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Matriz

K
karyloz2015

Este documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz como una tabla cuadrada o rectangular de elementos ordenados en filas y columnas. Explica diferentes tipos de matrices como matrices fila, columna, nula, diagonal, unitaria y triangular. Además, describe operaciones básicas con matrices como la adición y multiplicación de una matriz por un escalar.

Ingeniería
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Matriz. 1 / 49 Matriz. Ing. Braulio Lozano Hern´andez. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Universidad Polit´ecnica de Amozoc 17 de septiembre de 2015 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 1 / 49
Matriz. 2 / 49 1 Definici´on. 2 Tipos de matrices. 3 Operaciones con matrices. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 2 / 49
Matriz. 3 / 49 Definici´on. Definici´on. Una Matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos o tambi´en llamados elementos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenandos en filas y columnas, donde una fila es cada una de las l´ıneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las l´ıneas verticales. A =       a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn       Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 3 / 49
Matriz. 4 / 49 Definici´on. Definici´on. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n (escrito mxn), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se debe dar en el siguiente orden: con el n´umero de filas primero y el n´umero de columnas despu´es. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 4 / 49
Matriz. 5 / 49 Definici´on. Orden. Com´unmente se dice que una matriz m por n tiene un orden de m x n (orden tiene el significado de tama˜no). A =     3 −1 0 2 0 1 4 8 −2 2 4 −1     El orden de la matriz A es: 4 x 3. Si m = n, se dice que la matriz es cuadrada. Dos matrices son iguales si se cumple la siguiente regla: son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 5 / 49
Matriz. 6 / 49 Definici´on. Elemento de la matriz. Al elemento o dato de una matriz que se encuentra en la fila i- ´esima y la columna j-´esima se le llama elemento i, j o elemento (i, j)-i´esimo de la matriz. Advi´ertase que se cumple el orden descrito, colocar primero las filas y despu´es las columnas. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 6 / 49
Matriz. 7 / 49 Definici´on. Notaci´on. Com´unmente, se denotan a las matrices con letras may´usculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en min´uscu- las para denotar a los elementos o datos pertenecientes a las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se en- cuentra en la fila i-´esima y la columna j-´esima se le denota como ai,j o a[i, j]. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 7 / 49
Matriz. 8 / 49 Definici´on. La matriz A =     1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 0 5     Es una matriz 4x3. El elemento a2,3 ´o A [2,3] es 7. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 8 / 49
Matriz. 9 / 49 Tipos de matrices. Matriz fila. La matriz fila: es una matriz que consta de una sola fila. R = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Es una matriz 1 x 9, o un vector fila con 9 elementos. y es el orden es de 1 x 9. Entonces, el orden de toda matriz fila es 1 x n. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 9 / 49
Matriz. 10 / 49 Tipos de matrices. Matriz columna. La matriz columna: es una matriz que consta de una sola co- lumna. C =   3 1 3   El orden de la matriz C es: 3 x 1 Por lo tanto, El orden de una matriz columna es n x 1. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 10 / 49
Matriz. 11 / 49 Tipos de matrices. Matriz NULA. La matriz Nula: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero. 0 =       0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 .. ... ... ... ... 0 0 0 ... 0       Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 11 / 49
Matriz. 12 / 49 Tipos de matrices. Matriz Diagonal. La Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en que todos los elementos que no est´en en la diagonal principal son iguales a cero. D =   5 0 0 0 1 0 0 0 3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 12 / 49
Matriz. 13 / 49 Tipos de matrices. Matriz Unitaria o Identidad. Matriz unitaria o identidad: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes son iguales a cero. I =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 13 / 49
Matriz. 14 / 49 Tipos de matrices. Matriz triangular. La matriz triangular: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que est´an por debajo ´o por encima de la diagonal principal son iguales a cero. E =   1 7 0 0 −1 3 0 0 2   Matriz triangular superior. E =   1 0 0 0 2 0 0 −3 0   Matriz triangular inferior. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 14 / 49
Matriz. 15 / 49 Tipos de matrices. Igualdad de matrices. Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. A = B si y solo si ai,j = bi,j , para todo i,j. A =   3 2 6 1 0,5 4 0 5 8   B =   3 2 6 1 0,5 −4 0 5 8   a2,3 = b2,3. Entonces A = B. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 15 / 49
