Metodosdeintegracion1

Métodos de Integración Jesús Rubí M.
Métodos de Integración ACTUALIZADO AGO-2007 ∫ sen mu cos nu du A1
+
A2
ax + b ( ax + b ) 2
+ +
An de la misma forma, donde m y n se han reemplazado por
( ax + b ) números enteros. Además, la sustitución
n

Jesús Rubí Miranda (jesusrubim@yahoo.com) ∫ sen mu sen nu du x m ( a + bx n ) dx = x m + np ( ax − n + b ) dx
p p

Móvil. Méx. DF. 044 55 13 78 51 94 donde A ∈ y habrá que determinarlo.
http://www.geocities.com/calculusjrm/ ∫ cos mu cos nu du cuando m ≠ n
3.3 Factores cuadráticos distintos transforma la diferencial dada en otra de la misma forma, donde
Utilizando identidades trigonométricas, tenemos: − n reemplaza el exponente n de x . Por tanto, cualquiera que
1. Integración de diferenciales trigonométricas A cada factor cuadrático irreducible ax 2 + bx + c no repetido en el
sea el signo algebraico de n , el exponente de x dentro del
∫ sen u cos u du
1
∫ sen mu cos nu du = ∫ 2 ⎡sen ( m + n ) u + sen ( m − n ) u ⎤ du
m n
1.1 Integrales de la forma denominador de una fracción racional propia le corresponde una sola
⎣ ⎦ paréntesis será positivo en una de las dos diferenciales.
fracción simple de la forma
Cuando m ∨ n ∈ impar , no importa lo que es el otro, pues cos ( m + n ) u cos ( m − n ) u Cuando p es un número positivo, se puede desarrollar la potencia
=− − Ax + B
tendríamos una integral de la forma 2 ( m + n) 2 ( m − n) ax 2 + bx + c del binomio según la fórmula de Newton e integrar la diferencial
u n +1 término a término. En lo que sigue, p se supone una fracción; por
donde A, B ∈
∫ u du = y habrá que determinarlos.
n
1
n +1 ∫ sen mu sen nu du = ∫ 2 ⎡cos ( m − n ) u − cos ( m + n ) u ⎤ du
⎣ ⎦
3.4 Factores cuadráticos repetidos tanto, la reemplazamos por
r
, siendo r , s ∈ .
sen ( m − n ) u sen ( m + n ) u A cada factor cuadrático irreducible ax 2 + bx + c que aparezca n
s
v. g., si m es impar, tenemos = − Por consiguiente el siguiente enunciado:
2 (m − n) 2 (m + n) veces en el denominador de una fracción racional propia le Proposición. Toda diferencial binomia puede reducirse a la forma
sen m u = sen m−1 u sen u corresponde una suma de n fracciones simples de la forma
1 r
y m − 1 es par, el primer término del segundo miembro será ∫ cos mu cos nu du = ∫ 2 ⎡cos ( m − n ) u + cos ( m + n ) u ⎤ du
⎣ ⎦ A1 x + B1 A2 x + B2 An x + Bn x m ( a + bx n ) s dx
+ + +
sen ( m − n ) u sen ( m + n ) u ax 2 + bx + c ( ax 2 + bx + c ) 2 ( ax + bx + c )
2 2 n
potencia se sen u y podemos expresarlo en potencias de cos u 2
siendo m, r , s ∈ y n∈ .
= +
sustituyendo 2 (m − n) 2( m + n) Ahora veremos como quitar los radicales:
donde A, B ∈ y habrá que determinarlos.
sen 2 u = 1 − cos 2 u 2. Integración por sustitución trigonométrica, de expresiones que m +1
4. Integración por sustitución de una nueva variable Caso I. Cuando ∈ . En este caso se efectuará la sustitución
Entonces la integral queda
contienen a − u o u ± a
2 2 2 2 n
4.1 Diferencias que contienen sólo potencias fraccionarias de x
∫ ( suma de términos que contienen cos u ) sen u du Cuando se presentan estos casos, aplicamos un cambio de variable Una expresión que contienen solamente potencias fraccionarias de a + bx n = z s .
Sabemos que sen udu = −d ( cos u ) , cada término que se debe así, para: x puede transformarse en forma racional mediante la sustitución m +1 r
Caso II. Cuando + ∈ . En este caso se efectúa la
a2 − u2 hágase u = a sen z x = zn n s
integrar tiene la forma u du con u = cos u .
n

