Modulo metodos probabilisticos-2013

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 104561 –MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS
104561 – MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
VLADIMIR DE JESÚS VANEGAS ANGULO
(Director Nacional)
2013

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por William Ortegón docente de la
UNAD, ubicado en el CEAD de Ibagué el Autor es Ingeniero industrial especialista en
logística de producción y distribución. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde
enero de 2008 hasta la fecha y ha sido catedrático de Universidades de Ibagué. El presente
módulo ha tenido 3 actualizaciones la primera realizada por la doctora Gloria Guzmán, la
segunda por el ingeniero William Ortegón y la tercera por Vladimir Vanegas Angulo.
El material ha sido revisado por el ingeniero William Mosquera y aportado para la
calidad del mismo.

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INTRODUCCIÓN
LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS
Un poco de Historia
Se inicia desde la revolución industrial, en los libros se dice que fue a partir de la segunda
Guerra Mundial. La investigación de operaciones se aplica a casi todos los problemas. En
1947, en E.U., George Datzing encuentra el método SIMPLEX para el problema de
programación lineal. En la investigación de operaciones, las computadoras son la
herramienta fundamental en la investigación de operaciones.
Definición
Investigación de operaciones, es la aplicación del método científico por un grupo
multidisciplinario de personas a un problema, principalmente relacionado con la distribución
eficaz de recursos limitados (dinero, materia prima, mano de obra, energía), que apoyados
con el enfoque de sistemas (este enfoque, es aquel en el que un grupo de personas con
distintas áreas de conocimiento, discuten sobre la manera de resolver un problema en
grupo.). Puede considerarse tanto un arte como una ciencia. Como arte refleja los conceptos
eficiente y limitado de un modelo matemático definido para una situación dada. Como ciencia
comprende la deducción de métodos de cálculo para resolver los modelos.
Pasos del Método científico en IO
1. Delimitación del problema
2. Modelación del problema
3. Resolución del modelo
4. Verificación con la realidad
5. Implantación
6. Conclusiones
TIPOS DE MODELOS Y SU SIGNIFICADO
Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El
objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro.
Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que
se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más
relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no
simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que,
mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.
Modelos Matemáticos

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Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades
y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una
representación simbólica del mismo.
Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:
1. Variables de decisión y parámetros
Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la
solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o
bien que se pueden controlar.
2. Restricciones
Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan
sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una
de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es
evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa.
3. Función Objetivo
La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y
una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo
del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la
relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el
valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir
hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn)
sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) b. Donde x1, x2,..., xn son las variables
de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.
Clasificación de Modelos
Muchos problemas de decisión implican un gran número de factores o variables importantes
o pueden tener muchas opciones a considerar por lo que se hace necesario la utilización de

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computadoras para su solución. Por ejemplo una empresa puede contar con varias fábricas
donde produce bienes para enviar a cientos de clientes. Decidir la programación de las
fábricas y determinar cuáles de ellas deben atender a cuales clientes, para minimizar costos,
implica cientos de variables y restricciones que pueden tener millones de posibles soluciones.
Los modelos de programación lineal y programación entera son las técnicas más utilizadas
para resolver problemas grandes y complejos de negocios de este tipo. En ellos se aplican
técnicas matemáticas para hallar el valor máximo (o el mínimo) de un objetivo sujeto a un
conjunto de restricciones.
La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas grandes y complejos que
incluyen incertidumbre. Se diseña un modelo para repetir el comportamiento del sistema.
Este tipo de modelo se basa en la división del sistema en módulos básicos o elementales
que se enlazan entre sí mediante relaciones lógicas bien definidas. El desarrollo de un
modelo de simulación es muy costoso en tiempo y recursos.
Problemas dinámicos los problemas dinámicos de decisión implican un tipo particular de
complejidad cuando hay una secuencia de decisiones interrelacionadas a través de varios
períodos. Por ejemplo modelos de inventario, para determinar cuándo pedir mercadería y
cuánto debe mantenerse en existencia; los modelos PERT o de ruta Crítica para la
programación de proyectos y los modelos de colas para problemas que involucran
congestión.
En los problemas complejos pueden aparecer variables exógenas o variables externas,
importantes para el problema de decisión, pero que están condicionadas por factores que
están fuera del control de la persona que decide, tales como condiciones económicas,
acciones de los competidores, precios de las materias primas y otros factores similares. Las
restricciones pueden considerar ciertas políticas definidas por la empresa tales como que los
materiales tienen que adquirirse a determinados proveedores o que deben mantenerse
ciertos niveles de calidad.

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La investigación de operaciones, tiene métodos de optimización aplicables a los siguientes
tipos de problemas:
1. METODOS DETERMINISTICOS: Ej., Programación lineal, programación entera,
probabilidad de transporte, programación no lineal, teoría de localización o redes,
probabilidad de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc.
2. METODOS PROBABILISTICOS: Ej. Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas de
espera, teoría de inventarios, etc.
3. METODOS HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos determinísticos y
probabilísticos como la teoría de inventarios.
4. METODOS HEURISTICOS: Son las soluciones basadas en la experiencia, como la
programación heurística.
Un Analista de investigación de Operaciones debe elegir el plan de acción más efectivo para
lograr las metas de la organización, debe seleccionar un conjunto de medidas de
desempeño, utilizar una unidad monetaria y tomar decisiones, debe seguir un proceso
general de solución, en cualquier situación, durante la toma de decisiones. Deben
establecerse los criterios de tomas de decisiones (Costos, Cantidades, Máximos, Mínimos
etc.), seleccionar las alternativas, determinar un modelo y evaluarlo, integrar la información
cuantitativa obtenida para luego decidir. Muchas veces hay que incorporar factores
cualitativos tales como el ánimo y el liderazgo en la organización, problemas de empleo,
contaminación u otras de responsabilidad social.
Nota: el proceso de abstracción (idealización restricción y simplificación) siempre introduce
algún grado de error en las soluciones obtenidas, por lo que el ejecutivo no debe volverse
incondicional de un modelo cuantitativo y adoptar automáticamente sus conclusiones como

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la decisión correcta. La cuantificación es una ayuda para el juicio empresarial y no un
sustituto de este.
Los modelos planteados se conocen como modelos determinísticos. En contraste, en
algunos casos, quizá no se conozcan con certeza los datos, más bien se determinan a través
de distribuciones de probabilidad, se da cabida a la naturaleza probabilística de los
fenómenos naturales. Esto da origen a los así llamados modelos probabilísticos o
estocásticos.
Las dificultades evidentes en los cálculos de los modelos matemáticos han obligado a los
analistas a buscar otros métodos de cálculo que aunque no garantizan la optimalidad de la
solución final, buscan una buena solución al problema. Tales métodos se denominan
heurísticos. Suelen emplearse con dos fines: En el contexto de un algoritmo de optimización
exacto, con el fin de aumentar la velocidad del proceso. En segundo lugar para obtener una
solución al problema aunque no óptima, la que puede ser muy difícil encontrar.

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INDICE DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN.......................................................................................................
UNIDAD UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO, TEORÍA DE INVENTARIOS, TOMA DE
DECISIONES EN SISTEMAS DE INVENTARIOS
CAPITULO UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO 14
Lección 1: Pronósticos 16
Lección 2: Modelo de regresión lineal 22
Lección 3: Modelo de promedio móvil 27
Lección 4: Suavización exponencial 33
Lección 5: Error del pronóstico 39
CAPITULO DOS: TEORÍA DE INVENTARIOS 51
Lección 6: Administración de inventarios 53
Lección 7: Modelo de inventarios EOQ 56
Lección 8: Modelos de inventarios EOQ con descuentos 63
Lección 9: Modelos de lote de producción y el sistema de clasificación ABC 68
Lección 10: Modelo estocástico de inventarios 81
CAPITULO 3: ELEMENTOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN SISTEMAS DE
INVENTARIOS 88
Lección 11: Modelos para la toma de decisiones en el sistema de inventarios 88
Lección 12: Elementos que enmarcan el proceso decisorio en producción e inventarios 90
Lección 13: Factores de importancia para la toma de decisiones en inventarios 91
Lección 14: Control de inventarios de ítems individuales con demanda probabilística 95
Lección 15: Formas de revisión del nivel de inventario 97
UNIDAD 2 CADENAS DE MARKOV, TEORÍA DE COLAS Y PROGRAMACIÓN NO LINEAL
CAPITULO 4: CADENAS DE MARKOV 104
Lección 16: Cadenas de Eventos – Análisis de MARKOV 104
Lección 17: Descripción de una cadena de Markov 106
Lección 18: Cálculo de las probabilidades de transición 108
Lección 19: Clasificación de estados en una cadena de Markov 111
Lección 20: Probabilidades de estado estable 112
CAPITULO 5: MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA 125
Lección 21: Teoría de líneas de espera 127
Lección 22: Origen de la teoría de colas 130
Lección 23: Medidas de rendimiento 136
Lección 24: Análisis de costos 138
Lección 25
CAPITULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 143
Lección 26: Programación no lineal 143
Lección 27: Programación cuadrática 146

9
Lección 28: Multiplicadores de lagrange -condiciones Kunh TuckeR 147
Lección 29: Técnica del gradiente 148
Lección 30: Método de Newton- Raphson 150

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UNIDAD 1
Nombre de la Unidad TÉCNICAS DE PRONÓSTICO, TEORÍA DE
INVENTARIOS
Introducción
En la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes
futuros. De esta forma los datos que describen la situación
de decisión deben ser representativos de lo que ocurra en
el futuro. Por ejemplo, en control de inventarios basamos
nuestras decisiones en la naturaleza de la demanda del
artículo controlado durante un horizonte de planeación
específico. Asimismo, en planeación financiera,
necesitamos predecir el patrón del flujo de efectivo en el
tiempo.
Este capítulo presenta tres técnicas para pronosticar
cambios futuros en el nivel de una variable deseada como
función del tiempo:
1. Regresión lineal
2. Promedio móvil
3. Suavización exponencial
La necesidad de proyecciones de la demanda es un
requerimiento general a lo largo del proceso de planeación
y control. Sin embargo, también podrían necesitarse ciertos
tipos de problemas de planeación, como control de
inventarios, compras económicas y control de costos,
pronósticos de los tiempos de espera, precios y costos. Las
técnicas de pronósticos son igualmente aplicables.
El pronóstico de los niveles de demanda es vital para la
firma como un todo, ya que proporciona los datos de
entrada para la planeación y control de todas las áreas
funcionales, incluyendo logística, marketing, producción y
finanzas. Los niveles de demanda y su programación
afectan en gran medida los niveles de capacidad, las
necesidades financieras y la estructura general del
negocio. Cada área funcional tiene sus propios problemas
especiales de pronóstico.

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El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad
para pronosticar, es decir hacer predicciones sobre el
futuro. Estas predicciones se usan para tomar dos amplios
tipos de decisiones: decisiones operativas en curso y
decisiones estratégicas a largo plazo.
• Las decisiones operativas en curso, son la asignación de
pocos recursos, la compra de materias primas, la
determinación de horarios de trabajo, etc.,
• Las predicciones estratégicas a largo plazo también
dependen de predicciones exactas. De esta forma el
pronóstico es la estimación de las actividades futuras; se
basa en el uso de datos anteriores de una variable para
producir su desempeño futuro, solo son aplicables para
predecir la demanda de artículos para los que se dispone
de una cantidad sustancial de información anterior y no
para productos nuevos.
Justificación
Las técnicas de pronósticos disminuyen la incertidumbre
sobre el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones
congruentes con los objetivos de la organización y permiten
también tomar acciones correctivas apropiadas y a tiempo
cuando ocurren situaciones fuera de lo pronosticado.
Pronosticar vs. Planear
Pronóstico. Estimación anticipada del valor de una variable,
por ejemplo: la demanda de un producto.
Presupuesto. Valor anticipado de la variable que una
compañía está en posibilidad de concretizar, por ejemplo:
la cantidad de producto que la compañía decide fabricar en
función de la demanda y de la capacidad instalada.
El conocimiento de las técnicas de pronósticos es de poco
valor a menos que puedan aplicarse efectivamente en el
proceso de planeación de la organización.
Características de los Pronósticos
Primera. Todas las situaciones en que se requiere un
pronóstico, tratan con el futuro y el tiempo está
directamente involucrado. Así, debe pronosticarse para un
punto específico en el tiempo y el cambio de ese punto
generalmente altera el pronóstico.
Segunda. Otro elemento siempre presente en situaciones
de pronósticos es la incertidumbre. Si el administrador

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tuviera certeza sobre las circunstancias que existirán en un
tiempo dado, la preparación de un pronóstico seria trivial.
Tercera. El tercer elemento, presente en grado variable en
todas las situaciones descritas es la confianza de la
persona que hace el pronóstico sobre la información
contenida en datos históricos.
La administración de inventario es primordial dentro de un
proceso de producción ya que existen diversos
procedimientos que nos va a garantizar como empresa,
lograr la satisfacción para llegar a obtener un nivel óptimo
de producción. Dicha política consiste en el conjunto de
reglas y procedimientos que aseguran la continuidad de la
producción de una empresa, permitiendo una seguridad
razonable en cuanto a la escasez de materia prima e
impidiendo el acceso de inventario, con el objeto de mejorar
la tasa de rendimiento. Su éxito va estar enmarcado dentro
de la política de la administración de inventario:
1. Establecer relaciones exactas entre las necesidades
probables y los abastecimientos de los diferentes
productos.
2. Definir categorías para los inventarios y clasificar cada
mercancía en la categoría adecuada.
3. Mantener los costos de abastecimiento al más bajo
nivel posible.
4. Mantener un nivel adecuado de inventario.
5. Satisfacer rápidamente la demanda.
6. Recurrir a la informática.
Algunas empresas consideran que no deberían mantener
ningún tipo de inventario porque mientras los productos se
encuentran en almacenamiento no generan rendimiento y
deben ser financiados. Sin embargo es necesario mantener
algún tipo de inventario porque:
1. La demanda no se puede pronosticar con certeza.
2. Se requiere de un cierto tiempo para convertir un
producto de tal manera que se pueda vender.
Además de que los inventarios excesivos son costosos
también son los inventarios insuficientes, porque los
clientes podrían dirigirse a los competidores si los
productos no están disponibles cuando los demandan y de
esta manera se pierde el negocio. La administración de
inventario requiere de una coordinación entre los
departamentos de ventas, compras, producción y finanzas;

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una falta de coordinación nos podría llevar al fracaso
financiero.
En conclusión la meta de la administración de inventario es
proporcionar los inventarios necesarios para sostener las
operaciones en el más bajo costo posible. En tal sentido el
primer paso que debe seguirse para determinar el nivel
óptimo
De inventario son, los costos que intervienen en su compra
y su mantenimiento, y que posteriormente, en qué punto se
podrían minimizar estos costos.
intencionalidades
Formativas
Desarrollar una técnica de decisión que comprenda
teoría matemática, si es necesario, y que conduzca a un
valor óptimo basado en los objetivos del tomador de
decisiones.
Permitir que los estudiantes resuelvan problemas del
campo de la ciencia, la tecnología e ingeniería, con los
conocimientos interiorizados del curso académico en
mención.
Fomentar en el estudiante características que deben
identificarlo en su desempeño y actuación profesional de la
Ingeniería.
Denominación de
capítulos
Capítulo 1 Técnicas de pronóstico
Capítulo 2 Teoría de inventarios
Capítulo 3 Elementos para la toma de decisiones en
sistemas de inventarios

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CAPITULO UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO
Introducción
En la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes futuros. De esta forma los datos
que describen la situación de decisión deben ser representativos de lo que ocurra en el
futuro. Existen disponibles tres grupos de métodos de pronósticos: Los cualitativos, los de
proyección histórica y los causales. Se diferencian entre sí por la precisión relativa del
pronóstico del largo plazo en comparación con el corto plazo, el nivel de herramientas
matemáticas requerido y la base de conocimiento como sustrato de sus proyecciones. Por
ejemplo, en control de inventarios basamos nuestras decisiones en la naturaleza de la
demanda del artículo controlado durante un horizonte de planeación específico. Asimismo,
en planeación financiera, necesitamos predecir el patrón del flujo de efectivo en el tiempo.
Este capítulo presenta tres técnicas para pronosticar cambios futuros en el nivel de una
variable deseada como función del tiempo:
1. Regresión lineal
2. Promedio móvil
3. Suavización exponencial
La necesidad de proyecciones de la demanda es un requerimiento general a lo largo del
proceso de planeación y control. Sin embargo, también podrían necesitarse ciertos tipos de
problemas de planeación, como control de inventarios, compras económicas y control de
costos, pronósticos de los tiempos de espera, precios y costos. Las técnicas de pronósticos
son igualmente aplicables.
El pronóstico de los niveles de demanda es vital para la firma como un todo, ya que
proporciona los datos de entrada para la planeación y control de todas las áreas funcionales,
incluyendo logística, marketing, producción y finanzas. Los niveles de demanda y su
programación afectan en gran medida los niveles de capacidad, las necesidades financieras

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y la estructura general del negocio. Cada área funcional tiene sus propios problemas
especiales de pronóstico.
El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, es decir hacer
predicciones sobre el futuro. Estas predicciones se usan para tomar dos amplios tipos de
decisiones: decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo plazo.
• Las decisiones operativas en curso, son la asignación de pocos recursos, la compra de
materias primas, la determinación de horarios de trabajo, etc.,
• Las predicciones estratégicas a largo plazo también dependen de predicciones exactas. De
esta forma el pronóstico es la estimación de las actividades futuras; se basa en el uso de
datos anteriores de una variable para producir su desempeño futuro, solo son aplicables para
predecir la demanda de artículos para los que se dispone de una cantidad sustancial de
información anterior y no para productos nuevos.