Matriz. 16 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices. Dos matrices pueden sumarse cuando son del mismo orden y esta operaci´on se realiza elemento a elemento. A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   A + B =   a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 a1,3 + b1,3 a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3 a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 16 / 49
Matriz. 17 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices. (cont.) Ejemplo. A = 1 4 −3 2 D =   1 3 0 5 −1 2   B = 2 5 1 3 E = −1 0 4 3 −2 0 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 17 / 49
Matriz. 18 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 18 / 49
Matriz. 19 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 19 / 49
Matriz. 20 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 20 / 49
Matriz. 21 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 -3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 −3 + 1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 21 / 49
Matriz. 22 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 −3 + 1 2 + 3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 22 / 49
Matriz. 23 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 −3 + 1 2 + 3 A + B = 3 9 −2 5 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 23 / 49
Matriz. 24 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. Se puede efectuar siempre la multiplicaci´on de un escalar por una matriz y se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar: αC αC =   α(c1,1) α(c1,2) α(c1,3) α(c1,4) α(c2,1) α(c2,2) α(c2,3) α(c2,4) α(c3,1) α(c3,2) α(c3,3) α(c3,4)   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 24 / 49
Matriz. 25 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 25 / 49
Matriz. 26 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF = Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 26 / 49
Matriz. 27 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = -1 0 4 3 −2 0 αF = 1 2 (−1) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 27 / 49
Matriz. 28 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF = 1 2 (−1) 1 2 (0) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 28 / 49
Matriz. 29 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF = 1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 29 / 49
Matriz. 30 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3)      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 30 / 49
Matriz. 31 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 -2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3) 1 2 (−2)      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 31 / 49
Matriz. 32 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3) 1 2 (−2) 1 2 (0)      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 32 / 49
Matriz. 33 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3) 1 2 (−2) 1 2 (0)      =      − 1 2 0 2 3 2 −1 0      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 33 / 49
Matriz. 34 / 49 Operaciones con matrices. TEOREMA. Sea A, B y C matrices del mismo rango, y sean r y s escalares. 1 A + B = B + A 2 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3 A + 0 = A 4 r(A + B) = rA + rB 5 (r + s )A = rA + sA 6 r(sA) = (rs)A Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 34 / 49
Matriz. 35 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. El producto de matrices puede efectuarse solo si se cumple la siguiente condici´on: El n´umero de columnas de la primera matriz debe ser igual al n´umero de filas de la segunda matriz. Matriz A de rango m x n y B de rango p x q; para realizar la multiplicaci´on AB el valor de n y p deben ser iguales. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 35 / 49
Matriz. 36 / 49 Operaciones con matrices. REGLA FILA-COLUMNA PARA CALCULAR AB. Si el producto AB esta definido, entonces la entrada en la fila i y la columna j de AB es la suma de los productos de entrada correspondientes de la fila i de A y la columna de j de B. Si abi,j denota la entrada (i,j) de la matriz AB, y si A es una matriz m x n, entonces: ab(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + a(i,3)b(3,j) + ... + a(i,n)b(n,j) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 36 / 49
Matriz. 37 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices.(cont.) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =     Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 37 / 49
Matriz. 38 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices.(cont.) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =     ab(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + a(i,3)b(3,j) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 38 / 49
Matriz. 39 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab1,1) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1   ab(1,1) = a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 39 / 49
