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Manual geogebra

Juan Lienqueo, profile picture
Juan Lienqueo

Este documento es el manual oficial de GeoGebra versión 3.2. Explica las funciones básicas de GeoGebra como la construcción geométrica de objetos matemáticos, la personalización de la interfaz y las vistas múltiples. También describe cómo usar GeoGebra para presentaciones interactivas y crear imágenes y páginas web. El manual contiene un índice general de los temas cubiertos.

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        Documento de Ayuda de GeoGebra Manual Oficial de la Versión 3.2 Markus Hohenwarter y Judith Hohenwarter  www.geogebra.org 
Ayuda en GeoGebra 3.2            Última modificación: 18 de Septiembre del 2009  GeoGebra Website: www.geogebra.org   Búsqueda de Ayuda de GeoGebra en Línea: http://www.geogebra.org/ayuda/search.html    Autores:  Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org  Judith Hohenwarter,  judith@geogebra.org    Liliana Saidon (Dir Centro Babbage), liliana.saidon@centrobabbage.com  Ultima modificación: de versión en castellano, 14 de Febrero del 2009     Búsqueda de Ayuda en GeoGebra  • En Línea: Búsqueda de Ayuda en GeoGebra    • PDF: Pulsando  Ctrl + Shift + F en Adobe Acrobat Reader    Página Web: http://www.geogebra.org  Búsqueda de Ayuda: http://www.geogebra.org/ayuda/search.html         Foro www.geogebra.org/forum Hispano parlante Liliana Saidon (Dir. Centro Babbage)  2   
Índice General Documento de Ayuda de GeoGebra .......................................................................... 1 Búsqueda de Ayuda en GeoGebra................................................................................... 2 Índice General .............................................................................................................. 3 1. ¿Qué es GeoGebra? ................................................................................................. 13 1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos ........................................................ 13 1.1.1 Vista Gráfica ................................................................................................ 13 1.1.2 Vista Algebraica ........................................................................................... 14 1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo ............................................................................... 15 1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas........................................ 15 1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso .................................................................. 15 Exponiendo y Ocultando Objetos................................................................................. 15 Personalizar la Vista Gráfica......................................................................................... 16 Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula........................................................... 16 Personalizando la Barra de Herramientas.................................................................... 17 1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades ................................................................ 17 1.2.3 Usando el Menú Contextual .......................................................................... 18 1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación ..................................................... 18 1.3.1 Usando la Barra de Navegación ..................................................................... 18 1.3.2 El Protocolo de Construcción ........................................................................ 19 Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción............................................ 19 Exportando el Protocolo de Construcción como Página‐Web ..................................... 19 1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra ........................................................... 20 1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor ................................................................ 20 1.4.1 Imprimiendo Opciones ................................................................................. 20 Imprimiendo la Vista Gráfica ........................................................................................ 20 Imprimiendo el Protocolo de Construcción ................................................................. 21 1.4.2 Creando Imágenes de la ............................................................................... 21 Guardando la Vista Gráfica como Imagen ................................................................... 21 Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles ................................................................... 21 1.4.3 Creando Páginas Web interactivas ................................................................. 22 2. Entrada Geométrica ................................................................................................. 24 2.1 Anotaciones Generales ....................................................................................... 24 2.2 Herramientas de Construcción ............................................................................ 24 Seleccionado Objetos ................................................................................................... 24 Renombrar Objetos Rápidamente ............................................................................... 25 2.2.1 Herramientas Generales ............................................................................... 25  Copia Estilo Visual................................................................................................ 25  Borra Objeto ........................................................................................................ 25  Elige y Mueve ...................................................................................................... 25 3   
 Desplaza Área Gráfica.......................................................................................... 25  Registra en Hoja de Cálculo ................................................................................. 26  Relación ............................................................................................................... 26  Rota en torno a un Punto .................................................................................... 26  Expone / Oculta Rótulo ....................................................................................... 26  Expone / Oculta Objeto ....................................................................................... 26  Zoom de Acercamiento ....................................................................................... 26  Zoom de Alejamiento .......................................................................................... 26 2.2.2 Herramientas de Puntos ............................................................................... 27  Intersección de Dos Objetos................................................................................ 27  Punto Medio o Centro ......................................................................................... 27  Nuevo Punto ........................................................................................................ 27 2.2.3 Herramientas de Vectores ............................................................................ 27  Vector entre Dos Puntos ..................................................................................... 27  Vector desde un Punto ........................................................................................ 27 2.2.4 Herramientas de Segmentos ......................................................................... 28  Segmento entre Dos Puntos ................................................................................ 28  Segmento dados Punto Extremo y Longitud ....................................................... 28 2.2.5 Semirrecta .................................................................................................. 28  Semirrecta que pasa por Dos Puntos .................................................................. 28 2.2.6 Polígonos .................................................................................................... 28  Polígono ............................................................................................................... 28  Polígono Regular ................................................................................................. 28 2.2.7 Recta y sus Herramientas.............................................................................. 29  Bisectriz ............................................................................................................... 29  Recta que pasa por Dos Puntos ........................................................................... 29  Recta Paralela ...................................................................................................... 29  Mediatriz ............................................................................................................. 29 4   
 Recta Perpendicular ............................................................................................ 29  Recta Polar o Diametral ....................................................................................... 29  Tangentes ............................................................................................................ 30 2.2.8 Secciones Cónicas ........................................................................................ 30  Circunferencia dados su Centro y Radio ............................................................. 30  Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos ......................................... 30  Circunferencia dados Tres de sus Puntos ............................................................ 30  Compás ................................................................................................................ 30  Cónica dados Cinco de sus Puntos ...................................................................... 30  Elipse .................................................................................................................... 31  Hipérbola ............................................................................................................. 31  Parábola ............................................................................................................... 31 2.2.9 Arcosy Sectores ........................................................................................... 31  Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos ................................... 31  Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos .................................................... 31  Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos .............................................. 31  Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco..................................................... 31  Semicircunferencia dados Dos Puntos ................................................................ 32 2.2.10 Números y Ángulos .................................................................................... 32  Angulo.................................................................................................................. 32  Angulo dada su Amplitud .................................................................................... 32  Área ..................................................................................................................... 32  Distancia o Longitud ............................................................................................ 32  Deslizador ............................................................................................................ 32  Pendiente ............................................................................................................ 33 2.2.11 Control Booleano ....................................................................................... 33  Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos ............................................. 33 5   
2.2.12 Lugar Geométrico ...................................................................................... 33  Locus o Lugar Geométrico ................................................................................... 33 2.2.13 Transformaciones Geométricas ................................................................... 34  Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala .......................................... 34  Refleja Objeto en Recta ....................................................................................... 34  Refleja Objeto por Punto ..................................................................................... 34  Refleja Punto en Circunferencia .......................................................................... 34  Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado ............................................. 34  Traslada Objeto por un Vector ............................................................................ 34 2.2.14 Texto ........................................................................................................ 35  Inserta Texto ........................................................................................................ 35 Texto Dinámico............................................................................................................. 35 Fórmulas LaTeX ............................................................................................................ 36 2.2.15 Imágenes .................................................................................................. 36  Inserta imagen ..................................................................................................... 36 Propiedades de las Imágenes ....................................................................................... 37 Imagen de Fondo .......................................................................................................... 38 3. Entrada Algebraica................................................................................................... 39 3.1 Anotaciones Generales ....................................................................................... 39 Nombrando Objetos ..................................................................................................... 39 Cambio de Valores ....................................................................................................... 39 Exponer la Historia de la Barra de Entrada .................................................................. 40 Copia el Nombre, el Valor o la Definición de un Objeto en  la Barra de Entrada ........ 40 3.2 Entrada Directa .................................................................................................. 41 3.2.1 Números y Ángulos ...................................................................................... 41 Números ....................................................................................................................... 41 Ángulos ......................................................................................................................... 41 Deslizadores  y Teclas‐Flecha ....................................................................................... 41 Valor Limitado a un Intervalo ....................................................................................... 42 3.2.2 Puntos y Vectores ........................................................................................ 42 3.2.3 Rectas y Ejes ................................................................................................ 42 Rectas ........................................................................................................................... 42 Ejes ............................................................................................................................... 43 3.2.4 Secciones Cónicas ........................................................................................ 43 3.2.5 Función de x ................................................................................................ 43 Función Limitada a un Intervalo ................................................................................... 44 3.2.6 Funciones Pre‐Definidas y Operaciones .......................................................... 44 3.2.7 Variables Booleanas y Operaciones................................................................ 46 Casilla a Tildar y Teclas Flecha ...................................................................................... 46 6   
Operaciones Booleanas ................................................................................................ 46 3.2.8 Lista de Objetos y de Operaciones ................................................................. 47 Comparar Listas de Objetos ......................................................................................... 47 Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas ............................................................... 47 3.2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices ....................................... 48 Operaciones con Matrices............................................................................................ 48 3.2.10 Números Complejos y Operaciones.............................................................. 48 3.3 Comandos ......................................................................................................... 49 Nombres de Comandos Completados Automáticamente ........................................... 49 3.3.1 Comandos Generales ................................................................................... 50 PasoConstrucción ......................................................................................................... 50 Borra ............................................................................................................................. 50 Relación ........................................................................................................................ 50 3.3.2 Comando Booleano ...................................................................................... 50 Si ................................................................................................................................... 50 Definido ........................................................................................................................ 50 EsEntero ....................................................................................................................... 50 3.3.3 Números ..................................................................................................... 50 RazónSimple ................................................................................................................. 50 Area .............................................................................................................................. 51 PasoEje ......................................................................................................................... 51 NúmeroCombinatorio .................................................................................................. 51 PerímetroCónica........................................................................................................... 51 RazónDoble .................................................................................................................. 51 Curvatura ...................................................................................................................... 51 Distancia ....................................................................................................................... 51 MCD .............................................................................................................................. 52 Cociente Entero ............................................................................................................ 52 Integral ......................................................................................................................... 52 Iteración ....................................................................................................................... 52 MCM ............................................................................................................................. 52 Longitud ........................................................................................................................ 52 SemiFocal ..................................................................................................................... 53 SumaInferior ................................................................................................................. 53 Mínimo y Máximo ........................................................................................................ 53 Función Módulo o Resto .............................................................................................. 53 Parámetro..................................................................................................................... 53 Perímetro ..................................................................................................................... 53 Radio ............................................................................................................................. 53 Comandos Aleatorios ................................................................................................... 54 LongitudSemiejePrincipal ............................................................................................. 54 LongitudSemiejeSecundario......................................................................................... 54 Pendiente ..................................................................................................................... 54 SumaTrapezoidal .......................................................................................................... 54 SumaSuperior ............................................................................................................... 54 3.3.4 Ángulo ........................................................................................................ 54 Ángulo .......................................................................................................................... 54 7   
3.3.5 Puntos ........................................................................................................ 55 Centro ........................................................................................................................... 55 Centroide ...................................................................................................................... 55 Esquina ......................................................................................................................... 55 Extremo ........................................................................................................................ 55 Foco .............................................................................................................................. 56 PuntoInflexión .............................................................................................................. 56 Interseca ....................................................................................................................... 56 PuntoMedio .................................................................................................................. 56 Punto ............................................................................................................................ 56 Raíz ............................................................................................................................... 57 Vértice .......................................................................................................................... 57 3.3.6 Vectores ..................................................................................................... 57 Vector Curvatura .......................................................................................................... 57 Dirección....................................................................................................................... 57 VectorPerpendicular .................................................................................................... 57 VectorUnitarioPerpendicular ....................................................................................... 57 VectorUnitario .............................................................................................................. 57 Vector ........................................................................................................................... 58 3.3.7 Segmentos .................................................................................................. 58 Segmento ..................................................................................................................... 58 3.3.8 Semirrectas ................................................................................................. 58 Semirrecta .................................................................................................................... 58 3.3.9 Polígonos .................................................................................................... 58 Polígono ........................................................................................................................ 58 3.3.10 Rectas ....................................................................................................... 58 Bisectriz ........................................................................................................................ 58 Asíntota ........................................................................................................................ 59 Ejes ............................................................................................................................... 59 DiámetroConjugado ..................................................................................................... 59 Diámetro....................................................................................................................... 59 Directriz ........................................................................................................................ 59 Recta ............................................................................................................................. 59 EjePrincipal ................................................................................................................... 59 EjeSecundario ............................................................................................................... 59 Perpendicular ............................................................................................................... 59 Mediatriz ...................................................................................................................... 60 Polar ............................................................................................................................. 60 Tangente....................................................................................................................... 60 3.3.11 Secciones Cónicas ...................................................................................... 60 Circunferencia .............................................................................................................. 60 Cónica ........................................................................................................................... 60 Elipse ............................................................................................................................ 61 Hipérbola ...................................................................................................................... 61 CírculoOsculador .......................................................................................................... 61 Parábola........................................................................................................................ 61 8   
3.3.12 Funciones .................................................................................................. 61 Funciones Condicionales .............................................................................................. 61 Derivada ....................................................................................................................... 62 Desarrolla ..................................................................................................................... 62 Factoriza ....................................................................................................................... 62 Función ......................................................................................................................... 62 Integral ......................................................................................................................... 62 Polinomio ..................................................................................................................... 62 Simplifica ...................................................................................................................... 62 PolinomioTaylor ........................................................................................................... 63 3.3.13 Curvas Paramétricas ................................................................................... 63 Curva............................................................................................................................. 63 Comandos para curvas paramétricas ........................................................................... 63 3.3.14 Arcos y Sectores ......................................................................................... 63 Arco .............................................................................................................................. 63 ArcoCircunferencia ....................................................................................................... 64 SectorCircular ............................................................................................................... 64 ArcoCircuncircular ........................................................................................................ 64 SectorCircumcircular .................................................................................................... 64 Sector............................................................................................................................ 64 Semicircunferencia ....................................................................................................... 65 3.3.15 Texto ........................................................................................................ 65 LaTeX ............................................................................................................................ 65 TextoFracción ............................................................................................................... 65 CódigoDeLetra .............................................................................................................. 65 Nombre......................................................................................................................... 65 Objeto ........................................................................................................................... 65 TablaTexto .................................................................................................................... 66 Texto ............................................................................................................................. 66 CódigoDeTexto ............................................................................................................. 67 LetraDeCódigo .............................................................................................................. 67 TextoDeCódigo ............................................................................................................. 67 3.3.16 Lugar Geométrico ...................................................................................... 67 Locus ‐‐ LugarGeométrico ............................................................................................ 67 3.3.17 Listas y Secuencias ..................................................................................... 67 Anexa ............................................................................................................................ 67 CuentaSi........................................................................................................................ 68 Elemento ...................................................................................................................... 68 Primero ......................................................................................................................... 68 Intercala........................................................................................................................ 68 Intersección .................................................................................................................. 68 ListaIteración ................................................................................................................ 69 Encadena ...................................................................................................................... 69 ConservaSi .................................................................................................................... 69 Ultimo ........................................................................................................................... 69 Longitud ........................................................................................................................ 69 Mínimo ......................................................................................................................... 69 Máximo......................................................................................................................... 69 9   
Producto ....................................................................................................................... 70 EliminaIndefinidos ........................................................................................................ 70 ListaInversa ................................................................................................................... 70 Secuencia ...................................................................................................................... 70 Ordena .......................................................................................................................... 70 Suma ............................................................................................................................. 70 Extrae............................................................................................................................ 71 Unión ............................................................................................................................ 71 3.3.18 Transformaciones Geométricas ................................................................... 71 Homotecia .................................................................................................................... 71 Refleja ........................................................................................................................... 71 Rota .............................................................................................................................. 72 Traslada ........................................................................................................................ 72 3.3.19 Comandos Estadísticos ............................................................................... 73 Barras............................................................................................................................ 73 DiagramaCaja ............................................................................................................... 74 CPearson....................................................................................................................... 74 Covarianza .................................................................................................................... 74 AjusteLineal .................................................................................................................. 74 Otros Comandos de Ajuste........................................................................................... 74 Histograma ................................................................................................................... 75 NormalInversa .............................................................................................................. 75 Comandos de Media .................................................................................................... 75 Mediana........................................................................................................................ 75 Moda ............................................................................................................................ 75 Normal .......................................................................................................................... 75 Comandos Cuatri .......................................................................................................... 76 DE ................................................................................................................................. 76 Comandos Sigma .......................................................................................................... 76 Comandos para Cantidades Estadísticas ...................................................................... 76 Varianza ........................................................................................................................ 76 3.3.20 Comandos de Hoja de Cálculo ..................................................................... 78 RangoCelda ................................................................................................................... 78 Columna ....................................................................................................................... 78 NombreColumna .......................................................................................................... 78 Fila ................................................................................................................................ 78 3.3.21 Comandos de Matrices ............................................................................... 78 Determinante ............................................................................................................... 78 MatrizInversa................................................................................................................ 78 Traspone ....................................................................................................................... 78 4. Cada Menú: Ítem por Ítem ....................................................................................... 78 4.1 Menú Archivo .................................................................................................... 79  Nueva Ventana......................................................................................................... 79 Nuevo ........................................................................................................................... 79  Abre… ...................................................................................................................... 79  Guarda...................................................................................................................... 79 Guarda Como… ............................................................................................................. 79 10   
 Previsualiza Impresión ............................................................................................. 79 Exporta ‐   Hoja Dinámica como Página Web (html)… .............................................. 80 Exporta ‐   Vista Gráfica como Imagen (png, eps)… .................................................. 80 Exporta ‐   Vista Gráfica al Portapapeles ................................................................... 80 Exporta ‐ Vista Gráfica como PSTricks… ....................................................................... 81 Exporta ‐ Vista Gráfica como PGF/Tik…… ..................................................................... 81  Cierra ....................................................................................................................... 81 4.2 Menú Edita ........................................................................................................ 81  Deshace ................................................................................................................... 81  Rehace ..................................................................................................................... 81  Borra ........................................................................................................................ 81 Selecciona Todo............................................................................................................ 82 Selecciona la Capa Activa ............................................................................................. 82 Selecciona Descendientes ............................................................................................ 82 Selecciona Ascendientes .............................................................................................. 82  Copia Vista Gráfica al Portapapeles ......................................................................... 82  Propiedades… .......................................................................................................... 82 4.3 Menú Vista ........................................................................................................ 82  Ejes........................................................................................................................... 82  Cuadrícula ................................................................................................................ 83 Vista Algebraica ............................................................................................................ 83 Vista de Hoja de Cálculos ............................................................................................. 83 Objetos Auxiliares......................................................................................................... 83 División Horizontal ....................................................................................................... 83 Barra de Entrada .......................................................................................................... 83 Lista de Comandos ....................................................................................................... 83  Protocolo de Construcción… ................................................................................... 83 Barra de Navegación por Pasos de Construcción ........................................................ 83  Actualiza Vistas ........................................................................................................ 83 Recálculo de Todos los Objetos.................................................................................... 84 4.4 Menú Opciones.................................................................................................. 85  Atracción de Punto a Cuadrícula ............................................................................. 85  Unidad Angular ........................................................................................................ 85 Redondeo ..................................................................................................................... 85 Continuidad .................................................................................................................. 85  Estilo de Punto......................................................................................................... 85  Tamaño de Casilla de Control.................................................................................. 85  Estilo de Angulo Recto ............................................................................................. 85 Coordenadas ................................................................................................................ 86  Rotulado .................................................................................................................. 86  Tamaño de Letra...................................................................................................... 86  Idioma ...................................................................................................................... 86  Vista Gráfica ............................................................................................................ 86  Guardar Configuración ............................................................................................. 86 Restablecer la Configuración Original .......................................................................... 86 11   
4.5 Menú Herramientas ........................................................................................... 86  Creación de Herramienta Nueva… .......................................................................... 86  Gestión de Herramientas… ..................................................................................... 87 Personalizar la Barra de Herramientas… ...................................................................... 87 4.6 Menú Ventana ................................................................................................... 87  Nueva Ventana......................................................................................................... 87 Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra .................................................................... 87 4.7 Menú Ayuda ...................................................................................................... 88  Ayuda ....................................................................................................................... 88  www.geogebra.org .................................................................................................. 88 Foro GeoGebra ‐ GeoGebra Forum ........................................................................ 88  GeogebraWiki .......................................................................................................... 88  Acerca de GeoGebra / Licencia ............................................................................... 88 5. Características Especiales de GeoGebra ..................................................................... 88 5.1 Animación ......................................................................................................... 89 5.1.1 Animación Automática ................................................................................. 89 5.1.2 Animación Manual ....................................................................................... 89 5.2 Visibilidad Condicional ........................................................................................ 90 Condicionalidad para Exponer u Ocultar Objetos Existentes ...................................... 90 Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes .............................................. 90 Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados.................................................. 90 5.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos .......................................................... 91 Creando Herramientas ................................................................................................. 91 Guardando la Herramienta Definida ............................................................................ 91 Acceso a la Herramienta Definida ................................................................................ 92 5.4 Colores Dinámicos .............................................................................................. 92 5.5 Interfaz de JavaScript.......................................................................................... 93 5.6 Teclas de Atajo................................................................................................... 93 5.7 Rótulos y Subtítulo ............................................................................................. 96 Expone y Oculta Rótulos .............................................................................................. 96 Nombre y Valor ............................................................................................................ 96 Subtítulo ....................................................................................................................... 97 5.8 Capas ................................................................................................................ 97 5.9 Redefine............................................................................................................ 97 5.10 Rastro y Lugar Geométrico ................................................................................ 98 Índice Alfabético ....................................................................................................... 100   12   
1.  ¿Qué es GeoGebra?  GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría,  álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de  desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar.  1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos  GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una Vista Gráfica,  una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad  permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como  en  el  caso  de  puntos,  gráficos  de  funciones),  algebraica  (como  coordenadas  de  puntos,  ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del mismo objeto se  vincula  dinámicamente  a  las  demás  en  una  adaptación  automática  y  recíproca  que  asimila  los  cambios  producidos  en  cualquiera  de  ellas,  más  allá  de  cuál  fuera  la  que  lo  creara  originalmente.    Barra de Herramientas  Ayuda  de  la  Barra  de  Herramientas Vista Algebraica  Vista  de  Hoja  de Cálculo  Vista Gráfica Barra de Entrada   1.1.1 Vista Gráfica  Con  el  ratón  o  mouse1,    empleando    las  herramientas  de  construcción  disponibles  en  la  Barra de Herramientas, pueden realizarse construcciones geométricas en la Vista Gráfica.   1  La palabra “ratón” refiere al mouse (tal como se lo denomina, conservando el inglés, en varias regiones de  habla hispana) y en este texto se empleará uno u otro término (o ambos), para identificar tal dispositivo.  13   
Todo objeto creado en la Vista Gráfica, tiene también su correspondiente representación en  la Vista Algebraica.    Atención: Tras activar la herramienta que   Elige y Mueve se pueden desplazar objetos en  la  Vista  Gráfica,  arrastrándolos  con  el  ratón  o  mouse.  Simultáneamente,  las  representaciones algebraicas se actualizan dinámicamente en la Vista Algebraica.    Basta con elegir alguna herramienta de construcción de la Barra de Herramientas y seguir las  indicaciones  de  la  Ayuda  de  la  Barra  de  Herramientas  (a  continuación  de  la  Barra  de  Herramientas) para averiguar cómo usarla.     Atención:  Si  el  nombre  de  la  herramienta  y/o  la  explicación  de  su  empleo  fueran  demasiado extensos, sólo aparecerá en el extremo derecho de la Barra, el nombre en  cuestión.  La  explicación  de  su  empleo,  se  podrá  leer  en  el  cuadrito  emergente  al  pasar con el ratón o mouse por encima de la herramienta activa.     Cada ícono de la barra, representa una caja de herramientas  que contiene una selección de  útiles similares, que se despliegan con un clic sobre la flechita del vértice inferior derecho del  recuadro del ícono.     Ojo:  Las  herramientas  se  organizan  según  su  función  o  la  índole  de  objeto  resultante.  A  la  Caja  de  Herramientas  de  Puntos  (el  ícono  por  omisión  es  )  se  recurre  para  diversas  creaciones de diferentes puntos y las que aplican transformaciones geométricas se agrupan  en la  Caja de Herramienta de Transformación (su ícono por omisión es  ).  1.1.2 Vista Algebraica   Desde  la  Barra  de  Entrada  de  GeoGebra  pueden  ingresarse  directamente    expresiones  algebraicas. Después de pulsar la tecla Enter, lo ingresado aparece en la Vista Algebraica y,  automáticamente, su representación gráfica en la Vista Gráfica. Por ejemplo, al ingresar  f(x)  = x^2 aparece la función cuadrática en la Vista Algebraica y el gráfico de la parábola en la  Vista Gráfica.    En la Vista Algebraica, se distinguen los objetos matemáticos libres de los dependientes. Es  libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya existentes y, viceversa, será  dependiente, el que derivara de alguno previo.    Atención: Para que en la Vista Algebraica no aparezca la representación de un objeto, basta  con establecerlo como Objeto Auxiliar: un clic derecho (en MacOS: Ctrl‐clic) sobre el objeto  correspondiente  de  la  Vista  Algebraica,  permite  seleccionar  ‘Propiedades’  en  el  Menú  Contextual desplegado  para  designarlo  Objeto Auxiliar  en  la  pestaña  ‘Básico’  de  la  Caja  de  Diálogo de Propiedades.    Por omisión, los objetos auxiliares no aparecen en la Vista Algebraica pero es posible revertir  este comportamiento, tildando Objetos Auxiliares en el Menú Vista.     Es  posible,  además,  modificar  los  objetos  en  la  Vista  Algebraica:  hay  que  controlar  que  la  herramienta  que   Elige  y  Mueve  esté  activada  antes  de  hacer  doble  clic  sobre  un  objeto  libre en la Vista Algebraica. En la caja de texto emergente, se puede editar directamente la  14   
representación  algebraica  del  objeto.  Después  de  pulsar  la  tecla  Enter,  la  representación  gráfica del objeto se ajustará automáticamente a los cambios efectuados.  Un  doble  clic  sobre  un  objeto  dependiente  de  la  Vista  Algebraica,  despliega  una  caja  de  diálogo en la que se lo Redefine.     GeoGebra  ofrece  también  una  amplia  gama  de  comandos  que  se  pueden  ingresar  en  la  Barra de Entrada.   La lista de Comandos, disponible en la esquina derecha de la Barra de Entrada, se despliega  con un clic sobre la flechita en el vértice inferior derecho del botón Comando. Después de  seleccionar  el  comando  de  la  lista  (o  de  anotar  su  nombre  directamente  en  el  Campo  de  Entrada),  aparece  información  sobre  su  sintaxis  y  ayuda  sobre  los  datos  necesarios  para  aplicarlo, al pulsar la tecla F1  1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo  Cada celda de la Vista de Hoja de Cálculo de GeoGebra tiene una denominación específica  que permite dirigirse a cada una. Por ejemplo, la celda en la fila 1 de la columna A se llama  A1.   Atención: El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a su  contenido.    En las celdas de una hoja de cálculo, pueden ingresarse tanto números como cualquier otro  tipo de objeto matemático tratado por GeoGebra (sean coordenadas de puntos, funciones,  comandos).  Cuando  corresponde,  también  aparece  de  inmediato,    en  la  Vista  Gráfica,  la  representación del objeto ingresado en la celda, cuyo nombre coincide con el de la celda de  la hoja de cálculo a partir de la cual fue creado (por ejemplo: A5, C1, D3, etc.).    Atención: Por omisión, quedan establecidos como Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica,  los  creados  en  una  hoja  de  cálculo.  Aparecerán  o  no  según  Objetos  Auxiliares  esté  o  no  tildado en el menú Vista.  1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas  1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso  Para  personalizar  la  interfaz  de  uso  de  GeoGebra,  desde  el  Menú  Vista,  se  decide  qué  diferentes partes mostrar o ocultar, según se tilde o no, por ejemplo, la Vista Algebraica, la  Vista de Hoja de Cálculo o Barra de Entrada.  Exponiendo y Ocultando Objetos  Se pueden exponer u ocultar objetos en la Vista Gráfica de diferentes maneras:   • Empleando la herramienta   Expone / Oculta Objeto para operar en tal sentido.  • Abriendo el Menú Contextual y seleccionando el ítem   Expone Objeto para cambiar  el estado de visibilidad del objeto seleccionado.   15   
• En la Vista Algebraica, el ícono a la izquierda de cada objeto expone su estado de  visibilidad actual (  ‘expuesto’ o   ‘oculto’). Un clic sobre el ícono redondito  cambia el estado de visibilidad de un objeto.  • Empleando la herramienta   Casilla para Exponer / Ocultar Objetos para operar de  tal modo sobre varios objetos.  Personalizar la Vista Gráfica    Para  ajustar  la  parte  visible  de  la  Vista  Gráfica,  su  fondo  puede  desplazarse  con  la  herramienta   Desplaza Vista Gráfica y, además, se puede acercar o alejar el punto de mira  (“zoom” mediante) de alguna de estas maneras:  • Con las herramientas   Zoom de Acercamiento y    Zoom de Alejamiento que dan  “zoom” en la Vista Gráfica  Nota: La posición del clic, determina el centro del “zoom”  • Con la rueda del mouse  o ratón se maneja el “zoom” en la Vista Gráfica (de  ampliación o reducción según el sentido de giro)  • Con las teclas de atajo se  realiza el “zoom” de acercamiento (Ctrl +) y el de  alejamiento (Ctrl ‐).  • Un clic derecho (MacOS: Ctrl ‐ clic) en una zona vacía de la Vista Gráfica despliega un  Menú Contextual que ofrece la opción de Zoom.  • Al encuadrar un Zoom Rectangular Se establece un extremo del área a enfocar en un  lugar vacío de la Vista Gráfica, con un clic derecho (MacOS: Cmd ‐ clic) que se  sostiene mientras se arrastra el ratón o mouse hasta soltarlo cuando se haya  establecido el marco de Zoom Rectangular deseado. La Vista Gráfica se ajustará  automáticamente a tal recuadro.    El  menú  Vista  permite  decidir  si  van  o  mostrarse  o  ocultarse  los  Ejes  Coordenados  y  la  Cuadrícula de Coordenadas en la Vista Gráfica.  Atención:  Otro  modo  de  mostrar  o  ocultar  los  ejes  y  la  cuadrícula  es  con  un  clic  derecho  (MacOS:  Ctrl‐clic)  sobre  el  fondo  de  la  Vista  Gráfica  y  seleccionado  los  ítems  correspondientes del Menú Contextual emergente     ‘Ejes’ o   ‘Cuadrícula’.  Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula  Con la Caja de Diálogo de Propiedades de la  Vista Gráfica, pueden personalizarse  los ejes de  coordenadas y la cuadrícula.  Después de un clic derecho, (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el fondo  de  la  Vista  Gráfica,  seleccionando  ‘Propiedades’  del  Menú  Contextual  emergente,  puede  abrirse la ventana de diálogo para establecer.  • En la pestaña ’Ejes’, por ejemplo, el estilo de trazo y las unidades de los ejes de  coordenadas,  así como el valor de la distancia entre las marcas de graduación. Es de  hacer notar que puede personalizarse cada eje individualmente, en las pestañas  correspondientes ‘EjeX’ y  ‘EjeY’. Además, también puede modificarse la relación   entre los ejes y ocultar o mostrar cada uno de ellos, por separado.  • En la pestaña Cuadrícula, se pueden modificar, por ejemplo, el color y estilo  de la  cuadrícula de coordenadas, y fijar la distancia entre las líneas de la cuadrícula  a un  valor determinado. Incluso, se puede establecer un trazado ‘Isométrico’ de la  cuadrícula.    16   
Atención: En cualquier modo, se pueden escalar los ejes pulsando y sosteniendo la tecla Shift  (para PC: también tecla Ctrl) mientras se arrastran los ejes.    Atención:  La  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  la  Vista  Gráfica  es  diferente  a  la  Caja  de  Diálogo de Propiedades de los objetos.  Personalizando la Barra de Herramientas  La  Barra  de  Herramientas  puede  personalizarse  seleccionando  Personalizar  Barra  de  Herramientas del menú Herramientas. En la lista que aparece a la izquierda de la ventana de  diálogo,  se  selecciona  la  herramienta  o  caja  de  herramientas  que  se  desea  eliminar  de  la  Barra correspondiente y se pulsa sobre el botón ‘Eliminar >’.     Atención:  Se  puede  restablece  la  Barra  de  Herramientas  original  pulsando  sobre  el  botón  correspondiente  que  aparece  en  la  zona  inferior  izquierda  de  la  ventana  de  diálogo  ‘Restablecer Barra de Herramientas Original’.  1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades  La Caja de Diálogo de Propiedades permite modificar las propiedades de los objetos.  Como  su  medidael  color,  sombreado;  estilo  de  trazo,,  grosor  de  trazo,  visibilitdad).  visibilidad.     Se  puede  abrir  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  diferentes  maneras.  Por  ejemplo,  seleccionando…   • …   ‘Propiedades…’ del Menú Contextual que se despliega con un clic derecho  (MacOS: Ctrl ‐ clic) sobre un objeto.  • … el ítem   Propiedades del menú Edita.  • … la herramienta que   Elige y Mueve y dando doble clic sobre un objeto en la Vista  Gráfica para pulsar sobre el botón de ‘Propiedades…’ de la ventana emergente, la de  Redefine.      En  la  lista  que  vemos  a  la  izquierda  en  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades,  los  objetos  aparecen organizados según su tipo (por ejemplo: puntos, rectas, circunferencias) facilitando  la  selección  múltiple  para  el  cambio  de  propiedades.  Es  preciso  seleccionar  uno  o  más  objetos de la lista para cambiar sus propiedades.  Atención: Para seleccionar un conjunto de objetos del mismo tipo, basta con un clic sobre el  correspondiente encabezado (por ejemplo, ‘Punto’) para pasar a cambiar las propiedades de  ese conjunto.    Según el tipo de propiedades que se desee modificar de los objetos seleccionados, se elige la  correspondiente  pestaña    del  encabezado  del  recuadro  de  la  derecha  (sea    Básico,  Color,  Estilo, Avanzado).   Atención: Puede aparecer un juego de pestañas diferentes, acorde a la selección de objetos  realizada.    Cuando  se  completa  el  cambio  de  propiedades  de  los  objetos,  se  debe  cerrar  la  Caja  de  Diálogo de Propiedades.  17   