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Lección 1: PRONÓSTICOS
La definición de pronóstico es simple, sin embargo encierra muchas situaciones que
intervienen en su resultado o bien en la consecución del mismo.
• Pronostico es un método mediante el cual se intenta conocer el comportamiento
futuro de alguna variable con algún grado de certeza.
• "Un pronóstico es un inicio o una señal por donde se puede saber una cosa
futura mediante indicios"1
El pronóstico desempeña un papel muy significativo en la planeación de materiales, se
pueden encontrar pronósticos de abastecimiento, de condiciones, comerciales, de
tecnología, precios, etc. Y en cualquiera de estos rótulos el pronóstico es necesario para la
toma de decisiones.
Aunque es muy cotidiano que hoy en día el manejo de pronósticos en las pequeñas y
medianas empresas, existen situaciones que tienen que ver con la planeación de las
necesidades futuras. La problemática primordial es la poca confianza del uso de la técnica
pronóstico.
Los pronósticos pueden ser utilizados para conocer el comportamiento futuros en muchas
fenómenos, tales como:
1. Mercadotecnia
• Tamaño del mercado
• Participación en el mercado
• Tendencia de precios
• Desarrollo de nuevos productos
2. Producción
• Costo de materia prima
• Costo de mano de obra
• Disponibilidad de materia prima
• Disponibilidad de mano de obra
1
Enciclopedia Sopena, Editorial Ramon Sopena, S.A. Provenza 95, Barcelona pág. 952

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• Requerimientos de mantenimiento
• Capacidad disponible de la planta para la producción
3. Finanzas
• Tasas de interés
• Cuentas de pagos lentos
4. Recursos Humanos
• Número de trabajadores
• Rotación de personal
• Tendencias de ausentismo
• Tendencia de llegadas tarde
5. Planeación Estratégica
• Factores económicos
• Cambios de precios
• Costos
• Crecimiento de líneas de productos
En el sector automotriz las insuficiencias de compra de materiales y producción provienen
de pronósticos ventas, ya que es responsabilidad la misma área de ventas o mercadeo de
los productos, sin embargo cuando los ordenadores de compra de materiales tienden en
compras excesivas o deficientes siempre son acusados, cuando verdaderamente el
generador de esos pronósticos es ventas.
Autores experimentados manifiestan que: "Si la demanda es inferior al pronóstico, el
proveedor puede sospechar que el pronóstico original era un intento por obtener un
precio favorable o alguna otra concesión. Si la demanda excede el pronóstico, los
costos del proveedor pueden aumentar debido a la urgencia, las compras de
emergencia, y cambios en los programas de producción."2
De tal manera los proveedores hacen parte de ese conjunto de incertidumbre que presenta
el pronóstico, por ello es prescindible que los ordenadores de los materiales ayuden a
estrechar los contactos con los diferentes proveedores y que generen un ambiente
2
Arbones Malisani, Logistica Empresarial. Editorial Alfaomega

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empresarial fomentando flexibilidad y cooperación al momento de sus requerimientos
También es cierto que no se deben descartar que de manera regular las actualizaciones y
se ajusten a los pronósticos.
En el día a día se encuentran una diversidad de técnicas para el planteamiento de
pronósticos y se estas se van desarrollando de manera exponencial, estas técnicas pueden
ser cuantitativas y cualitativas y se pueden emplear separadas o en conjunto.
El sector automotriz la técnica más usada de pronósticos es la cuantitativa ya que esta se
sustenta en la toma de datos del pasado para hacer las proyecciones o predicciones del
futuro, algunas técnicas cuantitativas hacen hincapié en identificar indicadores que sean
sobresalientes mediante los cuales se puedan crear modelos lineales o de regresión múltiple.
Algunas de las técnicas de pronóstico cuantitativas que en la actualidad se utilizan, se
desarrollaron durante el siglo XIX; un ejemplo de ello el análisis de regresión y las técnicas
de series de tiempo. Con la implementación de técnicas de pronóstico más complejas, junto
con la generalización del uso de las computadoras, los pronósticos acentuaron la atención
durante los últimos años, y cualquier persona es capaz de operar datos a partir de un
software en una computadora de bolsillo y obtener pronósticos.
Quienes han desarrollado los modelos cuantitativos clasifican a algunos de los pronósticos
cuantitativos como repetitivos, es decir, que los valores que se pronostican continúan un
proceder repetitivo a través del tiempo, la labor de los quienes analizan este tipo de
pronósticos es el identificar ese comportamiento y desarrollar el pronóstico, por consiguiente
el desarrollar dicho pronóstico hace necesario tener en cuenta algunos factores como el valor
constante, tendencia, variaciones estaciónales, variaciones cíclicas, variaciones aleatorias y
puntos de modulación.
Referente a los pronósticos cualitativos, se consideran más comunes en las empresas de
servicios ya que se basan en la repuesta de opiniones de diversas personas, valorizando con
juicio dichas opiniones para utilizarlas al generar el pronóstico. Estas técnicas cualitativas
son más flexibles que las cuantitativas, sin embargo son tan precisas y exactas como estas.

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Al momento de elaborar un pronóstico y este resulta mal proyectado conlleva a que la
planeación no funciona y todas las áreas de la empresa se vuelven ineficientes,
repercutiendo en las finanzas y reflejando las pocas ventas obtenidas, abundancias en los
inventarios de productos que no requieren los clientes, reducción de márgenes, costos más
altos, entre otros problemas.
En términos de pronosticar variables importantes para una compañía o para una parte de
ella como son las ventas de la empresa, las horas de ausencia por empleado, los costos
operativos, las tasa de interés y tipos de cambio del mercado, entre otros, más sin embargo,
las variables macroeconómicas median en las decisiones que tome la empresa para su
futuro.
Las necesidades de pronosticar
Los pronósticos se utilizan para acercarnos información futura y con ella elaborar un plan de
acción, de ahí que las características de un pronóstico sean:
• Primera. Todas las situaciones en que se requiere un pronóstico, tratan con el futuro
y el tiempo este directamente involucrado. As, debe pronosticarse para un punto
específico en el tiempo y el cambio de ese punto generalmente altera el pronóstico.
• Segunda. Otro elemento siempre presente en situaciones de pronósticos es la
incertidumbre. Si el administrador tuviera certeza sobre las circunstancias que
existirán en un tiempo dado, la preparación de un pronóstico seria trivial.
• Tercera. El tercer elemento, presente en grado variable en todas las situaciones
descritas es la confianza de la persona que hace el pronóstico sobre la información
contenida en datos.
Técnicas para el cálculo de pronósticos
Cuando es difícil convertir en números las variables que intervienen en la determinación de
la demanda futura. La mayoría es bajo costo y no requieren de equipo computacional para
hacerse, aunque su planeación implica una gran inversión de tiempo por parte de los
directivos.

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1. Opiniones de los gerentes/ejecutivos: se basa en la opinión general de un grupo
de directivos o gerentes de la empresa.
2. Técnica Delphi: un grupo de expertos responde, de manera anónima, a un
cuestionario que pregunta sobre las proyecciones de ventas de la empresa. Un
moderador lee en voz alta las respuestas y, entre todos, buscan consenso.
3. Información de los vendedores: consiste en recopilar las estimaciones realizadas
por los vendedores (o distribuidores) acerca de las ventas esperadas en sus territorios,
con el fin de suponer la tendencia y cambios futuros.
4. Análisis del ciclo de vida: se basa en la evaluación de las etapas de un producto o
servicio para predecir su del producto demanda en el mercado. Esto es, desde la
introducción, inicio y crecimiento, hasta las etapas de madurez y declinación.
5. Investigación de mercados: se propone recolectar datos de diversas maneras
(entrevistas, cuestionarios) para probar hipótesis acerca del mercado.
¿QUÉ TÉCNICA UTILIZAR?
Para determinar que técnica de pronóstico, se deben considerar los siguientes puntos:
1. Definir la naturaleza del problema de pronóstico.
2. Explicar la naturaleza de los datos bajo investigación.
3. Describir las capacidades y limitaciones de las técnicas de pronóstico potencialmente
útiles.
4. Desarrollar algunos criterios predeterminados sobre los cuales se pueda tomar la
decisión de la selección, como son algunas medidas de error.
BASES DE PRONÓSTICO.
• Ingreso por venta.
• Costo de productos manufacturados.
• Horas de mano de obra directa
• Horas de maquinaria.
• Costos de los insumos.
FUENTES DE PRONÓSTICO.
• Externas: Actividades generales de la economía o factores geopolíticos, que después
se relacionan con las actividades empresariales.
• Internas: Estima cada producto de una empresa, para después hacer un pronóstico
agregado de todas sus actividades.
CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS.SEGÚN EL TIEMPO:
• A Corto Plazo: alcance de un día a un año, sirve para funciones de control, como
ajuste de la Tasa de producción, del empleo, del pronóstico de venta, etc.

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• A Mediano Plazo: con alcance de una estación a uno o dos años. Son usados para la
planeación operativa, el flujo de caja, el programa de producción y las ventas.
• A Largo Plazo: con un alcance de dos a cinco años, esto se usa para ampliar plantas,
producir nuevos productos, cambiar políticas, adoptar nuevas tecnologías.

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Lección 2: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
El análisis de regresión es una de las técnicas estadísticas la cual se utiliza en la
investigación al relacionar entre dos o más variables, una de sus utilizaciones está en la
construcción de modelos que permitan predecir el comportamiento de una variable Y
(dependiente, respuesta) en función de una o más variables (independientes, predictivas) X.
El comportamiento de estas variables suelen definirse de manera previa lo que nos remite a
un modelo teórico, o bien, se tiene el caso de que no exista una relación establecida entre
estas y sea necesario establecer una primera aproximación del comportamiento de las
mismas.
Lo anterior se puede lograr usando una herramienta gráfica denominada diagrama de
dispersión lo que nos conduciría a desarrollar un modelo empírico de la relación que
mantienen las variables en estudio.
Ventajas
• Es objetivo, solo depende de los resultados experimentales.
• Es reproducible, proporciona la misma ecuación no importa de quien realice el
análisis.
• Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos
experimentales.
• Proporciona intervalos pequeños de error.
Restricciones
• Solo sirve para ajustar modelos lineales
• Requiere tener al menos diez mediciones bajo las mismas circunstancias
experimentales.
• Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso el
procesamiento de la información.
Establece la relación temporal para la variable de pronóstico, implica una relación causa-
efecto.
La ecuación general es: Y=α + βx
Y = Variable dependiente = La altura de la recta.

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β = La pendiente de la recta. x = Variable independiente.
METODOS DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS.
Para calcular α y β:
α = altura de la línea recta.
β = pendiente de la recta.
Y = variable dependiente.
X = variable independiente.
x = promedio de los valores X.
y = promedio de los valores Y.
n = número de observaciones.

24
Ejemplo
Encontrar la línea recta del mínimo cuadrado.

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EJEMPLO:
La demanda de un artículo en los últimos 4 años se muestra a continuación:
Demanda(unidades) 2006 2007 2008 2009
Años 6 8 7 9
Con esta información se pide pronosticar la demanda para el año 2010 y 2011 utilizando
regresión lineal.
Solución:
Es necesario hallar la ecuación de regresión , donde x representa el tiempo y Y
la demanda en unidades del artículo.
Procedemos a hallar . teniendo en cuenta las ecuaciones planteadas anteriormente.
= =2,5; = =7,5
, ,
,
= =0,8
,
=5,5
; 5 0,8 Esta sería la ecuación de regresión, ahora para hallar la demanda
del año 2010 reemplazamos a x por 5, ya que sería el valor que le correspondería en la tabla,
pues el 2009 es 4, así el 2011 seria 6.
Reemplazando obtendríamos: 5 0,8 5 9 !"!#$; 5 0,8 6 9,8 ≅
10 !"!#$.
Entonces la demanda proyectada para el 2010 sería de 9 unidades y de 10 unidades para el
2011.
Años X Demanda(y) X.Y X2
2006 1 6 6 1
2007 2 8 16 4
2008 3 7 21 9
2009 4 9 36 16
TOTALES 10 30 79 30

26
TALLER DE APLICACIÓN
Solucione los siguientes ejercicios:
1. La demanda de un artículo en unidades en los últimos 5 años se describe a continuación:
Utilice la técnica de regresión lineal para estimar el número de unidades que se proyectan
de demanda para el año 2010.
2. El número de estudiantes matriculados en los últimos 4 años en una institución de
educación básica secundaria se describe a continuación:
Mediante regresión lineal pronostique el número de estudiantes que se matricularan en el
año 2010.

27
Lección 3: MODELO DE PROMEDIO MÓVIL
El Promedio Móvil o PM es el indicador más utilizado en análisis técnico, ya que es uno de
los indicadores experimentados más antiguos que existen. La utilización de un promedio
móvil muestra la dirección y la duración de una tendencia; el propósito de un promedio móvil
es el de ilustrar la tendencia, de una manera más suavizada. Debido al hecho que el
promedio móvil es uno de los indicadores más versátiles y de mayor uso dentro de todos los
indicadores, es la base del diseño de la mayoría de sistemas y estrategias utilizados hoy en
día.
Un promedio móvil simple o aritmético es calculado como la suma de un número
predeterminado de precios por un cierto número de períodos de tiempo, dividido por el
número de períodos de tiempo. El resultado es el precio promedio en dicho período de
tiempo. Los promedios móviles simples emplean la misma ponderación para los precios. Es
calculado usando la siguiente fórmula:
• Promedio Móvil Simple = SUMA (precios de cierre) / n, donde n es el número de
períodos.
Un ejemplo de promedio móvil es el precio promedio del mercado en cierto período de
tiempo.
Se describen algunas de las propiedades más comunes de los promedios móviles:
• El promedio móvil es calculado con cierto período de tiempo predefinido.
• Mientras más corto el período, mayor la probabilidad de una señal falsa.
• Mientras más largo el período, menor es la sensibilidad del promedio móvil. Es decir,
más certera pero existirán menos señales.
Como su mismo nombre lo implica, un promedio móvil es un promedio de un cuerpo
cambiante de data.
Por ejemplo, un promedio móvil de 50 períodos, utilizado al cierre, es constituido por la
sumatoria de los precios de cierre de los últimos 50 períodos, dividido por 50.

28
Se le designa promedio MÓVIL, por que únicamente los últimos períodos son los evaluados,
es decir, son los que están siendo utilizados para calcular los resultados. Y de esa manera,
los datos siendo evaluados se mueven hacia adelante con cada día (o período) que avanza.
El análisis de promedios móviles puede ser realizado a cualquiera de los siguientes
diferentes tipos de precio:
• Precio de Apertura:
El análisis del período se hace en base el precio de apertura de cada cuerpo.
• Precio de Cierre:
El análisis del período se hace en base el precio de cierre de cada cuerpo.
• Precio más Alto:
El análisis del período se hace en base el precio más alto de cada cuerpo.
• Precio más Bajo:
El análisis del período se hace en base el precio más bajo de cada cuerpo.
• Precio Medio:
El análisis del período se hace en base el precio medio de cada cuerpo.
Precio Medio = (Precio Alto + Precio Bajo) / 2
• Precio Típico:
El precio típico del período es calculado de la siguiente forma:
Precio Típico = (Precio Alto + Precio Bajo + Precio Cierre) / 3
• Precio Ponderado:
El precio ponderado del período es calculado de la siguiente forma:
Precio Ponderado = (Precio Alto + Precio Bajo + Precio Cierre + Precio Cierre) / 4
Tipos de Promedios Móviles
Promedio Móvil Simple (SMA):
El Promedio Móvil Simple es sin duda el promedio móvil más utilizado hoy en día.
El Promedio Móvil Simple es a veces llamado un promedio móvil aritmético y básicamente
es un precio promedio a través de un período de tiempo.
Se calcula sumando los precios de cierre del par analizado durante cierto período de tiempo
y luego se divide dentro del mismo número de períodos.
Por ejemplo, el Promedio Móvil de los últimos 10 días del precio de cierre, dividido
dentro de 10.
Debido al hecho que el Promedio Móvil Simple da el mismo peso a cada período de precio
siendo evaluado, mientras más largo sea el período de tiempo evaluado, mayor será la
suavización de los datos más recientes.

29
Promedio Móvil Exponencial (EMA):
El indicador de Promedio Móvil Exponencial reacciona más rápidamente a cambios de
precios recientes que el Promedio Móvil Simple debido al hecho que suma los precios de
cierre del período actual al período anterior, dando así más peso a los últimos períodos de
precio.
El período es utilizado para determinar el peso relativo que debería ser asignado a períodos
previos. La fórmula es utilizada para determinar el porcentaje.
Promedio Móvil Suavizado (SMMA):
Debido a que el indicador del Promedio Móvil Suavizado, suaviza el promedio móvil por
medio de la asignación de mismos pesos a precios pasados que a precios recientes, es
recomendable utilizar el SMMA con períodos más largos de tiempo para mejores resultados
Promedio Móvil Ponderado Lineal (LWMA)
Un Promedio Móvil Ponderado se calcula a través de la multiplicación de de cada período de
tiempo anterior por un peso. El peso está basado en el número de días del promedio móvil.
Un Promedio Móvil Ponderado Lineal, da más peso a información más reciente que a datos
más antiguos.
El hecho de que es medido linealmente significa que el dato más antiguo recibe un valor de
1, luego el dato que le sigue, un valor de 2, luego el dato que le sigue un valor de 3 y así
sucesivamente, hasta que el último dato recibe un peso equivalente al período.
Así que en un LWMA de 25, el peso del primer día es 1, mientras que el peso del día más
reciente es de 25. Esto da 25 veces más peso al precio de hoy que al de hace 25 días.
Consejos para Operar los promedios Móviles
Recuerde de SIEMPRE confirmar sus puntos de entrada y salida con otros indicadores
cuando utiliza cualquiera de las estrategias anteriormente mencionadas con promedios

30
móviles. Estos otros indicadores pueden ser, pero no se limitan a: MACD, Momentum, RSI,
Stochastics & Precio ROC.
Las señales falsas pueden ser evitadas al utilizar períodos más largos de tiempo. Sin
embargo, a pesar de que esto hará que se generen menos señales, las señales brindadas
serán más certeras y exactas.
Cuando inserte promedios móviles en sus gráficas, utilice períodos comúnmente usados por
la mayoría de inversionistas de Forex. Estos períodos pueden ser: 10, 50, 100 & 200
Algunos promedios móviles comúnmente utilizados como el EMA 200, también son utilizados
como niveles de soporte o resistencia. Así que cuando llegue a este nivel específico, esté
atento para observar posibles retracciones de precios.
La suposición fundamental para esta técnica es que la serie de tiempo es estable, en el
sentido de que sus datos se generan mediante el siguiente proceso constante:
yt= b+et donde b es un parámetro constante desconocido estimado a partir de los datos
históricos. Se supone que el error aleatorio et tiene un valor esperado cero y una varianza
constante. Además, los datos para los diferentes periodos no están correlacionados.
La técnica del promedio móvil supone que las n observaciones más recientes son igualmente
importantes en la estimación del parámetro b. Así, en un periodo actual t, si los datos para
los n periodos más recientes son yt-n+1, yt-n+2,...e yt, entonces el valor estimado para el periodo
t+1 se calcula como
yt+1 = (yt-n+1+ yt-n+2 +...+yt)/n
No hay una regla exacta para seleccionar la base del promedio móvil, n. Si las variaciones
en la variable permanecen razonablemente constantes en el tiempo, se recomienda una n
grande. De otra forma, se aconseja un valor de n pequeño si la variable muestra patrones
cambiantes. En la práctica, el valor de n fluctúa entre 2 y 10.

