, ingresando el nuevo valor
en el campo de entrada de texto (ver Entrada Directa).
Ejemplo: Para cambiar el valor de un número existente a = 3, basta anotar a = 5 en
el campo de entrada y pulsar la tecla Enter.
Atención: La alternativa a anotarlo directamente, sería manejarse en la ventana
algebraica seleccionando la opción Redefine del Menú Contextual o dando doble
clic en un objeto en el modo Desplaza.

4.1.2 Animación
Para modificar de forma continua un número o ángulo, basta seleccionar el modo
Desplaza y dar clic sobre el número o ángulo y pulsar la tecla + o -. Se produce un
efecto de animación al mantener permanentemente, una de estas teclas, pulsada.
Ejemplo: Si las coordenadas de un punto dependen de un número k como en P = (2
k, k), el punto se desplazará a lo largo de una recta si k se modifica continuamente.

Con las teclas-flecha puede desplazarse cualquier objeto libre en modo Desplaza
(ver Animación; ver modo Desplaza).
Atención: El incremento es ajustable y se fija usando la Caja de Diálogo de
Propiedades del objeto.
Atajos:
• Ctrl + tecla flecha establece etapas de a 10 unidades
• Alt + tecla flecha establece etapas de ancho de 100 unidades
Atención: Se puede mover cualquier punto de una recta, empleando la tecla + o la
tecla - (ver Animación).

24

4.2 Ingreso Directo
GeoGebra puede operar con números, ángulos, puntos, vectores, segmentos,
rectas, secciones cónicas, funciones y curvas paramétricas. Explicaremos cómo
podemos ingresar estos objetos a través de coordenadas o ecuaciones en el campo
de entrada.
Atención: También se pueden emplear índices con los nombres de los objetos: A1 o
SAB se ingresan como A_1 o s_{AB}. El guión bajo precede al o a los subídices.

4.2.1 Números y Angulos
Los números y ángulos usan el signo “.” como punto decimal.
Ejemplo: Se procura un número r anotando r = 5.32
Atención: También puede emplearse la constante π y la de Euler e para expresiones
y cálculos seleccionándolos en los menúes que se despliegan próximos a los
campos de entrada.

Los ángulos se ingresan en grados (°) o en radianes (rad). La constante π es útil
para los valores en radianes y puede también anotarse como pi

Ejemplo: Un ángulo α puede ingresarse en grados (α = 60) o radianes (α =
pi/3).

Atención: GeoGebra realiza todos los cálculos internos en radianes. El símbolo ° no
es sino una constante para convertir π/180 de grados a radianes.

Deslizadores y Teclas-Flecha
Tanto los números como los ángulos libres pueden exponerse como deslizadores
ajustables sobre la ventana geométrica (ver modo Desliza). Con las teclas-flecha
se puede cambiar el valor de números y ángulos, también en la ventana algebraica
(ver Animación).

Valor Límite a Intervalo
Tanto los números libres como los ángulos pueden limitarse a un intervalo [min, max]
(ver Caja de Diálogo de Propiedades). Este intervalo se emplea también para un dial
Deslizador.

Para cada ángulo dependiente se puede especificar si se puede reflejar o no (ver
Caja de Diálogo de Propiedades).

4.2.2 Puntos y Vectores
Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenadas cartesianas o polares
(ver Números y Angulos).

Atención: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores..
Ejemplos:
• Para ingresar un punto P o un vector v en coordenadas cartesianas se anota
P = (1, 0) o v = (0, 5).
25

• Para usar coordenadas polares se anota P = (1; 0°) o v = (5; 90°).

4.2.3 Recta
Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica. En
ambos casos, se pueden emplear variables previamente definidas (números, puntos,
vectores)
Atención: El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada, seguido
de los dos puntos.

Ejemplos:
• Podemos definir una recta g ingresando la ecuación g : 3x + 4y = 2
como ecuación lineal.
• Debe definirse un parámetro t (t = 3) antes de ingresar la recta g en formato
paramétrico como g: X = (-5, 5) + t (4, -3).
• En primer lugar, deben definirse los parámetros m = 2 y b = -1 antes de
ingresar la ecuación g: y = m x + b para obtener una recta g en el
formato interceptado y.

Ejex y Ejey
A sendos ejes de coordenadas se accede con los comandos correspondientes a
través de ejeX y ejeY respectivamente.
Ejemplo: El comando Perpendicular[A, ejeX] construye la recta perpendicular
al eje x que pasa por el punto A.

4.2.4 Sección Cónica
Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y. Se pueden
emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores). El nombre de
la sección cónica debe ser anotado encabezando la entrada, seguido de los dos
puntos.

Ejemplos:
• Elipse ell: ell: 9 x^2 + 16 y^2 = 144
• Hipérbola hyp: hyp: 9 x^2 – 16 y^2 = 144
• Parábola par: par: y^2 = 4 x
• Circunferencia k1: k1: x^2 + y^2 = 25
• Circunferencia k2: k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25

Atención: Sean dos parámetros a = 4 y b = 3 a partir de los que se puede
ingresar una elipse como ell: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

4.2.5 Función de x
Para ingresar una función podemos emplear variables previamente definidas
(números, puntos, vectores) y otras funciones.

Ejemplos:
26

• Función f: f(x) = 3 x^3 – x^2
• Función g: g(x) = tan(f(x))
• Función sin nombre: sin(3 x) + tan(x)

Todas las funciones internas (como seno, coseno, tangente - sin, cos, tan - etc.) se
describen en la sección dedicada a operaciones aritméticas (ver Operaciones
Aritméticas).

En GeoGebra existen comandos para obtener la Integral y Derivada de una función.

También se puede emplear f’(x) o f’’(x),… para las derivadas de una función
f(x) previamente definida:

Ejemplo: Tras definir la función f como f(x) = 3 x^3 – x^2 se puede ingresar
en g(x) = cos(f’(x + 2)) para obtener la función g.

Además, las funciones pueden ser trasladadas por un vector (ver comando Traslada)
y una función libre puede desplazarse con el mouse (ver modo Desplaza).

Función Limitada a Intervalo
Para limitar una función a un intervalo [a, b], ], debe emplearse el comando Función
(ver comando Función).

4.2.6 Listas de Objetos
Usando paréntesis se puede crear una lista de varios objetos (como puntos,
segmentos, circunferencias).

Ejemplos:
• L = {A, B, C} establece una lista de tres puntos definidos previamente
A, B, y C.
• L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} produce una lista de los puntos
ingresados, en tanto puntos sin nominar..

4.2.7 Operaciones Aritméticas
Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones (ver Entrada Directa) se pueden
emplear expresiones aritméticas con paréntesis.