1.2.3 Usando el Menú Contextual  El  Menú  Contextual  proporciona  una  manera  ágil  de  modificar  el  comportamiento  o  las  propiedades  avanzadas  de  un  objeto.  Un  clic  derecho  (MacOS:  Ctrl‐clic)  sobre  un  objeto  despliega su Menú Contextual.   Así, para cambiar la notación algebraica de un objeto (por ejemplo, coordenadas polares o  cartesianas,  ecuación  implícita  o  explícita)  y  acceder  directamente  a  opciones  como    Renombra,   Borra,   Activa Rastro, Animación Automática.  O   Copia en Campo de Entrada.      Atención: Si estuviese activa la Vista de Hoja de Cálculo al desplegarse el Menú Contextual  de un punto en la Vista Gráfica, aparece la opción   Registra en Hoja de Cálculo que opera  registrando  en  la  Vista  de  Hoja  de  Cálculo  sus  sucesivas  coordenadas,  a  medida  que  se  lo  desplaza.    Atención: Al seleccionar   Propiedades… en el Menú Contextual se abre la Caja de Diálogo  de Propiedades, para definir o cambiar las de todos los objetos en juego.  1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación  1.3.1 Usando la Barra de Navegación  GeoGebra ofrece una Barra de Navegación que permite recorrer los pasos de construcción  del boceto elaborado.  Al seleccionar Barra de Navegación por Pasos de Construcción en el  Menú Vista, la Barra de Navegación aparece al pie de la Vista Gráfica.    La  Barra  de  Navegación  presenta  una  botonera  y  expone  el  número  de  Pasos  de  Construcción (por ejemplo., 2 / 7 significa que estamos frente al segundo de un total de siete  Pasos de Construcción):  •  es el botón para: ‘retroceder al paso inicial’  •  es el botón para: ‘retroceder paso a paso’  •  es el botón para: ‘avanzar paso a paso’  •  es el botón para: ‘avanzar hasta el ultimo paso’  •  ‘Reproduce’: ‘automáticamente ejecuta la construcción paso a paso  Atención: La caja de texto a la derecha del botón   ‘Reproduce’ permite establecer  la velocidad de ejecución automática.  •  ‘Pausa’: establece una ‘pausa en la ejecución automática’    Atención: Este botón sólo aparece durante una ejecución iniciada con ‘Reproduce’.  •  es el botón para abrir el Protocolo de Construcción.  18   
1.3.2 El Protocolo de Construcción  El  ítem  Protocolo  de  la  Construcción  del  Menú  Vista  da  acceso  a  una  tabla  interactiva  que  expone todos los Pasos de Construcción y permite rehacer el boceto realizado, paso a paso  usando  la  Barra  de  Navegación  que  aparece  al  pie  de  la  Caja  de  Diálogo  del  Protocolo  de  Construcción.   Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción  Puede usarse el teclado para navegar  por el Protocolo de Construcción:  • La ‘flecha ascendente’ ↑  del teclado lleva al paso de construcción previo.  • La ‘flecha descendente’ ↓ ‘del teclado lleva al siguiente paso de construcción.  • La tecla Home lleva al inicio del Protocolo de Construcción.  • La tecla End  lleva al final del Protocolo de Construcción.  • La tecla Borra elimina el paso de construcción seleccionado.  Atención: Esta acción puede afectar a otros objetos que dependen del eliminado y/o  del paso de construcción seleccionado.    Puede emplearse el ratón o mouse para navegar  por el Protocolo de Construcción:  • Doble clic sobre una fila para seleccionar un paso de construcción.  • Doble clic sobre el encabezado de una columna para ir al inicio del Protocolo de  Construcción.  • Arrastrar y soltar una fila para desplazar un paso de construcción a otra posición en el  Protocolo de Construcción.  Atención: Esto no siempre es posible debido a la dependencia entre los diferentes  objetos involucrados en cada paso.  • Clic derecho sobre una fila para abrir el Menú Contextual del objeto en esos paso de  construcción.    Atención: Pueden intercalarse Pasos de Construcción en cualquier posición, seleccionando el  paso  bajo  el  cual  se  quiera  insertar  el  nuevo.  Si  se  deja  la  Ventana  del  Protocolo  de  Construcción  abierta  mientras  se  crea  un  nuevo  objeto,  vemos  cómo  este  nuevo  paso  de  construcción  inmediatamente  se  intercala  en  la  posición  seleccionada  del  Protocolo  de  Construcción.    Para  que,  al  recorrer  la  construcción  desde  la  Barra  de  Navegación,  varios  objetos  se  expongan  en  simultáneo,  los  agrupamos  marcando  sus  correspondientes  Pasos  de  Construcción  como  ‘Puntos  de  Ruptura’.  La  columna  Punto  de  Ruptura  se  activa  desde  el  Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción.    Atención:  Se  pueden  /des)activar  las  diferentes  columnas  del  Protocolo  de  Construcción  (des)tildándolas en el Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción.   Exportando el Protocolo de Construcción como Página‐Web  Para exportar el Protocolo de Construcción como una página web, en primer lugar se debe  abrir el Protocolo de Construcción desde el Menú Vista y luego recurrir al ítem ‘Exporta como  Página Web (html)…’ del menú Archivo de la Ventana del Protocolo de Construcción.    19   
En  la  Ventana  de  Exportación  del  Protocolo  de  Construcción  se  pueden  anotar  los  datos  correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’ y ‘Fecha’ de la construcción y elegir si se insertará o no  la  imagen  de  la  Vista  Gráfica  o  la  de  la  Vista  Algebraica  así  como  si  se  va  a  exportar  el  Protocolo  de  Construcción  a  Color’.  Esto  último  implica  que  el  color  de  los  objetos  en  el  protocolo de construcción coincidirá con el de los correspondientes del boceto.    Atención: El archivo2 HTML exportado puede verse con cualquier navegador de Internet (por  ejemplo.  Firefox,  Internet  Explorer)  y  editarse  con  diversos  sistemas  de  procesamiento  de  textos (por ejemplo. OpenOffice Writer).   1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra  GeoGebra permite cambiar y guardar los ajustes preferidos que se hubieran establecido en  el menú de Opciones. Por ejemplo, cambiar la Unidad Angular  de ‘Grados’ a ‘Radianes’, o el  Estilo de Punto,, Tamaño de Casilla de Control, y Estilo  del Angulo Recto.   Además, puede cambiarse el estilo de la notación de las Coordenadas  y decidir qué objetos  se van a rotular o el Rotulado.  Se profundiza esta información en la sección sobre el Menú de Opciones .    Se pueden guardar las opciones definidas, con el ítem   Guardar Configuración del Menú  de  Opciones  para  que  GeoGebra  establezca  tales  ajustes  de  uso  en  cada  nuevo  boceto  creado y archivado.  Atención:  Se  pueden  recuperar  las  opciones  por  omisión  originales,  seleccionando  el  ítem  Restablecer la Configuración Original del menú de Opciones.    Atención:  Cuando  se  emplea  GeoGebra  como  una  herramienta  de  presentación,  conviene  aumentar la medida de tipografía (ítem  Tamaño de Letra ‘del menú de Opciones) para que  se aprecien con facilidad los textos y los rótulos de los objetos.  1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor  1.4.1 Imprimiendo Opciones  Imprimiendo la Vista Gráfica  Para imprimir la Vista Gráfica de las construcciones, es conveniente recurrir en primer lugar,  al ítem Previsualiza Impresión... del menú Archivo. En la Ventana de Diálogo de Previsualiza  Impresión,  pueden  anotarse  datos  correspondientes  a  ‘Título’,  ‘Autoría’,  y  ‘Fecha’  de  la  construcción.  Además,  se  puede  fijar  la  Escala  de  impresión  (en  cm)  y  establecer  la  Orientación  del  papel  (horizontal  si  se  desea  una  impresión  apaisada  y  vertical  en  caso  contrario).     2  Emplearemos el término “archivo” o “fichero” indistintamente: así como “directorio” y carpeta”; “ordenador”  o “computador” o “computadora” o “equipo”!.  20   
Atención:  Para  actualizar  Previsualiza  Impresión  después  de  cada  cambio  en  el  texto  o  disposición de la impresión, debe pulsarse la tecla Enter.   Imprimiendo el Protocolo de Construcción  Para  imprimir  el  Protocolo  de  Construcción,  en  primer  lugar  se  debe  abrir  la  Ventana  del  Protocolo  de  Construcción  desde  el  Menú  Vista  y  luego,  abrir  la  ventana  de  Previsualiza  Impresión del Protocolo de Construcción desde el Menú Archivo de esta nueva ventana.  Nuevamente, pueden anotarse los datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’, y ‘Fecha’ de  la construcción o cambiar Escala o la orientación del papel, antes de imprimir el Protocolo de  Construcción.    Atención:  Es  posible  cambiar  el  orden  de  las  diferentes  columnas  del  Protocolo  de  Construcción  y/o  (des)activar  cualquier  de  ellas,  Nombre,  Definición,  Comando,  Algebra  y  Punto  de  Ruptura  usando  el  Menú  Vista  de  la  ventana  de  diálogo  del  Protocolo  de  Construcción.  1.4.2 Creando Imágenes de la   Guardando la Vista Gráfica como Imagen  Puede archivarse  como imagen, la Vista Gráfica de cualquier construcción.   Atención: Se guarda la imagen completa de la Vista Gráfica. Por eso,  cuando sólo interesa  una zona de la construcción conviene, previamente, apelar a…  • … las herramientas pertinentes,   Desplaza Vista Gráfica,   Zoom de Acercamiento,    Zoom de Alejamiento , hasta ubicar la construcción en la zona superior izquierda  de la Vista Gráfica y entonces, reducir la ventana de GeoGebra arrastrando sus  extremos y/o bordes con el ratón o mouse.  • … a la selección rectangular para especificar qué parte quedará enfocada en la Vista  Gráfica antes de guardarla como imagen.   • … crear un par de puntos denominados Exporta_1 y Exporta_2, que determinarán  sendos vértices opuestos del Rectángulo de Exportación  Atención: Los puntos Exporta1 y Exporta2 deben marcarse en el área visible de la Vista  Gráfica.    En el menú Archivo, la opción   Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta despliega una  ventana de diálogo en que se puede especificar el Formato, Escala (en cm) y Resolución (en  dpi) de la imagen guardada en el archivo gráfico al que se la exporta     Atención: La medida efectiva de la imagen aparece en la ventana de exportación, debajo de  los botones mencionados, expresada tanto en centímetros como en pixels.     Se  profundiza  en  la  información  al  respecto  en  la  sección  Exporta  Vista  Gráfica  como  Imagen.  Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles  Hay  diferentes  maneras  de copiar  la  Vista  Gráfica  al  llamado  portapapeles.  Seleccionando,  clic mediante…    • … el ítem   Copia la Vista Gráfica al Portapapeles  del  menú Edita  21   
• …   Copia la Vista Gráfica al Portapapeles, una  de la opciones del ítem Exporta del  menú Archivo  • … el botón Portapapeles de la ventana de diálogo Exporta Vista Gráfica como Imagen  de Exporta Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…) del ítem Exporta  del menú  Archivo.    Cualquiera de  estas  maniobras  llevan  al  portapapeles  del  sistema  una copia  de captura  de  pantalla de la Vista Gráfica como imagen con formato PNG (ver Formato PNG). Este imagen  puede  pegarse  en  otros  documentos  (por  ejemplo.  los  elaborados  con  un  procesador  de  textos).     Atención:  Para  exportar  una  construcción  fijando  determinada  escala  (en  cm),  basta  con  seleccionar la opción   Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta del menú Archivo (ver  Exporta Vista Gráfica como Imagen).  1.4.3 Creando Páginas Web interactivas   Para crear, a partir de archivos de GeoGebra, páginas web interactivas, las así llamadas Hojas  Dinámicas, basta con seleccionar la opción   Hoja Dinámica como Página Web (html) del  ítem Exporta del menú Archivo y desde la ventana de diálogo de Hojas Dinámicas, proseguir:  • En la zona superior de la ventana de exportación, anotar los datos correspondientes a  Título, Autoría y una Fecha de la Hoja Dinámica.  • La pestaña General  permite añadir texto antes y después de la construcción  dinámica (por ejemplo., una descripción de la construcción y alguna propuesta o  desafío).   También se puede determinar si la construcción va a incluirse de por sí en la página  web directamente o si se abrirá con un clic sobre un botón.   • La pestaña Avanzado o permite cambiar la funcionalidad de la construcción dinámica  (por ejemplo: mostrar un ícono de reinicio, si un doble clic abrirá la ventana de  aplicación de GeoGebra) e incluso modificar la interfaz de uso expuesta en el applet  interactivo (por ejemplo., si se cuenta o no con la Barra de Herramientas, cuál será la  altura y el ancho).  Atención: Si la medida del applet excede las dimensiones de pantalla cuando la  resolución es la estándar (1024 x 768), conviene redimensionar antes de exportarla  efectivamente como Hoja Dinámica.    Atención: Cuando se exporta una Hoja Dinámica:  se crean varios archivos:   • un archivo html (por ejemplo. circular.html)  que incluye la hoja dinámica  propiamente dicha   • un archivo GGB (por ejemplo. circular.ggb) que incluye la construcción, el boceto de  GeoGebra.  • varios archivos JAR (como geogebra.jar) que incluye a GeoGebra y le otorga su tenor  interactivo a la hoja dinámica.  Todos  estos  archivos  (por  ejemplo.  circular.html,  circular.ggb  y  geogebra.jar)  deben  estar  presentes en la misma carpeta (o directorio) para que el boceto funcione dinámicamente.     22   
El  archivo  HTML  exportado  (por  ejemplo.  circular.html)  puede  apreciarse  con  cualquier  navegador  de  Internet  (por  ejemplo.  Mozilla,  Internet  Explorer,  Safari).  Para  que  el  comportamiento de la construcción sea dinámico, el equipo de trabajo debe tener instalado  Java (se lo puede bajar desde http://www.java.com gratuitamente). Para trabajar sobre una  Hoja  Dinámica  en  uno  de  los  equipos  de  una  red,  como  la  secular  por  ejemplo,  quien  administre la red local debe asegurarse de tener Java adecuadamente instalado.     Atención:  Para  editar  el  texto  de  una  Hoja  Dinámica,  basta  con  abrir  el  archivo  HTML  exportado  con  cualquier  sistema  de  procesamiento  de  textos  (por  ejemplo.  FrontPage,  OpenOffice  Writer).  También  puede  editarse  el  applet  de  la  Hoja  Dinámica    abriendo  el  archivo GGB con GeoGebra y guardándolo después, con el mismo nombre.  23   
2.  Entrada Geométrica  2.1 Anotaciones Generales  La Vista Gráfica  (a la derecha) expone gráficamente la representación de objetos  matemáticos (como puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, curvas, rectas y  secciones cónicas). Cuando el ratón (o mouse) se desplaza sobre un objeto, éste se ilumina y  se despliega un letrero rodante con su descripción.     GeoGebra  reacciona  de  distinta  manera  frente  a  cada  entrada  de  mouse  o  ratón  según  la  herramienta y el modo en que se estuviera operando en la Vista Gráfica  (ver, al respecto, la  sección Herramientas de Construcción). Por ejemplo, un clic en zona gráfica puede crear un  punto  nuevo  (ver  herramienta    Punto  Nuevo),  fijar  la  intersección  entre  objetos  (ver  herramienta    Intersección  de  Dos  Objetos)  o  trazar  una  circunferencia (ver  herramientas  correspondientes a la   Circunferencia).     Atención:  Un  doble  clic  sobre  un  objeto  en  la  Vista  Gráfica  abre  su  campo  de  edición  que  permite  se  modifique  su  valor  si  fuera  un  objeto  libre  y  que  se  lo  redefina,  si  fuera  dependiente.  2.2 Herramientas de Construcción  Las siguientes herramientas de construcción o modos, pueden activarse con un clic sobre los  botones de la Barra de Herramientas. Un clic sobre la flechita del extremo inferior derecho  del  recuadro  de  cada  ícono  representativo  de  una  Caja  de  Herramientas,  despliega  lo  que  puede considerarse un menú, del que se puede elegir una herramienta, de entre conjunto  de varias, similares.   Atención:  Con  la  mayor  parte  de  las  herramientas  de  construcción  pueden  crearse  nuevos  puntos, simplemente con un clic sobre una zona vacía de la zona gráfica.  Seleccionado Objetos  Cuando  está  active  la  herramienta    Elige  y  Mueve,  un  clic  sobre  cualquier  objeto,  lo  selecciona. Para seleccionar varios, se puede apelar al rectángulo de selección, encuadrando,  con    Elige  y  Mueve,  la  zona  en  que  se  encontraran:  en  una  posición  vacía  de  la  Vista  Gráfica, se determina el primer extremo con un clic que se sostiene mientras se arrastra el  ratón hasta soltarlo en el vértice diagonalmente opuesto, para establecer el marco deseado.    Al  soltar  el  botón,  todos  los  objetos  dentro  del  recuadro  quedan  seleccionados,  simultáneamente.    Atención: Manteniendo pulsada la tecla Ctrl (MacOS: tecla Cmd) mientras se va haciendo clic  sobre diferentes objetos, se logra que todos queden simultáneamente seleccionados.  24   
Renombrar Objetos Rápidamente  Para renombrar rápidamente un objeto seleccionado o recién creado, basta con apuntarlo y  pulsar  alguna  letra:  se  abrirá  la  caja  de  diálogo  de  Renombra  donde  escribir  el  nuevo  nombre, que quedará establecido con un clic sobre el botón OK.  2.2.1 Herramientas Generales   Copia Estilo Visual  Esta  herramienta  permite  copiar  las  propiedades  visuales  (como  color,  dimensión,  estilo  lineal, etc.), desde un objeto a los de destino. En primer lugar, debe seleccionarse el objeto  cuyas propiedades desean copiarse. Luego, se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos  que deben adoptar dichas propiedades.    Borra Objeto  Cuando está activa esta herramienta, basta con un clic sobre cada uno de los objetos que se  desee borrar (quedan eliminados, consecuentemente, todos los que derivan y dependen del  que fue borrado). Ver también el comando Borra.  Atención:  Se  puede  recurrir  al  botón    Deshace  para  recuperar  un  objeto  borrado  por  equivocación.   Elige y Mueve  Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el ratón o mouse. Basta  seleccionar un objeto con un clic, estando activo   Elige y Mueve  para poder…   • … eliminarlo pulsando la tecla Del (o Delete)  • … desplazarlo apelando a las teclas‐flecha (ver sección Animación Manual)   Atención:  Pulsar  la  tecla  Esc  también  activa,  y  rápidamente,  la  herramienta    Elige  y  Mueve.    Desplaza Área Gráfica  Con esta herramienta, se puede arrastrar y soltar la Vista Gráfica para cambiar la zona visible  de esa área.     Atención:  • También se puede desplazar el área gráfica, estando cualquier herramienta activa,   pulsando la tecla Shift  (en MS Windows, también la tecla Ctrl).y arrastrándola con el  ratón o mouse  • Con la misma maniobra, pulsando la tecla Shift  (en PC, también Ctrl), y mismas  condiciones (estando cualquier herramienta activa),  también puede escalarse uno u  otro eje, simplemente arrastrándolo con el mouse o ratón.  25   
 Registra en Hoja de Cálculo  Vista de Hoja de Cálculo Esta herramienta trabaja con números, puntos y vectores.  Esta  herramienta  permite  que  se  registre,  en  la  Vista  de  Hoja  de  Cálculo,  la  secuencia  de  valores que, a medida que se desplaza, toma un objeto (número, punto o vector)    Atención: GeoGebra tomará las dos primeras columnas vacías de la Vista de Hoja d Cálculo   para registrar los valores de los objetos seleccionados.    Relación   Herramienta que permite seleccionar don objetos para obtener, desplegada en una ventana  emergente, información sobre la relación que pudiera vincularlos (ver también el comando  Relación).   Rota en torno a un Punto   Después  de  seleccionar  el  punto  que  hará  las  veces  de  centro,  pueden  rotarse  a  su  alrededor, los objetos libres que se elijan, simplemente arrastrándolos con el ratón o mouse.  (ver también el comando Rota).    Expone / Oculta Rótulo   Al hacer clic sobre un objeto, su rótulo se expone u oculta alternativamente.   Expone / Oculta Objeto  Tras activar esta herramienta, basta seleccionar el objeto que se desee exponer o ocular y al  pasar a otra herramienta, se aplicarán los cambios en su estado de visibilidad.  Atención: Cuando se activa esta herramienta, todos los objetos que debieran estar ocultos  aparecen resaltados en la Vista Gráfica. De este modo, fácilmente se vuelven a exponer los  objetos ocultos, simplemente deseleccionándolos, antes de pasar a otra herramienta.   Zoom de Acercamiento   Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica,  esta herramienta produce un "zoom" de  acercamiento (ver también Personalizar la Vista Gráfica)    Atención: La posición del clic determina el centro del zoom.   Zoom de Alejamiento   Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica, esta herramienta produce un "zoom" de  alejamiento respecto de la construcción (ver también Personalizar la Vista Gráfica).  Atención: La posición del clic determina el centro del zoom.  26   
2.2.2 Herramientas de Puntos     Intersección de Dos Objetos  Los  puntos  de  intersección  de  los  dos  objetos  pueden  producirse  de  dos  maneras  (ver  también comando Interseca) a saber…  • … seleccionando dos objetos, se crean todos los puntos de intersección (si los hubiese  / fuesen posibles).  • … con un clic directo sobre la intersección de los dos objetos: sólo se crea este único  punto de intersección  Atención: Para cada segmento, semirrecta o arco, se pude especificar, en la pestaña Básica  de  su  respectiva  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades,  si  se  permitirá  la  intersección  en  prolongaciones.  Esta  alternativa  permite  obtener  puntos  de  intersección  que  queden  establecidos en la extensión de un objeto. Por ejemplo, la extensión de un segmento o una  semirrecta es una recta.   Punto Medio o Centro  Un clic sobre...   • … dos puntos o un segmento, permite obtener su punto medio.  • … una circunferencia o sección cónica (circunferencia o elipse)  su punto centro.   (Ver también los comandos Centro y PuntoMedio).   Nuevo Punto   Con  un  clic  sobre  la  Vista  Gráfica  se  crea  un  nuevo  punto.  Sus  coordenadas  quedan  establecidas al soltar el botón de ratón o mouse nuevamente.   Atención:   • Con un clic sobre un segmento, recta, polígono, sección cónica, función o curva, se  crea un punto sobre el objeto en cuestión (ver también el comando Punto).  • Con un clic sobre la intersección de dos objetos, se crea este punto de intersección  (ver también la herramienta   Interseca Dos Objetos y el comando Interseca).   2.2.3 Herramientas de Vectores   Vector entre Dos Puntos  Basta  con  seleccionar  el  punto  de  inicio  y  el  de  aplicación  del  vector  (ver  también  el  comando Vector).   Vector desde un Punto  Al seleccionar un punto A y un vector v, se crea un nuevo punto B = A + v así como  el vector  de A a B (ver también el comando Vector).  27   
2.2.4 Herramientas de Segmentos   Segmento entre Dos Puntos   Al  seleccionar  dos  puntos  A  y  B,  se  establece  un  segmento  entre  A  y  B  (ver  también  el  comando Segmento).   Atención: En la Vista Algebraica, podrá verse la longitud de dicho segmento.    Segmento dados Punto Extremo y Longitud  Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del segmento y  anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a continuación, para que quede  trazado (ver también el comando Segmento)..   Atención: Esta herramienta crea un segmento con la longitud a determinada entre el punto  A y el B que será su otro extremo. El extremo B puede rotarse con la herramienta Elige y  Mueve  en torno al extremo inicial A.  2.2.5 Semirrecta   Semirrecta que pasa por Dos Puntos  Al  seleccionar  dos  puntos  A  y  B  se  crea  una  semirrecta  que  parte  de  A  y  cruza  B.  (Ver  también el comando Semirrecta).   Atención: En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta.  2.2.6 Polígonos   Polígono  Para  trazar  un    polígono  y  que  su  área  quede  expuesta  en  la  Vista  Algebraica,  basta  con  marcar al menos tres puntos que constituirán sus vértices y, con un clic reiterado sobre el  primero de ellos, cerrarlo. (Ver también el comando Polígono)  Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono.    Polígono Regular  Al marcar dos puntos, A y B y anotar un número n en el campo de texto la caja de diálogo  emergente,  se  traza  un  polígono  regular  con  n  vértices,  incluyendo  A  y  B.  (Ver  también  el  comando Polígono)  Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono.   28   
2.2.7 Recta y sus Herramientas   Bisectriz  La  bisectriz  de  un  ángulo  (ver  también  el  comando  Bisectriz),  puede  definirse  de  dos  maneras   • Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo determinado por  A, B y C, con B como vértice.   • Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos.  Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1.   Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del segmento s o AB.     Ajuste Lineal  Esta herramienta (ver también el comando AjustetLineal), traza la recta que mejor se ajusta  a un conjunto de puntos, establecido de uno de estos modos:  • Trazar la Selección Rectangular que enmarca a todos los puntos.  • Seleccionar la lista de puntos cuyo mejor ajuste lineal se desea.   Recta que pasa por Dos Puntos  Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que fija la dirección de  la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta),  Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A).    Recta Paralela  Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela  a g. (Ver también el comando Recta).  Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g.   Mediatriz  La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos A  y B extremos.   Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular al segmento  s. o AB (Ver también el comando Mediatriz).   Recta Perpendicular  Al  seleccionar  una  recta  g  y  un  punto  A,  queda  definida  la  recta  que  pasa  por  A  y  es  perpendicular a g.  (Ver también el comando Perpendicular).  Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular a g.    Recta Polar o Diametral  Esta  herramienta  crea  la  recta  polar  o  diametral  de  una  sección  cónica  de  dos  posibles  maneras;  seleccionando…  • …  un punto y una sección cónica.   29   
• …  una recta o vector y una sección cónica para fijar su diámetro.  (Ver también el comando Polar).   Tangentes  Las tangentes a una cónica pueden determinarse de dos maneras:  • Al  seleccionar  un  punto  A  y  una  cónica  c  se  producen  todas  las  tangentes  a  c  que  pasan por A.   • Al seleccionar una recta g y una cónica c se producen todas las tangentes a c que son  paralelas a g.  • Al seleccionar un punto A y la función f,  se traza la recta tangente a f por x=x(A).  • Atención: x(A) representa la coordenada x del punto A. Si el punto A perteneciera al  gráfico  de  una  función,  la  tangente  pasará  a  través  de  A.  se  producen  todas  las  tangentes a f que son paralelas a g  (Ver también el comando Tangente).  2.2.8 Secciones Cónicas   Circunferencia dados su Centro y Radio  Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor del  radio.  (Ver también el comando Circunferencia).    Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos  Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M  que pasa por P.  (Ver también el comando Circunferencia).  Atención: El radio del círculo es la distancia MP.    Circunferencia dados Tres de sus Puntos  Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los cruza.   (Ver también el comando Circunferencia).  Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría reducida a una  recta.   Compás  Al  seleccionar  un  segmento  o  dos  puntos,  queda  especificado  el  radio  y  un  clic  posterior  sobre  un  punto,  lo  marca  como  centro  de  la  circunferencia  a  trazar.  (Ver  también  el  comando Circunferencia).   Cónica dados Cinco de sus Puntos  Al seleccionar cinco puntos, queda definida una sección cónica que pasa por ellos.   (Ver también el comando Cónica).  Atención: La sección cónica no queda efectivamente definida, si cuatro de estos cinco puntos  estuvieran alineados.  30   
 Elipse  La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos.  (Ver también el comando Elipse).     Hipérbola  La  hipérbola  se  trazará  al  seleccionar  sus  dos  focos  en  primer  lugar  y  luego,  uno  de  sus  puntos. (Ver también el comando Hipérbola).   Parábola  La  parábola  se  trazará  al  seleccionar  un  punto  que  será  su  foco  y  su  directriz  (recta,  semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola).  2.2.9 Arcosy Sectores  Atención: En GeoGebra, el valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector,  su  área.   Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos   Deben  seleccionarse  tres  puntos:  en  primer  lugar  M,  que  será  su  centro;  luego  A,  su   extremo  inicial  y  finalmente  B  que  determinará  la  longitud  del  arco.  (Ver  también  el  comando ArcoCircuncircular).  Atención:  Mientras  el  punto  A  pertenece  al  arco  dado  que  es  su  extremo,  B  no  necesariamente pertenece al arco.    Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos   Deben marcarse tres puntos: primero M, que será su centro; luego A, extremo inicial de su  arco  y  finalmente  B  que  determinará  la  longitud  del  arco  del  sector.  (Ver  también  el  comando SectorCircular).  Atención: Mientras el punto A pertenece al arco del sector, dado que es su extremo, B no  necesariamente pertenece a su arco.    Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos  Al marcar tres puntos, A, B, y C,  se traza un arco de circunferencia cuyo extremo inicial es A;  el  final  es  C  y  B  pertenece  al  arco  tendido  entre  A  y  C.    (Ver  también  el  comando  ArxoCircumcircular).   Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco    Al marcar tres puntos, A, B, y C,  se produce un sector circular en cuyo arco el extremo inicial  es  A;  el  final  es  C  y  B  pertenece  al  arco  tendido  entre  A  y  C.  (Ver  también  el  comando  SectorCircumcircular).  31   
 Semicircunferencia dados Dos Puntos  Al seleccionar dos puntos A y B, se traza una semicircunferencia por encima del segmento  AB. (Ver también el comando Semicirunferencia).  2.2.10 Números y Ángulos   Angulo  Esta herramienta crea:  • el ángulo entre tres puntos cuyo vértice es el segundo de ellos  • el ángulo entre dos segmentos  • el ángulo entre dos rectas  • el ángulo entre dos vectores  • todos los ángulos de un polígono  Atención: Si el polígono fue creado seleccionando sus vértices en sentido antihorario, la  herramienta Angulo establece los interiores.  Atención: En tanto los ángulos se crean en sentido antihorario, es relevante el orden de  selección de los objetos al emplear esta herramienta. Para limitar la amplitud del ángulo  a 180°, como máximo, no debe estar tildada la casilla de ‘Admite Ángulos Cóncavos’que  en la pestaña ‘Básico’ ofrece la Caja de Diálogo de Propiedades.    (Ver también el comandoAngulo).   Angulo dada su Amplitud  Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del ángulo en el campo de  texto  de  la  ventana  emergente.  Esta  herramienta  produce  un  punto  C  y  un  ángulo  α  correspondiente a ABC.  (Ver también el comando Angulo).  Atención: Esta herramienta crea un punto C y un ángulo  α correspondiente a ABC.   Área  Esta  herramienta  establece  el  área  de  un  polígono,  círculo  o  elipse  como  número  que  se  expone como texto dinámico en la Vista Gráfica.  (Ver también el comando Area).   Distancia o Longitud   Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos, dos rectas o un punto y una recta y la  expone como texto dinámico en la Vista Gráfica.  También opera con la longitud de un  segmento, la de una circunferencia o la del perímetro de un polígono.  (Ver también los  comandos Distancia y Longitud).   Deslizador  Un clic en cualquier espacio libre de la  Vista Gráfica crea un "dial” o deslizador para ajustar  el valor de un número o un ángulo.. La ventana de diálogo emergente permite especificar el  Nombre, Intervalo [mín, máx], e Incremento del valor correspondiente así como la alineación  32   
con que quedará Fijado (Horizontal o Vertical)  y Ancho del deslizador (longitud expresada en  pixels).   Atención: En la ventana de diálogo del Deslizador puede ingresarse el símbolo de grados ° o  pi π para intervalo e incremento, usando las siguientes teclas de atajo:  • Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados °  • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π    La  posición  de  un  deslizador  puede  ser  absoluta  en  la  Vista  Gráfica  (no  es  afectado  por  ningún  tipo  de  “zoom”:  permanece  expuesto  en  una  zona  visible  de  la  Vista  Gráfica)  o  relativa al sistema de coordenadas (ver Caja de Diálogo de Propiedades del número o ángulo  correspondiente).   Atención:  En  GeoGebra,  un  deslizador  no  es  sino  la  representación  gráfica  de  un  número  libre  o  ángulo  libre.  Puede  crearse  desde  cualquier  número  libre  o  ángulo  existente,  sencillamente,  exponiendo  tal  objeto  en  la  Vista  Gráfica  (ver  Menú  Contextual;  ver  herramienta   Expone  / Oculta Objeto).   Pendiente  Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinámicamente, ilustrada en  un triángulo rectángulo adecuado,  en la Vista Gráfica.  2.2.11 Control Booleano   Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos   Al dar clic sobre la Vista Gráfica se crea una casilla a tildar (ver sección Variables Booleanas y  Operaciones y Variable Booleana) para exponer y ocultar uno o más objetos. En la ventana  emergente,  se  puede  especificar  qué  objetos  quedarían  afectados  por  el  estado  de  tal  casilla.  Atención: Estos objetos pueden seleccionarse desde la lista que ofrece la ventana de dialogo  o directamente, con el mouse o ratón en cualquier vista.  2.2.12 Lugar Geométrico   Locus o Lugar Geométrico   Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A cuyo lugar  geométrico va a  trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori de B.  (Ver también el  comando LugarGeométrico).  Atención: Debe advertirse que B debe ser un punto de un objeto (por ejemplo: una recta, un  segmento, una circunferencia).   Ejemplo:   • Anotar f(x) = x^2 – 2 x – 1 en el Campo de Entrada y pulsar la tecla Enter.  • Ubicar un nuevo punto A en el eje‐x (ver herramienta    Nuevo Punto; ver comando  Punto).   • Crear un punto B = (x(A), f’(x(A))) que dependerá del punto A.   33   
• Seleccionar  la  herramienta    Lugar  Geométrico    y  sucesivamente  dar  clic  sobre  el  punto B y el A.  • Arrastrar el punto A sobre el eje‐x para ver a B desplazarse por el lugar geométrico.  2.2.13 Transformaciones Geométricas   Las siguientes transformaciones geométricas operan sobre puntos, rectas, secciones cónicas,  polígonos e imágenes.   Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala  Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado. Luego, basta un clic sobre el  punto que obrará como centro de la homotecia para que aparezca una ventana en donde  anotar el factor deseado. (Ver también el comando Homotecia).   Refleja Objeto en Recta  Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre la  recta (semirrecta o segmento) para que quede establecido el eje de simetría a través del que  se operará la reflexión. (Ver también el comando Refleja).     Refleja Objeto por Punto   Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre el  punto a través del cual se operará la reflexión. (Ver también el comando Refleja).   Refleja Punto en Circunferencia  Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia, seleccionando el punto a  invertir y luego la circunferencia para la reflexión. (Ver también el comando Refleja).   Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado   Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado. Luego, basta un clic sobre el  punto que obrará como centro de rotación para que aparezca una ventana donde puede  especificarse la amplitud del ángulo de rotación.  (Ver también el comando Rota).   Traslada Objeto por un Vector  Lo  primero  que  debe  seleccionarse  es  el  objeto  a  ser  trasladado.  Luego,  un  clic  sobre  un  vector, bastará para que se produzca la translación. (Ver también el comando Traslada).  34   
2.2.14 Texto   Inserta Texto  Con esta herramienta, pueden crearse fórmulas de LaTeX o textos, estáticos o dinámicos, en  la Vista Gráfica.  En primer lugar, es necesario especificar el texto de una de las siguientes maneras:  • Con un clic sobre la Vista Gráfica para crear un nuevo texto en esa posición.  • Con  un  clic  sobre  un  punto  para  crear  un  nuevo  campo  de  texto  cuya  ubicación  se  vincula y asocia a dicho punto.  A continuación, aparece una caja de diálogo en la que se puede anotar el texto.  Atención: Puede especificarse la posición absoluta de un texto en pantalla (tildando la casilla  de ‘Posición absoluta en pantalla’ de la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de  Propiedades) para que no resulte relativa al sistema de coordenadas.    Texto Estático no depende de ningún objeto matemático y no suele afectarlo ningún cambio  de la construcción.    Texto Dinámico   Es el que contiene valores de objetos y se modifica y adapta automáticamente frente a sus  cambios.    Texto Mixto es una combinación de  texto estático y dinámico. Para crear un texto mixto,  debe  anotarse  el  sector  estático  usando  el  teclado  (por  ejemplo:  Punto  A  =)  y  añadir  la  sección dinámica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer (el punto A, en el  caso de este ejemplo).   Atención: GeoGebra automáticamente incorpora y añade la sintaxis necesaria ("Punto A = "  + A) para crear los textos mixtos: comillas en torno a la parte estática del texto y el signo más  (+) para conectar las diferentes partes del texto.    Entrada  Descripción  Este es un texto estático texto estático  A texto dinámico (si el punto A existe)  texto  mixto  en  dos  partes,  usando  el  valor  del  "Punto A = " + A punto A  texto  mixto  en  tres  partes,  usando  el  valor  del  "a = " + a + "cm" número a    Atención:  Si  ya  existiera  un  objeto  denominado  xx  y  se  deseara  crear  un  texto  estático  usando  ese  nombre,  sería  preciso  anotarlo  entre  comillas,  así;  "xx".  De  lo  contrario,  en  lugar de mostrar ese nombre, GeoGebra automáticamente crearía un texto dinámico, el del  valor del objeto xx. Por el contrario, puede anotarse cualquier texto que no coincida con el  nombre de un objeto existente, sin hacer la distinción implicada en las comillas.    Atención: Dentro de un texto mixto, cualquier sección estática precisa entrecomillarse y los  diferentes tramos, estáticos y dinámicos, concatenarse usando el signo más (“+”).  35   
Fórmulas LaTeX  En GeoGebra también se pueden escribir fórmulas. Para hacerlo, hay que tildar la casilla  correspondiente, Fórmula LaTeX, que aparece en la ventana de diálogo de la herramienta    Inserta Texto  y anotar la fórmula según la sintaxis de LaTeX.   Atención: Para crear un texto que contenga una formula LaTeX así como texto estático, se  ingresa  la  parte  estática  del  texto  y  luego  se  añade  la  fórmula  LaTeX  entre  un  juego  de  símbolos de pesos ($).  Ejemplo: La longitud de la diagonal es $sqrt{ 2 }$.    Se  pueden  seleccionar  los  símbolos  más  usuales  en  la  sintaxis  de  las  formulas  más  habituales, desde el menú desplegable que aparece a la derecha de la casilla de LaTeX.  Esto  intercala  los  códigos  de  LaTeX  correspondientes  en  el  campo  de  texto  y  deja  ubicado  el  cursor entre un juego de llaves { },. Si se quiere crear un texto dinámico con la formula, basta  un  clic  sobre  un  objeto  para  que  GeoGebra  inserte  su  nombre  así  como  la  sintaxis  para  el  texto mixto.   Algunos  comandos  importantes  de  LaTeX  aparecen  en  la  siguiente  tabla.  Revisando  cualquier documento sobre LaTeX se obtiene más información sobre el tema.       LaTeX Entrada  Resultado  a cdot b  a ⋅b a frac{a}{b}  b sqrt{x}  x n sqrt[n]{x}  x r vec{v}  v overline{AB}  AB x^{2}  x2 a_{1}  a1 sinalpha + cosbeta  sin α + cos β b int_{a}^{b} x dx  ∫ xdx a ∑ i n 2 sum_{i=1}^{n} i^2  i =1     2.2.15 Imágenes   Inserta imagen  Esta herramienta permite intercalar una imagen en la  Vista Gráfica.  En  primer  lugar,  se  debe  especificar  el  lugar  donde  ubicarla,  de  una  de  las  siguientes  maneras:  • Un clic en Vista Gráfica fija la esquina inferior izquierda de la imagen.  • Un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior izquierda.   36   
Luego,  en  la  caja  de  diálogo  que  se  abre,  se  puede  seleccionar  una  imagen  de  entre  los  archivos  de  formato  gráfico  que  aparecen  listados,  almacenados  en  los  directorios  o  carpetas que se examinan a tal efecto.     Atención: Después de seleccionar la herramienta   Inserta Imagen, pueden usarse las teclas  de atajo Alt‐clic para pegar una imagen directamente desde el portapapeles del sistema en la  Vista Gráfica.  Propiedades de las Imágenes  Posición  La  posición  de  una  imagen  puede  ser  absoluta  ‐  en  pantalla  ‐  o  relativa  al  sistema  de  coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la pestaña ‘Básico’ de  la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen.   Esto se lleva adelante especificando los tres puntos vértices.   (Ver también el comando Esquina).   La pestaña ‘Posición’ de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen ofrece la flexibilidad  de escalar, rotar y hasta distorsionar las imágenes.     • Esquina 1: posición de la esquina izquierda inferior de la imagen   • Esquina 2: posición inferior derecha de la imagen    Atención: Sólo puede fijarse esta esquina cuando ya se estableció la previa, porque  de este modo se controla el ancho de la imagen.  • Esquina 4: posición superior izquierda de la imagen    Atención: Sólo puede fijarse cuando ya se estableció la primera esquina, dado que de  este modo se controla la altura de la imagen.     Ejemplo:  Para explorar los efectos de los puntos esquina, conviene crear tres puntos A, B y C.   • Fijemos A como la primera y B como la segunda esquina de la imagen. Al arrastrar A y  B  con  la  herramienta   Elige  y  Mueve,  puede  explorarse  su  influencia  muy  fácilmente.  • Podemos fijar, a continuación, A como la primera y C como la cuarta esquina, para  explorar cómo el desplazamiento de estos puntos influye en la imagen.   • Finalmente,  pueden  establecerse  los  tres  puntos  de  esquina  para  observar  cómo  al  arrastrarlos, se distorsiona la imagen.  Ejemplo:  Tras  observar  cómo  influir  sobre  la  posición  y  tamaño  de  una  imagen,  vale  la  pena  experimentar otras alternativas.   Al adjuntar una imagen a un punto A, se fija a 3 unidades su ancho y a 4, su altura, llevando  adelante lo siguiente:  • Fijar. ‘Esquina 1’ a A   • Fijar. ‘Esquina 2’ a  A + (3, 0)   • Fijar. ‘Esquina 4’ a  A + (0, 4)   Atención:  Al  arrastrar  el  punto  A  con  la  herramienta    Elige  y  Mueve,  la  medida  de  la  imagen se conserva.  37   
Imagen de Fondo  Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a Imagen de  Fondode la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades  de la imagen (ver Caja de  Diálogo de Propiedades de la imagen). Una imagen de fondo, yace tras los ejes de  coordenadas y ya no vuelve a resultar accesible a la selección vía ratón o  mouse.  Atención: Para modificar la condición de "telón de fondo" de una imagen, se debe abrir la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  seleccionado  el  ítem    Propiedades…  del  Menú  Edita  y  quitar el tilde de la casilla correspondiente a Imagen de Fondo de la pestaña Básico.   Transparencia  Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los objetos como  los ejes que queden tras ella. Para fijar esta condición de transparencia de una imagen, se  especifica para el Sombreado un valor entre 0% y 100% (ver Caja de Diálogo de Propiedades  de la imagen).  38   
3.  Entrada Algebraica  3.1 Anotaciones Generales  Las representaciones algebraicas de los objetos matemáticos (como valores, coordenadas y  ecuaciones) se exponen en la Vista Gráfica. Se pueden crear y modificar objetos usando la  Barra  de  Entrada  al  pie  de  la  pantalla  de  GeoGebra  (ver  secciones  Entrada  Directa  y  Comandos).  Atención: Siempre se debe pulsar la tecla Enter tras ingresar la definición de un objeto en la   Barra de Entrada.  Atención: Al pulsarse la tecla Enter en cualquier momento, se alterna el foco entre la Barra  de Entrada y la Vista Gráfica. Esto permite ingresar expresiones y comandos en la Barra de  Entrada sin clic previo del mouse o ratón.   Nombrando Objetos  Se  le  puede  asignar  un  nombre  a  un  objeto  cuando  se  lo  ha  creado  usando  la  Barra  de  Entrada:  • Puntos: En GeoGebra los nombres de los puntos, se distinguen por ser siempre letras  mayúsculas. Basta, entonces, con anotar el nombre (por ejemplo: A,  P) y un signo  igual antes de las coordenadas.  Ejemplos: C = (2, 4), P = (1; 180°), Complejo = 2 + i   • Vectores: Para distinguirlos de los puntos, GeoGebra reserva la letra minúscula para  los vectores. Nuevamente, se debe anotar el nombre (sea., v, u) y un signo igual  frente a las coordenadas del vector.  Ejemplos: v = (1, 3), u = (3; 90°), complejo = 1 – 2i  • Rectas, circunferencias, secciones cónicas: Estos objetos pueden definirse por su  nombre seguido de dos puntos antecediendo a su ecuación o comando  Ejemplos: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4,   hyp: x^2 – y^2 = 2 • Funciones: Se pueden ingresar con un nombre que las caracterice como tales, por  ejemplo, f(x) = o g(x)= previo a la ecuación de tal función o de los  comandos correspondientes en juego.  Ejemplos: h(x) = 2 x + 4, q (x) = x^2, trig(x) = sin(x)    Atención:  Si  no  se  le  asigna  un  nombre  a  un  objeto  manualmente,  GeoGebra  lo  hace  automáticamente, por orden alfabético.  Atención: Los nombres de los objetos pueden estar indexados. Para establecer un índice  en  el  nombre  de  un  objeto,  basta  con  emplear  el  sub‐guión  o  guión  bajo.  Por  ejemplo  A1  se  anota como A_1 y SAB  como s_{AB}. El guión bajo precede al o a los subíndices.  Cambio de Valores  Hay dos modos de manejar los valores de los objetos libres:  39   
• Cambiar el valor del objeto ingresando su nombre y el Nuevo valor en la Barra de  Entrada (ver Entrada Directa).   Ejemplo: Si se desea cambiarle el valor a un número existente, a = 3, se anota a = 5  en la Barra de Entrada y se pulsa la tecla Enter.  • Editar la representación algebraica: Se activa la herramienta   Elige y Mueve para  apuntarlo la Vista Algebraica y hacer sobre el objeto en cuestión, un doble clic. Al  abrirse la caja de texto correspondiente, se puede editar el valor del objeto. Para fijar  los cambios, debe pulsarse la tecla Enter.    Atención: Mientras los valores de los objetos libres pueden modificarse directamente, los de  los  objetos  dependientes  sólo  cambian  cuando  se  los  Redefine  o  a  expensas  de  alguna  variación en los valores de los objetos de los que dependen (padres en tanto les dan origen).  Exponer la Historia de la Barra de Entrada  Al ubicar el cursor en la Barra de Entrada pueden usarse las teclas‐flecha ↑ ascendente y ↓  descendente para navegar a través de lo que se ingresara previamente, paso a paso.    Atención: Un clic sobre la marquita del signo de interrogación   a la izquierda de la Barra de  Entrada, aparecen información de ayuda que le corresponde.  Copia el Nombre, el Valor o la Definición de un Objeto en  la Barra de Entrada  Se  Inserta  el  Nombrede  un  objeto,  activando  la  herramienta    Elige  y  Mueve  y  seleccionando el objeto cuyo nombre se desea insertar en la Bara de Entrada y pulsando a  continuación, la tecla F5.  Atención:  El  nombre  del  objeto  se  añade  a  cualquier  expresión  ingresada  en  la  Barra  de  Entrada  antes de pulsar la tecla F5.    Se Inserta el valor de un objeto en la Barra de Entrada (por ejemplo, (1, 3),  3x – 5y = 12), de  cualquiera de estas dos maneras   • Tras un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el objeto, seleccionando el ítem   Copia  a la Barra de Entrada del Menú Contextual emergente.  • Activar la herramienta   Elige y Mueve y seleccionar el objeto cuyo valor se desea  insertar en la Barra de Entrada  para pulsar luego, la tecla F4.  Atención: El valor del objeto se añade a la expresión ingresada en la Barra de  Entrada  antes de pulsar la tecla F4.    Se  Inserta  la  definición  de  un  objeto  (por  ejemplo,  g., A = (4, 2), c = Circunferencia[A, B]) en la Barra de Entrada, de dos modos diferentes:  • Alt clic sobre el objeto copia su definición eliminando lo que hubiera previamente en  la Barra de Entrada.  • Seleccionando el objeto cuya definición se quiera insertar en la Barra de Entrada con  la herramienta  Elige y Mueve y pulsando la tecla F3.  Atención: La definición del objeto reemplaza a cualquier expresión en la Barra de  Entrada  presente antes de pulsar la tecla F3.  40   
3.2 Entrada Directa  GeoGebra puede operar con números, ángulos, puntos, vectores, segmentos, rectas,  secciones cónicas, funciones y curvas paramétricas. Es posible ingresar estos objetos en la  Barra de Entrada anotando sus coordenadas o ecuaciones y pulsando la tecla Enter   3.2.1 Números y Ángulos  Números  Se pueden crear números usando la Barra de Entrada. Si se anota un número (por ejemplo;  3),  GeoGebra  le  asigna  como  nombre  una  letra  minúscula.  Si  se  prefiere  otro  nombre,  es  preciso  anotarlo  seguido  del  signo  igual  que  antecederá  al  valor  numérico  (por  ejemplo.,  para crear un decimal r se anota r = 5.32).    Atención: En GeoGebra, los número y ángulos usan el punto ‘.’ como separador decimal.    También  pueden  emplearse  la  constante  π    o  la  e  de  Euler  para  expresiones  y  cálculos,  seleccionándolas en los menúes que se despliegan próximos a la Barra de Entrada o usando  las teclas de atajo.    Atención:: Si la variable e  no está aún usándose como nombre de un objeto ya existente,  GeoGebra la reconocerá como la constante de Euler  cuando se la incluya en una expresión.  Ángulos  Los ángulos se ingresan en grados (°) o en radianes (rad). La constante π es útil para los  valores en radianes y puede también anotarse como pi  Atención: Se puede ingresar el símbolo de grados ° o el de pi, π usando las siguientes teclas  de atajo:  • Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados °  • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π    Ejemplo: Un ángulo α puede ingresarse en grados (como en α  = 60°)) o radianes (como en α  = pi/3).    Atención: GeoGebra realiza todos los cálculos internos en radianes. El símbolo (°) no es sino  una constante para convertir π/180 de grados a radianes.     Ejemplos:  • Si a = 30 es un número, entonces α = a° convierte a un ángulo α = 30° el número a,  sin cambiar su valor  • Al anotar b = α / ° el ángulo α vuelve a convertirse en el número b = 30, sin  cambiar su valor.  Deslizadores  y Teclas‐Flecha  Tanto  los  números  libres  como  los  ángulos  libres  pueden  exponerse  como  deslizadores  ajustables en la Vista Gráfica (ver herramienta   Deslizador). Con las teclas‐flecha se puede  41   
cambiar el valor de números y ángulos, también en la en la Vista Algebraica (ver Animación  Manual).  Valor Limitado a un Intervalo   Tanto  los  números  libres  como  los  ángulos  libres  pueden  quedar  limitados  a  un  intervalo  [mín, máx] usando la pestaña Deslizado’ de la Caja de Diálogo de Propiedades (ver también  herramienta   Deslizador).    Atención:  Para  los  ángulos  dependientes  se  puede  especificar  si  pueden  o  no  resultar  cóncavos, tildando o no la correspondiente casilla de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo  de Propiedades.  3.2.2 Puntos y Vectores  Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenada cartesianas o polares (Ver Números  y Ángulos).    Atención: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores.     Ejemplos:  • Para  ingresar  un  punto  P  o  un  vector  v  en  coordenadas  cartesianas  se  anota  P = (1, 0) o v = (0, 5).   • Para usar coordenadas polares se anota P = (1; 0°) o v = (5; 90°).   Atención: El punto y coma separa las coordenadas. Si no se anota el símbolo de grados,  GeoGebra asumirá que el valor del ángulo está expresado en radianes.    En GeoGebra, también pueden hacerse cálculos con puntos y vectores  Ejemplos:  • Puede establecerse el punto medio M de los puntos A y B anotando:  M = (A + B) / 2 en la Barra de Entrada.  • Puede calcularse la longitud de un vector v anotando longitud_v= sqrt(v * v)    3.2.3 Rectas y Ejes  Rectas   Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica en la Barra  de  Entrada.  En  ambos  casos,  se  pueden  emplear  en  tal  ecuación,  variables  previamente  definidas (números, puntos, vectores)   Atención: El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada, seguido de los  dos puntos.     Ejemplos:  • Podemos  definir  una  recta  g  ingresando  la  ecuación  g : 3x + 4y = 2  como  ecuación lineal.   • Debe  definirse  un  parámetro  t  (t = 3)  antes  de  ingresar  la  recta  g  en  formato  paramétrico como g: X = (-5, 5) + t (4, -3).  42   
• En primer lugar, deben definirse los parámetros m = 2 y b = -1 antes de ingresar  la ecuación g: y = m x + b para obtener una recta g en el formato interceptado  y.   Ejes   A  sendos  ejes  de  coordenadas  se  accede  con  los  comandos  correspondientes  a  través  de  ejeX y ejeY respectivamente   Ejemplo: El comando Perpendicular[A, ejeX] construye la recta perpendicular al eje  x que pasa por el punto A.   3.2.4 Secciones Cónicas  Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y.   Se  pueden  emplear  en  la  ecuación,  variables  previamente  definidas  (números,  puntos,  vectores).   Atención: El nombre de la sección cónica debe ser anotado encabezando la entrada, seguido  de los dos puntos.   Ejemplos:  • Elipse eli:      eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144  • Hipérbola hip:   hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144  • Parábola par:    par: y^2 = 4 x  • Circunferencia k1:    k1: x^2 + y^2 = 25  • Circunferencia k2:    k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25    Atención: Si se definen dos parámetros a = 4 y b = 3, a partir de ellos se puede ingresar  una elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.     3.2.5 Función de x  Para ingresar una función podemos emplear variables previamente definidas (números,  puntos, vectores) y otras funciones.    Ejemplos:  • Función f:         f(x) = 3 x^3 – x^2  • Función g:         g(x) = tan(f(x))  • Función sin nombre:      sin(3 x) + tan(x)    Atención: Todas las funciones internas (como seno, coseno, tangente ‐ sin, cos, tan ‐ etc. y  otras  trigonométricas)  se  describen  en  la  sección  dedicada  a  Funciones  Pre‐Definidas  y  Operaciones).    En GeoGebra, también existen comandos para obtener, por ejemplo, la Integral y Derivada  de una función.     Atención: También se pueden emplear los comandos f’(x) o f’’(x),… para las  derivadas de una función f(x) previamente definida:  43   
Ejemplo:  Tras  definir  la  función  f  como  f(x) = 3 x^3 – x^2 se  puede  ingresar  en  g(x) = cos(f’(x + 2)) para obtener la función g.    Además, las funciones pueden ser trasladadas por un vector (ver comando Traslada  y una  función libre puede desplazarse con el mouse o ratón (ver herramienta   Elige y Mueve).  Función Limitada a un Intervalo  Para limitar una función a un intervalo [a, b], debe emplearse el comando Función.  3.2.6 Funciones Pre‐Definidas y Operaciones  Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones (ver sección correspondiente a  Entrada  Directa) se pueden emplear las siguientes funciones pre‐definidas y operaciones.   Atención: Las funciones pre‐definidas deben ingresarse usando paréntesis y sin dejar espacio  alguno entre el nombre de la función y el paréntesis.   Las siguientes operaciones están disponibles en GeoGebra:    Operación / Función  Entrada  suma  + resta  - producto  *  o tecla Espaciadora producto escalar   * o  tecla Espaciadora división  / exponenciación  ^ o 2 factorial  ! 44   
  Operación / Función  Entrada  función Gamma  gamma( ) paréntesis  ( ) coordenada‐x  x( ) coordenada‐y  y( ) valor absoluto  abs( ) signo  sgn( ) raíz cuadrada  sqrt( ) raíz cúbica  cbrt( ) número aleatorio entre 0 y 1  random( ) función exponencial  exp( ) o ℯx logaritmo (natural, de e)  ln( ) o log( ) logaritmo de2  ld( ) logaritmo de10  lg( ) coseno  cos( ) seno  sin( ) tangente  tan( ) arco coseno  acos( ) arco seno  asin( ) arco tangente  atan( ) coseno hiperbólico  cosh( ) seno hiperbólico  sinh( ) tangente hiperbólica  tanh( ) coseno antihiperbólico  acosh( ) seno antihiperbólico  asinh( ) tangente antihiperbólica  atanh( ) 45   
  Operación / Función  Entrada  mayor entero menor o igual que  floor( ) menor entero mayor o igual que  ceil( ) redondeo  round( ) 3.2.7 Variables Booleanas y Operaciones  Pueden  emplearse  las  variables  Booleanas  cierto  y  falso  en  GeoGebra.  Basta  ingresar,  por  ejemplo, a = true o b = false en la Barra de Entrada y pulsar la tecla Enter.  Casilla a Tildar y Teclas Flecha  Las  variables  Booleanas  libres  pueden  exponerse  como  casillas  a  tildar  en  la  Vista  Gráfica  (ver herramienta   Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos). Apelando a las teclas  flecha  se  pueden  cambiar  las  variables  Booleanas  también  en  la  Vista  Algebraica  (ver  Animación Manual).      Atención:  También  pueden  usarse  variables  Booleanas  como  números  (valor  0  ó  1).  Esto  permite usar un casillero como la velocidad dinámica de un deslizador animado como para  que controle el inicio y detención de la animación. Es este caso, el botón de animación solo  aparecerá en la Vista Gráfica cuando hubiera también un deslizador animado con velocidad  estática (es decir. no‐dinámica).  Operaciones Booleanas  Se  pueden  usar  en  GeoGebra,  las  siguientes  operaciones  con  variables  y  condiciones  booleanas  sea  seleccionándolas  de  la  lista  desplegable  próxima  a  la  Barra  de  Entrada,  sea  ingresándolas usando el teclado.     Lista Teclado Ejemplo Tipos números, puntos,  Igual  ≟ == a ≟ b o a == b rectas, cónicas a, b números, puntos,  desigual ≠ != a ≠ b o a != b rectas, cónicas a, b menor que < < a < b números a, b mayor que > > a > b números a, b menor o igual a ≤ <= a ≤  b o a <= b números a, b mayor o igual a ≥ >= a ≥ b o a >= b números a, b .Y.  ∧ && a ∧ b o a && b Booleanas a, b .O.  ∨ || a ∨  b o a || b Booleanas a, b No ¬  ! ¬a o !a Booleanas a paralela  ∥ a ∥ b rectas a, b perpendicular  ⊥ a ⊥ b rectas a, b  46   
3.2.8 Lista de Objetos y de Operaciones  Usando  llaves  pueden  crearse  listas  de  varios  objetos  (como  puntos,  segmentos,  circunferencias).    Ejemplos:   • L = {A, B, C} establece una lista de tres puntos definidos previamente A, B, y C.  • L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} produce  una  lista  de  los  puntos  ingresados, en tanto puntos sin nominar.  Atención: Por omisión, los elementos de esta lista no se exponen en la Vista Gráfica.  Comparar Listas de Objetos  Pueden compararse dos listas de objetos empleando la siguiente sintaxis:  • lista1 == lista2: Controla si las dos listas son iguales y brinda como resultado  de salida verdadero (true) o falso (false).  • lista1 != lista2: Controla si las dos listas son desiguales y brinda como  resultado de salida verdadero (true) o falso (false).  Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas  Atención: Cada vez que se aplican operaciones y funciones pre‐definidas a listas, se obtiene  como resultado, una nueva lista.    Sumas y Restas ‐ Ejemplos:   • Lista1 + Lista2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de   una y otra lista.  Atención: Las dos listas deben tener la misma longitud.  • Lista + Número: Suma el número a cada uno de los elementos de la lista.  • Lista1 – Lista2: Resta los elementos de la segunda lista a cada uno de os  correspondientes de la primera.  Atención: Las listas deben tener la misma longitud.  • Lista – Número: Resta el número a cada uno de los elementos de la lista.    Multiplicación y División ‐ Ejemplos:   • Lista1 * Lista2: Multiplica uno a uno, cada par de elementos  correspondientes de  una y otra lista.    Atención: Las listas deben tener la misma longitud. Si las dos listas son  matrices  compatibles, se emplea la multiplicación de matrices.  • Lista * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la lista.  • Lista1 / Lista2: Divide uno a uno, cada uno de los elementos de la primera  lista por los correspondientes de la segunda.  Atención: Las listas deben tener la misma longitud.  • Lista / Número: Divide cada elemento de la lista, por el número.  • Número / Lista: Divide el número por cada elemento de la lista.  Ejemplos usando funciones:   • Lista^2: Eleva al cuadrado cada elemento de la lista.  • sin(Lista): Aplica la función seno a cada elemento de la lista.  47   
3.2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices  GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene  las filas de la matriz.  Ejemplo: En GeoGebra, {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz  .  Operaciones con Matrices  Sumas y Restas ‐ Ejemplos: :  • Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes  de  una y otra matriz.  • Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes  de  una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.    Multiplicación ‐ Ejemplos: :  • Matrix * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la  lista. matriz.  • Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la matriz  resultante.    Atención: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el  mismo número de elementos.    Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}  dan por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.  • 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector  y da por resultado un punto.   Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25).  • 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector  y da por resultado un punto.   Ejemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2)   Da por resultado el punto A = (8, 20).    Atención: Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas  homogéneas se usan (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) por un vector. Este ejemplo, es  por lo tanto, equivalente a:   {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.    Otros ejemplos: (ver la sección Comandos de Matriz):  • Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada.  • Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada   • Traspuesta[Matriz]: Traspone la matriz dada  3.2.10 Números Complejos y Operaciones  GeoGebra no trata directamente con números complejos, pero se pueden emplear puntos  para simular operaciones con números complejos.   48   
Ejemplo: Si se ingresa el número complejo 3 + 4i en la Barra de Entrada, aparece el punto  (3, 4) en la Vista Gráfica. Las coordenadas de este punto aparecen como 3 + 4i en la Vista  Algebraica.    Atención:  Se  puede  exponer  cualquier  punto  como  un  número  complejo  en  la  Vista  Algebraica.  Al  abrir  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  del  punto,  se  puede  seleccionar  Número Complejo en la lista de formatos de Coordenadas de la pestaña Algebra.     Si la variable i no hubiera sido definida, será reconocida como el par ordenado i = (0, 1) o el  número complejo 0 + 1i. Esto implica que la  variable i  también puede usarse para anotar  números complejos en la Barra de Entrada (como q = 3 + 4i).    Sumas y Restas ‐ Ejemplos:   • (2 + 1i) + (1 – 2i) da por resultado el número complejo 3 – 1i.  • (2 + 1i) - (1 – 2i) da por resultado el número complejo 1 + 3i.  Multiplicación y División ‐ Ejemplos:   • (2 + 1i) * (1 – 2i) da por resultado el número complejo 4 – 3i.  •  (2 + 1i) / (1 – 2i) da por resultado el número complejo 0 + 1i.  Atención:  La  multiplicación  habitual  (2, 1)*(1, -2)  da  por  resultado  el  producto  escalar de los dos vectores.    Otros ejemplos:  GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos.  • 3 + (4 + 5i) da por resultado el número complejo 7 + 5i.  • 3 - (4 + 5i) da por resultado el número complejo ‐1 ‐ 5i.  • 3 / (0 + 1i) da por resultado el número complejo 0 ‐3i.  • 3 * (1 + 2i) da por resultado el número complejo 3+‐6i.  3.3 Comandos  Con la ayuda de los comandos podemos crear nuevos objetos o modificar los existentes.    Atención: El resultado de un comando puede nominarse ingresando un rótulo sucedido por  “=”. En el ejemplo que aparece más adelante un nuevo punto se llamará S.  Ejemplo: La intersección de dos rectas g y h produce un nuevo punto, que puede ingresarse  como S = Interseca[g,h] (ver comando Interseca).  Atención: También se pueden usar índicescon los nombres de los objetos: A1 o SAB se anotan  como A_1  y  s_{AB} respectivamente.  Nombres de Comandos Completados Automáticamente  Al  ir  anotando  el  nombre  de  un  comando  en  la  Barra  de  Entrada,  GeoGebra  intenta  completarlo  automáticamente  para  facilitarnos  la  tarea.  Esto  implica  que  después  de  ingresadas las dos primeras letras en la Barra de Entrada, GeoGebra las completará con el  nombre del primer comando del listado alfabético que las tenga como primeras dos iniciales.  • Colocando el cursor entre los corchetes y pulsando allí la tecla Enter, queda aceptado  el comando sugerido.   49   