31
Ejemplo. La demanda (en número de unidades) de un artículo de inventario durante los
pasados 24 meses se resume en la tabla. Utilice la técnica del promedio móvil para
pronosticar la demanda del siguiente mes (t= 25)
TABLA
Mes, t Demanda, yt Mes, t Demanda, yt
1 46 13 54
2 56 14 42
3 54 15 64
4 43 16 60
5 57 17 70
6 56 18 66
7 67 19 57
8 62 20 55
9 50 21 52
10 56 22 62
11 47 23 70
12 56 24 72
Si utilizamos n = 3, la demanda estimada para el siguiente mes (t = 25) será igual al promedio
de las demandas para los meses 22 al 24, es decir,
) * *
=68.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Solucione los siguientes ejercicios:
1. La demanda de un artículo en unidades en los últimos 5 años se describe a
continuación:
• Utilice la técnica del promedio móvil con k= 3 para estimar el número de unidades que
se proyectan de demanda para el año 2009 y 2010.
2. El número de estudiantes matriculados en los últimos 4 años en una institución de
educación básica secundaria se describe a continuación:

32
Mediante promedio móvil con k= 4, pronostique el número de estudiantes que se matricularan
en el año 2010 y 2011.

33
Lección 4: SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL
El método de suavización exponencial es un método de promedio móvil ponderado muy
refinado que permite calcular el promedio de una serie de tiempo, asignando a las demandas
recientes mayor ponderación que a las demandas anteriores.
Es el método de pronóstico formal que se usa más a menudo, por su simplicidad y por la
reducida cantidad de datos que requiere. A diferencia del método de promedio móvil
ponderado, que requiere n periodos de demanda pretérita y n ponderaciones, la suavización
exponencial requiere solamente tres tipos de datos: el pronóstico del último periodo, la
demanda de ese periodo y un parámetro suavizador, alfa , cuyo valor fluctúa entre 0 y 1.0.
Para elaborar un pronóstico con suavización exponencial, será suficiente que calculemos un
promedio ponderado de la demanda más reciente y el pronóstico calculado para el último
periodo.
En la suavización exponencial se asignan pesos a los datos pasados tal que los pesos
disminuyen al hacerse los datos más antiguos, esto es que en un proceso cambiante, esto
es que los datos recientes son más validos que los datos antiguos.
Este método solo necesita el pronóstico más reciente, una constante de suavización (es un
valor arbitrario entre 0 y 1) y el último dato real, y así se elimina la necesidad de almacenar
grandes cantidades de datos pasados.
La suavización exponencial requiere un valor de inicio. Si se tienen datos disponibles se
puede emplear un promedio sencillo para iniciar el proceso; si los datos no son seguros se
puede hacer una predicción subjetiva.
La ecuación correspondiente a este pronóstico es:
Ft+1= (demanda para este periodo) + (1- ) (pronóstico calculado para el último periodo)
Ft+1= Dt + (1- )Ft

34
La constante de suavización a es un número entre 0 y 1 que entra multiplicando en cada
pronóstico, pero cuya influencia declina exponencialmente al volverse antiguos los datos.
Una a baja de más ponderación a los datos históricos. Una a de 1 refleja una ajuste total
a la demanda reciente, y los pronósticos serán las demandas reales de los periodos
anteriores.
La selección depende de las características de la demanda. Los valores altos de a son
más sensibles a las fluctuaciones en la demanda.
Los valores bajos de a son más apropiados para demandas relativamente estables (sin
tendencia o ciclicidad), pero con una gran cantidad de variación aleatoria.
La suavización exponencial simple es un promedio suavizado centrado en el periodo
presente. No se puede extrapolar para efectos de tendencia, por la que ningún valor de
a compensará completamente la tendencia en los datos.
Los valores ordinarios de a varían entre 0.01 y 0.40. Los valores bajos de a disminuyen
efectivamente la variación aleatoria (ruido - dispersión).
Los valores altos son más sensibles a cambios en la demanda (introducciones de nuevos
productos y error buscando cuál valor reduce el error del pronóstico.
Esto puede hacerse fácilmente modelando el pronóstico en un programa de cómputo,
tratando con diferentes valores de a.
Un valor de a que proporcione aproximadamente un grado equivalente de suavización
tanto como un promedio móvil de un periodo es a =2 / (n + 1)

35
Esta forma de la ecuación muestra que el pronóstico para el periodo siguiente es igual al
pronóstico del periodo actual más una proporción del error del pronóstico correspondiente al
mismo periodo actual.
Para poner en marcha la suavización exponencial se requiere un pronóstico inicial. Hay dos
formas de realizar este pronóstico inicial: Usar la demanda del último periodo, o bien, se
dispone de datos históricos, calcular el promedio de varios periodos recientes de demanda.
El efecto de la estimación inicial del promedio sobre las estimaciones sucesivas del mismo
disminuye a lo largo del tiempo porque, con la suavización exponencial, las ponderaciones
asignadas a las demandas históricas sucesivas, que se utilizan para calcular el promedio,
disminuyen exponencialmente.
Ejemplo: Una empresa usa suavización exponencial simple con a = 0.1 para pronosticar la
demanda. El pronóstico para la semana de octubre 1 fue de 500 unidades, mientras que la
demanda real fue de 450 unidades.
a) pronosticar la demanda de la semana de Octubre 8
b) Supóngase que demanda real durante la semana de octubre 8 fue de 505 unidades.
Pronostique la demanda de la semana de octubre 15. Continúese pronosticando hasta
noviembre 12 suponiendo que las demandas subsecuentes fueron realmente 516,
488, 467, 554 y 510.
Solución
a) Pronosticar la demanda de la semana de Octubre 8
Ft = Ft-1 + a (At-1 - Ft-1)
Ft = 500 + 0.1 (450 - 500)
Ft = 495 unidades
b) Arreglando el procedimiento en forma tabular
Valor a = 0.1

36
Semana Demanda
real
Pronóstico
anterior
Error del
pronóstico
Factor Corrección Pronostico
suavizado
At-1 Ft-1 At-1 - Ft- 1 a a (At-1 - Ft-
1)
Ft = Ft-1 + a
(At-1 - Ft-1)
1 450 500 -50 0.1 -5 495
8 505 495 10 0.1 1 496
15 516 496 20 0.1 2 498
22 488 498 -10 0.1 -1 497
29 467 497 -30 0.1 -3 494
5 554 494 60 0.1 6 500
12 510 500 10 0.1 1 501
Lo idóneo y deseable es comparar con otros niveles de a y graficar para poder hacer un
análisis
Valor a = 0.3
Semana Demanda
real
Pronóstico
anterior
Error del
pronóstico
suavizado
At-1 Ft-1 At-1 - Ft- 1 a a (At-1 - Ft-
1)
Ft = Ft-1 + a
(At-1 - Ft-1)
0ct-01 450 500 -50 0.3 -15 485
8 505 485 20 0.3 6 491
15 516 491 25 0.3 8 499
22 488 499 -11 0.3 -3 495
29 467 495 -28 0.3 -9 487
Nov-05 554 487 67 0.3 20 507
12 510 507 3 0.3 1 508

37
Valor a = 0.6
Semana Demanda
real
Pronóstico
anterior
Error del
pronóstico
suavizado
At-1 Ft-1 At-1 - Ft- 1 a a (At-1 - Ft-
1)
Ft = Ft-1 + a
(At-1 - Ft-1)
0ct-01 450 500 -50 0.6 -30 470
8 505 470 35 0.6 21 491
15 516 491 25 0.6 15 506
22 488 506 -18 0.6 -11 495
29 467 495 -28 0.6 -17 478
Nov-05 554 478 76 0.6 45 524
12 510 524 -14 0.6 -8 515
_______________________
Monks Joseph G. Administración de operaciones, serie Schaum., 1a edición, México D.F.,
Mc. Graw Hill., p.p. 168 - 170, 179 – 180

38
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Karl´s Copiers vende y repara máquinas de fotocopiado. El gerente necesita pronósticos
semanales de las solicitudes de servicios, a fin de poder programar las actividades de su
personal de servicio. El pronóstico correspondiente a la semana del 3 de julio fue de 23
llamadas para servicio. El gerente aplica la suavización exponencial con = 0.25.
Pronostique usted el número de llamadas para servicio correspondientes a la semana del 7
de agosto, suponiendo que ésta sea la semana próxima.
2. Los siguientes datos corresponden a las calculadoras vendidas (expresadas en unidades)
en una tienda de electrónica durante las últimas 5 semanas.
Aplique la suavización exponencial con = 0.2, para pronosticar las ventas
correspondientes a las semanas 3 a 6.

39
Lección 5: ERROR DEL PRONÓSTICO
MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DE PRONÓSTICO.
Error Pronóstico:
Habitualmente en los casos para proyectar un buen pronóstico se debe contar con excelentes
instrumentos, metodologías y experiencia; ya que el mercado actual es muy cambiante,
dinámico y en muchas ocasiones tiende a tener muchos componentes aleatorios, lo que
conlleva a que pronosticar sea una labor compleja. Por tal motivo cantidades de empresas
de hoy en día, han creado puestos y departamentos dedicados a pronosticar la demanda.
Debido a que un pronóstico es una estimación se debe tener una técnica de desempeño de
esté, ya que esta técnica ayudaría a determinar cuál es el mejor método de pronósticos en
el caso que se quiera evaluar varios, y para revisar su desempeño en el tiempo en búsqueda
de mejorarlo.
Es importante utilizar una técnica de estimación del desempeño (estimación del error) común,
y no utilizar medidas propias, ya que en general las medidas propias hacen que se pierda
objetividad en el análisis. Hay algo muy importante que tiene que tener las medidas del
desempeño en los pronósticos, que tanto midan cuando el pronóstico fue mayor que el valor
real y viceversa, miremos los errores comunes en las empresas cuanto hacen la estimación
del error de pronóstico de ventas:
• Solo cuentan el error cuando el pronóstico es mayor a la venta real, ya que lo que les
importa a ellos es la venta perdida.
• Solo cuentan el error cuando el pronóstico es menor a la venta real, debido a que lo
importante es no tener mucho inventario.
• No se cuenta la magnitud de la diferencia si no que se cuenta el número de veces que
el pronóstico estuvo por encima y debajo de la venta real.
Estos errores y muchos mas no miden correctamente el desempeño del pronóstico, y en
muchos casos dan la sensación de que el pronóstico está bien, mientras por el contrario en
la realidad no lo está.

40
La cantidad por la cual la demanda real difiere de la demanda pronosticada. Existen tres
mediciones de funcionamiento para evaluar un modelo de pronóstico en el que Dt es la
demanda real en el periodo t y Ft, es la demanda pronosticada en el periodo t, encontramos:
• RMSE: Error medio cuadrado
• MAE: Error medio absoluto
• MAPE: Error medio porcentual
EJEMPLO.
Se ha desarrollado un modelo de pronóstico para predecir las ventas mensuales de un
modelo particular de carro basándose en los siguientes datos de los 6 meses anteriores,
donde hallaremos error de pronóstico, error medio cuadrado (RMSE), error medio absoluto
(MAE), error medio porcentual(MAPE).

41
Como las ventas pronosticadas no son iguales que las ventas reales como podemos calcular
el error de pronóstico:
Los errores de pronóstico (+) indican que la demanda real excede el pronóstico y los errores
(-) significan que la demanda está por debajo del pronóstico.
Ahora hallaremos RMSE y tenemos:

42
RMSE = √72/6 = 3,46
MAE = 18/6 = 3
MAPE = 28/6 = 4,66
Autoevaluación
TALLER.
1. En la Universidad de Tunja se escogieron 10 muestras de hombres al azar y se les
pregunto la estatura (x) y el número de calzado (y), arrojando los siguientes datos:
Halle la ecuación de la línea de regresión lineal (y). Cuando x: 1,75

43
2. Pronosticar las ventas diarias del almacén de zapatos Bucaramanga basándose en los
11 meses anteriores donde deberá hallar:
a. Error pronostico
b. Error medio cuadrado (RMSE)
c. Error medio absoluto (MAE)
d. Error medio porcentual (MAPE)

44
AREA:
ESTADÍSTICA
Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e
Ingeniería
CIENCIAS BÁSICAS
CURSO:
Métodos
probabilísticos
UNIDAD: Técnicas de pronóstico y teoría de inventarios
CAPÍTULO: Técnicas de pronóstico
LECCIÓN: Modelo de Regresión Lineal
NUMERO DE LA PRÁCTICA 1
NOMBRE DE LA PRÁCTICA Regresión lineal
NOMBRE DEL SOFTWARE WinQsb
Libre: ______x_____ Licenciado: _____________
Aspectos Teóricos:
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al
comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura
muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres
eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir,
"regresaban" al promedio.4 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más
tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean
modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una
explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de
la matemática y la estadística mucho más extenso
La idea es proyectar una variable a través del tiempo, teniendo como referencia los datos
históricos de una variable, por ejemplo la demanda de un artículo en los últimos años y a

45
partir de estos datos pronosticar mediante una línea de regresión el valor aproximado de la
demanda en el futuro, generalmente es válido para unos cuantos períodos.
Ejemplo 1:
Teniendo en cuenta los datos históricos de la demanda de un artículo en los últimos 5 años,
realice el pronóstico de la demanda para el año 2011.Utilice el winqsb.
AÑOS 2005 2006 2007 2008 2009
DEMANDA(MILES
DE UNIDADES)
8 6 7 10 11
Solución:
Utilice el modulo del winqsb titulado: forecasting and linear regression.
Luego seleccione file:

46
Nos dará la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio
luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un título al problema y en
problema type marcamos time series forecasting, en time unit colocamos días, meses o años
según los datos del problema, para nuestro caso serán años. En number of time units
colocamos el número de periodos de tiempo que tenemos, esto corresponde a los datos
históricos que se tienen para hacer el pronóstico (5 en nuestro caso).

47
Le damos ok y obtenemos el siguiente cuadro, en donde se deben registrar los datos del
ejercicio:
Luego seleccionamos solve and analyze, y obtenemos el siguiente cuadro:

48
Seleccionamos como indica la figura y se obtiene el siguiente cuadro de resultados:

49
Los valores que aparecen en los años 6 y 7 son los valores proyectados para la demanda,
que en este caso sería de 8,4 es decir 8400 unidades para el año 2010 y 2011.La demás
información corresponde a datos estadísticos de los cálculos efectuados.
Podemos también realizar la grafica correspondiente a datos reales y proyectados, para
nuestro ejercicio nos quedaría así:(utilizando la ventana indicada con la flecha.)
EJERCICIO
1. Halle el pronóstico de la demanda para el mes de febrero y marzo de un artículo que en
los últimos meses registro las siguientes ventas en millones de pesos:
Meses agosto septiembr
e
octubr
e
noviembr
e
diciembr
e
enero
Ventas(millones de
pesos)
3 4 5 4 6 3
Utilice el Winqsb como se mostro en el ejemplo, grafique los datos originales y los de
tendencia.

50
2. El número de estudiantes que se matricularon en una institución educativa de bachillerato
en los últimos cuatro años se relacionan a continuación:
años 2007 2008 2009 2010
Estudiantes
matriculados
425 450 465 486
Con estos datos halle el pronóstico de estudiantes que se matricularían para el año 2011.

51
CAPITULO 2: TEORÍA DE INVENTARIOS
INTRODUCCIÓN
Los modelos de inventarios tienen mucha importancia en el ámbito laboral de cualquier
empresa o negocio en el cual se necesite tener información completa sobre los diferentes
materiales o insumos que haya en existencia o que tengan que ser incluidos en la lista de
pedidos que deben ejecutarse temporalmente de acuerdo con las necesidades de
producción de la empresa o según el comportamiento de la demanda.
Existen diferentes modelos de inventarios, los cuales se aplican en relación con los
requerimientos del negocio en el cual van a ser empleados y se convierten en una base para
la toma de decisiones por parte de los gerentes o encargados de producción que son los que
están pendientes de que no haya faltantes o sobrantes en la producción, de modo que se
generen el denominado logro que no es otra cosa que poseer un stock de mercancías que
no se mueven o no producen ninguna ganancia.
OBJETIVOS
• Conocer algunos de los más efectivos métodos para la toma de decisiones en cuanto
al manejo de inventarios y sus métodos de control.
• Determinar cuál es el modelo de inventarios más adecuado de acuerdo con la
empresa en la cual se vaya a implementar, de modo que se tenga una certeza de
cuáles son los artículos que se van a necesitar y en qué medida debe realizarse el
pedido.
CONCEPTOS GENERALES
DEFINICION
• Son los artículos a la mano que un cliente puede comprar en un ambiente de
fabricación, los inventarios son las materias primas para producir bienes terminados.
• La madera, clavos, barniz y otros materiales necesarios para construir un librero son
los artículos de inventario, el medio de producción es el cliente.
• Son técnicas usadas para ayudar a los gerentes a determinar cuándo deben
ordenarse.

52
• Consideremos las ventajas de tener grandes inventarios

53
Lección 6: ADMINISTRACION DE INVENTARIOS
La administración de un inventario es un punto determinante en el manejo estratégico de
toda organización, tanto de prestación de servicios como de producción de bienes.
Las tareas correspondientes a la administración de un inventario se relacionan con la
determinación de los métodos de registro, la determinación de los puntos de rotación, las
formas de clasificación y el modelo de reinventario determinado por los métodos de control
(el cual determina las cantidades a ordenar o producir, según sea el caso).
Para evitar escasez. Cuando se conoce la demanda futura de un artículo y se puede confiar
en las entregas puntuales de un proveedor, siempre puede colocar pedidos de tal forma que
se satisfaga toda la demanda sin necesidad de un inventario.
Para aprovechar las economías de escala. Al solicitar grandes cantidades un negocio
puede obtener su suministros a un costo inferior, así mismo el negocio colocaría menos
pedidos, lo que ahorraría esfuerzos y costos administrativos. Mantener un flujo de trabajo
continuo en un medio de producción de múltiples etapas. Cada una de estas razones
argumenta a favor de tener grandes inventarios a la mano.
Dependiendo del tipo de empresa el inventario se puede conseguir de 3 diferentes formas,
de igual manera como otras solo hacen uso de una de las formas; por tal motivo es relevante
hacer conocer las formas a las que se hace referencia:
1. Inventario de materia prima, se considera materia prima a todos aquellos productos
que van a sufrir una transformación para poder estar disponibles para su venta; la
importancia radica en que debe haber existencia dentro de la empresa, ya que lo
contrario acarrearía perdidas.
2. Inventario de productos en proceso, son los productos a los que todavía le quedan
pendientes procesos por consiguiente no están disponible para la venta.
3. Inventario de producto terminado, son los productos que han completado el proceso
de producción y ya se encuentran disponible para la venta.

54
De igual manera en las empresas donde no existe un proceso de manufactura, sino que se
encarga de servicios (compra y venta) artículos, inmuebles, productos, se le define el
Inventario como de Mercancías.
La gran cantidad de dinero que manejan las empresas las tienen invertidas en inventarios
que consisten en lo siguiente:
a. El resultado de la disminución de las ventas como consecuencia de la recesión
económica de los diferentes países.
b. Se hace necesario mantener un gran inventario para poder ganar tiempo en la
producción y entrega, teniendo en cuenta que las ventas y la producción no son
constantes todo el tiempo.
c. El Departamento de ventas debe tener siempre a su disposición un alto inventario de
productos terminados, ya que cuando un cliente solicite un producto se le provee de
manera inmediata.
d. Reducir costos de inversión que es directamente proporcional a un gran lote de
inventario, ya que se garantiza un menor costo, debido al volumen de compra.
Aspectos a tener en cuenta en la Administración de Inventario
El objeto de la Administración de Inventario se sustenta en dos aspectos:
El financiar otros proyectos debido a la destinación de recursos por que se ha reducido
la inversión en inventarios
Prever que las operaciones de producción y ventas funcionaran sin restricciones
previa planeación de un inventario suficiente que pueda cubrir la demanda existente.
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS
Son las técnicas utilizadas para determinar cuál de estas características tiene su modelo
para poder aplicar el paquete para realizar el análisis correcto.
a. Demanda Dependiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo
determinado afecta la demanda de uno o más de los otros artículos.
b. Demanda Independiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo no
afecta la demanda cualquiera de otros artículos.
c. Demanda Determinística Contra Probabilística: Existen dos categorías:
• Demanda Determinística: es la demanda de un artículo que se conoce con certeza.
Ejemplo: un proceso de elaboración de un libro, una máquina inserta las 100 hojas
por segundo aquí las hojas serían artículos o materias en inventario, la maquina es
el cliente y la demanda Determinísticas son las 100 hojas por segundo.