27

Las siguientes operaciones están disponibles en GeoGebra:
Operación Entrada
suma +
resta -
producto * o barra espaciadora
producto escalar * o tecla espaciadora
división /
exponenciación ^ o 2
factorial !
Función Gamma gamma( )
paréntesis ( )
coordenada-x x( )
coordenada-y y( )
valor absoluto abs( )
signo sgn( )
Raíz cuadrada sqrt( )
Raíz cúbica cbrt( )
número aleatorio entre 0 y 1 random( )
función exponencial exp( ) o ℯx
logaritmo (natural, de e) ln( ) o log( )
logaritmo de2 ld( )
logaritmo de10 lg( )
coseno cos( )
seno sin( )
tangente tan( )
arco coseno acos( )
arco seno asin( )
arco tangente atan( )
coseno hiperbólico cosh( )
Seno hiperbólico sinh( )
tangente hiperbólica tanh( )
coseno antihiperbólico acosh( )
seno antihiperbólico asinh( )
tangente antihiperbólica atanh( )
mayor entero menor o igual que floor( )
menor entero mayor o igual que ceil( )
redondeo round( )

Ejemplos:
• El punto medio M de dos puntos A y B podría ingresarse como M = (A + B)
/ 2.
• La longitud de un vector v podría calcularse usando l = sqrt(v * v).
Atención: Podemos apreciar que en GeoGebra. se pueden hacer cálculos con
puntos y con vectores también.

4.2.8 Variables Booleanas
Pueden emplearse las variables Booleanas “cierto” y “falso” en GeoGebra.

28

Ejemplo: Se puede anotar a = true o b = false en el campo de entrada y pulsar
la tecla Enter.

Casilla a Tildar y Teclas Flecha
Las variables Booleanas libres pueden exponerse en las casilla a tildar en la zona
gráfica (ver modo Tildar el casillero para exponer / ocultar los objetos). Apelando
a las teclas flecha se pueden cambiar las variables Booleanas también en la ventana
algebraica (ver Animación).

4.2.9 Operaciones Booleanas
Se pueden usar las siguientes operaciones Booleanas en GeoGebra:
Cuando la “Entrada” está activada, los operadores pueden elegirse del listado
desplegable próximo al campo de ingreso de comandos y las variables del
siguiente..
Operación Ejemplo Tipos
números, puntos, rectas,
Igual ≟ o == a ≟ b o a == b
cónicas a, b
números, puntos, rectas,
desigual ≠ o != a ≠ b o a != b
cónicas a, b
menor que < a < b números a, b
mayor que > a > b números a, b
menor o igual a ≤ o <= a ≤ b o a <= b números a, b
mayor o igual a ≥ o >= a ≥ b o a >= b números a, b
.Y. ∧ a ∧ b Booleanas a, b

.O. ∨ a ∨ b Booleanas a, b
No ¬o! ¬a o !a Booleanas a
paralela ∥ a ∥b rectas a, b

perpendicular ⊥ a ⊥b rectas a, b

4.3 Comandos
Con la ayuda de los comandos podemos crear nuevos objetos o modificar los
existentes. El resultado de un comando puede nominarse ingresando un rótulo
sucedido por “=”. En el ejemplo que aparece más adelante un nuevo punto se
llamará S.
Ejemplo: La intersección de dos rectas g y h produce un nuevo punto, que puede
ingresarse como S = Intersecta[g,h] (ver comando Intersecta).
Atención: Se pueden usar índices también : con los nombres de los objetos: A1 o SAB
se anota como A_1 o s_{AB}.

29

4.3.1 Comandos Generales
Relación
Relación[objeto a, objeto b]: expone un cuadro de mensaje que informa la
relación del objeto a y el b. Atención: Este comando nos permite averiguar si
dos objetos son iguales, si un punto pertenece a una recta o a una cónica, o si una
recta es tangente o cruza a una recta o a una cónica.

Borra
Borra[objeto a]: Borra un objeto a y todos sus subalternos.

Elemento
Elemento[lista L, número n]: elemento número n de una lista L (enésimo)

4.3.2 Comandos Booleanos
Si[condición, a, b]: proporciona una copia del objeto a si condición resulta
cierta, y una del objeto b si se determina falsa.
Si[condición, a]: proporciona una copia del objeto a si condición resulta
cierta, y un objeto indefinido si se determina falsa..

4.3.3 Número
Longitud
Longitud[vector v]: Longitud de un vector v
Longitud[punto A]: Longitud del vector de posición de A
Longitud[función f, número x1, número x2]: Longitud del gráfico de la
función f entre números x1 y x2
Longitud[función f, punto A, punto B]: Longitud del gráfico de la función
f entre dos puntos A y B en el gráfico
Longitud[curva c, número t1, número t2]: Longitud de la curva c entre
números t1 y t2
Longitud[curva c, punto A, punto B]: Longitud de la curva c entre dos
puntos A y B en la curva
Longitud[list L]: Longitud de la lista L (número de elementos de la lista)

Area
Area[punto A, punto B, punto C, ...]: Área del polígono definido por los
puntos dados A, B y C
Area[cónica c]: Área de una sección cónica c (circunferencia o elipse)

Distancia
Distancia[punto A, punto B]: Distancia entre dos puntos A y B
Distancia[punto A, recta g]: Distancia entre un punto A y una recta g
Distancia[recta g, recta h]: Distancia entre las rectas g y h. Atención: La
distancia entre rectas secantes (que se intersectan) es 0. Esta función es
interesante para rectas paralelas.

30

Función Módulo o Resto
Resto[número a, número b]: Resto correspondiente cuando un número a se
divide por un número b

División Entera
División[número a, número b]: Cociente entero resultante de la división de
un número a por un número b

Pendiente
Pendiente[recta g]: Pendiente de una recta g. Atención: Este comando también
traza la pendiente del triángulo cuya medida puede modificarse (ver Caja de
Diálogo de Propiedades).

Curvatura
Curvatura[punto A, función f]: Curvatura de la función f en punto A
Curvatura[punto A, curva c]: Curvatura de la curva c en punto A

Radio
Radio[cónica c]: Radio de una circunferencia c

PeriCónica
PeriCónica[cónica c]: Establece el perímetro de una sección cónica c
(circunferencia o elipse)

Perímetro
Perímetro[polígono poly]: Perímetro de un polígono poly

Parámetro
Parámetro[parábola p]: Parámetro de una parábola p (distancia entre directriz
y foco)

LongitudPrimerEje
LongitudPrimerEje[cónica c]: Longitud del eje principal de una sección
cónica c.

