Metodo grafico.lectura.5
- 1. Método Gráfico El procedimiento geométrico, es únicamente adecuado para resolver problemas muy pequeños (con no más de dos variables debido al problema de dimensionalidad). Este método provee una gran introducción a los problemas de Programación Lineal. Considere el problema siguiente: Min Z =Cx Sujeto a: Ax > b X < O Nótese que la región factible consistirá de todos los vectores x que satisfagan Ax > b ( Zona de soluciones factibles, es decir todos los valores de xl y x2 que satisfagan a las restricciones Ax > b) y x > O. Entre tales puntos deseamos encontrar un punto con mínimo valor Cx. Z = Cx = Σ Σ Σ Σ, ; c x = 1, 2 ,. . . ,n (n = No. de variables) j Si Z va a ser minimizada, entonces una vez establecida la región factible, la correspondiente recta de Z = Cx es deslizada paralelamente a si misma en la dirección que optimice (minimice) más el valor del objetivo. En la figura 1 se muestra un ejemplo del método gráfico. La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x >_O, y > O, xl + xl <_5 y –xl +2x2 <_6 . La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde la esquina inferior derecha hacia la e8squina superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Es importante hacer notar que el Punto Optimo es una de las 5 esquinas que son denominadas puntos extremos Nota: Si Z va a ser maximizada, entonces Z = Cx será deslizada paralelamente Z Optima X1 + X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 5 Z1 -X1 + 2X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 6 Región factible Punto óptimo Figura 1 6 6
- 2. a sí misma en la dirección que optimice (maximice) el valor del objetivo. EXISTEN CUATRO TIPOS DE SOL UCION 1.- Solución Única : * región limitada. * región ilimitada. 2.- Solución Múltiple : * región limitada. * región ilimitada. 3.- Solución Factible Vacía (No Solución). 4.- Solución no Factible. PASOS A SEGUIR PARA DAR SOL UCION POR ME TODO GRAFICO 1.- Identificar el tipo de problema, ya sea maximización o Minimización. 2.- Tabular cada una de las ecuaciones para graficarlas ( obtenga para cada ecuación dos puntos dando un valor cero a una de las variables, para luego obtener el valor de la otra variable, después a la otra variable asígnele un valor de cero para obtener el valor de la otra variable). Entonces grafique estos puntos. - 3.- Asigne un valor inicial a Z, que sea un múltiplo de los coeficientes de las variables en la función objetivo y obtenga dos punto Como en el paso 2 para graficar esta función, ahora asigne otro valor de z tal que la función objetivo mejore y obtenga dos puntos para que esta sea graficada. 4.- Determinar la zona de soluciones factibles, observe en que dirección se encuentran los puntos que satisfacen a cada ecuación , esto es; evaluar el origen (punto (0,0)) en cada ecuación, si este satisface a la ecuación, entonces todos los puntos hacia donde se encuentre el origen satisfacen a la ecuación. Caso contrario su sentido será opuesto a donde se encuentre el origen. 5. - Obtener la solución óptima moviendo la línea de Z paralelamente en la dirección en que optimice a la función objetivo y dentro de la zona de soluciones factibles. El último punto que esta línea toque en esta zona será el punto óptimo. A continuación se presentan los diferentes casos posibles que se pueden presentar en la solución de un problema de Programación Lineal. Solución Optima Única Si la solución óptima ocurre en un punto extremo, entonces a esta solución se le denomina óptima única. La figura 2 muestra a el comportamiento gráfico de esta situación, en la que la región factible esta limitada. Max Z = -X1 +3X2 Sujeto a X1+ X2 ≤ 6
- 3. -X1+ 2X2 ≤ 8 X’s ≥ O Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos; La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x < O, y > O, xl + xl ≤ 6 y –xl +2x2 ≤ 8. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z = 6 hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre cuando Z = 12 en el cruce de las ecuaciones xl + xl ≤ 6 y -xl + 2x2 ≤ 8. La figura 3 presenta el comportamiento gráfico cuando la región esta ilimitada (No Acotada). Max Z = -X1 + 4X2 Sujeto a: -Xl + 2X2 ≤ 1 Xl- X2 ≤ O X’s ≥O Ecuación 1 Ecuación 2 X1 X2 0 6 6 0 X1 X2 0 -8 4 0 X1 X2 0 -6 2 0 Z0 = 6 X1 X2 4 0 0 -12 Z1 = 12 Z optima Z1 X1 + X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 6 -X1 + 2X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 8 Punto optimo 7 7 Región factible Zo Figura 2 Región factible limitada Solución única
- 4. Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos; La región factible esta acotada por las rectas x ≥O, -xl-2x2 ≥-1 y xl-x2 ≥O, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =1 hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre cuando Z =3 en el punto donde se cruzan las ecuaciones -xl-2x2 ≤ 1 y xl-x2 ≤ O. Solución optima múltiple Cuando dos punto extremos (esquinas del área acotada) son óptimos, entonces todos los puntos que se encuentran en el segmento de línea que une a esos dos puntos también son puntos óptimos. Cuando existe esta situación, se que existen soluciones óptimas múltiples. Ecuación 1 Ecuación 2 X1 X2 0 -1 5 0 X1 X2 0 2 0 2 X1 X2 0 -1 0.25 0 Z0 = 1 X1 X2 0-75 0 0 -3 Z1 = 3 Región factible -X1 + 2X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 1 X1 - X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 0 Z optima Z1