55
• Demanda Probabilística: es la demanda de un artículo que está sujeta a la cantidad
significativa de incertidumbre y variabilidad. Ejemplo: en un hospital usted no sabe
cuántos y que tipos de pacientes tenga la semana entrante, lo que ocasiona una
demanda incierta de suministros médicos.
d. Déficit o Faltantes: una circunstancia en la que el inventario disponible es insuficiente
para satisfacer la demanda.
e. Tiempos Líderes: el tiempo entre la colocación de periodo de bienes y la llegada de estos
bienes enviados por el proveedor.
f. Descuentos Cuantitativos: cuando los inventarios son reabastecidos por proveedores
externos, la cantidad pagada por artículo puede depender del tamaño de ese pedido.
g. Políticas de Pedidos: es un enfoque para determinar cómo y cuándo reabastecer los
inventarios.
CARACTERÍSTICAS CLAVES:
• Pedido de artículos en intervalos de tiempo fijos: La cantidad a ordenar está
determinada por el nivel del inventario en el momento en el que se coloca el pedido.
La cantidad pedida cada vez varía. Ejemplo: considere el reabastecimiento de leche
en una tienda de abarrotes. Cada martes el gerente de lácteos pide la cantidad, y la
cantidad depende de cuantos galones hay en el estante cuando coloca el pedido. Esta
política también se denomina revisión periódica pues requiere revisara el nivel de
inventario en puntos fijos de tiempo para determinar cuánto ordenar.
• Pedido de un número fijo de artículos cuando el inventario a la mano llega a un cierto
nivel previamente especificado, llamado el punto de nuevos pedidos: En este caso, la
cantidad pedida siempre es la misma, pero el tiempo entre los pedidos puede variar.
Ejemplo: Un gerente de bar puede reordenar cerveza cuando el suministro actual cae
por menos de tres cajas. Este nivel puede alcanzarse en 4 semanas cuando el negocio
va lento o en una semana cuando el negocio está activo, digamos durante la semana
del súper tazón. Esta política también se denomina revisión continua, pues requiere
una comprobación continua del inventario para determinar cuándo se alcanza el punto
de nuevos pedidos.
• Revisión Periódica: es la política de ordenamiento que requiere revisar el nivel de
inventarios en puntos fijos de tiempo para determinar cuándo ordenar sobre la base
de inventarios a la mano en ese momento.
• Revisión Continua: es la política de ordenamiento que requiere revisar el inventario
continuamente para determinar cuándo se alcanza el punto de nuevos pedidos.
• Punto de Nuevos Pedidos: nivel de inventarios en el cual debe colocarse el nuevo
pedido.

56
Lección 7: MODELO DE INVENTARIOS EOQ
MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q.
¿Por qué las empresas almacenan inventario?. Existen varias razones para que una
empresa mantenga productos terminados o insumos como inventario. El inventario permite
enfrentar fluctuaciones de la demanda, evitar quiebres de stock, obtener economías de
escala, permite una mayor flexibilidad productiva, se puede usar como un arma competitiva,
etc.
Entonces, si mantener inventarios tiene importantes beneficios asociados ¿Por qué no
llenamos nuestras bodegas de inventario?. Las respuestas son múltiples, pero todas
mantienen una base común: Costos. Se afirma que mantener inventarios es un "mal
necesario" dado los costos asociados a la gestión de inventarios. En este sentido podemos
clasificar los costos de inventario en:
1. Costo de Órdenes: costo que se incurre cada vez que se emite una orden.
2. Costo de mantener Inventario: arriendo de bodegas, depreciación, costo de
oportunidad, pérdidas, seguros, etc.
3. Costo de quiebre de stock: es más difícil de estimar y está asociado al costo de la
venta pérdida (perder un cliente, deterioro de imagen, multas, etc).
La Cantidad Económica de Pedido, provee modelos matemáticos que permite enfrentar de
una forma sistemática la problemática de la gestión de inventarios. Estos modelos
matemáticos básicamente se clasifican en 2 categorías y depende del comportamiento
(basado en supuestos) respecto al comportamiento de la demanda. Están los modelos
asociados a demanda constante (EOQ, POQ, EOQ con descuentos por volumen, etc) y los
relacionados con demanda aleatoria (asociada a una función de probabilidad). En este
sentido EOQ resulta ser el modelo matemático más sencillo, además, de ser usado como la
base para la administración de inventarios en el que la demanda y el tiempo líder son
determinísticos. No se permiten los déficits y el inventario se reemplaza por lotes al mismo
tiempo, sus características principales se resumen a continuación.
Características:

57
• El inventario pertenece a uno y solo un artículo.
• El inventario se abastece por lotes.
• La demanda es Determinística, es decir se conocen cuantas se venden en un tiempo
determinado.
• El tiempo guía L es determinístico y se conoce.
• Los déficit no están permitidos.
El modelo considera los siguientes parámetros:
• D : Demanda. Unidades por año
• S : Costo de emitir una orden
• H : Costo asociado a mantener una unidad en inventario en un año
• Q : Cantidad a ordenar
Componentes de Costos de un Sistema de Inventarios.
• El costo de pedidos u organización: (K) este es un costo fijo, independiente del número
de unidades pedidas o producidas. se incurre es este costo cada vez que se coloca
un pedido o que se echa a andar una máquina para una corrida de producción.
• El costo de compra: (C) cada unidad pedida incurre en un costo de compra, que es un
costo directo por unidad.
• El costo de conservación: (H) este es un costo obtenido por cada artículo en inventario,
un costo de conservación puede incluir lo siguiente:
Costos de almacenamiento: compuestos por los gastos generales del almacén, seguro,
requerimientos de manejo especial, robo, objetos rotos, etc.
Costos de oportunidad del dinero: comprometido en inventario que de otra manera podría
haberse usado o invertido.
Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen los costos de
conservación se calculan como una fracción (i) del costo unitario C.
H= (Tasa de transferencia)*(Costo de la unidad)
H = i * C
Ejemplo: Para el Mouse valuado en $20000 con tasa de transferencia de 0.11, el costo de
conservación por año por cada unidad es:
H = i * C
H = 0.11 * 20000

58
H = $2200
Tasa de Transferencia: (i) es la suma de las fracciones usadas en el cálculo de los costos de
almacenamiento y oportunidad.
El costo de Déficit: (B) es el costo de no satisfacer la demanda, es decir el costo de que se
acabe un artículo. Recuerde que cuando no se puede satisfacer la demanda la venta se
pierde.
TABLA DE RESUMEN
• D = demanda por pedido L= El tiempo para recibir un pedido
• I= Tasa de transferencia por periodo, está dada siempre en %
• K= El costo fijo de colocar un pedido.
• C= El costo de compra de pedir cada unidad.
• H = (I * C) El costo de conservación por unidad por periodo.
Formulas del Modelo E.O.Q.
D - demanda por período.
L - el tiempo guía para recibir un pedido. L = Q*/D
i - tasa de transferencia por pedido.
K - costo fijo de un pedido.
C - costo de compra (costo por unidad).
H - costo de conservación (H = I x C).
Q - número de unidades.
Q* - cantidad optima de pedido.
Q/2- inventario promedio.
CPA. Costo de pedido anual Cp = K x (D/Q).
Cc. Costo por compra anual Cc = C x D.
Costo de conservación anual Ch= (Q/2) x (H).
Ct .Costo anual total Cta = (Cp) + (Cc) + (CH).
Número de pedidos NP = D/Q*.
Punto de nuevos pedidos (R) R = D x L.
Para un mejor entendimiento se presenta el siguiente gráfico.

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La altura de cada triángulo representa el tamaño óptimo de pedido que minimiza la función
de costos totales. La base del triángulo es el tiempo que pasa desde que se recibe la orden
hasta que se termina el lote (este tiempo se conoce como el tiempo de ciclo). Adicionalmente
se puede identificar el punto de reorden (ROP = d * TE) que es un nivel crítico de inventario
de modo que cada vez que el inventario llegue a ese nivel se hace un pedido de Q* unidades.
Dado que existe un tiempo de espera (conocido) desde que se emite la orden hasta que se
dispone del lote, una vez que se termina el inventario se dispone inmediatamente del nuevo
lote y de esta forma no existe quiebre de stock.
EJEMPLOS
1. El hospital de Neiva da servicio a una pequeña comunidad. Un suministro usado con
frecuencia es la película de rayos x, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad. Como
gerente de suministros, debe determinar cómo y cuándo hacer pedidos para asegurar que al
hospital nunca se le termine este artículo crítico, y al mismo tiempo, mantener el costo total
tan bajo como sea posible.
Para comprender como la cantidad de pedido (Q) impacta al nivel del inventario con el
tiempo, supongamos que ordenamos lotes de: Q = 4500 películas en existencia.
Y el proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana (es decir el tiempo
guía es L = 1 semana). El departamento de contabilidad del hospital ha proporcionado los
siguientes valores:

60
• Un costo de pedidos fijo de $10000 para cubrir los costos de colocar cada pedido,
pagar los cargos de entrega, etc. Un costo de compra de $5000 por cada película sin
descuento de cantidad. Una tasa de transferencia de 30% por año (es decir, i=0.0)
para reflejar el costo de almacenar la película en un área especial, así como el costo
de oportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso.
Solución
• Demanda anual D= (1500 películas*12 meses)= 18000 películas
• Tiempo guía L= 1 semana= 1/52 de un año
• Tasa de transferencia anual de i= 0.30%
• Costo de pedidos K= $10000 por pedido
• Costo de pedidos C= $5000 por película
• Costo de conservación anual H= i*C= 0.30*5000= $1500 por película al año.
• CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A.
• COSTO DE PEDIDOS ANUAL:
• K * D / Q = 10000*(18000/4500)= 40000
• COSTO DE COMPRA ANUAL: C * D = 5000*18000= 90.000.000
• COSTO DE CONSERVACION ANUAL: (Q/2)*H o (Q/2)*(I * C) =(Q/2)*(I *
C)=2250*(0.30*5000)= 3.375.00
Ahora remplazamos en la formula general:
• CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A.
• CTA = 40000+90.000.000+3.375.000
• CTA = 93.415.000
Ahora hallamos Q*
• Q*=√2D*K/H = √2D*K/I*C
• Q*= √2D*K/(i * C)
• Q*= √2*18000*10000/(0.30*5000)
• Q*=489,89≈ 490
NUMERO DE PEDIDOS:
• D/Q*=18000*490 = 36,7≈ 37 pedidos
TIEMPO:
• L = Q*/D = 490/18000 = 0.027

61
NIVEL DE PEDIDOS:
• R = D * L =18000*0.027 = 486
2. Almacenes Olímpica compra aproximadamente 10.000 televisores en el curso del año a
un costo de $30 cada uno. Cada pedido incurre en un costo fijo de 85 y llega una semana
después de haber hecho el pedido. Suponiendo una tasa de transferencia anual de o.15,
calcule: La cantidad de pedidos óptimos, el punto de nuevos pedidos y el costo anual.
Solución.
Lo que se tiene:
D = 10.000
H = I x C = 0,15(30) K = 85 i = 0,15 C = 30= 4.5
=614,6362
R = D x L Q = (D/2 x H)
R= 10.000(1/52) Q = 10.000/2(4.5)
R = 192,3076 Q = 22.500
CTA = costo de pedido anual + costo compra anual + costo conservación anual
K(D/Q) + C x D + (Q/2) x H
85(10.000/22.500) + 30(10.000) + 614,6363/2) x 4,5
CTA = 315208,35
3. Un almacén de venta de ropa para un suministro frecuente de jeans pide a un proveedor
fuera de la ciudad, el gerente debe asegurar que estas nunca se terminen y que además se
mantenga el costo mínimo posible. Teniendo en cuenta:
La demanda es de 200 jeans por mes, El proveedor tarda una semana en entregar la
mercancía
• El costo de pedido fijo es de $50.000
• Un costo de compra de $30.000
• Una tasa de transferencia del 20% por año donde Q=1000
• D = 200 I = 1 K = 50.000 C = 30.000 L = 0.20 Q = 1000
• CPA = Kx(D/Q)=50.000(200/1000)=50.000 x 0,2=10.000
• Costo de compra anual= C x D = 30.000 x 200 = 6.000.000

62
• Costo de conservación=Q/2(I x C)=1000/2(0,2 x 30.000)=3.000.000
• Número promedio de pedidos=D/Q=200/1000=0.2
SOLUCIONE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
1. Una compañía comercializadora está interesada en reducir el costo de su inventario
determinando el número óptimo de su producto que debe solicitar en cada orden. Su
demanda anual es de 500 unidades, el costo de ordenar o preparar es de $12 por orden y el
costo de mantener por unidad por año es de $2. La compañía trabaja 280 días al año.
Halle:
a. Número óptimo de unidades por orden.
b. Número de órdenes por año.
c. Tiempo esperado entre órdenes.
d. Costo total anual del inventario. (costo por unidad $80).
2. En cada uno de los siguientes casos, determine la cantidad óptima de pedido y el costo
diario correspondiente.
a. k= $100, h= $0.05, D= 30 unidades diarias.
b. k= $50, h= $0.05, D= 30 unidades diarias.
c. k= $100, h= $0.01, D= 40 unidades diarias.
d. k= $100, h= $0.04 D= 20unidades diarias.
3. Mcburguer pide carne molida al comenzar cada semana para cubrir la demanda semanal
de 300lb. El costo fijo por pedido es de $20, cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar
y almacenar la carne. Determine la cantidad óptima de pedido y el costo semanal del
inventario.

63
Lección 8: MODELOS DE INVENTARIOS EOQ CON DESCUENTOS
DESCUENTO POR CANTIDAD
El modelo EOQ con descuentos por cantidad es una extensión del modelo básico de EOQ
revisado en la lección anterior. Se asume que el costo de adquisición (C) disminuye en la
medida que aumenta el tamaño de lote. Adicionalmente se considera que el costo de
almacenar una unidad en inventario es un porcentaje (I) del costo de adquisición.
Los descuentos por cantidad, que son incentivos de precio para que el cliente compre
mayores cantidades del producto, crean presión para mantener un inventario abundante.
Ejemplo, un proveedor puede ofrecer un precio de $4 por unidad, para los pedidos en que
soliciten entre 1 y 99 unidades; un precio de $3.50 por unidad, para pedidos entre 100 y 199
unidades; y un precio de $3.000 por unidad, para los pedidos de más de 200 unidades. El
precio del artículo ya no se considera fijo, como se suponía en la derivación de la EQQ; en
lugar de eso, si la cantidad del pedido aumenta lo suficiente, se obtiene un descuento en el
precio. Por lo tanto, en este caso se requiere un nuevo enfoque para encontrar el mejor
tamaño del lote, es decir, un método que sopese las ventajas de comprar materiales a precios
más bajos y tener que hacer menos pedidos(es decir, los beneficios de hacer pedidos por
grandes cantidades), frente a la desventaja que implica el incremento del costo por el manejo
de un inventario mayor.
El costo anual total incluye ahora no solamente el costo de manejo de inventario, (Q/2) (H) y
el costo de hacer pedidos, (D/Q) (S), sino también el costo de los materiales comprados.
Cualquiera que sea el nivel de precios por unidad, P, el costo total es:
Costo = Costo anual de + Costo anual de + Costo anual de
Total manejo de inventario hacer pedidos de materiales
El costo unitario de manejo de inventario H se expresa habitualmente como un porcentaje
del precio unitario, porque cuanto más valioso sea el artículo que se tiene en inventario, tanto

64
más alto será el costo de su manejo. Por consiguiente, cuanto más bajo sea el precio unitario,
P, tanto más bajo será H. Inversamente, cuanto más alto sea P, tanto más alto será H. Igual
que cuando calculamos anteriormente el costo total. La ecuación del costo total genera
curvas de costo total en forma de U. Si el costo anual de materiales se agrega a la ecuación
del costo total, cada curva de costo total se eleva en una magnitud fija.
PROCESO PARA HALLAR EL MEJOR TAMAÑO DE LOTE
1. A partir del precio más bajo de todos, calcule la EOQ para cada nivel de precios, hasta
que encuentre una EOQ factible. Sabrá usted que ésta es factible si se encuentra en
el rango correspondiente a un precio. Cada EOQ subsiguiente es más pequeña que
la anterior porque p, y por lo tanto H, se vuelve cada vez más grande y porque esa H
más grande está en el denominador de la fórmula de la EOQ.
2. Si la primera EOQ factible que encuentre corresponde al nivel de precios más bajo,
esta cantidad representará el mejor tamaño del lote. Si no es así, calcule el costo total
correspondiente a la primera EOQ factible y a la mayor magnitud del cambio de precio,
en cada nivel de precios más bajo. La cantidad a la cuál corresponde el costo total
más bajo de todos será la óptima.
EJEMPLO PRÁCTICO
Uno de los proveedores del sistema de salud de Lower Florida Keys ha presentado su plan
de precios de descuento por cantidad para alentar a sus clientes a que compren mayores
cantidades de un catéter de tipo especial. El plan de precios propuesto es el siguiente:
Cantidad del pedido Precio por unidad
0 – 299 $ 60.00
300 – 499 $58.80
500 o más $ 57
Lower Florida estimado que la demanda anual para este artículo es de 936 unidades, el costo
que implica hacer esos pedidos es de $45 por pedido y su costo anual de manejo de
inventario representa el 25% del precio unitario del catéter. ¿Qué cantidad de dicho catéter
tendrá que pedir el hospital para minimizar su total de costos?

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SOLUCION
Paso 1. Encuentre la primera EOQ factible, comenzando con el nivel de precios más bajo:
Un pedido de 77 unidades cuesta realmente $60 por unidad, en lugar del costo de $57 por
unidad que se usó en el cálculo de la EQQ; por lo tanto, esta EQQ no es factible. Intentemos
ahora con el nivel de $58.80:
Esta cantidad tampoco resulta factible, porque un pedido de 76 unidades es demasiado
pequeño para que se le aplique el precio $58.80. Intente ahora con el nivel de precios más
alto:
Esta cantidad es factible, porque se encuentra dentro del rango correspondiente a su
precio, P = $60.00.
Paso 2. La primera EQQ factible, de 75, no constituye el nivel de precios más bajo de todos.
Por lo tanto, tendremos que comparar su costo total con las cantidades correspondientes al
cambio de precio (300 unidades y 500 unidades), en los niveles de precio más bajos ($58.80
y $57.00):

66
La mejor cantidad de compra es de 500 unidades, con la cual se obtiene el mayor descuento.
Sin embargo, la solución no siempre funciona así. Cuando los descuentos son pequeños, el
costo de manejo de inventario H es considerable, la demanda D es pequeña y los tamaños
del lote más reducidos funcionan mejor, aunque se renuncie a descuentos en el precio.
TALLER DE APLICACIÓN
1. El equipo Bucks de la liga mayor de béisbol rompe cuatro bates por semana, en promedio.
El equipo compra sus bates de béisbol a Corkys, un fabricante que se distingue porque tiene
acceso a la mejor madera maciza. El costo de hacer el pedido es de $70 y el costo anual del
manejo de inventario por bat y por año representa el 38% del precio de compra. La estructura
de precios de Corkys es la siguiente:
a) ¿Cuántos bates debería comprar el equipo en cada pedido?
b) ¿Cuál es el total de los costos anuales asociados a la mejor cantidad de pedido?
0 – 11 $ 54.00
12 – 143 $51.00
144 o más $ 48,50

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2. La librería universitaria de una gran institución estatal compra lapiceros mecánicos a un
mayorista. Éste le ofrece descuentos cuando los pedidos son grandes, de acuerdo con el
siguiente plan de precios:
0 – 100 $ 4.00
101 – 300 $3.50
301 o más $ 2.00
La librería ha supuesto que la demanda anual será de 500 unidades. Hacer un pedido le
cuesta $10 y el costo anual por manejo de inventario de una unidad es equivalente al 10%
del precio de la misma. Determine cuál es la mejor cantidad del pedido.