Matriz. 40 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab1,2) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2   ab(1,2) = a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 40 / 49
Matriz. 41 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab1,3) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 a1,1b1,3 + a1,2b2,3 + a1,3b3,3   ab(1,3) = a1,1b1,3 + a1,2b2,3 + a1,3b3,3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 41 / 49
Matriz. 42 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab2,1) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1   ab(2,1) = a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 42 / 49
Matriz. 43 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab2,2) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2   ab(2,2) = a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 43 / 49
Matriz. 44 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab2,3) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 a2,1b1,3 + a2,2b2,3 + a2,3b3,3   ab(2,3) = a2,1b1,3 + a2,2b2,3 + a2,3b3,3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 44 / 49
Matriz. 45 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab3,1) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 a3,1b1,1 + a3,2b2,1 + a3,3b3,1   ab(3,1) = a3,1b1,1 + a2,2b2,1 + a3,3b3,1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 45 / 49
Matriz. 46 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab3,2) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 ab3,1 a3,1b1,2 + a3,2b2,2 + a3,3b3,2   ab(3,2) = a3,1b1,2 + a3,2b2,2 + a3,3b3,2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 46 / 49
Matriz. 47 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab3,3) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 ab3,1 ab3,2 a3,1b1,3 + a3,2b2,3 + a3,3b3,3   ab(3,3) = a3,1b1,3 + a3,2b2,3 + a3,3b3,3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 47 / 49
Matriz. 48 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (AB) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 ab3,1 ab3,2 ab3,3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 48 / 49
Matriz. 49 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ejercicio.) Obtenga el producto de C y D C = −1 0 4 3 −2 0 D =   1 3 0 5 −1 2   CD =   −1(1) + 0(0) + 3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 49 / 49
Matriz. 49 / 49 Operaciones con matrices. 3 3 3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 49 / 49

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Matriz

  • 1. Matriz. 1 / 49 Matriz. Ing. Braulio Lozano Hern´andez. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Universidad Polit´ecnica de Amozoc 17 de septiembre de 2015 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 1 / 49
  • 2. Matriz. 2 / 49 1 Definici´on. 2 Tipos de matrices. 3 Operaciones con matrices. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 2 / 49
  • 3. Matriz. 3 / 49 Definici´on. Definici´on. Una Matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos o tambi´en llamados elementos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenandos en filas y columnas, donde una fila es cada una de las l´ıneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las l´ıneas verticales. A =       a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn       Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 3 / 49
  • 4. Matriz. 4 / 49 Definici´on. Definici´on. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n (escrito mxn), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se debe dar en el siguiente orden: con el n´umero de filas primero y el n´umero de columnas despu´es. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 4 / 49
  • 5. Matriz. 5 / 49 Definici´on. Orden. Com´unmente se dice que una matriz m por n tiene un orden de m x n (orden tiene el significado de tama˜no). A =     3 −1 0 2 0 1 4 8 −2 2 4 −1     El orden de la matriz A es: 4 x 3. Si m = n, se dice que la matriz es cuadrada. Dos matrices son iguales si se cumple la siguiente regla: son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 5 / 49
  • 6. Matriz. 6 / 49 Definici´on. Elemento de la matriz. Al elemento o dato de una matriz que se encuentra en la fila i- ´esima y la columna j-´esima se le llama elemento i, j o elemento (i, j)-i´esimo de la matriz. Advi´ertase que se cumple el orden descrito, colocar primero las filas y despu´es las columnas. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 6 / 49
  • 7. Matriz. 7 / 49 Definici´on. Notaci´on. Com´unmente, se denotan a las matrices con letras may´usculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en min´uscu- las para denotar a los elementos o datos pertenecientes a las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se en- cuentra en la fila i-´esima y la columna j-´esima se le denota como ai,j o a[i, j]. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 7 / 49
  • 8. Matriz. 8 / 49 Definici´on. La matriz A =     1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 0 5     Es una matriz 4x3. El elemento a2,3 ´o A [2,3] es 7. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 8 / 49
