Mec221 5
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1) El documento presenta 10 problemas relacionados con mecánica de materiales que involucran conceptos como tensiones, esfuerzos, deformaciones y estados de tensión en elementos estructurales. Los problemas abarcan temas como transformación de tensiones, círculo de Mohr, equilibrio de tensiones internas, diseño de tanques presurizados y análisis de ejes sometidos a carga axial y torsora.
![MEC´ANICA DE MATERIALES – MEC 221
1)
Un elemento en estado de solicitaci´on plana soporta las tensiones indicadas en
la Figura. Hallar el valor de las tensiones que act´uan sobre este elemento, si
el mismo se lo hace girar un ´angulo de 30◦ en sentido anti–horario.
Hallar las magnitudes de la tensi´on normal m´axima y m´ınima que este estado
de tensiones determina y la orientaci´on para la cual se presentan estos valores
caracter´ısticos.
Determinar tambi´en la magnitud de la tensi´on cortante m´axima asociado a
este estado de tensiones y la orientaci´on para la cual se presenta este valor
singular.
2)
Una placa rectangular de 4 mm de espesor est´a sometida a tensiones de trac-
ci´on en sus aristas perifericas, cuyas resultantes se indican en la Figura. Cal-
cular las componentes normal y paralela de la tensi´on interna en el plano de
la diagonal principal mostrada.
3)
El estado de tensiones en el punto cr´ıtico de un cuerpo solicitado mediante
todo un sistema de fuerzas se muestra en la Figura, donde:
σx =−800 σy =500 σz =700
[Kg/cm2
]
τxy =1000 τxz =−600 τyz =900
Determinar el valor de tensi´on normal m´axima que act´ua en este punto,
juntamente con su orientaci´on espacial. Tambi´en hallar la tensi´on cortante
m´axima, y la direcci´on espacial seg´un la cual ´esta act´ua.
4) Al interior de un cuerpo cargado mediante un sistema de fuerzas determinado, en condici´on est´atica de
comportamiento, en un punto interno del mismo se sabe que una de las tensiones normales actuantes es igual
a una de las tensiones principales; digamos, σy = σ1 = −600 Kg/cm2. Adem´as se sabe que en el mismo punto,
las tensiones cortantes principales valen: τab = 500, τac = 350 y τbc = 850 Kg/cm2. Con estos datos, determinar
el estado de tensiones original en el punto; es decir, hallar: σx, σz, τxy, τxz, τyz.
5)
El tensor de tensiones en un punto al interior de un elemento de cierta m´aquina,
con respecto a un sistema coordenado cartesiano rectangular, est´a dado por el
siguiente arreglo matricial:
[σ]x−y−z =
500 100 0
100 200 400
0 400 300
[Kg/cm]2
Determinar el estado de tensiones para un sistema coordenado x -y -z definido
por rotaci´on del eje x, a trav´es de un ´angulo de 45◦ en sentido antihorario alrededor del eje z, como se muestra
en la Figura. Determinar tambi´en a las tensiones cortantes principales, estableciendo para cada una de ellas las
direcciones espaciales seg´un estas act´uan.
6)
Un tanque cil´ındrico de 1,8 m de di´ametro interior contiene un gas que
est´a a una presi´on de 8,2 Kg/cm2 por encima del valor de presi´on am-
biental atmosf´erica. El cuerpo del tanque est´a constru´ıdo de superficies
cil´ındricas de aluminio que se sueldan circunferencialmente, siendo los
extremos del recipiente superficies de forma semiesf´erica, como se aprecia
en la Figura. Si la tensi´on normal admisible en la pared del tanque es 980 Kg/cm2, y la tensi´on normal permisible
perpendicular a la soldadura es de 820 Kg/cm2; determinar el espesor m´ınimo requerido para: (a) la parte
cil´ındrica del recipiente, y (b) las superficies extremas o tapas de este tanque presurizado. Considere solamente
tensiones de membrana en el an´alisis asumiendo que el recipiente es de pared delgada.](https://image.slidesharecdn.com/mec221-5-150515031626-lva1-app6892/85/Mec221-5-1-320.jpg)
![7)
Construir el c´ırculo de Mohr para un elemento en estado de solicitaci´on plana biaxial.
Suponiendo σx > σy > 0 (τxy = 0). (a) Obtener a partir del c´ırculo de Mohr las
siguientes ecuaciones de transformaci´on de tensiones:
σx =
σx + σy
2
−
σx − σy
2
cos 2φ τx y = −
σx − σy
2
sin 2φ
(b) Demostrar que las tensiones normales principales son precisamente: σ1 = σx y
σ2 = σy. (c) Obtener las tensiones cortantes principales desde el c´ırculo de Mohr e
ilustrarlas en un esquema de elemento orientado apropiadamente.