68
Lección 9: MODELOS DE LOTE DE PRODUCCIÓN Y EL SISTEMA DE CLASIFICACIÓN
ABC
MODELO DE LOTE DE PRODUCCIÓN
Hasta ahora habíamos supuesto que el pedido llegaba instantáneamente o que la producción
se reabastecía de inmediato. Sin embargo en la práctica una empresa manufacturera va
produciendo paulatinamente y a través del tiempo va vendiendo los artículos que le son
demandados.
Es en este caso, se prohíben los faltantes estableciendo el costo por faltante como infinito.
Las condiciones para el aprovisionamiento instantáneo de los suministros se modifican
ligeramente cuando los suministros se manufacturan al recibir la orden, en vez que se surtan
de existencias de artículos ya manufacturados. La diferencia está en que los suministros se
embarcan instantáneamente conforme se manufacturan. Esto significa que se utiliza durante
el periodo de aprovisionamiento y se representa por las rectas inclinadas que se elevan cada
punto de reordenamiento.
El gasto principal de adquisición es el costo preparación cuando una empresa produce sus
propios suministros. En esta práctica, el punto de reordenamiento se establecerían en algún
nivel del inventario mayor que cero para notificar al departamento de producción que pronto
serán necesarios los suministros. Este adelanto temporal debe permitir, suficiente margen
para programar los procedimientos de preparación. A continuación se explicara un modelo
con el supuesto que la producción se da paulatinamente a una tasa b, que es mayor que la
demanda a.
Los costos que se considerarán son:
• K : Costo de preparación para producir u ordenar un lote.
• c : El costo de producir o comprar cada unidad.
• h : El costo de mantenimiento de una unidad de inventario por unidad de tiempo.
Recordemos además:

69
• b : Tasa de producción de los artículos
• a : Tasa de demanda de los artículos.
• b>a
Debemos hallar el costo total por unidad de tiempo ($/tiempo). Primero hallaremos los costos
únicamente para un ciclo, por lo que los costos estarán en ($).
Costo por ciclo de producción u ordenar = K + c Q
[$] + [$/ artículo ] * [artículo ] =[$]

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Ejemplo 1: Manufactura de bocinas para televisores.
1. Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12000.
2. El costo unitario de producción de una sola bocina (excluyendo el costo de preparación)
es $10.
3. El costo de mantenimiento de una bocina en almacén es de $0.3 por mes.
4. . La demanda es de 8000 bocinas mensuales.
5. La tasa de producción es de 14000 bocinas mensuales

71
Manufactura de bocinas para televisores debe producir 38643 bocinas cada 4.83 meses
para minimizar los costos de manejo de los inventarios.

72
Ejemplo 2: La compañía PintuMarta tiene una variada línea de productos. Uno de ellos es
la pintura de látex. PintuMarta puede fabricar pintura a una tasa anual de 8000 galones. El
costo unitario de producir un galón de pintura es $0.25 y el costo anual de mantener el
inventario es 40%.antes de cada corrida de producción se realiza la limpieza y verificación
de las operaciones a un costo de $25. Analice este problema
Solución. La información básica para la producción de la pintura látex es
• A = $25 por preparación
• i = 40% anual
• c = $0.25 por galón
• h = 0.40 x $0.25 = $0.10 por galón por año
• D = 4000 galones por año
• ψ = b = 8000 galones por año
El costo total del inventario promedio anual está dado por
Y la cantidad económica a producir es
Calculando
Es decir, hay dos ciclos por año. En cada uno la producción se lleva a cabo durante TP / T
del ciclo, o la mitad del tiempo. Se sugiere al lector que dibuje la geometría del inventario
para este ejemplo.

73
Ejemplo 3: SAMSUNP., una empresa que comercializa las agujas hipodérmicas indoloras
en los hospitales, desea reducir sus costos de inventario mediante la determinación del
número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de
1000 unidades; el costo de reparación o de ordenar es de 10 dólares por orden; y el costo
de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar. Utilizando estos datos, calcule el
número óptimo de unidades por orden (Q*), el número de órdenes (N), el tiempo transcurrido
(T), y el coso total anual del inventario. Utilizar un año laboral de 250 días.
Solución: utilizando las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3), y (1.4), tenemos:
El modelo EOQ tiene otra distinción importante; es un modelo robusto. El modelo robusto se
refiere a que éste proporciona respuestas satisfactorias aun con variaciones substanciales a

74
otros parámetros. Un modelo robusto es ventajoso. El costo total del EOQ cambia un poco
en las cercanías del mínimo. Esto significa que los costos de preparación, los costos de
manejo, la demanda y aun el EOQ representan pequeñas diferencias en el costo total.
EL SISTEMA DE CLASIFICACIÓN ABC
¿Qué es el modelo ABC? En principio podemos decir que el modelo ABC (Activity Based
Costing) es un sistema de costeo basado fundamentalmente en algunas ideas
fundamentales:
• Los productos no consumen costos sino que los productos consumen actividades
exigidas para su fabricación, dicho de otra manera los productos demandan
actividades.
• Las actividades y no los productos son los que consumen recursos o valor de los
factores productivos, siendo los costos la expresión cuantificada en términos
monetarios de esos factores consumidos.
Como consecuencia de estas afirmaciones podemos inferir que una adecuada gestión de
costos habrá de actuar sobre las actividades que los originan, y que además existe una
relación directa entre las actividades y los productos de tal manera que a mayor consumo de
actividades por parte de un producto habrá que asignarle mayores costos.
El costeo ABC: base para el control de los inventarios
El manejo de los artículos que se encuentran en el inventario es de vital importancia, ya que
estos son los que determinan en gran parte la asignación de costos en el proceso productivo
y determinan en un alto grado el nivel de eficiencia y eficacia de la gestión financiera.
El inventario representa una inversión considerable por parte de las empresas
manufactureras, es por ello que se hace indispensable prestarle atención especial a su
manejo.

75
Para realizar una eficiente administración los responsables de esta área deben controlar
todos los niveles del inventario y considerar que este es una inversión significativa que si no
se maneja de una forma adecuada puede convertirse en un problema que afectaría la gestión
financiera de la empresa.
Una empresa que tenga un gran número de artículos de inventario debe analizar cada uno
de ellos para determinar la inversión aproximada por unidad.
Profundicemos en el sistema de clasificación ABC
Una gran cantidad de organizaciones tienen en sus bodegas una gran cantidad de artículos
que no tienen una misma característica, muchos de estos artículos son relativamente de bajo
costo, en tanto que otros son bastante costosos y representan gran parte de la inversión de
la empresa. Algunos de los artículos del inventario, aunque no son especialmente costosos
tienen una rotación baja y en consecuencia exigen una inversión considerable; otros
artículos, aunque tienen un costo alto por unidad, rotan con suficiente rapidez para que la
inversión necesaria sea relativamente baja.
En la mayoría de las empresas la distribución de los artículos del inventario es el 20%
corresponden al 90% de la inversión en inventario, mientras que el 80% restante de los
artículos corresponden solamente al 10% de dicha inversión, es por ello que se hizo
necesario formular un nuevo sistema de asignación en la prioridad que se le da a las
existencias que maneja la empresa: El sistema de costos basado en las actividades o costeo
ABC.
La aplicación del sistema de costos ABC en una empresa para el control de inventarios se
empieza por la clasificación en grupos de artículos así:
• Los artículos "A" que son aquellos en los que la empresa tiene la mayor inversión, estos
representan aproximadamente el 20% de los artículos del inventario que absorben el 90%
de la inversión. Estos son los más costosos o los que rotan más lentamente en el inventario.

76
• Los artículos "B" son aquellos que les corresponde la inversión siguiente en términos de
costo. Consisten en el 30% de los artículos que requieren el 8% de la inversión.
• Los artículos "C" son aquellos que normalmente en un gran número de artículos
correspondientes a la inversión más pequeña. Consiste aproximadamente el 50% de todos
los artículos del inventario pero solo el 2% de la inversión de la empresa en inventario.
Aunque el sistema de costeo ABC tiene algunas deficiencias estructurales, es un método
excelente para determinar el grado de intensidad de control que se debe dedicar a cada
artículo del inventario.
El diferenciar el inventario en artículos "A", "B" y "C" permite que la empresa determine el
nivel y los tipos de procedimientos de control de inventario necesarios.
El control de los artículos "A" del inventario debe ser muy intensivo por razón de la
inversión considerable que se hace. A este tipo de artículos se les debe implementar las
técnicas más sofisticadas de control de inventario.
En los artículos "B" se pueden controlar utilizando técnicas menos sofisticadas pero
eficientes en sus resultados.
En los artículos "C" el control que se realiza es mínimo.

77
Debe tenerse en cuenta que el modelo de costeo ABC de control de inventario no tiene
aplicación en todas las empresas, ya que ciertos artículos de inventario que son de bajo
costo, pueden ser definitivos en el proceso de producción y no son de fácil consecución en
el mercado, es por ello que necesitan una atención especial.
El control que se ejerce en este sistema se relaciona directamente con el control que se hace
de los costos, ya que al tener una mejor distribución de los inventarios, el costo de bodegaje,
manutención, vigilancia, pérdidas y obsolescencia se pueden contrastar de una mejor forma.
Por último, es necesario conocer todos los fundamentos teóricos y técnicas aplicadas para
la implantación de un sistema basado en las actividades, ya que su metodología es mucho
más profunda y depende del tipo de empresa en el que es utilizado.
Ejemplo: El sistema de clasificación ABC es un método ampliamente usado para categorizar
inventarios de acuerdo con la cantidad y el valor. La tabla 1 resume las características clave
del sistema.
TABLA 1 CARACTERISTICAS DEL SISTEMA DE CLASIFICACION ABC
Grupos
Cantidad
(% de artículos)
Valor (%de $)
Grado de
control
Tipos de
registros
Inventario de
seguridad
Procedimiento de
pedidos
A
Artículos
10 - 20 % 70 – 80 % intenso
completo,
seguro
bajo
cuidadoso,
seguro;
B
Artículos
30 - 40 % 15 - 20 % normal
completo,
seguro
moderado
revisiones
frecuentes
C
Artículos
40 - 50 % 5 - 10 % simple simplificado grande
pedidos
normales;
alguna rapidez
ordenes
periódicas:
abastecimiento
de 1 a 2 años
La aplicación del sistema de costos ABC en una empresa para el control de inventarios se
empieza por la clasificación en grupos de artículos así:

78
1. Los artículos "A" que son aquellos en los que la empresa tiene la mayor inversión,
estos representan aproximadamente el 20% de los artículos del inventario que absorben
el 90% de la inversión. Estos son los más costosos o los que rotan más lentamente en
el inventario.
2. Los artículos "B" son aquellos que les corresponde la inversión siguiente en términos
de costo. Consisten en el 30% de los artículos que requieren el 8% de la inversión.
3. Los artículos "C" son aquellos que normalmente en un gran número de artículos
correspondientes a la inversión más pequeña. Consiste aproximadamente el 50% de
todos los artículos del inventario pero solo el 2% de la inversión de la empresa en
inventario.
Es una necesidad en casi todas las compañías saber la composición de sus inventarios. Es
por ello que existen formas de clasificarlos según su importancia. El sistema de clasificación
ABC nos ayuda a clasificar los inventarios en tres categorías:
a) Muy importantes.
b) Medianamente importantes.
c) Poco o nada importantes
Al aplicar el sistema de clasificación ABC es importante recordar lo expuesto por el
economista italiano Pareto referente a que el 20% más importante de la causa es la
responsable del 80% del efecto.
Aplicándolo a los inventarios se vería:
Un criterio de clasificación para determinar la importancia de los artículos dentro del
inventario es la cantidad promedio en dinero del artículo (Cantidad en artículos promedio *
Costo unitario).

79
Hasta ahora habíamos supuesto que el pedido llegaba instantáneamente o que la producción
se reabastecía de inmediato.
Sin embargo en la práctica una empresa manufacturera va produciendo paulatinamente y a
través del tiempo va vendiendo los artículos que le son demandados.
La implantación del Modelo ABC
Los diferentes modelos de Contabilidad de costos tienen sus ventajas e inconvenientes,
siempre considerando las características de la empresa donde se lo quiera implantar.
Las siguientes son algunas de las características que si una empresa las tiene la hacen
adecuada para implantar en ellas el sistema ABC.
• Importancia relativamente grande de los costos indirectos
• Diversidad de Actividades.
• Variedad de productos.
Además la implantación del modelo ABC exige una implantación adecuada de la informática
para el tratamiento de los datos.
La implantación del modelo ABC por otra parte constituye una operación delicada, se
aconseja una implantación gradual pues se requiere de un cuidado especial en la
delimitación operativa de las actividades y el seguimiento de los generadores del costo.
Además se debe tener especial cuidado en la elección del sistema informático de
contabilidad.
Ejemplo:
Suponga que un almacén de cadena maneja 4 tipos de artículos: Electrodomésticos, vestidos
para hombres y mujeres, artículos comestibles, artículos de papelería.

80
En la siguiente tabla se resume la clasificación de los artículos:

81
Lección 10: MODELO ESTOCASTICO DE INVENTARIOS
Hasta el momento hemos venido suponiendo que la demanda es conocida y cierta. Modelo
de un período sin costo fijo sin embargo la mayoría de los casos nos muestran demandas
inciertas y desconocidas. Suponiendo que la demanda para un período es una variable
aleatoria, es posible conocer su distribución de probabilidad.
Tanto los inventarios como las cuentas por cobrar, presentan una proporción significativa de
los activos en la mayoría de las empresas que requieren de inversiones sustanciales. Por
ello, las prácticas administrativas que den como resultado minimizar el porcentaje del
inventario total, puede representar grandes ahorros en dinero.
Se puede decir que los inventarios es el puente de unión entre la producción y las ventas.
En una empresa manufacturera el inventario equilibra la línea de producción si algunas
máquinas operan a diferentes volúmenes de otras, pues una forma de compensar este
desequilibrio es proporcionando inventarios temporales o bancos.
Los inventarios de materia prima, productos semiterminados y productos terminados
adsorben la holgura cuando fluctúan las ventas o los volúmenes de producción, lo que nos
da otra razón para el control de inventarios.
Los inventarios de materia prima dan flexibilidad al proceso de compra de la empresa. Sin
ellos, en la empresa existe una situación “de la mano a la boca”
Se denomina inventarios a un conjunto de recursos o cantidad de artículos en buen estado
almacenados en espera de ser utilizados en un futuro.
Al realizar un análisis de toma de decisiones, los administradores se deben hacer estas dos
preguntas importantes:
1.- ¿Cuánto se debe pedir u ordenar cuando es necesario reabastecer el inventario de un
artículo?

82
2.- ¿Cuándo se debe reabastecer o remover el inventario de un artículo?
El propósito de este tema es mostrar la forma de cómo se deben administrar y cuantificar los
inventarios en una entidad con el fin de tomar la decisión más apropiada en el control de
estos.
Los vendedores de diario, gerente de producción, propietarios de carnicería, etc, deben hacer
frente al problema de ¿Que tanto debo pedir?. Cuando la situación de la orden es sólo para
el próximo periodo los costos críticos sol los costos de escasez por no tener existencia (Cu)
y los costos por tener demasiada existencia (Co). El vendedor, gerente o dueño, se enfrenta
a la minimización de los costos totales cuando la demanda no se conoce con certeza.
La ecuación sugiere que la persona que ordena un producto debe almacenar a aquel la
cantidad (porción) de la demanda, la cantidad critica (CC), donde se lleva a cabo la relación
del costo de la suma de las inexistencias más las sobre existencias.
CC = Cu / Cu + Co
Ejemplo: El Dueño de una distribuidora de periódicos y revistas posee cuatro sitios
diferentes de ventas al menudeo. Una revista popular tiene una demanda que varía
uniformemente de 500 a 1200 copias en las cuatro tiendas combinadas. El pedido está
centralizado y las revistas pueden ser enviadas fácilmente de una tienda a otra. El ciento de
estas revistas cuesta 125 dólares, y cada una se vende a un precio de 2.25 dólares. Cuando
se compra en lotes a este precio, el editor no admite devoluciones. ¿Cuál debe ser la cantidad
por pedir para el siguiente periodo?
CC = Cu / Cu + Co
= (2.25-1.25) / (2.25-1.25) + 1.25
CC = 0.444
El gerente experimenta una pérdida de utilidad de 1.00 dólares si ordena demasiado poca,
pero una pérdida de 1.25 dólares si ordenas demasiadas.

83
La cantidad económica a ordenar es:
Q = 500 + 0.444 (1200 - 500)
Q = 810.8 unidades
Los modelos estocásticos de inventario, en los que la demanda se describen mediante una
distribución de probabilidades. Los modelos que se presentan se clasifican, en el sentido
amplio, en situaciones de revisión continua y periódica.
1. Un modelo de revisión continua consiste en que los niveles del inventario son
comprobados continuamente y cuando se alcanza el punto de nuevos pedidos, se
ordenan Q* unidades.
2. Un modelo de revisión periódica, consiste en que el inventario se revisa
periódicamente, digamos, cada T periodos y el tamaño del periodo se determina
mediante el nivel de inventarios en ese momento.
Los modelos de revisión periódica incluyen tanto casos de un solo periodo como de varios
periodos. Las soluciones propuestas van desde el uso de una versión probabilística de la
cantidad económica de pedido (CEP o EOQ, de economic order quantity) determinística
hasta casos más complejos que se resuelven con programación dinámica. La naturaleza
probabilística de la demanda conduce a modelos complejos que quizá no sean útiles en la
práctica. Sin embargo, en las publicaciones se han reportado buenas implementaciones de
inventario probabilístico.
Ejemplo - Distribuidor de bicicletas
Un distribuidor mayorista de bicicletas compra bicicletas al fabricante para surtir las diferentes
tiendas en el oeste de los E.E.U.U existe incertidumbre sobre cuál será la demanda de
bicicletas por parte de las tiendas en cualquier mes, por lo que el distribuidor se enfrenta a
¿Cuántas bicicletas debe ordenar al fabricante en un mes determinado?
El distribuidor ha analizado sus costos y ha determinado que los siguientes factores son
importantes:
1. Costo de ordenar:

84
2. Costo de mantenimiento: Costo de tener un inventario. Se ha estimado en $1 por bicicleta-
mes. Sin embargo las bicicletas tienen un valor de salvamento de $10 c/u. - $9 por bicicleta
que queda al final del mes.
3. Costo por faltantes: Costo por no tener una bicicleta disponible cuando se necesita se
considera despreciable en este ejemplo.
Según la terminología que hemos venido empleando:
• K : 0 Costo de preparación
• c : $ 20 / bicicleta Costo de adquisición
• h : - $9 / bicicleta - mes Costo de mantenimiento
• p : $ 45 / bicicleta Precio de venta
Vamos a adoptar el criterio de maximización del ingreso neto para la formulación del
modelo
Definamos
• y : Cantidad comprada por el distribuidor al fabricante
• D : Cantidad demandada por las tiendas al distribuidor
• Ingreso neto = p * cantidad vendida por el distribuidor
• c * cantidad comprada por el distribuidor
• h * cantidad no vendida y liquidada al valor de recuperación