LongitudSegundoEje
LongitudSegundoEje[cónica c]: Longitud del Segundo eje de una sección
cónica c

Excentricidad
Excentricidad[cónica c]: Excentricidad de una sección cónica c

Integral
Integral[función f, número a, número b]: Integral definida de una
función f(x) desde el número a al b. Atención: Este comando también traza el
área entre el gráfico de la función f y el eje x.
Integral[función f, función g, número a, número b]: Integral definida
de las diferencias de las funciones f(x) - g(x) desde el número a al número b.

31

Atención: Este comando también traza el área entre el gráfico de la función de
f y g.

Atención: Ver Integral Indefinida

SumaInferior
SumaInferior[función f, número a, número b, número n]: Suma
inferior de la función f en el intervalo [a, b] con n rectángulos. Atención: Este
comando también traza los rectángulos de la suma inferior.

SumaSuperior
SumaSuperior[función f, número a, número b, número n]: Suma
superior de la función f en el intervalo [a, b] con n rectángulos. Atención: Este
comando también traza los rectángulos de la suma superior

Iteración
Iteración[función f, número x0, número n]: Itera la función f n veces
usando el valor inicial dado x0.
Ejemplo: Tras definir f(x) = x^2 el comando Iteración[f, 3, 2]
brinda el resultado (32)2 = 27

Mínimo y Máximo
Mín[número a, número b]: Mínimo de los números a y b dados
Máx[número a, número b]: Máximo de los números a y b dados

Razón de Segmentos
RazónDeSegmentos[punto A, punto B, punto C]: Establece la Razón de
Segmentos λ de los tres puntos colineales A, B y C, donde C = A + λ * AB

Razón Dupla
RazónDupla[punto A, punto B, punto C, punto D]: Establece la razón
cruzada λ de cuatro puntos colineales A, B, C y D, donde λ =
RazónDeSegmentos[B, C, D] / RazónDeSegmentos[A, C, D]

4.3.4 Ángulo
Ángulo
Ángulo[vector v1, vector v2]: Ángulo entre dos vectores v1 y v2 (entre 0 y
360°)
Ángulo[recta g, recta h]: Ángulo entre dos vectores directrices de dos rectas
g y h (entre 0 y 360°)
Ángulo[punto A, punto B, punto C]: Ángulo tendido entre BA y BC (entre 0
y 360°). El punto B es el vértice.
Ángulo[punto A, punto B, ángulo alpha]: Ángulo de amplitud α trazado
desde B con vértice en A. Atención: El punto Rota[B, A, α] también se crea.
Ángulo[cónica c]: Ángulo de revolución del eje principal de una sección cónica c
(ver comando Ejes)
Ángulo[vector v]: Ángulo entre eje-x y vector v
Ángulo[punto A]: Ángulo entre eje-x y el vector de posición del punto A
32

Ángulo[número n]: Convierte un número en un ángulo (resultando entre 0 y 2pi)
Ángulo[polígono polig]: Todos los ángulos interiores de un polígono polig

4.3.5 Punto
Punto
Punto[recta g]: Punto en recta g
Punto[cónica c]: Punto en sección cónica c (circunferencia, elipse, hipérbola)
Punto[función f]: Punto en función f
Punto[polígono poly]: Punto en polígono poly
Punto[vector v]: Punto en vector v
Punto[punto P, vector v]: Punto P más vector v

PuntoMedio y Centro
PuntoMedio[punto A, punto B]: Punto Medio de puntos A y B
PuntoMedio[segmento s]: Punto Medio de segmento s
Centro[cónica c]: Centro de una sección cónica c (circunferencia, elipse,
hipérbola)

Foco
Foco[cónica c]: (Todos) los focos de una sección cónica c

Vértice
Vértice[cónica c]: (Todos) los vértices de una sección cónica c

Centroide
Centroide[polígono poly]: Centroide de un polígono poly

Intersecta
Intersecta[recta g, recta h]: Punto de intersección de f rectas g y h
Intersecta[recta g, cónica c]: Todos los puntos de Intersección de recta g
y sección cónica c (máx. 2)
Intersecta[recta g, cónica c, número n]: punto número n de
intersección de recta g y sección cónica c
Intersecta[cónica c1, cónica c2]: Todo punto de intersecciones de
secciones cónicas c1 y c2 (máx. 4)
Intersecta[cónica c1, cónica c2, número n]: punto número n de
intersección de secciones cónicas c1 y c2
Intersecta[polinomio f1, polinomio f2]: Todo punto de intersecciones
de polinomios f1 y f2
Intersecta[polinomio f1, polinomio f2, número n]: punto número n de
intersección de polinomios f1 y f2
Intersecta[polinomio f, recta g]: Todo punto de intersecciones de
polinomio f y recta g
Intersecta[polinomio f, recta g, número n]: punto número n de
intersección de polinomio f y recta g
Intersecta[función f, función g, punto A]: Punto de intersección de
funciones f y g con punto inicial A (por método de Newton)

33

Intersecta[función f, recta g, punto A]: Punto de intersección de
función f y recta g con punto inicial A (por método de Newton)

Atención: Ver también modo Intersección entre dos objetos

Raíz
Raíz[polinomio f]: Todas las raíces del polinomio f (como puntos)
Raíz[función f, número a]: Una raíz de la función f con valor inicial a (método
de Newton)
Raíz[función f, número a, número b]: Una raíz de la función f en el
intervalo [a, b] (regula falsi)

Extremo
Extremo[polinomio f]: Todo extremos local del polinomio f (como puntos)

PuntoInflexión
PuntoInflexión[polinomio f]: Todo punto de inflexión del polinomio f

4.3.6 Vector
Vector
Vector[punto A, punto B]: Vector desde el punto A al punto B
Vector[punto A]: Posición vectorial de un punto A

Dirección
Dirección[recta g]: Vector directriz de una recta g. Atención: Una recta cuya
ecuación es ax + by = c tiene vector directriz (b, - a).

Versor
Versor[recta g]: Vector directriz de longitud unitaria de una recta g
Versor[vector v]: Vector con longitud unitaria, con la misma dirección y
orientación del vector dado v

PerpendicularVector
PerpendicularVector[recta g]: Vector perpendicular de una recta g.
Atención: Una recta con ecuación ax + by = c tiene vector perpendicular (a, b).
PerpendicularVector[vector v]: Vector perpendicular de un vector v.
Atención: El vector de coordenadas (a, b) tiene uno perpendicular de (- b, a).

PerpendicularVersor
PerpendicularVersor[recta g]: Versor (vector de longitud unitaria)
perpendicular a una recta g
PerpendicularVersor[vector v]: Versor (vector de longitud unitaria)
perpendicular de un vector v

Vector Curvatura
VectorCurvatura[punto A, función f]: Vector de la función f en el punto A
VectorCurvatura[punto A, curva c]: Vector de la curva c en el punto A

34

4.3.7 Segmento
Segmento
Segmento[punto A, punto B]: Segmento entre dos puntos A y B
Segmento[punto A, número a]: Segmento con Longitud a y punto inicial A.
Atención: El punto final del segmento también se crea.