• Basta con seguir ingresando las letras sucesivas del nombre para que GeoGebra  adapte la sugerencia al siguiente comando que se adecue a lo que se va anotando.   3.3.1 Comandos Generales  PasoConstrucción  PasoConstrucción[]: Da por resultado el número del paso de construcción actual del  Protocolo de Construcción  PasoConstrucción[Objeto]:  Da  por  resultado  el  número  del  paso  de  construcción  del Protocolo de Construcción para el objeto en cuestión   Borra  Borra[Objeto]: Borra tanto el objeto como los que de él derivan y/o dependen.   Atención: Ver también la herramienta    Borra Objeto  Relación  Relación[Objeto a, Objeto b]: Expone un cuadro de mensaje que informa la  relación entre el objeto a y el b.  Atención: Ver también la herramienta   Relación    Atención: Este comando nos permite averiguar si dos objetos son iguales, si un punto  pertenece a una recta o a una cónica, o si una recta es tangente o secante a otra  o a una cónica.  3.3.2 Comando Booleano  Si  Si[condición, Objeto a]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta  cierta, y un objeto indefinido si se la evalúa falsa..  Si[condición, Objeto a, Objeto b]:  Proporciona  una  copia  del  objeto  a  si  la  condición resulta cierta, y una del objeto b si se la evalúa falsa.   Si[Condición, Entonces] Si[ Condición, Entonces, Si no ] Definido  Definido[Objeto]: Da por resultado cierto o falso, según el objeto estuviera definido o  no.  EsEntero  EsEntero[Número(o valor numérico)] Establece cierto o falso, según el número  resultante fuera o no entero.  3.3.3 Números  RazónSimple  RazónSimple[ Origen (punto), Final (punto), Punto Alineado] 50   
RazónSimple[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado la razón simple λ  entre tres puntos alineados A, B, y C, donde C = A + λ * AB  Area   Area[Punto A, Punto B, Punto C, ...]: Calcula el área del polígono definido  por los puntos vértices A, B,  C…    Area[Cónica c]: Área de la  sección cónica c (circunferencia o elipse)  Atención:   Para calcular el área entre dos funciones gráficas, se precisa el comando Integral.    Ver también la herramienta   Area  Area[Vértice Inicial (punto), ..., Vértice Final (punto)] Area[Cónica] PasoEje  PasoEjeX[]Da por resultado el ancho de la graduación actual del eje‐x  PasoEjeY[]Da por resultado el largo de la graduación actual del eje‐y    Atención:  Junto  a  Esquina    y  Secuencia,  estos  comandos  permiten  crear  ejes  según  las  preferencias  y  condiciones  de  uso  adecuadas  (ver  también  las  sección  Personalizar Ejes de Coordenadas  y Cuadrícula).  NúmeroCombinatorio  NúmeroCombinatorio[Número n, Número r]:  Da  por  resultado  el  coeficiente  binomial: cantidad de combinaciones de ‘n  elementos tomados de r en r’  PerímetroCónica  PerímetroCónica[cónica]: Da por resultado el perímetro de la sección cónica.  Atención: Sólo tiene sentido aplicado a una circunferencia o elipse.  RazónDoble  RazónDoble[punto A, punto B, punto C, punto D]:  Da  por  resultado  la  razón doble λ de cuatro puntos alineados A, B, C y D, donde λ = RazónSimple[B, C, D]  / RazónSimple[A, C, D]  RazónDoble[Origen 1 (punto), Origen 2 (punto), Final (punto), Punto Alineado] Curvatura  Curvatura[Punto, Función]:  Da  por  resultado  la  curvatura  de  la  función  en  el  punto.  Curvatura[Punto, Curva]: Da por resultado la curvatura de la curva en el punto.  Distancia  Distancia[Punto A, Punto B]: Determina la distancia entre dos puntos A y B   Distancia[Punto, Recta]: Da por resultado la distancia entre el punto y la recta  Distancia[Recta g, Recta h]: Calcula la distancia entre las rectas g y h.   Atención:  La  distancia  entre  rectas  secantes  (que  se  intersecan)  es  0.  Este  comando  sólo es relevante para rectas paralelas.   Distancia[Punto, Punto] Distancia[Punto, Recta, Semirrecta o Segmento] 51   
  Atención: Ver también la herramienta   Distancia o Longitud  MCD  MCD[Número a, Número b]:  Da  por  resultado  el  máximo  común  divisor  de  los  números a  y b   MCD[Lista de números]:  Da  por  resultado  el  máximo  común  divisor  de  la  lista  de  números.  MCD[Número (o valor numérico) , Número (o valor numérico)] MCD[Lista de Números] Cociente Entero  Cociente[Número a, Número b]:Calcula el cociente entero resultante de la división  de un número a por un número b  Cociente[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Integral  Integral[Función f, Número a, Número b]:  Da  por  resultado  la  Integral  definida de una función f(x) en el intervalo [a , b].  Atención: Este comando también traza el área entre el gráfico de la función f y el eje  x.   Integral[Función f, Función g, Número a, Número b]: Da por resultado  la integral definida de la diferencia f(x) ‐ g(x) en el intervalo [a, b].   Atención: Este comando también traza el área entre los gráficos de la función de f y  g.   Atención: Ver también el comando para la  Integral Indefinida  Integral[Función, Valor Inicial, Valor Final] Integral[Función, Función, Valor Inicial, Valor Final] Iteración  Iteración[Función, Número x0, Número n]: Itera la función n veces usando el  valor inicial dado x0.    Ejemplo: Tras definir f(x) = x^2 el comando Iteración[f, 3, 2] brinda el  resultado (32)2 = 27  Iteración[Función, Valor Inicial, Número de Iteraciones] MCM  MCM[Número a, Número b]:Calcula el mínimo común múltiplo de dos números a  y b  MCM[Lista de Números]:Calcula el mínimo común múltiplo de los elementos de la  lista.   Longitud  Longitud[Vector]: Da por resultado la longitud del vector.   Longitud[Punto A]:  Da  por  resultado  la  longitud  del  módulo  del  vector  posición  del  punto dado.   Longitud[Función f, Número x1, Número x2]:  Da  por  resultado  la  longitud  del gráfico de la función f en el intervalo [x1, x2]  52   
Longitud[Función, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud del gráfico  de la función entre dos puntos A y B   Atención: Si los puntos dados no pertenecieran al gráficos de la función, se tomarán  sus correspondientes –coordenadas x para determina el intervalo.  Longitud[Curva, Número t1, Número t2]:  Da  por  resultado  la    longitud  de  la  curva entre los valores paramétricos t1 y t2  Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud de la curva  c entre dos puntos A y B de tal curva  Longitud[lista]: Da por resultado la  longitud de la lista que no es sino el número de  elementos que contiene.    Atención: Ver también la herramienta   Distancia o Longitud  SemiFocal  SemiFocal[Cónica]: Da por resultado la  distancia semifocal de la sección cónica, semi‐ distancia entre  ambos focos o distancia entre uno de sus focos y el centro    Atención: Recordemos que la excentricidad lineal es la razón entre la semi‐focal y la longitud  del semi‐eje mayor (o principal).  SumaInferior  SumaInferior[Función, Número a, Número b, Número n]:  Establece  la   suma inferior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos.   Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma inferior.  Mínimo y Máximo  Mín[número a, número b]: Da por resultado el mínimo de los números a y b dados  Max[Número a, Número b]: Da por resultado el máximo de los números a y b.  Función Módulo o Resto  Resto[número a, número b]:  Determina  el  resto  correspondiente  cuando  la  parte  entera de un número a se divide por la parte entera de un número b  Resto[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Parámetro  Parámetro[Parábola]: Da por resultado el parámetro de la parábola (distancia entre  directriz y foco)   Perímetro  Perímetro[Polígono]: Da por resultado el perímetro del polígono  Radio  Radio[Circunferencia]: Da por resultado el radio de la circunferencia.  53   
Comandos Aleatorios  AleatorioEntre[Mínimo(número o valor numérico), Máximo (número o valor numérico)] Genera un entero aleatorio entre Mínimo  y  Máximo  (inclusive).  AleatorioBinomial[Número de Intentos n, Probabilidad p] Genera   un número aleatorio desde una distribución binomial con n intentos y probabilidad p.  AleatorioNormal[Media,Desviación Estándar] Genera un número aleatorio  desde una distribución normal con la media y distribución estándar dadas.  AleatorioPoisson[Media]: Genera un número aleatorio desde una distribución  Poisson con la media dada.  LongitudSemiejePrincipal  LongitudSemiejePrincipal[Cónica]  Da  por  resultado  la  longitud  del  semi‐eje  principal de la sección cónica.  LongitudSemiejeSecundario  LongitudSemiejeSecundario[Cónica] Calcula la longitud del semi‐eje secundario  de la sección cónica.  Pendiente  Pendiente[Recta, semirrecta o segmento] Determina la pendiente de la  recta  involucrada.  Atención: Este comando también traza el triángulo rectángulo de cateto base  unitario que  ilustra la pendiente calculada y cuyas dimensiones pueden modificarse desde el ítem  Tamaño de la pestaña  Estilo  de su Caja de Diálogo de Propiedades.     Atención: Ver también la herramienta  Pendiente  SumaTrapezoidal  SumaTrapezoidal[Función, Número a, Número b, Número n de trapezoides]: Calcula la suma trapezoidal de la función en el intervalo [a, b] con  n trapezoides.     Atención: Este comando también traza los trapezoides de la suma trapezoidal.  SumaSuperior  SumaSuperior[Función, Número a, Número b, Número n]: Calcula la suma  superior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos.     Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma superior   SumaSuperior[Función, Valor Inicial, Valor Final, Número de Rectángulos ]  3.3.4 Ángulo  Ángulo  Ángulo[Vector v1, Vector v2]: Da por resultado el ángulo entre dos vectores v1 y  v2 (entre 0 y 360°)   54   
Ángulo[Recta g, Recta h]: Da por resultado el ángulo entre los vectores director  de dos rectas g y h (entre 0 y 360°)   Ángulo[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado el ángulo tendido entre  BA y BC (entre 0 y 360°). El punto B es el vértice.  Ángulo[Punto A, Punto B, Ángulo alpha]:  Da  por  resultado  el  ángulo  de  amplitud α trazado desde A con vértice en B.   Atención: El punto Rota[B, A, α] también se crea.  Ángulo[Cónica]:  Da  por  resultado  el  ángulo  de  revolución  del  eje  principal  de  una  sección cónica c  (ver comando Ejes)   Ángulo[Vector]: Da por resultado el ángulo entre eje‐x y vector dado.  Ángulo[Punto]: Da por resultado el ángulo entre el eje‐x y el vector de posición del  punto A  Ángulo[Número]: Convierte el número en un ángulo (resultando entre 0 y 2pi)   Ángulo[Polígono]:  Crea  todos  los  ángulos  interiores  de  un  polígono  con  orientación  matemáticamente positiva (sentido anti‐horario).  Atención:  Si  el  polígono  fue  creado  con  orientación  anti‐horaria,  ,  se  obtienen  los  valores del los ángulos interiores y los exteriores, en caso contrario (polígono creado  con orientación horaria).    Atención: Ver también las herramientas   Angulo y   Angulo dada su Amplitud  3.3.5 Puntos  Centro  Centro[Cónica]: Marca el centro de una sección cónica.  Atención: Aplicación que sólo tiene sentido en el caso de una circunferencia, elipse o  hipérbola.  Atención: Ver también  la herramienta   PuntoMedio o Centro  Centroide  Centroide[Polígono]: Marca el centroide del polígono  Esquina  Esquina[Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina de la Vista Gráfica  (n = 1, 2, 3, 4) que nunca se hará visible en pantalla.  Esquina[Imagen, Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina enésima  de la imagen (número n = 1, 2, 3, 4 dado que son 4 los vértices) Esquina[Texto, Número de Esquina]: Crea un punto en la esquina del texto (n  = 1, 2, 3, 4) Atención: El orden de numeración de las esquinas sigue el sentido anti‐horario y da inicio en  la inferior izquierda.  Extremo  Extremo[Polinomio]:  Determina  todos  los  extremos  locales  de  la  función  polinómica  como puntos sobre el gráfico de la función.   55   
Foco  Foco[Cónica]: Establece (todos) los focos de la sección cónica c  PuntoInflexión  PuntoInflexión[Polinomio]:Establece todo punto de inflexión del polinomio como  puntos de la función gráfica.  Interseca  Interseca[Recta g, Recta h]: Establece el punto de intersección de las rectas g y h   Interseca[Recta, Cónica]: Establece todos los puntos de Intersección de la recta y  la sección cónica (como máximo, 2)   Interseca[Recta, Cónica, Número n]:  Establece  el  punto  número  n  de  intersección de la recta y la sección cónica.  Interseca[Cónica c1, Cónica c2]: Establece todos los puntos de intersección de  las secciones cónicas c1 y c2 (como máximo,  4)   Interseca[Cónica c1, Cónica c2, Número n]:  Establece  el  punto  número  n  de intersección de las secciones cónicas c1 y c2   Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2]:  Establece  todos  los  puntos  de  intersección de los polinomios f1 y f2   Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2, Número n]:  Establece  el  punto  número n de intersección de los polinomios f1 y f2  Interseca[Polinomio f, Recta]:  Establece  todos  los  puntos  de  intersección  del  polinomio f y la recta.   Interseca[Polinomio, Recta, Número n]:  Marca  el  punto  número  n  de  intersección del polinomio y la recta  Interseca[Función f, Función g, Punto A]: Calcula el punto de intersección  de  las  funciones  f  y  g  usando  el  método  de  Newton.,  estableciendo  como  punto  inicial a A.  Interseca[Función, Recta, Punto A]:  Calcula  el  punto  de  intersección  de  la  función y la recta usando el método de Newton., estableciendo como punto inicial a  A.   Atención: Ver también la herramienta    Intersección de Dos Objetos   PuntoMedio  PuntoMedio[Punto A, Punto B]: Marca el punto medio entre los puntos A y B   PuntoMedio[Segmento]: Marca el punto medio del segmento.    Atención: Ver también la herramienta   PuntoMedio o Centro Punto  Punto[Recta]: Marca un punto en la recta  Punto[Cónica]: Marca un punto en la sección cónica  Punto[Función]: Marca un punto en la función   Punto[Polígono]: Marca un punto en el polígono.  Punto[Vector]: Marca un punto en el vector  56   
Punto[Punto, Vector]: Crea un nuevo punto originado al operar sumando al dado, el  vector.   Atención: Ver también la herramienta   Punto Raíz  Raíz[Polinomio]:Establece  todas  las  raíces  del  polinomio  como  puntos  de  la  función  gráfica.  Raíz[Función, Número a]:  Establece  una  raíz  de  la  función  usando  el  método  de  Newton, tomando a como valor inicial   Raíz[Función, Número a, Número b]:  Establece  una  raíz  de  la  función  en  el  intervalo [a, b] (con el método regula falsi)   Vértice  Vértice[Cónica]: Da por resultado (todos) los vértices de la sección cónica  3.3.6 Vectores  Vector Curvatura  VectorCurvatura[Punto, Función]:Establece el vector curvatura de la función en  el punto dado.  VectorCurvatura[Punto, Curva]:  Establece  el  vector  curvatura  de  la  curva  en  el  punto dado  Dirección  Dirección[Recta]: Establece el vector director de la recta.   Atención: Una recta cuya ecuación es ax + by = c  tiene vector director (b, ‐ a).   VectorPerpendicular  VectorPerpendicular[Recta]: Establece el vector perpendicular de una recta  Atención: Una recta con ecuación ax + by = c tiene vector perpendicular (a, b).   VectorPerpendicular[Vector]: Vector perpendicular del vector dado.  Atención: El vector de coordenadas (a, b) tiene uno perpendicular de (‐ b, a).   VectorUnitarioPerpendicular  VectorUnitarioPerpendicular[Recta]:  Establece  el  vector  unitario  perpendicular a la recta dada   VectorUnitarioPerpendicular[Vector]:  Establece  el  vector  unitario  perpendicular a vector dado  VectorUnitario  VectorUnitario[Recta]: Establece el vector director de longitud unitaria de la recta  dada.  VectorUnitario[Vector]:  Establece  el  vector  director  de  longitud  unitaria  con  la  misma dirección y orientación del dado   57   
Vector  Vector[Punto A, Punto B]: Crea el vector desde el punto A al punto B   Vector[Punto]: Establece el vector posición del punto     Atención: Ver también la herramienta   Vector entre Dos Puntos  3.3.7 Segmentos  Segmento  Segmento[Punto A, Punto B]: Crea el segmento entre dos puntos A y B   Segmento[Punto A, Número a]: Crea el segmento de longitud a y punto inicial A.   Atención: El punto final del segmento también se crea.    Atención: Ver también las herramientas   Segmento entre Dos Puntos y   Segmento dados  Punto Extremo y Longitud  3.3.8 Semirrectas  Semirrecta  Semirrecta[Punto A, Punto B]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto A y  pasa por el punto B   Semirrecta[Punto, Vector v]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto dado  y tiene la dirección del vector v     Atención: Ver también la herramienta   Semirrecta que pasa por Dos Puntos  3.3.9 Polígonos  Polígono  Polígono[Punto A, Punto B, Punto C,...]:  Establece  un  polígono  definido  por los puntos A, B, C,… dados  Polígono[Punto A, Punto B, Número n]:  Establece  un  polígono  regular  con  n  vértices (incluyendo los puntos A y B)    Atención: Ver también las herramientas   Polígono y   Polígono Regular  3.3.10 Rectas  Bisectriz  Bisectriz[Punto A, Punto B, Punto C]:  Establece  la  bisectriz  del  ángulo  definido por los puntos A, B y C.   Atención: El punto B es el vértice de este ángulo.     58   
Bisectriz[Recta g, Recta h]:  Establece  las  bisectrices  de  los  ángulos  formados  por las rectas.     Atención: Ver también la herramienta  Bisectriz  Asíntota  Asíntota[Hipérbola]: Establece ambas asíntotas de una hipérbola   Ejes  Ejes[Cónica]: Traza los ejes principal y secundario de la sección cónica  DiámetroConjugado  DiámetroConjugado[Recta, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es  paralelo a la recta (relativo a la sección cónica).  DiámetroConjugado[Vector, Cónica]:  Establece  el  diámetro  conjugado  del  que  es paralelo al vector dado (relativo a la sección cónica).   Diámetro  Diámetro[Recta, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo a la  recta (relativo a la sección cónica).  Diámetro [Vector, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo al  vector dado (relativo a la sección cónica).   Directriz  Directriz[Parábola]: Establece la directriz de la parábola   Recta  Recta[Punto A, Punto B]: Crea una recta que pasa por los puntos A y B   Recta[Punto, Recta]:  Crea  una  recta  que  pasa  por  el  punto  dado  y  es  paralela  a  la  recta   Recta[Punto, Vector v]:  Crea  una  recta  que  pasa  por  el  punto  dado  y  tiene  la  dirección del vector v     Atención: Ver también la herramienta  Recta que pasa por Dos Puntos  EjePrincipal  EjePrincipal[Cónica]: Traza el eje principal de la sección cónica  EjeSecundario   EjeSecundario[Cónica]: Establece el eje secundario de la sección cónica   Perpendicular  Perpendicular[Punto, Recta]:  Crea  la  recta  que  pasa  por  el  punto  y  es  perpendicular a la recta dada   Perpendicular[Punto, Vector]:  Crea  la  recta  que  pasa  por  el  punto  y  es  perpendicular al vector dado    59   
Atención: Ver también la herramienta  Recta Perpendicular Mediatriz  Mediatriz[Punto A, Punto B]: Traza la mediatriz del segmento de extremos AB   Mediatriz[Segmento]: Traza la mediatriz del segmento    Atención: Ver también la herramienta  Mediatriz  Polar  Polar[Punto, Cónica]:  Crea  la  recta  polar  de  un  punto  dado,  relativo  a  la  sección  cónica    Atención: Ver también la herramienta   Recta Polar o Diametral  Tangente  Tangente[Punto, Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica que pasan  por el punto dado   Tangente[Recta, Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica, paralelas a  la recta   Tangente[Número a, Función]: Crea la tangente a la función en x = a   Tangente[Punto A, Función]: Crea la tangente a la función en x = x(A)     Atención: x(A) es la coordenada x del punto A.  Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado    Atención: Ver también la herramienta Tangentes 3.3.11 Secciones Cónicas  Circunferencia  Circunferencia[Punto M, Número r]: Establece la circunferencia con centro M y  radio r   Circunferencia[Punto M, Segmento]: Establece la circunferencia con centro M y  radio de longitud dada  por el segmento   Circunferencia[Punto M, Punto A]: Establece la circunferencia con centro M y  que pasa por el punto A   Circunferencia[Punto A, Punto B, Punto C]: Establece la circunferencia que  pasa por los puntos dados A, B y C     Atención: Ver también las herramientas  Compás,   Circunferencia dados su Centro y uno  de sus Puntos,   Circunferencia dados su Centro y Radio y   Circunferencia dados  Tres de sus Puntos  Cónica  Cónica[Punto A, Punto B, Punto C, Punto D, Punto E]:  Produce  la  sección cónica que pasa por los cinco puntos dados A, B, C, D y C.   60   
Atención:  Si  cuatro  de  estos  puntos  estuvieran  alineados,  la  sección  cónica  resulta  indefinida.  Atención: Ver también la herramienta   Cónica dados Cinco de sus Puntos Elipse  Elipse[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y  eje principal de longitud a.  Atención: Condición: 2a > Distancia[F, G]   Elipse[Punto F, Punto G, Segmento]:  Crea  la  elipse  con  puntos  focales  F  y  G  siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento dado.  Elipse[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A  y B  que pasa a través del punto C    Atención: Ver también la herramienta   Elipse  Hipérbola  Hipérbola[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales  F y G y eje principal de longitud a.   Atención: Condición: 0 < 2a < Distancia[F, G]   Hipérbola[Punto F, Punto G, Segmento s]:  Crea  la  hipérbola  con  puntos  focales  F  y  G  siendo  la  longitud  del  eje  principal  igual  a  la  del  segmento  s  (a  =  Longitud[s])   Hipérbola[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A  y B que pasa por el punto C  Atención: Ver también la herramienta  Hipérbola CírculoOsculador  CírculoOsculador[Punto, Función]: Establece el círculo osculador de la función  en el punto dado  CírculoOsculador[Punto, Curva]: Establece el círculo osculador de la curva en el  punto dado   Parábola  Parábola[Punto F, Recta g]: Establece la parábola con punto focal F y directriz g   Atención: Ver también la herramienta   Parábola  3.3.12 Funciones  Funciones Condicionales  Puede usarse el comando Booleano si  para crear una función condicional.     Atención:  Pueden  usarse  derivadas  e  integrales    de  tales  funciones  e  intersecarlas  como  funciones “normales”.  Ejemplos:  • f(x) = Si[x < 3, sin(x), x^2] ofrece una función igual a:  o sin(x) para x < 3 y   o x2 para x ≥ 3.  61   
• a ≟ 3 ˄ b ≥ 0 evalúa si “a es igual a 3  y b is mayor o igual que 0”   Atención:  En  el  menú  desplegable  del  extremo  izquierdo  de  la  Barra  de  Entrada,  se  encuentran los símbolos para las expresiones condicionales (como ≟, ˄, ≥).  Derivada  Derivada[Función]: Da por resultado la derivada de la función  Derivada[Función, Número n]:  Da  por  resultado  la  derivada  de  orden  n  de  la  función.  Atención: Puede usarse f’(x) en  lugar de Derivada[f]así como  f’’(x) en lugar de  Derivada[f, 2].  Desarrolla  Desarrolla[Función]: Multiplica distributivamente las expresiones entre paréntesis.  Ejemplo: Desarrolla[(x + 3)(x - 4)] da por resultado f(x) = x2 ‐ x ‐ 12  Factoriza  Factoriza[Polinomio]: Factoriza el polinomio dado    Ejemplo: Factoriza[x^2 + x - 6] da por resultado f(x) = (x‐2)(x+3)  Función  Función[Función, Número a, Número b]: Establece una función gráfica igual a la  dada en el intervalo [a, b] y no definida fuera de [a, b]   Atención: Este comando debiera usarse únicamente para exponer funciones en cierto  intervalo.    Ejemplo: f(x) = Función[x^2, -1, 1] traza el gráfico de la función x2   en el  intervalo [‐1, 1]. Al anotar g(x) = 2 f(x) se obtendrá la función g(x) = 2  x2,  pero no estará restringida al intervalo [‐1, 1].  Integral  Integral[Función]: Establece la integral indefinida para la función   Atención: Ver también el comando para la Integral Definida   Polinomio  Polinomio[Función]: Establece el polinomio desarrollado de la función    Ejemplo: Polinomio[(x - 3)^2] se desarrolla como x2 ‐ 6x + 9   Polinomio[Lista de n puntos]: Crea el polinomio de interpolación de grado n‐1 a  través de los puntos dados.  Simplifica  Simplifica[Función]: Simplifica los términos de la función dada si fuera posible.    Ejemplos:     Simplifica[x + x + x] da por resultado una función f(x) = 3x    Simplifica[sin(x) / cos(x)] da por resultado una función  f(x) = tan(x)  Simplifica[-2 sin(x)cos(x)] da por resultado una función f(x) = sin(‐2 x)  62   
PolinomioTaylor  PolinomioTaylor[Función, Número a, Número n]:  Crea  el  desarrollo  de  las  serie de potencias de orden n para la función en torno al punto x = a    3.3.13 Curvas Paramétricas  Curva  Curva[Expresión e1, Expresión e2, Parámetro t, Número a, Número b]: Establece la curva paramétrica cartesiana dados la expresión en x e1 y  la expresión en y e2 (usando el parámetro t) en el intervalo establecido [a, b]  Ejemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]    Atención:  Las  curvas  paramétricas  pueden  usarse  como  funciones  en  expresiones  aritméticas.    Ejemplo: La entrada c(3) brinda el punto en la posición paramétrica 3 en la curva c.     Atención:  Usando  el  ratón  o  mouse  puede  ubicarse  un  punto  en  una  curva  apelando  a  la  herramienta   Nuevo Punto o al comando Punto. Como los parámetros a y b son dinámicos,  pueden emplearse deslizadores variables allí (ver herramienta   Deslizador).  Comandos para curvas paramétricas   Curvatura[Punto, Curva]: Calcula la curvatura de la curva en el punto dado VectorCurvatura[Punto, Curva]:  Establece  el  vector  curvatura  de  la  curva  en  el  punto dado. Derivada[Curva]: Da por resultado la derivada de la función  Derivada[Curva, Número n]:  Da  por  resultado  la  derivada  de  orden  n  de  la  curva  paramétrica  Longitud[Curva, Número t1, Número t2]:  Establece  la  longitud  de  la  curva  entre los valores paramétricos t1 y t2.  Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Establece la longitud de la curva c entre  dos puntos A y B que pertenecen a c  CírculoOsculador [Punto, Curva]: Establece el círculo oscilador de la curva en el  punto dado.  Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado.  3.3.14 Arcos y Sectores  Atención: El valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector, su área.   Arco  Arco[Cónica, Punto A, Punto B]: Sobre la sección cónica dada, establece el arco  que se extiende entre dos de  sus puntos,  A y B.  Atención: Esto sólo opera para circunferencias o elipses.   Arco[Cónica, Número t1, Número t2]: Establece el arco de sección cónica entre  dos  valores  paramétricos  t1  y  t2  sobre  la  sección  cónica  dada,  para  los  siguientes  formatos paramétricos:  63   
Atención: Internamente se usan las siguientes formas paramétricas:   o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia   o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del eje principal y del  secundario, respectivamente  ArcoCircunferencia  ArcoCircunferencia[Punto M, Punto A, Punto B]:  Crea  un  arco  de  circunferencia con Punto Medio M entre los puntos A y B.   Atención: El punto B no necesariamente estará sobre el arco.   ArcoCircunferencia[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario]   Atención:  Ver  también  la  herramienta    Arco  de  Circunferencia  dados  su  Centro  y  Dos  Extremos  SectorCircular  SectorCircular[Punto M, Punto A, Punto B]: Crea el sector circular con  Punto Medio M entre dos puntos A y B.   Atención: El punto B no debe necesariamente que pertenecer al arco del sector.  SectorCircular[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario] Atención: Ver también la herramienta   Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos  ArcoCircuncircular  ArcoCircuncircular[Punto Extremo A, Punto B, Punto Extremo C]:  Crea el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B, C, siendo A y C sus  extremos.    Atención: Ver también la herramienta  Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos    SectorCircumcircular  SectorCircumcircular[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea un sector  circular cuyo arco pasa por los tres puntos A, B y C    Atención: Ver también la herramienta   Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco  Sector  Sector[Cónica, Punto A, Punto B]:  Determina  el  sector  de  la  sección  cónica  entre dos puntos A y B sobre la cónica dada.  Atención  Opera únicamente para una circunferencia o elipse.  Sector[Cónica, Número t1, Número t2]:  Determina  el  sector  de  la  sección  cónica entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica.  Opera  con los siguientes formatos paramétricos:   o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia  o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer eje y del  segundo, respectivamente  64   
Semicircunferencia  Semicircunferencia[Punto A, Punto B]:  Crea  una  semicircunferencia  por  encima del segmento AB Atención: Ver también la herramienta   Semicircunferencia  3.3.15 Texto  LaTeX  LaTeX[Objeto]:  Da  por  resultado  la  fórmula  correspondiente  al  objeto,  como  texto   LaTeX       Ejemplo: Si a = 2  y f(x) = a x2, entonces LaTeX[f] da por resultado 2 x2 (como un  texto LaTeX)  LaTeX[Objeto, Booleana]:  Da  por  resultado  la  fórmula  para  el  objeto,  como  texto  LaTeX.  La  variable  Booleana  determina  si  los  valores  son  sustituidos  por  variables  (verdadero) o si los nombres de las variables se exponen en el texto (falso).    2 Ejemplos: Si a = 2   y  f(x) = a x , entonces    LaTeX[f, cierto] da por resultado 2 x2 (como un texto LaTeX)    2  LaTeX[f, falso] da por resultado a x  (como un texto LaTeX)    LaTeX[ <Objeto> ] LaTeX[ <Objeto>, <Booleana para Sustitución de Variables> ] TextoFracción  TextoFracción[Número]: Convierte el número o valor numérico en una fracción, que  se expone como un objeto de texto (LaTeX) en la Vista Gráfica.  Ejemplo: Siendo  y = 1.5 x + 2 una recta, TextoFracción [Pendiente[a]] da por  resultado, como texto expuesto en la Vista Gráfica, 3/2.  CódigoDeLetra  CódigoDeLetra["Letra"]: Da  por  resultado  el  número  correspondiente  al  código   Unicode de la letra dada.  Atención: La letra debe estar entrecomillada.    Ejemplo: CódigoDeLetra["a"] da por resultado el número 97  CódigoDeLetra[ <Letra (entrecomillada)> ] Nombre  Nombre[Objeto]:  Da  por  resultado  el  nombre  de  un  objeto  como  texto  en  la  Vista  Gráfica.  Atención:  Este  comando  resulta  especialmente  útil  para  texto  dinámico  de  objetos  que  pueden ser renombrados.  El comando Nombre es opuesto a su recíproco, Objeto.  Objeto  Objeto[Nombre del objeto como texto]:  Da  por  resultado  el  objeto  correspondiente  al  nombre  dado,  expresado  como  texto  (estático  y/o  dinámico).  El  resultado es siempre un objeto dependiente.     Atención: El comando Objeto es el opuesto a su recíproco, Nombre.  65   
Ejemplo: Si existen los puntos A1, A2, ... , A20 y el deslizados n = 2, entonces, Objeto["A" + n] da por resultado una copia del punto A2.  TablaTexto  TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,...]: Crea una tabla de texto que  contiene las listas de objetos dadas.   Atención: Por omisión, cada lista se expone como nueva columna de la tabla.  Ejemplos:     TablaTexto[{x^2, x^3, x^4}] crea una tabla como objeto de texto con tres  filas y tres columnas. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda.  TablaTexto[Secuencia[i^2, i, 1, 10]] crea una tabla como objeto de  texto con una fila. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda. TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,.., “Alineación del Texto”]: Crea un texto que contiene una tabla de las listas de objetos. El texto  adicional optativo, “Alineación del texto” controla la orientación  y alineación de la  tabla de texto.   Atención: Los posibles valores son "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". El valor por  omisión es "hl". "v" = vertical, de modo que las listas se organizan como columnas    "h" = horizontal, de modo que las listas se organizan como filas    "l" = alineación a izquierda    "r" = alineación a derecha    "c" = alineación centrada    Ejemplos:  TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] crea una tabla de texto con dos  columnas  y cuatro filas cuyos elementos se alinean a izquierda.    TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] crea una tabla de texto con dos  filas y cuatro columnas  cuyos elementos se alinean a izquierda.    TablaTexto[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"]  crea  una  tabla  de  texto con una fila cuyos elementos se alinean a derecha.  Texto  Texto[Objeto]:  Da  por  resultado  el  objeto  de  texto  correspondiente  al  dado  por  su  fórmula.  Atención:  Por  omisión,  cada  variable  es  sustituida  por  su  correspondiente  valor.   Ejemplo: Si a = 2  y c = a2, entonces, Texto[c] da por resultado el texto "4".  Texto[Objeto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da por  resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. La condición  Booleana determina si las variables son sustituidas por sus valores (cierto) o por sus  nombres (falso), y expuestas del correspondiente modo.  Ejemplo: Si a = 2  y c = a2, entonces    Texto[c, cierto] Da por resultado el texto "4".    Texto[c, falso] Da por resultado el texto "a2"  Texto[Objeto, Punto]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado  por su fórmula, expuesto en la posición señalada por el puntos.  Ejemplo: Texto["hola", (2, 3)] expone ese texto en la posición (2, 3).  66   
Texto[Objeto, Punto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da  por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula, expuesto en  la posición señalada por el punto.  La  condición  Booleana  determina  si  el  texto  a  exponer  será  el  de  los  valores  de  las  variables (cierto) o al de sus nombres (falso).  CódigoDeTexto  CódigoDeTexto[“Texto”]: Da por resultado una lista de los números  correspondientes al código Unicode de cada uno de los caracteres del texto.   jemplos:  E CódigoDeTexto[“ex texto”] TextToUnicode["Some text"] da por resultado la lista de cada uno de los números Unicode siguientes   {101,120,  32, 116, 101, 120, 116, 111}.    Si el texto fuese "hola” “hello", entonces CódigoDeTexto[“Hola”]: daría por  resultado esta lista   {104, 111, 108,  111}.  LetraDeCódigo  LetraDeCódigo[Unicode (número]: Da por resultado la letra cuyo código Unicode  se corresponde con la parte entera del número dado, exponiéndola como un objeto  de texto en la Vista Gráfica.  Ejemplo: LetraDeCódigo[97] expone como texto a la letra "a".  TextoDeCódigo  TextoDeCódigo[Lista de Unicodes (números)]:  Da  por  resultado  el  texto  cuyo código Unicode se corresponde con la parte entera de cada uno de los sucesivos  números que componen la lista dada, exponiéndolo como objeto en la Vista Gráfica.  Ejemplo: TextoDeCódigo[{104, 111, 108, 97}] da por resultado el texto  "hola".  3.3.16 Lugar Geométrico  Locus ‐‐ LugarGeométrico  LugarGeométrico[Punto Q, Punto P]:  Da  por  resultado  el  lugar  geométrico  del  punto Q que depende del punto P.     Atención:  El  punto  P  debe  ser  un  punto  sobre  un  objeto  (recta,  segmento,  circunferencia).     Atención: Ver también la herramienta   Lugar Geométrico  3.3.17 Listas y Secuencias  Anexa  Anexa[Lista, Objeto]: Anexa el objeto a la lista    Ejemplo: Anexa[{1, 2, 3}, (5, 5)] da por resultado {1, 2, 3, (5, 5)}  Anexa[Objeto, Lista]: Anexa la lista al objeto    Ejemplo: Anexa[(5, 5), {1, 2, 3}] da por resultado {(5, 5), 1, 2, 3}  Anexa[ <Lista>, <Objeto>] Anexa[ <Objeto>, <Lista> ] 67   
CuentaSi  CuentaSi[Condición, Lista]:  Cuenta  el  número  de  elementos  de  la  lista  que  cumplen con la condición dada    Ejemplos:  CuentaSi[x < 3, {1, 2, 3, 4, 5}] da por resultado el número 2    CuentaSi[x<3, A1:A10]  donde  A1:A10  es  un  rango  de  celdas  de  la  hoja  de  cálculo, cuenta todas las celdas cuyos valores son menores que 3.  Elemento  Elemento[Lista,Número n]: Determina el elemento número n (enésimo) de la lista   Atención: La lista puede contener únicamente objetos del mismo tipo (por ejemplo, sólo  números o sólo puntos).  Primero  Primero[Lista]: Da por resultado el primer elemento de la lista  Primero[Lista, Número n de elementos]:  Da  por  resultado  una  nueva  lista,  que contiene los primeros n elementos de la dada.  Intercala  Intercala[Objeto, Lista, Posición] Da por resultado una nueva lista en la  que se intercalara el objeto dado en la posición especificada.      Ejemplo: Intercala[x^2, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] ubica a  x2 en la tercera  posición  y  da por resultado la lista {1, 2, x2, 3, 4, 5}      Atención: Si la posición fuera un número negativo, se cuenta desde el final de la lista  y en adelante hacia la derecha.  Ejemplo: Intercala[(1, 2), {1, 2, 3, 4, 5}, -1] ubica el punto al  final y da por resultado la lista {1, 2, 3, 4, 5, (1, 2)} Intercala[Lista 1, Lista 2, Posición] Intercala todos los elementos de  lista 1 en lista 2  en la posición indicada.    Ejemplo: Intercala[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] ubica los  elementos de la primera lista a partir de la tercera posición de la segunda y da por  resultado la nueva lista {1, 2, 11, 12, 3, 4, 5}   Atención: Si la posición fuera un número negativo, se cuenta desde el final de la lista  y en adelante hacia la derecha.      Ejemplo: Intercala[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, -2] ubica los  elementos de la primera lista desde la penúltima posición de la segunda (antes del  último elemento) y da por resultado   {1, 2, 3, 4, 11, 12, 5}.  Intersección  Intersección[Lista 1, Lista 2]: Da por resultado una nueva lista que contiene  todos los elementos comunes a ambas.  68   
ListaIteración  ListaIteración[Función, Valor Inicial x0, Número de Iteraciones n]: Da por resultado una lista de n+1  elementos que resultan de  las iteraciones de la función a partir del valor inicial x0.    Ejemplo: Tras definir la función  f(x) = x^2 el comando    L = ListaIteración[f, 3, 2] da por resultado la lista    L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}  Encadena  Encadena[Lista 1, Lista 2, ...Lista n]: Encadena dos o más listas, dando  por resultado una nueva en la que se organiza la sucesión de elementos de cada una  de las dadas, por orden.    Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese  a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno.    Ejemplos:   Encadena[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] crea la lista {5, 4, 3, 1, 2, 3}  Encadena[Lista de listas]: Encadenas las sub‐listas en una de longitud mayor en  que se concatenan sus correspondientes elementos.    Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese  a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno.    Ejemplos:   Encadena[{{1, 2}}] crea la lista {1, 2}  Encadena[{{1, 2, 3}, {3, 4}, {8, 7}}]  crea  la  lista   {1, 2, 3, 3, 4, 8, 7}  ConservaSi  ConservaSi[Condición, Lista]: Crea una nueva lista que únicamente contiene  aquellos elementos de la dada que cumplan con la condición especificada.    Ejemplo: ConservaSi[x<3, {1, 2, 3, 4, 1, 5, 6}] Da por resultado la  nueva lista {1, 2, 1}  Ultimo  Ultimo[Lista]: Da por resultado el último elemento de la lista.  Ultimo[Lista, Los n últimos elementos (número)]: Da por resultado una  lista que contiene los últimos n elementos de la dada.  Longitud  Longitud[Lista]  Establece  la  longitud  de  la  lista,  determinada  por  el  número  de  elementos que la compone.  Mínimo  Mínimo[Lista]: Da por resultado el mínimo elemento de la lista Mínimo[Número (o valor numérico), Número (o valor numérico)]: Da por resultado el menor de entre los dos números dados. Máximo  Máximo[Lista]: Da por resultado el máximo elemento de la lista 69   
Máximo[Número (o valor numérico), Número (o valor numérico)] Da  por resultado el mayor de los dos números dados. Producto  Producto[Lista de números]: Calcula el producto de todos los números de la lista  EliminaIndefinidos  EliminaIndefinidos[Lista]: Establece una lista de la que se ha eliminados los  objetos indefinidos de la dada.  Ejemplo: EliminaIndefinidos[Secuencia[(-1)^i, i, -3, -1, 0.5]] da por resultado una lista de la que se ha eliminado el segundo y el cuarto  elementos de la secuencia dado que, al estar elevados a exponentes no enteros,  quedan indefinidos.  ListaInversa  ListaInversa[Lista]:  Crea  una  lista  cuyos  elementos  aparecen  en  orden  inverso  respecto de la dada.  Secuencia  Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b]: Establece una  lista  de  objetos  creados  desde  la  expresión  dada  y  el  índice  i  que  varía  en  el  rango  que va del número a al b.    Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5] crea una lista de puntos cuyas  ordenadas (coordenadas y) varían dentro del rango de 1 a 5  Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b, Incremento]: Establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el  índice i que varía en el rango que va del número a al b con el incremento dado.    Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5, 0.5] crea una lista de puntos  cuyas ordenadas (coordenadas y) varían en el rango de 1 a 5, con un incremento de a  0.5.    Atención:  Como  los  parámetros  a  y  b  son  dinámicos,  también  se  pueden  emplear  en  este  caso variables, como las establecidas por un deslizador.  Ordena  Ordena[Lista]: Crea una lista compuesta por los elementos ordenados (números,  objetos de texto o puntos) de la dado.  Atención: Las listas de puntos se organizan según el orden creciente de sus abscisas  (coordenadas x).    Ejemplos:    Ordena[{3, 2, 1}] da por resultado la lista {1, 2, 3}.    Ordena[{"pera", "ananá", "fresa"}] da por resultado la lista de tales  elementos ordenados alfabéticamente [{"ananá","fresa”, "pera"}] Ordena[{(3, 2), (2, 5), (4, 1)}] resulta {(2, 5), (3, 2), (4, 1)}.  Suma  Suma[Lista]: Calcula la suma  de todos los elementos de la lista.     Atención:  Este  comando  opera  con  números,  puntos,  vectores,  texto  y  funciones.  70   
Ejemplos:  Suma[{1, 2, 3}] da por resultado el número a = 6.   Suma[{x^2, x^3}] da por resultado f(x)=x2 + x3.      Suma[Secuencia[i,i,1,100]] da por resultado el número a = 5050.    Suma[{(1, 2), (2, 3)}] da por resultado el punto A = (3, 5).    Suma[{(1, 2), 3}] da por resultado el punto B = (4, 2).    Suma[{"a","b","c"}] da por resultado el texto "abc".  Suma[Lista, Número n de elementos]:  Calcula  la  suma  de  los  primeros  n  elementos de la lista.   Atención:  Este  comando  opera  con  números,  puntos,  vectores,  texto  y  funciones.  Ejemplo: Suma[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4] da por resultado el número a = 10.  Extrae  Extrae[Lista, Posición Inicial m, Posición Final n]: Da por  resultado una lista que contiene los elementos, desde el que ocupa la posición m a la  n en la dada.  Unión  Unión[Lista 1, Lista 2]:  Encadena  las  dos  listas,  eliminando  los  elementos  que  aparecen más de una vez.  3.3.18 Transformaciones Geométricas  Homotecia  Homotecia[Punto A, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  del  punto  A  desde el punto S según el factor correspondiente al número dado.   Homotecia[Recta, Número, Punto S]: Establece la homotecia de la recta desde el  punto S según el factor correspondiente al número dado   Homotecia[Cónica, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  de  la  sección  cónica desde el punto S según el factor correspondiente al número dado   Homotecia[Polígono, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  del  polígono  desde el punto S según el factor correspondiente al número dado  Atención: Se crean, también, los nuevos vértices y lados correspondientes.   Homotecia[Imagen, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  de  la  imagen  desde el punto S según el factor correspondiente al número dado     Atención: Ver también la herramienta   Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala   Homotecia[Objeto, Factor de Escala (número o valor numérico), Centro (punto)] Refleja  Refleja[Punto A, Punto B]: Refleja el punto A por punto B   Refleja[Recta, Punto]: Refleja la recta por el punto  Refleja[Cónica, Punto]: Refleja la sección cónica c por el punto dado  Refleja[Polígono, Punto]: Refleja el polígono por el punto dado.   Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados.  Refleja[Imagen, Punto]: Refleja la imagen por el punto dado   71   
Refleja[Punto, Recta]: Refleja el punto en la recta dada  Refleja[Recta g, Recta h]: Refleja la recta g en la recta h   Refleja[Cónica, Recta]: Refleja la sección cónica en la recta dada.   Refleja[Polígono, Recta]: Refleja el polígono en la recta dada.   Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados.   Refleja[Imagen, Recta]: Refleja la imagen por la recta dada   Refleja[Punto, Circunferencia]: Invierte el punto en la circunferencia      Atención: Ver también las herramientas   Refleja Objeto por Punto;   Refleja Objeto en  Recta;    Refleja Punto en Circunferencia  Rota  Rota[Punto, Ángulo]: Rota el punto por el ángulo en torno al origen de coordenadas   Rota[Vector, Ángulo]: Rota el vector por el ángulo dado.  Rota[Recta, Ángulo]: Rota la recta por el ángulo en torno al origen de coordenadas  Rota[Cónica, Ángulo]:  Rota  la  sección  cónica  por  el  ángulo  en  torno  al  origen  de  coordenadas  Rota[Polígono, Ángulo]:  Rota  el  polígono  por  el  ángulo  en  torno  al  origen  de  coordenadas. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de  los lados.   Rota[Imagen, Ángulo]:  Rota  la  imagen  el  ángulo  dado  en  torno  al  origen  de  coordenadas  Rota[Punto A, Ángulo, Punto B]:  Rota  el  punto  A,  el  ángulo  dado  en  torno  al  punto B   Rota[Recta, Ángulo, Punto]: Rota la recta por el ángulo en torno al punto.  Rota[Vector, Ángulo, Punto]: Rota el vector por el ángulo en torno al punto.  Rota[Cónica, Ángulo, Punto]:  Rota  la  sección  cónica  por  el  ángulo  en  torno  al  punto.  Rota[Polígono, Ángulo, Punto]:  Rota  el  polígono    por  el  ángulo  en  torno  al   punto. Atención:  Se  crean  también  los  nuevos  puntos  vértices  y  segmentos  de  los  lados.   Rota[Imagen, Ángulo, Punto]: Rota la imagen por el ángulo en torno al  punto     Atención: Ver también las herramientas    Rota Objeto en torno Punto, el Ángulo indicado  Traslada  Traslada[Punto, Vector]: Traslada el punto por el vector   Traslada[Recta, Vector]: Traslada la recta por el vector  Traslada[Cónica, Vector]: Traslada la cónica c por el vector   Traslada[Función, Vector]: Traslada la función por el vector  Traslada[Polígono, Vector]: Traslada el polígono por el vector.   Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados.   Traslada[Imagen, Vector]: Traslada la imagen por el vector   Traslada[Vector, Punto]: Traslada el vector al punto P   Atención: Ver también la herramienta   Traslada Objeto por un Vector   72   
3.3.19 Comandos Estadísticos  Barras  Barras[Valor Inicial, Valor Final, Lista de Alturas]Crea  un  diagrama  en  un  intervalo,  con  una  barra  por  cada  elemento  de  la  lista,  cuya  altura  depende del correspondiente valor.   Ejemplo:  Barra[10, 20, {1,2,3,4,5} ]  da  por  resultado  un  diagrama  de  cinco  barras  en  el  intervalo  [10,  20].,  cada  una  de  las  cuales  tendría  una  altura  especificadas por el valor de cada elemento{1,2,3,4,5} ,   Barras[Valor Inicial a, Valor Final b, Expresión, Variable k, Desde número c, A número d]: Crea un diagrama en el intervalo [a, b], en el  que la altura de cada una de las barras se calcula según la expresión cuya variable k  se evalúa entre el número c y el número d    Ejemplo: Si p = 0.1, q = 0.9,  y n = 10 son números, entonces   Barras[ -0.5, n + 0.5, NúmeroCombinatorio[n,k]*p^k*q^(n- k), k, 0, n ] da por resultado un diagrama en el intervalo [‐0.5, n+0.5]. La  altura de cada barra depende de las probabilidades calculadas empleando la  expresión dada:.  Barras[Valor Inicial a, Valor Final b, Expresión, Variable k, Desde número c, A número d, Ancho de Paso s]  Crea un diagrama en el intervalo [a, b], en el que la altura de cada una de las barras  se calcula según la expresión cuya variable k se evalúa entre el número c y el número  d con un ancho de paso determinado por s  Barras[Lista de datos enumerados, Ancho de barras]: Crea un diagrama  usando los datos, cuyas barras tienen el ancho dado.    Ejemplo: Barra[ {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5,5}, 1]  Barras[Lista de datos, Lista de frecuencias]: Crea un diagrama usando  la lista de datos, acorde a las correspondientes frecuencias      Atención:  En la lista, los números ascienden según una cantidad constante.    Ejemplos:   Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}]   Barras[{5, 6, 7, 8, 9}, {1, 0, 12, 43, 3}]   Barras [{0.3, 0.4, 0.5, 0.6}, {12, 33, 13, 4}]  Barras[Lista de datos, Lista de frecuencias, Ancho de las barras w]: Crea un diagrama usando la lista de datos y las correspondientes  frecuencias, cuyas barras tienen un ancho fijado por w    Atención: En la lista de datos los números deben ascender según una cantidad  constante     Ejemplos:  Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0.5] deja brechas entre las  barras.    Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0] produce un gráfico recto  73   
DiagramaCaja  DiagramaCaja[yRadio, yEscala, Lista de Datos]:  Crea  un  diagrama  usando  los  datos  dados,  cuya  posición  vertical  en  el  sistema  de  coordenadas  lo  controla la variable  yRadio y su altura, depende del factor yEscala   Ejemplo: DiagramaCaja[0, 1, {2,2,3,4,5,5,6,7,7,8,8,8,9}] DiagramaCaja[yRadio, yEscala, Valor Inicial, Q1, Mediana, Q3>, Valor Final]: Crea un diagrama para los datos estadísticos dados en el intervalo  [Valor Inicial, Valor Final] CPearson  CPearson[[Lista de Abscisas, Lista de Ordenadas]: Calcula el coeficiente  de correlación de Pearson de los puntos dados por las listas de sus coordenadas, la de  las abscisas y la de las ordenadas.  CPearson[Lista de Puntos]: Calcula el coeficiente de correlación de Pearson de los  puntos dados en la lista.  Covarianza  Covarianza[Lista de Números, Lista de Números]:  Calcula  la  covarianza  usando los elementos de ambas listas Covarianza[Lista de Puntos]: Calcula la covarianza usando las coordenadas x e y  de cada uno de los puntos listados.   AjusteLineal  AjusteLineal[Lista de Puntos]:  Calcula  la  recta  de  regresión  y  sobre  x  de  los  puntos listados.    Atención: Ver también la herramienta   Ajuste Lineal    Otros Comandos de Ajuste  AjusteExp[Lista de Puntos]:  Calcula  la  curva  de  regresión  exponencial  de  los  puntos listados.  AjusteLog[Lista de Puntos]:  Calcula  la  curva  de  regresión  logarítmica  de  los  puntos listados.  AjusteLogístico[Lista de Puntos]:  Calcula  la  curva  de  regresión  de  la  forma  a/(1+b x^(‐kx)) de los puntos listados.    Atención:  El  primer  punto  así  como  el  último  de  la  lista  deberían  estar  bastantes  cerca de la curva. La lista debería tener al menos 3 puntos, más preferiblemente.  AjustePolinómico[Lista de Puntos, Grado Polinomio]:  Calcula  la  regresión polinómica de grado n de los puntos listados  AjustePotencia[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión de la forma a xb   de los puntos listados.    Atención:  Todos  los  puntos  empleados  deben  estar  en  el  primer  cuadrante  del  sistema de coordenadas..  AjusteSen[Lista de Puntos]: Calcula la curva sinusoidal de regresión de la forma   a + b sin(cx+d).de los puntos listados (sin corresponde a sen, seno).  Atención:  La  74   
lista debería tener un mínimo de 4 puntos, más preferiblemente, cubriendo al menos  dos  extremos.  Los  primeros  dos  puntos  extremos  relativos  no  deberían  diferir  demasiado de los absolutos de la curva.  Histograma  Histograma[Lista de Extremos de Intervalos, Lista de Alturas]:  Crea un histograma sobre la lista de intervalos, con barras acorde a la lista de alturas.  La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra..  Ejemplo:  Histograma[{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 6, 8, 3, 1}]  crea  un  histograma de 5 barras de las alturas especificadas. La primera barra está ubicada en  el intervalo [0, 1]; la segunda, en [1, 2],  y así sucesivamente.  Histograma[Lista de Extremos de Intervalos, Lista de Datos]: Crea  un histograma sobre la lista de intervalos, de la lista de datos    La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra así como cuántos  elementos de los datos corresponderán a cada clase.    Ejemplo:  Histograma[{1, 2, 3, 4},{1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.7, 2.2, 2.5, 4.0}] crea un histograma de 3 barras, cada una de las cuales tendrá  las siguientes alturas 5, 2 y 1 respectivamente.  NormalInversa  NormalInversa[Media, Desviación Estándar, Probabilidad]:  Calcula  la  función  Φ‐1(probabilidad)  **  (desviación  estándar)  +  (media)  donde  Φ(x)  ‐1  es  la  inversa de la función de densidad de probabilidad Φ(x) para N(0,1)    Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución  normal a la izquierda, de la abscisa dada (coordenada x).   Comandos de Media  Media[Lista de Números]: Calcula la media de los elementos listados   MediaX[Lista de Puntos]: Calcula la media de las abscisas  (coordenadas x) de los  puntos listados   MediaY[Lista de Puntos]: Calcula la media de las ordenadas (coordenadas y) de los  puntos listados   Mediana  Mediana[Lista de números]: Determina la mediana de los elementos listados  Moda  Moda[Lista de números]: Determina la moda de los elementos listados.   Ejemplos:  Moda[{1,2,3,4}] Da por resultado una lista vacía {}    Moda[{1,1,1,2,3,4}] Da por resultado la lista {1}    Moda[{1,1,2,2,3,3,4}] Da por resultado la lista {1, 2, 3}  Normal  Normal[Media, Desviación Estándar, Valor de Variable]:  Calcula  la  función (Φ(x – media) / desviación estándar) donde Φ (x)  es la función de densidad  de probabilidad para N(0,1) .   75   
Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución  normal a la izquierda, de la abscisa dada (coordenada x).   Comandos Cuatri  Q1[Lista de números]: Determina el primer cuartil de los elementos de la lista   Q1[Lista de números]: Determina el cuartil superior de los elementos de la lista   DE  DE[Lista de Números]: Calcula la desviación estándar de los números listados  Comandos Sigma  SigmaXX[Lista de números]:  Calcula  la  suma  de  los  cuadrados  de  los  números  listados  .  Ejemplo:  Para  establecer  la  varianza  de  una  lista  puede  usarse  SigmaXX[lista]/Longitud[lista] - Media[lista]^2.  SigmaXX[Lista de puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las abscisas de los  puntos listados.  SigmaXY[Lista de coordenadas x, Lista de coordenadas y]: Calcula la  suma de los productos de las coordenadas x  e y   SigmaXY[Lista de puntos]: Calcula la suma de los productos de de las coordenadas  x  e y de los puntos listados.     Ejemplo: Para establecer la varianza de una lista de puntos puede usarse  SigmaXY[lista]/Longitud[lista]-MediaX[lista] * MediaY[lista].  SigmaYY[Lista de Puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las coordenadas y  de los puntos listados.  Comandos para Cantidades Estadísticas  Sxx[Lista de números]: Calcula el estadístico      Σ(x2) ‐ Σ(x) * Σ(x)/n  Sxx[Lista de puntos]:  Calcula  el  estadístico   Σ(x2)  ‐  Σ(x)  ×  Σ(x)/n  usando  las  – coordenadas x de los puntos dados.  Sxy[Lista de números, Lista de números]: Calcula el estadístico      Σ(xy) ‐ Σ(x) × Σ(y)/n  Sxy[Lista de puntos]: Calcula el estadístico  Σ(xy) ‐ Σ(x) × Σ(y)/n.  Syy[Lista de números]: Calcula el estadístico  Σ(y2) ‐ Σ(y) × Σ(y)/n  Syy[Lista de puntos]:  Calcula  el  estadístico   Σ(y2)  ‐  Σ(y)  ×  Σ(y)/n.  usando  las  – coordenadas y de los puntos dados.    Atención:  Estas  cantidades  son  simplemente  formas  no  normalizadas  de  las  varianzas    y  covarianza  de  X    e  Y  dadas  por  Sxx  =  N  var(X),  Syy  =  N  var(Y),    y   Sxy = N cov(X,Y)    Ejemplo: Se puede calcular el coeficiente de correlación de Pearson de una lista de puntos  usando Sxy[lista] / sqrt(Sxx[lista] Syy[lista]).  Varianza  Varianza[Lista de números]: Calcula la varianza de los elementos listados  76   
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3.3.20 Comandos de Hoja de Cálculo  RangoCelda  RangoCelda[Celda Inicial, Celda Final]:  Crea  una  lista  conteniendo  los  valores de las celdas dentro del rango establecido.   Ejemplo: Al anota los siguientes valores en las celdas correspondientes de la Hoja de  Cálculo: A1 = 1, A2 = 4, A3 = 9, el comando RangoCelda[A1, A3] da  por resultado la lista {1, 4, 9}.  Columna  Columna[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado la columna de la celda como  un número (empezando por 1)    Ejemplo: Columna[B3] da por resultado el número a = 2 dado que la columna B es  la segunda de la hoja de cálculo.  NombreColumna  NombreColumna[Celda de Hoja de Cálculo]: Da por resultado el nombre de la  columna de la celda como un texto    Ejemplo: NombreColumna[A1] da por resultado el texto  “A”  en la Vista Gráfica.  Fila  Fila[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado el número de la fila de la celda de  la hoja de cálculo (empezando por 1)    Ejemplo: Fila[B3] da por resultado el número a = 3.  3.3.21 Comandos de Matrices  Determinante  Determinante[Matriz]: Da por resultado el determinante de la matriz    Ejemplo: Determinante[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado el número a = ‐2.  MatrizInversa  MatrizInversa[Matriz]: Da por resultado la matriz inversa respecto de la dada    Ejemplo:  MatrizInversa[{{1, 2}, {3, 4}}]  da  por  resultado  la  matriz  inversa   {{‐2, 1}, {1.5, ‐0.5}}.  Traspone  Traspone[Matriz]: Da por resultado la matriz traspuesta  respecto de la dada.    Ejemplo: Traspone[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado la matriz    {{1, 3}, {2, 4}}.    4.  Cada Menú: Ítem por Ítem  78   
4.1 Menú Archivo   Nueva Ventana  Teclas de Atajo: Ctrl‐N (MacOS: Cmd‐N)    Este  ítem  del  menú  abre  una  ventana  de  GeoGebra  con  los  ajustes  por  omisión  de  su  interfaz.   Atención:  De  hacer  cambios  en  los  ajustes  y  guardar  algunos,  la  nueva  ventana  se  abrirá  empleando los  ajustes establecidos.  Nuevo  Este ítem del menú abre una interfaz de uso nueva y vacía en la misma ventana, consultando  antes si se desea guardar la construcción en marcha.   Atención: La nueva interfaz de uso adopta los ajustes empleados en la construcción previa.  Por ejemplo, si los ejes de coordenadas hubieran estado ocultos antes de seleccionar el ítem  del menú ‘Nuevo’, permanecerán así en la nueva interfaz.    Abre…  Teclas de Atajo: Ctrl‐O (MacOS: Cmd‐O)  Este  ítem  del  menú  permite  abrir  un  archivo  de  GeoGebra  (de  extensión  .ggb  o  ggt)  guardado previamente en el directorio o carpeta que despliega la correspondiente caja de  diálogo.  Atención:  También  se  puede  abrir  un  archivo  de  GeoGebra  arrastrándolo  con  el  ratón  o  mouse a su ventana y depositándolo allí.   Guarda  Teclas de Atajo: Ctrl‐S (MacOS: Cmd‐S)    Este ítem del menú permite guardar la construcción en marcha como archivo GeoGebra (de  extensión  .ggb)  en  la  carpeta  o  directorio  que  se  seleccione  en  la  caja  de  diálogo  que  se  despliega a tal efecto.  Atención:  Si  se  eligiera  un  nombre  para  guardar  el  boceto  ya  existente  en  el  directorio  de  destino, se reemplazará el ‘viejo’ archivo con esta maniobra.  Guarda Como…  Este  ítem  del  menú  permite  guardar  la  construcción  en  marcha  como  archivo  GeoGebra,  para la que no se hubiera  seleccionado aún un nombre, anotándolo en la caja de texto que  se despliega a tal efecto.   Previsualiza Impresión  Teclas de Atajo: Ctrl‐P (MacOS: Cmd‐P)    Este  ítem  del  menú  abre  la  ventana  correspondiente  a  Previasualiza  Impresión  de  la  Vista  Gráfica. Se puede especificar ‘Título’, ‘Autoría’, ‘Fecha’ y ‘Escala’ de la impresión (en cm).     Atención: Para poder actualizar la previsualización de la impresión después de cada cambio,  debe pulsarse la tecla Enter.   79   
Exporta ‐   Hoja Dinámica como Página Web (html)…   Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐W (MacOS: Cmd‐Shift‐W)    Este  ítem  del  menú  permite  exportar  la  construcción  en  marcha  como  página  web  para  poder crear lo que se denomina ‘Hoja Dinámica’, ‘Applet’, ‘Mathlet’,…  Para  profundizar  la  información,  puede  consultarse  la  sección  Creando  Páginas  Web  Interactivas  Exporta ‐   Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…   Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐P (MacOS: Cmd‐Shift‐P)    Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica de GeoGebra como archivo gráfico. En  la ventana de diálogo emergente, se puede seleccionar el Formato del archivo y cambiar la  Escala (en cm) y la Resolución (en dpi) de la imagen.     Atención: Cuando se exporta la Vista Gráfica como imagen, se puede seleccionar cualquiera  de los siguientes formatos:   • PNG – Portable Network Graphics: Este es un formato gráfico pixelado. Cuanto  mayor la resolución (dpi), mayor la calidad (300dpi suele bastar). Los gráficos PNG no  debieran ser escalados subsecuentemente para evitar merma en la calidad.   Los archivos gráficos PNG son adecuados par alas páginas web (html) y eln los  documentos de los procesadores de texto.   Atención: Cuando se inserta un gráfico PNG en un documento, (menú Insertar,  Imagen Desde Archivo) hay que verificar que la medida esté fijada al  100 %. De otro modo, la escala dada (en cm) cambiaría.   • EPS – Encapsulated Postscript:   Este es un formato gráfico vectorial. Las imágenes  EPS pueden escalarse sin perder calidad y son adecuadas para emplearse en relación  con programas gráficos vectoriales (como Corel Draw) y procesadores de textos  profesionales (como LaTeX).   La resolución de un gráfico EPS es siempre de 72dpi. Este valor se usa sólo para  calcular la medida verdadera de una imagen en centímetros y no tiene efecto sobre  la calidad de la imagen.   Atención: El efecto de transparencia en el sombreado de polígonos o de secciones  cónicas no es posible con EPS.   • PDF – Portable Document Format (ver Formato EPS en sección previa)   Atención: Al exportar en SVG y PDF, se puede optar por tratar el texto como editable  o como imagen. Esto almacena el texto de modo de poder editarlo (como en  InkScape) o como curvas de Bezier (lo que garantiza que el aspecto del texto resulte  exactamente el mismo que el previsto, aún cuando no se cuente en el equipo de  destino con las fuentes originales instaladas).  • SVG – Scaleable Vector Graphic  ‐ Gráfico de Vector Escalable (ver la sección previa   Formato EPS)   • EMF – Enhanced Meta Format  ‐ Formato Meta Enriquecido (ver la sección previa   Formato EPS)   Exporta ‐   Vista Gráfica al Portapapeles  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C (MacOS: Cmd‐Shift‐C)  80   
Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. Después de  esta  operación,  se  puede  pegar  fácilmente  esta  imagen  en  otros  documentos  (como  los  creados con un procesador de textos).  Exporta ‐ Vista Gráfica como PSTricks…  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐T (MacOS: Cmd‐Shift‐T)  Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PSTricks, que es  un formato correspondiente a  LaTeX.  Exporta ‐ Vista Gráfica como PGF/Tik……  Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PGF/TikZ, que  es un formato correspondiente a  LaTeX.   Cierra  Teclas de Atajo: Alt‐F4 (MacOS: Cmd‐W)    Este ítem del menú cierra la ventana de GeoGebra. Si no se ha guardado la construcción en  marcha  antes  de  seleccionar  Cierra,  se  desplegará  una  caja  de  diálogo  consultando  si  se  prefiere hacerlo.  4.2 Menú Edita   Deshace  Teclas de Atajo: Ctrl‐Z (MacOS: Cmd‐Z)  Este ítem del menú permite deshacer acciones previas, paso a paso.  Atención:  También  puede  emplearse  el  botón  correspondiente  que  aparece  en el extremo  derecho de la Barra de Herramientas:  Deshace.   Rehace  Teclas de Atajo: Ctrl‐Y (MacOS: Cmd‐Shift‐Z)    Este ítem del menú permite rehacer acciones previamente descartadas por  ‘Deshace’,  paso  a paso.  Atención:  También  puede  emplearse  el  botón  correspondiente  que  aparece  en el extremo  derecho de la Barra de Herramientas:  Rehace.   Borra  Teclas de Atajo: Tecla Borra     Este ítem del menú permite borrar los objetos seleccionados y los derivados o dependientes.  Atención:  Se  puede  seleccionar  previamente  los  objetos  que  se  desean  borrar  (con  el  rectángulo de selección, por ejemplo).  81   