85

86

87

88
CAPITULO 3: ELEMENTOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN SISTEMAS DE
INVENTARIOS
Lección 11: MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN EL SISTEMA DE INVENTARIOS
Existen diferentes esquemas en la creación de modelos para la toma de decisiones, en este
caso mencionaremos uno de los esquemas que se aplica en la ciencia de la administración,
el cual, no pretende ser la verdad revelada, esto es válido para problemas de inventarios o
para cualquier situación empresarial. Es fundamental enfatizar en que no debe verse como
un conjunto rígido de procedimientos, en algunos casos se podrán saltar escalones, en otros
tocará crear variantes, sin embargo, es importante manejar una guía que nos va a facilitar
los procesos y coadyuvará a una gestión más eficiente, los pasos a seguir son los siguientes:
• Aceptar o reconocer la existencia de una(s) situación(es) susceptible(s) a mejorar, lo que
es diferente a un problema manifiesto, lo importante es reconocer que de actuar diferente
se podrían obtener mejores resultados; en este paso se debe ser muy cuidadoso, ya que,
una persona puede tener diversos objetivos; también se presenta que diferentes áreas
de la organización tengan objetivos contradictorios, por ejemplo el departamento
comercial puede pretender resultados que entren en contradicción con los objetivos de
quien maneja el departamento financiero, en el caso de los inventarios esto se presenta
con frecuencia, ya que, para un gerente financiero los inventarios pueden representar
lucro cesante, mientras que para el comercial pueden representar la forma de brindar un
mejor servicio, por lo que lo más importante es fijar adecuadamente el(los) objetivo(s) a
conseguir.
• Formular el problema, plantear la situación(es) ya definida(s), jerarquizándolas en caso
de ser necesario en forma de problema, buscando solucionar primero las más críticas
y/o las más viables a juicio de la gerencia. Este paso es delicado ya que un alto
porcentaje de la solución, está dado por un buen planteamiento, un planteamiento
erróneo puede llevar a consecuencias desastrosas para la organización; en el ejemplo
anterior, si yo pienso en ahorrar unos pesos, en esta difícil época para los negocios, lo
puedo hacer en un momento determinado sacrificando servicio, sin embargo, esto se
puede revertir en contra de mi empresa en el mediano o largo plazo.
• Construir el modelo, representar de alguna manera el problema, para nuestro caso, en
forma matemática, siendo conscientes de que el mejor modelo no necesariamente es el
más novedoso, ni el más complicado, la bondad del modelo se mide por la forma en que
este interpreta la realidad y por las ayudas que pueda brindar al tomador de decisiones.
• Recolectar los datos, esta es una de las partes más dispendiosas y en donde es
necesario la ayuda de todas las áreas de la organización, en el caso de los inventarios
debemos conocer los costos de mantenimiento y los de pedido, la demanda, el tiempo
de entrega de nuestros proveedores, en fin la información que necesitamos es muy
amplia y de su calidad depende la validez del modelo, ya que parodiando a los ingenieros

89
de sistemas, si basura entra, basura sale. Si lo anterior es cierto cuando se "alimenta"
un computador con mayor razón se cumple en los modelos cuantitativos.
• Resolver el modelo, esta es realmente la parte más sencilla, si los pasos anteriores son
correctamente efectuados, consiste en operar con los datos recolectados en el modelo
previamente construido, en esta parte algunos autores recomiendan manejar escenarios,
es decir hacer fluctuar los datos recopilados para analizar las posibles influencias de
estos cambios y estar pendientes en caso que se presenten, otros recomiendan, de ser
posible ver cómo se comporta el modelo en situaciones que ya sucedieron, con el objeto
de verificar hasta qué punto nos hubiesen ayudado a tomar la mejor decisión de acuerdo
a las circunstancias.
• Interpretación de los resultados, en esta parte el criterio gerencial es fundamental, ya
que, NADA puede remplazar totalmente el juicio de quien toma la decisión, la idea del
modelo es ayudar, no remplazar al tomador de decisiones, aquí es indispensable que
quien toma las decisiones se despoje de pre-juicios y vea la solución de la forma más
objetiva posible, que no piense que al proponer el modelo soluciones diferentes a las que
ha venido implementando, éste o las decisiones anteriores no sirven. El verdadero
profesional, puede darse a partir de la consecución de un título universitario y/o por la
experiencia y el estudio relacionados en el campo objeto de su labor, lo que realmente
lo distingue es su capacidad de análisis y de evolucionar en y con el tiempo.
• Implementar el modelo, si los pasos anteriores fueron manejados correctamente, este
debería ser el más sencillo, sin embargo, en la práctica presenta ocasionalmente
problemas, por el rechazo de algunas partes de la organización a los cambios, debido a
que en todos los niveles de la organización es frecuente observar personas que por no
salirse de rutinas preestablecidas, se oponen y retardan la puesta en práctica de nuevas
ideas.
• Retroalimentar y recrear el modelo, teniendo en cuenta que las circunstancias del
entorno o de la empresa pueden cambiar, es indispensable estar permanentemente
verificando el modelo, lo cual no le quita validez y muestra seriedad y objetividad en la
toma de decisiones, recuerde que ni aun "a los paquetes computacionales más
complejos se les puede dejar decidir", que siempre el que toma las decisiones es el
gestor, esto es válido aún más en lo referente a modelos de gestión. En lo referente a
inventarios existen gran cantidad de modelos, por lo que generalmente no es necesario
"descubrir el agua tibia", lo importante es saber cuándo y dónde usarla. Los modelos
deben permitirnos cometer errores en el papel, disminuyendo la probabilidad de
cometerlos en la vida real, las aplicaciones en computador nos permiten ver rápidamente
muchas opciones simplemente cambiando números de acuerdo a los supuestos
razonados que usemos dentro de las situaciones que se pueden presentar en la
empresa.

90
Lección 12: ELEMENTOS QUE ENMARCAN EL PROCESO DECISORIO EN
PRODUCCIÓN E INVENTARIOS
Los siguientes elementos constituyen el marco de referencia para la toma de decisiones en
producción e inventarios:
• Dada la naturaleza limitada de la mente humana y de los posibles modelos de decisión,
es necesario determinar los factores relevantes a tener en cuenta en el proceso decisorio
sobre sistemas de inventarios y a eliminar aquellos aspectos que no son significativos
para el sistema bajo análisis.
• Cualquier decisión que se tome con respecto a un ítem en particular está enmarcada
dentro del siguiente contexto:
La relación del ítem en consideración con otros SKUs;
La inversión total en el inventario agregado;
El plan maestro de la organización;
Los sistemas de producción/distribución de los proveedores y clientes de la empresa;
La economía regional y mundial como un todo.
• Las decisiones en una organización obedecen a un nivel jerárquico, el cual regularmente
contiene:
Decisiones estratégicas de largo plazo, como por ejemplo la definición de la
localización de una nueva planta manufacturera o centro de distribución;
Decisiones tácticas de mediano plazo, como por ejemplo la selección de una empresa
transportadora para el próximo semestre o la programación de la producción del
próximo mes;
Decisiones operacionales de corto plazo o inmediatas, como por ejemplo la ruta de los
camiones para efectuar los despachos el día de mañana, o la programación de los
trabajos en cierta máquina para hoy.
Análogamente, las decisiones con respecto de inventarios pueden clasificarse en:
• Escogencia del sistema general de control (decisión estratégica);
• Selección de parámetros de acuerdo con el sistema general de control escogido, tales
como el nivel de servicio al cliente (decisión táctica);
• Decisiones operacionales, tales como sistema de recolección de datos, determinación
de pedidos, reporte de resultados, planeación de despachos de bodegas a puntos de
venta, etc.
• Cuando exista un gran número de SKUs, éstos deben agregarse y analizarse en grupos
homogéneos más reducidos, con el objeto de disminuir el grado de complejidad del
problema sin pérdida significativa de la precisión de los modelos utilizados.
• Especial énfasis debe dársele al análisis de las variables más importantes, como por
ejemplo los costos de ordenamiento y el proceso de demanda, para el cual debe
diseñarse un adecuado sistema de pronósticos.

91
Lección 13: FACTORES DE IMPORTANCIA PARA LA TOMA DE DECISIONES EN
INVENTARIOS
Factores de costo
El valor unitario del ítem, v
El valor unitario de cada ítem está expresado en $/unidad. Para un comerciante (nó-
productor) este costo corresponde al precio del artículo pagado al proveedor incluyendo los
fletes y costos relacionados. Puede depender del tamaño de pedido, de acuerdo con los
descuentos por cantidad.
Para productores, este valor es más difícil de determinar. Sin embargo, rara vez se utiliza el
valor en libros del ítem. Se prefiere, en cambio, medir el valor real del dinero invertido en el
ítem (costo variable de producción) para hacerlo apto para su utilización, bien sea como
producto terminado para el consumidor final, o como componente para otro proceso dentro
de la planta. Este costo es muy importante, ya que el costo de llevar el inventario depende
de él.
El costo de llevar o mantener el inventario, r
El costo de llevar o mantener el inventario comprende los costos de almacenamiento y
manejo, el costo del espacio utilizado, los costos de capital, los seguros e impuestos, y los
costos de riesgo en los que se incurre por el hecho de tener almacenados los ítems,
esperando a ser demandados por los clientes.
Ballou (1999) describe con detalle cada uno de estos costos. A continuación se presentan
sus principales características.
Los costos de almacenamiento y manejo se refieren a los costos de operar la bodega,
teniendo en cuenta la mano de obra utilizada, las actividades desarrolladas, tales como
recepción, almacenamiento, inspección y despacho. Si la bodega es arrendada, estos costos
formarán parte del costo global de espacio dado por el arrendatario y descrito a continuación.

92
El costo de espacio es el reflejo del uso del volumen dentro del edificio de la bodega. Si la
bodega es arrendada, estos costos se expresan generalmente por unidad de peso por cada
período de tiempo, por ejemplo en $/(ton • mes). Si el espacio es propio de la empresa, los
costos de espacio se determinan de acuerdo con los costos de operación asociados con
dicho espacio, tales como climatización e iluminación, y costos fijos, tales como los costos
del edificio y del equipo, basados en el volumen que se maneja en la bodega. Los costos de
espacio no se incluyen en el cálculo de inventarios en tránsito.
Los costos de capital o costos de oportunidad representan la mayor proporción de los costos
de llevar el inventario. A pesar de esto, es el costo menos tangible de todos los componentes
del costo de inventario. Su determinación no es fácil, ya que depende de muchos factores.
Primero, los inventarios pueden tratarse de activos a corto plazo o de activos a largo plazo,
dependiendo de su función. Segundo, el costo de capital puede determinarse de un rango
amplio de valores que van desde las tasas de interés del mercado hasta el costo de
oportunidad del capital, que puede estar representado en el promedio de las tasas mínimas
de retorno de la empresa o en las inversiones más rentables a las que la empresa tiene
acceso.
Los seguros e impuestos dependen del inventario disponible y por ello forman parte del costo
de llevar el inventario. Los seguros se toman como prevención contra incendio, robo, daños,
etc. Los impuestos se pagan dependiendo de los sistemas contables particulares de cada
región y generalmente se cobran de acuerdo con los valores en libros de los inventarios. El
tema de valoración de los inventarios para efectos contables no se considera en esta
publicación.
Los costos de riesgo representan los costos de obsolescencia, deterioro y depreciación del
inventario. El deterioro puede deberse a condiciones naturales de los ítems en inventario,
especialmente si se trata de artículos perecederos. Estos costos pueden determinarse del
costo de ítems perdidos, o del costo de actualización mediante trabajo adicional para
recobrar el estado normal del producto, o de reponer el producto desde otra localización.

93
La Tabla que se muestra seguidamente un ejemplo que ilustra la magnitud de cada uno de
los costos descritos anteriormente, los cuales sumados en total representan el costo de llevar
el inventario. Nótese que los costos de oportunidad, obsolescencia y depreciación pueden
representar hasta el 96% del costo total de llevar el inventario. Las unidades en las que se
mide este costo son normalmente en un porcentaje por año [%/año], o, equivalentemente,
en [$/($⋅año)], lo que significa el dinero que hay que pagar por cada peso invertido en
inventario cada año, o cada período de tiempo que se escoja para el análisis. Regularmente
se utiliza el mismo costo de llevar el inventario para todos los ítems, excepto en los casos en
que las diferencias entre diversos ítems sean significativas.
[Fuente original: Landeros y Lyth (1989), citados por Ballou (1999), pág. 318]
El costo de llevar el inventario (en $) se calcula normalmente mediante la siguiente expresión:
donde:
El costo de ordenamiento, A
Cada orden para reponer el inventario tiene varios costos asociados, los cuales en general
son fijos y no dependen del tamaño de la orden. Estos costos corresponden al

94
procesamiento, transmisión, manejo y compra de la orden. Específicamente, para un
comerciante (nó-productor), el costo de ordenamiento puede comprender:
• Costo de preparación de los formatos de las órdenes
• Costos de correo (o de cualquier sistema que utilice para la transmisión de órdenes,
incluyendo fax, EDI, etc.)
• Costos de llamadas telefónicas relacionadas con el pedido
• Costos de autorización del pedido
• Costos de recepción e inspección
• Costos de manejo de las facturas del proveedor
• Otros costos relacionados con el procesamiento de la orden
Para un productor este costo puede incluir los costos relacionados con el montaje de
maquinaria fija, los costos de alistamiento para preparar las máquinas para procesar la orden,
la transmisión y control de la orden en la planta. En este caso se prefiere utilizar el término
costo de preparación.
Es muy importante definir cuáles costos se constituyen en costos adicionales para la
preparación o procesamiento de una orden, ya sea en un sistema productivo o comercial, ya
que son los costos marginales los que deben incluirse en el costo de ordenamiento o
preparación. En otras palabras, si el procesamiento de una orden no requiere de personal
adicional, sino del mismo personal al que debe pagársele su salario independientemente de
que la orden se produzca, sólo deberían incluirse los costos marginales para procesar la
orden, como por ejemplo, el costo de papelería y copiado. Fogarty et. al. (1994) tratan con
mayor detalle y extensión este tema (pág. 208−233), al igual que Silver y Peterson (1985)
(pág. 72−78) y Silver et al. (1998) (pág. 53−58).
El costo de falta de inventario, B
Este costo se produce cuando se recibe una orden y no hay suficiente inventario disponible
para cubrirla. Generalmente se expresa como un porcentaje del costo del ítem. Pueden
ocurrir entonces tres posibilidades: se genera una orden pendiente, se pierde la venta o se
produce una combinación de ambas, por ejemplo cuando el cliente decide aceptar una orden
pendiente parcial. Cualquiera de las tres posibilidades que ocurra, genera un costo, el cual
es muy difícil de estimar debido a su naturaleza intangible.

95
Lección 14: CONTROL DE INVENTARIOS DE ÍTEMS INDIVIDUALES CON DEMANDA
PROBABILÍSTICA
En esta lección se analiza el sistema de control de inventarios cuando la demanda es
probabilística. Se concentra la atención en aquellos casos en los cuales la demanda
promedio permanece aproximadamente constante a lo largo del tiempo, aunque ya se
demostró que un sistema de pronósticos bien diseñado puede cambiar dinámicamente los
parámetros que fluctúen a lo largo del tiempo.
Un concepto clave tratado en esta lección es el de Inventario de Seguridad (“Safety Stock”),
el cual protege contra las posibles fluctuaciones de la demanda y del lead time. Además, se
definirán algunos conceptos fundamentales de servicio al cliente y diversas formas de tratar
los costos de faltante de inventario, los cuales han demostrado ser muy difíciles de estimar.
El desarrollo de este capítulo está basado principalmente en Silver y Peterson (1985), Silver
et al. (1998) y en Ballou (1999).
Preguntas básicas para el control de inventarios
Hay tres preguntas claves a responder en cualquier sistema de control de inventarios:
• ¿Con qué frecuencia debe revisarse el nivel de inventario?
• ¿Cuándo debe ordenarse?
• ¿Qué cantidad debe ordenarse en cada pedido?
Para el caso de la demanda probabilística, estas tres preguntas son mucho más difíciles de
responder. La respuesta a la primera pregunta implica altos costos de revisión frecuente del
nivel de inventario, comparados con los costos de mantener inventario de seguridad para
responder a la demanda durante el tiempo de reposición. Para responder la segunda
pregunta debe tenerse en cuenta el equilibrio entre los costos de mantenimiento de inventario
al ordenar anticipadamente y el nivel de servicio que se quiere dar al cliente. Finalmente, la

96
respuesta a la tercera pregunta tiene en cuenta de nuevo el costo total relevante y, para
algunos casos, está muy relacionada con la segunda pregunta.

97
Lección 15: FORMAS DE REVISIÓN DEL NIVEL DE INVENTARIO
La primera pregunta anterior relacionada con la frecuencia de revisión del inventario efectivo
se enmarca dentro de dos sistemas básicos: la revisión continua y la revisión periódica. Lo
que trata de determinarse es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos revisiones
sucesivas del nivel de inventario efectivo.
Comparación entre los sistemas de revisión continua y los de revisión periódica
REVISIÓN CONTINUA REVISIÓN PERIÓDICA
Es muy difícil en la práctica coordinar
diversos ítems en forma simultánea.
Permite coordinar diversos ítems en forma
simultánea, lográndose así economías de
escala significativas.
La carga laboral es poco predecible, ya
que no se sabe exactamente el instante en
que debe ordenarse.
Se puede predecir la carga laboral con
anticipación a la realización de un pedido.
La revisión es más costosa que en el
sistema periódico, especialmente para
ítems de alto movimiento.
La revisión es menos costosa que en la
revisión continua, ya que es menos
frecuente.
Para ítems de bajo movimiento, el costo
de revisión es muy bajo, pero el riesgo de
información sobre pérdidas y daños es
mayor.
Para ítems de bajo movimiento, el costo de
revisión es muy alto, pero existe menos
riesgo de falta de información sobre
pérdidas y daños.
Asumiendo un mismo nivel de servicio al
cliente, este sistema requiere un menor
inventario de seguridad que el sistema de
revisión periódica.
Asumiendo un mismo nivel de servicio al
cliente, este sistema requiere un mayor
inventario de seguridad que el sistema de
revisión continua.
En la revisión continua, como su nombre lo indica, teóricamente se revisa el nivel de
inventario en todo momento. Sin embargo, obviamente, esto no es posible en la práctica. Lo
que se hace, entonces, es revisar el inventario cada vez que ocurre una transacción
(despacho, recepción, demanda, etc.) y por ello también se le conoce como “sistema de
reporte de transacciones.”

98
En los sistemas de revisión periódica, el nivel del inventario se consulta cada R unidades de
tiempo. Obviamente, si R → 0, este sistema se convierte en un sistema de revisión continua.
La tabla anterior compara los dos métodos en forma general.
Dada la variabilidad de la demanda, es imposible garantizar que todos los pedidos sean
satisfechos con el inventario a la mano. Si por ejemplo la demanda es inusualmente alta,
deben darse acciones de emergencia para satisfacerla. Si por el contrario la demanda resulta
ser muy baja, se puede entonces presentar un exceso de inventario. El arte del control de
inventarios consiste en balancear estos dos extremos de tal forma que se tenga el nivel de
servicio adecuado al cliente, con el mínimo costo total posible. Dentro de este control, la
determinación de los inventarios de seguridad es precisamente un punto fundamental. A
continuación se exponen algunos métodos para este efecto.
Inventario de seguridad basado en factores constantes
Este método involucra la utilización de un factor constante de tiempo para determinar el
inventario de seguridad de todos los ítems. Por ejemplo, se puede decir que se va a tener
siempre al menos ‘dos semanas de inventario de seguridad’. También, se puede definir con
base en un factor constante multiplicado por la demanda promedio del ítem bajo
consideración. Este método tiene una grave falla conceptual al ignorar la variabilidad de la
demanda del ítem respectivo. Así, esta política puede ser adecuada para ciertos ítems, pero
totalmente insatisfactoria para otros, bien sea por exceso o por escasez de inventario.

99
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD
1. Escriba dentro del paréntesis la letra a la cual corresponde la definición.