4.3.8 Semirrecta
Semirrecta
Semirrecta[punto A, punto B]: Semirrecta que se inicia en el punto A y pasa
por el punto B
Semirrecta[punto A, vector v]: Semirrecta que se inicia en el punto A y
tiene la dirección del vector v

4.3.9 Polígono
Polígono
Polígono[punto A, punto B, punto C,...]: Polígono definido por los
puntos A, B, C,… dados
Polígono[punto A, punto B, número n]: Polígono regular con n vértices
(incluyendo los puntos A y B)

4.3.10 Recta
Recta
Recta[punto A, punto B]: Recta que pasa por los puntos A y B
Recta[punto A, recta g]: Recta que pasa por el punto A y es paralela a la
recta g
Recta[punto A, vector v]: Recta que pasa por el punto A y tiene la dirección
del vector v

Perpendicular
Perpendicular[punto A, recta g]: Recta que pasa por el punto A y es
perpendicular a la recta g
Perpendicular[punto A, vector v]: Recta que pasa por el punto A y es
perpendicular al vector v

Mediatriz
Mediatriz[punto A, punto B]: Mediatriz del segmento de extremos AB
Mediatriz[segmento s]: Mediatriz del segmento s

Bisectriz
Bisectriz[punto A, punto B, punto C]: Bisectriz angular del ángulo
definido por los puntos A, B y C. Atención: El punto B es el vértice de este
ángulo.

35

BisectrizAngular[recta g, recta h]: Bisectrices angulares de los ángulos
formados por las rectas g y h.

Tangente
Tangente[punto A, cónica c]: (Todas) las tangentes que pasan por el punto
A y son tangentes a la sección cónica c
Tangente[recta g, cónica c]: (Todas) las tangentes a la sección cónica c
que son paralelas a la recta g
Tangente[número a, función f]: Tangente a la función f(x) en x = a
Tangente[punto A, función f]: Tangente a la función f(x) en x = x(A)
Tangente[punto A, curva c]: Tangente a la curva c en el punto A

Asíntota
Asíntota[hipérbola h]: Ambas asíntotas de una hipérbola h

Directriz
Directriz[parábola p]: Directriz de una parábola p

Ejes
Ejes[cónica c]: Ejes principal y secundario de una sección cónica c

PrimerEje
PrimerEje[cónica c]: Eje principal de una sección cónica c

SegundoEje
SegundoEje[cónica c]: Eje secundario de una sección cónica c

Polar
Polar[punto A, cónica c]: Recta polar de un punto A relativo a la sección
cónica c

Diámetro
Diámetro[recta g , cónica c]: Diámetro paralelo a la recta g relativo a la
sección cónica c
Diámetro[vector v, cónica c]: Diámetro con vector directriz v relativo a la
sección cónica c

4.3.11 Sección cónica
Circunferencia
Circunferencia[punto M, número r]: Circunferencia con centro M y radio r
Circunferencia[punto M, segmento s]: Circunferencia con centro M y radio
de la longitud de s
Circunferencia[punto M, punto A]: Circunferencia con centro M y que pasa
por el punto A
Circunferencia[punto A, punto B, punto C]: Circunferencia que pasa por
los tres puntos A, B y C

36

Circunferencia Osculante
CircunferenciaOsculante[punto A, función f]: Circunferencia Osculante
de la función f en el punto A
CircunferenciaOsculante[punto A, curva c]: Circunferencia Osculante de
la curva c en el punto A

Elipse
Elipse[punto F, punto G, número a]: Elipse con puntos focales F y G y eje
principal de longitud a. Atención: Condición: 2a > Distancia[F, G]
Elipse[punto F, punto G, segmento s]: Elipse con puntos focales F y G
siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a = Longitud[s]).

Hipérbola
Hipérbola[punto F, punto G, número a]: Hipérbola con puntos focales F y
G y eje principal de longitud a. Atención: Condición: 0 < 2a < Distancia[F, G]
Hipérbola[punto F, punto G, segmento s]: Hipérbola con puntos focales F
y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a =
Longitud[s])

Parábola
Parábola[punto F, recta g]: Parábola con punto focal F y directriz g

Cónica
Cónica[punto A, punto B, punto C, punto D, punto E]: Sección
cónica que pasa por los cinco puntos A, B, C, D y C. Atención: No son
colineales cuatro de esos puntos.

4.3.12 Función
Derivada
Derivada[función f]: Derivada de la función f(x)
Derivada[función f, número n]: Derivada de orden n de la función f(x)

Atención: Puede usarse f’(x) en lugar de Derivada[f]así como f’’(x) en
lugar de Derivada[f, 2].

Integral
Integral[función f]: Integral Indefinida para la función f(x)
Atención: Ver Integral Definida

Polinomio
Polinomio[función f]: Polinomio desarrollado de la función f.
Ejemplo: Polinomio[(x - 3)^2] se desarrolla como x2 - 6x + 9

PolinomioTaylor
PolinomioTaylor[función f, número a, número n]: Desarrollo de serie
de potencias para la función f en torno al punto x = a de orden n

37

Función
Función[función f, número a, número b]: Función, es igual a f en el
intervalo [a, b] y no definida fuera de [a, b]

Función Condicional
Puede usarse el comando Booleano Si (ver comando Si) para crear una función
condicional.
Atención: Pueden usarse derivadas y integrales de tales funciones e Intersectarlas
como funciones “normales”.
Ejemplo:
f(x) = Si[x < 3, sin(x), x^2] ofrece una función igual a:
• sin(x) para x < 3 y
• x2 para x ≥ 3.

4.3.13 Curvas paramétricas
Curva[expresión e1, expresión e2, parámetro t, número a,
número b]: Curva paramétrica cartesiana dados la expresión en x e1 y la
expresión en y e2 (usando el parámetro t) en el intervalo establecido [a, b]
Ejemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]

Derivada[curva c]: Derivada de la curva c
Atención: Las curvas paramétricas pueden usarse como funciones en expresiones
aritméticas.
Ejemplo: Entrada c(3) brinda el punto en la posición paramétrica 3 en la curva c.

Atención: Usando el mouse puede ubicarse un punto en una curva apelando al
modo Nuevo Punto (ver modo Nuevo Punto; así como el comando Punto). Como
los parámetros a y b son dinámicos, pueden emplearse variables deslizantes allí (ver
modo Desliza).

4.3.14 Arco y Sector
Atención: El valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector, su área.

Semicircunferencia
Semicircunferencia[punto A, punto B]: Semicircunferencia por encima del
segmento AB.