Selecciona Todo  Teclas de Atajo: Ctrl‐A (MacOS: Cmd‐A)    Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de la construcción.  Selecciona la Capa Activa  Teclas de Atajo: Ctrl‐L (MacOS: Cmd‐L)    Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos que ocuparan la misma capa que  el que ya se hubiera elegido.  Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto que ocupe la capa  deseada.  Selecciona Descendientes  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐Q (MacOS: Cmd‐Shift‐Q)    Este  ítem  del  menú  permite  seleccionar  todos  los  objetos  dependientes  del  que  ya  se  hubiera elegido.  Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto del que dependan  los subsiguientes,  un objeto padre.  Selecciona Ascendientes  Teclas de Atajo: Ctrl‐Q    Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de los que dependa el que ya se  hubiera elegido.  Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto “dependiente”.   Copia Vista Gráfica al Portapapeles  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C (MacOS: Cmd‐Shift‐C)    Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. Después de  esta  operación,  se  puede  pegar  fácilmente  esta  imagen  en  otros  documentos  (como  los  creados con un procesador de textos).   Propiedades…  Teclas de Atajo: Ctrl‐E (MacOS: Cmd‐E)    Este  ítem  del  menú  abre  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  que  permite  modificar  las  propiedades de todos los objetos que componen un archivo de GeoGebra.   4.3 Menú Vista   Ejes  Este ítem del menú permite ocultar o exponer los ejes de coordenadas en la Vista Gráfica.  82   
Atención:  Se  puede  emplear  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  la  Vista  Gráfica  para  personalizar los ejes de coordenadas.   Cuadrícula  Este  ítem  del  menú  permite  ocultar  o  exponer  la  cuadrícula  de  coordenadas  en  la  Vista  Gráfica.  Atención:  Se  puede  emplear  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  la  Vista  Gráfica  para  personalizar la cuadrícula de coordenadas.  Vista Algebraica  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐A (MacOS: Cmd‐Shift‐A)    Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista Algebraica.  Vista de Hoja de Cálculos  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐S (MacOS: Cmd‐Shift‐S)    Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista de la Hoja de Cálculo.  Objetos Auxiliares  Este ítem del menú permite ocultar o exponer los Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica.  División Horizontal  Este ítem del menú permite dividir la ventana de GeoGebra de modo vertical u horizontal en  las diversas vistas.  Barra de Entrada  Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Entrada en la zona inferior de la  ventana de GeoGebra.  Lista de Comandos  Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Lista de Comandos en la Barra de Entrada  en la zona inferior de la ventana de GeoGebra.   Protocolo de Construcción…  Este ítem del menú permite abrir el Protocolo de Construcción  en una nueva ventana.   Barra de Navegación por Pasos de Construcción  Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Navegación en la zona inferior de  la Vista Gráfica.   Actualiza Vistas  Teclas de Atajo: Ctrl‐F (MacOS: Cmd‐F)    Este ítem del menú permite el retrazado de todas las vistas en pantalla.  Atención: Se puede emplear este ítem del menú para eliminar cualquier rastro  de puntos o  rectas de la Vista Gráfica.  83   
Recálculo de Todos los Objetos  Teclas de Atajo: F9    Este ítem del menú recalcula todos los objetos empleados en un archivo de GeoGebra.  Atención: Puede usarse este ítem del menú para crear nuevos números aleatoriossi es que  se está empleando alguno en el archivo,  84   
4.4 Menú Opciones  Las opciones globales pueden modificarse desde el menú Opciones.   Atención: Para cambiar los ajustes de los objetos, conviene emplear el Menú Contextual y la  Caja de Diálogo de Propiedades.    Atracción de Punto a Cuadrícula  Este ítem del menú determina si la captura del punto está Activa o Desactiva o si los puntos  serán capturados por la cuadrícula Activa (Cuadrícula’.  Atención:  La  opción  Automático  activa  la  captura  cuando  la  cuadrícula  o  el  sistema  de  coordenadas están expuestos y la desactiva cuando si están ocultos.   Unidad Angular  Este ítem del menú determina si los ángulos se expresan en Grados (°) o Radianes (rad).   Atención: Siempre pueden ingresarse de cualquiera de ambos modos (grados y radianes).  Redondeo  Este ítem del menú permite establecer el número de lugares decimales o cifras significativas  expuestas en pantalla.  Continuidad  GeoGebra  permite  decidir  la  activación  o  inhabilitación  de  la  heurística  de  continuidad.  GeoGebra  apela  a  la  heurística  de  proximidad  para  mantener  móviles  a  los  puntos  de  las  intersecciones (recta‐cónica, cónica‐cónica) cerca de sus posiciones previas y evitar el “salto”  en los puntos de intersecciones.     Atención:  Por  omisión  esta  heurística  está  inhabilitada.  Así  como  lo  está  para  las  herramientas definidas por usuarios (ver Herramientas Definidas para Diversos Usos).   Estilo de Punto  Este ítem del menú determina si los puntos se exponen como puntos ● , como ○ círculos o  cruces x.   Tamaño de Casilla de Control  Este  ítem  del  menú  permite  establecer  la  medida  de  la  casilla  de  control  como  Norma’  o  Grande.  Atención: Al usar GeoGebra como herramienta de presentación o trabajando con un tablero  interactivo, es conveniente fijar el tamaño Grande para facilitar el desarrollo.    Estilo de Angulo Recto  Determina si los ángulos rectos se identifican con la marca de un rectángulo □, un punto • o  tal como los restantes ángulos (en caso de inhabilitación de esta opción).  85   
Coordenadas  Este ítem del menú determina si la notación de los puntos de coordenadas será ‘A = (x, y)’ o  A(x | y).   Rotulado  Especifica si se expone o no el rótulo de un objeto recientemente creado.   Se puede elegir entre el rotulado de Todos los Nuevos Objetos, Ningún Nuevo  Objeto, Sólo  los Nuevos Puntos y Automático.  Atención: La alternativa para ir rotulando en Automático’ lleva a que a medida que se creen  nuevos objetos, vayan apareciendo sus rótulos en la Vista Algebraica.   Tamaño de Letra  Este ítem del menú determina la medida, en puntos (pt), de la tipografía para los rótulos y  texto.  Atención: Si GeoGebra se emplea como herramienta de presentación, conviene aumentar la  medida  de  la  tipografía  para  facilitar  la  lectura  de  textos,  rótulos  y  entradas  algebraicas  empleadas.   Idioma  GeoGebra es multilingüe. Aquí puede definirse o modificarse el idioma en uso. Esto afecta a  lo que se ingresa, incluso nombres de comandos, y a todas las salidas.  Atención:  Independientemente  del  idioma  seleccionado,  el  ícono  del  globo  terráqueo    sirve de guía al menú de idioma. Todos los nombres de los diversos idiomas se expresan en  inglés.    Vista Gráfica  Este ítem del menú abre una ventana de diálogo donde pueden ajustarse las Propiedades de  la Vista Gráfica, como ejes, cuadrícula de coordenadas o color de fondo.    Atención: También puede abrirse la ventana de diálogo con un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic)  sobre el fondo de la Vista Gráfica.   Guardar Configuración  GeoGebra  recuerda  los  ajustes  realizados  (como  los  del  menú  de  Opciones,  Barra  de  Herramientas  activa  y  los  de  la  Vista  Gráfica)  si  se  selecciona  Guardar  Configuración  en  el  menú de Opciones.  Restablecer la Configuración Original  Se puede reestablecer la configuración original de GeoGebra y sus correspondientes ajustes,  desde este ítem.  4.5 Menú Herramientas   Creación de Herramienta Nueva…  Desde  una  construcción  existente,  se  pueden  crear  herramientas  propias.  Tras  preparar  la  construcción de una herramienta, se selecciona Creación de Herramienta Nueva en el menú  86   
de  Herramientas.  Se  despliega  una  ventana  de  diálogo  donde  se  pueden  especificar  los  objetos  de  salida  y  entrada  de  la  herramienta  en  marcha  y  elegírseles  nombres  al  ícono  y  comando con que aparecerá en la barra de herramientas.    Atención: Las herramientas creadas se guardan automáticamente dentro del archivo “ggb”  de  la  construcción  y  quedan  accesibles  para  emplearse  con  el  mouse  o  ratón  y  como  comando en la Barra de Entrada.   Gestión de Herramientas…  Usando  la  caja  de  diálogo  que  despliega  la  opción  Gestión  de  Herramientas  del  menú  de  Herramientas, cualquier herramienta se Borra o bien se le modifica su nombre o su ícono.  También se puede guardar las herramientas seleccionadas en un Archivo de Herramientas de  GeoGebra (‘GGT’). Este archivo puede emplearse posteriormente (menú Archivo, Abre) para  abrir las herramientas en otra construcción.   Atención: Es importante tener en cuenta que la apertura de un archivo “ggt” no modifica la  construcción en curso como sí lo hace abrir un archivo “ggb”.  Personalizar la Barra de Herramientas…  Se puede personalizar la barra de herramientas de GeoGebra seleccionando Personalizar la  Barra de Herramientas del menú Herramientas. Esto es particularmente útil para operar con  las Hojas de Cálculo Dinámicas en las que se prefiere restringir los útiles disponibles.  Atención:  La  barra  de  herramientas  activa  queda  guardada  en  el  archivo  “ggb”  de  construcción que la tuvo como recurso accesible.  4.6 Menú Ventana   Nueva Ventana  Teclas de Atajo: Ctrl‐N (MacOS: Cmd‐N)    Este ítem del menú abre una nueva ventana de GeoGebra que emplea los ajustes en curso  de La interfaz de GeoGebra.   Atención:  Si  se  cambian  y  se  guardan  algunos  de  estos  ajustes  la  nueva  ventana  se  abre  usándolos.  Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra  Si  hay  más  de  una  ventana  abierta,  este  ítem  del  menú  permite  alternar  y  pasar  de  una  a  otra.  Atención:  Esto  es  particularmente  útil,  cuando  GeoGebra  se  emplea  como  herramienta  de  presentación y se desea tener varios bocetos abiertos simultáneamente, para ir pasando de  uno a otro, en cada ventana.  87   
4.7 Menú Ayuda   Ayuda  Este  ítem  del  menú  da  acceso  a  la  versión  html  del  documento  de  Ayuda  de  GeoGebra.  Dependiendo  de  la  instalación  de  GeoGebra  en  el  equipo,  será  o  no  necesario  el  acceso  a  Internet para contar con este documento.  • Si se ha descargado e instalado GeoGebra usando el archive de instalación desde la  página web, no se precisa acceso a Internet. La versión html del documento de Ayuda  de GeoGebra fue guardado localmente en el equipo..  • Si se ha usado GeoGebra‐Webstart  para instalar GeoGebra, será necesario el acceso  a Internet para usar esta ayuda. De no contar con este acceso, aparecerá un mensaje  de error.    Atención:  La  versión  html  de  este  documento  de  Ayuda  de  GeoGebra  está  disponible  en  línea en http://www.geogebra.org/ayuda.    www.geogebra.org  Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre la página web de GeoGebra en el  navegador del sistema (http://www.geogebra.org).  Foro GeoGebra ‐ GeoGebra Forum  Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre, en línea,  el Foro de Usuarios de  GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra.org/forum).     Atención:  Se  puede  despachar  y  responder  preguntas  relacionadas  con  GeoGebra‐y  problemas, en este foro.  En el hispanoparlante, se pueden dirigir las preguntas y recibir las  respuestas en español.   GeogebraWiki  Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre, la página web  GeoGebraWiki  de GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra.org/wiki).    Atención:  GeoGebra  Wiki  contiene  un  juego  de  materiales  instructivos  creados  con  GeoGebra por usuarios de todo el mundo.   Acerca de GeoGebra / Licencia  Este  ítem  del  menú  abre  una  ventana  de  diálogo  con  información  sobre  la  licencia  de  GeoGebra  y  establece  los  créditos  a  quienes  respaldan  el  proyecto  GeoGebra  con  contribuciones de distinto orden, desde programación a traducción, atención a foros, etc.   5. Características Especiales de GeoGebra 88   
5.1 Animación  5.1.1 Animación Automática  GeoGebra  permite  animar  uno  o  varios  números  y/o  ángulos  simultáneamente,  si  se  exponen como deslizadores  en la Vista Gráfica.    Basta  con  un  clic  derecho  (MacOS:  Ctrl‐clic)  sobre  un  número  o  ángulo  y  seleccionar  del  emergente  Menú  Contextual,  Animación  Automática  para  animarlos  y  viceversa,  destildar  este ítem para detener tal animación.     Atención: Después de animar un número o ángulo, aparece un botón en la esquina inferior  izquierda  de  la  Vista  Gráfica  que  permite,  sea  establecer  una  pausa    o    continuar  la  animación.    En  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  en  la  pestaña  Deslizador  se  puede  cambiar  el  comportamiento de la animación:   Por un lado, se puede controlar la Velocidad de la Animación.  Atención:  Una  velocidad  de  1  significa  que  a  la  animación  le  lleva  cerca  de10  segundos  ejecutarse una vez a lo largo de todo el intervalo del deslizador.  Por otra parte, se puede modificar el régimen de ciclado de la animación y sus repeticiones.    • <=> Oscilante:   El ciclo de la animación alterna entre ‘Decremento’ e ‘Incremento’.  • => Incremento:   El valor del deslizador está siempre aumentando. Después de llegar al máximo, el  deslizador salta y regresa al valor mínimo y así continúa la animación.   • <= Decremento:   El valor del deslizador está siempre disminuyendo. Después de llegar al mínimo,  el deslizador salta y regresa al valor máximo y así continúa la animación.  Atención:  Mientras  la  animación  automática  está  active,  GeoGebra  permanece  completamente funcional. Esto permite hacer cambios en la construcción mientras se corre  la animación.   5.1.2 Animación Manual  Para modificar manualmente, de forma continua un número o ángulo, basta seleccionar la  herramienta   Elige y Mueve y hacer clic sobre un número o ángulo libre y pulsar o la tecla  + o la tecla ‐  o las teclas flechas.  Se produce así, manualmente, un efecto de animación al mantener permanentemente, una  de estas teclas, pulsada.   Ejemplo: Si las coordenadas de un punto dependen de un número k como en P = (2 k, k), el  punto se desplazará a lo largo de una recta si k se modifica continuamente.  Con las teclas‐flecha puede desplazarse cualquier objeto libre empleando la herramienta    Elige y Mueve   89   
Atención: El incremento del deslizador es ajustable desde la pestaña  Deslizado’ de la Caja de  Diálogo de Propiedades del objeto.  Teclas de atajos  • Shift + tecla flecha establece cambios de a 0.1 unidades   • Ctrl + tecla flecha establece cambios de a 10 unidades  • Alt + tecla flecha establece cambios de ancho de 100 unidades  Atención: También se puede mover cualquier punto a lo largo de una recta, empleando la  tecla + o la tecla ‐   5.2 Visibilidad Condicional  Condicionalidad para Exponer u Ocultar Objetos Existentes  Además de decidir, sencillamente si se exponen u ocultan ciertos objetos, se puede también  establecer el régimen de visibilidad en función de ciertas condiciones para la exposición.  Por ejemplo, hacer depender la aparición de un objeto en pantalla según esté o no tildada  cierta casilla   Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos en la Vista Gráfica o si un  deslizador cambia a cierto valor.  Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes  Puede emplearse la herramienta   Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos para  crear  una  casilla  que  controle  la  visibilidad  de  uno  o  más  objetos  existentes  en  pantalla.  Alternativamente,  también  puede  crearse  una  Variable  Booleana  (como  b = cierto)  usando la Barra de Entrada y haciéndola visible como casillero en la Vista Gráfica al cambiar  su estado de visibilidad (por ejemplo, usando la herramienta   Expone / Oculta Objeto  o el  Menú Contextual). Para usar la variable Booleana como una condición para la visibilidad de  ciertos objetos, puede ser necesario seguir las etapas descriptas a continuación.  Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados  En  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades,  puede  anotarse  una  condición  que  establezca  la  visibilidad de un objeto en la pestaña Avanzado.   Atención:  Se  pueden  seleccionar  los  operadores  lógicos  (como.,  ≠,  ≥,  ˄,  ‖)  del  menú  desplegable para crear la formulación de las condiciones..    Ejemplo:  • Si a es un deslizador, entonces el planteo condicional a < 2 significa que el  correspondiente objeto sólo va a exponerse en la Vista Gráfica si el valor del  deslizador es menor que 2.  • Si b es una variable Booleana, puede usarse b como la sentencia de una condición. El  correspondiente objeto va a exponerse cuando el valor de b sea verdadero y  ocultarse, cuando sea falso.   • Si g y h son dos rectas y se quisiera que se expusiera un texto cuando fuesen  paralelas, podría usarse g ‖ h como cláusula condicional para el texto.  90   
5.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos  GeoGebra  permite  crear  herramientas  basadas  en  una  construcción  preexistente.  Una  vez  creada,  tal  herramienta  puede  usarse  tanto  con  el  mouse  o  ratón  como  comando,  en  la  Barra  de  Entrada.  Todas  las  herramientas  se  guardan  automáticamente  en  el  archivo  de  GeoGebra.  Creando Herramientas  En primer lugar, es preciso elaborar la construcción que la herramienta debe poder trazar a  posteriori. En el menú Herramientas basta un clic sobre   Creación de Herramienta Nueva  para abrir la correspondiente caja de diálogo.  Ahora  se  precisa  completar  los  datos  en  las  tres  pestañas:  Objetos  de  salida,  Objetos  de  Entrada y Nombre e Icono para crear efectivamente la herramienta.    Receta para crear una Herramienta Cuadrada que trazará un cuadrado con dos clic sucesivos  en dos posiciones vacías de la Vista Gráfica.  • Construir un cuadrado empezando por dos puntos A y B que den lugar a los otros dos  vértices para que al  conectarlos, con la herramienta.   Polígono tracen poly1.  • Seleccionar   Creación de Nueva Herramienta en el Menú Herramientas.  • Especificar en Objetos de Salida al cuadrado con un clic para seleccionarlo, o elegirlo  en  el  menú  que  se  descuelga  a  partir  de  la  flechita  derecha  del  campo  de  entrada  correspondiente.  • Además  del  clic  sobre  el  cuadrado o  de  su  selección  del  menú  decolgable,  también  deben especificarse sus lados como Objetos de Salida.   • Especificar  los  Objetos  de  Entrada:  GeoGebra  automáticamente  especifica  los  Objetos  de  Entrada  (en  este  caso,  los  puntos  A  y  B).  También  puede  modificarse  la  selección de los objetos de entrada usando el menú desplegado o eligiéndolos con un  clic que los señale en la construcción.  • Anotar  el  Nombre  de  la  Herramienta’  y  el  Nombre  del  Comando  para  esta  nueva  herramienta.   Atención:  El  Nombre  de  la  Herramienta  aparecerá  en  la  Barra  de  Herramientas  de  GeoGebra y el del comando podrá emplearse en la Barra de Entrada como uno más  de los “propios” de GeoGebra.  • Además, se puede anotar el texto que orienta y se expone en la Ayuda de la Barra de  Herramientas.  • También  puede  elegirse  una  imagen  para  que  represente  el  ícono  de  la  Barra  de  Herramientas.  GeoGebra  se  ocupa  de  escalarla  para  que  se  ajuste  como  ícono  del  correspondiente nuevo botón de la Barra.  Guardando la Herramienta Definida  Se pueden guardar las herramientas creadas para poder reutilizarlas en otras construcciones  de  GeoGebra.  En  el  menú  Herramientas,  al  seleccionar    Gestión  de  Herramientas  se  pueden  elegir  las  que  se  quiere  que  aparezcan,  de  una  lista.  Basta  un  clic  sobre  el  botón  Guarda como…  para guardar la herramienta en el equipo.  Atención:  Las  herramientas  definidas  se  guardan  como  archivos  con  extensión  ‘.ggt’  para  distinguirlos de los usuales de GeoGebra (‘.ggb’).  91   
Acceso a la Herramienta Definida  Al abrir una nueva interfaz de GeoGebra usando el ítem Nuevo del menú Archivo, después  de haber creado una herramienta, será parte aún de la Barra de Herramientas de GeoGebra.  Sin embargo, si se abre una nueva ventana de GeoGebra (ítem  Nueva Ventana del menú  Archivo), o se abre GeoGebra otro día, la herramienta creada no será parte ya de la Barra de  Herramientas.   Hay diferentes modos de asegurarse que herramientas creadas queden incluidas en la barra  de herramientas de una nueva ventana de GeoGebra:  • Después de definir una nueva herramienta se puede guardar la configuración usando  el ítem Guardar Configuración del  menú Opciones.   A partir de entonces, la herramienta creada será parte de la Barra de las de  GeoGebra.  Atención: Se puede quitar una herramienta de la barra después de abrir el ítem  Guardar Configuración del menú Herramientas. Basta con seleccionarla de la Lista de  Herramientas del lado izquierdo de la ventana de diálogo emergente y hacer clic en el  botón Borra  >. No debe olvidarse que hay que guardar la configuración después de  borrar la herramienta.  • Después de  guardar la herramienta creada (como archivo .ggt), es posible importarla  a una nueva ventana de GeoGebra en cualquier momento. Simplemente  seleccionando  Abre del menú Archivo y eligiendo el que corresponda a la  herramienta.    Atención: Abrir un archive GeoGebra  de herramientas (GGT) no afecta la  construcción en marcha. Sólo hace que tal herramienta pase a formar parte de la  Barra de GeoGebra.  5.4 Colores Dinámicos  En GeoGebra, se puede cambiar el color de los objetos desde la pestaña Color de la Caja de  Diálogo de Propiedades. Sin embargo, también se puede establecer que el color de un objeto  cambie  dinámicamente:  Al  abrir  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  cierto  objeto  cuyo  color  se  quisiera  cambiar  y  dar  clic  sobre  la  pestaña  Avanzado,  se  encontrará  una  sección  llamada Colores Dinámicos con casilleros para los componentes del color Rojo, Verde y Azu’.   Atención: En cada uno de estos casilleros, puede ingresarse una función con un rango [0, 1].    Ejemplo:  • Crear tres deslizadores a, b, y c con un intervalo de 0 a 1.  • Crear un polígono cuyo color estaría influenciado por los valores del deslizador.  • Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades para el polígono polig1 y anotar los nombres  de estos tres deslizadores en los casilleros de componentes del color.  • Cerrar la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar los valores de los deslizadores  para descubrir cómo cada componente de color influye sobre el color resultante del  polígono.    Atención: También se puede animar los deslizadores con diferentes velocidades para  ver cómo el color del polígono cambia automáticamente.  92   
5.5 Interfaz de JavaScript  Atención:  La  interfaz  JavaScript  de  GeoGebra  es  de  particular  interés  para  quienes  tienen  cierta experiencia en la edición en HTML.    Para desarrollar una Hoja Dinámica y aumentar su interactividad, los applets de GeoGebra  ofrecen  una  interfaz  JavaScript.  Por  ejemplo,  se  puede  crear  un  botón  para  generar  aleatoriamente nuevas configuraciones de una construcción dinámica.   Se  pueden  consultar  los  documentos  Applets  de  GeoGebra  Applets  y  JavaScript  (http://www.geogebra.org  en  Ayuda)  para  explorar  los  ejemplos  y  encontrar  información  con relación al uso de uso de JavaScript con applets de GeoGebra.  5.6 Teclas de Atajo  Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) Expone / Oculta A Selecciona Todo α alpha Vista Algebraica  B β beta Copia (Vista de Hoja de  Exporta  Vista  Gráfica  al  C Cálculo Portapapeles solamente) D delta δ Caja  de  Diálogo  E de Propiedades   ℯ Euler F Actualiza vistas φ phi G γ gamma H I J K Selecciona  capa  L λ lambda activa M μ mu N Nueva Ventana Símbolo  de  O Abre grados ° Previsualiza  Exporta Vista  Gráfica  P pi π Impresión como Imagen (png, eps)…’  Selecciona  Q Selecciona  Ascendientes Descendientes R Expone / Oculta S Guarda sigma σ Vista de Hoja de Cálculo  T Exporta como PSTricks θ theta U Pega (Hoja  de  V Cálculos) Cierra Exporta ‘Hoja  Dinámica  W (sólo MacOS) como Página Web (html)’ omega ω  93   
Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) X Y Rehace Z Deshace 0 Exponente 0 1 Exponente 1 2 Exponente 2 3 Exponente 3 4 Exponente 4 5 Exponente 5 6 Exponente 6 7 Exponente 7 8 Exponente 8 9 Exponente 9 Disminuye  número  /  Zoom  de  ‐ menos o más ángulo  Alejamiento Aumenta  número  /  Zoom  de  + más o menos ± ángulo seleccionados Acercamiento Aumenta  número  /  Zoom  de  = Desigual  ≠ ángulo seleccionados  Acercamiento  < menor o igual  ≤ , (coma) menor o igual  ≤ > mayor o igual ≥ . (dos puntos) mayor o igual ≥ * F1 Ayuda Inicia  edición  de  F2 objeto seleccionado   (Vista Algebraica) Anotar  definición  del  F3 objeto  seleccionado  (Barra de Entrada) Anotar  valor  del  F4 objeto  seleccionado  (Barra de Entrada) Anotar  nombre  del  F5 objeto  seleccionado  (Barra de Entrada) Actualizar  números  F9 aleatorios Alterna  foco  entre  Enter Vista  Gráfica  y  Barra  de Entrada  Clic izquierdo 94   
Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) Clic:  Abre Menú Contextual  (sobre objeto)    Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  Vista  Clic  derecho  Gráfica   (MacOS:   (sobre fondo)  Ctrl‐clic)     en Vista Gráfica  Clic y arraastre:  Modo  de  Arrastre  Rápido   (sobre objeto)    Zoom  rectangular   (sobre fondo) Zoom  de  Rueda  mouse  o  Zoom +  / ‐   Acercamiento  y  Zoom + / ‐ ratón (Applet) Alejamiento  Acelerados Borra Borra selección activa  Backspace Borra selección activa  Aumenta  número  /  ángulo seleccionado    Sube  el  punto  seleccionado     x10   x0.1  multiplicador  de  x100  Flecha  Pasa  a  entrada  previa  multiplicador  de  velocidad   multiplicador  de  Ascendente ↑  en historia de la Barra  velocidad  (pulsando Shift solamente) velocidad  de Entrada     Asciende en   Protocolo  de  Construction  Aumenta  número  /  ángulo seleccionado    Lleva  a  la  derecha  el  x10   x0.1  multiplicador  de  x100  Flecha  Derecha  punto seleccionado   multiplicador  de  velocidad  (pulsando  Shift  multiplicador  de  →   velocidad  solamente)  velocidad  Asciende en el   Protocolo  de  Constructionn Disminuye  número/ángulo  seleccionado    x10   x0.1  multiplicador  de  x100  Flecha Izquierda  Lleva  a  la  izquierda  el  multiplicador  de  velocidad  (pulsando  Shift  multiplicador  de  ← punto seleccionado   velocidad  solamente)  velocidad    Descender en el   Protocolo  de  Construction  95   
Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) Disminuye  número/ángulo  seleccionado    Desciende  el  punto  seleccionado   Flecha  x10   x0.1  multiplicador  de  x100    Descendente   multiplicador  de  velocidad  (pulsando  Shift  multiplicador  de  Pasar a la entrada más  ↓ velocidad  solamente)  velocidad  reciente  en  la  historia  de la Barra de Entrada    Descender en el   Protocolo  de  Construction  Ir al primer ítem en el  Home/PgUp Protocolo  de  Construction Ir al último  ítem en el  End/PgDn Protocolo  de    Construction     Comandos de Teclado Adicionales:  • Alt‐Shift (MacOS: Ctrl‐Shift): Letras Griegas Mayúsculas  • Vista de Hoja de Cálculo: Ctrl‐Alt‐C copia valores (no las fórmulas)    Atención: El símbolo de grados ° (Alt‐O, MacOS: Ctrl‐O) y el símbolo π para pi (Alt‐P, MacOS:  Ctrl‐P)  también  pueden  usarse  en  la  ventana  de  diálogo  de  los  deslizadores  en  el  establecimiento de intervalos (mínimo, máximo) y del incremento.  5.7 Rótulos y Subtítulo  Expone y Oculta Rótulos  Se  puede  mostrar  u  ocultar  los  rótulos  de  los  objetos  en  la  Vista  Gráfica  de  diferentes  maneras:  • Seleccionar la  herramienta   Expone / Oculta Rótulo y con un clic sobre el objeto  cuyo rótulo se desea afectar, establecer su visibilidad..  • Abrir el Menú Contextual para el objeto en cuestión y seleccionar   ‘Expone Rótulo’.  • Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto deseado y tildar o destildar la  casilla Expone Rótulo de la pestaña Básico.  Nombre y Valor  En  GeoGebra,  cada  objeto  tiene  un  único  nombre  que  puede  usarse  para  rotularlo  en  la   Vista  Gráfica.  Además,  un  objeto  también  puede  distinguirse  por  su  valor  o,  simultáneamente,  por  su  nombre  y  valor.  Se  puede  cambiar  la  exposición  de  este  rótulo  fijando  en  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  en  la  pestaña  Básico,  dentro  de  la  selección  96   
correspondiente  a  la  opción,  Nombre,  Valor,  o  Nombre  &  Valor  en  el  menú  desplegable  cercano a la casilla Expone Rótulo.  Atención: el valor de un punto son sus coordenadas, mientras que el de una función es su  ecuación.  Subtítulo  Sin  embargo,  algunas  veces  se  le  da  a  varios  objetos  el  mismo  rótulo,  por  ejemplo,  para  rotular  los  cuatro  lados  de  un  cuadrado,  a.  en  este  caso,  GeoGebra  ofrece  subtítulos  para  todos  los  objetos  además  de  las  tres  opciones  ya  mencionadas.  Se  puede  establecer  el  subtítulo de un objeto en la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades anotando  el  deseado  en  el  campo  de  texto  Subtítulo.  Posteriormente,  se  puede  seleccionar  la  alternativa  Subtítulo  en  el  menú  descolgable  desde  la  flechita  a  la  derecha  del  campo  de  entrada de la misma casilla Muestra Rótulo.  5.8 Capas  Atención: En GeoGebra, se usan capas para determinar cuál de los objetos se selecciona o  arrastra cuando un clic involucra a varios simultáneamente.     Por  omisión,  los  objetos  se  colocan  en  la  capa  0,  que  es  básicamente  la  del  ‘fondo’  de  la  Vista  Gráfica.  Hay  un  total  de  10  capas  disponibles  (numeradas  del  0  al  9)  y  las  de  mayor  numeración se superponen a las de valor más bajo.    Usando la pestaña Avanzado de la Caja de Diálogo de Propiedades, se puede cambiar la capa  de cierto objeto (capas disponibles de la 0 a la 9).   Una vez modificado el número de capa para al menos un objeto (con  un valor diferente de 0  que es el del fondo), todos los nuevos objetos quedarán en la capa de valor más alto (por  ejemplo, capa 3), ocupada por algún objeto.    Atención:  Después  de  seleccionar  cualquier  objeto,  se  puede  elegir  todos  los  demás  en  la  misma  capa  con  el  ítem  Selecciona  la  Capa  Activa  (teclas  de  atajo:  Ctrl‐L)  del  menú  Edita.  Este ítem solo está disponible si todos los objetos seleccionados son de la misma capa.    Algo más sobre el uso de capas:  • Para exportar objetos SVG se los agrupa por capa.  • Las capas pueden controlarse usando la  interfaz JavaScript para applets de  GeoGebra.  5.9 Redefine  La herramienta que permite la redefinición de objetos es sumamente versátil para una  modificación retrospectiva de lo construido. Es de hacer notar que también es posible  cambiar el orden de las etapas o pasos de construcción en el Protocolo de Construcción.   97   
  Resulta muy útil introducir cambios tras la construcción de cualquier objeto. Esto puede  realizarse de diversos modos.  Con la herramienta   Elige y Mueve y un doble clic sobre cualquier objeto de…  o la Vista Algebraica, se abre:  ⇒ un campo de edición que permite modificar directamente la representación  algebraica de un objeto libre, cambio que se aplica al pulsar la tecla Enter.  ⇒ la caja de diálogo de Redefine para obrar en tal sentido sobre un objeto  dependiente.  o la Vista Gráfica se abre la caja de diálogo de Redefine para obrar en tal sentido.  Cambiar cualquier objeto anotando su nombre y la nueva definición en la Barra de  Entrada.  Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar la definición de un objeto en la  pestaña Básico.    Atención: Los objetos fijos no pueden ser redefinidos. Para redefinir un objeto fijo, se precisa  liberarlo usando la Caja de Diálogo de Propiedades    Ejemplos:  • Para ubicar un punto libre A sobre una recta h, un doble clic sobre el punto A que  abre la ventana de diálogo de Redefine. Entonces, se puede anotar el comando  Punto[h] en el campo de texto emergente y pulsar la tecla Enter. Para eliminar el  punto A de esta recta de modo que vuelva a ser libre, es preciso redefinirlo  ubicándolo en cualquier posición de coordenadas, anotando, por ejemplo, (1, 2).   • Otro ejemplo es la conversión de una recta h que pasa por dos puntos A y B en un  segmento. Basta abrir la caja de diálogo de Redefine para h y anotar el comando  Segmento[A, B] en el campo de texto emergente.  5.10 Rastro y Lugar Geométrico  Puede hacerse que los objetos geométricos dejen un trazo como huella a medida que se los  desplazan por la Vista Gráfica. Se apela al Menú Contextual para activar o desactivarlo con   Activa Rastro. Cuando se modifica la construcción o se desplaza directamente, el objeto  con rastro activado, aparece su recorrido “trazado”.    Atención: Se puede desactivar el rastro de un objeto, destildando Activa Rastro en el Menú  Contextual. Con   Actualiza Vistas del menú Vista, se elimina todo trazo.    También  se  puede  crear  automáticamente  el  lugar  geométrico  de  un  punto  después  de  emplear  la  herramienta    Lugar  Geométrico      con  el  mouse  o  ratón,  o  anotando  tal  comando en el campo de entrada.  Atención: El punto cuyo lugar geométrico se desea crear depende del movimiento de otros  puntos, cuyo desplazamiento está restringido a recorridos a lo largo de un objeto (sea una  recta, segmento, circunferencia).  Ejemplo:   • Crear un segmento a entre los puntos A = (‐1, ‐1) y B = (1, ‐1).  98   
• Ubicar un punto C en el segmento, restringido a desplazarse a lo largo del segmento  a.  • Crear un punto P que depende del punto C (por ejemplo, P = (x(C), x(C)^2)).  • Usar o la herramienta o el comando Lugar Geométrico para crear el lugar geométrico  del punto P que depende de C:  o Herramienta   Lugar Geométrico  : Clic sobre el punto P en primer lugar y  luego en el punto C.  o Comando Lugar Geométrico: Anotar LugarGeométrico [P, C] en la  Barra de Entrada y luego pulsar la tecla Enter.  Atención: El lugar geométrico creado en este ejemplo es el gráfico de una parábola  en el intervalo [‐1, 1].    99   
Índice Alfabético  A Teclas Más / Menos, 93 Velocidad, 92 Abre Animación Automática, 92 Menú, 82 Animación Manual, 93 Acceso a Herramienta Definida, 95 Animación, Ciclo de Animación Acerca de GeoGebra / Licencia, Menú de Ayuda, 92 Repite, 93 Actualiza Vistas Animación, Teclas flecha, 93 Menú Vista, 87 Animación’, Ciclo, 93 Ajes Antihiperbólico Entrada Directa, 45 Antihiperbólico coseno, Entrada Directa, 47 Ajuste Lineal, Herramienta, 30 Seno Antihiperbólico, Entrada Directa, 47 AjusteLineal Arco ,AjusteLineal X, comando, 77 Arco coseno, Entrada Directa, 47 Cmando, 77 Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos  Ajustes Extremos, Herramienta, 33 AumentarTamaño de Letra, 21 Arco seno, Entrada Directa, 47 Estilo  del Angulo, 21 Arco tangente, Entrada Directa, 47 Estilo de Punto, 21 Comando, 67 Guardar, 21 Arco de Circunferencia Restablecer Configuración Original, 21 Arco dados Tres de sus Puntos, Herramienta, 33 Rotulado, 21 ArcoCircuncircular, comando, 67 Tamaño de Casilla de Control, 21 ArcoCircunferencia Tipo de  Coordenadas, 21 Comando, 67 Unidad Angular, 21 Area Aleatoriedad Area entre dos funciones, 55 Comandos, 56 Comando, 53 Aleatorio Integral Definida, 53, 54 AleatorioBinomial, comando, 56 área AleatorioNormal, comando, 56 herramienta, 34 AleatorioPoisson, comando, 56 Asíntota, comando, 61 Entrada Directa, 47 Atracción de Punto a Cuadrícula, Menú Opciones, 88 Aletoriedad Ayuda AleatorioEntre, comando, 56 Barra de Entrada, 15, 42 Anexa Menú, 91 Comando, 71 Sintaxis de Comando, 15 Angulo Ayuda de la Barra de Herramientas, 14 Valor Limitado, 44 Ayuda del Comando, 15 Admite Ángulos Cóncavos, 34 Ayuda en la Barra de Entrada, 15 Bisectriz, comando, 61 Ayuda en Sintaxis del Comando, 15 Comando, 57 Ayuda, Barra de Entrada, 15 Cóncavo, 44 Ayuda, Barra de Herramientas, 14 Herramienta, 34 Ayuda, Sintaxis del Comando, 15 Limitar Medida, 34 Comando, 57 Angulo cóncavo, 44 B ángulo dada su amplitud,herramienta, 34 Barra de Entrada, 41 Angulos, 43 Ayuda, 15, 42 Angulos en polígono, 58 Entrada Directa, 43 Entrada Directa, 43 Expone entrada, 42 Animación, 92 Historia, 42 Animación Automática, 92 Menú Vista, 87 Animación Automática, Menú Contextual, 18 Barra de Entrada, Menú, 87 Botón de Animación, 92 Barra de Herramientas, 13 Decremento, 93 Personalizar, 90 Incremento, 93 Restablecer original, 17 Incremento, 93 Barra de Herramientas, Personalizar, 17 Manual, 93 Barra de Navegación, 19 Oscilante, 93 Menú Vista, 87 Pausa, 92 100   
Barras, comando, 76 Columna Bisectriz Comando, 81 Bisectriz, Herramienta, 30 NombreColumna, comando, 81 Bisectriz, comando, 61 Comandi Booleana Mín, 56 Expone/Oculta objeto, 48 Comando Variables, 48 AjusteExp, 78 Booleanas AjusteLineal, 77 Operaciones, 48 AjusteLinealX, 77 Booleano, 35 AjusteLog, 78 Variable Booleana,Herramienta, 35 AjusteLogístico, 78 Borra AjustePolinómico, 78 Borra Objeto, Herramienta, 26 AjustePotencia, 78 Comando, 52 AjusteSen, 78 Menú Contextual, 18 AleatorioBinomial, 56 Menú Edita, 85 AleatorioNormal, 56 AleatorioPoisson, 56 AleratorioEntre, 56 C Anexa, 71 Caja de Diálogo Arco, 67 Propiedades ArcoCircuncircular, 67 para objetos, 17 ArcoCircunferencia, 67 Caja de Diálogo de Propiedades, 17 Area, 53 Pestañas, 18 Asíntota, 61 Caja de Diálogo de Propiedades de Vista Gráfica, 17 Barras, 76 Caja de Diálogo de Propiedades, Menú Edita, 86 Bisectriz, 61 Caja de Diçalogo de Propiedades Borra, 52 Imagen, 39 Centro, 58 Caja de Herramientas, 14 Centroide, 58 Abrir, 25 CírculoOsculador, 64, 66 Cambio de Opciones, 21 Circunferencia, 63 Capas, 101 Cociente Entero, 54 Casilla de Control CódigoDeLetra, 68 Tamaño, Menú Opciones, 88 CódigoDeTexto, 70 Casilla de Control para Exponer/Ocultar Objetos,  Coeficiente de Correlación, 77 Herramienta, 35 Columna, 81 Celda Cónica, 63 Entrada, 15 ConservaSi, 72 Centro, Comando, 58 Covarianza, 77 Centroide, comando, 58 Curva, 66 Cierra, Menú Archivo, 84 Curvatura, 54, 66 Cifras Significativas, Menú Opciones, 88 DE (desviación estándar), 79 Círculo Definido, 53 Círculo Osculador, comando, 64 Derivada, 65, 66 CírculoOsculador, comando, 66 Desarrolla, 65 Circunferencia Determinante, 81 Circunferencia dados su Centro y Radio, Herramienta, DiagramaCaja, 77 32 Diámetro, 62 Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos,  DiámetroConjugado, 62 Herramienta, 32 Dirección, 60 Circunferencia dados Tres de sus Puntos,  Directriz, 62 Herramienta, 32 Distancia, 54 Comando, 63 Div (División), 54 Cociente Entero, comando, 54 EjePrincipal, 62 CódigoDeLetra, comando, 68 Ejes, 62 CódigoDeTexto, comando, 70 EjeSecundario, 62 Coeficiente de correlación momento‐producto de  Elemento, 71 Pearson, comando, 77 EliminaIndefinidos, 73 Coeficiente de Correlación, comando, 77 Elipse, 64 Color Encadena, 72 Caja de Diálogo de Propiedades, 18 EsEntero, 53 Dinámico, 96 Esquina, 58 Color, Propiedades, 18 Extrae, 74 Colores Dinámicos, 96 Extremo, 58 101   
Factoriza, 65 Radio, 56 Fila, 81 Raíz, 59 Foco, 58 RangoCelda, 81 Función, 65 RazónDoble, 54 Función Módulo, 56 RazónSimple, 53 Hipérbola, 64 Recta, 62 Histograma, 78 Refleja, 75 Homotecia, 74 Relación, 52 Integral, 54, 65 Resto, 56 Intercala, 71 Rota, 75 Interseca, 59 Sector, 68 Intersección, 72 SectorCircular, 67 Iteración, 55 SectorCircumcircular, 67 LaTeX, 68 Secuencia, 73 LetraDeCódigo, 70 Segmento, 61 ListaInversa, 73 Semicircunferencia, 68 ListaIteración, 72 SemiFocal, 55 Lo, 55 Semirrecta, 61 Longitud, 66, 73 Si(Comando Booleano), 53 LongitudSemiejePrincipal, 57 SigmaXX, 79 LongitudSemiejeSecundario, 57 SigmaXY, 79 MatrizInversa, 81 SigmaYY, 79 Máx, 56, 73 Simplifica, 66 Máximo, 56, 73 Suma, 74 Máximo Común Divisor, 54 SumaInferior, 56 MCD, 54 SumaSuperior, 57 MCM, 55 SumaTrapezoidal, 57 Media, 79 Sxx, 80 Mediana, 79 Sxy, 80 Mediatriz, 63 Syy, 80 MediaX, 79 TablaTexto, 69 MediaY, 79 Tangente, 63, 66 Menor común Múltiplo, 55 Texto, 69 Menor Común Múltiplo, 55 TextoDeCódigo, 70 Mín, 73 TextoFracción, 68 Mínimo, 56 Traslada, 76 Mínimo, 73 Traspose, 81 Mod, 56 Ultimo, 72 Modo, 79 Unión, 74 Nombre, 69 Varianza, 80 NombreColumna, 81 Vector, 60 Normal, 79 VectorCurvatura, 66 NúmeroCombinatorio, 53 VectorCurvatura, 60 Objeto, 69 VectorPerpendicular, 60 Ordena, 74 VectorUnitario, 60 Parábola, 64 VectorUnitarioPerpendicular, 60 Parámetro, 56 Vértice, 60 PasoConstrucción, 52 Interseca, 59 PasoEje, 53 Perpendicular, 62 Pendiente, 57 Comandos, 15, 52 Perímetro, 56 Aceptar sugerencias, 52 PerímetroCónica, 54 Arcos, 67 Perpendicular, 62 Automáticamente Completados, 52 Polar, 63 Ayuda para comandos, 15 Polígono, 61 Cambiar sugerencias, 52 Polinomio, 65 Comando de ángulo, 57 PolinomioTaylor, 66 Comandos Booleanos, 53 Primero, 71 Comandos de Hoja de Cálculo, 81 Producto, 73 Comandos de Matrices, 81 Punto, 59 Comandos de Números, 53 PuntoInflexión, 58 Comandos Generales, 52 PuntoMedio, 59 Curva, 66 Q1 (1. Cuatril), 79 Curvas Paramétricas, 66 Q3 (3. Cuatril), 79 Estadísticas, Comandos, 76 102   
Funciones, 64 Cuadrícula, Personalizar, 17 Listas, 71 Cuatril Q1, comando, 79 Lugares Geométricos, 70 Cuatril Q3, comando, 79 Puntos, 58 CuentaSi, comando, 71 Secciones Cónicas, 63 CuentaSi, comando, 71 Sectores, 67 Curva Secuencias, 71 Comando, 66 Segmento, 61 Curvas Paramétricas, Comandos, 66 Semirrectas, 61 Curvatura Sintaxis de Comando, Ayuda, 15 Comando, 54, 66 Transformaciones, 74 VectorCurvatura, comando, 66 Transformaciones Geométricas, 74 Vectores, 60 Comandos Aleatorios:, 56 D Comandos de Ajuste DE, comando, 79 AjusteExp, comando, 78 Definición de Herramientas, 90, 94 AjusteLog, comando, 78 Creación, 94 AjusteLogístico, comando, 78 Definición, inserta en Barra de Entrada, 42 AjustePolinómico, comando, 78 Definido AjustePotencia, comando, 78 Comando, 53 AjusteSen, comando, 78 Derivada, comando, 65 Comandos, Polígonos, 61 Derivada, Comando, 66 Comandso Desarrolla Lista de Comandos, Menú Vista, 87 Comando, 65 Compás, Herramienta, 32 Polinomio, 65 Cónica Deshace, Menú Edita, 84 Cónica dados Cinco de sus Puntos, Herramienta, 32 Deslizador, 44 Cónica, Sección, 45 Herramienta, 35 ConservaSi, comando, 72 Desplaza Área Gráfica, Herramienta, 26 Continuidad, Menú Opciones, 88 Desplazar Objetos en la Vista Gráfica, 14 Convierte Desviación Estándar, comando, 79 Grados a radianes, 43 Determinante, comando, 81 Radianes a grados, 43 DiagramaCaja, comando, 77 coordenada x, Entrada Directa, 47 Diametral, Herramienta, 31 Coordenadas Diámetro coordenada x, 47 Comando, 62 Coordenadas, 44 DiámetroConjugado Coordenadas cartesianas, 44 Comando, 62 Coordenadas Polares, 44 Dibujo Tipo de Coordenadas, Ajustes, 21 Distorsiona, 40 Coordenadas Escala, 40 coordenada y, 47 Format EMF, 84 Coordenadas cartesianas, 44 Format SVG, 84 Coordenadas Polares, 44 Formato EPS, 83 Coordenada‐y, Entrada Directa, 47 Formato PDF, 84 Copia Formato PNG, 83 Copia en Campo de Entrada, Menú Contextual, 19 Formato PSTricks, 84 Copia Estilo Visual, Herramienta, 26 PGF/TikZ, 84 Coseno, Entrada Directa, 47 Rota, 40 Covarianza, comando, 77 Dirección, Comando, 60 CPearson, comando, 77 Directriz, comando, 62 Creación de Nueva Herramienta Distancia Menú Herramientas, 90 Comando, 54 Cuadrícula Distancia o Longitud, Herramienta, 35 Color, 17 Distancia, Herramienta, 35 Distancia entre trazos, 17 Div, comando, 54 estilo, 17 División Horizontal, Menú Vista, 87 Isométrica, 17 División, Entrada Directa, 46 Menú Vista, 86 Cuadrícula de Coordenadas Menú Vista, 86 E Cuadrícula de Coordenadas, Muestra / Oculta, 16 Edita objeto, 42 Cuadrícula de Coordenadas, Personalizar, 17 Edita, Menú, 84 Cuadrícula, Muestra / Oculta, 16 Eje de Coordenadas 103   
Menú Vista, 86 Expone / Oculta Objeto, Herramienta, 27 Eje Mayor, comando, 62 Expone / Oculta Rótulo, Herramienta, 27 Eje Menor, comando, 62 Exponenciación, Entrada Directa, 46 Eje Principal Exporat Comando, 62 Hoja Dinámica Eje Secundario Archivos creados, 24 Comando, 62 Expone Barra de Herramientas, 24 EjePrincipal Exporta Longitud EjePrincipal, comando, 57 Hoja Dinámica Ejes Pestaña General, 23 Comando, 62 Hoja Dinámica, 23 Ejex y Ejey, 45 Hoja Dinámica Escala, 17, 27 Pestaña Avanzada, 24 Estilo de Trazo, 17 Hoja Dinámica Expone/ Oculta Individualmente, 17 Expone ícono de reinicio, 24 Graduaciones, 17 Hoja Dinámica Menú Vista, 86 Alto/ Ancho, 24 Relación, 17 Hoja Dinámica Unidades, 17 archivo HTML, 24 Ejes coordenados, Muestra / Oculta, 16 Hoja Dinámica Ejes de Coordenadas, Personalizar, 17 archivo GGB, 24 Ejes, Muestra / Oculta, 16 Hoja Dinámica Ejes, Personalizar, 17 archivos JAR, 24 EjeSecundario Hoja Dinámica como Página‐Web, Menú Archivo, 83 LongitudSemiejeSecundario, comando, 57 Hoja Interactiva, 23 Ejex, 45 Menú Archivo, 83 Ejey, 45 Página Web Interactiva, 23 Elemento, comando, 71 Vista Gráfica Elige y Mueve, Herramienta, 26 a escala, 23 Elimina al Portapapeles, Menú Archivo, 84 Rastro, 87 al Portapapeles,Menú Edita, 86 EliminaIndefinidos, comando, 73 como Imagen, Menú Archivo, 83 Elipse como PSTricks, Menú Archivo, 84 Comando, 64 Vista Gráfica como PGF/TikZ, Menú Archivo, 84 Elipse, Herramienta, 32 Exporta Imagen, Menú Archivo, 83 Encadena, comando, 72 Exporta, Protocolo de Construcción como Página‐Web, Entrada Algebraica, Barra de Entrada, 41 20 Entrada Directa Exporta, Vista Gráfica Angulos, 43 como Imagen, 22 Secciones Cónicas, 45 Exporta, Vista Gráfica a Portapapeles, 23 Entrada Directa Extrae, comando, 74 Puntos, 44 Extremo, comando, 58 Entrada Directa Vectores, 44 Entrada Directa F Rectas, 45 Factorial, Entrada Directa, 46 Entrada Directa Factoriza, Comando, 65 Ejes, 45 Fila, comando, 81 Entrada Directa Foco, comando, 58 Funciones, 46 Fondo EsEntero, Comando, 53 Imagen, 40 Esquina, comando, 58 Format EMF, 84 Estilo  del Angulo Recto Formato  EPS, 83 Ajustes, 21 formato PDF, 84 Estilo de Angulo Recto Formato PNG, 83 Menú Opciones, 89 Formato SVG, 84 Estilo de Coordenadas, Menú Opciones, 89 Formato, Copia Estilo Visual, 26 Estilo de Punto Fórmula, 38 Ajustes, 21 Fórmula LaTeX, 38 Estilo de Punto, Menú Opciones, 88 Texto, 38 Estilo de Trazo, Propiedades, 18 Foro GeoGebra, Menú de Ayuda, 91 Estilo Visual, Copia, 26 Función Euler constante, 43 Nombre, 41 Expone / Oculta Objeto, 16 Función Exponencial, Entrada Directa, 47 104   
Función Gamma, Entrada Directa, 47 Herramienta Función Módulo, comando, 56 Punto Medio o Centro, 28 Función trigonométrica Herramienta Coseno Antihiperbólico, 47 Nuevo Punto, 28 Seno Antihiperbólico, 47 Herramienta Tangente antihiperbólica, 47 Vector entre Dos Puntos, 29 Función, comando, 65 Herramienta Funciones Vector desde un Punto, 29 Entrada Directa, 46 Herramienta Función Exponencial, 47 Segmento entre Dos Puntos, 29 Funciones Predefinidas, 46 Herramienta Limitadas a intervalo, 46 Segmento dados Punto Extremo y Longitud, 29 Funciones Condicionales, 64 Herramienta Funciones Predefinidas, 46 Semirrecta, 30 funciones trigonométricas, 46 Herramienta Funciones Trigonométricas Semirrecta que pasa por Dos Puntos, 30 Arco coseno, 47 Herramienta Arco seno, 47 Polígono, 30 Arco tangente, 47 Herramienta Coseno, 47 Polígono Regular, 30 Coseno Hiperbólico, 47 Herramienta Seno, 47 Bisectriz, 30 Seno Hiperbólico, 47 Herramienta Tangente, 47 AjusteLineal, 30 Tangente Hiperbólica, 47 Herramienta Recta que pasa por Dos Puntos, 31 G Herramienta Paralela, 31 GeogebraWiki, Menú de Ayuda, 92 Herramienta Gestión de Herramientas, Menú Herramientas, 90 Mediatriz, 31 Grado Herramienta Convierte a radianes, 43 Recta Perpendicular, 31 Símbolo, 43 Herramienta Grados Tangentes, 31 Símbolo, 35 Herramienta Guarda Circunferencia dados su Centro y Radio, 32 Menú, 82 Herramienta Guarda Como Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos, Menú, 82 32 Guardar Herramienta Ajustes, 21 Circunferencia dados Tres de sus Puntos, 32 Guardar Configuración, Menú Opciones, 89 Herramienta Compás, 32 Herramienta H Cónica dados Cinco de sus Puntos, 32 Herramienta Herramienta Registrar en Hoja de Cálculo, 27 Elipse, 32 Rota en torno a un Punto, 27 Herramienta Herramienta Hipérbola, 33 Desplaza Área Gráfica, 26 Herramienta Borra Objeto, 26 Parábola, 33 Elige y Mueve, 26 Herramienta Herramienta Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos  Relación, 27 Extremos, 33 Herramienta Herramienta Expone / Oculta Rótulo, 27 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos, 33 Herramienta Herramienta Expone / Oculta Objeto, 27 Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos, 33 Herramienta Herramienta Zoom de Acercamiento, 28 Sector Circumcircular dados Tres Puntos, 34 Herramienta Herramienta Zoom de Alejamiento, 28 Semicircunferencia, 34 Herramienta Herramienta Intersección de Dos Objetos, 28 ángulo dada su amplitud, 34 105   
Herramienta Inserta Texto, Herramienta, 37 Area, 34 Herramientas Herramienta Inserta Imagen, 39 Distancia o Longitud, 35 Herramientas Herramienta Gestión de Herramientas, 90 Deslizador, 35 Herramientas Pendiente, 35 Definidas por Usuario, 94 Herramienta Herramientas de Construcción, 13, 25 Pendiente, 35 Activar, 25 Herramienta Herramientas Propias Casilla de Control para Exponer/Ocultar Objetos, 35 Definidas para Diversos Usos, 90 Herramienta Herramientas, Herramientas Generales, 26 Lugar Geométrico, 36 Hipérbola Herramienta Comando, 64 Lugar Geométrico, 36 Hipérbola, Herramienta, 33 Herramienta Hiperbólica Locus, 36 Tangente Hiperbólica, Entrada Directa, 47 Herramienta Hiperbólico Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala, Coseno Hiperbólico, Entrada Directa, 47 36 Seno Hiperbólico, Entrada Directa, 47 Herramienta Histograma, comando, 78 Refleja Objeto en Recta,, 36 Hoja Dinámica Herramienta Editar applet, 24 Refleja Objeto por Punto, 37 Editar texto, 24 Herramienta Exporta, 23 Refleja Punto en Circunferencia, 37 Exporta, Menú Archivo, 83 Herramienta Java, 24 Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado, 37 Hoja Interactiva Herramienta Exporta, 23 Traslada Objeto por un Vector, 37 Homotecia Herramienta Comando, 74 Inserta Texto, 37 Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala,  Herramienta Herramienta, 36 Inserta Imagen, 39 Herramienta Definida Acceso, 95 I Herramienta Definida Idioma, Menú Opciones, 89 Guardarla, 95 Imagen Herramientas Caja de Diçalogo de Propiedades, 39 Números, 34 Distorsiona, 40 Polígonos, 30 Escala, 40 Secciones Cónicas, 32 Especificar vértices, 39 Herramientas, 25 Esquina, 58 Activar, 25 Imagen de Fondo, 40 Herramientas de Puntos, 28 Inserta Imagen, herramienta, 39 Herramientas de Segmentos, 29 Rota, 40 Herramientas de Vectores, 29 Transparencia, 40 Herramientas Imprime, 22 Recta, 30 Protocolo de Construcción, 22 Herramientas Imprime, Vista Gráfica, 22 Arcos, 33 Incremento, Animación Manual, 93 Herramientas Indices, 41, 52 Sectores, 33 Inserta Herramientas Definición en la Barra de Entrada, 42 Ángulos, 34 Inserta Imagen, herramienta, 39 Herramientas Inserta Texto, Herramienta, 37 Angulo, 34 Nombre en la Barra de Entrada, 42 Herramientas Valor en la Barra de Entrada, 42 Variable Booleana, Herramienta, 35 Inserta Imagen, herramienta, 39 Herramientas Inserta Texto, Herramienta, 37 Transformaciones Geométricas, 36 integral Herramientas indefinida, 65 Inserta Texto, 37 Integral Herramientas Comando, 54, 65 106   
definida, 54 LongitudSemiejePrincipal, comando, 57 Integral LongitudSemiejeSecundario, comando, 57 definida, 54 Lugar Geométrico, 36, 102 Integral Definida Herramienta, 36 Area, 54 Lugares Decimales, Menú Opciones, 88 Area entre dos Funciones, 55 LugarGeométrico Intercala Comando, 70 Comando, 71 Interfaz de JavaScript, 96 Interfaz de Uso M Personalizar, 16 Más / Menos teclas, Animación, 93 Interfaz, personalizar, 16 Matrices Interseca Aplicación de Operaciones Aritméticas, 50 Admitir Intersecciones en Prolongaciones, 28 Comandos, 51 Intersección Entrada Directa, 50 Intersección de Dos Objetos, Herramienta, 28 Multiplication, 50 Todos los puntos de intersección, 28 Operaciones, 50 Un puntos de intersección, 28 Resta, 50 Intersección, comando, 72 Suma, 50 Items, Cada Menú, 82 MatrizInversa, comando, 81 Iteración Máx, comando, 56, 73 Comando, 55 Máximo Común Divisor, Comando, 54 Máximo de Lista, comando, 73 L Máximo, comando, 56 MCD, comando, 54 LaTeX, comando, 68 MCM, comando, 55 LetraDeCódigo, comando, 70 Media Letras Griegas, Mayúsculas, 100 Comando, 79 Licencia, Menú de Ayuda, 92 MediaX, comando, 79 Limitada MediaY, comando, 79 Funciones en intervalo, 46 Mediana, comando, 79 Limitar Mediatriz Valor del ángulo, 44 Mediatriz, comando, 63 Valor del número, 44 Mediatriz, Herramienta, 31 Lista Mediatriz, comando, 63 Operaciones, 49 Mediatriz, Herramienta, 31 Lista de Comandos, 15 Medida, Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Lista de Comandos, Menú, 87 Menor Común Múltiplo, comando, 55 ListaInversa, comando, 73 Menú ListaIteración, comando, 72 Archivo, 82 Listas Edita, 84 Aplicar Operaciones Aritméticas, 49 Herramientas, 90 Comparar, 49 Ventana, 91 División, 50 Vista, 86 Entrada Directa, 49 Menú Archivo Funciones de Aplicación de funciones pre‐definidas, Nueva Ventana, 82 49 Menú Archivo, 82 Funciones Pre‐definidas, 50 Menú Archivo Multiplicación, 50 Nuevo, 82 Resta, 49 Menú Archivo Suma, 49 Abre, 82 Locus, 36 Menú Archivo Herramienta, 36 Guarda, 82 logaritmo, 47 Menú Archivo Logaritmo Guarda Como, 82 base 10, Entrada Directa, 47 Menú Archivo base 2, Entrada Directa, 47 Previsualiza Impresión, 83 natural, Entrada Directa, 47 Menú Archivo Longitud Exporta Comando, 55 Hoja Dinámica como Página‐Web (html), 83 Distancia o Longitud, Herramienta, 35 Menú Archivo Longitud de Lista, comando, 73 Exporta Longitud, Comando, 66 Vista Gráfica Longitud, Herramienta, 35 como Imagen (png, eps), 83 107   
Menú Archivo Idioma, 89 Exporta Menú Opciones Vista Gráfica a Portapapeles, 84 Vista Gráfica, 89 Menú Archivo Menú Opciones Exporta Guardar Configuración, 89 Vista Gráfica como PSTricks, 84 Menú Opciones Menú Archivo Restablecer la Configuración Original, 90 Exporta Menú Ventana, 91 Vista Gráfica como PGF/TikZ, 84 Nueva Ventana, 91 Menú Archivo Menú Vista, 86 Cierra, 84 Actualiza Vistas, 87 Menú Ayuda, 91 Barra de Entrada, 87 Menú Contextual, 18 Barra de Navegación, 87 Activa Rastro, 102 Cuadrícula, 86 Borra, 18 Cuadrícula de Coordenadas, 86 Copia en Campo de Entrada, 19 División Horizontal, 87 Rastro Activo, 18 Ejes, 86 Renombra, 18 Ejes de Coordenadas, 86 Menú de Ayuda Lista de Comandos, 87 Foro GeoGebra, 91 Objeto Auxiliar, 87 Menú de Ayuda Protocolo de Construcción, 87 www.geogebra.org, 91 Recálculo de Todos los Objetos, 87 Menú de Ayuda Vista Algebraica, 86 GeoGebraWiki, 92 Menú Vsta Menú de Ayuda Vista de Hoja de Cálculos, 86 Acerca de GeoGebra / Licencia, 92 Mín, comando, 56, 73 Menú de Ayuda Mínimo Común Múltiplo, comando, 55 Licencia, 92 Mínimo de Lista, comando, 73 Menú de Herramientas Mínimo, comando, 56 Personalizar Barra de Herramientas, 90 Mod, comando, 56 Menú Edita Modo, comando, 79 Borra, 85 Caja de Diálogo de Propiedades, 86 Deshace, 84 N Exporta Vista Gráfica al Portapapeles, 86 Nombrando Objetos, 41 Rehace, 85 Nombre Selecciona Ascendientes, 85 Comando, 69 Selecciona Descendientes, 85 de función, 41 Selecciona la Capa Activa, 85 de Punto, 41 Selecciona Todo, 85 de recta, 41 Menú Herramientas, 90 de sección cónica, 41 Creación de Nueva Herramienta, 90 de vector, 41 Gestión de Herramientas, 90 Inserta en la Barra de Entrada, 42 Menú Opciones Punto, 44 Continuidad, 88 Recta, 45 Menú Opciones, 88 Sección cónica, 45 Atracción de Punto a Cuadrícula, 88 Vector, 44 Cifras Significativas, 88 Nombre de Celda, 15 Lugares Decimales, 88 Normal, comando, 79 Redondeo, 88 NormalInversa Unidad Angular, 88 Comando, 78 Menú Opciones NormalInversa, comando, 78 Estilo de Punto, 88 Nueva Ventana Menú Opciones Menú, 82 Tamaño de Casilla de Control, 88 Menú Ventana, 91 Menú Opciones Nuevo Estilo de Angulo Recto, 89 Menú, 82 Menú Opciones Nuevo Punto,Herramienta, 28 Estilo de Coordenadas, 89 Número Menú Opciones Entrada Directa, 43 Rotulado, 89 Nombre, 43 Menú Opciones Valor Limitado, 44 Tamaño de Letra, 89 NúmeroCombinatorio, comando, 53 Menú Opciones Números, 43 108   
Números Aleatorios, Nuevos, 87 Menú, 88 Números Complejos Opciones, Cambio, 21 Entrada Directa, 51 Operaciones Aritméticas, 46 Multiplicación, 51 Ordena, comando, 74 Operaciones, 51 Resta, 51 Suma, 51 P Página Web Interactiva O Exporta, 23 Parábola Objeto Comando, 64 Estilo de Trazo, 18 Parábola, Herramienta, 33 Objeto Parámetro, comando, 56 Medida, 18 Paréntesis, Entrada Directa, 47 Objeto Auxiliar, 14 Paso de Construcción Objeto Dependiente, 14 Barra de Navegación, 19 Objeto Libre, 14 Protocolo de Construcción, 19 Sombreado, 18 PasoConstrucción Objeto Comando, 52 Grosor de Trazo, 18 PasoEje, comando, 53 Objeto Pausa animación, 92 Visibilidad, 18 Pendiente Objeto Comando, 57 notación Algebraica, 18 Perímetro, comando, 56 Objeto PerímetroCónica, comando, 54 Renombra, 18 Personalizar Objeto Barra de Herramientas, 90 Borra, 18 Personalizar Barra de Herramientas, 17 Objeto Personalizar Interfaz de Uso, 16 Rastro Activo, 18 Personalizar Vista Gráfica, 16 Objeto PGF/TikZ Animación Automática, 18 Exporta PGF/TikZ, Menú Archivo, 84 Objeto Formato, 84 Copia en Campo de Entrada, 19 Pi Objeto Constante, 43 Selecciona, 25 Símbolo, 35, 43 Objeto Piso, Entrada Directa, 48 Selección de varios objectos, 25 Polar Objeto Comando, 63 Renombrar rápidamente, 26 Polígono Objeto Comando, 61 Nombre, 41 Angulos, 58 Objeto Herramienta, 30 Edita, 42 Polígono Regular Objeto Herramienta, 30 Inserta Polinomio, comando, 65 Nombre en la Bara de Entrada, 42 PolinomioTaylor, comando, 66 Objeto Previsualiza Impresión Inserta Actualizar, 22 Valor en la Barra de Entrada, 42 Menú, 83 Objeto Primer Eje Inserta Comando, 62 Definición en la Barra de Entrada, 42 Primero, comando, 71 Objeto producto escalar, Entrada Directa, 46 Comando, 69 Producto, comando, 73 Objeto Auxiliar, 14 Producto, Entrada Directa, 46 Objeto Dependiente, 14 Propiedades de imagen, Posición, 39 Objeto Libre, 14 Protocolo, 19 Objeto, Expone / Oculta, 16 Protocolo de Construcción, 19 Objetos Exportar Protocolo de Construcción a Color, 21 Cambio de valores, 42 Imprime, 22 Objetos Auxiliares, 15 Menú Vista, 87 Menú Vista, 87 Modifcar, 20 Opciones Navegar, 20 109   
Protocolo de Construcción como Página‐Web, Exporta, Refleja Objeto en Recta, Herramienta, 36 20 Refleja Objeto por Punto, Herramienta, 37 Protocolo de Construcción, Cambio de Orden de los  Refleja Punto en Circunferencia, Herramienta, 37 Pasos, 20 Registra en Hoja de Cálculo Protocolo de Construcción, Columnas, 20, 22 Menú Contextual, 19 Protocolo de Construcción, Exporta, 20 Registra en Hoja de Cálculo, Herramienta, 27 Protocolo de Construcción, Inserta nuevo, Cambio, 20 Registra en Hoja de Cálculo, Menú Contextual, 19 Protocolo de Construcción, Punto de Ruptura, 20 Registra en Hoja de Cálculo, Opción, 19 Protocolo, Exporta, 20 Rehace, Menú Edita, 85 PSTricks Relación Exporta, Menú Archivo, 84 Comando, 52 Formato, 84 Herramienta, 27 Punto Renombra Comando, 59 Menú Contextual, 18 Entrada Directa, 44 Opción Rápida, 26 Nombre, 41, 44 Resta, Entrada Directa, 46 Punto de Ruptura, 20 Restablecer Punto Decimal, 43 Barra de Herramientas Original, 17 Punto Medio Configuración Original, 21 Punto Medio o Centro,Herramienta, 28 Configuración Original, Menú Opciones, 90 PuntoInflexión, comando, 58 Resto, comando, 56 PuntoMedio Rota Comando, 59 Comando, 75 Rota en torno a un Punto, Herramienta, 27 R Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado,  Herramienta, 37 Radianes, convierte a grados, 43 Rotulado Radio, comando, 56 Ajustes, 21 Raíz Rotulado, Menú Opciones, 89 Comando, 59 Rótulos, 100 Raíz cuadrada, Entrada Directa, 47 Expone  / Oculta, 100 Raíz cúbica, Entrada Directa, 47 Nombre y Valor, 100 RangoCelda, comando, 81 Subtítulo, 100 Rastro, 102 Activa Rastro, Menú Contextual, 102 Borra, 87 S Rastro Activo, Menú Contextual, 18 Sección cónica RazónDoble, comando, 54 Nombre, 41 RazónSimple Sección Cónica Comando, 53 Cónica, comando, 63 Recálculo de Todos los Objetos, Menú Vista, 87 Entrada Directa, 45 Recta Nombre, 45 Comando, 62 Sector Entrada Directa, 45 Comando, 68 Nombre, 41, 45 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos,  Perpendicular, comando, 62 Herramienta, 33 Perpendicular, Herramienta, 31 SectorCircular, comando, 67 Recta que pasa por Dos Puntos, Herramienta, 31 Sector Circumcircular Recta Paralela, Herramienta, 31 Sector dados Tres Puntos de su Arco, Herramienta, Recta Perpendicular 34 Herramienta, 31 SectorCircumcircular, comando, 67 Recta Polar, Herramienta, 31 Sectores, 33 Rectángulo de Exportación, 22 Secuencia Rectángulo de Selección, 25 Comando, 73 Rectas Segmento Comandos, 61 Comando, 61 Redefine, 101 Segmento dados Punto Extremo y Longitud,  Objeto fijo, 102 Herramienta, 29 Redondeo Segmento entre Dos Puntos, Herramienta, 29 Entrada Directa, 48 Segmento, Comandos, 61 Menú Opciones, 88 Selecciona Refleja Selecciona Ascendientes, Menú Edita, 85 Comando, 75 Objeto, 25 Refleja Selecciona Descendientes, Menú Edita, 85 110   
Selecciona la Capa Activa, Menú Edita, 85 Texto Dinámico, 38 Selecciona Todo, Menú Edita, 85 Texto Estático, 37 Seleccionar Texto Mixto, 38 Varios Objetos, 25 TextoDeCódigo, comando, 70 Semicircunferencia TextoFracción, comando, 68 Comando, 68 Transformaciones Geométricas Herramienta, 34 Herramientas, 36 SemiFocal, comando, 55 Transformaciones Geométricas, Herramientas, 36 Semirrecta Transformaciones, Herramientas, 36 Herramienta, 30 Transparencia de imagen, 40 Semirrecta que pasa por Dos Puntos, Herramienta, 30 Traslada Semirrecta, Comando, 61 Comando, 76 Seno, Entrada Directa, 47 Traslada Objeto por un Vector, Herramienta, 37 Si Traspone, comando, 81 Comando, 53, 64 Trazo Función condicional, 64 Grosor de Trazo, Caja de Diálogo de Propìedades, 18 Sigma SigmaXX, comando, 79 SigmaXY, comando, 79 U SigmaYY, comando, 79 Ultimo, comando, 72 Signo, Entrada Directa, 47 Unidad Angular Simplifica Ajustes, 21 Polinomio, 65 Menú Opciones, 88 Simplifica Unidad Imaginaria, 51 Comando, 66 Unión, comando, 74 Sombreado, Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Subtítulo, 100 Nombre, 100 V Nombre y Valor, 100 Valor Rótulo, 100 Inserta en la Barra de entrada, 42 Suma, comando, 74 Valor Absoluto, , Entrada Directa, 47 Suma, Entrada Directa, 46 Valores SumaInferior, comando, 56 Cambio, 42 SumaSuperior, comando, 57 Varianza, comando, 80 SumaTrapezoidal, comando, 57 Vector Sxx, comando, 80 Comando, 60 Sxy, comando, 80 Entrada Directa, 44 Syy, comando, 80 Nombre, 41, 44 Vector desde un Punto, Herramienta, 29 T Vector entre Dos Puntos, Herramienta, 29 VectorPerpendicular, comando, 60 TablaTexto, comando, 69 VectorCurvatura, comando, 60 Tamaño de Casilla de Control, Ajustes, 21 VectorPerpendicular, Comando, 60 Tamaño de Letra VectorUnitario, comando, 60 Aumentar, 21 VectorUnitarioPerpendicular, Comando, 60 Menú Opciones, 89 Vértice, comando, 60 Tangente Visibilidad Comando, 63, 66 Condicional, 93 Herramienta, 31 Visibilidad Condicional, 93, 94 Tangente antihiperbólica Nuevos Objetos, 94 Tangente antihiperbólica, Entrada Directa, 47 Objetos Existentes, 93 Tangente, Entrada Directa, 47 Visibilidad, Propiedades, 18 Teclas de Atajo, 97 Visibilitdad Teclas flecha, Animación, 93 Propìedades, 18 Teclas‐Flecha, 44 Vista Algebraica, 14 Techo, Entrada Directa, 48 Expone/Oculta, Menú Vista, 86 Texto Modificar objetos, 15 Comando, 69 Vista de Hoja de Cálculo, 15 Comandos, 68 Entrada a una Celda, 15 Fórmula, 38 Nombre de Celda, 15 Inserta Texto, Herramienta, 37 Vista de Hoja de Cálculos Texto Dinámico, 38 Menú Vista, 86 Texto Estático, 37 Vista Gráfica Texto Mixto, 38 Personalizar, 16 111   