100
2. Mac-in-the-Box, Inc., vende equipo de computadoras mediante pedidos que los clientes
hacen por teléfono y por correo. Mac vende 1200 escáneres de cama plana cada año. El
costo del pedido es de $300 y el costo anual del manejo de inventario representa el 16% del
precio del artículo. El fabricante del escáner le ha propuesto la siguiente estructura de precios
a Mac-in-the-Box.
¿Con qué cantidad del pedido se logra minimizar el total de los costos anuales?
3. enuncie cuatro características de los Modelos E.O.Q.
4. Indique el significado de los siguientes símbolos.
• K
• C
• H
• B
• Q*
• I
• D

101
FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1
• Bernstein, Peter L. (1998). Against the Gods, the remarkable story of risk. USA, John
Wiley.
• Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman Introduction to operations research,
McGraw-Hill, 1995.
• Hanke, John E.; Wichern, Dean W. & Reitsch, Arthur G. (2001). Business Forecasting.
Seventh Edition. USA, New Jersey: Prentice Hall
• Hisashi Kobayashi Modeling and analysis : an introduction to system
performance evaluation methodology, Addison-Wesley, 1978.
• Makridakis, Spyros. (1993). Pronósticos. Estrategia y Planificación para el siglo XXI.
Madrid, España: Ediciones Díaz de Santos, S.A.
• Sanjay K. Bose. An Introduction to queueing systems, Kluwer Academic/Plenum
Publishers, 2002.
• Sipper Daniel / Bulfin Robert L., Planeación y control de la producción, 1ª edición, 1ª
impresión, México D.F., Mc. Graw Hill, Junio 1999, pp. 238 -240.
• Stephen S. Lavenberg, [editors] Computer performance modeling handbook,
Academic Press, 1983.
• Wayne L. Winston Operations research : applications and algorithms,
Brooks/Cole - Thomson Learning, 2004.
• http://www.investigaciondeoperaciones.net/eoq.html, tomado 12 de mayo del 2013
• http://www.investigacion-operaciones.com/Lote%20Economico.htm
• http://chita.is-a-geek.com/r2r/BCDF/archivos/ABC.doc
• http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/20/abcinventario.htm
• http://www.mailxmail.com/curso/empresa/controlartuinventario/capitulo2.htm

102
UNIDAD 2
Nombre de la Unidad Cadenas de Markov, teoría de colas y programación no
lineal
Introducción
El análisis de Markov tuvo su origen en los estudios de
A.A.Markov(1906-1907) sobre la secuencia de los
experimentos conectados en cadena y los intentos de
descubrir matemáticamente los fenómenos físicos
conocidos como movimiento browiano. La teoría general de
los procesos de Markov se desarrollo en las décadas de
1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron, W.Feller, W.Doeblin,
P.Levy, J.L.Doob y otros.
El análisis de Markov es una forma de analizar el
movimiento actual de alguna variable, a fin de pronosticar
un movimiento futuro de la misma.
Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos
encontramos continuamente en nuestras actividades
diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al
Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge
cuando unos recursos compartidos necesitan ser
accedidos para dar servicio a un elevado número de
trabajos o clientes.
En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el
proceso de resolución de un sistema de igualdades y
desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre
un conjunto de variables reales desconocidas, con una
función objetivo a maximizar, cuando alguna de las
restricciones o la función objetivo no son lineales.
Justificación
El estudio de las colas es importante porque proporciona
tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos
esperar de un determinado recurso, como la forma en la
cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar
un determinado grado de servicio a sus clientes.
Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como
algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea
capaz de dar una respuesta sobre las características que
tiene un determinado modelo de colas.

103
Intencionalidades
Formativas
• Valorará la importancia que tiene los métodos
estudiados en situaciones organizacionales para las
empresas en el mundo moderno.
• Planteará y resolverá problemas en diferentes campos
del saber, haciendo un proceso de abstracción de
escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las
temáticas estudiadas.
Denominación de
capítulos
Capítulo 4 Cadenas de Markov
Capítulo 5 Modelos de líneas de espera
Capítulo 6 Programación no lineal

104
CAPITULO 4: CADENAS DE MARKOV
Lección 16: Cadenas de Eventos – Análisis de MARKOV
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un
evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen
memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos
futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las
series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.
En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de
compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos, para
planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Aunque no es
una herramienta que se use mucho, el análisis de Markov puede proporcionar información
importante cuando es aplicable.
El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método
en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en
particular en un momento dado. Más importante aún, permite encontrar el promedio a la larga
o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede
predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.
Una Cadena de Markov es un proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0, 1, 2,.. y
en todos los estados se verifica P(Xt+1=it+1 | Xt=it, Xt-1=it-1, ...,
X1=i1,X0=i0)=P(Xt+1=it+1|Xt=it)
La Hipótesis de estabilidad es la probabilidad P (Xt+1=i t+1t=i)=pij (no depende de t)
La probabilidad de transición es pij
La Matriz de probabilidades de transición es

105
Donde se debe verificar que la
Las cadenas de Markov que cumplen la hipótesis de estabilidad se llaman cadenas
estacionarias de Markov
La distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov es aquella
q = [q1,...,qs] donde qi=P(X0=i)
EJEMPLO: la ruina del jugador es una cadena de Markov estacionaria
Estados: 0, 1, 2, 3, 4
Matriz de transición
La anterior matriz de transición se puede representar con un grafo en el que cada nodo
representa un estado y cada arco la probabilidad de transición entre estados.
Gráfica: Esquema de una matriz de transición.

106
Lección 17: DESCRIPCIÓN DE UNA CADENA DE MARKOV
La probabilidad de pasar de un evento a otro se llama probabilidad de transición, para
describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas
las probabilidades de transición.
Hay dos formas fáciles de exponer las probabilidades de transición:
1. DIAGRAMA DE ESTADOS: como el que muestra la figura, en ésta se ilustra un sistema de
Markov con dos estados posibles: s1 y s2. La probabilidad condicional o de transición de
moverse de un estado a otro se indica en el diagrama, por ejemplo la probabilidad de pasar
del estado s1 al estado s2 se señala como p12. Las flechas muestran las trayectorias de
transición que son posibles. La ausencia de algunas trayectorias significa que esas
trayectorias tienen probabilidad igual a cero.
2. MATRIZ DE TRANSICIÓN: Para el ejemplo anterior la matriz se muestra a continuación,
nótese que, como existen dos estados posibles, se necesitan 2x2 = 4 probabilidades.
También nótese que cada renglón de la matriz suma 1.esto se debe a que el sistema debe
hacer una transición.
EJERCICIOS PRACTICOS

107
1. Teniendo en cuenta el siguiente diagrama de estados, describa la matriz de transición
correspondiente.
2. teniendo en cuenta la siguiente matriz de transición describa el diagrama de estados
correspondiente.
3. Escriba las observaciones que puede hacer a partir del diagrama de estados o de la
matriz de transición en cada caso.

108
Lección 18: CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN
Ahora que se sabe cómo presentar los datos, ¿qué puede hacerse? Un análisis útil es
pronosticar el estado del sistema después de 1, 2, 3, o más periodos. Esto se llama análisis
de transición, debido a que es a corto plazo y está enfocado a periodos cortos.
EJEMPLO:
Considérese la siguiente cadena de Markov: una copiadora de oficina, poco segura. Si está
funcionando un día, existe un 75% de posibilidades de que al día siguiente funcione y un
25% de posibilidades de que no funcione. Pero si no está funcionando, hay 75% de
posibilidades de que tampoco funcione al día siguiente y sólo un 25% de que si lo haga (se
lleva mucho tiempo la reparación)
Para comenzar un análisis de transición, se deben conocer el estado actual.
Supóngase que se está comenzando y que hay 75% de posibilidades de estar en el estado
1 y 25% de estar en el estado 2. Esto define el estado actual en forma probabilística. ¿Cuál
es la probabilidad de que la copiadora al 4 día esté funcionando?
SOLUCION:
ESTADOS: S1= La copiadora funcionando
S2= La copiadora no funcionando

109
X0= Representa la proporción de objetos en cada estado al inicio del proceso (vector inicial
de distribución probabilística)
ESTADO ACTUAL
X0= [X1, X2]= [0.75, 0.25]
Para hallar la probabilidad de que la copiadora esté funcionando al 4 día es necesario
determinar las 3 probabilidades anteriores, ya que:
X4= x3.p
X3= x2.p
X2= x1.p
X1= x0.p
Xn= x0.pn esta ecuación representa la proporción de objetos en el estado i que realizan la
transición al estado j durante un período.
Entonces las probabilidades para el primer ciclo se calcularían así:
De esta forma se hallan las otras probabilidades de transición, el resultado final es:

110
Esto se puede interpretar así: al cuarto día la probabilidad de funcionamiento de la
copiadora es de 51.56% si ella estaba funcionando. Así mismo 48.43% de probabilidades
de no funcionamiento.
TALLER
1. Dada la cadena de Markov siguiente:
Encuentre las probabilidades de transición para los 5 ciclos siguientes, teniendo en cuenta
que el sistema se encuentra en el estado 1.
2. Dada la siguiente matriz de tres estados.
a. dibuje el diagrama de estados.
b. Encuentre las probabilidades de transición para los siguientes tres ciclos suponiendo el
inicio en el estado B.
3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un
mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la
mitad pagara a tiempo la próxima vez.
a. Si una persona paga a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que pagara a tiempo durante
6 meses desde ahora?

111
Lección 19: CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV.
Dados dos estados i y j, la trayectoria de i a j es la sucesión de transiciones que comienza
en i y termina en j, de forma que cada transición de la secuencia tenga probabilidad positiva.
Un estado j es alcanzable desde un estado i si hay una trayectoria de i a j, por lo tanto si dos
estados i y j se comunican si i es alcanzable desde j y j es alcanzable desde i.
Un conjunto de estados S en una cadena de Markov es cerrado (constituyen una clase de
la cadena) sin ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S.
Un estado i es absorbente si pii=1
Un estado i es transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es
alcanzable desde j.
Un estado es recurrente si no es transitorio.
Un estado i es periódico con periodo k>1 si k es el menor número tal que todas las
trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud múltiplo de k.
Si un estado recurrente no es periódico es aperiódico.
Si todos los estados de una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre sí, la
cadena es ergódica.
ANÁLISIS DE ESTADO TRANSITORIO
El comportamiento de una cadena de Markov antes de alcanzar el estado estable se llama
comportamiento transitorio. Para su estudio se utiliza las fórmulas dadas anteriormente
para Pi j(n).

112
Lección 20: PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE
APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN E INGENIERIA
Las compras de los consumidores están influidas por la publicidad, el precio y muchos otros
factores. Con frecuencia un factor clave es la última compra del consumidor. Si por ejemplo,
alguien compra un refrigerador maraca Y y le da un buen servicio, quedará predispuesto a
comprar otro refrigerador marca Y.
De hecho, una investigación de mercado puede determinar el grado de lealtad a la marca
encuestando a los consumidores. En términos de una cadena de Markov, los resultados de
la investigación son las probabilidades de transición de seguir con la marca o de cambiar.
Ejemplo, cambio de marca, la marca A es la marca de interés y la marca B representa todas
las demás marcas. Los clientes son bastante leales, el 80% de ellos son clientes que repiten.
La oposición conserva el 70% de sus clientes.
¿Qué información puede obtenerse con el análisis de Markov? Con el análisis de transición
puede descubrirse que tan probable es que un cliente cambie después de cierto número de
ciclos. Pero el análisis de estado estable es el más útil. ¿Qué interpretación daría usted del
promedio a largo plazo de estar en cualquiera de los estados? ¡La de porcentajes de
mercado! El promedio a la larga del estado A es el porcentaje de mercado que puede esperar
recibir la marca A. Así, conociendo el grado de lealtad a la marca entre los clientes puede
predecirse el porcentaje de mercado para el producto o servicio.
El desarrollo o cálculo de las probabilidades de estado estable para el ejemplo anterior se
realizan a continuación:
Matriz de transición (cambio de marca)
Marca A Marca B
Marca A 0.8 0.2
Marca B 0.3 0.7

113
Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de
objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de
periodos.
La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a
la unidad.
Se calculan utilizando la siguiente expresión:
[ x1,x2].P = [ x1,x2]
[ x1,x2]. 0.8 0.2 = [ x1,x2]
0.3 0.7
Resultan 2 ecuaciones:
0.8x1+0.3x2= x1
0.2x1+0.7x2= x2
Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es:
X1+x2=1
De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para
trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones,
como reducción, igualación o sustitución.
La solución del sistema es:
X1= 0.6
X2= 0.4
Lo que significa que la marca A capturará a la larga el 60% del mercado y las otras marcas
tendrán el 40%.

114
Esta información puede ser útil en muchas formas. Una de ellas es al evaluar las diferentes
estrategias de publicidad. Esta publicidad puede estar dirigida a los clientes actuales en un
esfuerzo para incrementar la lealtad a la marca. De otra manera, puede dirigirse a los
compradores de otras marcas con el fin de persuadirlos para cambiar. ¿Cómo debe
asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas? El análisis de Markov
puede proporcionar una respuesta si se dispone de cierta información adicional.
TALLER
1. Dada la cadena de Markov siguiente:
Encuentre las probabilidades de estado estable.
2. Dada la siguiente matriz de tres estados.
Encuentre las probabilidades de estado estable.
3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un
mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la
mitad pagara a tiempo la próxima vez.
A la larga ¿Cuál es la proporción de cuentas pagadas a tiempo?

115
Aplicaciones
PROBLEMA RESUELTO
Formúlese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante de dentífrico Brillo
controla actualmente 60% del mercado de una ciudad. Datos del año anterior muestran que
88% de consumidores de brillo continúan usándola, mientras que 12% de los usuarios de
brillo cambiaron a otras marcas. Además, 85% de los usuarios de la competencia
permanecieron leales a estas otras marcas, mientras que 15% restante cambió a brillo.
Considerando que estas tendencias continúan, determínese la parte del mercado que
corresponde a brillo: a) en 3 años, y b) a largo plazo.
Se considera como estado 1 al consumo de brillo y al estado 2 como el consumo de una
marca de la competencia. Entonces, p11, probabilidad de que un consumidor de brillo
permanezca leal a brillo, es 0.88; p12, la probabilidad de que un consumidor de brillo cambie
a otra marca es de 0.12;p21, probabilidad de que el consumidor de otra marca cambie a brillo,
es 0.15; p22, probabilidad de que un consumidor de otra marca permanezca leal a la
competencia, es 0.85. La matriz estocástica definida por estas probabilidades de transición
es:
El vector inicial de distribución probabilística es X0 = ( 0.60, 0.40 ), donde los componentes
x1
0 = 0.60 y x2
0 = 0.40 representan las proporciones de personas inicialmente en los
estados 1 y 2, respectivamente.
SOLUCIÓN:
Las probabilidades para los primeros ciclos se calculan así:

116
Según esto a brillo le corresponde en el primer año 58.8% del mercado, al segundo año
57.9% y al tercer año 57.26%.
A largo plazo el proceso sería:
Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de
objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número
de periodos.
La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a
la unidad.
Se calculan utilizando la siguiente expresión:
[ x1,x2].P = [ x1,x2]
[ x1,x2]. 0.88 0.12 = [ x1,x2]

117
0.15 0.85
Resultan 2 ecuaciones:
0.88x1+0.15x2= x1
0.12x1+0.85x2= x2
Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es:
X1+x2=1
De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para
trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones,
como reducción, igualación o sustitución.
La solución del sistema es:
X1= 0.55
X2= 0.45
Lo que significa que la marca brillo capturará a la larga el 55% del mercado y las otras marcas
tendrán el 45%.
Esta información puede ser utilizada para realizar campañas de publicidad encaminadas a
mantener o mejor subir la fidelidad de los clientes antiguos y a ganar clientes nuevos.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Las uvas del valle de sonoma se clasifican como superiores, regulares o malas. Después
de una cosecha superior, las probabilidades de tener durante el siguiente año una cosecha
superior, regular o mala son de: 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. Después de una cosecha
regular, las probabilidades de que la siguiente cosecha sea superior, regular y mala son de
0.2, 0.6 y 0.2. Después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha superior,
regular y mala son de 0.1, 0.8 y 0.1. Determínense las probabilidades de una cosecha
superior para cada uno de los siguientes cinco años. si la cosecha más reciente fue regular.

118
2.Una línea aérea con un vuelo a las 7:15 p.m entre la ciudad de Nueva York y la ciudad de
washington,D.C; No desea que el vuelo salga retrasado dos días consecutivos. Si el vuelo
sale retrasado un día, la línea aérea realiza un esfuerzo especial al día siguiente para que el
vuelo salga a tiempo, y lo logra 90% de las veces. Si el vuelo no salió con retraso el día
anterior, la linea aérea no realiza arreglos especiales, y el vuelo parte de acuerdo con lo
programado el 60% de las veces. ¿ Que porcentaje de veces parte con retraso el vuelo?.
3. El departamento de comercialización de la marca X hizo una investigación y encontró que,
si un cliente compro su marca, existe un 70% de posibilidades de que la compre de nuevo la
próxima vez. por otro lado, si la última compra fue de otra marca, entonces se escoge la
marca X solo el 20% del tiempo. ¿ Cuál es el porcentaje de mercado que puede pronosticarse
a la larga para la marca X?.
Aspectos Teóricos:
Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocásticos.
Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se
definen como una colección de variables aleatorias {X(t,w), t ∈ I}, donde X (t,w) puede
representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El interés de los
procesos estocásticos es describir el comportamiento de un sistema e operación durante
algunos periodos.
Los procesos estocásticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de
estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los
valores del tiempo son discretos o continuos.
Las cadenas de Markov es un proceso estocástico en el que los valores del tiempo son
discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen valores discretos, es decir,
es una cadena estocástica de tiempo discreto.

119
Las cadenas de Markov Consiste en la aplicación de la programación dinámica a un proceso
de decisión estocástico, en donde las probabilidades de transición entre estado están
descritas por una cadena de Markov.
La estructura de recompensas del proceso está descrita por una matriz cuyos elementos
individuales son el costo o el beneficio de moverse de un estado a otro.
Las matrices de transición y de recompensas dependen de las alternativas de decisión. El
objetivo es determinar la política óptima que maximice el ingreso esperado en un número
finito o infinito de etapas.
Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos estocásticos de
Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los
estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades
de transición entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados
que la variable adquiere dichos tiempos.
La idea es determinar las probabilidades de ocurrencia de eventos que dependen de las
probabilidades de ocurrencia del evento anterior y también más importante poder determinar
las probabilidades a largo plazo de los eventos.
Ejemplo 1:
Una copiadora que hoy se encuentra funcionando tiene una probabilidad de que el día de
mañana funcione correctamente de 65%. Pero si la copiadora hoy no está funcionando existe
un 40% de probabilidades de que mañana funcione. Nos interesa determinar en esta cadena
de Markov las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de 1 o varios
días, teniendo en cuenta que como estado inicial vamos a suponer que la copiadora está
funcionando hoy. También determinaremos las probabilidades de estado estable que
significan las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de n ciclos que
en nuestro caso son días.

120
Solución:
Utilice el modulo del winqsb titulado: Markov process
Luego seleccione file:
Nos dará la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio.
Luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un titulo al problema y
colocamos también el número de estados, para nuestro ejemplo serán 2(la copiadora
funcionando y la copiadora no funcionando) y le damos ok.

121
Al darle ok nos dara la opción de introducir los datos del ejercicio, que corrersponden a la
matriz de transición. En este caso es:
S1: Estado 1, la copiadora funcionando
S2: Estado 2, la copiadora no funcionando
Matriz de transición
S1 S2
S1 0,65 0,35
S2 0,40 0,60
Entonces

122
Hay que resaltar que se debe colocar las probabilidades iniciales, en nuestro caso las que
corresponden al estado 1, según el enunciado del ejercicio.
Luego procedemos a resolver utilizando solve and analyse que encontramos en la barra
superior y elegimos markov process step
Obtenemos la siguiente tabla:
En esta casilla se coloca el numero de periodos que se quieren proyectar, en este caso
colocamos 1. El resultado que obtenemos 0,5625 corresponde a la probabilidad de encontrar
funcionando la copiadora al dia siguiente y 0,4375 de no estar funcionando si tenemos en
cuenta que la copiadora inicio funcionando.
Bastaria con variar este número para calcular las probabilidades de 2,3, 0 más periodos.