ArcoCircular
ArcoCircular[punto M, punto A, punto B]: Arco Circular con Punto Medio
M entre puntos A y B. Atención: El punto B no debe necesariamente que estar
sobre el arco.

ArcoCircumcircular
ArcoCircumcircular[punto A, punto B, punto C]: Arco circular que cruza
los tres puntos A, B y C

38

Arco
Arco[cónica c, punto A, punto B]: Arco de sección cónica entre dos puntos
A y B en la sección cónica c (circunferencia o elipse)
Arco[cónica c, número t1, número t2]: Arco de sección cónica entre dos
valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica c para los siguientes
formatos paramétricos:
o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia
o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer eje y
del segundo respectivamente

SectorCircular
SectorCircular [punto M, punto A, punto B]: Sector circular con Punto
Medio M entre dos puntos A y B. Atención: El punto B no debe
necesariamente que pertenecer al arco.

SectorCircumcircular
SectorCircumcircular [punto A, punto B, punto C]: Sector circular que
pasa por los tres puntos A, B y C

Sector
Sector[cónica c, punto A, punto B]: Sector de la sección cónica entre dos
puntos A y B sobre la cónica c (circunferencia o elipse)
Sector[cónica c, número t1, número t2]: Sector de la sección cónica
entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica c para los
siguientes formatos paramétricos:
o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia
o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer eje y
del segundo, respectivamente

4.3.15 Imagen
Esquina
Esquina[imagen pic, número n]: enésima esquina, número n (establecida por
n), de una imagen pic con un máximo de 4 vértices

4.3.16 Locus – Lugar Gométrico
Lugar Geométrico
LugarGeométrico[punto Q, punto P]: Lugar geométrico del punto Q que
depende del punto P.
Atención: El punto P debe ser un punto sobre un objeto (recta, segmento,
circunferencia).

39

4.3.17 Secuencia
Secuencia
Secuencia[expresión e, variable i, número a, número b]: Lista de
objetos creados usando la expresión e y el índice i de un rango que va desde
el número a al número b.
Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5] crea una lista de puntos
cuyas coordenadas-y están en un rango desde el 1 al 5
Secuencia[expresión e, variable i, número a, número b, número
s]: Lista de objetos creados usando la expresión e y el índice i de un rango
que va desde el número a al número b dado un paso de medida s.
Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5, 0.5] crea una lista de
puntos cuyas coordenadas-y están en un rango que va desde el 1 al 5 con
una medida de paso de 0.5.

Atención: Como los parámetros a y b son dinámicos, se pueden emplear en este
caso variables de deslizamiento.

Otra Secuencia de Comandos
Elemento[lista L, número n]: enésimo elemento n de una lista L
Longitud[lista L]: Longitud de una lista L
Mín[lista L]: Mínimo elemento de una lista L
Máx[lista L]: Máximo elemento de una lista L

Iteración
IteraciónListado[función f, número x0, número n]: Lista L de longitud
n+1 cuyos elementos son iteraciones de la función f empezando con el valor
x0.
Ejemplo: Tras definir la función f(x) = x^2 el comando L =
IteraciónLista[f, 3, 2] establece la lista L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 27}

4.3.18 Transformaciones geométricas
Si asignamos uno de los siguiente comandos a un nuevo nombre, se producirá una
copia del objeto transformado.
Atención: El comando Refleja[A, g] refleja el punto A según la recta g y cambia
la posición del punto A. Anotando B = Refleja[A, g] se producirá un nuevo
punto B en tanto que A permanecerá inconmovible.

Translada
Translada[punto A, vector v]: Translada el punto A por el vector v
Translada[recta g, vector v]: Translada recta g por vector v
Translada[cónica c, vector v]: Translada cónica c por vector v
Translada[función c, vector v]: Translada función f por the vector v
Translada[polígono poly, vector v]: Translada polígono poly por vector v.
Atención: Se crean también nuevos vértices y segmentos.
Translada[imagen pic, vector v]: Translada image pic por vector v
Translada[vector v, Punto P]: Translada vector v to punto P

40

Atención: Ver también modo Translada objeto por vector

Rota
Rota[punto A, ángulo phi]: Rota punto A por ángulo φ en torno al origen de
coordenadas
Rota[vector v, ángulo phi]: Rota vector v por ángulo φ
Rota[recta g, ángulo phi]: Rota recta g por ángulo φ en torno al origen de
coordenadas
Rota[cónica c, ángulo phi]: Rota sección cónica c por ángulo φ en torno al
origen de coordenadas
Rota[polígono poly, ángulo phi]: Rota polígono poly por ángulo φ en torno
al origen de coordenadas. Atención: Se crean también nuevos vertices y
segmentos.
Rota[image pic, ángulo phi]: Rota imagen pic por ángulo φ en torno al
origen de coordenadas
Rota[punto A, ángulo phi, punto B]: Rota punto A por ángulo φ en torno al
punto B
Rota[recta g, ángulo phi, punto B]: Rota recta g por ángulo φ en torno al
punto B
Rota[cónica c, ángulo phi, punto B]: Rota sección cónica c por ángulo φ
en torno al punto B
Rota[polígono poly, ángulo phi, punto B]: Rota polígono poly por
ángulo φ en torno al punto B. Atención: Se crean también nuevos vertices y
segmentos.
Rota[image pic, ángulo phi, punto B]: Rota imagen pic por ángulo φ en
torno al punto B

Atención: Ver también modo Rota objeto en torno a un punto por un ángulo

Refleja
Refleja[punto A, punto B]: Refleja punto A por punto B
Refleja[recta g, punto B]: Refleja recta g por punto B
Refleja[cónica c, punto B]: Refleja sección cónica c por punto B
Refleja[polígono poly, punto B]: Refleja polígono poly por punto B.
Atención: Se crean también nuevos vértices y segmentos.
Refleja[image pic, punto B]: Refleja image pic por punto B
Refleja[punto A, recta h]: Refleja punto A por recta h
Refleja[recta g, recta h]: Refleja recta g por recta h
Refleja[cónica c, recta h]: Refleja cónica c por recta h
Refleja[polígono poly, recta h]: Refleja polígono poly por recta h.
Atención: Se crean también nuevos vertices y segmentos.
Refleja[image pic, recta h]: Refleja image pic por recta h

Atención: Ver también modo Reflexión objeto por punto; modo Reflexión objeto
por recta

Dilata
Dilata[punto A, número f, punto S]: Dilata punto A desde el punto S
usando factor f

41

Dilata[recta h, número f, punto S]: Dilata recta h desde punto S usando
factor f
Dilata[cónica c, número f, punto S]: Dilata sección cónica c desde punto
S usando factor f
Dilata[polígono poly, número f, punto S]: Dilata polígono poly desde
punto S usando factor f. Atención: New vertices y segments are created too.
Dilata[image pic, número f, punto S]: Dilata image pic desde punto S
usando factor f

Atención: Ver también modo Dilata objeto desde punto por vector

42

5. Imprimiendo y Exportando

5.1 Imprimiendo

5.1.1 Zona Gráfica
En el menú Archivo, la opción Previsualiza Impresión, Zona Gráfica permite
especificar el título, autor, fecha y escala de la salida impresa (en cm).