Vista Gráfica, 13 Vistas Vista Gráfica Vista Algebraica, 14 Zoom, 16 Vista de Hoja de Cálculo, 15 Vista Gráfica Vista Gráfica, 13 Actualizar Previsualiza Impresión, 22 Vista Gráfica Crea imágenes, 22 W Vista Gráfica www.geogebra.org, Ayuda en Línea, 91 Exporta a escala, 23 Vista Gráfica Entrada Geométrica, 25 Z Vista Gráfica Zoom, 16 Exporta al Portapapeles, Menú Edita, 86 Centro del Zoom, 16 Vista Gráfica a Portapapeles, Exporta, 23 Zoom de Acercamiento, Herramienta, 28 Vista Gráfica, Exporta como Imagen, 22 Zoom de Alejamiento, herramienta, 28 Vista Gráfica, Imprime, 22 Zoom Rectangular, 16 Vista Gráfica, Menú Opciones, 89   112   

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  • 3. Índice General Documento de Ayuda de GeoGebra .......................................................................... 1 Búsqueda de Ayuda en GeoGebra................................................................................... 2 Índice General .............................................................................................................. 3 1. ¿Qué es GeoGebra? ................................................................................................. 13 1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos ........................................................ 13 1.1.1 Vista Gráfica ................................................................................................ 13 1.1.2 Vista Algebraica ........................................................................................... 14 1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo ............................................................................... 15 1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas........................................ 15 1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso .................................................................. 15 Exponiendo y Ocultando Objetos................................................................................. 15 Personalizar la Vista Gráfica......................................................................................... 16 Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula........................................................... 16 Personalizando la Barra de Herramientas.................................................................... 17 1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades ................................................................ 17 1.2.3 Usando el Menú Contextual .......................................................................... 18 1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación ..................................................... 18 1.3.1 Usando la Barra de Navegación ..................................................................... 18 1.3.2 El Protocolo de Construcción ........................................................................ 19 Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción............................................ 19 Exportando el Protocolo de Construcción como Página‐Web ..................................... 19 1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra ........................................................... 20 1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor ................................................................ 20 1.4.1 Imprimiendo Opciones ................................................................................. 20 Imprimiendo la Vista Gráfica ........................................................................................ 20 Imprimiendo el Protocolo de Construcción ................................................................. 21 1.4.2 Creando Imágenes de la ............................................................................... 21 Guardando la Vista Gráfica como Imagen ................................................................... 21 Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles ................................................................... 21 1.4.3 Creando Páginas Web interactivas ................................................................. 22 2. Entrada Geométrica ................................................................................................. 24 2.1 Anotaciones Generales ....................................................................................... 24 2.2 Herramientas de Construcción ............................................................................ 24 Seleccionado Objetos ................................................................................................... 24 Renombrar Objetos Rápidamente ............................................................................... 25 2.2.1 Herramientas Generales ............................................................................... 25  Copia Estilo Visual................................................................................................ 25  Borra Objeto ........................................................................................................ 25  Elige y Mueve ...................................................................................................... 25 3   
  • 4.  Desplaza Área Gráfica.......................................................................................... 25  Registra en Hoja de Cálculo ................................................................................. 26  Relación ............................................................................................................... 26  Rota en torno a un Punto .................................................................................... 26  Expone / Oculta Rótulo ....................................................................................... 26  Expone / Oculta Objeto ....................................................................................... 26  Zoom de Acercamiento ....................................................................................... 26  Zoom de Alejamiento .......................................................................................... 26 2.2.2 Herramientas de Puntos ............................................................................... 27  Intersección de Dos Objetos................................................................................ 27  Punto Medio o Centro ......................................................................................... 27  Nuevo Punto ........................................................................................................ 27 2.2.3 Herramientas de Vectores ............................................................................ 27  Vector entre Dos Puntos ..................................................................................... 27  Vector desde un Punto ........................................................................................ 27 2.2.4 Herramientas de Segmentos ......................................................................... 28  Segmento entre Dos Puntos ................................................................................ 28  Segmento dados Punto Extremo y Longitud ....................................................... 28 2.2.5 Semirrecta .................................................................................................. 28  Semirrecta que pasa por Dos Puntos .................................................................. 28 2.2.6 Polígonos .................................................................................................... 28  Polígono ............................................................................................................... 28  Polígono Regular ................................................................................................. 28 2.2.7 Recta y sus Herramientas.............................................................................. 29  Bisectriz ............................................................................................................... 29  Recta que pasa por Dos Puntos ........................................................................... 29  Recta Paralela ...................................................................................................... 29  Mediatriz ............................................................................................................. 29 4   
  • 5.  Recta Perpendicular ............................................................................................ 29  Recta Polar o Diametral ....................................................................................... 29  Tangentes ............................................................................................................ 30 2.2.8 Secciones Cónicas ........................................................................................ 30  Circunferencia dados su Centro y Radio ............................................................. 30  Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos ......................................... 30  Circunferencia dados Tres de sus Puntos ............................................................ 30  Compás ................................................................................................................ 30  Cónica dados Cinco de sus Puntos ...................................................................... 30  Elipse .................................................................................................................... 31  Hipérbola ............................................................................................................. 31  Parábola ............................................................................................................... 31 2.2.9 Arcosy Sectores ........................................................................................... 31  Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos ................................... 31  Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos .................................................... 31  Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos .............................................. 31  Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco..................................................... 31  Semicircunferencia dados Dos Puntos ................................................................ 32 2.2.10 Números y Ángulos .................................................................................... 32  Angulo.................................................................................................................. 32  Angulo dada su Amplitud .................................................................................... 32  Área ..................................................................................................................... 32  Distancia o Longitud ............................................................................................ 32  Deslizador ............................................................................................................ 32  Pendiente ............................................................................................................ 33 2.2.11 Control Booleano ....................................................................................... 33  Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos ............................................. 33 5   
  • 6. 2.2.12 Lugar Geométrico ...................................................................................... 33  Locus o Lugar Geométrico ................................................................................... 33 2.2.13 Transformaciones Geométricas ................................................................... 34  Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala .......................................... 34  Refleja Objeto en Recta ....................................................................................... 34  Refleja Objeto por Punto ..................................................................................... 34  Refleja Punto en Circunferencia .......................................................................... 34  Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado ............................................. 34  Traslada Objeto por un Vector ............................................................................ 34 2.2.14 Texto ........................................................................................................ 35  Inserta Texto ........................................................................................................ 35 Texto Dinámico............................................................................................................. 35 Fórmulas LaTeX ............................................................................................................ 36 2.2.15 Imágenes .................................................................................................. 36  Inserta imagen ..................................................................................................... 36 Propiedades de las Imágenes ....................................................................................... 37 Imagen de Fondo .......................................................................................................... 38 3. Entrada Algebraica................................................................................................... 39 3.1 Anotaciones Generales ....................................................................................... 39 Nombrando Objetos ..................................................................................................... 39 Cambio de Valores ....................................................................................................... 39 Exponer la Historia de la Barra de Entrada .................................................................. 40 Copia el Nombre, el Valor o la Definición de un Objeto en  la Barra de Entrada ........ 40 3.2 Entrada Directa .................................................................................................. 41 3.2.1 Números y Ángulos ...................................................................................... 41 Números ....................................................................................................................... 41 Ángulos ......................................................................................................................... 41 Deslizadores  y Teclas‐Flecha ....................................................................................... 41 Valor Limitado a un Intervalo ....................................................................................... 42 3.2.2 Puntos y Vectores ........................................................................................ 42 3.2.3 Rectas y Ejes ................................................................................................ 42 Rectas ........................................................................................................................... 42 Ejes ............................................................................................................................... 43 3.2.4 Secciones Cónicas ........................................................................................ 43 3.2.5 Función de x ................................................................................................ 43 Función Limitada a un Intervalo ................................................................................... 44 3.2.6 Funciones Pre‐Definidas y Operaciones .......................................................... 44 3.2.7 Variables Booleanas y Operaciones................................................................ 46 Casilla a Tildar y Teclas Flecha ...................................................................................... 46 6   
  • 7. Operaciones Booleanas ................................................................................................ 46 3.2.8 Lista de Objetos y de Operaciones ................................................................. 47 Comparar Listas de Objetos ......................................................................................... 47 Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas ............................................................... 47 3.2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices ....................................... 48 Operaciones con Matrices............................................................................................ 48 3.2.10 Números Complejos y Operaciones.............................................................. 48 3.3 Comandos ......................................................................................................... 49 Nombres de Comandos Completados Automáticamente ........................................... 49 3.3.1 Comandos Generales ................................................................................... 50 PasoConstrucción ......................................................................................................... 50 Borra ............................................................................................................................. 50 Relación ........................................................................................................................ 50 3.3.2 Comando Booleano ...................................................................................... 50 Si ................................................................................................................................... 50 Definido ........................................................................................................................ 50 EsEntero ....................................................................................................................... 50 3.3.3 Números ..................................................................................................... 50 RazónSimple ................................................................................................................. 50 Area .............................................................................................................................. 51 PasoEje ......................................................................................................................... 51 NúmeroCombinatorio .................................................................................................. 51 PerímetroCónica........................................................................................................... 51 RazónDoble .................................................................................................................. 51 Curvatura ...................................................................................................................... 51 Distancia ....................................................................................................................... 51 MCD .............................................................................................................................. 52 Cociente Entero ............................................................................................................ 52 Integral ......................................................................................................................... 52 Iteración ....................................................................................................................... 52 MCM ............................................................................................................................. 52 Longitud ........................................................................................................................ 52 SemiFocal ..................................................................................................................... 53 SumaInferior ................................................................................................................. 53 Mínimo y Máximo ........................................................................................................ 53 Función Módulo o Resto .............................................................................................. 53 Parámetro..................................................................................................................... 53 Perímetro ..................................................................................................................... 53 Radio ............................................................................................................................. 53 Comandos Aleatorios ................................................................................................... 54 LongitudSemiejePrincipal ............................................................................................. 54 LongitudSemiejeSecundario......................................................................................... 54 Pendiente ..................................................................................................................... 54 SumaTrapezoidal .......................................................................................................... 54 SumaSuperior ............................................................................................................... 54 3.3.4 Ángulo ........................................................................................................ 54 Ángulo .......................................................................................................................... 54 7   
  • 8. 3.3.5 Puntos ........................................................................................................ 55 Centro ........................................................................................................................... 55 Centroide ...................................................................................................................... 55 Esquina ......................................................................................................................... 55 Extremo ........................................................................................................................ 55 Foco .............................................................................................................................. 56 PuntoInflexión .............................................................................................................. 56 Interseca ....................................................................................................................... 56 PuntoMedio .................................................................................................................. 56 Punto ............................................................................................................................ 56 Raíz ............................................................................................................................... 57 Vértice .......................................................................................................................... 57 3.3.6 Vectores ..................................................................................................... 57 Vector Curvatura .......................................................................................................... 57 Dirección....................................................................................................................... 57 VectorPerpendicular .................................................................................................... 57 VectorUnitarioPerpendicular ....................................................................................... 57 VectorUnitario .............................................................................................................. 57 Vector ........................................................................................................................... 58 3.3.7 Segmentos .................................................................................................. 58 Segmento ..................................................................................................................... 58 3.3.8 Semirrectas ................................................................................................. 58 Semirrecta .................................................................................................................... 58 3.3.9 Polígonos .................................................................................................... 58 Polígono ........................................................................................................................ 58 3.3.10 Rectas ....................................................................................................... 58 Bisectriz ........................................................................................................................ 58 Asíntota ........................................................................................................................ 59 Ejes ............................................................................................................................... 59 DiámetroConjugado ..................................................................................................... 59 Diámetro....................................................................................................................... 59 Directriz ........................................................................................................................ 59 Recta ............................................................................................................................. 59 EjePrincipal ................................................................................................................... 59 EjeSecundario ............................................................................................................... 59 Perpendicular ............................................................................................................... 59 Mediatriz ...................................................................................................................... 60 Polar ............................................................................................................................. 60 Tangente....................................................................................................................... 60 3.3.11 Secciones Cónicas ...................................................................................... 60 Circunferencia .............................................................................................................. 60 Cónica ........................................................................................................................... 60 Elipse ............................................................................................................................ 61 Hipérbola ...................................................................................................................... 61 CírculoOsculador .......................................................................................................... 61 Parábola........................................................................................................................ 61 8   
  • 9. 3.3.12 Funciones .................................................................................................. 61 Funciones Condicionales .............................................................................................. 61 Derivada ....................................................................................................................... 62 Desarrolla ..................................................................................................................... 62 Factoriza ....................................................................................................................... 62 Función ......................................................................................................................... 62 Integral ......................................................................................................................... 62 Polinomio ..................................................................................................................... 62 Simplifica ...................................................................................................................... 62 PolinomioTaylor ........................................................................................................... 63 3.3.13 Curvas Paramétricas ................................................................................... 63 Curva............................................................................................................................. 63 Comandos para curvas paramétricas ........................................................................... 63 3.3.14 Arcos y Sectores ......................................................................................... 63 Arco .............................................................................................................................. 63 ArcoCircunferencia ....................................................................................................... 64 SectorCircular ............................................................................................................... 64 ArcoCircuncircular ........................................................................................................ 64 SectorCircumcircular .................................................................................................... 64 Sector............................................................................................................................ 64 Semicircunferencia ....................................................................................................... 65 3.3.15 Texto ........................................................................................................ 65 LaTeX ............................................................................................................................ 65 TextoFracción ............................................................................................................... 65 CódigoDeLetra .............................................................................................................. 65 Nombre......................................................................................................................... 65 Objeto ........................................................................................................................... 65 TablaTexto .................................................................................................................... 66 Texto ............................................................................................................................. 66 CódigoDeTexto ............................................................................................................. 67 LetraDeCódigo .............................................................................................................. 67 TextoDeCódigo ............................................................................................................. 67 3.3.16 Lugar Geométrico ...................................................................................... 67 Locus ‐‐ LugarGeométrico ............................................................................................ 67 3.3.17 Listas y Secuencias ..................................................................................... 67 Anexa ............................................................................................................................ 67 CuentaSi........................................................................................................................ 68 Elemento ...................................................................................................................... 68 Primero ......................................................................................................................... 68 Intercala........................................................................................................................ 68 Intersección .................................................................................................................. 68 ListaIteración ................................................................................................................ 69 Encadena ...................................................................................................................... 69 ConservaSi .................................................................................................................... 69 Ultimo ........................................................................................................................... 69 Longitud ........................................................................................................................ 69 Mínimo ......................................................................................................................... 69 Máximo......................................................................................................................... 69 9   
  • 10. Producto ....................................................................................................................... 70 EliminaIndefinidos ........................................................................................................ 70 ListaInversa ................................................................................................................... 70 Secuencia ...................................................................................................................... 70 Ordena .......................................................................................................................... 70 Suma ............................................................................................................................. 70 Extrae............................................................................................................................ 71 Unión ............................................................................................................................ 71 3.3.18 Transformaciones Geométricas ................................................................... 71 Homotecia .................................................................................................................... 71 Refleja ........................................................................................................................... 71 Rota .............................................................................................................................. 72 Traslada ........................................................................................................................ 72 3.3.19 Comandos Estadísticos ............................................................................... 73 Barras............................................................................................................................ 73 DiagramaCaja ............................................................................................................... 74 CPearson....................................................................................................................... 74 Covarianza .................................................................................................................... 74 AjusteLineal .................................................................................................................. 74 Otros Comandos de Ajuste........................................................................................... 74 Histograma ................................................................................................................... 75 NormalInversa .............................................................................................................. 75 Comandos de Media .................................................................................................... 75 Mediana........................................................................................................................ 75 Moda ............................................................................................................................ 75 Normal .......................................................................................................................... 75 Comandos Cuatri .......................................................................................................... 76 DE ................................................................................................................................. 76 Comandos Sigma .......................................................................................................... 76 Comandos para Cantidades Estadísticas ...................................................................... 76 Varianza ........................................................................................................................ 76 3.3.20 Comandos de Hoja de Cálculo ..................................................................... 78 RangoCelda ................................................................................................................... 78 Columna ....................................................................................................................... 78 NombreColumna .......................................................................................................... 78 Fila ................................................................................................................................ 78 3.3.21 Comandos de Matrices ............................................................................... 78 Determinante ............................................................................................................... 78 MatrizInversa................................................................................................................ 78 Traspone ....................................................................................................................... 78 4. Cada Menú: Ítem por Ítem ....................................................................................... 78 4.1 Menú Archivo .................................................................................................... 79  Nueva Ventana......................................................................................................... 79 Nuevo ........................................................................................................................... 79  Abre… ...................................................................................................................... 79  Guarda...................................................................................................................... 79 Guarda Como… ............................................................................................................. 79 10   
  • 11.  Previsualiza Impresión ............................................................................................. 79 Exporta ‐   Hoja Dinámica como Página Web (html)… .............................................. 80 Exporta ‐   Vista Gráfica como Imagen (png, eps)… .................................................. 80 Exporta ‐   Vista Gráfica al Portapapeles ................................................................... 80 Exporta ‐ Vista Gráfica como PSTricks… ....................................................................... 81 Exporta ‐ Vista Gráfica como PGF/Tik…… ..................................................................... 81  Cierra ....................................................................................................................... 81 4.2 Menú Edita ........................................................................................................ 81  Deshace ................................................................................................................... 81  Rehace ..................................................................................................................... 81  Borra ........................................................................................................................ 81 Selecciona Todo............................................................................................................ 82 Selecciona la Capa Activa ............................................................................................. 82 Selecciona Descendientes ............................................................................................ 82 Selecciona Ascendientes .............................................................................................. 82  Copia Vista Gráfica al Portapapeles ......................................................................... 82  Propiedades… .......................................................................................................... 82 4.3 Menú Vista ........................................................................................................ 82  Ejes........................................................................................................................... 82  Cuadrícula ................................................................................................................ 83 Vista Algebraica ............................................................................................................ 83 Vista de Hoja de Cálculos ............................................................................................. 83 Objetos Auxiliares......................................................................................................... 83 División Horizontal ....................................................................................................... 83 Barra de Entrada .......................................................................................................... 83 Lista de Comandos ....................................................................................................... 83  Protocolo de Construcción… ................................................................................... 83 Barra de Navegación por Pasos de Construcción ........................................................ 83  Actualiza Vistas ........................................................................................................ 83 Recálculo de Todos los Objetos.................................................................................... 84 4.4 Menú Opciones.................................................................................................. 85  Atracción de Punto a Cuadrícula ............................................................................. 85  Unidad Angular ........................................................................................................ 85 Redondeo ..................................................................................................................... 85 Continuidad .................................................................................................................. 85  Estilo de Punto......................................................................................................... 85  Tamaño de Casilla de Control.................................................................................. 85  Estilo de Angulo Recto ............................................................................................. 85 Coordenadas ................................................................................................................ 86  Rotulado .................................................................................................................. 86  Tamaño de Letra...................................................................................................... 86  Idioma ...................................................................................................................... 86  Vista Gráfica ............................................................................................................ 86  Guardar Configuración ............................................................................................. 86 Restablecer la Configuración Original .......................................................................... 86 11   
  • 12. 4.5 Menú Herramientas ........................................................................................... 86  Creación de Herramienta Nueva… .......................................................................... 86  Gestión de Herramientas… ..................................................................................... 87 Personalizar la Barra de Herramientas… ...................................................................... 87 4.6 Menú Ventana ................................................................................................... 87  Nueva Ventana......................................................................................................... 87 Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra .................................................................... 87 4.7 Menú Ayuda ...................................................................................................... 88  Ayuda ....................................................................................................................... 88  www.geogebra.org .................................................................................................. 88 Foro GeoGebra ‐ GeoGebra Forum ........................................................................ 88  GeogebraWiki .......................................................................................................... 88  Acerca de GeoGebra / Licencia ............................................................................... 88 5. Características Especiales de GeoGebra ..................................................................... 88 5.1 Animación ......................................................................................................... 89 5.1.1 Animación Automática ................................................................................. 89 5.1.2 Animación Manual ....................................................................................... 89 5.2 Visibilidad Condicional ........................................................................................ 90 Condicionalidad para Exponer u Ocultar Objetos Existentes ...................................... 90 Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes .............................................. 90 Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados.................................................. 90 5.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos .......................................................... 91 Creando Herramientas ................................................................................................. 91 Guardando la Herramienta Definida ............................................................................ 91 Acceso a la Herramienta Definida ................................................................................ 92 5.4 Colores Dinámicos .............................................................................................. 92 5.5 Interfaz de JavaScript.......................................................................................... 93 5.6 Teclas de Atajo................................................................................................... 93 5.7 Rótulos y Subtítulo ............................................................................................. 96 Expone y Oculta Rótulos .............................................................................................. 96 Nombre y Valor ............................................................................................................ 96 Subtítulo ....................................................................................................................... 97 5.8 Capas ................................................................................................................ 97 5.9 Redefine............................................................................................................ 97 5.10 Rastro y Lugar Geométrico ................................................................................ 98 Índice Alfabético ....................................................................................................... 100   12   
  • 13. 1.  ¿Qué es GeoGebra?  GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría,  álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de  desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar.  1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos  GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una Vista Gráfica,  una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad  permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como  en  el  caso  de  puntos,  gráficos  de  funciones),  algebraica  (como  coordenadas  de  puntos,  ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del mismo objeto se  vincula  dinámicamente  a  las  demás  en  una  adaptación  automática  y  recíproca  que  asimila  los  cambios  producidos  en  cualquiera  de  ellas,  más  allá  de  cuál  fuera  la  que  lo  creara  originalmente.    Barra de Herramientas  Ayuda  de  la  Barra  de  Herramientas Vista Algebraica  Vista  de  Hoja  de Cálculo  Vista Gráfica Barra de Entrada   1.1.1 Vista Gráfica  Con  el  ratón  o  mouse1,    empleando    las  herramientas  de  construcción  disponibles  en  la  Barra de Herramientas, pueden realizarse construcciones geométricas en la Vista Gráfica.   1  La palabra “ratón” refiere al mouse (tal como se lo denomina, conservando el inglés, en varias regiones de  habla hispana) y en este texto se empleará uno u otro término (o ambos), para identificar tal dispositivo.  13   
  • 14. Todo objeto creado en la Vista Gráfica, tiene también su correspondiente representación en  la Vista Algebraica.    Atención: Tras activar la herramienta que   Elige y Mueve se pueden desplazar objetos en  la  Vista  Gráfica,  arrastrándolos  con  el  ratón  o  mouse.  Simultáneamente,  las  representaciones algebraicas se actualizan dinámicamente en la Vista Algebraica.    Basta con elegir alguna herramienta de construcción de la Barra de Herramientas y seguir las  indicaciones  de  la  Ayuda  de  la  Barra  de  Herramientas  (a  continuación  de  la  Barra  de  Herramientas) para averiguar cómo usarla.     Atención:  Si  el  nombre  de  la  herramienta  y/o  la  explicación  de  su  empleo  fueran  demasiado extensos, sólo aparecerá en el extremo derecho de la Barra, el nombre en  cuestión.  La  explicación  de  su  empleo,  se  podrá  leer  en  el  cuadrito  emergente  al  pasar con el ratón o mouse por encima de la herramienta activa.     Cada ícono de la barra, representa una caja de herramientas  que contiene una selección de  útiles similares, que se despliegan con un clic sobre la flechita del vértice inferior derecho del  recuadro del ícono.     Ojo:  Las  herramientas  se  organizan  según  su  función  o  la  índole  de  objeto  resultante.  A  la  Caja  de  Herramientas  de  Puntos  (el  ícono  por  omisión  es  )  se  recurre  para  diversas  creaciones de diferentes puntos y las que aplican transformaciones geométricas se agrupan  en la  Caja de Herramienta de Transformación (su ícono por omisión es  ).  1.1.2 Vista Algebraica   Desde  la  Barra  de  Entrada  de  GeoGebra  pueden  ingresarse  directamente    expresiones  algebraicas. Después de pulsar la tecla Enter, lo ingresado aparece en la Vista Algebraica y,  automáticamente, su representación gráfica en la Vista Gráfica. Por ejemplo, al ingresar  f(x)  = x^2 aparece la función cuadrática en la Vista Algebraica y el gráfico de la parábola en la  Vista Gráfica.    En la Vista Algebraica, se distinguen los objetos matemáticos libres de los dependientes. Es  libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya existentes y, viceversa, será  dependiente, el que derivara de alguno previo.    Atención: Para que en la Vista Algebraica no aparezca la representación de un objeto, basta  con establecerlo como Objeto Auxiliar: un clic derecho (en MacOS: Ctrl‐clic) sobre el objeto  correspondiente  de  la  Vista  Algebraica,  permite  seleccionar  ‘Propiedades’  en  el  Menú  Contextual desplegado  para  designarlo  Objeto Auxiliar  en  la  pestaña  ‘Básico’  de  la  Caja  de  Diálogo de Propiedades.    Por omisión, los objetos auxiliares no aparecen en la Vista Algebraica pero es posible revertir  este comportamiento, tildando Objetos Auxiliares en el Menú Vista.     Es  posible,  además,  modificar  los  objetos  en  la  Vista  Algebraica:  hay  que  controlar  que  la  herramienta  que   Elige  y  Mueve  esté  activada  antes  de  hacer  doble  clic  sobre  un  objeto  libre en la Vista Algebraica. En la caja de texto emergente, se puede editar directamente la  14   
  • 15. representación  algebraica  del  objeto.  Después  de  pulsar  la  tecla  Enter,  la  representación  gráfica del objeto se ajustará automáticamente a los cambios efectuados.  Un  doble  clic  sobre  un  objeto  dependiente  de  la  Vista  Algebraica,  despliega  una  caja  de  diálogo en la que se lo Redefine.     GeoGebra  ofrece  también  una  amplia  gama  de  comandos  que  se  pueden  ingresar  en  la  Barra de Entrada.   La lista de Comandos, disponible en la esquina derecha de la Barra de Entrada, se despliega  con un clic sobre la flechita en el vértice inferior derecho del botón Comando. Después de  seleccionar  el  comando  de  la  lista  (o  de  anotar  su  nombre  directamente  en  el  Campo  de  Entrada),  aparece  información  sobre  su  sintaxis  y  ayuda  sobre  los  datos  necesarios  para  aplicarlo, al pulsar la tecla F1  1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo  Cada celda de la Vista de Hoja de Cálculo de GeoGebra tiene una denominación específica  que permite dirigirse a cada una. Por ejemplo, la celda en la fila 1 de la columna A se llama  A1.   Atención: El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a su  contenido.    En las celdas de una hoja de cálculo, pueden ingresarse tanto números como cualquier otro  tipo de objeto matemático tratado por GeoGebra (sean coordenadas de puntos, funciones,  comandos).  Cuando  corresponde,  también  aparece  de  inmediato,    en  la  Vista  Gráfica,  la  representación del objeto ingresado en la celda, cuyo nombre coincide con el de la celda de  la hoja de cálculo a partir de la cual fue creado (por ejemplo: A5, C1, D3, etc.).    Atención: Por omisión, quedan establecidos como Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica,  los  creados  en  una  hoja  de  cálculo.  Aparecerán  o  no  según  Objetos  Auxiliares  esté  o  no  tildado en el menú Vista.  1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas  1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso  Para  personalizar  la  interfaz  de  uso  de  GeoGebra,  desde  el  Menú  Vista,  se  decide  qué  diferentes partes mostrar o ocultar, según se tilde o no, por ejemplo, la Vista Algebraica, la  Vista de Hoja de Cálculo o Barra de Entrada.  Exponiendo y Ocultando Objetos  Se pueden exponer u ocultar objetos en la Vista Gráfica de diferentes maneras:   • Empleando la herramienta   Expone / Oculta Objeto para operar en tal sentido.  • Abriendo el Menú Contextual y seleccionando el ítem   Expone Objeto para cambiar  el estado de visibilidad del objeto seleccionado.   15   
  • 16. • En la Vista Algebraica, el ícono a la izquierda de cada objeto expone su estado de  visibilidad actual (  ‘expuesto’ o   ‘oculto’). Un clic sobre el ícono redondito  cambia el estado de visibilidad de un objeto.  • Empleando la herramienta   Casilla para Exponer / Ocultar Objetos para operar de  tal modo sobre varios objetos.  Personalizar la Vista Gráfica    Para  ajustar  la  parte  visible  de  la  Vista  Gráfica,  su  fondo  puede  desplazarse  con  la  herramienta   Desplaza Vista Gráfica y, además, se puede acercar o alejar el punto de mira  (“zoom” mediante) de alguna de estas maneras:  • Con las herramientas   Zoom de Acercamiento y    Zoom de Alejamiento que dan  “zoom” en la Vista Gráfica  Nota: La posición del clic, determina el centro del “zoom”  • Con la rueda del mouse  o ratón se maneja el “zoom” en la Vista Gráfica (de  ampliación o reducción según el sentido de giro)  • Con las teclas de atajo se  realiza el “zoom” de acercamiento (Ctrl +) y el de  alejamiento (Ctrl ‐).  • Un clic derecho (MacOS: Ctrl ‐ clic) en una zona vacía de la Vista Gráfica despliega un  Menú Contextual que ofrece la opción de Zoom.  • Al encuadrar un Zoom Rectangular Se establece un extremo del área a enfocar en un  lugar vacío de la Vista Gráfica, con un clic derecho (MacOS: Cmd ‐ clic) que se  sostiene mientras se arrastra el ratón o mouse hasta soltarlo cuando se haya  establecido el marco de Zoom Rectangular deseado. La Vista Gráfica se ajustará  automáticamente a tal recuadro.    El  menú  Vista  permite  decidir  si  van  o  mostrarse  o  ocultarse  los  Ejes  Coordenados  y  la  Cuadrícula de Coordenadas en la Vista Gráfica.  Atención:  Otro  modo  de  mostrar  o  ocultar  los  ejes  y  la  cuadrícula  es  con  un  clic  derecho  (MacOS:  Ctrl‐clic)  sobre  el  fondo  de  la  Vista  Gráfica  y  seleccionado  los  ítems  correspondientes del Menú Contextual emergente     ‘Ejes’ o   ‘Cuadrícula’.  Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula  Con la Caja de Diálogo de Propiedades de la  Vista Gráfica, pueden personalizarse  los ejes de  coordenadas y la cuadrícula.  Después de un clic derecho, (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el fondo  de  la  Vista  Gráfica,  seleccionando  ‘Propiedades’  del  Menú  Contextual  emergente,  puede  abrirse la ventana de diálogo para establecer.  • En la pestaña ’Ejes’, por ejemplo, el estilo de trazo y las unidades de los ejes de  coordenadas,  así como el valor de la distancia entre las marcas de graduación. Es de  hacer notar que puede personalizarse cada eje individualmente, en las pestañas  correspondientes ‘EjeX’ y  ‘EjeY’. Además, también puede modificarse la relación   entre los ejes y ocultar o mostrar cada uno de ellos, por separado.  • En la pestaña Cuadrícula, se pueden modificar, por ejemplo, el color y estilo  de la  cuadrícula de coordenadas, y fijar la distancia entre las líneas de la cuadrícula  a un  valor determinado. Incluso, se puede establecer un trazado ‘Isométrico’ de la  cuadrícula.    16   
  • 17. Atención: En cualquier modo, se pueden escalar los ejes pulsando y sosteniendo la tecla Shift  (para PC: también tecla Ctrl) mientras se arrastran los ejes.    Atención:  La  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  la  Vista  Gráfica  es  diferente  a  la  Caja  de  Diálogo de Propiedades de los objetos.  Personalizando la Barra de Herramientas  La  Barra  de  Herramientas  puede  personalizarse  seleccionando  Personalizar  Barra  de  Herramientas del menú Herramientas. En la lista que aparece a la izquierda de la ventana de  diálogo,  se  selecciona  la  herramienta  o  caja  de  herramientas  que  se  desea  eliminar  de  la  Barra correspondiente y se pulsa sobre el botón ‘Eliminar >’.     Atención:  Se  puede  restablece  la  Barra  de  Herramientas  original  pulsando  sobre  el  botón  correspondiente  que  aparece  en  la  zona  inferior  izquierda  de  la  ventana  de  diálogo  ‘Restablecer Barra de Herramientas Original’.  1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades  La Caja de Diálogo de Propiedades permite modificar las propiedades de los objetos.  Como  su  medidael  color,  sombreado;  estilo  de  trazo,,  grosor  de  trazo,  visibilitdad).  visibilidad.     Se  puede  abrir  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  diferentes  maneras.  Por  ejemplo,  seleccionando…   • …   ‘Propiedades…’ del Menú Contextual que se despliega con un clic derecho  (MacOS: Ctrl ‐ clic) sobre un objeto.  • … el ítem   Propiedades del menú Edita.  • … la herramienta que   Elige y Mueve y dando doble clic sobre un objeto en la Vista  Gráfica para pulsar sobre el botón de ‘Propiedades…’ de la ventana emergente, la de  Redefine.      En  la  lista  que  vemos  a  la  izquierda  en  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades,  los  objetos  aparecen organizados según su tipo (por ejemplo: puntos, rectas, circunferencias) facilitando  la  selección  múltiple  para  el  cambio  de  propiedades.  Es  preciso  seleccionar  uno  o  más  objetos de la lista para cambiar sus propiedades.  Atención: Para seleccionar un conjunto de objetos del mismo tipo, basta con un clic sobre el  correspondiente encabezado (por ejemplo, ‘Punto’) para pasar a cambiar las propiedades de  ese conjunto.    Según el tipo de propiedades que se desee modificar de los objetos seleccionados, se elige la  correspondiente  pestaña    del  encabezado  del  recuadro  de  la  derecha  (sea    Básico,  Color,  Estilo, Avanzado).   Atención: Puede aparecer un juego de pestañas diferentes, acorde a la selección de objetos  realizada.    Cuando  se  completa  el  cambio  de  propiedades  de  los  objetos,  se  debe  cerrar  la  Caja  de  Diálogo de Propiedades.  17   
  • 18. 1.2.3 Usando el Menú Contextual  El  Menú  Contextual  proporciona  una  manera  ágil  de  modificar  el  comportamiento  o  las  propiedades  avanzadas  de  un  objeto.  Un  clic  derecho  (MacOS:  Ctrl‐clic)  sobre  un  objeto  despliega su Menú Contextual.   Así, para cambiar la notación algebraica de un objeto (por ejemplo, coordenadas polares o  cartesianas,  ecuación  implícita  o  explícita)  y  acceder  directamente  a  opciones  como    Renombra,   Borra,   Activa Rastro, Animación Automática.  O   Copia en Campo de Entrada.      Atención: Si estuviese activa la Vista de Hoja de Cálculo al desplegarse el Menú Contextual  de un punto en la Vista Gráfica, aparece la opción   Registra en Hoja de Cálculo que opera  registrando  en  la  Vista  de  Hoja  de  Cálculo  sus  sucesivas  coordenadas,  a  medida  que  se  lo  desplaza.    Atención: Al seleccionar   Propiedades… en el Menú Contextual se abre la Caja de Diálogo  de Propiedades, para definir o cambiar las de todos los objetos en juego.  1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación  1.3.1 Usando la Barra de Navegación  GeoGebra ofrece una Barra de Navegación que permite recorrer los pasos de construcción  del boceto elaborado.  Al seleccionar Barra de Navegación por Pasos de Construcción en el  Menú Vista, la Barra de Navegación aparece al pie de la Vista Gráfica.    La  Barra  de  Navegación  presenta  una  botonera  y  expone  el  número  de  Pasos  de  Construcción (por ejemplo., 2 / 7 significa que estamos frente al segundo de un total de siete  Pasos de Construcción):  •  es el botón para: ‘retroceder al paso inicial’  •  es el botón para: ‘retroceder paso a paso’  •  es el botón para: ‘avanzar paso a paso’  •  es el botón para: ‘avanzar hasta el ultimo paso’  •  ‘Reproduce’: ‘automáticamente ejecuta la construcción paso a paso  Atención: La caja de texto a la derecha del botón   ‘Reproduce’ permite establecer  la velocidad de ejecución automática.  •  ‘Pausa’: establece una ‘pausa en la ejecución automática’    Atención: Este botón sólo aparece durante una ejecución iniciada con ‘Reproduce’.  •  es el botón para abrir el Protocolo de Construcción.  18   