123
Asi mismo hallamos la probabilidad de estado estable asignando por ejemplo el valor de 100
o eligiendo la opción steady state, que para nuestro ejemplo nos daria los siguientes
resultados:
Los que indica la flecha, es decir que a la larga la probabilidad de encontrar la copiadora
funcionando es de 53,33% y de no estar funcionando de 46,66%. Es de anotar que para el
cálculo de estas probabilidades no se necesita de un estado inicial, sea el valor que fuera
nos daría a largo plazo el mismo resultado.
Ejercicios de aplicación
1. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días
nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo
como una cadena de Markov. Determinar la probabilidad de tener un día soleado al tercer

124
día si hoy tenemos un día nublado. A largo plazo ¿cuál es la probabilidad de tener días
soleados?
2. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar
desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta,
desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de
estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al
día Siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ir a A es 0,2. Si
el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando
en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá
a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A,
permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1, irá a B
con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de 0,6.
a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que
trabajar en C al cabo de cuatro días?
b) ¿Cuales son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una
de las tres ciudades?

125
CAPITULO 5: MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
CONCEPTOS GENERALES
Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se
ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de
espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:
1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos
de servicio en secuencia?
2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que
pueden atender a una unidad?
3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en
forma aleatoria?
4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones
aleatorias de tiempo?
INTRODUCCIÓN
En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o
líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la
capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los
cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros
automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de
electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico,
etc todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la
informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo,
los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son
atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse
con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos
recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil
está colapsada en ese momento, etc.

126
JUSTIFICACION
La teoría de las colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de
espera o colas. Las colas se presentan con frecuencia cuando de solicita un servicio por
parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico.
La teoría de las colas no pretende en ningún momento resolver directamente el problema de
la espera en colas sino más bien describe la situación que presenta una cola a través del
tiempo y extrae lo que bien se podría llamar las características operacionales de la cola.
Alguna de estas características son el número promedio de clientes en la cola, su tiempo de
espera en la cola, el porcentaje de tiempo que el despachador está ocupado, etc. Debido al
carácter básico de estas teorías nos limitaremos a hacer una exposición de los modelos más
elementales sin entrar estrictamente a considerar la labor de optimización de los sistemas
que representan.
OBJETIVOS
• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del
mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del
sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de
costes y las cualitativas de servicio.
• Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la
“paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso
puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

127
Lección 21: TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA
El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878
- 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objeto de acatar la
demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones
acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría
es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas
pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.
La teoría de colas es considerada el estudio matemático del comportamiento de líneas de
espera, ya que se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” solicitando un servicio
a un “servidor”, el cual tiene una indiscutible capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
Una línea de espera es considerada una cola y la teoría de colas es una compilación de
modelos matemáticos que detallan sistemas de línea de espera particulares o sistemas de
colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los
tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.
Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo,
pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un
servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos
modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas
interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo
de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica
en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un
servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto.
Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con
exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un
horario fijo.

128
Los problemas de “colas” se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en
EEUU concluyó que, por término medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida
esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos.
LECTURA AUTOREGULADA
UNA VISITA A DISNEY
¿Qué tan popular es Disney World en Orlando, Florida? Desde que abrió en 1971, 200
millones de personas han visitado Disney World, y esperan en filas Para tener acceso a sus
muchas atracciones.
Lo administración de Disney Pone mucha atención a la forma en que trata a sus clientes
mientras esperan en las colas.
En la ciencia de la administración. Las filas se conocen a menudo como colas, y la teoría de
colas se aplica a muchas estructuras diferentes- En Disney world, por ejemplo, los visitantes
forman una fila para tener acceso al paseo con el Capitán Nemo, mientras que los mismos
submarinos del Capitán Nomo hacen cola mientras bajan y suben, a los pasajeros - Qué
también atiende las filas y a las personas es algo crítico para el negocio de Disney, Norm
Doerges, directora de Epcot (que es parte de Disney World). analiza cómo Epcot fue
diseñada. Primero, los investigadores de Disney recolectaron datos acerca del modo en que
las personas pasan su tiempo en el parque. ¿Cuánto tiempo esperan en una fila? ¿Cuánto
tiempo realmente invierten en las atracciones? ¿Cuánto tiempo pasan comiendo? ¿Cuánto
tiempo les lleva decidirse sobre qué hacer a continuación? Segundo, Disney pide a sus
clientes su opinión acerca de cuánto tiempo estañan dispuestos a esperar para tener acceso
a las diferentes atracciones y servicios. Los diseñadores deo Epcot entonces construyeron
un modelo para simular sucesos y el flujo de tráfico en el parque. teniendo en mente la
eliminación de las esperas largas. Tomar en consideración las necesidades de los clientes
en la etapa de diseño, significa que Epcot podría evitar el hacer cambios caros a gran escala
en el parque después de que fuera construido.

129
PREGUNTAS SOBRE EL CASO
1. ¿Cuánto tiempo estaban dispuestos a esperar los clientes de Disney World para tener
acceso a las atracciones más populares? ¿Qué factores influyeron en sus decisiones?
2. Comente sobre la forma en que Disney revisa sus colas y con qué frecuencia lo hace.
3. ¿Qué tipos de datos objetivos y subjetivos recaba Disney para su modelo de simulación?
Más allá del caso
1. ¿Por qué los supermercados no utilizan el sistema de una sola fila que se ve en la
mayoría da los bancos?
2. ¿Qué ahorro en costos pueden resultar del uso de un modelo de colas para decidir
cuántos servidores controladores, cajeros, etcétera) tener trabajando?

130
Lección 22: ORIGEN DE LA TEORIA DE COLAS
ANTECEDENTES
El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878
- 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la
demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones
acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría
es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas
pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida. En los problemas de
formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la
desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones
que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante,
operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de
formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que
requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la
estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por
clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente
porque los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en
este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que
transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios
existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las
estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes
puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas,
porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.
Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones
sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho
temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende
constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable. En la teoría de la formación de
colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo
que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la
formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el

131
comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo
en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los
costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.
La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un
gran número de modelos matemáticos para describirlas. Se debe lograr un balance
económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La
teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma
de decisiones.
CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMAS DE COLAS
• Población de Clientes:
Conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas
• Proceso de llegada:
La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio
• Proceso de colas:
La forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio
• Disciplina de colas:
La forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles un servicio.
• Proceso de servicio:
Forma y rapidez con que son atendidos los clientes
• Proceso de Salida:
Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas
• Sistema de colas de un paso:
Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser
atendidos en un solo centro o estación de trabajo.
• Red de colas:
Sistema en el que un producto puede proceder de una estación de trabajo y pasar a otra
antes de abandonar el sistema.

132

133
ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS
Fuente de entrada o población potencial:
Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar
el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no
es realista, sí permite (por extraño que parezca) Resolver de forma más sencilla muchas
situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición
de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número
de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado
servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera
nuevas peticiones de servicio.
Cliente:
Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos
de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de
probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar
como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos:
clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente,
cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los
Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número
de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la
fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en
proceso de ser atendidos.
Capacidad de la cola:
Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser
servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de
simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de
los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla
infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse
llegado a ese número límite en la misma.

134
Disciplina de la cola:
Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más
habituales son:
La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según
la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o
pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a
los clientes de forma aleatoria.
Mecanismo de servicio:
Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar
totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho
mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la
distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso
de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la
distribución del tiempo de servicio para cada uno.
La cola:
Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el
servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.
El sistema de la cola:
Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la
cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al
mecanismo de servicio. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de
probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para
los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución

135
degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang
(Gamma).

136
Lección 23: MEDIDAS DE RENDIMIENTO
MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS
Valor numérico que se utiliza para evaluar los méritos de un sistema de colas en estado
estable.
CONDICIONES:
1. Población de clientes infinita.
2. un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con
una disciplinas de colas de primero en entrar primero en salir. FIFO.
3. un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de
acuerdo con una distribución infinita.
FORMULAS:
• Taza de Llegada: número promedio de llegad por unidad de tiempo (λ).
• Taza de Servicio: número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (µ).
• Utilización: probabilidad de hallar el sistema ocupado.
U = p p = λ / µ
Probabilidad de que hayan clientes en el sistema o que el sistema este ocioso.
Po = 1-p
Probabilidad de que haya clientes en el sistema.
Pn = pn *po
Número Promedio en Filas: número promedio de clientes que se encuentran esperando en
la fila para su atención.
Lq = λ2 / µ (µ-λ)
Número Promedio en el Sistema: número promedio de clientes que se encuentran en el
sistema.
L = λ (µ-λ)
Tiempo Promedio en la Cola: tiempo promedio de un cliente que llega tiene que esperar en
la cola antes de ser atendidos.
Wq = λ / µ (µ-λ)

137
Tiempo Promedio en el Sistema: tiempo promedio que un cliente invierte
desde su llegada hasta su salida.
Wq = 1 (µ-λ)
FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE RENDIMINTO DE UN SISTEMAS DE
COLAS M/M/1

138
Lección 24: ANÁLISIS DE COSTOS
ANALISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS
Al analizar los méritos de contratar personal de reparación adicional en Babaría, usted
debería identificar dos componentes importantes:
Para seguir adelante, necesita ahora conocer el costo por hora de cada Miembro del personal
de reparación (denotado con C8) y el costo por hora de Una máquina fuera de operación
(denotado por CW), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga que el
departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la compañía $50
por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción
perdida deberá incluir costos explícitos, como la contabilidad de ganancias no obtenidas, y
costos implícitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se cumple con la
fecha límite de la entrega. Estos costos implícitos son difíciles de estimar. Sin embargo
suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada
hora que una máquina esté fuera de operación. Ahora ya puede calcular un costo total para
cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de siete reparadores, el número
esperado de máquinas en el sistema es 12.0973, de modo que:

139
Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene
como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la siguiente
tabla:
Costos por hora para diferentes tamaños de personal de reparación de la empresa
Bavaria
De los resultados, usted puede ver que la alternativa que tiene menor costo por hora, $
1128.63, es tener un total de nueve reparadores. En consecuencia, su recomendación a la
gerencia de producción de la empresa X, es contratar a dos reparadores adicionales. Estor
dos nuevos empleados tendrán un costo de $100 por hora, pero este costo adicional está

140
más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos máquinas fuera de operación.
La recomendación reducirá el costo por hora de $ 1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de
aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios.
CARACTERÍSTICAS CLAVES
En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que controla el número de servidores o
su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costos y medidas de
rendimiento:
• El costo por servidor por unidad de tiempo (C8).
• El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema (Cw).
• El número promedio de clientes en el sistema (L).

141
EJEMPLO DESARROLLADO
La Concesión Neiva – Bogotá, tiene unas estaciones para el pesado de camiones cerca de
sus peajes, para verificar que el peso de los vehículos cumpla con las regulaciones viales.
La administración de la Concesión está considerando mejorar la calidad del servicio en sus
estaciones de pesado y ha seleccionado una de sus estaciones como modelo a estudiar
antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el
desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor
número de camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este
periodo, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor. Para estimar las tasas
promedio de llegada y de servicio en la estación, los datos disponibles que la gerencia
determina para los valores son:
λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60
µ = número de camiones que pueden ser pesados por hora = 66
El valor de µ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de
estado estable de este sistema.
Solución:
La intensidad de tráfico es:
p = λ / µ = 60 / 66 = 0.9091
Mientras más cerca esté p de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como
resultados colas más larga y tiempos de espera más grandes. En términos de p, λ y µ las
medidas de rendimiento, para el problema de la concesión, se calculan de la siguiente
manera:
1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema (Po):
Po = 1 – p= 1 – 0.9091= 0.0909
Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que
esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía.
Dicho de otra manera aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que
esperar.
2. Número promedio en la fila (Lq)
Lq = p2/ 1 – p= (0.9091)2 / 1 – 0.9091= 9.0909
En promedio la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve
camiones esperando para obtener el servicio (sin incluir al que se está pesando)
Cuando ya se ha determinado un valor para Lq se pueden calcular los valores de Wq ,
W, y L , así:
3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq )
Wq = Lq / µ= 9.0909 / 60= 0.1515
Este valor indica, que en promedio un camión tiene que esperar 0.1515 horas,
aproximadamente 9 minutos, en la fila, antes de que empiece el proceso de pesado.

142
4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W)
W = Wq + 1 / λ= 0.1515 + 1 / 66= 0.1667
Este valor indica, que en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde
que llega hasta que sale.
5. Número promedio en el sistema ( L )
L = λ * W= 60 * 0.1667= 10
Este valor indica, que en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de
pesado, ya sea en la báscula o esperando ser atendidos.
6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( Pw ) :
pw = 1 – Po = p= 0.9091
Este valor, como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91% del
tiempo un camión que llegue tiene que esperar.
7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( Pn ) :
Pn = p n * Po
Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:
n pn
0 0.0909
1 0.0826
2 0.0759
3 0.0684
Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se
encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para
responder una pregunta como: ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan más de tres
camiones en el sistema?, en este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma
de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3.
8. Utilización ( U ) :
U = p= 0.9091
Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado
están en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente, aproximadamente
9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que se estén
pesando.

143
CAPITULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Lección 26: Programación no lineal
Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se
expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un
modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite
abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde
los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
Los problemas de optimización no lineal son más difíciles de resolver que los lineales. Estas
dificultades aparecen incluso en el caso más simple como el de optimizar una función de una
variable en R sin restricciones.
Ejemplo 1: Un joven ingeniero de una compañía ha sintetizado un nuevo fertilizante hecho a
partir de dos materias primas. Al combinar cantidades de las materias primas básicas x1 y
x2, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por .
Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros por cada unidad de
materia prima 2 que se empleen en la fabricación del fertilizante (en estas cantidades se
incluyen los costos de las materias primas y los costos de producción). Si la compañía
dispone de 24000 euros para la producción de materias primas, plantear el problema para
determinar la cantidad de materia prima de forma que se maximice la cantidad de fertilizante.
Las variables de decisión del problema son:
x1 : cantidad de materia prima 1
x2 : cantidad de materia prima 2
El objetivo es maximizar la cantidad de fertilizante,
Restricciones del problema:
El coste no puede exceder el presupuesto que la empresa tiene asignado para el fertilizante,

144
No negatividad de las cantidades
Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones Función
objetivo y funciones de restricción son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se
cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos
economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción,
en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar
problemas de programación no lineal de una manera general, el problema de programación
no lineal consiste en encontrar x = ( x1,x2,....xn ) para maximizar f(x), sujeta a:
g(x) bi, para i= 1, 2,3....m
y x 0
en donde f(x) y las g(x) son funciones dadas de n variables de decisión.
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan
a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos
casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación
sigue muy activa.
En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la
forma: Optimizar z = f(x)
Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-∞, ∞). Si la búsqueda se
circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimización no lineal restringida
y se transforma a optimizar z = f(x) con la condición a x b.
Optimización no lineal multivariable
Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de
una variable, es decir:

145
Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T
Si existen las restricciones
Gi(X) = 0
Es un problema no lineal multivariable restringido.
Ejemplo
Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A,
B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 km. al Este,400 Km. al
Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al norte) respecto de A. La posición
de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima.
sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A.
Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias
No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no
negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste
del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal in restricciones. Veamos
ahora algunos casos de programación no lineal comunes de encontrar:

146
Lección 27: PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
La programación cuadrática (QP) es un tipo especial en la matemática de optimización de problemas. Es
el problemadeoptimizar (reduciendoal mínimoomaximizando) unafuncióncuadráticadevariasvariables
conformea apremioslineales en estas variables.
Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa Matemático en el
cual cada restricción gi es lineal pero el objetivo es cuadrático se Conoce como programa
cuadrático, es decir
f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi
Ejemplo
Minimizar z = x1
2+X22
Con las condiciones x1 - x2 = 3
X2 3
Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12 = c21 = 0; c22 =
1 y d1 = d2 = 0.

147
Lección 28: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE -CONDICIONES KUNH TUCKER
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales
en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente:
max(o min) z= f(x1,x2,.....xn..)
s.a g1( x1,x2,.....xn..)= b1
g2( x1,x2,.....xn..)= b2
gm( x1,x2,.....xn..)= bm
para resolverlo, asociamos un multiplicador L1 con la i-esima restricción y fórmamos el
lagrangiano.

148
Lección 29: TÉCNICA DEL GRADIENTE
TÉCNICAS DE GRADIENTE.
Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se
expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un
modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite
abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde
los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del
descenso más pronunciado) consiste en un algoritmo específico para la resolución de
modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de
descenso, donde la búsqueda de un mínimo está asociado a la resolución secuencial de una
serie de problemas unidimensionales.
Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado
consiste en:
Considere el siguiente modelo de programación no lineal sin restricciones. Aplique 2
iteraciones del método del gradiente a partir del punto inicial X0=(1,1).

149
En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos veces
diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial
dado, en la dirección del aumento más rápido maximización) de la función. Está técnica se
conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto es lo que
indica la tasa más rápida de aumento.

150
Lección 30: MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON
EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON.
Una desventaja de utilizar la condición necesaria f(x)= 0 para determinar puntos
estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas
resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver
ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se presenta en este contexto,
realmente es parte de los métodos conocidos como métodos de gradiente para optimizar
numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas.
fi (X) =0, i=1, 2, ..., m
se Xk un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor fi(X)= fi (Xk ) + fi(Xk) (X-Xk) , i= 1,
2, ...., m
Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por
fi (Xk) + fi (Xk) (X-Xk) = 0 , i= 1, 2, ...., m
Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como Ak + Bk (X - Xk) = 0
Bajo la hipótesis de que todas las fi(X) son independientes Bk necesariamente es
no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = Xk -Bk-1Ak
La idea del método es comenzar desde un punto inicial X0. Utilizando la ecuación anterior,
siempre puede determinarse un nuevo punto Xk+1a partir de Xk.
El procedimiento finaliza con Xm como la solución cuando Xm = Xm-1 .
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD
TALLER
En los siguientes ejercicios identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de
colas:
a. Los clientes y los servidores
b. La población de clientes y su tamaño
c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas
d. El proceso y la disciplina de colas
e. Proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo - servicio

151
1. La división de mantenimiento de las Empresas Públicas de Neiva está tratando de decidir
cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus
clientes. Las quejas llegan a un centro de servicios de acuerdo con una distribución
exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico
reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue
una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos.
2. El gerente del Supermercado La Sexta desea determinar el número mínimo de cajeros
que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo
promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas
sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes
por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución
exponencial.
3. El portaaviones de Aires tiene un complemento de 80 aviones. Después de operaciones
de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, dos a
la vez. El recorrido en elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos y se necesitan diez
segundos para cargar y descargar una aeronave del elevador. Los elevadores llegan al
elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos.

152
FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2
BIBLIOGRAFÍA
● Álvarez A. Jorge Investigación de Operaciones. Programación Lineal. Editorial. U.N.I.Lima
1995.
● Prawda W. Juan Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Tomo I: Modelos
Deterministicos. Editorial Limusa. Quinta Edición. México 2001.
● Taha Hamdy A. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Editorial Prentice Hall.
Séptima Edición. México 2000.
● Instituto Tecnológico de “Introducción a la Investigación de Operaciones”.
Sonora, México. Abril 2007
● Programa Nacional de TIC, “Capítulo 8: Programación Lineal”.
Ministerio de Educación y Ciencia, España. Set. 2007
● Dr. Ing. Franco Bellini M, “Curso de Investigación de Operaciones”. Universidad Santa
Maria. Caracas – Venezuela. Ago.2005

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