Atención: Debe pulsarse Enter tras cualquier cambio para actualizar la ventana
previa.

5.1.2 Protocolo de Construcción
Para abrir la ventana de previsualización de impresión del protocolo de construcción,
se precisa abrir el Protocolo de Construcción en primer lugar (menú Visualiza) en
que aparece el ítem Previsualiza Impresión en el menú Archivo de la ventana
emergente.
Atención: Se puede alternar en las diferentes columnas Nombre, Definición,
Comando, Álgebra, y Punto de Interrupción del protocolo de construcción en este
caso (ver menú Visualiza del protocolo de construcción).

En la ventana de vista previa del protocolo de construcción se puede ingresar título,
autor y fecha antes de la impresión de la construcción.

Hay una barra de navegación al pie de la ventana del protocolo de construcción.
Permite navegar paso a paso a través del la construcción (ver Barra de Navegación).
Atención: Usando la columna Punto de Interrupción (menú Visualiza) se pueden
definir ciertos pasos de construcción así como puntos de interrupción permitiendo la
agrupación de objetos. Cuando se navega a través de la construcción por medio de
la barra de navegación los objetos agrupados se exponen simultáneamente.

5.2 Zona Gráfica como Dibujo
El ítem Exporta Zona Gráfica como Dibujo se encuentra en el menú Archivo, dentro
de la opción Exporta. Aquí, puede especificarse la escala (en cm) y la resolución (en
dpi) del archivo de salida. La verdadera medida de la imagen exportada aparece al
pie de la ventana.
Al exportar la zona gráfica como dibujo se pueden seleccionar uno de los siguientes
formatos:

PNG – Portable Network Graphics
Este es un formato gráfico “pixelado”. Cuanto mayor es la resolución (dpi), mejor el
la calidad (300dpi será, por lo general, suficiente). Al escalar un gráfico PNG
generalmente se pierde calidad y, por lo tanto es conveniente no escalarlos.

43

Los archivos gráficos PNG son muy adecuados para ilustrar páginas web (html) y
documentos MSWord.
Atención: Cuando se intercala un archivo PNG en un documento Word, recurriendo
al menú Inserta Imagen desde archivo), hay que asegurarse que la medida se fije al
100 %. De otro modo, la escala dada (en cm) podría modificarse.

EPS – Encapsulated Postscript
Este es un formato gráfico vectorial. Los gráficos EPS pueden escalarse sin pérdida
alguna de calidad. Los archivos gráficos EPS son los más adecuados para
programas gráficos vectoriales como el Corel Draw y los sistemas procesadores de
texto profesionales como LaTeX.

La resolución de un gráfico EPS graphic es siempre 72dpi. Este valor se emplea
solamente para calcular la verdadera medida de una imagen en cm y no tiene efecto
sobre la calidad de la imagen.
Atención: El efecto de coloreo transparente de polígonos o secciones cónicas no es
posible en el formato EPS.

SVG – Scaleable Vector Graphic - Gráfico de Vector Escalable
(ver Formato EPS en sección previa)

EMF – Enhanced Meta Format – Formato Meta Enriquecido
(ver Formato EPS en sección previa)

PSTricks
Para LaTeX

5.3 Zona Gráfica al Portapapeles
En el menú Archivo, ofrece la opción Zona Gráfica al Portapapeles para copiar un
pantallazo de la zona gráfica al portapapeles del sistema como dibujo PNG (ver
Formato PNG). Este dibujo puede pegarse en otro programa (por ejemplo: un
documento Word de Microsoft).

Atención: Para exportar una construcción a cierta escala (en cm), se emplea la
opción Exporta Zona Gráfica como Dibujo del Exporta del menú Archivo (ver Exporta
zona Gráfica como Dibujo).

5.4 Protocolo de Construcción como Página-Web
Para abrir la ventana de Exporta Protocolo de Construcción se apela al menú
Visuaización, y se abre el Protocolo de Construcción. Allí se encuentra el ítem
Exporta como Página Web bajo el menú Archivo.
Atención: Se pueden ir (des)activando las diferentes columnas del protocolo de
construcción antes de exportar como página web (ver el menú Visualización del
protocolo de construcción).

44

En la ventana de exportación del protocolo de construcción, se puede anotar un
título, autor y fecha de la construcción y determinar si se quiere o no exportar
también el dibujo de la zona gráfica y la ventana algebraica adjunto al protocolo.

Atención: El archivo HTML exportado puede verse con cualquier explorador de
Internet (como el Mozilla, el Internet Explorer...) y editarse con cualquier procesador
de textos (como el Frontpage, el Word...).

5.5 Planilla Dinámica como Página-Web
Bajo la opción Exporta del menú Archivo se encuentra el ítem Planilla Dinámica
como Página Web (html).

En la la ventana de exportación, se puede anotar un título, autor y fecha para la
planilla dinámica..

La pestaña General permite ingresar algún texto en la zona superior e inferior de la
construcción dinámica (por ejemplo, una descripción de la construcción y algunos
ejercicios). La construcción misma puede incluirse directamente en la página web o
abrirse con un “clic” sobre un botón.

La pestaña Avanzado permite cambiar la funcionalidad de la construcción dinámica
(como el ícono de reinicio, doble clic para abrir la ventana de la aplicación) así como
modificar la interfase de uso (como exposición de la barra de herramientas, cambio
de altura y ancho).
Atención: Los valores que se asignan al ancho y la altura de la construcción
dinámica no deben ser demasiado altos ya que debe procurarse que la construcción
dinámica resulte completamente visible al desplegarse el explorador de Internet

Al exportarse una planilla dinámica se crean varios archivos:
• archivo html (por ejemplo, circunf.html), este archivo incluye la planilla misma.
• archivo ggb, (como circunf_planilla.ggb) este archivo incluye la
correspondiente construcción GeoGebra
• geogebra.jar (varios archivos), estos archivos incluyen a GeoGebra y
permiten que la correspondiente planilla resulte interactiva

Todos estos archivos (por ejemplo circunf.html, circunf_planilla.ggb y geogebra.jar)
tienen que estar dentro de la misma carpeta (directorio) para que la construcción
opere dinámicamente. Obviamente, pueden copiarse todos los archivos, además, a
otra carpeta.