  • 19. 1.3.2 El Protocolo de Construcción  El  ítem  Protocolo  de  la  Construcción  del  Menú  Vista  da  acceso  a  una  tabla  interactiva  que  expone todos los Pasos de Construcción y permite rehacer el boceto realizado, paso a paso  usando  la  Barra  de  Navegación  que  aparece  al  pie  de  la  Caja  de  Diálogo  del  Protocolo  de  Construcción.   Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción  Puede usarse el teclado para navegar  por el Protocolo de Construcción:  • La ‘flecha ascendente’ ↑  del teclado lleva al paso de construcción previo.  • La ‘flecha descendente’ ↓ ‘del teclado lleva al siguiente paso de construcción.  • La tecla Home lleva al inicio del Protocolo de Construcción.  • La tecla End  lleva al final del Protocolo de Construcción.  • La tecla Borra elimina el paso de construcción seleccionado.  Atención: Esta acción puede afectar a otros objetos que dependen del eliminado y/o  del paso de construcción seleccionado.    Puede emplearse el ratón o mouse para navegar  por el Protocolo de Construcción:  • Doble clic sobre una fila para seleccionar un paso de construcción.  • Doble clic sobre el encabezado de una columna para ir al inicio del Protocolo de  Construcción.  • Arrastrar y soltar una fila para desplazar un paso de construcción a otra posición en el  Protocolo de Construcción.  Atención: Esto no siempre es posible debido a la dependencia entre los diferentes  objetos involucrados en cada paso.  • Clic derecho sobre una fila para abrir el Menú Contextual del objeto en esos paso de  construcción.    Atención: Pueden intercalarse Pasos de Construcción en cualquier posición, seleccionando el  paso  bajo  el  cual  se  quiera  insertar  el  nuevo.  Si  se  deja  la  Ventana  del  Protocolo  de  Construcción  abierta  mientras  se  crea  un  nuevo  objeto,  vemos  cómo  este  nuevo  paso  de  construcción  inmediatamente  se  intercala  en  la  posición  seleccionada  del  Protocolo  de  Construcción.    Para  que,  al  recorrer  la  construcción  desde  la  Barra  de  Navegación,  varios  objetos  se  expongan  en  simultáneo,  los  agrupamos  marcando  sus  correspondientes  Pasos  de  Construcción  como  ‘Puntos  de  Ruptura’.  La  columna  Punto  de  Ruptura  se  activa  desde  el  Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción.    Atención:  Se  pueden  /des)activar  las  diferentes  columnas  del  Protocolo  de  Construcción  (des)tildándolas en el Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción.   Exportando el Protocolo de Construcción como Página‐Web  Para exportar el Protocolo de Construcción como una página web, en primer lugar se debe  abrir el Protocolo de Construcción desde el Menú Vista y luego recurrir al ítem ‘Exporta como  Página Web (html)…’ del menú Archivo de la Ventana del Protocolo de Construcción.    19   
  • 20. En  la  Ventana  de  Exportación  del  Protocolo  de  Construcción  se  pueden  anotar  los  datos  correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’ y ‘Fecha’ de la construcción y elegir si se insertará o no  la  imagen  de  la  Vista  Gráfica  o  la  de  la  Vista  Algebraica  así  como  si  se  va  a  exportar  el  Protocolo  de  Construcción  a  Color’.  Esto  último  implica  que  el  color  de  los  objetos  en  el  protocolo de construcción coincidirá con el de los correspondientes del boceto.    Atención: El archivo2 HTML exportado puede verse con cualquier navegador de Internet (por  ejemplo.  Firefox,  Internet  Explorer)  y  editarse  con  diversos  sistemas  de  procesamiento  de  textos (por ejemplo. OpenOffice Writer).   1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra  GeoGebra permite cambiar y guardar los ajustes preferidos que se hubieran establecido en  el menú de Opciones. Por ejemplo, cambiar la Unidad Angular  de ‘Grados’ a ‘Radianes’, o el  Estilo de Punto,, Tamaño de Casilla de Control, y Estilo  del Angulo Recto.   Además, puede cambiarse el estilo de la notación de las Coordenadas  y decidir qué objetos  se van a rotular o el Rotulado.  Se profundiza esta información en la sección sobre el Menú de Opciones .    Se pueden guardar las opciones definidas, con el ítem   Guardar Configuración del Menú  de  Opciones  para  que  GeoGebra  establezca  tales  ajustes  de  uso  en  cada  nuevo  boceto  creado y archivado.  Atención:  Se  pueden  recuperar  las  opciones  por  omisión  originales,  seleccionando  el  ítem  Restablecer la Configuración Original del menú de Opciones.    Atención:  Cuando  se  emplea  GeoGebra  como  una  herramienta  de  presentación,  conviene  aumentar la medida de tipografía (ítem  Tamaño de Letra ‘del menú de Opciones) para que  se aprecien con facilidad los textos y los rótulos de los objetos.  1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor  1.4.1 Imprimiendo Opciones  Imprimiendo la Vista Gráfica  Para imprimir la Vista Gráfica de las construcciones, es conveniente recurrir en primer lugar,  al ítem Previsualiza Impresión... del menú Archivo. En la Ventana de Diálogo de Previsualiza  Impresión,  pueden  anotarse  datos  correspondientes  a  ‘Título’,  ‘Autoría’,  y  ‘Fecha’  de  la  construcción.  Además,  se  puede  fijar  la  Escala  de  impresión  (en  cm)  y  establecer  la  Orientación  del  papel  (horizontal  si  se  desea  una  impresión  apaisada  y  vertical  en  caso  contrario).     2  Emplearemos el término “archivo” o “fichero” indistintamente: así como “directorio” y carpeta”; “ordenador”  o “computador” o “computadora” o “equipo”!.  20   
  • 21. Atención:  Para  actualizar  Previsualiza  Impresión  después  de  cada  cambio  en  el  texto  o  disposición de la impresión, debe pulsarse la tecla Enter.   Imprimiendo el Protocolo de Construcción  Para  imprimir  el  Protocolo  de  Construcción,  en  primer  lugar  se  debe  abrir  la  Ventana  del  Protocolo  de  Construcción  desde  el  Menú  Vista  y  luego,  abrir  la  ventana  de  Previsualiza  Impresión del Protocolo de Construcción desde el Menú Archivo de esta nueva ventana.  Nuevamente, pueden anotarse los datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’, y ‘Fecha’ de  la construcción o cambiar Escala o la orientación del papel, antes de imprimir el Protocolo de  Construcción.    Atención:  Es  posible  cambiar  el  orden  de  las  diferentes  columnas  del  Protocolo  de  Construcción  y/o  (des)activar  cualquier  de  ellas,  Nombre,  Definición,  Comando,  Algebra  y  Punto  de  Ruptura  usando  el  Menú  Vista  de  la  ventana  de  diálogo  del  Protocolo  de  Construcción.  1.4.2 Creando Imágenes de la   Guardando la Vista Gráfica como Imagen  Puede archivarse  como imagen, la Vista Gráfica de cualquier construcción.   Atención: Se guarda la imagen completa de la Vista Gráfica. Por eso,  cuando sólo interesa  una zona de la construcción conviene, previamente, apelar a…  • … las herramientas pertinentes,   Desplaza Vista Gráfica,   Zoom de Acercamiento,    Zoom de Alejamiento , hasta ubicar la construcción en la zona superior izquierda  de la Vista Gráfica y entonces, reducir la ventana de GeoGebra arrastrando sus  extremos y/o bordes con el ratón o mouse.  • … a la selección rectangular para especificar qué parte quedará enfocada en la Vista  Gráfica antes de guardarla como imagen.   • … crear un par de puntos denominados Exporta_1 y Exporta_2, que determinarán  sendos vértices opuestos del Rectángulo de Exportación  Atención: Los puntos Exporta1 y Exporta2 deben marcarse en el área visible de la Vista  Gráfica.    En el menú Archivo, la opción   Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta despliega una  ventana de diálogo en que se puede especificar el Formato, Escala (en cm) y Resolución (en  dpi) de la imagen guardada en el archivo gráfico al que se la exporta     Atención: La medida efectiva de la imagen aparece en la ventana de exportación, debajo de  los botones mencionados, expresada tanto en centímetros como en pixels.     Se  profundiza  en  la  información  al  respecto  en  la  sección  Exporta  Vista  Gráfica  como  Imagen.  Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles  Hay  diferentes  maneras  de copiar  la  Vista  Gráfica  al  llamado  portapapeles.  Seleccionando,  clic mediante…    • … el ítem   Copia la Vista Gráfica al Portapapeles  del  menú Edita  21   
  • 22. • …   Copia la Vista Gráfica al Portapapeles, una  de la opciones del ítem Exporta del  menú Archivo  • … el botón Portapapeles de la ventana de diálogo Exporta Vista Gráfica como Imagen  de Exporta Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…) del ítem Exporta  del menú  Archivo.    Cualquiera de  estas  maniobras  llevan  al  portapapeles  del  sistema  una copia  de captura  de  pantalla de la Vista Gráfica como imagen con formato PNG (ver Formato PNG). Este imagen  puede  pegarse  en  otros  documentos  (por  ejemplo.  los  elaborados  con  un  procesador  de  textos).     Atención:  Para  exportar  una  construcción  fijando  determinada  escala  (en  cm),  basta  con  seleccionar la opción   Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta del menú Archivo (ver  Exporta Vista Gráfica como Imagen).  1.4.3 Creando Páginas Web interactivas   Para crear, a partir de archivos de GeoGebra, páginas web interactivas, las así llamadas Hojas  Dinámicas, basta con seleccionar la opción   Hoja Dinámica como Página Web (html) del  ítem Exporta del menú Archivo y desde la ventana de diálogo de Hojas Dinámicas, proseguir:  • En la zona superior de la ventana de exportación, anotar los datos correspondientes a  Título, Autoría y una Fecha de la Hoja Dinámica.  • La pestaña General  permite añadir texto antes y después de la construcción  dinámica (por ejemplo., una descripción de la construcción y alguna propuesta o  desafío).   También se puede determinar si la construcción va a incluirse de por sí en la página  web directamente o si se abrirá con un clic sobre un botón.   • La pestaña Avanzado o permite cambiar la funcionalidad de la construcción dinámica  (por ejemplo: mostrar un ícono de reinicio, si un doble clic abrirá la ventana de  aplicación de GeoGebra) e incluso modificar la interfaz de uso expuesta en el applet  interactivo (por ejemplo., si se cuenta o no con la Barra de Herramientas, cuál será la  altura y el ancho).  Atención: Si la medida del applet excede las dimensiones de pantalla cuando la  resolución es la estándar (1024 x 768), conviene redimensionar antes de exportarla  efectivamente como Hoja Dinámica.    Atención: Cuando se exporta una Hoja Dinámica:  se crean varios archivos:   • un archivo html (por ejemplo. circular.html)  que incluye la hoja dinámica  propiamente dicha   • un archivo GGB (por ejemplo. circular.ggb) que incluye la construcción, el boceto de  GeoGebra.  • varios archivos JAR (como geogebra.jar) que incluye a GeoGebra y le otorga su tenor  interactivo a la hoja dinámica.  Todos  estos  archivos  (por  ejemplo.  circular.html,  circular.ggb  y  geogebra.jar)  deben  estar  presentes en la misma carpeta (o directorio) para que el boceto funcione dinámicamente.     22   
  • 23. El  archivo  HTML  exportado  (por  ejemplo.  circular.html)  puede  apreciarse  con  cualquier  navegador  de  Internet  (por  ejemplo.  Mozilla,  Internet  Explorer,  Safari).  Para  que  el  comportamiento de la construcción sea dinámico, el equipo de trabajo debe tener instalado  Java (se lo puede bajar desde http://www.java.com gratuitamente). Para trabajar sobre una  Hoja  Dinámica  en  uno  de  los  equipos  de  una  red,  como  la  secular  por  ejemplo,  quien  administre la red local debe asegurarse de tener Java adecuadamente instalado.     Atención:  Para  editar  el  texto  de  una  Hoja  Dinámica,  basta  con  abrir  el  archivo  HTML  exportado  con  cualquier  sistema  de  procesamiento  de  textos  (por  ejemplo.  FrontPage,  OpenOffice  Writer).  También  puede  editarse  el  applet  de  la  Hoja  Dinámica    abriendo  el  archivo GGB con GeoGebra y guardándolo después, con el mismo nombre.  23   
  • 24. 2.  Entrada Geométrica  2.1 Anotaciones Generales  La Vista Gráfica  (a la derecha) expone gráficamente la representación de objetos  matemáticos (como puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, curvas, rectas y  secciones cónicas). Cuando el ratón (o mouse) se desplaza sobre un objeto, éste se ilumina y  se despliega un letrero rodante con su descripción.     GeoGebra  reacciona  de  distinta  manera  frente  a  cada  entrada  de  mouse  o  ratón  según  la  herramienta y el modo en que se estuviera operando en la Vista Gráfica  (ver, al respecto, la  sección Herramientas de Construcción). Por ejemplo, un clic en zona gráfica puede crear un  punto  nuevo  (ver  herramienta    Punto  Nuevo),  fijar  la  intersección  entre  objetos  (ver  herramienta    Intersección  de  Dos  Objetos)  o  trazar  una  circunferencia (ver  herramientas  correspondientes a la   Circunferencia).     Atención:  Un  doble  clic  sobre  un  objeto  en  la  Vista  Gráfica  abre  su  campo  de  edición  que  permite  se  modifique  su  valor  si  fuera  un  objeto  libre  y  que  se  lo  redefina,  si  fuera  dependiente.  2.2 Herramientas de Construcción  Las siguientes herramientas de construcción o modos, pueden activarse con un clic sobre los  botones de la Barra de Herramientas. Un clic sobre la flechita del extremo inferior derecho  del  recuadro  de  cada  ícono  representativo  de  una  Caja  de  Herramientas,  despliega  lo  que  puede considerarse un menú, del que se puede elegir una herramienta, de entre conjunto  de varias, similares.   Atención:  Con  la  mayor  parte  de  las  herramientas  de  construcción  pueden  crearse  nuevos  puntos, simplemente con un clic sobre una zona vacía de la zona gráfica.  Seleccionado Objetos  Cuando  está  active  la  herramienta    Elige  y  Mueve,  un  clic  sobre  cualquier  objeto,  lo  selecciona. Para seleccionar varios, se puede apelar al rectángulo de selección, encuadrando,  con    Elige  y  Mueve,  la  zona  en  que  se  encontraran:  en  una  posición  vacía  de  la  Vista  Gráfica, se determina el primer extremo con un clic que se sostiene mientras se arrastra el  ratón hasta soltarlo en el vértice diagonalmente opuesto, para establecer el marco deseado.    Al  soltar  el  botón,  todos  los  objetos  dentro  del  recuadro  quedan  seleccionados,  simultáneamente.    Atención: Manteniendo pulsada la tecla Ctrl (MacOS: tecla Cmd) mientras se va haciendo clic  sobre diferentes objetos, se logra que todos queden simultáneamente seleccionados.  24   
  • 25. Renombrar Objetos Rápidamente  Para renombrar rápidamente un objeto seleccionado o recién creado, basta con apuntarlo y  pulsar  alguna  letra:  se  abrirá  la  caja  de  diálogo  de  Renombra  donde  escribir  el  nuevo  nombre, que quedará establecido con un clic sobre el botón OK.  2.2.1 Herramientas Generales   Copia Estilo Visual  Esta  herramienta  permite  copiar  las  propiedades  visuales  (como  color,  dimensión,  estilo  lineal, etc.), desde un objeto a los de destino. En primer lugar, debe seleccionarse el objeto  cuyas propiedades desean copiarse. Luego, se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos  que deben adoptar dichas propiedades.    Borra Objeto  Cuando está activa esta herramienta, basta con un clic sobre cada uno de los objetos que se  desee borrar (quedan eliminados, consecuentemente, todos los que derivan y dependen del  que fue borrado). Ver también el comando Borra.  Atención:  Se  puede  recurrir  al  botón    Deshace  para  recuperar  un  objeto  borrado  por  equivocación.   Elige y Mueve  Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el ratón o mouse. Basta  seleccionar un objeto con un clic, estando activo   Elige y Mueve  para poder…   • … eliminarlo pulsando la tecla Del (o Delete)  • … desplazarlo apelando a las teclas‐flecha (ver sección Animación Manual)   Atención:  Pulsar  la  tecla  Esc  también  activa,  y  rápidamente,  la  herramienta    Elige  y  Mueve.    Desplaza Área Gráfica  Con esta herramienta, se puede arrastrar y soltar la Vista Gráfica para cambiar la zona visible  de esa área.     Atención:  • También se puede desplazar el área gráfica, estando cualquier herramienta activa,   pulsando la tecla Shift  (en MS Windows, también la tecla Ctrl).y arrastrándola con el  ratón o mouse  • Con la misma maniobra, pulsando la tecla Shift  (en PC, también Ctrl), y mismas  condiciones (estando cualquier herramienta activa),  también puede escalarse uno u  otro eje, simplemente arrastrándolo con el mouse o ratón.  25   
  • 26.  Registra en Hoja de Cálculo  Vista de Hoja de Cálculo Esta herramienta trabaja con números, puntos y vectores.  Esta  herramienta  permite  que  se  registre,  en  la  Vista  de  Hoja  de  Cálculo,  la  secuencia  de  valores que, a medida que se desplaza, toma un objeto (número, punto o vector)    Atención: GeoGebra tomará las dos primeras columnas vacías de la Vista de Hoja d Cálculo   para registrar los valores de los objetos seleccionados.    Relación   Herramienta que permite seleccionar don objetos para obtener, desplegada en una ventana  emergente, información sobre la relación que pudiera vincularlos (ver también el comando  Relación).   Rota en torno a un Punto   Después  de  seleccionar  el  punto  que  hará  las  veces  de  centro,  pueden  rotarse  a  su  alrededor, los objetos libres que se elijan, simplemente arrastrándolos con el ratón o mouse.  (ver también el comando Rota).    Expone / Oculta Rótulo   Al hacer clic sobre un objeto, su rótulo se expone u oculta alternativamente.   Expone / Oculta Objeto  Tras activar esta herramienta, basta seleccionar el objeto que se desee exponer o ocular y al  pasar a otra herramienta, se aplicarán los cambios en su estado de visibilidad.  Atención: Cuando se activa esta herramienta, todos los objetos que debieran estar ocultos  aparecen resaltados en la Vista Gráfica. De este modo, fácilmente se vuelven a exponer los  objetos ocultos, simplemente deseleccionándolos, antes de pasar a otra herramienta.   Zoom de Acercamiento   Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica,  esta herramienta produce un "zoom" de  acercamiento (ver también Personalizar la Vista Gráfica)    Atención: La posición del clic determina el centro del zoom.   Zoom de Alejamiento   Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica, esta herramienta produce un "zoom" de  alejamiento respecto de la construcción (ver también Personalizar la Vista Gráfica).  Atención: La posición del clic determina el centro del zoom.  26   
  • 27. 2.2.2 Herramientas de Puntos     Intersección de Dos Objetos  Los  puntos  de  intersección  de  los  dos  objetos  pueden  producirse  de  dos  maneras  (ver  también comando Interseca) a saber…  • … seleccionando dos objetos, se crean todos los puntos de intersección (si los hubiese  / fuesen posibles).  • … con un clic directo sobre la intersección de los dos objetos: sólo se crea este único  punto de intersección  Atención: Para cada segmento, semirrecta o arco, se pude especificar, en la pestaña Básica  de  su  respectiva  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades,  si  se  permitirá  la  intersección  en  prolongaciones.  Esta  alternativa  permite  obtener  puntos  de  intersección  que  queden  establecidos en la extensión de un objeto. Por ejemplo, la extensión de un segmento o una  semirrecta es una recta.   Punto Medio o Centro  Un clic sobre...   • … dos puntos o un segmento, permite obtener su punto medio.  • … una circunferencia o sección cónica (circunferencia o elipse)  su punto centro.   (Ver también los comandos Centro y PuntoMedio).   Nuevo Punto   Con  un  clic  sobre  la  Vista  Gráfica  se  crea  un  nuevo  punto.  Sus  coordenadas  quedan  establecidas al soltar el botón de ratón o mouse nuevamente.   Atención:   • Con un clic sobre un segmento, recta, polígono, sección cónica, función o curva, se  crea un punto sobre el objeto en cuestión (ver también el comando Punto).  • Con un clic sobre la intersección de dos objetos, se crea este punto de intersección  (ver también la herramienta   Interseca Dos Objetos y el comando Interseca).   2.2.3 Herramientas de Vectores   Vector entre Dos Puntos  Basta  con  seleccionar  el  punto  de  inicio  y  el  de  aplicación  del  vector  (ver  también  el  comando Vector).   Vector desde un Punto  Al seleccionar un punto A y un vector v, se crea un nuevo punto B = A + v así como  el vector  de A a B (ver también el comando Vector).  27   
  • 28. 2.2.4 Herramientas de Segmentos   Segmento entre Dos Puntos   Al  seleccionar  dos  puntos  A  y  B,  se  establece  un  segmento  entre  A  y  B  (ver  también  el  comando Segmento).   Atención: En la Vista Algebraica, podrá verse la longitud de dicho segmento.    Segmento dados Punto Extremo y Longitud  Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del segmento y  anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a continuación, para que quede  trazado (ver también el comando Segmento)..   Atención: Esta herramienta crea un segmento con la longitud a determinada entre el punto  A y el B que será su otro extremo. El extremo B puede rotarse con la herramienta Elige y  Mueve  en torno al extremo inicial A.  2.2.5 Semirrecta   Semirrecta que pasa por Dos Puntos  Al  seleccionar  dos  puntos  A  y  B  se  crea  una  semirrecta  que  parte  de  A  y  cruza  B.  (Ver  también el comando Semirrecta).   Atención: En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta.  2.2.6 Polígonos   Polígono  Para  trazar  un    polígono  y  que  su  área  quede  expuesta  en  la  Vista  Algebraica,  basta  con  marcar al menos tres puntos que constituirán sus vértices y, con un clic reiterado sobre el  primero de ellos, cerrarlo. (Ver también el comando Polígono)  Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono.    Polígono Regular  Al marcar dos puntos, A y B y anotar un número n en el campo de texto la caja de diálogo  emergente,  se  traza  un  polígono  regular  con  n  vértices,  incluyendo  A  y  B.  (Ver  también  el  comando Polígono)  Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono.   28   
  • 29. 2.2.7 Recta y sus Herramientas   Bisectriz  La  bisectriz  de  un  ángulo  (ver  también  el  comando  Bisectriz),  puede  definirse  de  dos  maneras   • Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo determinado por  A, B y C, con B como vértice.   • Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos.  Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1.   Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del segmento s o AB.     Ajuste Lineal  Esta herramienta (ver también el comando AjustetLineal), traza la recta que mejor se ajusta  a un conjunto de puntos, establecido de uno de estos modos:  • Trazar la Selección Rectangular que enmarca a todos los puntos.  • Seleccionar la lista de puntos cuyo mejor ajuste lineal se desea.   Recta que pasa por Dos Puntos  Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que fija la dirección de  la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta),  Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A).    Recta Paralela  Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela  a g. (Ver también el comando Recta).  Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g.   Mediatriz  La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos A  y B extremos.   Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular al segmento  s. o AB (Ver también el comando Mediatriz).   Recta Perpendicular  Al  seleccionar  una  recta  g  y  un  punto  A,  queda  definida  la  recta  que  pasa  por  A  y  es  perpendicular a g.  (Ver también el comando Perpendicular).  Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular a g.    Recta Polar o Diametral  Esta  herramienta  crea  la  recta  polar  o  diametral  de  una  sección  cónica  de  dos  posibles  maneras;  seleccionando…  • …  un punto y una sección cónica.   29   
  • 30. • …  una recta o vector y una sección cónica para fijar su diámetro.  (Ver también el comando Polar).   Tangentes  Las tangentes a una cónica pueden determinarse de dos maneras:  • Al  seleccionar  un  punto  A  y  una  cónica  c  se  producen  todas  las  tangentes  a  c  que  pasan por A.   • Al seleccionar una recta g y una cónica c se producen todas las tangentes a c que son  paralelas a g.  • Al seleccionar un punto A y la función f,  se traza la recta tangente a f por x=x(A).  • Atención: x(A) representa la coordenada x del punto A. Si el punto A perteneciera al  gráfico  de  una  función,  la  tangente  pasará  a  través  de  A.  se  producen  todas  las  tangentes a f que son paralelas a g  (Ver también el comando Tangente).  2.2.8 Secciones Cónicas   Circunferencia dados su Centro y Radio  Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor del  radio.  (Ver también el comando Circunferencia).    Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos  Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M  que pasa por P.  (Ver también el comando Circunferencia).  Atención: El radio del círculo es la distancia MP.    Circunferencia dados Tres de sus Puntos  Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los cruza.   (Ver también el comando Circunferencia).  Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría reducida a una  recta.   Compás  Al  seleccionar  un  segmento  o  dos  puntos,  queda  especificado  el  radio  y  un  clic  posterior  sobre  un  punto,  lo  marca  como  centro  de  la  circunferencia  a  trazar.  (Ver  también  el  comando Circunferencia).   Cónica dados Cinco de sus Puntos  Al seleccionar cinco puntos, queda definida una sección cónica que pasa por ellos.   (Ver también el comando Cónica).  Atención: La sección cónica no queda efectivamente definida, si cuatro de estos cinco puntos  estuvieran alineados.  30   
  • 31.  Elipse  La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos.  (Ver también el comando Elipse).     Hipérbola  La  hipérbola  se  trazará  al  seleccionar  sus  dos  focos  en  primer  lugar  y  luego,  uno  de  sus  puntos. (Ver también el comando Hipérbola).   Parábola  La  parábola  se  trazará  al  seleccionar  un  punto  que  será  su  foco  y  su  directriz  (recta,  semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola).  2.2.9 Arcosy Sectores  Atención: En GeoGebra, el valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector,  su  área.   Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos   Deben  seleccionarse  tres  puntos:  en  primer  lugar  M,  que  será  su  centro;  luego  A,  su   extremo  inicial  y  finalmente  B  que  determinará  la  longitud  del  arco.  (Ver  también  el  comando ArcoCircuncircular).  Atención:  Mientras  el  punto  A  pertenece  al  arco  dado  que  es  su  extremo,  B  no  necesariamente pertenece al arco.    Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos   Deben marcarse tres puntos: primero M, que será su centro; luego A, extremo inicial de su  arco  y  finalmente  B  que  determinará  la  longitud  del  arco  del  sector.  (Ver  también  el  comando SectorCircular).  Atención: Mientras el punto A pertenece al arco del sector, dado que es su extremo, B no  necesariamente pertenece a su arco.    Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos  Al marcar tres puntos, A, B, y C,  se traza un arco de circunferencia cuyo extremo inicial es A;  el  final  es  C  y  B  pertenece  al  arco  tendido  entre  A  y  C.    (Ver  también  el  comando  ArxoCircumcircular).   Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco    Al marcar tres puntos, A, B, y C,  se produce un sector circular en cuyo arco el extremo inicial  es  A;  el  final  es  C  y  B  pertenece  al  arco  tendido  entre  A  y  C.  (Ver  también  el  comando  SectorCircumcircular).  31   
  • 32.  Semicircunferencia dados Dos Puntos  Al seleccionar dos puntos A y B, se traza una semicircunferencia por encima del segmento  AB. (Ver también el comando Semicirunferencia).  2.2.10 Números y Ángulos   Angulo  Esta herramienta crea:  • el ángulo entre tres puntos cuyo vértice es el segundo de ellos  • el ángulo entre dos segmentos  • el ángulo entre dos rectas  • el ángulo entre dos vectores  • todos los ángulos de un polígono  Atención: Si el polígono fue creado seleccionando sus vértices en sentido antihorario, la  herramienta Angulo establece los interiores.  Atención: En tanto los ángulos se crean en sentido antihorario, es relevante el orden de  selección de los objetos al emplear esta herramienta. Para limitar la amplitud del ángulo  a 180°, como máximo, no debe estar tildada la casilla de ‘Admite Ángulos Cóncavos’que  en la pestaña ‘Básico’ ofrece la Caja de Diálogo de Propiedades.    (Ver también el comandoAngulo).   Angulo dada su Amplitud  Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del ángulo en el campo de  texto  de  la  ventana  emergente.  Esta  herramienta  produce  un  punto  C  y  un  ángulo  α  correspondiente a ABC.  (Ver también el comando Angulo).  Atención: Esta herramienta crea un punto C y un ángulo  α correspondiente a ABC.   Área  Esta  herramienta  establece  el  área  de  un  polígono,  círculo  o  elipse  como  número  que  se  expone como texto dinámico en la Vista Gráfica.  (Ver también el comando Area).   Distancia o Longitud   Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos, dos rectas o un punto y una recta y la  expone como texto dinámico en la Vista Gráfica.  También opera con la longitud de un  segmento, la de una circunferencia o la del perímetro de un polígono.  (Ver también los  comandos Distancia y Longitud).   Deslizador  Un clic en cualquier espacio libre de la  Vista Gráfica crea un "dial” o deslizador para ajustar  el valor de un número o un ángulo.. La ventana de diálogo emergente permite especificar el  Nombre, Intervalo [mín, máx], e Incremento del valor correspondiente así como la alineación  32   
  • 33. con que quedará Fijado (Horizontal o Vertical)  y Ancho del deslizador (longitud expresada en  pixels).   Atención: En la ventana de diálogo del Deslizador puede ingresarse el símbolo de grados ° o  pi π para intervalo e incremento, usando las siguientes teclas de atajo:  • Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados °  • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π    La  posición  de  un  deslizador  puede  ser  absoluta  en  la  Vista  Gráfica  (no  es  afectado  por  ningún  tipo  de  “zoom”:  permanece  expuesto  en  una  zona  visible  de  la  Vista  Gráfica)  o  relativa al sistema de coordenadas (ver Caja de Diálogo de Propiedades del número o ángulo  correspondiente).   Atención:  En  GeoGebra,  un  deslizador  no  es  sino  la  representación  gráfica  de  un  número  libre  o  ángulo  libre.  Puede  crearse  desde  cualquier  número  libre  o  ángulo  existente,  sencillamente,  exponiendo  tal  objeto  en  la  Vista  Gráfica  (ver  Menú  Contextual;  ver  herramienta   Expone  / Oculta Objeto).   Pendiente  Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinámicamente, ilustrada en  un triángulo rectángulo adecuado,  en la Vista Gráfica.  2.2.11 Control Booleano   Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos   Al dar clic sobre la Vista Gráfica se crea una casilla a tildar (ver sección Variables Booleanas y  Operaciones y Variable Booleana) para exponer y ocultar uno o más objetos. En la ventana  emergente,  se  puede  especificar  qué  objetos  quedarían  afectados  por  el  estado  de  tal  casilla.  Atención: Estos objetos pueden seleccionarse desde la lista que ofrece la ventana de dialogo  o directamente, con el mouse o ratón en cualquier vista.  2.2.12 Lugar Geométrico   Locus o Lugar Geométrico   Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A cuyo lugar  geométrico va a  trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori de B.  (Ver también el  comando LugarGeométrico).  Atención: Debe advertirse que B debe ser un punto de un objeto (por ejemplo: una recta, un  segmento, una circunferencia).   Ejemplo:   • Anotar f(x) = x^2 – 2 x – 1 en el Campo de Entrada y pulsar la tecla Enter.  • Ubicar un nuevo punto A en el eje‐x (ver herramienta    Nuevo Punto; ver comando  Punto).   • Crear un punto B = (x(A), f’(x(A))) que dependerá del punto A.   33   
  • 34. • Seleccionar  la  herramienta    Lugar  Geométrico    y  sucesivamente  dar  clic  sobre  el  punto B y el A.  • Arrastrar el punto A sobre el eje‐x para ver a B desplazarse por el lugar geométrico.  2.2.13 Transformaciones Geométricas   Las siguientes transformaciones geométricas operan sobre puntos, rectas, secciones cónicas,  polígonos e imágenes.   Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala  Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado. Luego, basta un clic sobre el  punto que obrará como centro de la homotecia para que aparezca una ventana en donde  anotar el factor deseado. (Ver también el comando Homotecia).   Refleja Objeto en Recta  Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre la  recta (semirrecta o segmento) para que quede establecido el eje de simetría a través del que  se operará la reflexión. (Ver también el comando Refleja).     Refleja Objeto por Punto   Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre el  punto a través del cual se operará la reflexión. (Ver también el comando Refleja).   Refleja Punto en Circunferencia  Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia, seleccionando el punto a  invertir y luego la circunferencia para la reflexión. (Ver también el comando Refleja).   Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado   Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado. Luego, basta un clic sobre el  punto que obrará como centro de rotación para que aparezca una ventana donde puede  especificarse la amplitud del ángulo de rotación.  (Ver también el comando Rota).   Traslada Objeto por un Vector  Lo  primero  que  debe  seleccionarse  es  el  objeto  a  ser  trasladado.  Luego,  un  clic  sobre  un  vector, bastará para que se produzca la translación. (Ver también el comando Traslada).  34   
  • 35. 2.2.14 Texto   Inserta Texto  Con esta herramienta, pueden crearse fórmulas de LaTeX o textos, estáticos o dinámicos, en  la Vista Gráfica.  En primer lugar, es necesario especificar el texto de una de las siguientes maneras:  • Con un clic sobre la Vista Gráfica para crear un nuevo texto en esa posición.  • Con  un  clic  sobre  un  punto  para  crear  un  nuevo  campo  de  texto  cuya  ubicación  se  vincula y asocia a dicho punto.  A continuación, aparece una caja de diálogo en la que se puede anotar el texto.  Atención: Puede especificarse la posición absoluta de un texto en pantalla (tildando la casilla  de ‘Posición absoluta en pantalla’ de la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de  Propiedades) para que no resulte relativa al sistema de coordenadas.    Texto Estático no depende de ningún objeto matemático y no suele afectarlo ningún cambio  de la construcción.    Texto Dinámico   Es el que contiene valores de objetos y se modifica y adapta automáticamente frente a sus  cambios.    Texto Mixto es una combinación de  texto estático y dinámico. Para crear un texto mixto,  debe  anotarse  el  sector  estático  usando  el  teclado  (por  ejemplo:  Punto  A  =)  y  añadir  la  sección dinámica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer (el punto A, en el  caso de este ejemplo).   Atención: GeoGebra automáticamente incorpora y añade la sintaxis necesaria ("Punto A = "  + A) para crear los textos mixtos: comillas en torno a la parte estática del texto y el signo más  (+) para conectar las diferentes partes del texto.    Entrada  Descripción  Este es un texto estático texto estático  A texto dinámico (si el punto A existe)  texto  mixto  en  dos  partes,  usando  el  valor  del  "Punto A = " + A punto A  texto  mixto  en  tres  partes,  usando  el  valor  del  "a = " + a + "cm" número a    Atención:  Si  ya  existiera  un  objeto  denominado  xx  y  se  deseara  crear  un  texto  estático  usando  ese  nombre,  sería  preciso  anotarlo  entre  comillas,  así;  "xx".  De  lo  contrario,  en  lugar de mostrar ese nombre, GeoGebra automáticamente crearía un texto dinámico, el del  valor del objeto xx. Por el contrario, puede anotarse cualquier texto que no coincida con el  nombre de un objeto existente, sin hacer la distinción implicada en las comillas.    Atención: Dentro de un texto mixto, cualquier sección estática precisa entrecomillarse y los  diferentes tramos, estáticos y dinámicos, concatenarse usando el signo más (“+”).  35   
  • 36. Fórmulas LaTeX  En GeoGebra también se pueden escribir fórmulas. Para hacerlo, hay que tildar la casilla  correspondiente, Fórmula LaTeX, que aparece en la ventana de diálogo de la herramienta    Inserta Texto  y anotar la fórmula según la sintaxis de LaTeX.   Atención: Para crear un texto que contenga una formula LaTeX así como texto estático, se  ingresa  la  parte  estática  del  texto  y  luego  se  añade  la  fórmula  LaTeX  entre  un  juego  de  símbolos de pesos ($).  Ejemplo: La longitud de la diagonal es $sqrt{ 2 }$.    Se  pueden  seleccionar  los  símbolos  más  usuales  en  la  sintaxis  de  las  formulas  más  habituales, desde el menú desplegable que aparece a la derecha de la casilla de LaTeX.  Esto  intercala  los  códigos  de  LaTeX  correspondientes  en  el  campo  de  texto  y  deja  ubicado  el  cursor entre un juego de llaves { },. Si se quiere crear un texto dinámico con la formula, basta  un  clic  sobre  un  objeto  para  que  GeoGebra  inserte  su  nombre  así  como  la  sintaxis  para  el  texto mixto.   Algunos  comandos  importantes  de  LaTeX  aparecen  en  la  siguiente  tabla.  Revisando  cualquier documento sobre LaTeX se obtiene más información sobre el tema.       LaTeX Entrada  Resultado  a cdot b  a ⋅b a frac{a}{b}  b sqrt{x}  x n sqrt[n]{x}  x r vec{v}  v overline{AB}  AB x^{2}  x2 a_{1}  a1 sinalpha + cosbeta  sin α + cos β b int_{a}^{b} x dx  ∫ xdx a ∑ i n 2 sum_{i=1}^{n} i^2  i =1     2.2.15 Imágenes   Inserta imagen  Esta herramienta permite intercalar una imagen en la  Vista Gráfica.  En  primer  lugar,  se  debe  especificar  el  lugar  donde  ubicarla,  de  una  de  las  siguientes  maneras:  • Un clic en Vista Gráfica fija la esquina inferior izquierda de la imagen.  • Un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior izquierda.   36   
  • 37. Luego,  en  la  caja  de  diálogo  que  se  abre,  se  puede  seleccionar  una  imagen  de  entre  los  archivos  de  formato  gráfico  que  aparecen  listados,  almacenados  en  los  directorios  o  carpetas que se examinan a tal efecto.     Atención: Después de seleccionar la herramienta   Inserta Imagen, pueden usarse las teclas  de atajo Alt‐clic para pegar una imagen directamente desde el portapapeles del sistema en la  Vista Gráfica.  Propiedades de las Imágenes  Posición  La  posición  de  una  imagen  puede  ser  absoluta  ‐  en  pantalla  ‐  o  relativa  al  sistema  de  coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la pestaña ‘Básico’ de  la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen.   Esto se lleva adelante especificando los tres puntos vértices.   (Ver también el comando Esquina).   La pestaña ‘Posición’ de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen ofrece la flexibilidad  de escalar, rotar y hasta distorsionar las imágenes.     • Esquina 1: posición de la esquina izquierda inferior de la imagen   • Esquina 2: posición inferior derecha de la imagen    Atención: Sólo puede fijarse esta esquina cuando ya se estableció la previa, porque  de este modo se controla el ancho de la imagen.  • Esquina 4: posición superior izquierda de la imagen    Atención: Sólo puede fijarse cuando ya se estableció la primera esquina, dado que de  este modo se controla la altura de la imagen.     Ejemplo:  Para explorar los efectos de los puntos esquina, conviene crear tres puntos A, B y C.   • Fijemos A como la primera y B como la segunda esquina de la imagen. Al arrastrar A y  B  con  la  herramienta   Elige  y  Mueve,  puede  explorarse  su  influencia  muy  fácilmente.  • Podemos fijar, a continuación, A como la primera y C como la cuarta esquina, para  explorar cómo el desplazamiento de estos puntos influye en la imagen.   • Finalmente,  pueden  establecerse  los  tres  puntos  de  esquina  para  observar  cómo  al  arrastrarlos, se distorsiona la imagen.  Ejemplo:  Tras  observar  cómo  influir  sobre  la  posición  y  tamaño  de  una  imagen,  vale  la  pena  experimentar otras alternativas.   Al adjuntar una imagen a un punto A, se fija a 3 unidades su ancho y a 4, su altura, llevando  adelante lo siguiente:  • Fijar. ‘Esquina 1’ a A   • Fijar. ‘Esquina 2’ a  A + (3, 0)   • Fijar. ‘Esquina 4’ a  A + (0, 4)   Atención:  Al  arrastrar  el  punto  A  con  la  herramienta    Elige  y  Mueve,  la  medida  de  la  imagen se conserva.  37   
  • 38. Imagen de Fondo  Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a Imagen de  Fondode la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades  de la imagen (ver Caja de  Diálogo de Propiedades de la imagen). Una imagen de fondo, yace tras los ejes de  coordenadas y ya no vuelve a resultar accesible a la selección vía ratón o  mouse.  Atención: Para modificar la condición de "telón de fondo" de una imagen, se debe abrir la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  seleccionado  el  ítem    Propiedades…  del  Menú  Edita  y  quitar el tilde de la casilla correspondiente a Imagen de Fondo de la pestaña Básico.   Transparencia  Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los objetos como  los ejes que queden tras ella. Para fijar esta condición de transparencia de una imagen, se  especifica para el Sombreado un valor entre 0% y 100% (ver Caja de Diálogo de Propiedades  de la imagen).  38   
  • 39. 3.  Entrada Algebraica  3.1 Anotaciones Generales  Las representaciones algebraicas de los objetos matemáticos (como valores, coordenadas y  ecuaciones) se exponen en la Vista Gráfica. Se pueden crear y modificar objetos usando la  Barra  de  Entrada  al  pie  de  la  pantalla  de  GeoGebra  (ver  secciones  Entrada  Directa  y  Comandos).  Atención: Siempre se debe pulsar la tecla Enter tras ingresar la definición de un objeto en la   Barra de Entrada.  Atención: Al pulsarse la tecla Enter en cualquier momento, se alterna el foco entre la Barra  de Entrada y la Vista Gráfica. Esto permite ingresar expresiones y comandos en la Barra de  Entrada sin clic previo del mouse o ratón.   Nombrando Objetos  Se  le  puede  asignar  un  nombre  a  un  objeto  cuando  se  lo  ha  creado  usando  la  Barra  de  Entrada:  • Puntos: En GeoGebra los nombres de los puntos, se distinguen por ser siempre letras  mayúsculas. Basta, entonces, con anotar el nombre (por ejemplo: A,  P) y un signo  igual antes de las coordenadas.  Ejemplos: C = (2, 4), P = (1; 180°), Complejo = 2 + i   • Vectores: Para distinguirlos de los puntos, GeoGebra reserva la letra minúscula para  los vectores. Nuevamente, se debe anotar el nombre (sea., v, u) y un signo igual  frente a las coordenadas del vector.  Ejemplos: v = (1, 3), u = (3; 90°), complejo = 1 – 2i  • Rectas, circunferencias, secciones cónicas: Estos objetos pueden definirse por su  nombre seguido de dos puntos antecediendo a su ecuación o comando  Ejemplos: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4,   hyp: x^2 – y^2 = 2 • Funciones: Se pueden ingresar con un nombre que las caracterice como tales, por  ejemplo, f(x) = o g(x)= previo a la ecuación de tal función o de los  comandos correspondientes en juego.  Ejemplos: h(x) = 2 x + 4, q (x) = x^2, trig(x) = sin(x)    Atención:  Si  no  se  le  asigna  un  nombre  a  un  objeto  manualmente,  GeoGebra  lo  hace  automáticamente, por orden alfabético.  Atención: Los nombres de los objetos pueden estar indexados. Para establecer un índice  en  el  nombre  de  un  objeto,  basta  con  emplear  el  sub‐guión  o  guión  bajo.  Por  ejemplo  A1  se  anota como A_1 y SAB  como s_{AB}. El guión bajo precede al o a los subíndices.  Cambio de Valores  Hay dos modos de manejar los valores de los objetos libres:  39   
  • 40. • Cambiar el valor del objeto ingresando su nombre y el Nuevo valor en la Barra de  Entrada (ver Entrada Directa).   Ejemplo: Si se desea cambiarle el valor a un número existente, a = 3, se anota a = 5  en la Barra de Entrada y se pulsa la tecla Enter.  • Editar la representación algebraica: Se activa la herramienta   Elige y Mueve para  apuntarlo la Vista Algebraica y hacer sobre el objeto en cuestión, un doble clic. Al  abrirse la caja de texto correspondiente, se puede editar el valor del objeto. Para fijar  los cambios, debe pulsarse la tecla Enter.    Atención: Mientras los valores de los objetos libres pueden modificarse directamente, los de  los  objetos  dependientes  sólo  cambian  cuando  se  los  Redefine  o  a  expensas  de  alguna  variación en los valores de los objetos de los que dependen (padres en tanto les dan origen).  Exponer la Historia de la Barra de Entrada  Al ubicar el cursor en la Barra de Entrada pueden usarse las teclas‐flecha ↑ ascendente y ↓  descendente para navegar a través de lo que se ingresara previamente, paso a paso.    Atención: Un clic sobre la marquita del signo de interrogación   a la izquierda de la Barra de  Entrada, aparecen información de ayuda que le corresponde.  Copia el Nombre, el Valor o la Definición de un Objeto en  la Barra de Entrada  Se  Inserta  el  Nombrede  un  objeto,  activando  la  herramienta    Elige  y  Mueve  y  seleccionando el objeto cuyo nombre se desea insertar en la Bara de Entrada y pulsando a  continuación, la tecla F5.  Atención:  El  nombre  del  objeto  se  añade  a  cualquier  expresión  ingresada  en  la  Barra  de  Entrada  antes de pulsar la tecla F5.    Se Inserta el valor de un objeto en la Barra de Entrada (por ejemplo, (1, 3),  3x – 5y = 12), de  cualquiera de estas dos maneras   • Tras un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el objeto, seleccionando el ítem   Copia  a la Barra de Entrada del Menú Contextual emergente.  • Activar la herramienta   Elige y Mueve y seleccionar el objeto cuyo valor se desea  insertar en la Barra de Entrada  para pulsar luego, la tecla F4.  Atención: El valor del objeto se añade a la expresión ingresada en la Barra de  Entrada  antes de pulsar la tecla F4.    Se  Inserta  la  definición  de  un  objeto  (por  ejemplo,  g., A = (4, 2), c = Circunferencia[A, B]) en la Barra de Entrada, de dos modos diferentes:  • Alt clic sobre el objeto copia su definición eliminando lo que hubiera previamente en  la Barra de Entrada.  • Seleccionando el objeto cuya definición se quiera insertar en la Barra de Entrada con  la herramienta  Elige y Mueve y pulsando la tecla F3.  Atención: La definición del objeto reemplaza a cualquier expresión en la Barra de  Entrada  presente antes de pulsar la tecla F3.  40   
  • 41. 3.2 Entrada Directa  GeoGebra puede operar con números, ángulos, puntos, vectores, segmentos, rectas,  secciones cónicas, funciones y curvas paramétricas. Es posible ingresar estos objetos en la  Barra de Entrada anotando sus coordenadas o ecuaciones y pulsando la tecla Enter   3.2.1 Números y Ángulos  Números  Se pueden crear números usando la Barra de Entrada. Si se anota un número (por ejemplo;  3),  GeoGebra  le  asigna  como  nombre  una  letra  minúscula.  Si  se  prefiere  otro  nombre,  es  preciso  anotarlo  seguido  del  signo  igual  que  antecederá  al  valor  numérico  (por  ejemplo.,  para crear un decimal r se anota r = 5.32).    Atención: En GeoGebra, los número y ángulos usan el punto ‘.’ como separador decimal.    También  pueden  emplearse  la  constante  π    o  la  e  de  Euler  para  expresiones  y  cálculos,  seleccionándolas en los menúes que se despliegan próximos a la Barra de Entrada o usando  las teclas de atajo.    Atención:: Si la variable e  no está aún usándose como nombre de un objeto ya existente,  GeoGebra la reconocerá como la constante de Euler  cuando se la incluya en una expresión.  Ángulos  Los ángulos se ingresan en grados (°) o en radianes (rad). La constante π es útil para los  valores en radianes y puede también anotarse como pi  Atención: Se puede ingresar el símbolo de grados ° o el de pi, π usando las siguientes teclas  de atajo:  • Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados °  • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π    Ejemplo: Un ángulo α puede ingresarse en grados (como en α  = 60°)) o radianes (como en α  = pi/3).    Atención: GeoGebra realiza todos los cálculos internos en radianes. El símbolo (°) no es sino  una constante para convertir π/180 de grados a radianes.     Ejemplos:  • Si a = 30 es un número, entonces α = a° convierte a un ángulo α = 30° el número a,  sin cambiar su valor  • Al anotar b = α / ° el ángulo α vuelve a convertirse en el número b = 30, sin  cambiar su valor.  Deslizadores  y Teclas‐Flecha  Tanto  los  números  libres  como  los  ángulos  libres  pueden  exponerse  como  deslizadores  ajustables en la Vista Gráfica (ver herramienta   Deslizador). Con las teclas‐flecha se puede  41   
  • 42. cambiar el valor de números y ángulos, también en la en la Vista Algebraica (ver Animación  Manual).  Valor Limitado a un Intervalo   Tanto  los  números  libres  como  los  ángulos  libres  pueden  quedar  limitados  a  un  intervalo  [mín, máx] usando la pestaña Deslizado’ de la Caja de Diálogo de Propiedades (ver también  herramienta   Deslizador).    Atención:  Para  los  ángulos  dependientes  se  puede  especificar  si  pueden  o  no  resultar  cóncavos, tildando o no la correspondiente casilla de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo  de Propiedades.  3.2.2 Puntos y Vectores  Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenada cartesianas o polares (Ver Números  y Ángulos).    Atención: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores.     Ejemplos:  • Para  ingresar  un  punto  P  o  un  vector  v  en  coordenadas  cartesianas  se  anota  P = (1, 0) o v = (0, 5).   • Para usar coordenadas polares se anota P = (1; 0°) o v = (5; 90°).   Atención: El punto y coma separa las coordenadas. Si no se anota el símbolo de grados,  GeoGebra asumirá que el valor del ángulo está expresado en radianes.    En GeoGebra, también pueden hacerse cálculos con puntos y vectores  Ejemplos:  • Puede establecerse el punto medio M de los puntos A y B anotando:  M = (A + B) / 2 en la Barra de Entrada.  • Puede calcularse la longitud de un vector v anotando longitud_v= sqrt(v * v)    3.2.3 Rectas y Ejes  Rectas   Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica en la Barra  de  Entrada.  En  ambos  casos,  se  pueden  emplear  en  tal  ecuación,  variables  previamente  definidas (números, puntos, vectores)   Atención: El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada, seguido de los  dos puntos.     Ejemplos:  • Podemos  definir  una  recta  g  ingresando  la  ecuación  g : 3x + 4y = 2  como  ecuación lineal.   • Debe  definirse  un  parámetro  t  (t = 3)  antes  de  ingresar  la  recta  g  en  formato  paramétrico como g: X = (-5, 5) + t (4, -3).  42   
  • 43. • En primer lugar, deben definirse los parámetros m = 2 y b = -1 antes de ingresar  la ecuación g: y = m x + b para obtener una recta g en el formato interceptado  y.   Ejes   A  sendos  ejes  de  coordenadas  se  accede  con  los  comandos  correspondientes  a  través  de  ejeX y ejeY respectivamente   Ejemplo: El comando Perpendicular[A, ejeX] construye la recta perpendicular al eje  x que pasa por el punto A.   3.2.4 Secciones Cónicas  Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y.   Se  pueden  emplear  en  la  ecuación,  variables  previamente  definidas  (números,  puntos,  vectores).   Atención: El nombre de la sección cónica debe ser anotado encabezando la entrada, seguido  de los dos puntos.   Ejemplos:  • Elipse eli:      eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144  • Hipérbola hip:   hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144  • Parábola par:    par: y^2 = 4 x  • Circunferencia k1:    k1: x^2 + y^2 = 25  • Circunferencia k2:    k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25    Atención: Si se definen dos parámetros a = 4 y b = 3, a partir de ellos se puede ingresar  una elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.     3.2.5 Función de x  Para ingresar una función podemos emplear variables previamente definidas (números,  puntos, vectores) y otras funciones.    Ejemplos:  • Función f:         f(x) = 3 x^3 – x^2  • Función g:         g(x) = tan(f(x))  • Función sin nombre:      sin(3 x) + tan(x)    Atención: Todas las funciones internas (como seno, coseno, tangente ‐ sin, cos, tan ‐ etc. y  otras  trigonométricas)  se  describen  en  la  sección  dedicada  a  Funciones  Pre‐Definidas  y  Operaciones).    En GeoGebra, también existen comandos para obtener, por ejemplo, la Integral y Derivada  de una función.     Atención: También se pueden emplear los comandos f’(x) o f’’(x),… para las  derivadas de una función f(x) previamente definida:  43   
  • 44. Ejemplo:  Tras  definir  la  función  f  como  f(x) = 3 x^3 – x^2 se  puede  ingresar  en  g(x) = cos(f’(x + 2)) para obtener la función g.    Además, las funciones pueden ser trasladadas por un vector (ver comando Traslada  y una  función libre puede desplazarse con el mouse o ratón (ver herramienta   Elige y Mueve).  Función Limitada a un Intervalo  Para limitar una función a un intervalo [a, b], debe emplearse el comando Función.  3.2.6 Funciones Pre‐Definidas y Operaciones  Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones (ver sección correspondiente a  Entrada  Directa) se pueden emplear las siguientes funciones pre‐definidas y operaciones.   Atención: Las funciones pre‐definidas deben ingresarse usando paréntesis y sin dejar espacio  alguno entre el nombre de la función y el paréntesis.   Las siguientes operaciones están disponibles en GeoGebra:    Operación / Función  Entrada  suma  + resta  - producto  *  o tecla Espaciadora producto escalar   * o  tecla Espaciadora división  / exponenciación  ^ o 2 factorial  ! 44   
  • 45.   Operación / Función  Entrada  función Gamma  gamma( ) paréntesis  ( ) coordenada‐x  x( ) coordenada‐y  y( ) valor absoluto  abs( ) signo  sgn( ) raíz cuadrada  sqrt( ) raíz cúbica  cbrt( ) número aleatorio entre 0 y 1  random( ) función exponencial  exp( ) o ℯx logaritmo (natural, de e)  ln( ) o log( ) logaritmo de2  ld( ) logaritmo de10  lg( ) coseno  cos( ) seno  sin( ) tangente  tan( ) arco coseno  acos( ) arco seno  asin( ) arco tangente  atan( ) coseno hiperbólico  cosh( ) seno hiperbólico  sinh( ) tangente hiperbólica  tanh( ) coseno antihiperbólico  acosh( ) seno antihiperbólico  asinh( ) tangente antihiperbólica  atanh( ) 45   
  • 46.   Operación / Función  Entrada  mayor entero menor o igual que  floor( ) menor entero mayor o igual que  ceil( ) redondeo  round( ) 3.2.7 Variables Booleanas y Operaciones  Pueden  emplearse  las  variables  Booleanas  cierto  y  falso  en  GeoGebra.  Basta  ingresar,  por  ejemplo, a = true o b = false en la Barra de Entrada y pulsar la tecla Enter.  Casilla a Tildar y Teclas Flecha  Las  variables  Booleanas  libres  pueden  exponerse  como  casillas  a  tildar  en  la  Vista  Gráfica  (ver herramienta   Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos). Apelando a las teclas  flecha  se  pueden  cambiar  las  variables  Booleanas  también  en  la  Vista  Algebraica  (ver  Animación Manual).      Atención:  También  pueden  usarse  variables  Booleanas  como  números  (valor  0  ó  1).  Esto  permite usar un casillero como la velocidad dinámica de un deslizador animado como para  que controle el inicio y detención de la animación. Es este caso, el botón de animación solo  aparecerá en la Vista Gráfica cuando hubiera también un deslizador animado con velocidad  estática (es decir. no‐dinámica).  Operaciones Booleanas  Se  pueden  usar  en  GeoGebra,  las  siguientes  operaciones  con  variables  y  condiciones  booleanas  sea  seleccionándolas  de  la  lista  desplegable  próxima  a  la  Barra  de  Entrada,  sea  ingresándolas usando el teclado.     Lista Teclado Ejemplo Tipos números, puntos,  Igual  ≟ == a ≟ b o a == b rectas, cónicas a, b números, puntos,  desigual ≠ != a ≠ b o a != b rectas, cónicas a, b menor que < < a < b números a, b mayor que > > a > b números a, b menor o igual a ≤ <= a ≤  b o a <= b números a, b mayor o igual a ≥ >= a ≥ b o a >= b números a, b .Y.  ∧ && a ∧ b o a && b Booleanas a, b .O.  ∨ || a ∨  b o a || b Booleanas a, b No ¬  ! ¬a o !a Booleanas a paralela  ∥ a ∥ b rectas a, b perpendicular  ⊥ a ⊥ b rectas a, b  46   
  • 47. 3.2.8 Lista de Objetos y de Operaciones  Usando  llaves  pueden  crearse  listas  de  varios  objetos  (como  puntos,  segmentos,  circunferencias).    Ejemplos:   • L = {A, B, C} establece una lista de tres puntos definidos previamente A, B, y C.  • L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} produce  una  lista  de  los  puntos  ingresados, en tanto puntos sin nominar.  Atención: Por omisión, los elementos de esta lista no se exponen en la Vista Gráfica.  Comparar Listas de Objetos  Pueden compararse dos listas de objetos empleando la siguiente sintaxis:  • lista1 == lista2: Controla si las dos listas son iguales y brinda como resultado  de salida verdadero (true) o falso (false).  • lista1 != lista2: Controla si las dos listas son desiguales y brinda como  resultado de salida verdadero (true) o falso (false).  Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas  Atención: Cada vez que se aplican operaciones y funciones pre‐definidas a listas, se obtiene  como resultado, una nueva lista.    Sumas y Restas ‐ Ejemplos:   • Lista1 + Lista2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de   una y otra lista.  Atención: Las dos listas deben tener la misma longitud.  • Lista + Número: Suma el número a cada uno de los elementos de la lista.  • Lista1 – Lista2: Resta los elementos de la segunda lista a cada uno de os  correspondientes de la primera.  Atención: Las listas deben tener la misma longitud.  • Lista – Número: Resta el número a cada uno de los elementos de la lista.    Multiplicación y División ‐ Ejemplos:   • Lista1 * Lista2: Multiplica uno a uno, cada par de elementos  correspondientes de  una y otra lista.    Atención: Las listas deben tener la misma longitud. Si las dos listas son  matrices  compatibles, se emplea la multiplicación de matrices.  • Lista * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la lista.  • Lista1 / Lista2: Divide uno a uno, cada uno de los elementos de la primera  lista por los correspondientes de la segunda.  Atención: Las listas deben tener la misma longitud.  • Lista / Número: Divide cada elemento de la lista, por el número.  • Número / Lista: Divide el número por cada elemento de la lista.  Ejemplos usando funciones:   • Lista^2: Eleva al cuadrado cada elemento de la lista.  • sin(Lista): Aplica la función seno a cada elemento de la lista.  47   
  • 48. 3.2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices  GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene  las filas de la matriz.  Ejemplo: En GeoGebra, {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz  .  Operaciones con Matrices  Sumas y Restas ‐ Ejemplos: :  • Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes  de  una y otra matriz.  • Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes  de  una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.    Multiplicación ‐ Ejemplos: :  • Matrix * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la  lista. matriz.  • Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la matriz  resultante.    Atención: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el  mismo número de elementos.    Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}  dan por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.  • 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector  y da por resultado un punto.   Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25).  • 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector  y da por resultado un punto.   Ejemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2)   Da por resultado el punto A = (8, 20).    Atención: Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas  homogéneas se usan (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) por un vector. Este ejemplo, es  por lo tanto, equivalente a:   {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.    Otros ejemplos: (ver la sección Comandos de Matriz):  • Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada.  • Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada   • Traspuesta[Matriz]: Traspone la matriz dada  3.2.10 Números Complejos y Operaciones  GeoGebra no trata directamente con números complejos, pero se pueden emplear puntos  para simular operaciones con números complejos.   48   
  • 49. Ejemplo: Si se ingresa el número complejo 3 + 4i en la Barra de Entrada, aparece el punto  (3, 4) en la Vista Gráfica. Las coordenadas de este punto aparecen como 3 + 4i en la Vista  Algebraica.    Atención:  Se  puede  exponer  cualquier  punto  como  un  número  complejo  en  la  Vista  Algebraica.  Al  abrir  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  del  punto,  se  puede  seleccionar  Número Complejo en la lista de formatos de Coordenadas de la pestaña Algebra.     Si la variable i no hubiera sido definida, será reconocida como el par ordenado i = (0, 1) o el  número complejo 0 + 1i. Esto implica que la  variable i  también puede usarse para anotar  números complejos en la Barra de Entrada (como q = 3 + 4i).    Sumas y Restas ‐ Ejemplos:   • (2 + 1i) + (1 – 2i) da por resultado el número complejo 3 – 1i.  • (2 + 1i) - (1 – 2i) da por resultado el número complejo 1 + 3i.  Multiplicación y División ‐ Ejemplos:   • (2 + 1i) * (1 – 2i) da por resultado el número complejo 4 – 3i.  •  (2 + 1i) / (1 – 2i) da por resultado el número complejo 0 + 1i.  Atención:  La  multiplicación  habitual  (2, 1)*(1, -2)  da  por  resultado  el  producto  escalar de los dos vectores.    Otros ejemplos:  GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos.  • 3 + (4 + 5i) da por resultado el número complejo 7 + 5i.  • 3 - (4 + 5i) da por resultado el número complejo ‐1 ‐ 5i.  • 3 / (0 + 1i) da por resultado el número complejo 0 ‐3i.  • 3 * (1 + 2i) da por resultado el número complejo 3+‐6i.  3.3 Comandos  Con la ayuda de los comandos podemos crear nuevos objetos o modificar los existentes.    Atención: El resultado de un comando puede nominarse ingresando un rótulo sucedido por  “=”. En el ejemplo que aparece más adelante un nuevo punto se llamará S.  Ejemplo: La intersección de dos rectas g y h produce un nuevo punto, que puede ingresarse  como S = Interseca[g,h] (ver comando Interseca).  Atención: También se pueden usar índicescon los nombres de los objetos: A1 o SAB se anotan  como A_1  y  s_{AB} respectivamente.  Nombres de Comandos Completados Automáticamente  Al  ir  anotando  el  nombre  de  un  comando  en  la  Barra  de  Entrada,  GeoGebra  intenta  completarlo  automáticamente  para  facilitarnos  la  tarea.  Esto  implica  que  después  de  ingresadas las dos primeras letras en la Barra de Entrada, GeoGebra las completará con el  nombre del primer comando del listado alfabético que las tenga como primeras dos iniciales.  • Colocando el cursor entre los corchetes y pulsando allí la tecla Enter, queda aceptado  el comando sugerido.   49   