  • 9. Matriz. 9 / 49 Tipos de matrices. Matriz fila. La matriz fila: es una matriz que consta de una sola fila. R = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Es una matriz 1 x 9, o un vector fila con 9 elementos. y es el orden es de 1 x 9. Entonces, el orden de toda matriz fila es 1 x n. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 9 / 49
  • 10. Matriz. 10 / 49 Tipos de matrices. Matriz columna. La matriz columna: es una matriz que consta de una sola co- lumna. C =   3 1 3   El orden de la matriz C es: 3 x 1 Por lo tanto, El orden de una matriz columna es n x 1. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 10 / 49
  • 11. Matriz. 11 / 49 Tipos de matrices. Matriz NULA. La matriz Nula: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero. 0 =       0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 .. ... ... ... ... 0 0 0 ... 0       Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 11 / 49
  • 12. Matriz. 12 / 49 Tipos de matrices. Matriz Diagonal. La Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en que todos los elementos que no est´en en la diagonal principal son iguales a cero. D =   5 0 0 0 1 0 0 0 3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 12 / 49
  • 13. Matriz. 13 / 49 Tipos de matrices. Matriz Unitaria o Identidad. Matriz unitaria o identidad: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes son iguales a cero. I =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 13 / 49
  • 14. Matriz. 14 / 49 Tipos de matrices. Matriz triangular. La matriz triangular: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que est´an por debajo ´o por encima de la diagonal principal son iguales a cero. E =   1 7 0 0 −1 3 0 0 2   Matriz triangular superior. E =   1 0 0 0 2 0 0 −3 0   Matriz triangular inferior. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 14 / 49
  • 15. Matriz. 15 / 49 Tipos de matrices. Igualdad de matrices. Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. A = B si y solo si ai,j = bi,j , para todo i,j. A =   3 2 6 1 0,5 4 0 5 8   B =   3 2 6 1 0,5 −4 0 5 8   a2,3 = b2,3. Entonces A = B. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 15 / 49
  • 16. Matriz. 16 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices. Dos matrices pueden sumarse cuando son del mismo orden y esta operaci´on se realiza elemento a elemento. A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   A + B =   a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 a1,3 + b1,3 a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3 a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 16 / 49
  • 17. Matriz. 17 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices. (cont.) Ejemplo. A = 1 4 −3 2 D =   1 3 0 5 −1 2   B = 2 5 1 3 E = −1 0 4 3 −2 0 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 17 / 49
  • 18. Matriz. 18 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 18 / 49
  • 19. Matriz. 19 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 19 / 49
  • 20. Matriz. 20 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 20 / 49
  • 21. Matriz. 21 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 -3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 −3 + 1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 21 / 49
  • 22. Matriz. 22 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 −3 + 1 2 + 3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 22 / 49
  • 23. Matriz. 23 / 49 Operaciones con matrices. Adici´on de matrices.(cont.) A = 1 4 −3 2 B = 2 5 1 3 A + B = 1 + 2 4 + 5 −3 + 1 2 + 3 A + B = 3 9 −2 5 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 23 / 49
  • 24. Matriz. 24 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. Se puede efectuar siempre la multiplicaci´on de un escalar por una matriz y se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar: αC αC =   α(c1,1) α(c1,2) α(c1,3) α(c1,4) α(c2,1) α(c2,2) α(c2,3) α(c2,4) α(c3,1) α(c3,2) α(c3,3) α(c3,4)   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 24 / 49
  • 25. Matriz. 25 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 25 / 49
  • 26. Matriz. 26 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF = Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 26 / 49
  • 27. Matriz. 27 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = -1 0 4 3 −2 0 αF = 1 2 (−1) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 27 / 49
  • 28. Matriz. 28 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF = 1 2 (−1) 1 2 (0) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 28 / 49
  • 29. Matriz. 29 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF = 1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 29 / 49
  • 30. Matriz. 30 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3)      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 30 / 49
  • 31. Matriz. 31 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 -2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3) 1 2 (−2)      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 31 / 49