u +a
2 2
hágase u = a tg z siendo n el mínimo común denominador de los exponentes sustitución a + bx = z x .
n s n
Del mismo modo, si n es el que es impar, tenemos
fraccionarios de x .
n −1 u 2 − a2 hágase u = a sec z
cos u = cos
n
u cos u 4.2 Diferencias que contienen sólo potencias fraccionarias de
en efecto
y empleamos la sustitución cos 2 u = 1 − sen 2 u . Entonces la integral ax + b
a 2 − a 2 sen 2 z = a 1 − sen 2 z = a cos z Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de
queda
a 2 tg 2 z + a 2 = a tg 2 z + 1 = a sec z ax + b puede transformarse en forma racional mediante la
∫ ( suma de términos que contienen sen u ) cos u du sustitución
a 2 sec 2 z − a 2 = a sec 2 z − 1 = a tg z
1.2 Integrales de la forma ∫ tg u du o ∫ ctg u du
n n
ax + b = z n
3. Integración por fracciones
Cuando n ∈ , hacemos Def. Un polinomio en x es una función de la forma siendo n el mínimo común denominador de los exponentes
tg n u = tg n −2 tg 2 u = tg n− 2 u ( sec2 u − 1) a0 x n + a1 x n −1 + + an −1 x + an donde a es una constante, con fraccionarios de la expresión ax + b .
5. Transformación de diferenciales trigonométricas
o a0 ≠ 0 y n , que se llama grado del polinomio, un entero no Una diferencial trigonométrica que contiene sólo funciones
ctg n u = ctg n− 2 u ctg 2 u = ctg n − 2 u ( csc2 u − 1) negativo. racionales de sen u y cos u puede transformarse en otra expresión
Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos diferencial, racional en z , mediante la sustitución
∫ sec ∫ csc
n n
1.3 Integrales de la forma u du o u du teóricamente) como producto de factores lineales del tipo ax + b y u
=z
tg
Cuando n ∈ par , hacemos factores reales cuadráticos irreducibles del tipo ax 2 + bx + c . (Un 2
n−2 o (lo que es lo mismo) por las sustituciones
sec n u = sec n −2 u sec 2 u = ( tg 2 u + 1)
polinomio de grado 1 o mayor se dice irreducible si no puede ser
2 sec 2 u 2z 1 − z2 2dz
factorizado en polinomios de grados más bajos.) La fórmula sen u = , cos u = , du =
o cuadrática ax + bx + c es irreducible si y sólo si b − 4ac < 0 , en
2 2 1 + z2 1 + z2 1 + z2
n−2 A modo de ayuda este triángulo:
csc n u = csc n− 2 u csc 2 u = ( ctg 2 u + 1) 2 csc 2 u este caso, las raíces de ax 2 + bx + c no son reales.
Def. Una fracción racional es aquella cuyo numerador y
∫ tg ∫ ctg
m
1.4 Integrales de la forma u sec n u du o m
u cscn u du denominador son polinomios en x . 1+z2
Cuando n ∈ par , procedemos como en el caso anterior. Def. Una fracción racional es propia cuando el grado del u 2z
numerador es menor que el del denominador. En caso contrario, es
∫ sen
m
1.5 Cálculo de integrales de la forma u cos n u du por una fracción racional impropia. 1-z2
Una fracción racional impropia puede expresarse como la suma de
medio de ángulos múltiplos
un polinomio y una fracción racional propia. 6. Diferenciales binomias
Cuando m ∨ n ∈ impar , aplicamos el caso 1. Cuando ambos 3.1 Factores Lineales Distintos Def. Una diferencial de la forma
A cada factor lineal ax + b no repetido en el denominador de una
m∧ n∈ par , la expresión diferencial se expresa en términos de x m ( a + bx n ) dx
p

senos y cosenos de ángulos múltiplos. Las fórmulas usadas son: fracción racional propia le corresponde una sola fracción simple de
la forma siendo a, b ∈ y los exponentes m, n, p ∈ , se llama una
1
sen u cos u = sen 2u A diferencial binomia.
2
1 ax + b Hagamos
sen 2 u = (1 − cos 2u ) donde A ∈ y habrá que determinarlo. x = zα ; entonces dx = α zα −1 dz
2
1 3.2 Factores Lineales Repetidos y
cos 2 u = (1 + cos 2u ) A cada factor lineal ax + b que aparezca n veces en el
x m ( a + bx n ) dx = α z mα +α −1 ( a + bz nα ) dz
p p
2
1.6 Integrales de la forma denominador de una fracción racional propia le corresponde una
suma de n fracciones simples de la forma Si se elige un número entero α de manera que mα y nα sean
número enteros, vemos que la diferencial dada es equivalente a otra

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