  • 50. • Basta con seguir ingresando las letras sucesivas del nombre para que GeoGebra  adapte la sugerencia al siguiente comando que se adecue a lo que se va anotando.   3.3.1 Comandos Generales  PasoConstrucción  PasoConstrucción[]: Da por resultado el número del paso de construcción actual del  Protocolo de Construcción  PasoConstrucción[Objeto]:  Da  por  resultado  el  número  del  paso  de  construcción  del Protocolo de Construcción para el objeto en cuestión   Borra  Borra[Objeto]: Borra tanto el objeto como los que de él derivan y/o dependen.   Atención: Ver también la herramienta    Borra Objeto  Relación  Relación[Objeto a, Objeto b]: Expone un cuadro de mensaje que informa la  relación entre el objeto a y el b.  Atención: Ver también la herramienta   Relación    Atención: Este comando nos permite averiguar si dos objetos son iguales, si un punto  pertenece a una recta o a una cónica, o si una recta es tangente o secante a otra  o a una cónica.  3.3.2 Comando Booleano  Si  Si[condición, Objeto a]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta  cierta, y un objeto indefinido si se la evalúa falsa..  Si[condición, Objeto a, Objeto b]:  Proporciona  una  copia  del  objeto  a  si  la  condición resulta cierta, y una del objeto b si se la evalúa falsa.   Si[Condición, Entonces] Si[ Condición, Entonces, Si no ] Definido  Definido[Objeto]: Da por resultado cierto o falso, según el objeto estuviera definido o  no.  EsEntero  EsEntero[Número(o valor numérico)] Establece cierto o falso, según el número  resultante fuera o no entero.  3.3.3 Números  RazónSimple  RazónSimple[ Origen (punto), Final (punto), Punto Alineado] 50   
  • 51. RazónSimple[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado la razón simple λ  entre tres puntos alineados A, B, y C, donde C = A + λ * AB  Area   Area[Punto A, Punto B, Punto C, ...]: Calcula el área del polígono definido  por los puntos vértices A, B,  C…    Area[Cónica c]: Área de la  sección cónica c (circunferencia o elipse)  Atención:   Para calcular el área entre dos funciones gráficas, se precisa el comando Integral.    Ver también la herramienta   Area  Area[Vértice Inicial (punto), ..., Vértice Final (punto)] Area[Cónica] PasoEje  PasoEjeX[]Da por resultado el ancho de la graduación actual del eje‐x  PasoEjeY[]Da por resultado el largo de la graduación actual del eje‐y    Atención:  Junto  a  Esquina    y  Secuencia,  estos  comandos  permiten  crear  ejes  según  las  preferencias  y  condiciones  de  uso  adecuadas  (ver  también  las  sección  Personalizar Ejes de Coordenadas  y Cuadrícula).  NúmeroCombinatorio  NúmeroCombinatorio[Número n, Número r]:  Da  por  resultado  el  coeficiente  binomial: cantidad de combinaciones de ‘n  elementos tomados de r en r’  PerímetroCónica  PerímetroCónica[cónica]: Da por resultado el perímetro de la sección cónica.  Atención: Sólo tiene sentido aplicado a una circunferencia o elipse.  RazónDoble  RazónDoble[punto A, punto B, punto C, punto D]:  Da  por  resultado  la  razón doble λ de cuatro puntos alineados A, B, C y D, donde λ = RazónSimple[B, C, D]  / RazónSimple[A, C, D]  RazónDoble[Origen 1 (punto), Origen 2 (punto), Final (punto), Punto Alineado] Curvatura  Curvatura[Punto, Función]:  Da  por  resultado  la  curvatura  de  la  función  en  el  punto.  Curvatura[Punto, Curva]: Da por resultado la curvatura de la curva en el punto.  Distancia  Distancia[Punto A, Punto B]: Determina la distancia entre dos puntos A y B   Distancia[Punto, Recta]: Da por resultado la distancia entre el punto y la recta  Distancia[Recta g, Recta h]: Calcula la distancia entre las rectas g y h.   Atención:  La  distancia  entre  rectas  secantes  (que  se  intersecan)  es  0.  Este  comando  sólo es relevante para rectas paralelas.   Distancia[Punto, Punto] Distancia[Punto, Recta, Semirrecta o Segmento] 51   
  • 52.   Atención: Ver también la herramienta   Distancia o Longitud  MCD  MCD[Número a, Número b]:  Da  por  resultado  el  máximo  común  divisor  de  los  números a  y b   MCD[Lista de números]:  Da  por  resultado  el  máximo  común  divisor  de  la  lista  de  números.  MCD[Número (o valor numérico) , Número (o valor numérico)] MCD[Lista de Números] Cociente Entero  Cociente[Número a, Número b]:Calcula el cociente entero resultante de la división  de un número a por un número b  Cociente[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Integral  Integral[Función f, Número a, Número b]:  Da  por  resultado  la  Integral  definida de una función f(x) en el intervalo [a , b].  Atención: Este comando también traza el área entre el gráfico de la función f y el eje  x.   Integral[Función f, Función g, Número a, Número b]: Da por resultado  la integral definida de la diferencia f(x) ‐ g(x) en el intervalo [a, b].   Atención: Este comando también traza el área entre los gráficos de la función de f y  g.   Atención: Ver también el comando para la  Integral Indefinida  Integral[Función, Valor Inicial, Valor Final] Integral[Función, Función, Valor Inicial, Valor Final] Iteración  Iteración[Función, Número x0, Número n]: Itera la función n veces usando el  valor inicial dado x0.    Ejemplo: Tras definir f(x) = x^2 el comando Iteración[f, 3, 2] brinda el  resultado (32)2 = 27  Iteración[Función, Valor Inicial, Número de Iteraciones] MCM  MCM[Número a, Número b]:Calcula el mínimo común múltiplo de dos números a  y b  MCM[Lista de Números]:Calcula el mínimo común múltiplo de los elementos de la  lista.   Longitud  Longitud[Vector]: Da por resultado la longitud del vector.   Longitud[Punto A]:  Da  por  resultado  la  longitud  del  módulo  del  vector  posición  del  punto dado.   Longitud[Función f, Número x1, Número x2]:  Da  por  resultado  la  longitud  del gráfico de la función f en el intervalo [x1, x2]  52   
  • 53. Longitud[Función, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud del gráfico  de la función entre dos puntos A y B   Atención: Si los puntos dados no pertenecieran al gráficos de la función, se tomarán  sus correspondientes –coordenadas x para determina el intervalo.  Longitud[Curva, Número t1, Número t2]:  Da  por  resultado  la    longitud  de  la  curva entre los valores paramétricos t1 y t2  Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud de la curva  c entre dos puntos A y B de tal curva  Longitud[lista]: Da por resultado la  longitud de la lista que no es sino el número de  elementos que contiene.    Atención: Ver también la herramienta   Distancia o Longitud  SemiFocal  SemiFocal[Cónica]: Da por resultado la  distancia semifocal de la sección cónica, semi‐ distancia entre  ambos focos o distancia entre uno de sus focos y el centro    Atención: Recordemos que la excentricidad lineal es la razón entre la semi‐focal y la longitud  del semi‐eje mayor (o principal).  SumaInferior  SumaInferior[Función, Número a, Número b, Número n]:  Establece  la   suma inferior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos.   Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma inferior.  Mínimo y Máximo  Mín[número a, número b]: Da por resultado el mínimo de los números a y b dados  Max[Número a, Número b]: Da por resultado el máximo de los números a y b.  Función Módulo o Resto  Resto[número a, número b]:  Determina  el  resto  correspondiente  cuando  la  parte  entera de un número a se divide por la parte entera de un número b  Resto[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Parámetro  Parámetro[Parábola]: Da por resultado el parámetro de la parábola (distancia entre  directriz y foco)   Perímetro  Perímetro[Polígono]: Da por resultado el perímetro del polígono  Radio  Radio[Circunferencia]: Da por resultado el radio de la circunferencia.  53   
  • 54. Comandos Aleatorios  AleatorioEntre[Mínimo(número o valor numérico), Máximo (número o valor numérico)] Genera un entero aleatorio entre Mínimo  y  Máximo  (inclusive).  AleatorioBinomial[Número de Intentos n, Probabilidad p] Genera   un número aleatorio desde una distribución binomial con n intentos y probabilidad p.  AleatorioNormal[Media,Desviación Estándar] Genera un número aleatorio  desde una distribución normal con la media y distribución estándar dadas.  AleatorioPoisson[Media]: Genera un número aleatorio desde una distribución  Poisson con la media dada.  LongitudSemiejePrincipal  LongitudSemiejePrincipal[Cónica]  Da  por  resultado  la  longitud  del  semi‐eje  principal de la sección cónica.  LongitudSemiejeSecundario  LongitudSemiejeSecundario[Cónica] Calcula la longitud del semi‐eje secundario  de la sección cónica.  Pendiente  Pendiente[Recta, semirrecta o segmento] Determina la pendiente de la  recta  involucrada.  Atención: Este comando también traza el triángulo rectángulo de cateto base  unitario que  ilustra la pendiente calculada y cuyas dimensiones pueden modificarse desde el ítem  Tamaño de la pestaña  Estilo  de su Caja de Diálogo de Propiedades.     Atención: Ver también la herramienta  Pendiente  SumaTrapezoidal  SumaTrapezoidal[Función, Número a, Número b, Número n de trapezoides]: Calcula la suma trapezoidal de la función en el intervalo [a, b] con  n trapezoides.     Atención: Este comando también traza los trapezoides de la suma trapezoidal.  SumaSuperior  SumaSuperior[Función, Número a, Número b, Número n]: Calcula la suma  superior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos.     Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma superior   SumaSuperior[Función, Valor Inicial, Valor Final, Número de Rectángulos ]  3.3.4 Ángulo  Ángulo  Ángulo[Vector v1, Vector v2]: Da por resultado el ángulo entre dos vectores v1 y  v2 (entre 0 y 360°)   54   
  • 55. Ángulo[Recta g, Recta h]: Da por resultado el ángulo entre los vectores director  de dos rectas g y h (entre 0 y 360°)   Ángulo[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado el ángulo tendido entre  BA y BC (entre 0 y 360°). El punto B es el vértice.  Ángulo[Punto A, Punto B, Ángulo alpha]:  Da  por  resultado  el  ángulo  de  amplitud α trazado desde A con vértice en B.   Atención: El punto Rota[B, A, α] también se crea.  Ángulo[Cónica]:  Da  por  resultado  el  ángulo  de  revolución  del  eje  principal  de  una  sección cónica c  (ver comando Ejes)   Ángulo[Vector]: Da por resultado el ángulo entre eje‐x y vector dado.  Ángulo[Punto]: Da por resultado el ángulo entre el eje‐x y el vector de posición del  punto A  Ángulo[Número]: Convierte el número en un ángulo (resultando entre 0 y 2pi)   Ángulo[Polígono]:  Crea  todos  los  ángulos  interiores  de  un  polígono  con  orientación  matemáticamente positiva (sentido anti‐horario).  Atención:  Si  el  polígono  fue  creado  con  orientación  anti‐horaria,  ,  se  obtienen  los  valores del los ángulos interiores y los exteriores, en caso contrario (polígono creado  con orientación horaria).    Atención: Ver también las herramientas   Angulo y   Angulo dada su Amplitud  3.3.5 Puntos  Centro  Centro[Cónica]: Marca el centro de una sección cónica.  Atención: Aplicación que sólo tiene sentido en el caso de una circunferencia, elipse o  hipérbola.  Atención: Ver también  la herramienta   PuntoMedio o Centro  Centroide  Centroide[Polígono]: Marca el centroide del polígono  Esquina  Esquina[Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina de la Vista Gráfica  (n = 1, 2, 3, 4) que nunca se hará visible en pantalla.  Esquina[Imagen, Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina enésima  de la imagen (número n = 1, 2, 3, 4 dado que son 4 los vértices) Esquina[Texto, Número de Esquina]: Crea un punto en la esquina del texto (n  = 1, 2, 3, 4) Atención: El orden de numeración de las esquinas sigue el sentido anti‐horario y da inicio en  la inferior izquierda.  Extremo  Extremo[Polinomio]:  Determina  todos  los  extremos  locales  de  la  función  polinómica  como puntos sobre el gráfico de la función.   55   
  • 56. Foco  Foco[Cónica]: Establece (todos) los focos de la sección cónica c  PuntoInflexión  PuntoInflexión[Polinomio]:Establece todo punto de inflexión del polinomio como  puntos de la función gráfica.  Interseca  Interseca[Recta g, Recta h]: Establece el punto de intersección de las rectas g y h   Interseca[Recta, Cónica]: Establece todos los puntos de Intersección de la recta y  la sección cónica (como máximo, 2)   Interseca[Recta, Cónica, Número n]:  Establece  el  punto  número  n  de  intersección de la recta y la sección cónica.  Interseca[Cónica c1, Cónica c2]: Establece todos los puntos de intersección de  las secciones cónicas c1 y c2 (como máximo,  4)   Interseca[Cónica c1, Cónica c2, Número n]:  Establece  el  punto  número  n  de intersección de las secciones cónicas c1 y c2   Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2]:  Establece  todos  los  puntos  de  intersección de los polinomios f1 y f2   Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2, Número n]:  Establece  el  punto  número n de intersección de los polinomios f1 y f2  Interseca[Polinomio f, Recta]:  Establece  todos  los  puntos  de  intersección  del  polinomio f y la recta.   Interseca[Polinomio, Recta, Número n]:  Marca  el  punto  número  n  de  intersección del polinomio y la recta  Interseca[Función f, Función g, Punto A]: Calcula el punto de intersección  de  las  funciones  f  y  g  usando  el  método  de  Newton.,  estableciendo  como  punto  inicial a A.  Interseca[Función, Recta, Punto A]:  Calcula  el  punto  de  intersección  de  la  función y la recta usando el método de Newton., estableciendo como punto inicial a  A.   Atención: Ver también la herramienta    Intersección de Dos Objetos   PuntoMedio  PuntoMedio[Punto A, Punto B]: Marca el punto medio entre los puntos A y B   PuntoMedio[Segmento]: Marca el punto medio del segmento.    Atención: Ver también la herramienta   PuntoMedio o Centro Punto  Punto[Recta]: Marca un punto en la recta  Punto[Cónica]: Marca un punto en la sección cónica  Punto[Función]: Marca un punto en la función   Punto[Polígono]: Marca un punto en el polígono.  Punto[Vector]: Marca un punto en el vector  56   
  • 57. Punto[Punto, Vector]: Crea un nuevo punto originado al operar sumando al dado, el  vector.   Atención: Ver también la herramienta   Punto Raíz  Raíz[Polinomio]:Establece  todas  las  raíces  del  polinomio  como  puntos  de  la  función  gráfica.  Raíz[Función, Número a]:  Establece  una  raíz  de  la  función  usando  el  método  de  Newton, tomando a como valor inicial   Raíz[Función, Número a, Número b]:  Establece  una  raíz  de  la  función  en  el  intervalo [a, b] (con el método regula falsi)   Vértice  Vértice[Cónica]: Da por resultado (todos) los vértices de la sección cónica  3.3.6 Vectores  Vector Curvatura  VectorCurvatura[Punto, Función]:Establece el vector curvatura de la función en  el punto dado.  VectorCurvatura[Punto, Curva]:  Establece  el  vector  curvatura  de  la  curva  en  el  punto dado  Dirección  Dirección[Recta]: Establece el vector director de la recta.   Atención: Una recta cuya ecuación es ax + by = c  tiene vector director (b, ‐ a).   VectorPerpendicular  VectorPerpendicular[Recta]: Establece el vector perpendicular de una recta  Atención: Una recta con ecuación ax + by = c tiene vector perpendicular (a, b).   VectorPerpendicular[Vector]: Vector perpendicular del vector dado.  Atención: El vector de coordenadas (a, b) tiene uno perpendicular de (‐ b, a).   VectorUnitarioPerpendicular  VectorUnitarioPerpendicular[Recta]:  Establece  el  vector  unitario  perpendicular a la recta dada   VectorUnitarioPerpendicular[Vector]:  Establece  el  vector  unitario  perpendicular a vector dado  VectorUnitario  VectorUnitario[Recta]: Establece el vector director de longitud unitaria de la recta  dada.  VectorUnitario[Vector]:  Establece  el  vector  director  de  longitud  unitaria  con  la  misma dirección y orientación del dado   57   
  • 58. Vector  Vector[Punto A, Punto B]: Crea el vector desde el punto A al punto B   Vector[Punto]: Establece el vector posición del punto     Atención: Ver también la herramienta   Vector entre Dos Puntos  3.3.7 Segmentos  Segmento  Segmento[Punto A, Punto B]: Crea el segmento entre dos puntos A y B   Segmento[Punto A, Número a]: Crea el segmento de longitud a y punto inicial A.   Atención: El punto final del segmento también se crea.    Atención: Ver también las herramientas   Segmento entre Dos Puntos y   Segmento dados  Punto Extremo y Longitud  3.3.8 Semirrectas  Semirrecta  Semirrecta[Punto A, Punto B]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto A y  pasa por el punto B   Semirrecta[Punto, Vector v]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto dado  y tiene la dirección del vector v     Atención: Ver también la herramienta   Semirrecta que pasa por Dos Puntos  3.3.9 Polígonos  Polígono  Polígono[Punto A, Punto B, Punto C,...]:  Establece  un  polígono  definido  por los puntos A, B, C,… dados  Polígono[Punto A, Punto B, Número n]:  Establece  un  polígono  regular  con  n  vértices (incluyendo los puntos A y B)    Atención: Ver también las herramientas   Polígono y   Polígono Regular  3.3.10 Rectas  Bisectriz  Bisectriz[Punto A, Punto B, Punto C]:  Establece  la  bisectriz  del  ángulo  definido por los puntos A, B y C.   Atención: El punto B es el vértice de este ángulo.     58   
  • 59. Bisectriz[Recta g, Recta h]:  Establece  las  bisectrices  de  los  ángulos  formados  por las rectas.     Atención: Ver también la herramienta  Bisectriz  Asíntota  Asíntota[Hipérbola]: Establece ambas asíntotas de una hipérbola   Ejes  Ejes[Cónica]: Traza los ejes principal y secundario de la sección cónica  DiámetroConjugado  DiámetroConjugado[Recta, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es  paralelo a la recta (relativo a la sección cónica).  DiámetroConjugado[Vector, Cónica]:  Establece  el  diámetro  conjugado  del  que  es paralelo al vector dado (relativo a la sección cónica).   Diámetro  Diámetro[Recta, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo a la  recta (relativo a la sección cónica).  Diámetro [Vector, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo al  vector dado (relativo a la sección cónica).   Directriz  Directriz[Parábola]: Establece la directriz de la parábola   Recta  Recta[Punto A, Punto B]: Crea una recta que pasa por los puntos A y B   Recta[Punto, Recta]:  Crea  una  recta  que  pasa  por  el  punto  dado  y  es  paralela  a  la  recta   Recta[Punto, Vector v]:  Crea  una  recta  que  pasa  por  el  punto  dado  y  tiene  la  dirección del vector v     Atención: Ver también la herramienta  Recta que pasa por Dos Puntos  EjePrincipal  EjePrincipal[Cónica]: Traza el eje principal de la sección cónica  EjeSecundario   EjeSecundario[Cónica]: Establece el eje secundario de la sección cónica   Perpendicular  Perpendicular[Punto, Recta]:  Crea  la  recta  que  pasa  por  el  punto  y  es  perpendicular a la recta dada   Perpendicular[Punto, Vector]:  Crea  la  recta  que  pasa  por  el  punto  y  es  perpendicular al vector dado    59   
  • 60. Atención: Ver también la herramienta  Recta Perpendicular Mediatriz  Mediatriz[Punto A, Punto B]: Traza la mediatriz del segmento de extremos AB   Mediatriz[Segmento]: Traza la mediatriz del segmento    Atención: Ver también la herramienta  Mediatriz  Polar  Polar[Punto, Cónica]:  Crea  la  recta  polar  de  un  punto  dado,  relativo  a  la  sección  cónica    Atención: Ver también la herramienta   Recta Polar o Diametral  Tangente  Tangente[Punto, Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica que pasan  por el punto dado   Tangente[Recta, Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica, paralelas a  la recta   Tangente[Número a, Función]: Crea la tangente a la función en x = a   Tangente[Punto A, Función]: Crea la tangente a la función en x = x(A)     Atención: x(A) es la coordenada x del punto A.  Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado    Atención: Ver también la herramienta Tangentes 3.3.11 Secciones Cónicas  Circunferencia  Circunferencia[Punto M, Número r]: Establece la circunferencia con centro M y  radio r   Circunferencia[Punto M, Segmento]: Establece la circunferencia con centro M y  radio de longitud dada  por el segmento   Circunferencia[Punto M, Punto A]: Establece la circunferencia con centro M y  que pasa por el punto A   Circunferencia[Punto A, Punto B, Punto C]: Establece la circunferencia que  pasa por los puntos dados A, B y C     Atención: Ver también las herramientas  Compás,   Circunferencia dados su Centro y uno  de sus Puntos,   Circunferencia dados su Centro y Radio y   Circunferencia dados  Tres de sus Puntos  Cónica  Cónica[Punto A, Punto B, Punto C, Punto D, Punto E]:  Produce  la  sección cónica que pasa por los cinco puntos dados A, B, C, D y C.   60   
  • 61. Atención:  Si  cuatro  de  estos  puntos  estuvieran  alineados,  la  sección  cónica  resulta  indefinida.  Atención: Ver también la herramienta   Cónica dados Cinco de sus Puntos Elipse  Elipse[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y  eje principal de longitud a.  Atención: Condición: 2a > Distancia[F, G]   Elipse[Punto F, Punto G, Segmento]:  Crea  la  elipse  con  puntos  focales  F  y  G  siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento dado.  Elipse[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A  y B  que pasa a través del punto C    Atención: Ver también la herramienta   Elipse  Hipérbola  Hipérbola[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales  F y G y eje principal de longitud a.   Atención: Condición: 0 < 2a < Distancia[F, G]   Hipérbola[Punto F, Punto G, Segmento s]:  Crea  la  hipérbola  con  puntos  focales  F  y  G  siendo  la  longitud  del  eje  principal  igual  a  la  del  segmento  s  (a  =  Longitud[s])   Hipérbola[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A  y B que pasa por el punto C  Atención: Ver también la herramienta  Hipérbola CírculoOsculador  CírculoOsculador[Punto, Función]: Establece el círculo osculador de la función  en el punto dado  CírculoOsculador[Punto, Curva]: Establece el círculo osculador de la curva en el  punto dado   Parábola  Parábola[Punto F, Recta g]: Establece la parábola con punto focal F y directriz g   Atención: Ver también la herramienta   Parábola  3.3.12 Funciones  Funciones Condicionales  Puede usarse el comando Booleano si  para crear una función condicional.     Atención:  Pueden  usarse  derivadas  e  integrales    de  tales  funciones  e  intersecarlas  como  funciones “normales”.  Ejemplos:  • f(x) = Si[x < 3, sin(x), x^2] ofrece una función igual a:  o sin(x) para x < 3 y   o x2 para x ≥ 3.  61   
  • 62. • a ≟ 3 ˄ b ≥ 0 evalúa si “a es igual a 3  y b is mayor o igual que 0”   Atención:  En  el  menú  desplegable  del  extremo  izquierdo  de  la  Barra  de  Entrada,  se  encuentran los símbolos para las expresiones condicionales (como ≟, ˄, ≥).  Derivada  Derivada[Función]: Da por resultado la derivada de la función  Derivada[Función, Número n]:  Da  por  resultado  la  derivada  de  orden  n  de  la  función.  Atención: Puede usarse f’(x) en  lugar de Derivada[f]así como  f’’(x) en lugar de  Derivada[f, 2].  Desarrolla  Desarrolla[Función]: Multiplica distributivamente las expresiones entre paréntesis.  Ejemplo: Desarrolla[(x + 3)(x - 4)] da por resultado f(x) = x2 ‐ x ‐ 12  Factoriza  Factoriza[Polinomio]: Factoriza el polinomio dado    Ejemplo: Factoriza[x^2 + x - 6] da por resultado f(x) = (x‐2)(x+3)  Función  Función[Función, Número a, Número b]: Establece una función gráfica igual a la  dada en el intervalo [a, b] y no definida fuera de [a, b]   Atención: Este comando debiera usarse únicamente para exponer funciones en cierto  intervalo.    Ejemplo: f(x) = Función[x^2, -1, 1] traza el gráfico de la función x2   en el  intervalo [‐1, 1]. Al anotar g(x) = 2 f(x) se obtendrá la función g(x) = 2  x2,  pero no estará restringida al intervalo [‐1, 1].  Integral  Integral[Función]: Establece la integral indefinida para la función   Atención: Ver también el comando para la Integral Definida   Polinomio  Polinomio[Función]: Establece el polinomio desarrollado de la función    Ejemplo: Polinomio[(x - 3)^2] se desarrolla como x2 ‐ 6x + 9   Polinomio[Lista de n puntos]: Crea el polinomio de interpolación de grado n‐1 a  través de los puntos dados.  Simplifica  Simplifica[Función]: Simplifica los términos de la función dada si fuera posible.    Ejemplos:     Simplifica[x + x + x] da por resultado una función f(x) = 3x    Simplifica[sin(x) / cos(x)] da por resultado una función  f(x) = tan(x)  Simplifica[-2 sin(x)cos(x)] da por resultado una función f(x) = sin(‐2 x)  62   
  • 63. PolinomioTaylor  PolinomioTaylor[Función, Número a, Número n]:  Crea  el  desarrollo  de  las  serie de potencias de orden n para la función en torno al punto x = a    3.3.13 Curvas Paramétricas  Curva  Curva[Expresión e1, Expresión e2, Parámetro t, Número a, Número b]: Establece la curva paramétrica cartesiana dados la expresión en x e1 y  la expresión en y e2 (usando el parámetro t) en el intervalo establecido [a, b]  Ejemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]    Atención:  Las  curvas  paramétricas  pueden  usarse  como  funciones  en  expresiones  aritméticas.    Ejemplo: La entrada c(3) brinda el punto en la posición paramétrica 3 en la curva c.     Atención:  Usando  el  ratón  o  mouse  puede  ubicarse  un  punto  en  una  curva  apelando  a  la  herramienta   Nuevo Punto o al comando Punto. Como los parámetros a y b son dinámicos,  pueden emplearse deslizadores variables allí (ver herramienta   Deslizador).  Comandos para curvas paramétricas   Curvatura[Punto, Curva]: Calcula la curvatura de la curva en el punto dado VectorCurvatura[Punto, Curva]:  Establece  el  vector  curvatura  de  la  curva  en  el  punto dado. Derivada[Curva]: Da por resultado la derivada de la función  Derivada[Curva, Número n]:  Da  por  resultado  la  derivada  de  orden  n  de  la  curva  paramétrica  Longitud[Curva, Número t1, Número t2]:  Establece  la  longitud  de  la  curva  entre los valores paramétricos t1 y t2.  Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Establece la longitud de la curva c entre  dos puntos A y B que pertenecen a c  CírculoOsculador [Punto, Curva]: Establece el círculo oscilador de la curva en el  punto dado.  Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado.  3.3.14 Arcos y Sectores  Atención: El valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector, su área.   Arco  Arco[Cónica, Punto A, Punto B]: Sobre la sección cónica dada, establece el arco  que se extiende entre dos de  sus puntos,  A y B.  Atención: Esto sólo opera para circunferencias o elipses.   Arco[Cónica, Número t1, Número t2]: Establece el arco de sección cónica entre  dos  valores  paramétricos  t1  y  t2  sobre  la  sección  cónica  dada,  para  los  siguientes  formatos paramétricos:  63   
  • 64. Atención: Internamente se usan las siguientes formas paramétricas:   o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia   o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del eje principal y del  secundario, respectivamente  ArcoCircunferencia  ArcoCircunferencia[Punto M, Punto A, Punto B]:  Crea  un  arco  de  circunferencia con Punto Medio M entre los puntos A y B.   Atención: El punto B no necesariamente estará sobre el arco.   ArcoCircunferencia[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario]   Atención:  Ver  también  la  herramienta    Arco  de  Circunferencia  dados  su  Centro  y  Dos  Extremos  SectorCircular  SectorCircular[Punto M, Punto A, Punto B]: Crea el sector circular con  Punto Medio M entre dos puntos A y B.   Atención: El punto B no debe necesariamente que pertenecer al arco del sector.  SectorCircular[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario] Atención: Ver también la herramienta   Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos  ArcoCircuncircular  ArcoCircuncircular[Punto Extremo A, Punto B, Punto Extremo C]:  Crea el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B, C, siendo A y C sus  extremos.    Atención: Ver también la herramienta  Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos    SectorCircumcircular  SectorCircumcircular[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea un sector  circular cuyo arco pasa por los tres puntos A, B y C    Atención: Ver también la herramienta   Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco  Sector  Sector[Cónica, Punto A, Punto B]:  Determina  el  sector  de  la  sección  cónica  entre dos puntos A y B sobre la cónica dada.  Atención  Opera únicamente para una circunferencia o elipse.  Sector[Cónica, Número t1, Número t2]:  Determina  el  sector  de  la  sección  cónica entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica.  Opera  con los siguientes formatos paramétricos:   o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia  o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer eje y del  segundo, respectivamente  64   
  • 65. Semicircunferencia  Semicircunferencia[Punto A, Punto B]:  Crea  una  semicircunferencia  por  encima del segmento AB Atención: Ver también la herramienta   Semicircunferencia  3.3.15 Texto  LaTeX  LaTeX[Objeto]:  Da  por  resultado  la  fórmula  correspondiente  al  objeto,  como  texto   LaTeX       Ejemplo: Si a = 2  y f(x) = a x2, entonces LaTeX[f] da por resultado 2 x2 (como un  texto LaTeX)  LaTeX[Objeto, Booleana]:  Da  por  resultado  la  fórmula  para  el  objeto,  como  texto  LaTeX.  La  variable  Booleana  determina  si  los  valores  son  sustituidos  por  variables  (verdadero) o si los nombres de las variables se exponen en el texto (falso).    2 Ejemplos: Si a = 2   y  f(x) = a x , entonces    LaTeX[f, cierto] da por resultado 2 x2 (como un texto LaTeX)    2  LaTeX[f, falso] da por resultado a x  (como un texto LaTeX)    LaTeX[ <Objeto> ] LaTeX[ <Objeto>, <Booleana para Sustitución de Variables> ] TextoFracción  TextoFracción[Número]: Convierte el número o valor numérico en una fracción, que  se expone como un objeto de texto (LaTeX) en la Vista Gráfica.  Ejemplo: Siendo  y = 1.5 x + 2 una recta, TextoFracción [Pendiente[a]] da por  resultado, como texto expuesto en la Vista Gráfica, 3/2.  CódigoDeLetra  CódigoDeLetra["Letra"]: Da  por  resultado  el  número  correspondiente  al  código   Unicode de la letra dada.  Atención: La letra debe estar entrecomillada.    Ejemplo: CódigoDeLetra["a"] da por resultado el número 97  CódigoDeLetra[ <Letra (entrecomillada)> ] Nombre  Nombre[Objeto]:  Da  por  resultado  el  nombre  de  un  objeto  como  texto  en  la  Vista  Gráfica.  Atención:  Este  comando  resulta  especialmente  útil  para  texto  dinámico  de  objetos  que  pueden ser renombrados.  El comando Nombre es opuesto a su recíproco, Objeto.  Objeto  Objeto[Nombre del objeto como texto]:  Da  por  resultado  el  objeto  correspondiente  al  nombre  dado,  expresado  como  texto  (estático  y/o  dinámico).  El  resultado es siempre un objeto dependiente.     Atención: El comando Objeto es el opuesto a su recíproco, Nombre.  65   
  • 66. Ejemplo: Si existen los puntos A1, A2, ... , A20 y el deslizados n = 2, entonces, Objeto["A" + n] da por resultado una copia del punto A2.  TablaTexto  TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,...]: Crea una tabla de texto que  contiene las listas de objetos dadas.   Atención: Por omisión, cada lista se expone como nueva columna de la tabla.  Ejemplos:     TablaTexto[{x^2, x^3, x^4}] crea una tabla como objeto de texto con tres  filas y tres columnas. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda.  TablaTexto[Secuencia[i^2, i, 1, 10]] crea una tabla como objeto de  texto con una fila. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda. TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,.., “Alineación del Texto”]: Crea un texto que contiene una tabla de las listas de objetos. El texto  adicional optativo, “Alineación del texto” controla la orientación  y alineación de la  tabla de texto.   Atención: Los posibles valores son "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". El valor por  omisión es "hl". "v" = vertical, de modo que las listas se organizan como columnas    "h" = horizontal, de modo que las listas se organizan como filas    "l" = alineación a izquierda    "r" = alineación a derecha    "c" = alineación centrada    Ejemplos:  TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] crea una tabla de texto con dos  columnas  y cuatro filas cuyos elementos se alinean a izquierda.    TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] crea una tabla de texto con dos  filas y cuatro columnas  cuyos elementos se alinean a izquierda.    TablaTexto[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"]  crea  una  tabla  de  texto con una fila cuyos elementos se alinean a derecha.  Texto  Texto[Objeto]:  Da  por  resultado  el  objeto  de  texto  correspondiente  al  dado  por  su  fórmula.  Atención:  Por  omisión,  cada  variable  es  sustituida  por  su  correspondiente  valor.   Ejemplo: Si a = 2  y c = a2, entonces, Texto[c] da por resultado el texto "4".  Texto[Objeto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da por  resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. La condición  Booleana determina si las variables son sustituidas por sus valores (cierto) o por sus  nombres (falso), y expuestas del correspondiente modo.  Ejemplo: Si a = 2  y c = a2, entonces    Texto[c, cierto] Da por resultado el texto "4".    Texto[c, falso] Da por resultado el texto "a2"  Texto[Objeto, Punto]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado  por su fórmula, expuesto en la posición señalada por el puntos.  Ejemplo: Texto["hola", (2, 3)] expone ese texto en la posición (2, 3).  66   
  • 67. Texto[Objeto, Punto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da  por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula, expuesto en  la posición señalada por el punto.  La  condición  Booleana  determina  si  el  texto  a  exponer  será  el  de  los  valores  de  las  variables (cierto) o al de sus nombres (falso).  CódigoDeTexto  CódigoDeTexto[“Texto”]: Da por resultado una lista de los números  correspondientes al código Unicode de cada uno de los caracteres del texto.   jemplos:  E CódigoDeTexto[“ex texto”] TextToUnicode["Some text"] da por resultado la lista de cada uno de los números Unicode siguientes   {101,120,  32, 116, 101, 120, 116, 111}.    Si el texto fuese "hola” “hello", entonces CódigoDeTexto[“Hola”]: daría por  resultado esta lista   {104, 111, 108,  111}.  LetraDeCódigo  LetraDeCódigo[Unicode (número]: Da por resultado la letra cuyo código Unicode  se corresponde con la parte entera del número dado, exponiéndola como un objeto  de texto en la Vista Gráfica.  Ejemplo: LetraDeCódigo[97] expone como texto a la letra "a".  TextoDeCódigo  TextoDeCódigo[Lista de Unicodes (números)]:  Da  por  resultado  el  texto  cuyo código Unicode se corresponde con la parte entera de cada uno de los sucesivos  números que componen la lista dada, exponiéndolo como objeto en la Vista Gráfica.  Ejemplo: TextoDeCódigo[{104, 111, 108, 97}] da por resultado el texto  "hola".  3.3.16 Lugar Geométrico  Locus ‐‐ LugarGeométrico  LugarGeométrico[Punto Q, Punto P]:  Da  por  resultado  el  lugar  geométrico  del  punto Q que depende del punto P.     Atención:  El  punto  P  debe  ser  un  punto  sobre  un  objeto  (recta,  segmento,  circunferencia).     Atención: Ver también la herramienta   Lugar Geométrico  3.3.17 Listas y Secuencias  Anexa  Anexa[Lista, Objeto]: Anexa el objeto a la lista    Ejemplo: Anexa[{1, 2, 3}, (5, 5)] da por resultado {1, 2, 3, (5, 5)}  Anexa[Objeto, Lista]: Anexa la lista al objeto    Ejemplo: Anexa[(5, 5), {1, 2, 3}] da por resultado {(5, 5), 1, 2, 3}  Anexa[ <Lista>, <Objeto>] Anexa[ <Objeto>, <Lista> ] 67   
  • 68. CuentaSi  CuentaSi[Condición, Lista]:  Cuenta  el  número  de  elementos  de  la  lista  que  cumplen con la condición dada    Ejemplos:  CuentaSi[x < 3, {1, 2, 3, 4, 5}] da por resultado el número 2    CuentaSi[x<3, A1:A10]  donde  A1:A10  es  un  rango  de  celdas  de  la  hoja  de  cálculo, cuenta todas las celdas cuyos valores son menores que 3.  Elemento  Elemento[Lista,Número n]: Determina el elemento número n (enésimo) de la lista   Atención: La lista puede contener únicamente objetos del mismo tipo (por ejemplo, sólo  números o sólo puntos).  Primero  Primero[Lista]: Da por resultado el primer elemento de la lista  Primero[Lista, Número n de elementos]:  Da  por  resultado  una  nueva  lista,  que contiene los primeros n elementos de la dada.  Intercala  Intercala[Objeto, Lista, Posición] Da por resultado una nueva lista en la  que se intercalara el objeto dado en la posición especificada.      Ejemplo: Intercala[x^2, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] ubica a  x2 en la tercera  posición  y  da por resultado la lista {1, 2, x2, 3, 4, 5}      Atención: Si la posición fuera un número negativo, se cuenta desde el final de la lista  y en adelante hacia la derecha.  Ejemplo: Intercala[(1, 2), {1, 2, 3, 4, 5}, -1] ubica el punto al  final y da por resultado la lista {1, 2, 3, 4, 5, (1, 2)} Intercala[Lista 1, Lista 2, Posición] Intercala todos los elementos de  lista 1 en lista 2  en la posición indicada.    Ejemplo: Intercala[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] ubica los  elementos de la primera lista a partir de la tercera posición de la segunda y da por  resultado la nueva lista {1, 2, 11, 12, 3, 4, 5}   Atención: Si la posición fuera un número negativo, se cuenta desde el final de la lista  y en adelante hacia la derecha.      Ejemplo: Intercala[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, -2] ubica los  elementos de la primera lista desde la penúltima posición de la segunda (antes del  último elemento) y da por resultado   {1, 2, 3, 4, 11, 12, 5}.  Intersección  Intersección[Lista 1, Lista 2]: Da por resultado una nueva lista que contiene  todos los elementos comunes a ambas.  68   
  • 69. ListaIteración  ListaIteración[Función, Valor Inicial x0, Número de Iteraciones n]: Da por resultado una lista de n+1  elementos que resultan de  las iteraciones de la función a partir del valor inicial x0.    Ejemplo: Tras definir la función  f(x) = x^2 el comando    L = ListaIteración[f, 3, 2] da por resultado la lista    L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}  Encadena  Encadena[Lista 1, Lista 2, ...Lista n]: Encadena dos o más listas, dando  por resultado una nueva en la que se organiza la sucesión de elementos de cada una  de las dadas, por orden.    Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese  a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno.    Ejemplos:   Encadena[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] crea la lista {5, 4, 3, 1, 2, 3}  Encadena[Lista de listas]: Encadenas las sub‐listas en una de longitud mayor en  que se concatenan sus correspondientes elementos.    Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese  a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno.    Ejemplos:   Encadena[{{1, 2}}] crea la lista {1, 2}  Encadena[{{1, 2, 3}, {3, 4}, {8, 7}}]  crea  la  lista   {1, 2, 3, 3, 4, 8, 7}  ConservaSi  ConservaSi[Condición, Lista]: Crea una nueva lista que únicamente contiene  aquellos elementos de la dada que cumplan con la condición especificada.    Ejemplo: ConservaSi[x<3, {1, 2, 3, 4, 1, 5, 6}] Da por resultado la  nueva lista {1, 2, 1}  Ultimo  Ultimo[Lista]: Da por resultado el último elemento de la lista.  Ultimo[Lista, Los n últimos elementos (número)]: Da por resultado una  lista que contiene los últimos n elementos de la dada.  Longitud  Longitud[Lista]  Establece  la  longitud  de  la  lista,  determinada  por  el  número  de  elementos que la compone.  Mínimo  Mínimo[Lista]: Da por resultado el mínimo elemento de la lista Mínimo[Número (o valor numérico), Número (o valor numérico)]: Da por resultado el menor de entre los dos números dados. Máximo  Máximo[Lista]: Da por resultado el máximo elemento de la lista 69   
  • 70. Máximo[Número (o valor numérico), Número (o valor numérico)] Da  por resultado el mayor de los dos números dados. Producto  Producto[Lista de números]: Calcula el producto de todos los números de la lista  EliminaIndefinidos  EliminaIndefinidos[Lista]: Establece una lista de la que se ha eliminados los  objetos indefinidos de la dada.  Ejemplo: EliminaIndefinidos[Secuencia[(-1)^i, i, -3, -1, 0.5]] da por resultado una lista de la que se ha eliminado el segundo y el cuarto  elementos de la secuencia dado que, al estar elevados a exponentes no enteros,  quedan indefinidos.  ListaInversa  ListaInversa[Lista]:  Crea  una  lista  cuyos  elementos  aparecen  en  orden  inverso  respecto de la dada.  Secuencia  Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b]: Establece una  lista  de  objetos  creados  desde  la  expresión  dada  y  el  índice  i  que  varía  en  el  rango  que va del número a al b.    Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5] crea una lista de puntos cuyas  ordenadas (coordenadas y) varían dentro del rango de 1 a 5  Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b, Incremento]: Establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el  índice i que varía en el rango que va del número a al b con el incremento dado.    Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5, 0.5] crea una lista de puntos  cuyas ordenadas (coordenadas y) varían en el rango de 1 a 5, con un incremento de a  0.5.    Atención:  Como  los  parámetros  a  y  b  son  dinámicos,  también  se  pueden  emplear  en  este  caso variables, como las establecidas por un deslizador.  Ordena  Ordena[Lista]: Crea una lista compuesta por los elementos ordenados (números,  objetos de texto o puntos) de la dado.  Atención: Las listas de puntos se organizan según el orden creciente de sus abscisas  (coordenadas x).    Ejemplos:    Ordena[{3, 2, 1}] da por resultado la lista {1, 2, 3}.    Ordena[{"pera", "ananá", "fresa"}] da por resultado la lista de tales  elementos ordenados alfabéticamente [{"ananá","fresa”, "pera"}] Ordena[{(3, 2), (2, 5), (4, 1)}] resulta {(2, 5), (3, 2), (4, 1)}.  Suma  Suma[Lista]: Calcula la suma  de todos los elementos de la lista.     Atención:  Este  comando  opera  con  números,  puntos,  vectores,  texto  y  funciones.  70   
  • 71. Ejemplos:  Suma[{1, 2, 3}] da por resultado el número a = 6.   Suma[{x^2, x^3}] da por resultado f(x)=x2 + x3.      Suma[Secuencia[i,i,1,100]] da por resultado el número a = 5050.    Suma[{(1, 2), (2, 3)}] da por resultado el punto A = (3, 5).    Suma[{(1, 2), 3}] da por resultado el punto B = (4, 2).    Suma[{"a","b","c"}] da por resultado el texto "abc".  Suma[Lista, Número n de elementos]:  Calcula  la  suma  de  los  primeros  n  elementos de la lista.   Atención:  Este  comando  opera  con  números,  puntos,  vectores,  texto  y  funciones.  Ejemplo: Suma[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4] da por resultado el número a = 10.  Extrae  Extrae[Lista, Posición Inicial m, Posición Final n]: Da por  resultado una lista que contiene los elementos, desde el que ocupa la posición m a la  n en la dada.  Unión  Unión[Lista 1, Lista 2]:  Encadena  las  dos  listas,  eliminando  los  elementos  que  aparecen más de una vez.  3.3.18 Transformaciones Geométricas  Homotecia  Homotecia[Punto A, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  del  punto  A  desde el punto S según el factor correspondiente al número dado.   Homotecia[Recta, Número, Punto S]: Establece la homotecia de la recta desde el  punto S según el factor correspondiente al número dado   Homotecia[Cónica, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  de  la  sección  cónica desde el punto S según el factor correspondiente al número dado   Homotecia[Polígono, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  del  polígono  desde el punto S según el factor correspondiente al número dado  Atención: Se crean, también, los nuevos vértices y lados correspondientes.   Homotecia[Imagen, Número, Punto S]:  Establece  la  homotecia  de  la  imagen  desde el punto S según el factor correspondiente al número dado     Atención: Ver también la herramienta   Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala   Homotecia[Objeto, Factor de Escala (número o valor numérico), Centro (punto)] Refleja  Refleja[Punto A, Punto B]: Refleja el punto A por punto B   Refleja[Recta, Punto]: Refleja la recta por el punto  Refleja[Cónica, Punto]: Refleja la sección cónica c por el punto dado  Refleja[Polígono, Punto]: Refleja el polígono por el punto dado.   Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados.  Refleja[Imagen, Punto]: Refleja la imagen por el punto dado   71   
  • 72. Refleja[Punto, Recta]: Refleja el punto en la recta dada  Refleja[Recta g, Recta h]: Refleja la recta g en la recta h   Refleja[Cónica, Recta]: Refleja la sección cónica en la recta dada.   Refleja[Polígono, Recta]: Refleja el polígono en la recta dada.   Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados.   Refleja[Imagen, Recta]: Refleja la imagen por la recta dada   Refleja[Punto, Circunferencia]: Invierte el punto en la circunferencia      Atención: Ver también las herramientas   Refleja Objeto por Punto;   Refleja Objeto en  Recta;    Refleja Punto en Circunferencia  Rota  Rota[Punto, Ángulo]: Rota el punto por el ángulo en torno al origen de coordenadas   Rota[Vector, Ángulo]: Rota el vector por el ángulo dado.  Rota[Recta, Ángulo]: Rota la recta por el ángulo en torno al origen de coordenadas  Rota[Cónica, Ángulo]:  Rota  la  sección  cónica  por  el  ángulo  en  torno  al  origen  de  coordenadas  Rota[Polígono, Ángulo]:  Rota  el  polígono  por  el  ángulo  en  torno  al  origen  de  coordenadas. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de  los lados.   Rota[Imagen, Ángulo]:  Rota  la  imagen  el  ángulo  dado  en  torno  al  origen  de  coordenadas  Rota[Punto A, Ángulo, Punto B]:  Rota  el  punto  A,  el  ángulo  dado  en  torno  al  punto B   Rota[Recta, Ángulo, Punto]: Rota la recta por el ángulo en torno al punto.  Rota[Vector, Ángulo, Punto]: Rota el vector por el ángulo en torno al punto.  Rota[Cónica, Ángulo, Punto]:  Rota  la  sección  cónica  por  el  ángulo  en  torno  al  punto.  Rota[Polígono, Ángulo, Punto]:  Rota  el  polígono    por  el  ángulo  en  torno  al   punto. Atención:  Se  crean  también  los  nuevos  puntos  vértices  y  segmentos  de  los  lados.   Rota[Imagen, Ángulo, Punto]: Rota la imagen por el ángulo en torno al  punto     Atención: Ver también las herramientas    Rota Objeto en torno Punto, el Ángulo indicado  Traslada  Traslada[Punto, Vector]: Traslada el punto por el vector   Traslada[Recta, Vector]: Traslada la recta por el vector  Traslada[Cónica, Vector]: Traslada la cónica c por el vector   Traslada[Función, Vector]: Traslada la función por el vector  Traslada[Polígono, Vector]: Traslada el polígono por el vector.   Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados.   Traslada[Imagen, Vector]: Traslada la imagen por el vector   Traslada[Vector, Punto]: Traslada el vector al punto P   Atención: Ver también la herramienta   Traslada Objeto por un Vector   72   
  • 73. 3.3.19 Comandos Estadísticos  Barras  Barras[Valor Inicial, Valor Final, Lista de Alturas]Crea  un  diagrama  en  un  intervalo,  con  una  barra  por  cada  elemento  de  la  lista,  cuya  altura  depende del correspondiente valor.   Ejemplo:  Barra[10, 20, {1,2,3,4,5} ]  da  por  resultado  un  diagrama  de  cinco  barras  en  el  intervalo  [10,  20].,  cada  una  de  las  cuales  tendría  una  altura  especificadas por el valor de cada elemento{1,2,3,4,5} ,   Barras[Valor Inicial a, Valor Final b, Expresión, Variable k, Desde número c, A número d]: Crea un diagrama en el intervalo [a, b], en el  que la altura de cada una de las barras se calcula según la expresión cuya variable k  se evalúa entre el número c y el número d    Ejemplo: Si p = 0.1, q = 0.9,  y n = 10 son números, entonces   Barras[ -0.5, n + 0.5, NúmeroCombinatorio[n,k]*p^k*q^(n- k), k, 0, n ] da por resultado un diagrama en el intervalo [‐0.5, n+0.5]. La  altura de cada barra depende de las probabilidades calculadas empleando la  expresión dada:.  Barras[Valor Inicial a, Valor Final b, Expresión, Variable k, Desde número c, A número d, Ancho de Paso s]  Crea un diagrama en el intervalo [a, b], en el que la altura de cada una de las barras  se calcula según la expresión cuya variable k se evalúa entre el número c y el número  d con un ancho de paso determinado por s  Barras[Lista de datos enumerados, Ancho de barras]: Crea un diagrama  usando los datos, cuyas barras tienen el ancho dado.    Ejemplo: Barra[ {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5,5}, 1]  Barras[Lista de datos, Lista de frecuencias]: Crea un diagrama usando  la lista de datos, acorde a las correspondientes frecuencias      Atención:  En la lista, los números ascienden según una cantidad constante.    Ejemplos:   Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}]   Barras[{5, 6, 7, 8, 9}, {1, 0, 12, 43, 3}]   Barras [{0.3, 0.4, 0.5, 0.6}, {12, 33, 13, 4}]  Barras[Lista de datos, Lista de frecuencias, Ancho de las barras w]: Crea un diagrama usando la lista de datos y las correspondientes  frecuencias, cuyas barras tienen un ancho fijado por w    Atención: En la lista de datos los números deben ascender según una cantidad  constante     Ejemplos:  Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0.5] deja brechas entre las  barras.    Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0] produce un gráfico recto  73   
  • 74. DiagramaCaja  DiagramaCaja[yRadio, yEscala, Lista de Datos]:  Crea  un  diagrama  usando  los  datos  dados,  cuya  posición  vertical  en  el  sistema  de  coordenadas  lo  controla la variable  yRadio y su altura, depende del factor yEscala   Ejemplo: DiagramaCaja[0, 1, {2,2,3,4,5,5,6,7,7,8,8,8,9}] DiagramaCaja[yRadio, yEscala, Valor Inicial, Q1, Mediana, Q3>, Valor Final]: Crea un diagrama para los datos estadísticos dados en el intervalo  [Valor Inicial, Valor Final] CPearson  CPearson[[Lista de Abscisas, Lista de Ordenadas]: Calcula el coeficiente  de correlación de Pearson de los puntos dados por las listas de sus coordenadas, la de  las abscisas y la de las ordenadas.  CPearson[Lista de Puntos]: Calcula el coeficiente de correlación de Pearson de los  puntos dados en la lista.  Covarianza  Covarianza[Lista de Números, Lista de Números]:  Calcula  la  covarianza  usando los elementos de ambas listas Covarianza[Lista de Puntos]: Calcula la covarianza usando las coordenadas x e y  de cada uno de los puntos listados.   AjusteLineal  AjusteLineal[Lista de Puntos]:  Calcula  la  recta  de  regresión  y  sobre  x  de  los  puntos listados.    Atención: Ver también la herramienta   Ajuste Lineal    Otros Comandos de Ajuste  AjusteExp[Lista de Puntos]:  Calcula  la  curva  de  regresión  exponencial  de  los  puntos listados.  AjusteLog[Lista de Puntos]:  Calcula  la  curva  de  regresión  logarítmica  de  los  puntos listados.  AjusteLogístico[Lista de Puntos]:  Calcula  la  curva  de  regresión  de  la  forma  a/(1+b x^(‐kx)) de los puntos listados.    Atención:  El  primer  punto  así  como  el  último  de  la  lista  deberían  estar  bastantes  cerca de la curva. La lista debería tener al menos 3 puntos, más preferiblemente.  AjustePolinómico[Lista de Puntos, Grado Polinomio]:  Calcula  la  regresión polinómica de grado n de los puntos listados  AjustePotencia[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión de la forma a xb   de los puntos listados.    Atención:  Todos  los  puntos  empleados  deben  estar  en  el  primer  cuadrante  del  sistema de coordenadas..  AjusteSen[Lista de Puntos]: Calcula la curva sinusoidal de regresión de la forma   a + b sin(cx+d).de los puntos listados (sin corresponde a sen, seno).  Atención:  La  74   
  • 75. lista debería tener un mínimo de 4 puntos, más preferiblemente, cubriendo al menos  dos  extremos.  Los  primeros  dos  puntos  extremos  relativos  no  deberían  diferir  demasiado de los absolutos de la curva.  Histograma  Histograma[Lista de Extremos de Intervalos, Lista de Alturas]:  Crea un histograma sobre la lista de intervalos, con barras acorde a la lista de alturas.  La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra..  Ejemplo:  Histograma[{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 6, 8, 3, 1}]  crea  un  histograma de 5 barras de las alturas especificadas. La primera barra está ubicada en  el intervalo [0, 1]; la segunda, en [1, 2],  y así sucesivamente.  Histograma[Lista de Extremos de Intervalos, Lista de Datos]: Crea  un histograma sobre la lista de intervalos, de la lista de datos    La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra así como cuántos  elementos de los datos corresponderán a cada clase.    Ejemplo:  Histograma[{1, 2, 3, 4},{1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.7, 2.2, 2.5, 4.0}] crea un histograma de 3 barras, cada una de las cuales tendrá  las siguientes alturas 5, 2 y 1 respectivamente.  NormalInversa  NormalInversa[Media, Desviación Estándar, Probabilidad]:  Calcula  la  función  Φ‐1(probabilidad)  **  (desviación  estándar)  +  (media)  donde  Φ(x)  ‐1  es  la  inversa de la función de densidad de probabilidad Φ(x) para N(0,1)    Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución  normal a la izquierda, de la abscisa dada (coordenada x).   Comandos de Media  Media[Lista de Números]: Calcula la media de los elementos listados   MediaX[Lista de Puntos]: Calcula la media de las abscisas  (coordenadas x) de los  puntos listados   MediaY[Lista de Puntos]: Calcula la media de las ordenadas (coordenadas y) de los  puntos listados   Mediana  Mediana[Lista de números]: Determina la mediana de los elementos listados  Moda  Moda[Lista de números]: Determina la moda de los elementos listados.   Ejemplos:  Moda[{1,2,3,4}] Da por resultado una lista vacía {}    Moda[{1,1,1,2,3,4}] Da por resultado la lista {1}    Moda[{1,1,2,2,3,3,4}] Da por resultado la lista {1, 2, 3}  Normal  Normal[Media, Desviación Estándar, Valor de Variable]:  Calcula  la  función (Φ(x – media) / desviación estándar) donde Φ (x)  es la función de densidad  de probabilidad para N(0,1) .   75   
  • 76. Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución  normal a la izquierda, de la abscisa dada (coordenada x).   Comandos Cuatri  Q1[Lista de números]: Determina el primer cuartil de los elementos de la lista   Q1[Lista de números]: Determina el cuartil superior de los elementos de la lista   DE  DE[Lista de Números]: Calcula la desviación estándar de los números listados  Comandos Sigma  SigmaXX[Lista de números]:  Calcula  la  suma  de  los  cuadrados  de  los  números  listados  .  Ejemplo:  Para  establecer  la  varianza  de  una  lista  puede  usarse  SigmaXX[lista]/Longitud[lista] - Media[lista]^2.  SigmaXX[Lista de puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las abscisas de los  puntos listados.  SigmaXY[Lista de coordenadas x, Lista de coordenadas y]: Calcula la  suma de los productos de las coordenadas x  e y   SigmaXY[Lista de puntos]: Calcula la suma de los productos de de las coordenadas  x  e y de los puntos listados.     Ejemplo: Para establecer la varianza de una lista de puntos puede usarse  SigmaXY[lista]/Longitud[lista]-MediaX[lista] * MediaY[lista].  SigmaYY[Lista de Puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las coordenadas y  de los puntos listados.  Comandos para Cantidades Estadísticas  Sxx[Lista de números]: Calcula el estadístico      Σ(x2) ‐ Σ(x) * Σ(x)/n  Sxx[Lista de puntos]:  Calcula  el  estadístico   Σ(x2)  ‐  Σ(x)  ×  Σ(x)/n  usando  las  – coordenadas x de los puntos dados.  Sxy[Lista de números, Lista de números]: Calcula el estadístico      Σ(xy) ‐ Σ(x) × Σ(y)/n  Sxy[Lista de puntos]: Calcula el estadístico  Σ(xy) ‐ Σ(x) × Σ(y)/n.  Syy[Lista de números]: Calcula el estadístico  Σ(y2) ‐ Σ(y) × Σ(y)/n  Syy[Lista de puntos]:  Calcula  el  estadístico   Σ(y2)  ‐  Σ(y)  ×  Σ(y)/n.  usando  las  – coordenadas y de los puntos dados.    Atención:  Estas  cantidades  son  simplemente  formas  no  normalizadas  de  las  varianzas    y  covarianza  de  X    e  Y  dadas  por  Sxx  =  N  var(X),  Syy  =  N  var(Y),    y   Sxy = N cov(X,Y)    Ejemplo: Se puede calcular el coeficiente de correlación de Pearson de una lista de puntos  usando Sxy[lista] / sqrt(Sxx[lista] Syy[lista]).  Varianza  Varianza[Lista de números]: Calcula la varianza de los elementos listados  76   
  • 77.   77   
  • 78. 3.3.20 Comandos de Hoja de Cálculo  RangoCelda  RangoCelda[Celda Inicial, Celda Final]:  Crea  una  lista  conteniendo  los  valores de las celdas dentro del rango establecido.   Ejemplo: Al anota los siguientes valores en las celdas correspondientes de la Hoja de  Cálculo: A1 = 1, A2 = 4, A3 = 9, el comando RangoCelda[A1, A3] da  por resultado la lista {1, 4, 9}.  Columna  Columna[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado la columna de la celda como  un número (empezando por 1)    Ejemplo: Columna[B3] da por resultado el número a = 2 dado que la columna B es  la segunda de la hoja de cálculo.  NombreColumna  NombreColumna[Celda de Hoja de Cálculo]: Da por resultado el nombre de la  columna de la celda como un texto    Ejemplo: NombreColumna[A1] da por resultado el texto  “A”  en la Vista Gráfica.  Fila  Fila[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado el número de la fila de la celda de  la hoja de cálculo (empezando por 1)    Ejemplo: Fila[B3] da por resultado el número a = 3.  3.3.21 Comandos de Matrices  Determinante  Determinante[Matriz]: Da por resultado el determinante de la matriz    Ejemplo: Determinante[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado el número a = ‐2.  MatrizInversa  MatrizInversa[Matriz]: Da por resultado la matriz inversa respecto de la dada    Ejemplo:  MatrizInversa[{{1, 2}, {3, 4}}]  da  por  resultado  la  matriz  inversa   {{‐2, 1}, {1.5, ‐0.5}}.  Traspone  Traspone[Matriz]: Da por resultado la matriz traspuesta  respecto de la dada.    Ejemplo: Traspone[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado la matriz    {{1, 3}, {2, 4}}.    4.  Cada Menú: Ítem por Ítem  78   
  • 79. 4.1 Menú Archivo   Nueva Ventana  Teclas de Atajo: Ctrl‐N (MacOS: Cmd‐N)    Este  ítem  del  menú  abre  una  ventana  de  GeoGebra  con  los  ajustes  por  omisión  de  su  interfaz.   Atención:  De  hacer  cambios  en  los  ajustes  y  guardar  algunos,  la  nueva  ventana  se  abrirá  empleando los  ajustes establecidos.  Nuevo  Este ítem del menú abre una interfaz de uso nueva y vacía en la misma ventana, consultando  antes si se desea guardar la construcción en marcha.   Atención: La nueva interfaz de uso adopta los ajustes empleados en la construcción previa.  Por ejemplo, si los ejes de coordenadas hubieran estado ocultos antes de seleccionar el ítem  del menú ‘Nuevo’, permanecerán así en la nueva interfaz.    Abre…  Teclas de Atajo: Ctrl‐O (MacOS: Cmd‐O)  Este  ítem  del  menú  permite  abrir  un  archivo  de  GeoGebra  (de  extensión  .ggb  o  ggt)  guardado previamente en el directorio o carpeta que despliega la correspondiente caja de  diálogo.  Atención:  También  se  puede  abrir  un  archivo  de  GeoGebra  arrastrándolo  con  el  ratón  o  mouse a su ventana y depositándolo allí.   Guarda  Teclas de Atajo: Ctrl‐S (MacOS: Cmd‐S)    Este ítem del menú permite guardar la construcción en marcha como archivo GeoGebra (de  extensión  .ggb)  en  la  carpeta  o  directorio  que  se  seleccione  en  la  caja  de  diálogo  que  se  despliega a tal efecto.  Atención:  Si  se  eligiera  un  nombre  para  guardar  el  boceto  ya  existente  en  el  directorio  de  destino, se reemplazará el ‘viejo’ archivo con esta maniobra.  Guarda Como…  Este  ítem  del  menú  permite  guardar  la  construcción  en  marcha  como  archivo  GeoGebra,  para la que no se hubiera  seleccionado aún un nombre, anotándolo en la caja de texto que  se despliega a tal efecto.   Previsualiza Impresión  Teclas de Atajo: Ctrl‐P (MacOS: Cmd‐P)    Este  ítem  del  menú  abre  la  ventana  correspondiente  a  Previasualiza  Impresión  de  la  Vista  Gráfica. Se puede especificar ‘Título’, ‘Autoría’, ‘Fecha’ y ‘Escala’ de la impresión (en cm).     Atención: Para poder actualizar la previsualización de la impresión después de cada cambio,  debe pulsarse la tecla Enter.   79   
  • 80. Exporta ‐   Hoja Dinámica como Página Web (html)…   Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐W (MacOS: Cmd‐Shift‐W)    Este  ítem  del  menú  permite  exportar  la  construcción  en  marcha  como  página  web  para  poder crear lo que se denomina ‘Hoja Dinámica’, ‘Applet’, ‘Mathlet’,…  Para  profundizar  la  información,  puede  consultarse  la  sección  Creando  Páginas  Web  Interactivas  Exporta ‐   Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…   Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐P (MacOS: Cmd‐Shift‐P)    Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica de GeoGebra como archivo gráfico. En  la ventana de diálogo emergente, se puede seleccionar el Formato del archivo y cambiar la  Escala (en cm) y la Resolución (en dpi) de la imagen.     Atención: Cuando se exporta la Vista Gráfica como imagen, se puede seleccionar cualquiera  de los siguientes formatos:   • PNG – Portable Network Graphics: Este es un formato gráfico pixelado. Cuanto  mayor la resolución (dpi), mayor la calidad (300dpi suele bastar). Los gráficos PNG no  debieran ser escalados subsecuentemente para evitar merma en la calidad.   Los archivos gráficos PNG son adecuados par alas páginas web (html) y eln los  documentos de los procesadores de texto.   Atención: Cuando se inserta un gráfico PNG en un documento, (menú Insertar,  Imagen Desde Archivo) hay que verificar que la medida esté fijada al  100 %. De otro modo, la escala dada (en cm) cambiaría.   • EPS – Encapsulated Postscript:   Este es un formato gráfico vectorial. Las imágenes  EPS pueden escalarse sin perder calidad y son adecuadas para emplearse en relación  con programas gráficos vectoriales (como Corel Draw) y procesadores de textos  profesionales (como LaTeX).   La resolución de un gráfico EPS es siempre de 72dpi. Este valor se usa sólo para  calcular la medida verdadera de una imagen en centímetros y no tiene efecto sobre  la calidad de la imagen.   Atención: El efecto de transparencia en el sombreado de polígonos o de secciones  cónicas no es posible con EPS.   • PDF – Portable Document Format (ver Formato EPS en sección previa)   Atención: Al exportar en SVG y PDF, se puede optar por tratar el texto como editable  o como imagen. Esto almacena el texto de modo de poder editarlo (como en  InkScape) o como curvas de Bezier (lo que garantiza que el aspecto del texto resulte  exactamente el mismo que el previsto, aún cuando no se cuente en el equipo de  destino con las fuentes originales instaladas).  • SVG – Scaleable Vector Graphic  ‐ Gráfico de Vector Escalable (ver la sección previa   Formato EPS)   • EMF – Enhanced Meta Format  ‐ Formato Meta Enriquecido (ver la sección previa   Formato EPS)   Exporta ‐   Vista Gráfica al Portapapeles  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C (MacOS: Cmd‐Shift‐C)  80   
  • 81. Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. Después de  esta  operación,  se  puede  pegar  fácilmente  esta  imagen  en  otros  documentos  (como  los  creados con un procesador de textos).  Exporta ‐ Vista Gráfica como PSTricks…  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐T (MacOS: Cmd‐Shift‐T)  Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PSTricks, que es  un formato correspondiente a  LaTeX.  Exporta ‐ Vista Gráfica como PGF/Tik……  Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PGF/TikZ, que  es un formato correspondiente a  LaTeX.   Cierra  Teclas de Atajo: Alt‐F4 (MacOS: Cmd‐W)    Este ítem del menú cierra la ventana de GeoGebra. Si no se ha guardado la construcción en  marcha  antes  de  seleccionar  Cierra,  se  desplegará  una  caja  de  diálogo  consultando  si  se  prefiere hacerlo.  4.2 Menú Edita   Deshace  Teclas de Atajo: Ctrl‐Z (MacOS: Cmd‐Z)  Este ítem del menú permite deshacer acciones previas, paso a paso.  Atención:  También  puede  emplearse  el  botón  correspondiente  que  aparece  en el extremo  derecho de la Barra de Herramientas:  Deshace.   Rehace  Teclas de Atajo: Ctrl‐Y (MacOS: Cmd‐Shift‐Z)    Este ítem del menú permite rehacer acciones previamente descartadas por  ‘Deshace’,  paso  a paso.  Atención:  También  puede  emplearse  el  botón  correspondiente  que  aparece  en el extremo  derecho de la Barra de Herramientas:  Rehace.   Borra  Teclas de Atajo: Tecla Borra     Este ítem del menú permite borrar los objetos seleccionados y los derivados o dependientes.  Atención:  Se  puede  seleccionar  previamente  los  objetos  que  se  desean  borrar  (con  el  rectángulo de selección, por ejemplo).  81   