8)
Suponga el campo de tensiones internas en un cuerpo s´olido con propiedades de
continuidad; es decir, que el estado de tensiones en ´areas elementales infinite-
simalmente adyascentes descrito en coordenadas cil´ındricas viene determinado
por relaciones del tipo:
σr(r + dr, φ + dφ, z + dz) = σr(r, φ, z) +
∂σr
∂r
dr +
∂σr
∂φ
rdφ +
∂σr
∂z
dz
τrφ(r + dr, φ + dφ, z + dz) = τrφ(r, φ, z) +
∂τrφ
∂r
dr +
∂τrφ
∂φ
rdφ +
∂τrφ
∂z
dz
con ecuaciones similares en las otras direcciones. Demostrar que la condici´on de
equilibrio de traslaci´on espacial en estas coordenadas, aplicada a un elemento
diferencial como el mostrado en la Figura (en el que act´uan todas componentes de tensi´on existentes), conduce al
cumplimiento de las siguientes ecuaciones:
∂σr
∂r
+
1
r
∂τrφ
∂φ
+
∂τrz
∂z
+
σr − σφ
r
= 0
∂τrφ
∂r
+
1
r
∂σφ
∂φ
+
∂τφz
∂z
+
2τrφ
r
= 0
∂τrz
∂r
+
1
r
∂τφz
∂φ
+
∂σz
∂z
+
τrz
r
= 0
C´omo se reducen estas ecuaciones para un estado plano de tensiones, contenido digamos en el plano r−φ (sistema
polar coordenado) ?
.
9)
El eje circular mostrado tiene propiedades materiales y geom´etri-
cas conocidas, y ser´a sometido a la acci´on de una fuerza axial y un
momento torsor aplicados en el extremo libre. En t´erminos de los
datos mostrados en la Figura, cual debe ser la relaci´on M0/P0 para
que en un punto de la periferia del eje, como el punto A por ejem-
plo, la tensi´on cortante tenga la mitad de valor de magnitud que la
tensi´on normal, En estas condiciones, cuanto vale la deformaci´on
angular axial m´axima del eje? .
10)
Un tanque cil´ındrico cerrado que contiene aire comprimido tiene un es-
pesor de pared de 4 mm y un radio interno de 40 cm. Las tensiones en
el recipiente para un elemento rotado a 45◦ tienen los valores mostrados
en la Figura, medidos en [Kg/cm2]. Hallar el valor de la presi´on del aire
contenido en este recipiente herm´eticamente cerrado.](https://image.slidesharecdn.com/mec221-5-150515031626-lva1-app6892/85/Mec221-5-2-320.jpg)
Mec221 5
- 1. MEC´ANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) Un elemento en estado de solicitaci´on plana soporta las tensiones indicadas en la Figura. Hallar el valor de las tensiones que act´uan sobre este elemento, si el mismo se lo hace girar un ´angulo de 30◦ en sentido anti–horario. Hallar las magnitudes de la tensi´on normal m´axima y m´ınima que este estado de tensiones determina y la orientaci´on para la cual se presentan estos valores caracter´ısticos. Determinar tambi´en la magnitud de la tensi´on cortante m´axima asociado a este estado de tensiones y la orientaci´on para la cual se presenta este valor singular. 2) Una placa rectangular de 4 mm de espesor est´a sometida a tensiones de trac- ci´on en sus aristas perifericas, cuyas resultantes se indican en la Figura. Cal- cular las componentes normal y paralela de la tensi´on interna en el plano de la diagonal principal mostrada. 3) El estado de tensiones en el punto cr´ıtico de un cuerpo solicitado mediante todo un sistema de fuerzas se muestra en la Figura, donde: σx =−800 σy =500 σz =700 [Kg/cm2 ] τxy =1000 τxz =−600 τyz =900 Determinar el valor de tensi´on normal m´axima que act´ua en este punto, juntamente con su orientaci´on espacial. Tambi´en hallar la tensi´on cortante m´axima, y la direcci´on espacial seg´un la cual ´esta act´ua. 4) Al interior de un cuerpo cargado mediante un sistema de fuerzas determinado, en condici´on est´atica de comportamiento, en un punto interno del mismo se sabe que una de las tensiones normales actuantes es igual a una de las tensiones principales; digamos, σy = σ1 = −600 Kg/cm2. Adem´as se sabe que en el mismo punto, las tensiones cortantes principales valen: τab = 500, τac = 350 y τbc = 850 Kg/cm2. Con estos datos, determinar el estado de tensiones original en el punto; es decir, hallar: σx, σz, τxy, τxz, τyz. 5) El tensor de tensiones en un punto al interior de un elemento de cierta m´aquina, con respecto a un sistema coordenado cartesiano rectangular, est´a dado por el siguiente arreglo matricial: [σ]x−y−z = 500 100 0 100 200 400 0 400 300 [Kg/cm]2 Determinar el estado de tensiones para un sistema coordenado x -y -z definido por rotaci´on del eje x, a trav´es de un ´angulo de 45◦ en sentido antihorario alrededor del eje z, como se muestra en la Figura. Determinar tambi´en a las tensiones cortantes principales, estableciendo para cada una de ellas las direcciones espaciales seg´un estas act´uan. 6) Un tanque cil´ındrico de 1,8 m de di´ametro interior contiene un gas que est´a a una presi´on de 8,2 Kg/cm2 por encima del valor de presi´on am- biental atmosf´erica. El cuerpo del tanque est´a constru´ıdo de superficies cil´ındricas de aluminio que se sueldan circunferencialmente, siendo los extremos del recipiente superficies de forma semiesf´erica, como se aprecia en la Figura. Si la tensi´on normal admisible en la pared del tanque es 980 Kg/cm2, y la tensi´on normal permisible perpendicular a la soldadura es de 820 Kg/cm2; determinar el espesor m´ınimo requerido para: (a) la parte cil´ındrica del recipiente, y (b) las superficies extremas o tapas de este tanque presurizado. Considere solamente tensiones de membrana en el an´alisis asumiendo que el recipiente es de pared delgada.
- 2. 7) Construir el c´ırculo de Mohr para un elemento en estado de solicitaci´on plana biaxial. Suponiendo σx > σy > 0 (τxy = 0). (a) Obtener a partir del c´ırculo de Mohr las siguientes ecuaciones de transformaci´on de tensiones: σx = σx + σy 2 − σx − σy 2 cos 2φ τx y = − σx − σy 2 sin 2φ (b) Demostrar que las tensiones normales principales son precisamente: σ1 = σx y σ2 = σy. (c) Obtener las tensiones cortantes principales desde el c´ırculo de Mohr e ilustrarlas en un esquema de elemento orientado apropiadamente. 8) Suponga el campo de tensiones internas en un cuerpo s´olido con propiedades de continuidad; es decir, que el estado de tensiones en ´areas elementales infinite- simalmente adyascentes descrito en coordenadas cil´ındricas viene determinado por relaciones del tipo: σr(r + dr, φ + dφ, z + dz) = σr(r, φ, z) + ∂σr ∂r dr + ∂σr ∂φ rdφ + ∂σr ∂z dz τrφ(r + dr, φ + dφ, z + dz) = τrφ(r, φ, z) + ∂τrφ ∂r dr + ∂τrφ ∂φ rdφ + ∂τrφ ∂z dz con ecuaciones similares en las otras direcciones. Demostrar que la condici´on de equilibrio de traslaci´on espacial en estas coordenadas, aplicada a un elemento diferencial como el mostrado en la Figura (en el que act´uan todas componentes de tensi´on existentes), conduce al cumplimiento de las siguientes ecuaciones: ∂σr ∂r + 1 r ∂τrφ ∂φ + ∂τrz ∂z + σr − σφ r = 0 ∂τrφ ∂r + 1 r ∂σφ ∂φ + ∂τφz ∂z + 2τrφ r = 0 ∂τrz ∂r + 1 r ∂τφz ∂φ + ∂σz ∂z + τrz r = 0 C´omo se reducen estas ecuaciones para un estado plano de tensiones, contenido digamos en el plano r−φ (sistema polar coordenado) ? . 9) El eje circular mostrado tiene propiedades materiales y geom´etri- cas conocidas, y ser´a sometido a la acci´on de una fuerza axial y un momento torsor aplicados en el extremo libre. En t´erminos de los datos mostrados en la Figura, cual debe ser la relaci´on M0/P0 para que en un punto de la periferia del eje, como el punto A por ejem- plo, la tensi´on cortante tenga la mitad de valor de magnitud que la tensi´on normal, En estas condiciones, cuanto vale la deformaci´on angular axial m´axima del eje? . 10) Un tanque cil´ındrico cerrado que contiene aire comprimido tiene un es- pesor de pared de 4 mm y un radio interno de 40 cm. Las tensiones en el recipiente para un elemento rotado a 45◦ tienen los valores mostrados en la Figura, medidos en [Kg/cm2]. Hallar el valor de la presi´on del aire contenido en este recipiente herm´eticamente cerrado.