Método Gaus
- 1. Resolución de un problema por el método de Gauss Una mujer va al mercado y compra naranjas , plátanos y berenjenas. El peso total de la compra es de 6 Kg y compra un Kilo más de naranjas que de plátanos. Los precios son de 1.2 €, 2.50 € y 0.90 € por Kg de naranjas , plátanos y berenjenas, respectivamente, y ha pagado 9.50 € en total. Calcula los Kg de cada alimento que ha comprado. Plantea el sistema de ecuaciones para calcular los Kg que ha comprado de cada alimento Resuelve el sistema obtenido por el método de Gauss
- 2. Elegimos las incógnitas Elegimos las incógnitas: Naranjas: x Plátanos: y Berenjenas: z
- 3. Planteamos las ecuaci:ones El peso total de la compra es de 6 Kg , es decir: x+ y + z = 6 compra un kilo más de naranjas que de plátanos, es decir x -1 = y Los precios son de 1.2 €, 2.50 € y 0.90 € por Kg de naranjas , plátanos y berenjenas, respectivamente, y ha pagado 9.50 € 1.2x + 2.5 y + 0.90 z = 9.50.
- 4. Escribimos el sistema x + y + z = 6 x − y = 1 1 . 2 x + 2 . 5 y + 0 . 9 z = 9 . 5 Ahora vamos a resolver el sistema por el método de Gauss
- 5. Método de Gauss El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones es una generalización del sistema de reducción que aplicado sucesivas veces permite obtener un sistema escalonado ( triangular) equivalente al inicial. Para resolver un sistema escalonado, se trabaja a partir de la última ecuación. Se resuelve esta ecuación Se sustituye el resultado en la penúltima ecuación Así sucesivamente
- 6. Método de Gauss Para resolver un sistema escalonado, se trabaja a partir de la última ecuación. Se resuelve esta ecuación Se sustituye el resultado en la penúltima ecuación Así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación Así obtenemos la solución del sistema
- 7. Resolución de sistema del problema z + x + y = 6 z + x + y = 6 x − y = 1 x − y = 1 9z + 12 x + 2 5 y = 9 5 E 3 − 9 ⋅ E 1 → 3 x + 1 6 y = 4 1 z + x + y = 6 z + x + y = 6 x − y = 1 x − y = 1 E 3 − 3 ⋅ E 1 → 1 9 y = 3 8 y = 3 8 = 2 19
- 8. Resolución de sistema del problema z + x + y = 6 z + x + y = 6 z + 3 + 2 = 6 x − 2 = 1 x = 1 + 2 = 3 x = 3 y = 2 y = 2 y = 2 z = 6 − 5 = 1 z = 1 x = 3 x = 3 y = 2 y = 2
- 9. Solución del sistema La solución del sistema es (3,2,1).Es decir, la mujer compró 3 Kg de naranjas, 2Kg de plátanos y 1Kg de berenjenas.
- 10. Comprobación 3 + 2 + 1 = 6 3 + 2 + 1 = 6 3 − 2 = 1 3 − 2 = 1 1 . 2 ⋅ 3 + 2 . 5 ⋅ 2 + 0 . 9 ⋅ 1 = 9 . 5 3 .6 + 5 + 0 .9 = 9 .5