- 5. A continuación la figura 4 muestra esta situación en la que la región factible esta limitada (Acotada) Max Z = 2.5Xl + X2 Sujeto a: 3Xl +5X1 < 15 5x1+ 2X2 < 10 X’s < O Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos; La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x > O, y > 0, 3xl + 5x2 ≤ 15 y 5x1+ 2x2 ≤ 10. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =2.5 hacia la esquina superior derecha, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre sobre la recta 5x1+ 2x2 ≤10 cuando Z =1O desde x =2 hasta el punto en el cruce de las ecuaciones S x l + 2x2 ≤10 y 3xl + 5x2 ≤ 15. Existiendo por esto una zona de soluciones múltiples. A continuación se presenta en la figura 5 el mismo caso usando la •región es ilimitada ( No Acotada ). Max Z = 2X2 – X1 Ecuación 1 Ecuación 2 X1 X2 0 5 3 0 X1 X2 0 2 5 0 X1 X2 0 1 2.5 0 Z0 = 2.5 X1 X2 5 0 0 2 Z1 = 5 factible 5X1 +2X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 10 3X1 + 5X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 15 Tramo de puntos óptimos X1 X2 Región factible Limitada Solución Múltiple 5 5 Figura 4
- 6. Sujeto a: Xl - X2 >-l 5X1 + X2 < 2 X’s > O Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos; La región factible esta acotada por las rectas x > 0, y > O, xlx2 > -l y - 5x1 +x2 _ 2, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =2 hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre cuando Z =4 sobre la línea de la ecuación –5x1 +x2 < 2, desde el punto donde se cruzan las ecuaciones xl-x2 > -l y -. 5x1+ x2 < 2 hasta el infinito. Solución Optima Ilimitada Esto sucede cuando la región es factible y la línea correspondiente de Ecuación 1 Ecuación 2 X1 X2 0 -1 1 0 X1 X2 0 -4 2 0 X1 X2 0 -2 1 0 Z0 = 2 X1 X2 2 0 0 -4 Z1 = 4 X1 X2 Tramo de sol. Optimas Región factible 4 4 Z optima Z1 -5x1 +2X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 2 X1 - X2 ≥ ≥ ≥ ≥ -1 Figura 5
- 7. la Función Objetivo Z va optimizándose conforme se desplaza. Su valor cada vez va mejorando y debido al comportamiento de la función de Z y a que la región es ilimitada este valor tiende a mejorar infinitamente. La figura 6 muestra una gráfica en la que se aprecia como avanza la línea de Z indefinidamente debido a su pendiente y a que la región de soluciones factibles no esta acotada en su lado derecho. La región factible esta acotada por las rectas x > 0, y > O, x1x1 – x2 > -l y - 5xl + x2 < 2, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =2 hacia la esquina superior derecha, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto no ocurre en ningún punto ya que en sobre la recta de la ecuación -. 5x1 + x2 _ 2 y a partir del cruce de las ecuaciones xl-x2 _ -l y -. Sxl + x2 _ 2 conforme el valor de Z se optimiza(crece), la recta de la función objetivo Z se desplaza hacia la derecha y como la región esta ilimitada por este lado siempre un desplazamiento hacia la derecha será una mejor solución. Ecuación 1 Ecuación 2 X1 X2 0 -1 1 0 X1 X2 0 -4 2 0 X1 X2 0 2 1 0 Z0 = 2.5 X1 X2 2 0 0 4 Z1 = 5 Región factible X2 X1 4 X1 - X2 ≥ ≥ ≥ ≥ -1 23 Z2 Z1 -5X1 + X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 2 Figura 6 Región factible ilimitada Solución ilimitada
- 8. SOLUCION FACTIBLE VACIA Esto sucede cuando las ecuaciones del sistema son inconsistentes, es decir son paralelas no coincidentes entre si, por lo que no existe una región de soluciones factibles que satisfagan a las funciones en el sistema Ax =b. la figura 7 muestra esta situación. Max Z= 3X1 – 2X2 Sujeto a X1 + X2 ≤ 1 2X1 +2X2 ≥ 4 x`s ≥ 0 tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos Ecuación 1 Ecuación 2 X1 X2 0 1 1 0 X1 X2 0 2 2 0 X1 X2 0 2 -3 0 Z0 = 6 X1 X2 -6 0 0 4 Z1 = 12 X2 Región factible de 2X1 +2X2 ≥ ≥ ≥ ≥ 4 Z1 Z2 X1 4 Solución factible vacía No existe ningún punto que satisfaga las ecuaciones, e independientemente de la función objetivo no existe solución a este problema
- 9. SOLUCION NO FACTIBLE. Las ecuaciones pueden ser consistentes y aun así no tener solución factible, porque ningún punto satisfaciendo las ecuaciones, no satisface la no- negatividad de las restricciones. La figura 8 muestra esta situación. En la que se puede observar que la región que satisface al sistema de ecuaciones se encuentra en el tercer cuadrante , mismo que no satisface la no negatividad de las x´s. Max z = x1 + x2 Sujeto a: X1 + X2 > 0 3x1 – X2 < -3 ’S > 0 Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos; Ecuación 1 Ecuación 2 Z0 = -8 X1 + X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 1 Región factible Figura 7 X1 X2 0 -3 3 0 X1 X2 0 3 -1 0 X1 X2 0 -8 -8 0
- 10. Z1 = -4 X1 X2 0 -4 -4 0 3x1-x2<=-3 X1-x1>=0 Region factible ax =b -8 -4 Z1 Z2 -8 -4 4 8 X2 X1 No Solución factible: La zona de soluciones factibles encuentran en tercer cuadrantes donde no se satisface la no negatividad de las restricciones por lo tanto no se existe solución a este problema.