  • 82. Selecciona Todo  Teclas de Atajo: Ctrl‐A (MacOS: Cmd‐A)    Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de la construcción.  Selecciona la Capa Activa  Teclas de Atajo: Ctrl‐L (MacOS: Cmd‐L)    Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos que ocuparan la misma capa que  el que ya se hubiera elegido.  Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto que ocupe la capa  deseada.  Selecciona Descendientes  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐Q (MacOS: Cmd‐Shift‐Q)    Este  ítem  del  menú  permite  seleccionar  todos  los  objetos  dependientes  del  que  ya  se  hubiera elegido.  Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto del que dependan  los subsiguientes,  un objeto padre.  Selecciona Ascendientes  Teclas de Atajo: Ctrl‐Q    Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de los que dependa el que ya se  hubiera elegido.  Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto “dependiente”.   Copia Vista Gráfica al Portapapeles  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C (MacOS: Cmd‐Shift‐C)    Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. Después de  esta  operación,  se  puede  pegar  fácilmente  esta  imagen  en  otros  documentos  (como  los  creados con un procesador de textos).   Propiedades…  Teclas de Atajo: Ctrl‐E (MacOS: Cmd‐E)    Este  ítem  del  menú  abre  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  que  permite  modificar  las  propiedades de todos los objetos que componen un archivo de GeoGebra.   4.3 Menú Vista   Ejes  Este ítem del menú permite ocultar o exponer los ejes de coordenadas en la Vista Gráfica.  82   
  • 83. Atención:  Se  puede  emplear  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  la  Vista  Gráfica  para  personalizar los ejes de coordenadas.   Cuadrícula  Este  ítem  del  menú  permite  ocultar  o  exponer  la  cuadrícula  de  coordenadas  en  la  Vista  Gráfica.  Atención:  Se  puede  emplear  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  la  Vista  Gráfica  para  personalizar la cuadrícula de coordenadas.  Vista Algebraica  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐A (MacOS: Cmd‐Shift‐A)    Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista Algebraica.  Vista de Hoja de Cálculos  Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐S (MacOS: Cmd‐Shift‐S)    Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista de la Hoja de Cálculo.  Objetos Auxiliares  Este ítem del menú permite ocultar o exponer los Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica.  División Horizontal  Este ítem del menú permite dividir la ventana de GeoGebra de modo vertical u horizontal en  las diversas vistas.  Barra de Entrada  Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Entrada en la zona inferior de la  ventana de GeoGebra.  Lista de Comandos  Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Lista de Comandos en la Barra de Entrada  en la zona inferior de la ventana de GeoGebra.   Protocolo de Construcción…  Este ítem del menú permite abrir el Protocolo de Construcción  en una nueva ventana.   Barra de Navegación por Pasos de Construcción  Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Navegación en la zona inferior de  la Vista Gráfica.   Actualiza Vistas  Teclas de Atajo: Ctrl‐F (MacOS: Cmd‐F)    Este ítem del menú permite el retrazado de todas las vistas en pantalla.  Atención: Se puede emplear este ítem del menú para eliminar cualquier rastro  de puntos o  rectas de la Vista Gráfica.  83   
  • 85. 4.4 Menú Opciones  Las opciones globales pueden modificarse desde el menú Opciones.   Atención: Para cambiar los ajustes de los objetos, conviene emplear el Menú Contextual y la  Caja de Diálogo de Propiedades.    Atracción de Punto a Cuadrícula  Este ítem del menú determina si la captura del punto está Activa o Desactiva o si los puntos  serán capturados por la cuadrícula Activa (Cuadrícula’.  Atención:  La  opción  Automático  activa  la  captura  cuando  la  cuadrícula  o  el  sistema  de  coordenadas están expuestos y la desactiva cuando si están ocultos.   Unidad Angular  Este ítem del menú determina si los ángulos se expresan en Grados (°) o Radianes (rad).   Atención: Siempre pueden ingresarse de cualquiera de ambos modos (grados y radianes).  Redondeo  Este ítem del menú permite establecer el número de lugares decimales o cifras significativas  expuestas en pantalla.  Continuidad  GeoGebra  permite  decidir  la  activación  o  inhabilitación  de  la  heurística  de  continuidad.  GeoGebra  apela  a  la  heurística  de  proximidad  para  mantener  móviles  a  los  puntos  de  las  intersecciones (recta‐cónica, cónica‐cónica) cerca de sus posiciones previas y evitar el “salto”  en los puntos de intersecciones.     Atención:  Por  omisión  esta  heurística  está  inhabilitada.  Así  como  lo  está  para  las  herramientas definidas por usuarios (ver Herramientas Definidas para Diversos Usos).   Estilo de Punto  Este ítem del menú determina si los puntos se exponen como puntos ● , como ○ círculos o  cruces x.   Tamaño de Casilla de Control  Este  ítem  del  menú  permite  establecer  la  medida  de  la  casilla  de  control  como  Norma’  o  Grande.  Atención: Al usar GeoGebra como herramienta de presentación o trabajando con un tablero  interactivo, es conveniente fijar el tamaño Grande para facilitar el desarrollo.    Estilo de Angulo Recto  Determina si los ángulos rectos se identifican con la marca de un rectángulo □, un punto • o  tal como los restantes ángulos (en caso de inhabilitación de esta opción).  85   
  • 86. Coordenadas  Este ítem del menú determina si la notación de los puntos de coordenadas será ‘A = (x, y)’ o  A(x | y).   Rotulado  Especifica si se expone o no el rótulo de un objeto recientemente creado.   Se puede elegir entre el rotulado de Todos los Nuevos Objetos, Ningún Nuevo  Objeto, Sólo  los Nuevos Puntos y Automático.  Atención: La alternativa para ir rotulando en Automático’ lleva a que a medida que se creen  nuevos objetos, vayan apareciendo sus rótulos en la Vista Algebraica.   Tamaño de Letra  Este ítem del menú determina la medida, en puntos (pt), de la tipografía para los rótulos y  texto.  Atención: Si GeoGebra se emplea como herramienta de presentación, conviene aumentar la  medida  de  la  tipografía  para  facilitar  la  lectura  de  textos,  rótulos  y  entradas  algebraicas  empleadas.   Idioma  GeoGebra es multilingüe. Aquí puede definirse o modificarse el idioma en uso. Esto afecta a  lo que se ingresa, incluso nombres de comandos, y a todas las salidas.  Atención:  Independientemente  del  idioma  seleccionado,  el  ícono  del  globo  terráqueo    sirve de guía al menú de idioma. Todos los nombres de los diversos idiomas se expresan en  inglés.    Vista Gráfica  Este ítem del menú abre una ventana de diálogo donde pueden ajustarse las Propiedades de  la Vista Gráfica, como ejes, cuadrícula de coordenadas o color de fondo.    Atención: También puede abrirse la ventana de diálogo con un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic)  sobre el fondo de la Vista Gráfica.   Guardar Configuración  GeoGebra  recuerda  los  ajustes  realizados  (como  los  del  menú  de  Opciones,  Barra  de  Herramientas  activa  y  los  de  la  Vista  Gráfica)  si  se  selecciona  Guardar  Configuración  en  el  menú de Opciones.  Restablecer la Configuración Original  Se puede reestablecer la configuración original de GeoGebra y sus correspondientes ajustes,  desde este ítem.  4.5 Menú Herramientas   Creación de Herramienta Nueva…  Desde  una  construcción  existente,  se  pueden  crear  herramientas  propias.  Tras  preparar  la  construcción de una herramienta, se selecciona Creación de Herramienta Nueva en el menú  86   
  • 87. de  Herramientas.  Se  despliega  una  ventana  de  diálogo  donde  se  pueden  especificar  los  objetos  de  salida  y  entrada  de  la  herramienta  en  marcha  y  elegírseles  nombres  al  ícono  y  comando con que aparecerá en la barra de herramientas.    Atención: Las herramientas creadas se guardan automáticamente dentro del archivo “ggb”  de  la  construcción  y  quedan  accesibles  para  emplearse  con  el  mouse  o  ratón  y  como  comando en la Barra de Entrada.   Gestión de Herramientas…  Usando  la  caja  de  diálogo  que  despliega  la  opción  Gestión  de  Herramientas  del  menú  de  Herramientas, cualquier herramienta se Borra o bien se le modifica su nombre o su ícono.  También se puede guardar las herramientas seleccionadas en un Archivo de Herramientas de  GeoGebra (‘GGT’). Este archivo puede emplearse posteriormente (menú Archivo, Abre) para  abrir las herramientas en otra construcción.   Atención: Es importante tener en cuenta que la apertura de un archivo “ggt” no modifica la  construcción en curso como sí lo hace abrir un archivo “ggb”.  Personalizar la Barra de Herramientas…  Se puede personalizar la barra de herramientas de GeoGebra seleccionando Personalizar la  Barra de Herramientas del menú Herramientas. Esto es particularmente útil para operar con  las Hojas de Cálculo Dinámicas en las que se prefiere restringir los útiles disponibles.  Atención:  La  barra  de  herramientas  activa  queda  guardada  en  el  archivo  “ggb”  de  construcción que la tuvo como recurso accesible.  4.6 Menú Ventana   Nueva Ventana  Teclas de Atajo: Ctrl‐N (MacOS: Cmd‐N)    Este ítem del menú abre una nueva ventana de GeoGebra que emplea los ajustes en curso  de La interfaz de GeoGebra.   Atención:  Si  se  cambian  y  se  guardan  algunos  de  estos  ajustes  la  nueva  ventana  se  abre  usándolos.  Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra  Si  hay  más  de  una  ventana  abierta,  este  ítem  del  menú  permite  alternar  y  pasar  de  una  a  otra.  Atención:  Esto  es  particularmente  útil,  cuando  GeoGebra  se  emplea  como  herramienta  de  presentación y se desea tener varios bocetos abiertos simultáneamente, para ir pasando de  uno a otro, en cada ventana.  87   
  • 88. 4.7 Menú Ayuda   Ayuda  Este  ítem  del  menú  da  acceso  a  la  versión  html  del  documento  de  Ayuda  de  GeoGebra.  Dependiendo  de  la  instalación  de  GeoGebra  en  el  equipo,  será  o  no  necesario  el  acceso  a  Internet para contar con este documento.  • Si se ha descargado e instalado GeoGebra usando el archive de instalación desde la  página web, no se precisa acceso a Internet. La versión html del documento de Ayuda  de GeoGebra fue guardado localmente en el equipo..  • Si se ha usado GeoGebra‐Webstart  para instalar GeoGebra, será necesario el acceso  a Internet para usar esta ayuda. De no contar con este acceso, aparecerá un mensaje  de error.    Atención:  La  versión  html  de  este  documento  de  Ayuda  de  GeoGebra  está  disponible  en  línea en http://www.geogebra.org/ayuda.    www.geogebra.org  Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre la página web de GeoGebra en el  navegador del sistema (http://www.geogebra.org).  Foro GeoGebra ‐ GeoGebra Forum  Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre, en línea,  el Foro de Usuarios de  GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra.org/forum).     Atención:  Se  puede  despachar  y  responder  preguntas  relacionadas  con  GeoGebra‐y  problemas, en este foro.  En el hispanoparlante, se pueden dirigir las preguntas y recibir las  respuestas en español.   GeogebraWiki  Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre, la página web  GeoGebraWiki  de GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra.org/wiki).    Atención:  GeoGebra  Wiki  contiene  un  juego  de  materiales  instructivos  creados  con  GeoGebra por usuarios de todo el mundo.   Acerca de GeoGebra / Licencia  Este  ítem  del  menú  abre  una  ventana  de  diálogo  con  información  sobre  la  licencia  de  GeoGebra  y  establece  los  créditos  a  quienes  respaldan  el  proyecto  GeoGebra  con  contribuciones de distinto orden, desde programación a traducción, atención a foros, etc.   5. Características Especiales de GeoGebra 88   
  • 89. 5.1 Animación  5.1.1 Animación Automática  GeoGebra  permite  animar  uno  o  varios  números  y/o  ángulos  simultáneamente,  si  se  exponen como deslizadores  en la Vista Gráfica.    Basta  con  un  clic  derecho  (MacOS:  Ctrl‐clic)  sobre  un  número  o  ángulo  y  seleccionar  del  emergente  Menú  Contextual,  Animación  Automática  para  animarlos  y  viceversa,  destildar  este ítem para detener tal animación.     Atención: Después de animar un número o ángulo, aparece un botón en la esquina inferior  izquierda  de  la  Vista  Gráfica  que  permite,  sea  establecer  una  pausa    o    continuar  la  animación.    En  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  en  la  pestaña  Deslizador  se  puede  cambiar  el  comportamiento de la animación:   Por un lado, se puede controlar la Velocidad de la Animación.  Atención:  Una  velocidad  de  1  significa  que  a  la  animación  le  lleva  cerca  de10  segundos  ejecutarse una vez a lo largo de todo el intervalo del deslizador.  Por otra parte, se puede modificar el régimen de ciclado de la animación y sus repeticiones.    • <=> Oscilante:   El ciclo de la animación alterna entre ‘Decremento’ e ‘Incremento’.  • => Incremento:   El valor del deslizador está siempre aumentando. Después de llegar al máximo, el  deslizador salta y regresa al valor mínimo y así continúa la animación.   • <= Decremento:   El valor del deslizador está siempre disminuyendo. Después de llegar al mínimo,  el deslizador salta y regresa al valor máximo y así continúa la animación.  Atención:  Mientras  la  animación  automática  está  active,  GeoGebra  permanece  completamente funcional. Esto permite hacer cambios en la construcción mientras se corre  la animación.   5.1.2 Animación Manual  Para modificar manualmente, de forma continua un número o ángulo, basta seleccionar la  herramienta   Elige y Mueve y hacer clic sobre un número o ángulo libre y pulsar o la tecla  + o la tecla ‐  o las teclas flechas.  Se produce así, manualmente, un efecto de animación al mantener permanentemente, una  de estas teclas, pulsada.   Ejemplo: Si las coordenadas de un punto dependen de un número k como en P = (2 k, k), el  punto se desplazará a lo largo de una recta si k se modifica continuamente.  Con las teclas‐flecha puede desplazarse cualquier objeto libre empleando la herramienta    Elige y Mueve   89   
  • 90. Atención: El incremento del deslizador es ajustable desde la pestaña  Deslizado’ de la Caja de  Diálogo de Propiedades del objeto.  Teclas de atajos  • Shift + tecla flecha establece cambios de a 0.1 unidades   • Ctrl + tecla flecha establece cambios de a 10 unidades  • Alt + tecla flecha establece cambios de ancho de 100 unidades  Atención: También se puede mover cualquier punto a lo largo de una recta, empleando la  tecla + o la tecla ‐   5.2 Visibilidad Condicional  Condicionalidad para Exponer u Ocultar Objetos Existentes  Además de decidir, sencillamente si se exponen u ocultan ciertos objetos, se puede también  establecer el régimen de visibilidad en función de ciertas condiciones para la exposición.  Por ejemplo, hacer depender la aparición de un objeto en pantalla según esté o no tildada  cierta casilla   Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos en la Vista Gráfica o si un  deslizador cambia a cierto valor.  Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes  Puede emplearse la herramienta   Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos para  crear  una  casilla  que  controle  la  visibilidad  de  uno  o  más  objetos  existentes  en  pantalla.  Alternativamente,  también  puede  crearse  una  Variable  Booleana  (como  b = cierto)  usando la Barra de Entrada y haciéndola visible como casillero en la Vista Gráfica al cambiar  su estado de visibilidad (por ejemplo, usando la herramienta   Expone / Oculta Objeto  o el  Menú Contextual). Para usar la variable Booleana como una condición para la visibilidad de  ciertos objetos, puede ser necesario seguir las etapas descriptas a continuación.  Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados  En  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades,  puede  anotarse  una  condición  que  establezca  la  visibilidad de un objeto en la pestaña Avanzado.   Atención:  Se  pueden  seleccionar  los  operadores  lógicos  (como.,  ≠,  ≥,  ˄,  ‖)  del  menú  desplegable para crear la formulación de las condiciones..    Ejemplo:  • Si a es un deslizador, entonces el planteo condicional a < 2 significa que el  correspondiente objeto sólo va a exponerse en la Vista Gráfica si el valor del  deslizador es menor que 2.  • Si b es una variable Booleana, puede usarse b como la sentencia de una condición. El  correspondiente objeto va a exponerse cuando el valor de b sea verdadero y  ocultarse, cuando sea falso.   • Si g y h son dos rectas y se quisiera que se expusiera un texto cuando fuesen  paralelas, podría usarse g ‖ h como cláusula condicional para el texto.  90   
  • 91. 5.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos  GeoGebra  permite  crear  herramientas  basadas  en  una  construcción  preexistente.  Una  vez  creada,  tal  herramienta  puede  usarse  tanto  con  el  mouse  o  ratón  como  comando,  en  la  Barra  de  Entrada.  Todas  las  herramientas  se  guardan  automáticamente  en  el  archivo  de  GeoGebra.  Creando Herramientas  En primer lugar, es preciso elaborar la construcción que la herramienta debe poder trazar a  posteriori. En el menú Herramientas basta un clic sobre   Creación de Herramienta Nueva  para abrir la correspondiente caja de diálogo.  Ahora  se  precisa  completar  los  datos  en  las  tres  pestañas:  Objetos  de  salida,  Objetos  de  Entrada y Nombre e Icono para crear efectivamente la herramienta.    Receta para crear una Herramienta Cuadrada que trazará un cuadrado con dos clic sucesivos  en dos posiciones vacías de la Vista Gráfica.  • Construir un cuadrado empezando por dos puntos A y B que den lugar a los otros dos  vértices para que al  conectarlos, con la herramienta.   Polígono tracen poly1.  • Seleccionar   Creación de Nueva Herramienta en el Menú Herramientas.  • Especificar en Objetos de Salida al cuadrado con un clic para seleccionarlo, o elegirlo  en  el  menú  que  se  descuelga  a  partir  de  la  flechita  derecha  del  campo  de  entrada  correspondiente.  • Además  del  clic  sobre  el  cuadrado o  de  su  selección  del  menú  decolgable,  también  deben especificarse sus lados como Objetos de Salida.   • Especificar  los  Objetos  de  Entrada:  GeoGebra  automáticamente  especifica  los  Objetos  de  Entrada  (en  este  caso,  los  puntos  A  y  B).  También  puede  modificarse  la  selección de los objetos de entrada usando el menú desplegado o eligiéndolos con un  clic que los señale en la construcción.  • Anotar  el  Nombre  de  la  Herramienta’  y  el  Nombre  del  Comando  para  esta  nueva  herramienta.   Atención:  El  Nombre  de  la  Herramienta  aparecerá  en  la  Barra  de  Herramientas  de  GeoGebra y el del comando podrá emplearse en la Barra de Entrada como uno más  de los “propios” de GeoGebra.  • Además, se puede anotar el texto que orienta y se expone en la Ayuda de la Barra de  Herramientas.  • También  puede  elegirse  una  imagen  para  que  represente  el  ícono  de  la  Barra  de  Herramientas.  GeoGebra  se  ocupa  de  escalarla  para  que  se  ajuste  como  ícono  del  correspondiente nuevo botón de la Barra.  Guardando la Herramienta Definida  Se pueden guardar las herramientas creadas para poder reutilizarlas en otras construcciones  de  GeoGebra.  En  el  menú  Herramientas,  al  seleccionar    Gestión  de  Herramientas  se  pueden  elegir  las  que  se  quiere  que  aparezcan,  de  una  lista.  Basta  un  clic  sobre  el  botón  Guarda como…  para guardar la herramienta en el equipo.  Atención:  Las  herramientas  definidas  se  guardan  como  archivos  con  extensión  ‘.ggt’  para  distinguirlos de los usuales de GeoGebra (‘.ggb’).  91   
  • 92. Acceso a la Herramienta Definida  Al abrir una nueva interfaz de GeoGebra usando el ítem Nuevo del menú Archivo, después  de haber creado una herramienta, será parte aún de la Barra de Herramientas de GeoGebra.  Sin embargo, si se abre una nueva ventana de GeoGebra (ítem  Nueva Ventana del menú  Archivo), o se abre GeoGebra otro día, la herramienta creada no será parte ya de la Barra de  Herramientas.   Hay diferentes modos de asegurarse que herramientas creadas queden incluidas en la barra  de herramientas de una nueva ventana de GeoGebra:  • Después de definir una nueva herramienta se puede guardar la configuración usando  el ítem Guardar Configuración del  menú Opciones.   A partir de entonces, la herramienta creada será parte de la Barra de las de  GeoGebra.  Atención: Se puede quitar una herramienta de la barra después de abrir el ítem  Guardar Configuración del menú Herramientas. Basta con seleccionarla de la Lista de  Herramientas del lado izquierdo de la ventana de diálogo emergente y hacer clic en el  botón Borra  >. No debe olvidarse que hay que guardar la configuración después de  borrar la herramienta.  • Después de  guardar la herramienta creada (como archivo .ggt), es posible importarla  a una nueva ventana de GeoGebra en cualquier momento. Simplemente  seleccionando  Abre del menú Archivo y eligiendo el que corresponda a la  herramienta.    Atención: Abrir un archive GeoGebra  de herramientas (GGT) no afecta la  construcción en marcha. Sólo hace que tal herramienta pase a formar parte de la  Barra de GeoGebra.  5.4 Colores Dinámicos  En GeoGebra, se puede cambiar el color de los objetos desde la pestaña Color de la Caja de  Diálogo de Propiedades. Sin embargo, también se puede establecer que el color de un objeto  cambie  dinámicamente:  Al  abrir  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  cierto  objeto  cuyo  color  se  quisiera  cambiar  y  dar  clic  sobre  la  pestaña  Avanzado,  se  encontrará  una  sección  llamada Colores Dinámicos con casilleros para los componentes del color Rojo, Verde y Azu’.   Atención: En cada uno de estos casilleros, puede ingresarse una función con un rango [0, 1].    Ejemplo:  • Crear tres deslizadores a, b, y c con un intervalo de 0 a 1.  • Crear un polígono cuyo color estaría influenciado por los valores del deslizador.  • Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades para el polígono polig1 y anotar los nombres  de estos tres deslizadores en los casilleros de componentes del color.  • Cerrar la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar los valores de los deslizadores  para descubrir cómo cada componente de color influye sobre el color resultante del  polígono.    Atención: También se puede animar los deslizadores con diferentes velocidades para  ver cómo el color del polígono cambia automáticamente.  92   
  • 93. 5.5 Interfaz de JavaScript  Atención:  La  interfaz  JavaScript  de  GeoGebra  es  de  particular  interés  para  quienes  tienen  cierta experiencia en la edición en HTML.    Para desarrollar una Hoja Dinámica y aumentar su interactividad, los applets de GeoGebra  ofrecen  una  interfaz  JavaScript.  Por  ejemplo,  se  puede  crear  un  botón  para  generar  aleatoriamente nuevas configuraciones de una construcción dinámica.   Se  pueden  consultar  los  documentos  Applets  de  GeoGebra  Applets  y  JavaScript  (http://www.geogebra.org  en  Ayuda)  para  explorar  los  ejemplos  y  encontrar  información  con relación al uso de uso de JavaScript con applets de GeoGebra.  5.6 Teclas de Atajo  Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) Expone / Oculta A Selecciona Todo α alpha Vista Algebraica  B β beta Copia (Vista de Hoja de  Exporta  Vista  Gráfica  al  C Cálculo Portapapeles solamente) D delta δ Caja  de  Diálogo  E de Propiedades   ℯ Euler F Actualiza vistas φ phi G γ gamma H I J K Selecciona  capa  L λ lambda activa M μ mu N Nueva Ventana Símbolo  de  O Abre grados ° Previsualiza  Exporta Vista  Gráfica  P pi π Impresión como Imagen (png, eps)…’  Selecciona  Q Selecciona  Ascendientes Descendientes R Expone / Oculta S Guarda sigma σ Vista de Hoja de Cálculo  T Exporta como PSTricks θ theta U Pega (Hoja  de  V Cálculos) Cierra Exporta ‘Hoja  Dinámica  W (sólo MacOS) como Página Web (html)’ omega ω  93   
  • 94. Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) X Y Rehace Z Deshace 0 Exponente 0 1 Exponente 1 2 Exponente 2 3 Exponente 3 4 Exponente 4 5 Exponente 5 6 Exponente 6 7 Exponente 7 8 Exponente 8 9 Exponente 9 Disminuye  número  /  Zoom  de  ‐ menos o más ángulo  Alejamiento Aumenta  número  /  Zoom  de  + más o menos ± ángulo seleccionados Acercamiento Aumenta  número  /  Zoom  de  = Desigual  ≠ ángulo seleccionados  Acercamiento  < menor o igual  ≤ , (coma) menor o igual  ≤ > mayor o igual ≥ . (dos puntos) mayor o igual ≥ * F1 Ayuda Inicia  edición  de  F2 objeto seleccionado   (Vista Algebraica) Anotar  definición  del  F3 objeto  seleccionado  (Barra de Entrada) Anotar  valor  del  F4 objeto  seleccionado  (Barra de Entrada) Anotar  nombre  del  F5 objeto  seleccionado  (Barra de Entrada) Actualizar  números  F9 aleatorios Alterna  foco  entre  Enter Vista  Gráfica  y  Barra  de Entrada  Clic izquierdo 94   
  • 95. Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) Clic:  Abre Menú Contextual  (sobre objeto)    Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  de  Vista  Clic  derecho  Gráfica   (MacOS:   (sobre fondo)  Ctrl‐clic)     en Vista Gráfica  Clic y arraastre:  Modo  de  Arrastre  Rápido   (sobre objeto)    Zoom  rectangular   (sobre fondo) Zoom  de  Rueda  mouse  o  Zoom +  / ‐   Acercamiento  y  Zoom + / ‐ ratón (Applet) Alejamiento  Acelerados Borra Borra selección activa  Backspace Borra selección activa  Aumenta  número  /  ángulo seleccionado    Sube  el  punto  seleccionado     x10   x0.1  multiplicador  de  x100  Flecha  Pasa  a  entrada  previa  multiplicador  de  velocidad   multiplicador  de  Ascendente ↑  en historia de la Barra  velocidad  (pulsando Shift solamente) velocidad  de Entrada     Asciende en   Protocolo  de  Construction  Aumenta  número  /  ángulo seleccionado    Lleva  a  la  derecha  el  x10   x0.1  multiplicador  de  x100  Flecha  Derecha  punto seleccionado   multiplicador  de  velocidad  (pulsando  Shift  multiplicador  de  →   velocidad  solamente)  velocidad  Asciende en el   Protocolo  de  Constructionn Disminuye  número/ángulo  seleccionado    x10   x0.1  multiplicador  de  x100  Flecha Izquierda  Lleva  a  la  izquierda  el  multiplicador  de  velocidad  (pulsando  Shift  multiplicador  de  ← punto seleccionado   velocidad  solamente)  velocidad    Descender en el   Protocolo  de  Construction  95   
  • 96. Ctrl Ctrl‐Shift Alt Tecla [simple] (MacOS: Cmd) (MacOS: Cmd‐Shift) (MacOS: Ctrl) Disminuye  número/ángulo  seleccionado    Desciende  el  punto  seleccionado   Flecha  x10   x0.1  multiplicador  de  x100    Descendente   multiplicador  de  velocidad  (pulsando  Shift  multiplicador  de  Pasar a la entrada más  ↓ velocidad  solamente)  velocidad  reciente  en  la  historia  de la Barra de Entrada    Descender en el   Protocolo  de  Construction  Ir al primer ítem en el  Home/PgUp Protocolo  de  Construction Ir al último  ítem en el  End/PgDn Protocolo  de    Construction     Comandos de Teclado Adicionales:  • Alt‐Shift (MacOS: Ctrl‐Shift): Letras Griegas Mayúsculas  • Vista de Hoja de Cálculo: Ctrl‐Alt‐C copia valores (no las fórmulas)    Atención: El símbolo de grados ° (Alt‐O, MacOS: Ctrl‐O) y el símbolo π para pi (Alt‐P, MacOS:  Ctrl‐P)  también  pueden  usarse  en  la  ventana  de  diálogo  de  los  deslizadores  en  el  establecimiento de intervalos (mínimo, máximo) y del incremento.  5.7 Rótulos y Subtítulo  Expone y Oculta Rótulos  Se  puede  mostrar  u  ocultar  los  rótulos  de  los  objetos  en  la  Vista  Gráfica  de  diferentes  maneras:  • Seleccionar la  herramienta   Expone / Oculta Rótulo y con un clic sobre el objeto  cuyo rótulo se desea afectar, establecer su visibilidad..  • Abrir el Menú Contextual para el objeto en cuestión y seleccionar   ‘Expone Rótulo’.  • Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto deseado y tildar o destildar la  casilla Expone Rótulo de la pestaña Básico.  Nombre y Valor  En  GeoGebra,  cada  objeto  tiene  un  único  nombre  que  puede  usarse  para  rotularlo  en  la   Vista  Gráfica.  Además,  un  objeto  también  puede  distinguirse  por  su  valor  o,  simultáneamente,  por  su  nombre  y  valor.  Se  puede  cambiar  la  exposición  de  este  rótulo  fijando  en  la  Caja  de  Diálogo  de  Propiedades  en  la  pestaña  Básico,  dentro  de  la  selección  96   
  • 97. correspondiente  a  la  opción,  Nombre,  Valor,  o  Nombre  &  Valor  en  el  menú  desplegable  cercano a la casilla Expone Rótulo.  Atención: el valor de un punto son sus coordenadas, mientras que el de una función es su  ecuación.  Subtítulo  Sin  embargo,  algunas  veces  se  le  da  a  varios  objetos  el  mismo  rótulo,  por  ejemplo,  para  rotular  los  cuatro  lados  de  un  cuadrado,  a.  en  este  caso,  GeoGebra  ofrece  subtítulos  para  todos  los  objetos  además  de  las  tres  opciones  ya  mencionadas.  Se  puede  establecer  el  subtítulo de un objeto en la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades anotando  el  deseado  en  el  campo  de  texto  Subtítulo.  Posteriormente,  se  puede  seleccionar  la  alternativa  Subtítulo  en  el  menú  descolgable  desde  la  flechita  a  la  derecha  del  campo  de  entrada de la misma casilla Muestra Rótulo.  5.8 Capas  Atención: En GeoGebra, se usan capas para determinar cuál de los objetos se selecciona o  arrastra cuando un clic involucra a varios simultáneamente.     Por  omisión,  los  objetos  se  colocan  en  la  capa  0,  que  es  básicamente  la  del  ‘fondo’  de  la  Vista  Gráfica.  Hay  un  total  de  10  capas  disponibles  (numeradas  del  0  al  9)  y  las  de  mayor  numeración se superponen a las de valor más bajo.    Usando la pestaña Avanzado de la Caja de Diálogo de Propiedades, se puede cambiar la capa  de cierto objeto (capas disponibles de la 0 a la 9).   Una vez modificado el número de capa para al menos un objeto (con  un valor diferente de 0  que es el del fondo), todos los nuevos objetos quedarán en la capa de valor más alto (por  ejemplo, capa 3), ocupada por algún objeto.    Atención:  Después  de  seleccionar  cualquier  objeto,  se  puede  elegir  todos  los  demás  en  la  misma  capa  con  el  ítem  Selecciona  la  Capa  Activa  (teclas  de  atajo:  Ctrl‐L)  del  menú  Edita.  Este ítem solo está disponible si todos los objetos seleccionados son de la misma capa.    Algo más sobre el uso de capas:  • Para exportar objetos SVG se los agrupa por capa.  • Las capas pueden controlarse usando la  interfaz JavaScript para applets de  GeoGebra.  5.9 Redefine  La herramienta que permite la redefinición de objetos es sumamente versátil para una  modificación retrospectiva de lo construido. Es de hacer notar que también es posible  cambiar el orden de las etapas o pasos de construcción en el Protocolo de Construcción.   97   
  • 98.   Resulta muy útil introducir cambios tras la construcción de cualquier objeto. Esto puede  realizarse de diversos modos.  Con la herramienta   Elige y Mueve y un doble clic sobre cualquier objeto de…  o la Vista Algebraica, se abre:  ⇒ un campo de edición que permite modificar directamente la representación  algebraica de un objeto libre, cambio que se aplica al pulsar la tecla Enter.  ⇒ la caja de diálogo de Redefine para obrar en tal sentido sobre un objeto  dependiente.  o la Vista Gráfica se abre la caja de diálogo de Redefine para obrar en tal sentido.  Cambiar cualquier objeto anotando su nombre y la nueva definición en la Barra de  Entrada.  Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar la definición de un objeto en la  pestaña Básico.    Atención: Los objetos fijos no pueden ser redefinidos. Para redefinir un objeto fijo, se precisa  liberarlo usando la Caja de Diálogo de Propiedades    Ejemplos:  • Para ubicar un punto libre A sobre una recta h, un doble clic sobre el punto A que  abre la ventana de diálogo de Redefine. Entonces, se puede anotar el comando  Punto[h] en el campo de texto emergente y pulsar la tecla Enter. Para eliminar el  punto A de esta recta de modo que vuelva a ser libre, es preciso redefinirlo  ubicándolo en cualquier posición de coordenadas, anotando, por ejemplo, (1, 2).   • Otro ejemplo es la conversión de una recta h que pasa por dos puntos A y B en un  segmento. Basta abrir la caja de diálogo de Redefine para h y anotar el comando  Segmento[A, B] en el campo de texto emergente.  5.10 Rastro y Lugar Geométrico  Puede hacerse que los objetos geométricos dejen un trazo como huella a medida que se los  desplazan por la Vista Gráfica. Se apela al Menú Contextual para activar o desactivarlo con   Activa Rastro. Cuando se modifica la construcción o se desplaza directamente, el objeto  con rastro activado, aparece su recorrido “trazado”.    Atención: Se puede desactivar el rastro de un objeto, destildando Activa Rastro en el Menú  Contextual. Con   Actualiza Vistas del menú Vista, se elimina todo trazo.    También  se  puede  crear  automáticamente  el  lugar  geométrico  de  un  punto  después  de  emplear  la  herramienta    Lugar  Geométrico      con  el  mouse  o  ratón,  o  anotando  tal  comando en el campo de entrada.  Atención: El punto cuyo lugar geométrico se desea crear depende del movimiento de otros  puntos, cuyo desplazamiento está restringido a recorridos a lo largo de un objeto (sea una  recta, segmento, circunferencia).  Ejemplo:   • Crear un segmento a entre los puntos A = (‐1, ‐1) y B = (1, ‐1).  98   
  • 99. • Ubicar un punto C en el segmento, restringido a desplazarse a lo largo del segmento  a.  • Crear un punto P que depende del punto C (por ejemplo, P = (x(C), x(C)^2)).  • Usar o la herramienta o el comando Lugar Geométrico para crear el lugar geométrico  del punto P que depende de C:  o Herramienta   Lugar Geométrico  : Clic sobre el punto P en primer lugar y  luego en el punto C.  o Comando Lugar Geométrico: Anotar LugarGeométrico [P, C] en la  Barra de Entrada y luego pulsar la tecla Enter.  Atención: El lugar geométrico creado en este ejemplo es el gráfico de una parábola  en el intervalo [‐1, 1].    99   
  • 100. Índice Alfabético  A Teclas Más / Menos, 93 Velocidad, 92 Abre Animación Automática, 92 Menú, 82 Animación Manual, 93 Acceso a Herramienta Definida, 95 Animación, Ciclo de Animación Acerca de GeoGebra / Licencia, Menú de Ayuda, 92 Repite, 93 Actualiza Vistas Animación, Teclas flecha, 93 Menú Vista, 87 Animación’, Ciclo, 93 Ajes Antihiperbólico Entrada Directa, 45 Antihiperbólico coseno, Entrada Directa, 47 Ajuste Lineal, Herramienta, 30 Seno Antihiperbólico, Entrada Directa, 47 AjusteLineal Arco ,AjusteLineal X, comando, 77 Arco coseno, Entrada Directa, 47 Cmando, 77 Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos  Ajustes Extremos, Herramienta, 33 AumentarTamaño de Letra, 21 Arco seno, Entrada Directa, 47 Estilo  del Angulo, 21 Arco tangente, Entrada Directa, 47 Estilo de Punto, 21 Comando, 67 Guardar, 21 Arco de Circunferencia Restablecer Configuración Original, 21 Arco dados Tres de sus Puntos, Herramienta, 33 Rotulado, 21 ArcoCircuncircular, comando, 67 Tamaño de Casilla de Control, 21 ArcoCircunferencia Tipo de  Coordenadas, 21 Comando, 67 Unidad Angular, 21 Area Aleatoriedad Area entre dos funciones, 55 Comandos, 56 Comando, 53 Aleatorio Integral Definida, 53, 54 AleatorioBinomial, comando, 56 área AleatorioNormal, comando, 56 herramienta, 34 AleatorioPoisson, comando, 56 Asíntota, comando, 61 Entrada Directa, 47 Atracción de Punto a Cuadrícula, Menú Opciones, 88 Aletoriedad Ayuda AleatorioEntre, comando, 56 Barra de Entrada, 15, 42 Anexa Menú, 91 Comando, 71 Sintaxis de Comando, 15 Angulo Ayuda de la Barra de Herramientas, 14 Valor Limitado, 44 Ayuda del Comando, 15 Admite Ángulos Cóncavos, 34 Ayuda en la Barra de Entrada, 15 Bisectriz, comando, 61 Ayuda en Sintaxis del Comando, 15 Comando, 57 Ayuda, Barra de Entrada, 15 Cóncavo, 44 Ayuda, Barra de Herramientas, 14 Herramienta, 34 Ayuda, Sintaxis del Comando, 15 Limitar Medida, 34 Comando, 57 Angulo cóncavo, 44 B ángulo dada su amplitud,herramienta, 34 Barra de Entrada, 41 Angulos, 43 Ayuda, 15, 42 Angulos en polígono, 58 Entrada Directa, 43 Entrada Directa, 43 Expone entrada, 42 Animación, 92 Historia, 42 Animación Automática, 92 Menú Vista, 87 Animación Automática, Menú Contextual, 18 Barra de Entrada, Menú, 87 Botón de Animación, 92 Barra de Herramientas, 13 Decremento, 93 Personalizar, 90 Incremento, 93 Restablecer original, 17 Incremento, 93 Barra de Herramientas, Personalizar, 17 Manual, 93 Barra de Navegación, 19 Oscilante, 93 Menú Vista, 87 Pausa, 92 100   
  • 101. Barras, comando, 76 Columna Bisectriz Comando, 81 Bisectriz, Herramienta, 30 NombreColumna, comando, 81 Bisectriz, comando, 61 Comandi Booleana Mín, 56 Expone/Oculta objeto, 48 Comando Variables, 48 AjusteExp, 78 Booleanas AjusteLineal, 77 Operaciones, 48 AjusteLinealX, 77 Booleano, 35 AjusteLog, 78 Variable Booleana,Herramienta, 35 AjusteLogístico, 78 Borra AjustePolinómico, 78 Borra Objeto, Herramienta, 26 AjustePotencia, 78 Comando, 52 AjusteSen, 78 Menú Contextual, 18 AleatorioBinomial, 56 Menú Edita, 85 AleatorioNormal, 56 AleatorioPoisson, 56 AleratorioEntre, 56 C Anexa, 71 Caja de Diálogo Arco, 67 Propiedades ArcoCircuncircular, 67 para objetos, 17 ArcoCircunferencia, 67 Caja de Diálogo de Propiedades, 17 Area, 53 Pestañas, 18 Asíntota, 61 Caja de Diálogo de Propiedades de Vista Gráfica, 17 Barras, 76 Caja de Diálogo de Propiedades, Menú Edita, 86 Bisectriz, 61 Caja de Diçalogo de Propiedades Borra, 52 Imagen, 39 Centro, 58 Caja de Herramientas, 14 Centroide, 58 Abrir, 25 CírculoOsculador, 64, 66 Cambio de Opciones, 21 Circunferencia, 63 Capas, 101 Cociente Entero, 54 Casilla de Control CódigoDeLetra, 68 Tamaño, Menú Opciones, 88 CódigoDeTexto, 70 Casilla de Control para Exponer/Ocultar Objetos,  Coeficiente de Correlación, 77 Herramienta, 35 Columna, 81 Celda Cónica, 63 Entrada, 15 ConservaSi, 72 Centro, Comando, 58 Covarianza, 77 Centroide, comando, 58 Curva, 66 Cierra, Menú Archivo, 84 Curvatura, 54, 66 Cifras Significativas, Menú Opciones, 88 DE (desviación estándar), 79 Círculo Definido, 53 Círculo Osculador, comando, 64 Derivada, 65, 66 CírculoOsculador, comando, 66 Desarrolla, 65 Circunferencia Determinante, 81 Circunferencia dados su Centro y Radio, Herramienta, DiagramaCaja, 77 32 Diámetro, 62 Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos,  DiámetroConjugado, 62 Herramienta, 32 Dirección, 60 Circunferencia dados Tres de sus Puntos,  Directriz, 62 Herramienta, 32 Distancia, 54 Comando, 63 Div (División), 54 Cociente Entero, comando, 54 EjePrincipal, 62 CódigoDeLetra, comando, 68 Ejes, 62 CódigoDeTexto, comando, 70 EjeSecundario, 62 Coeficiente de correlación momento‐producto de  Elemento, 71 Pearson, comando, 77 EliminaIndefinidos, 73 Coeficiente de Correlación, comando, 77 Elipse, 64 Color Encadena, 72 Caja de Diálogo de Propiedades, 18 EsEntero, 53 Dinámico, 96 Esquina, 58 Color, Propiedades, 18 Extrae, 74 Colores Dinámicos, 96 Extremo, 58 101   
  • 102. Factoriza, 65 Radio, 56 Fila, 81 Raíz, 59 Foco, 58 RangoCelda, 81 Función, 65 RazónDoble, 54 Función Módulo, 56 RazónSimple, 53 Hipérbola, 64 Recta, 62 Histograma, 78 Refleja, 75 Homotecia, 74 Relación, 52 Integral, 54, 65 Resto, 56 Intercala, 71 Rota, 75 Interseca, 59 Sector, 68 Intersección, 72 SectorCircular, 67 Iteración, 55 SectorCircumcircular, 67 LaTeX, 68 Secuencia, 73 LetraDeCódigo, 70 Segmento, 61 ListaInversa, 73 Semicircunferencia, 68 ListaIteración, 72 SemiFocal, 55 Lo, 55 Semirrecta, 61 Longitud, 66, 73 Si(Comando Booleano), 53 LongitudSemiejePrincipal, 57 SigmaXX, 79 LongitudSemiejeSecundario, 57 SigmaXY, 79 MatrizInversa, 81 SigmaYY, 79 Máx, 56, 73 Simplifica, 66 Máximo, 56, 73 Suma, 74 Máximo Común Divisor, 54 SumaInferior, 56 MCD, 54 SumaSuperior, 57 MCM, 55 SumaTrapezoidal, 57 Media, 79 Sxx, 80 Mediana, 79 Sxy, 80 Mediatriz, 63 Syy, 80 MediaX, 79 TablaTexto, 69 MediaY, 79 Tangente, 63, 66 Menor común Múltiplo, 55 Texto, 69 Menor Común Múltiplo, 55 TextoDeCódigo, 70 Mín, 73 TextoFracción, 68 Mínimo, 56 Traslada, 76 Mínimo, 73 Traspose, 81 Mod, 56 Ultimo, 72 Modo, 79 Unión, 74 Nombre, 69 Varianza, 80 NombreColumna, 81 Vector, 60 Normal, 79 VectorCurvatura, 66 NúmeroCombinatorio, 53 VectorCurvatura, 60 Objeto, 69 VectorPerpendicular, 60 Ordena, 74 VectorUnitario, 60 Parábola, 64 VectorUnitarioPerpendicular, 60 Parámetro, 56 Vértice, 60 PasoConstrucción, 52 Interseca, 59 PasoEje, 53 Perpendicular, 62 Pendiente, 57 Comandos, 15, 52 Perímetro, 56 Aceptar sugerencias, 52 PerímetroCónica, 54 Arcos, 67 Perpendicular, 62 Automáticamente Completados, 52 Polar, 63 Ayuda para comandos, 15 Polígono, 61 Cambiar sugerencias, 52 Polinomio, 65 Comando de ángulo, 57 PolinomioTaylor, 66 Comandos Booleanos, 53 Primero, 71 Comandos de Hoja de Cálculo, 81 Producto, 73 Comandos de Matrices, 81 Punto, 59 Comandos de Números, 53 PuntoInflexión, 58 Comandos Generales, 52 PuntoMedio, 59 Curva, 66 Q1 (1. Cuatril), 79 Curvas Paramétricas, 66 Q3 (3. Cuatril), 79 Estadísticas, Comandos, 76 102   
  • 103. Funciones, 64 Cuadrícula, Personalizar, 17 Listas, 71 Cuatril Q1, comando, 79 Lugares Geométricos, 70 Cuatril Q3, comando, 79 Puntos, 58 CuentaSi, comando, 71 Secciones Cónicas, 63 CuentaSi, comando, 71 Sectores, 67 Curva Secuencias, 71 Comando, 66 Segmento, 61 Curvas Paramétricas, Comandos, 66 Semirrectas, 61 Curvatura Sintaxis de Comando, Ayuda, 15 Comando, 54, 66 Transformaciones, 74 VectorCurvatura, comando, 66 Transformaciones Geométricas, 74 Vectores, 60 Comandos Aleatorios:, 56 D Comandos de Ajuste DE, comando, 79 AjusteExp, comando, 78 Definición de Herramientas, 90, 94 AjusteLog, comando, 78 Creación, 94 AjusteLogístico, comando, 78 Definición, inserta en Barra de Entrada, 42 AjustePolinómico, comando, 78 Definido AjustePotencia, comando, 78 Comando, 53 AjusteSen, comando, 78 Derivada, comando, 65 Comandos, Polígonos, 61 Derivada, Comando, 66 Comandso Desarrolla Lista de Comandos, Menú Vista, 87 Comando, 65 Compás, Herramienta, 32 Polinomio, 65 Cónica Deshace, Menú Edita, 84 Cónica dados Cinco de sus Puntos, Herramienta, 32 Deslizador, 44 Cónica, Sección, 45 Herramienta, 35 ConservaSi, comando, 72 Desplaza Área Gráfica, Herramienta, 26 Continuidad, Menú Opciones, 88 Desplazar Objetos en la Vista Gráfica, 14 Convierte Desviación Estándar, comando, 79 Grados a radianes, 43 Determinante, comando, 81 Radianes a grados, 43 DiagramaCaja, comando, 77 coordenada x, Entrada Directa, 47 Diametral, Herramienta, 31 Coordenadas Diámetro coordenada x, 47 Comando, 62 Coordenadas, 44 DiámetroConjugado Coordenadas cartesianas, 44 Comando, 62 Coordenadas Polares, 44 Dibujo Tipo de Coordenadas, Ajustes, 21 Distorsiona, 40 Coordenadas Escala, 40 coordenada y, 47 Format EMF, 84 Coordenadas cartesianas, 44 Format SVG, 84 Coordenadas Polares, 44 Formato EPS, 83 Coordenada‐y, Entrada Directa, 47 Formato PDF, 84 Copia Formato PNG, 83 Copia en Campo de Entrada, Menú Contextual, 19 Formato PSTricks, 84 Copia Estilo Visual, Herramienta, 26 PGF/TikZ, 84 Coseno, Entrada Directa, 47 Rota, 40 Covarianza, comando, 77 Dirección, Comando, 60 CPearson, comando, 77 Directriz, comando, 62 Creación de Nueva Herramienta Distancia Menú Herramientas, 90 Comando, 54 Cuadrícula Distancia o Longitud, Herramienta, 35 Color, 17 Distancia, Herramienta, 35 Distancia entre trazos, 17 Div, comando, 54 estilo, 17 División Horizontal, Menú Vista, 87 Isométrica, 17 División, Entrada Directa, 46 Menú Vista, 86 Cuadrícula de Coordenadas Menú Vista, 86 E Cuadrícula de Coordenadas, Muestra / Oculta, 16 Edita objeto, 42 Cuadrícula de Coordenadas, Personalizar, 17 Edita, Menú, 84 Cuadrícula, Muestra / Oculta, 16 Eje de Coordenadas 103   
  • 104. Menú Vista, 86 Expone / Oculta Objeto, Herramienta, 27 Eje Mayor, comando, 62 Expone / Oculta Rótulo, Herramienta, 27 Eje Menor, comando, 62 Exponenciación, Entrada Directa, 46 Eje Principal Exporat Comando, 62 Hoja Dinámica Eje Secundario Archivos creados, 24 Comando, 62 Expone Barra de Herramientas, 24 EjePrincipal Exporta Longitud EjePrincipal, comando, 57 Hoja Dinámica Ejes Pestaña General, 23 Comando, 62 Hoja Dinámica, 23 Ejex y Ejey, 45 Hoja Dinámica Escala, 17, 27 Pestaña Avanzada, 24 Estilo de Trazo, 17 Hoja Dinámica Expone/ Oculta Individualmente, 17 Expone ícono de reinicio, 24 Graduaciones, 17 Hoja Dinámica Menú Vista, 86 Alto/ Ancho, 24 Relación, 17 Hoja Dinámica Unidades, 17 archivo HTML, 24 Ejes coordenados, Muestra / Oculta, 16 Hoja Dinámica Ejes de Coordenadas, Personalizar, 17 archivo GGB, 24 Ejes, Muestra / Oculta, 16 Hoja Dinámica Ejes, Personalizar, 17 archivos JAR, 24 EjeSecundario Hoja Dinámica como Página‐Web, Menú Archivo, 83 LongitudSemiejeSecundario, comando, 57 Hoja Interactiva, 23 Ejex, 45 Menú Archivo, 83 Ejey, 45 Página Web Interactiva, 23 Elemento, comando, 71 Vista Gráfica Elige y Mueve, Herramienta, 26 a escala, 23 Elimina al Portapapeles, Menú Archivo, 84 Rastro, 87 al Portapapeles,Menú Edita, 86 EliminaIndefinidos, comando, 73 como Imagen, Menú Archivo, 83 Elipse como PSTricks, Menú Archivo, 84 Comando, 64 Vista Gráfica como PGF/TikZ, Menú Archivo, 84 Elipse, Herramienta, 32 Exporta Imagen, Menú Archivo, 83 Encadena, comando, 72 Exporta, Protocolo de Construcción como Página‐Web, Entrada Algebraica, Barra de Entrada, 41 20 Entrada Directa Exporta, Vista Gráfica Angulos, 43 como Imagen, 22 Secciones Cónicas, 45 Exporta, Vista Gráfica a Portapapeles, 23 Entrada Directa Extrae, comando, 74 Puntos, 44 Extremo, comando, 58 Entrada Directa Vectores, 44 Entrada Directa F Rectas, 45 Factorial, Entrada Directa, 46 Entrada Directa Factoriza, Comando, 65 Ejes, 45 Fila, comando, 81 Entrada Directa Foco, comando, 58 Funciones, 46 Fondo EsEntero, Comando, 53 Imagen, 40 Esquina, comando, 58 Format EMF, 84 Estilo  del Angulo Recto Formato  EPS, 83 Ajustes, 21 formato PDF, 84 Estilo de Angulo Recto Formato PNG, 83 Menú Opciones, 89 Formato SVG, 84 Estilo de Coordenadas, Menú Opciones, 89 Formato, Copia Estilo Visual, 26 Estilo de Punto Fórmula, 38 Ajustes, 21 Fórmula LaTeX, 38 Estilo de Punto, Menú Opciones, 88 Texto, 38 Estilo de Trazo, Propiedades, 18 Foro GeoGebra, Menú de Ayuda, 91 Estilo Visual, Copia, 26 Función Euler constante, 43 Nombre, 41 Expone / Oculta Objeto, 16 Función Exponencial, Entrada Directa, 47 104   
  • 105. Función Gamma, Entrada Directa, 47 Herramienta Función Módulo, comando, 56 Punto Medio o Centro, 28 Función trigonométrica Herramienta Coseno Antihiperbólico, 47 Nuevo Punto, 28 Seno Antihiperbólico, 47 Herramienta Tangente antihiperbólica, 47 Vector entre Dos Puntos, 29 Función, comando, 65 Herramienta Funciones Vector desde un Punto, 29 Entrada Directa, 46 Herramienta Función Exponencial, 47 Segmento entre Dos Puntos, 29 Funciones Predefinidas, 46 Herramienta Limitadas a intervalo, 46 Segmento dados Punto Extremo y Longitud, 29 Funciones Condicionales, 64 Herramienta Funciones Predefinidas, 46 Semirrecta, 30 funciones trigonométricas, 46 Herramienta Funciones Trigonométricas Semirrecta que pasa por Dos Puntos, 30 Arco coseno, 47 Herramienta Arco seno, 47 Polígono, 30 Arco tangente, 47 Herramienta Coseno, 47 Polígono Regular, 30 Coseno Hiperbólico, 47 Herramienta Seno, 47 Bisectriz, 30 Seno Hiperbólico, 47 Herramienta Tangente, 47 AjusteLineal, 30 Tangente Hiperbólica, 47 Herramienta Recta que pasa por Dos Puntos, 31 G Herramienta Paralela, 31 GeogebraWiki, Menú de Ayuda, 92 Herramienta Gestión de Herramientas, Menú Herramientas, 90 Mediatriz, 31 Grado Herramienta Convierte a radianes, 43 Recta Perpendicular, 31 Símbolo, 43 Herramienta Grados Tangentes, 31 Símbolo, 35 Herramienta Guarda Circunferencia dados su Centro y Radio, 32 Menú, 82 Herramienta Guarda Como Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos, Menú, 82 32 Guardar Herramienta Ajustes, 21 Circunferencia dados Tres de sus Puntos, 32 Guardar Configuración, Menú Opciones, 89 Herramienta Compás, 32 Herramienta H Cónica dados Cinco de sus Puntos, 32 Herramienta Herramienta Registrar en Hoja de Cálculo, 27 Elipse, 32 Rota en torno a un Punto, 27 Herramienta Herramienta Hipérbola, 33 Desplaza Área Gráfica, 26 Herramienta Borra Objeto, 26 Parábola, 33 Elige y Mueve, 26 Herramienta Herramienta Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos  Relación, 27 Extremos, 33 Herramienta Herramienta Expone / Oculta Rótulo, 27 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos, 33 Herramienta Herramienta Expone / Oculta Objeto, 27 Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos, 33 Herramienta Herramienta Zoom de Acercamiento, 28 Sector Circumcircular dados Tres Puntos, 34 Herramienta Herramienta Zoom de Alejamiento, 28 Semicircunferencia, 34 Herramienta Herramienta Intersección de Dos Objetos, 28 ángulo dada su amplitud, 34 105   
  • 106. Herramienta Inserta Texto, Herramienta, 37 Area, 34 Herramientas Herramienta Inserta Imagen, 39 Distancia o Longitud, 35 Herramientas Herramienta Gestión de Herramientas, 90 Deslizador, 35 Herramientas Pendiente, 35 Definidas por Usuario, 94 Herramienta Herramientas de Construcción, 13, 25 Pendiente, 35 Activar, 25 Herramienta Herramientas Propias Casilla de Control para Exponer/Ocultar Objetos, 35 Definidas para Diversos Usos, 90 Herramienta Herramientas, Herramientas Generales, 26 Lugar Geométrico, 36 Hipérbola Herramienta Comando, 64 Lugar Geométrico, 36 Hipérbola, Herramienta, 33 Herramienta Hiperbólica Locus, 36 Tangente Hiperbólica, Entrada Directa, 47 Herramienta Hiperbólico Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala, Coseno Hiperbólico, Entrada Directa, 47 36 Seno Hiperbólico, Entrada Directa, 47 Herramienta Histograma, comando, 78 Refleja Objeto en Recta,, 36 Hoja Dinámica Herramienta Editar applet, 24 Refleja Objeto por Punto, 37 Editar texto, 24 Herramienta Exporta, 23 Refleja Punto en Circunferencia, 37 Exporta, Menú Archivo, 83 Herramienta Java, 24 Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado, 37 Hoja Interactiva Herramienta Exporta, 23 Traslada Objeto por un Vector, 37 Homotecia Herramienta Comando, 74 Inserta Texto, 37 Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala,  Herramienta Herramienta, 36 Inserta Imagen, 39 Herramienta Definida Acceso, 95 I Herramienta Definida Idioma, Menú Opciones, 89 Guardarla, 95 Imagen Herramientas Caja de Diçalogo de Propiedades, 39 Números, 34 Distorsiona, 40 Polígonos, 30 Escala, 40 Secciones Cónicas, 32 Especificar vértices, 39 Herramientas, 25 Esquina, 58 Activar, 25 Imagen de Fondo, 40 Herramientas de Puntos, 28 Inserta Imagen, herramienta, 39 Herramientas de Segmentos, 29 Rota, 40 Herramientas de Vectores, 29 Transparencia, 40 Herramientas Imprime, 22 Recta, 30 Protocolo de Construcción, 22 Herramientas Imprime, Vista Gráfica, 22 Arcos, 33 Incremento, Animación Manual, 93 Herramientas Indices, 41, 52 Sectores, 33 Inserta Herramientas Definición en la Barra de Entrada, 42 Ángulos, 34 Inserta Imagen, herramienta, 39 Herramientas Inserta Texto, Herramienta, 37 Angulo, 34 Nombre en la Barra de Entrada, 42 Herramientas Valor en la Barra de Entrada, 42 Variable Booleana, Herramienta, 35 Inserta Imagen, herramienta, 39 Herramientas Inserta Texto, Herramienta, 37 Transformaciones Geométricas, 36 integral Herramientas indefinida, 65 Inserta Texto, 37 Integral Herramientas Comando, 54, 65 106   
  • 107. definida, 54 LongitudSemiejePrincipal, comando, 57 Integral LongitudSemiejeSecundario, comando, 57 definida, 54 Lugar Geométrico, 36, 102 Integral Definida Herramienta, 36 Area, 54 Lugares Decimales, Menú Opciones, 88 Area entre dos Funciones, 55 LugarGeométrico Intercala Comando, 70 Comando, 71 Interfaz de JavaScript, 96 Interfaz de Uso M Personalizar, 16 Más / Menos teclas, Animación, 93 Interfaz, personalizar, 16 Matrices Interseca Aplicación de Operaciones Aritméticas, 50 Admitir Intersecciones en Prolongaciones, 28 Comandos, 51 Intersección Entrada Directa, 50 Intersección de Dos Objetos, Herramienta, 28 Multiplication, 50 Todos los puntos de intersección, 28 Operaciones, 50 Un puntos de intersección, 28 Resta, 50 Intersección, comando, 72 Suma, 50 Items, Cada Menú, 82 MatrizInversa, comando, 81 Iteración Máx, comando, 56, 73 Comando, 55 Máximo Común Divisor, Comando, 54 Máximo de Lista, comando, 73 L Máximo, comando, 56 MCD, comando, 54 LaTeX, comando, 68 MCM, comando, 55 LetraDeCódigo, comando, 70 Media Letras Griegas, Mayúsculas, 100 Comando, 79 Licencia, Menú de Ayuda, 92 MediaX, comando, 79 Limitada MediaY, comando, 79 Funciones en intervalo, 46 Mediana, comando, 79 Limitar Mediatriz Valor del ángulo, 44 Mediatriz, comando, 63 Valor del número, 44 Mediatriz, Herramienta, 31 Lista Mediatriz, comando, 63 Operaciones, 49 Mediatriz, Herramienta, 31 Lista de Comandos, 15 Medida, Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Lista de Comandos, Menú, 87 Menor Común Múltiplo, comando, 55 ListaInversa, comando, 73 Menú ListaIteración, comando, 72 Archivo, 82 Listas Edita, 84 Aplicar Operaciones Aritméticas, 49 Herramientas, 90 Comparar, 49 Ventana, 91 División, 50 Vista, 86 Entrada Directa, 49 Menú Archivo Funciones de Aplicación de funciones pre‐definidas, Nueva Ventana, 82 49 Menú Archivo, 82 Funciones Pre‐definidas, 50 Menú Archivo Multiplicación, 50 Nuevo, 82 Resta, 49 Menú Archivo Suma, 49 Abre, 82 Locus, 36 Menú Archivo Herramienta, 36 Guarda, 82 logaritmo, 47 Menú Archivo Logaritmo Guarda Como, 82 base 10, Entrada Directa, 47 Menú Archivo base 2, Entrada Directa, 47 Previsualiza Impresión, 83 natural, Entrada Directa, 47 Menú Archivo Longitud Exporta Comando, 55 Hoja Dinámica como Página‐Web (html), 83 Distancia o Longitud, Herramienta, 35 Menú Archivo Longitud de Lista, comando, 73 Exporta Longitud, Comando, 66 Vista Gráfica Longitud, Herramienta, 35 como Imagen (png, eps), 83 107   
  • 108. Menú Archivo Idioma, 89 Exporta Menú Opciones Vista Gráfica a Portapapeles, 84 Vista Gráfica, 89 Menú Archivo Menú Opciones Exporta Guardar Configuración, 89 Vista Gráfica como PSTricks, 84 Menú Opciones Menú Archivo Restablecer la Configuración Original, 90 Exporta Menú Ventana, 91 Vista Gráfica como PGF/TikZ, 84 Nueva Ventana, 91 Menú Archivo Menú Vista, 86 Cierra, 84 Actualiza Vistas, 87 Menú Ayuda, 91 Barra de Entrada, 87 Menú Contextual, 18 Barra de Navegación, 87 Activa Rastro, 102 Cuadrícula, 86 Borra, 18 Cuadrícula de Coordenadas, 86 Copia en Campo de Entrada, 19 División Horizontal, 87 Rastro Activo, 18 Ejes, 86 Renombra, 18 Ejes de Coordenadas, 86 Menú de Ayuda Lista de Comandos, 87 Foro GeoGebra, 91 Objeto Auxiliar, 87 Menú de Ayuda Protocolo de Construcción, 87 www.geogebra.org, 91 Recálculo de Todos los Objetos, 87 Menú de Ayuda Vista Algebraica, 86 GeoGebraWiki, 92 Menú Vsta Menú de Ayuda Vista de Hoja de Cálculos, 86 Acerca de GeoGebra / Licencia, 92 Mín, comando, 56, 73 Menú de Ayuda Mínimo Común Múltiplo, comando, 55 Licencia, 92 Mínimo de Lista, comando, 73 Menú de Herramientas Mínimo, comando, 56 Personalizar Barra de Herramientas, 90 Mod, comando, 56 Menú Edita Modo, comando, 79 Borra, 85 Caja de Diálogo de Propiedades, 86 Deshace, 84 N Exporta Vista Gráfica al Portapapeles, 86 Nombrando Objetos, 41 Rehace, 85 Nombre Selecciona Ascendientes, 85 Comando, 69 Selecciona Descendientes, 85 de función, 41 Selecciona la Capa Activa, 85 de Punto, 41 Selecciona Todo, 85 de recta, 41 Menú Herramientas, 90 de sección cónica, 41 Creación de Nueva Herramienta, 90 de vector, 41 Gestión de Herramientas, 90 Inserta en la Barra de Entrada, 42 Menú Opciones Punto, 44 Continuidad, 88 Recta, 45 Menú Opciones, 88 Sección cónica, 45 Atracción de Punto a Cuadrícula, 88 Vector, 44 Cifras Significativas, 88 Nombre de Celda, 15 Lugares Decimales, 88 Normal, comando, 79 Redondeo, 88 NormalInversa Unidad Angular, 88 Comando, 78 Menú Opciones NormalInversa, comando, 78 Estilo de Punto, 88 Nueva Ventana Menú Opciones Menú, 82 Tamaño de Casilla de Control, 88 Menú Ventana, 91 Menú Opciones Nuevo Estilo de Angulo Recto, 89 Menú, 82 Menú Opciones Nuevo Punto,Herramienta, 28 Estilo de Coordenadas, 89 Número Menú Opciones Entrada Directa, 43 Rotulado, 89 Nombre, 43 Menú Opciones Valor Limitado, 44 Tamaño de Letra, 89 NúmeroCombinatorio, comando, 53 Menú Opciones Números, 43 108   
  • 109. Números Aleatorios, Nuevos, 87 Menú, 88 Números Complejos Opciones, Cambio, 21 Entrada Directa, 51 Operaciones Aritméticas, 46 Multiplicación, 51 Ordena, comando, 74 Operaciones, 51 Resta, 51 Suma, 51 P Página Web Interactiva O Exporta, 23 Parábola Objeto Comando, 64 Estilo de Trazo, 18 Parábola, Herramienta, 33 Objeto Parámetro, comando, 56 Medida, 18 Paréntesis, Entrada Directa, 47 Objeto Auxiliar, 14 Paso de Construcción Objeto Dependiente, 14 Barra de Navegación, 19 Objeto Libre, 14 Protocolo de Construcción, 19 Sombreado, 18 PasoConstrucción Objeto Comando, 52 Grosor de Trazo, 18 PasoEje, comando, 53 Objeto Pausa animación, 92 Visibilidad, 18 Pendiente Objeto Comando, 57 notación Algebraica, 18 Perímetro, comando, 56 Objeto PerímetroCónica, comando, 54 Renombra, 18 Personalizar Objeto Barra de Herramientas, 90 Borra, 18 Personalizar Barra de Herramientas, 17 Objeto Personalizar Interfaz de Uso, 16 Rastro Activo, 18 Personalizar Vista Gráfica, 16 Objeto PGF/TikZ Animación Automática, 18 Exporta PGF/TikZ, Menú Archivo, 84 Objeto Formato, 84 Copia en Campo de Entrada, 19 Pi Objeto Constante, 43 Selecciona, 25 Símbolo, 35, 43 Objeto Piso, Entrada Directa, 48 Selección de varios objectos, 25 Polar Objeto Comando, 63 Renombrar rápidamente, 26 Polígono Objeto Comando, 61 Nombre, 41 Angulos, 58 Objeto Herramienta, 30 Edita, 42 Polígono Regular Objeto Herramienta, 30 Inserta Polinomio, comando, 65 Nombre en la Bara de Entrada, 42 PolinomioTaylor, comando, 66 Objeto Previsualiza Impresión Inserta Actualizar, 22 Valor en la Barra de Entrada, 42 Menú, 83 Objeto Primer Eje Inserta Comando, 62 Definición en la Barra de Entrada, 42 Primero, comando, 71 Objeto producto escalar, Entrada Directa, 46 Comando, 69 Producto, comando, 73 Objeto Auxiliar, 14 Producto, Entrada Directa, 46 Objeto Dependiente, 14 Propiedades de imagen, Posición, 39 Objeto Libre, 14 Protocolo, 19 Objeto, Expone / Oculta, 16 Protocolo de Construcción, 19 Objetos Exportar Protocolo de Construcción a Color, 21 Cambio de valores, 42 Imprime, 22 Objetos Auxiliares, 15 Menú Vista, 87 Menú Vista, 87 Modifcar, 20 Opciones Navegar, 20 109   
  • 110. Protocolo de Construcción como Página‐Web, Exporta, Refleja Objeto en Recta, Herramienta, 36 20 Refleja Objeto por Punto, Herramienta, 37 Protocolo de Construcción, Cambio de Orden de los  Refleja Punto en Circunferencia, Herramienta, 37 Pasos, 20 Registra en Hoja de Cálculo Protocolo de Construcción, Columnas, 20, 22 Menú Contextual, 19 Protocolo de Construcción, Exporta, 20 Registra en Hoja de Cálculo, Herramienta, 27 Protocolo de Construcción, Inserta nuevo, Cambio, 20 Registra en Hoja de Cálculo, Menú Contextual, 19 Protocolo de Construcción, Punto de Ruptura, 20 Registra en Hoja de Cálculo, Opción, 19 Protocolo, Exporta, 20 Rehace, Menú Edita, 85 PSTricks Relación Exporta, Menú Archivo, 84 Comando, 52 Formato, 84 Herramienta, 27 Punto Renombra Comando, 59 Menú Contextual, 18 Entrada Directa, 44 Opción Rápida, 26 Nombre, 41, 44 Resta, Entrada Directa, 46 Punto de Ruptura, 20 Restablecer Punto Decimal, 43 Barra de Herramientas Original, 17 Punto Medio Configuración Original, 21 Punto Medio o Centro,Herramienta, 28 Configuración Original, Menú Opciones, 90 PuntoInflexión, comando, 58 Resto, comando, 56 PuntoMedio Rota Comando, 59 Comando, 75 Rota en torno a un Punto, Herramienta, 27 R Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado,  Herramienta, 37 Radianes, convierte a grados, 43 Rotulado Radio, comando, 56 Ajustes, 21 Raíz Rotulado, Menú Opciones, 89 Comando, 59 Rótulos, 100 Raíz cuadrada, Entrada Directa, 47 Expone  / Oculta, 100 Raíz cúbica, Entrada Directa, 47 Nombre y Valor, 100 RangoCelda, comando, 81 Subtítulo, 100 Rastro, 102 Activa Rastro, Menú Contextual, 102 Borra, 87 S Rastro Activo, Menú Contextual, 18 Sección cónica RazónDoble, comando, 54 Nombre, 41 RazónSimple Sección Cónica Comando, 53 Cónica, comando, 63 Recálculo de Todos los Objetos, Menú Vista, 87 Entrada Directa, 45 Recta Nombre, 45 Comando, 62 Sector Entrada Directa, 45 Comando, 68 Nombre, 41, 45 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos,  Perpendicular, comando, 62 Herramienta, 33 Perpendicular, Herramienta, 31 SectorCircular, comando, 67 Recta que pasa por Dos Puntos, Herramienta, 31 Sector Circumcircular Recta Paralela, Herramienta, 31 Sector dados Tres Puntos de su Arco, Herramienta, Recta Perpendicular 34 Herramienta, 31 SectorCircumcircular, comando, 67 Recta Polar, Herramienta, 31 Sectores, 33 Rectángulo de Exportación, 22 Secuencia Rectángulo de Selección, 25 Comando, 73 Rectas Segmento Comandos, 61 Comando, 61 Redefine, 101 Segmento dados Punto Extremo y Longitud,  Objeto fijo, 102 Herramienta, 29 Redondeo Segmento entre Dos Puntos, Herramienta, 29 Entrada Directa, 48 Segmento, Comandos, 61 Menú Opciones, 88 Selecciona Refleja Selecciona Ascendientes, Menú Edita, 85 Comando, 75 Objeto, 25 Refleja Selecciona Descendientes, Menú Edita, 85 110   
  • 111. Selecciona la Capa Activa, Menú Edita, 85 Texto Dinámico, 38 Selecciona Todo, Menú Edita, 85 Texto Estático, 37 Seleccionar Texto Mixto, 38 Varios Objetos, 25 TextoDeCódigo, comando, 70 Semicircunferencia TextoFracción, comando, 68 Comando, 68 Transformaciones Geométricas Herramienta, 34 Herramientas, 36 SemiFocal, comando, 55 Transformaciones Geométricas, Herramientas, 36 Semirrecta Transformaciones, Herramientas, 36 Herramienta, 30 Transparencia de imagen, 40 Semirrecta que pasa por Dos Puntos, Herramienta, 30 Traslada Semirrecta, Comando, 61 Comando, 76 Seno, Entrada Directa, 47 Traslada Objeto por un Vector, Herramienta, 37 Si Traspone, comando, 81 Comando, 53, 64 Trazo Función condicional, 64 Grosor de Trazo, Caja de Diálogo de Propìedades, 18 Sigma SigmaXX, comando, 79 SigmaXY, comando, 79 U SigmaYY, comando, 79 Ultimo, comando, 72 Signo, Entrada Directa, 47 Unidad Angular Simplifica Ajustes, 21 Polinomio, 65 Menú Opciones, 88 Simplifica Unidad Imaginaria, 51 Comando, 66 Unión, comando, 74 Sombreado, Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Subtítulo, 100 Nombre, 100 V Nombre y Valor, 100 Valor Rótulo, 100 Inserta en la Barra de entrada, 42 Suma, comando, 74 Valor Absoluto, , Entrada Directa, 47 Suma, Entrada Directa, 46 Valores SumaInferior, comando, 56 Cambio, 42 SumaSuperior, comando, 57 Varianza, comando, 80 SumaTrapezoidal, comando, 57 Vector Sxx, comando, 80 Comando, 60 Sxy, comando, 80 Entrada Directa, 44 Syy, comando, 80 Nombre, 41, 44 Vector desde un Punto, Herramienta, 29 T Vector entre Dos Puntos, Herramienta, 29 VectorPerpendicular, comando, 60 TablaTexto, comando, 69 VectorCurvatura, comando, 60 Tamaño de Casilla de Control, Ajustes, 21 VectorPerpendicular, Comando, 60 Tamaño de Letra VectorUnitario, comando, 60 Aumentar, 21 VectorUnitarioPerpendicular, Comando, 60 Menú Opciones, 89 Vértice, comando, 60 Tangente Visibilidad Comando, 63, 66 Condicional, 93 Herramienta, 31 Visibilidad Condicional, 93, 94 Tangente antihiperbólica Nuevos Objetos, 94 Tangente antihiperbólica, Entrada Directa, 47 Objetos Existentes, 93 Tangente, Entrada Directa, 47 Visibilidad, Propiedades, 18 Teclas de Atajo, 97 Visibilitdad Teclas flecha, Animación, 93 Propìedades, 18 Teclas‐Flecha, 44 Vista Algebraica, 14 Techo, Entrada Directa, 48 Expone/Oculta, Menú Vista, 86 Texto Modificar objetos, 15 Comando, 69 Vista de Hoja de Cálculo, 15 Comandos, 68 Entrada a una Celda, 15 Fórmula, 38 Nombre de Celda, 15 Inserta Texto, Herramienta, 37 Vista de Hoja de Cálculos Texto Dinámico, 38 Menú Vista, 86 Texto Estático, 37 Vista Gráfica Texto Mixto, 38 Personalizar, 16 111   
  • 112. Vista Gráfica, 13 Vistas Vista Gráfica Vista Algebraica, 14 Zoom, 16 Vista de Hoja de Cálculo, 15 Vista Gráfica Vista Gráfica, 13 Actualizar Previsualiza Impresión, 22 Vista Gráfica Crea imágenes, 22 W Vista Gráfica www.geogebra.org, Ayuda en Línea, 91 Exporta a escala, 23 Vista Gráfica Entrada Geométrica, 25 Z Vista Gráfica Zoom, 16 Exporta al Portapapeles, Menú Edita, 86 Centro del Zoom, 16 Vista Gráfica a Portapapeles, Exporta, 23 Zoom de Acercamiento, Herramienta, 28 Vista Gráfica, Exporta como Imagen, 22 Zoom de Alejamiento, herramienta, 28 Vista Gráfica, Imprime, 22 Zoom Rectangular, 16 Vista Gráfica, Menú Opciones, 89   112