El archivo HTML exportado (en el ejemplo circunf.html) puede verse con cualquier
explorador de Internet (como Mozilla, Internet Explorer, Safar). Para que la
construcción opere dinámicamente, la computadora debe contar con el Java
instalado. Se puede bajar gratuitamente el Java desde http://www.java.com. Para
emplear una planilla en computadoras en red de una institución educativa, se le
puede solicitar al administrador local de la red, que instale Java en las
computadoras.

45

Atención: También se puede editar el texto de la planilla con la mayor parte de los
sistemas procesadores de texto (como Frontpage, Word, etc.), abriendo el archivo
HTML exportado.

46

6. Opciones
Las opciones que definen lo Global pueden modificarse en el menú opciones. Para
cambiar el ajuste de los objetos, se apela al Menú Contextual.

6.2 Captación de Puntos
Determina la activación o inhabilitación de la captación de los puntos a la cuadrícula

6.3 Unidad Angular
Determina si los ángulos se expresan en grados (°) o radianes (rad).
Atención: Siempre pueden ingresarse de ambos modos (grados y radianes)..

6.4 Posiciones Decimales
Ajuste de posiciones decimales de 0 a 5.

6.5 Continuidad
Desde el menú de Opciones se puede decidir la activación o inhabilitación de la
heurística de continuidad. GeoGebra apela a la heurística de proximidad para
mantener móviles a los puntos de las intersecciones (recta-cónica, cónica-cónica)
cerca de sus posiciones previas y evitar el “salto” en los puntos de intersecciones.

Atención: Por omisión esta heurística está inhabilitada. Así como lo está para las
herramientas que se definen (ver Definición de Herramientas Propias).

6.6 Estilo de Punto
Determina si los puntos se expone como puntos o cruces.

6.7 Estilo de ángulo recto
Determina si los ángulos rectos se identifican con la marca de un rectángulo, un
punto o tal como los restantes ángulos (en caso de inhabilitación de esta opción).

6.8 Coordenadas
Determina si la notación de los puntos de coordenadas será A = (x, y) o A(x | y).
47

6.9 Rotulado
Especifica si se exhibe o no el rótulo de un objeto recientemente creado.
Atención: La alternativa para ir rotulando en Automático lleva a que a medida que se
creen nuevos objetos, vayan apareciendo en la ventana algebraica, sus rótulos.

6.10 Medidas de Tipografía
Determina la medida, en puntos (pt), de la tipografía para los rótulos y texto.

6.11 Idioma
GeoGebra es multilingüe. Aquí puede definirse o modificarse el idioma en uso. Esto
afecta a lo que se ingresa, incluso nombres de comandos, y a todas las salidas.

6.12 Zona Gráfica
Abre una ventana donde pueden ajustarse las propiedades de la zona gráfica como
ejes, cuadrícula de coordenadas (también conocida como “grilla”) o color de fondo.

6.13 Grabar Ajustes
Se recurre a Grabar Ajustes del menú Opciones para que queden registrados todos
realizados y vigentes, si así se lo prefiere (establecidos en el menú de Opciones,
barra de herramientas y zona gráfica).

48

7. Herramientas y Barra de
Herramientas

7.2 Definición de Herramientas Propias
Desde una construcción existente, pueden crearse herramientas personales en
GeoGebra. Tras preparar la construcción de una herramienta, se selecciona Crear
nueva Herramienta en el menú de Herramientas. Se despliega una ventana de
diálogo donde se pueden especificar los objetos de salida y entrada de la
herramienta en marcha y elegirle nombre, ícono y comando para publicarla en la
barra de herramientas.

Ejemplo: Receta para una Herramienta Cuadrada
• Construir un cuadrado empezando por dos puntos A y B que den lugar a los
otros dos vértices de modo que al conectarlos, con la herramienta.
Polígono lleguemos al poly1.
• Seleccionar Crear nueva herramienta en el menú Herramientas.
• Especificar los Objeto de salida: Dar clic sobre el cuadrado o seleccionarlo en
el menú descolgado.
• Especificar los Objetos de Entrada: GeoGebra automáticamente especifica los
objetos de entrada (en este caso,: puntos A y B). También pueden
modificarse los objetos de entrada usando el menú desplegado o eligiéndolos
con un clic que los señale en la construcción.
• Anotar el Nombre de la Herramienta y el Nombre del Comando para esta
nueva herramienta. El nombre de la herramienta aparecerá en la barra de
herramientas de GeoGebra y del comando podrá emplearse en el campo de
entrada como uno más de los “propios” de GeoGebra.
• También puede elegirse una imagen para que represente el ícono de la barra
de herramientas. GeoGebra se ocupa de escalarla para que se ajuste como
ícono del correspondiente nuevo botón de la barra.

Atención: Las herramientas creadas se graban automáticamente dentro del archivo
“ggb” de la construcción y quedan como accesibles para emplearse con el mouse y
como comando en el campo de entradas.

Usando la caja de diálogo que despliega la opción Manejo de Utiles del menú de
Herramientas, cualquier herramienta se Borra o modifica: hay acceso a la edición del
nombre del comando, de la herramienta así como su ayuda y/o ícono. Pueden
grabarse las herramientas seleccionadas en un archivo de extensión “ggt” Archivo
Herramientas de GeoGebra (“ggt”). This file can be used later on (File menu, Open)
to load its tools into another construction.
Atención: Es importante tener en cuenta que mientras la apertura de un archivo “ggt”
no modifica la construcción en curso pero sí se la afecta al abrir un archivo “ggb”.

49

7.3 Personalizar la Barra de Herramientas
Se puede personalizar la barra de herramientas de GeoGebra seleccionando
Personalizar la Barra de Herramientas en el menú Herramientas. Esto es
particularmente útil para operar con las planillas dinámicas en las que se prefiere
restringir los útiles disponibles.
Atención: La barra de herramientas vigente queda grabada en el archivo “ggb” de
construcción que la tuvo como recurso accesible.

50

8. Interfase de JavaScript
Atención: La interfase JavaScript de GeoGebra es de particular interés para quienes
tienen cierta experiencia en la edición en HTML.

Para ampliar una planilla dinámica y aumentar su interactividad, los applets de
GeoGebra ofrece una interfase JavaScript. Por ejemplo, se puede crear un botón
para generar aleatoriamente nuevas configuraciones de una construcción dinámica.

Se pueden consultar los documentos Applets de GeoGebra y JavaScript para
explorar los ejemplos y encontrar información con relación al uso de uso de
JavaScript con applets de GeoGebra.