  • 32. Matriz. 32 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3) 1 2 (−2) 1 2 (0)      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 32 / 49
  • 33. Matriz. 33 / 49 Operaciones con matrices. Producto de un escalar por una matriz. (cont.) Ejemplo: αF, donde α = 1 2 F = −1 0 4 3 −2 0 αF =      1 2 (−1) 1 2 (0) 1 2 (4) 1 2 (3) 1 2 (−2) 1 2 (0)      =      − 1 2 0 2 3 2 −1 0      Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 33 / 49
  • 34. Matriz. 34 / 49 Operaciones con matrices. TEOREMA. Sea A, B y C matrices del mismo rango, y sean r y s escalares. 1 A + B = B + A 2 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3 A + 0 = A 4 r(A + B) = rA + rB 5 (r + s )A = rA + sA 6 r(sA) = (rs)A Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 34 / 49
  • 35. Matriz. 35 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. El producto de matrices puede efectuarse solo si se cumple la siguiente condici´on: El n´umero de columnas de la primera matriz debe ser igual al n´umero de filas de la segunda matriz. Matriz A de rango m x n y B de rango p x q; para realizar la multiplicaci´on AB el valor de n y p deben ser iguales. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 35 / 49
  • 36. Matriz. 36 / 49 Operaciones con matrices. REGLA FILA-COLUMNA PARA CALCULAR AB. Si el producto AB esta definido, entonces la entrada en la fila i y la columna j de AB es la suma de los productos de entrada correspondientes de la fila i de A y la columna de j de B. Si abi,j denota la entrada (i,j) de la matriz AB, y si A es una matriz m x n, entonces: ab(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + a(i,3)b(3,j) + ... + a(i,n)b(n,j) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 36 / 49
  • 37. Matriz. 37 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices.(cont.) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =     Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 37 / 49
  • 38. Matriz. 38 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices.(cont.) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =     ab(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + a(i,3)b(3,j) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 38 / 49
  • 39. Matriz. 39 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab1,1) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1   ab(1,1) = a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 39 / 49
  • 40. Matriz. 40 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab1,2) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2   ab(1,2) = a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 40 / 49
  • 41. Matriz. 41 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab1,3) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 a1,1b1,3 + a1,2b2,3 + a1,3b3,3   ab(1,3) = a1,1b1,3 + a1,2b2,3 + a1,3b3,3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 41 / 49
  • 42. Matriz. 42 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab2,1) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1   ab(2,1) = a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 42 / 49
  • 43. Matriz. 43 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab2,2) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2   ab(2,2) = a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 43 / 49
  • 44. Matriz. 44 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab2,3) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 a2,1b1,3 + a2,2b2,3 + a2,3b3,3   ab(2,3) = a2,1b1,3 + a2,2b2,3 + a2,3b3,3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 44 / 49
  • 45. Matriz. 45 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab3,1) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 a3,1b1,1 + a3,2b2,1 + a3,3b3,1   ab(3,1) = a3,1b1,1 + a2,2b2,1 + a3,3b3,1 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 45 / 49
  • 46. Matriz. 46 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab3,2) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 ab3,1 a3,1b1,2 + a3,2b2,2 + a3,3b3,2   ab(3,2) = a3,1b1,2 + a3,2b2,2 + a3,3b3,2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 46 / 49
  • 47. Matriz. 47 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ab3,3) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 ab3,1 ab3,2 a3,1b1,3 + a3,2b2,3 + a3,3b3,3   ab(3,3) = a3,1b1,3 + a3,2b2,3 + a3,3b3,3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 47 / 49
  • 48. Matriz. 48 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (AB) Sea las matrices A y B, el producto AB es: A =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   B =   b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3   AB =   ab1,1 ab1,2 ab1,3 ab2,1 ab2,2 ab2,3 ab3,1 ab3,2 ab3,3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 48 / 49
  • 49. Matriz. 49 / 49 Operaciones con matrices. Producto de matrices. (ejercicio.) Obtenga el producto de C y D C = −1 0 4 3 −2 0 D =   1 3 0 5 −1 2   CD =   −1(1) + 0(0) + 3   Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 49 / 49
  • 50. Matriz. 49 / 49 Operaciones con matrices. 3 3 3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 49 / 49