Momento de-inercia
- 1. MOMENTO DE INERCIA Por definiciónlosmomentosde inerciade un área diferencial dA con respecto a los ejes x y y son 𝑑𝐼 𝑥 = 𝑦2 𝑑𝐴 y 𝑑𝐼 𝑦 = 𝑥2 𝑑𝐴 respectivamente, los momentos de inercia se determinan por integración para toda el área, es decir, TambiénpodemosformularestacantidadparadA con respectoal “polo” O o eje z.a este se le llamamomentode inerciapolar.Se define como 𝑑𝐽0 = 𝑟2 𝑑𝐴, donde r es ladistanciaperpendiculardesdeel polo(ejez) hasta el momentodA.Paratoda el área el momentopolares: 𝐽 𝑜 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 Esta relaciónentre 𝐽 𝑜 𝑒 𝐼 𝑥,𝐼 𝑦 esposible puestoque 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, A partir de las formulaciones anteriores se ve que 𝐽 𝑜 𝑒 𝐼 𝑥, 𝐼 𝑦 siempre serán positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo, 𝑚4, 𝑚𝑚4 𝑜 𝑝𝑖𝑒4, 𝑝𝑢𝑙𝑔4. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN AREA Lo podemosemplearparaayudarnosacalcular el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo con respecto al eje que pasa por su centroide y del cual se conosca el momento de inercia. Para efectos de este teorema se va a calcular el momento de inercia de la área sombreada que se muestra en la figura con respecto al eje x. para empezar tomamos un elemento diferencial dA que esta ubicado a una distancia arbitraria 𝑦′del eje centroidal 𝑥′. Si la distancia entre los ejes paralelos x y 𝑥′se define comody, entonces el momento de inercia de dA con respecto al eje x es 𝑑𝐼 𝑥 = (𝑦′ + 𝑑𝑦)2 𝑑𝐴.Para toda el área, 𝐼 𝑥 = ∫(𝑦′ + 𝑑𝑦)2 𝑑𝐴 𝐼 𝑥 = ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 𝐼 𝑦 = ∫ 𝑥2 𝑑𝐴
- 2. = ∫ 𝑦′2 𝑑𝐴 + 2𝑑 𝑦 ∫ 𝑦′ 𝑑𝐴 + 𝑑 𝑦 2 ∫ 𝑑𝐴