51

Indice Alfabético
dados cinco de sus puntos, modo 18
sección 26
A continuidad
aleatorio 28 opciones 47
ángulo 25 coordenadas 25
comando 32 coordenadas-x 28
de amplitud dada, modo 20 coordenada-y 28
modo 20 estilo, opciones 47
reflexión 25 Coordenadas cartesianas 25
unidad 47 coordenadas polares 25
valor límite 25 coordenada-x 28
animación 24 coordenada-y 28
arco copia estilo visual
comando 39 modo 15
arco circular coseno 28
comando 38 curva 38
dado un centro y sus dos puntos extremos, modo 18 curva paramétrica 38
arco de circunferencia curvatura
atraviesa tres puntos, modo 19 comando 31
área vector
comando 30 comando 34
entre dos funciones 30
integral definida 30
modo 19
D
asíntota Derivada
avanzado 11, 12 desarrolla
polinomio 37
desliza
B modo 19
barra de herramientas desplaza
personalizar 50 modo 14
barra de navegación 12, 13, 43 desplaza zona gráfica, modo 14
bisectriz diámetro
modo 17 comando 36
bisectriz angular Dilata
Booleanas dilatación
variables 28 objeto desde punto, modo 21
Booleano dirección
comandos 30 comando 34
Borra 11 directriz
distancia
comando 30
C modo 19
división 28
campo de entrada 25 división entera
centroide comando 31
comando 33
circumcircular arco
comando 38 E
circunferencia
comando 36 ejes
dado su centro y uno de sus puntos, modo 18 comando 36
dados su centro y radio, modo 18 razón 12
dados tres de sus puntos, modo 18 Ejes
circunferencia osculante 37 Ejex, Ejey 26
color 11 Ejex 26
comandos 29 Ejey 26
condición para mostrar el objeto 11, 12 elemento
cónica comando 30
comando 37 elimina
objeto, modo 15

52

elipse
comando 37
I
esquina idioma
comando 39 opciones 48
estilo de ángulo recto imagen 22
opciones 47 esquina 39
estilo de trazo 11 fondo 23
estilo visual intercala 22
copia 15 posición 22
excentricidad transparencia 23
comando 31 imagen de fondo 23
expone 11 imprime
expone / oculta objeto, modo 15 zona gráfica 43
expone / oculta rótulo, modo 15 imprimiendo 43
exponenciación 28 imprimir
exporta 43, 44, 45 protocolo de construcción 43
extremo índice 29
comando 34 índices 25
inserta
texto 21
F integral
factorial 28 comando 31, 37
foco definida 31
comando 33 indefinida 37
formato intercala
copia estilo visual 15 imagen, modo 22
fórmula 21 interrupción 12
función 26 intersección
comando 37, 38 dos objetos, modo 15
exponencial 28 intersecta
límitada a intervalo 27 comando 33
trigonométrica hiperbólica coseno 28 iteración 40
función condicional comando 32
comando 38
función exponencial 28
Función Gamma 28
J
función resto JavaScript 51
comando 31
función trigonometrica
tangente antihiperbólica 28 L
función trigonométrica límite
arco coseno 28 función en intervalo 27
arco seno 28 valor ángulo 25
arco tangente 28 valor número 25
coseino antihiperbólico 28 lista 27
coseno 28 logaritmo 28
seno 28 Longitud
seno antihiperbólico 28 comando 30
seno hiperbólico 28 lugar geométrico
tangente 28 comando 39
tangente hiperbólica 28 Lugar geométrico 20
funciones trigonométricas 27 LugarGeométrico
modo 20
G
grabar ajustes M
opciones 48 manejo de útiles 49
grosor lineal 11 marco de selección 14
máximo
H comando 32
mediatriz, comando 35
herramientas medida 11
definiciones propias 49 medida de tipografía
herramientas propias definidas 49 opciones 48
hipérbola menú contextual 11
comando 37 mínimo
comando 32
modos 13

53

modos generales opciones 47
modo 14 comando 33
movimientos 40 eliminar de la recta, redefine 13
estilo, opciones 47
ubica en una recta, redefine 13
N punto de inflexión
nuevo punto comando 34
modo 15 punto de interrupción 43
número 25 punto medio
valor límite 25 modo 16
PuntoMedio
comando 33
O
oculta 11 R
opciones 47
Operaciones radio
Booleanas 29 comando 31
operaciones aritméticas 27 raíz
comando 34
raíz cuadrada 28
P raíz cúbica 28
Razón de Segmentos
parábola comando 32
comando 37 razón dupla
parámetro comando 32
comando 31 recta 26
paréntesis 28 bisectriz, modo 17
pendiente comando 35
comando 31 convertir en segmento, redefine 13
modo 19 entre dos puntos, modo 17
pericónica recta paralela
comando 31 modo 17
perímetro recta polar o diámetro
comando 31 modo 18
perpendicular redefine 13
comando 35 Redefine 11
recta, modo 17 redondeo 28
vector, comando 34 refleja
perpendicular versor comando 41
comando 34 reflexión
personalizar barra de herramientas 50 objeto por punto, modo 21
piso 28 objeto por una recta, modo 21
planilla dinámica 45 regular
polar modo 17
comando 36 relación
polígono comando 30
comando 35 modo 14
modo 17 Renombra 11
regular, modo 17 resta 28
polinomio resto 31
comando 37 Rota
PolinomioTaylor comando 41
comando 37 rota en torno a un punto, modo 14
posiciones decimales rotación
opciones 47 un objeto en torno a un punto, modo 21
primer eje rotulado
comando 36 opciones 48
Longitud, comando 31
producto 28
producto escalar 28 S
propiedades 13
diálogo 13 sector 38
protocolo 12 comando 39
exporta 44 sector circular
protocolo de construcción 12 comando 39
protocolo de construcción dado un centro y dos puntos extremos, modo 19
exporta 44 sector circumcircular
punto 25 comando 39
captación Sector de circunferencia

54

atraviesa tres puntos, modo 19 para exponer / ocultar objetos 20
secuencia 40 transformaciones
otra comandos 40 geométricas 40
segmento translación
comando 35 objeto por vector, modo 21
con una longitud dada a partir de un punto, modo 16 translada
convertir a recta comando 40
redefine 13 transparente
entre dos puntos, modo 16 imagen 23
segundo eje trazo 12
Longitud, comando 31
Segundo eje
comando 36 U
semicircunferencia útiles
comando 38 manejo 49
modo 18
semirrecta
a través de dos puntos, modo 16 V
comando 35
seno 28 valor absoluto 28
si valores
comando 38 cambio 24
signo 28 vector 25
simplifica comando 34
polinomio 37 desde un punto, modo 16
sombreado 11 entre dos puntos, modo 16
suma 28 ventana geométrica 11
suma inferior versor
suma superior vértice

T Z
tangente 28 zona gráfica 11
comando 36 exporta 43
modo 17 opciones 48
techo 28 zona gráfica al portapapeles 44
texto 21 zoom 12
modo 21 modo acercamiento 15
tildar casilla modo alejamiento 15

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