- 11. EJEMPLO 1 MAXIMIZAR Z = X1 + 14X2 SUJETO A: 1) X + 37X 2) 4 X + X 3 X1, X2 > _ 0 1 2 1 2 1 < _ 16 < _ 20 ) X < _ 4 X 0 16 1 X 0 5 1 X 0 5 1 X 0 10 1 X 16/3 0 2 X 20 5 2 X 2 0 2 X 4 0 2 Solución: Como el punto optimo ocurre en el cruce de las ecuaciones x1+ 3x2 = 16 y 4x1 + x2 = 20 resolviendo este sistema obtenemos el cruce que ocurre X X un valor Z = 2(4) + 5(4) =28 1 = 2 = 4, dando Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos; 20 - 15 - 10 - 5 - - - - - -- 5 1 0 15 2 0 2 13 3 REGIÓN FACTIBLE SOL. ÓPTIMA X1 X2 1 Z 2 Z 1
- 12. EJEMPLO 2 MINIMIZAR Z = 2X1 + 5X2 SUJETO A: 1) X 2) X X1, X2 > _ 0 1 2 X 6 6 1 X 0 10 1 X 0 12 1 X 0 8 1 X 1 2 2 X 10 0 2 X 24 0 2 X 16 0 2 El punto optimo ocurre en el cruce de las ecuaciones x > _ 6, y X + X > _ 10 resultando el punto óptimo X = 8 y X = 16 con un valor de Z = 32 1 2 1 2 10 - 8 - 6 - 4 - 2 - - - - - - 2 4 6 8 10 1 2 REGIÓN ILIMITADA SOL. ÓPTIMA X1 X2 1 Z 2 Z
- 13. EJEMPLO 3 MINIMIZAR Z = 4X1 + X2 SUJETO A: 1) 2X + 7X < _ 21 2) 7X + 2X X1, X2 > _ 0 1 2 2 2 < _ 49 X 0 10.5 1 X 0 7 1 X 0 1 1 X 0 4 1 X 3 0 2 X 24.5 0 2 X 4 0 2 X 16 0 2 La solución óptima ocurre en el cruce de las ecuaciones en el punto x >.689 , y X2 = 1.089 y el valor óptimo de Z = 4 (6.689) + 1.089 = 25.667 38 - 25 - 20 - 10 - 5 - 3 - - - - - - 2 4 6 8 10 12 2 1 REGIÓN FACTIBLE SOL. ÓPTIMA X1 X2 1 Z 2 Z
- 14. EJEMPLO 4 MAXIMIZAR Z = X1 + 14X2 SUJETO A: 1) 2 X + 7X 2) 7 X + 2X X1, X2 > _ 0 1 2 2 2 < _ 21 < _ 2 X 0 10.5 1 X 0 3 1 X 0 1 1 X 0 4 1 X 3 02 2 X 10.5 0 2 X 4 0 2 X 16 0 2 El punto optimo ocurre en el cruce de las ecuaciones x > _ 6, y X + X > _ 10 resultando el punto óptimo X = 8 y X = 16 con un valor de Z = 32 1 2 1 2 12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2 - - - - - - 2 4 6 8 10 12 1 1 REGIÓN ILIMITADA SOLUCION: Son todos los puntos que se encuentran en la linea formada en la intersección de la ecuación 1 con el eje x2 hasta la intersección de la ecuación 1 con la ecuación 2 X1 X2 1 Z 2 Z