Métodos de factorización
- 1. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Factorización En matemáticas es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Existen métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objeto es simplificar una expresión o reescribirla en términos de bloques fundamentales que reciben el nombre de factores, por ejemplo un número en sus números primos o un polinomio en polinomios irreducibles. Factorización por Factor común http://www.youtube.com/watch?v=2Wws2Utly40 Para factorizar, se debe hallar un factor que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común: Máximo factor común de un polinomio si: 1. “a” es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. “n” es el máximo exponente de x en todos los términos del polinomio. Ejemplos: Resuelve los siguientes ejercicios de factorización por factor común. 1. -6y + 12= 2. 10x2 – 25x3 = 3. 6x3 + 12x2 + 18x = 4. 10x6 – 15x5 + 20x4 + 30x2 = 5. 2x3 + 4x4 + 8x5 = 6. 6x - 12 = 7. 24a - 12ab = 8. 14m2 n + 7mn = 9. 8a3 - 6a2 = 10. b4 -b3 = 11. 4x - 8y = 12. 10x - 15x2 = 13. 4m2 -20am = 14. ax + bx + cx = 15. 4a3 bx - 4bx = 16. 3ab + 6ac - 9ad = 17. 6x4 - 30x3 + 2x2 = 18. 14a - 21b + 35 = 19. 20x - 12xy + 4xz = 20. 10x2 y - 15xy2 + 25xy = 21. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 22. m3 n2 p4 + m4 n3 p5 - m6 n4 p4 + m2 n4 p3 = 23. 12m2 n + 24m3 n2 - 36m4 n3 = 24. 10p2 q3 + 14p3 q2 - 18p4 q3 - 16p5 q4 =
- 2. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Factorización por Diferencia de Cuadrados http://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugado: a2 – b2 = (a + b) (a – b) Así, si se desea factorizar una diferencia de cuadrados debe obtenerse primero la raíz cuadrada de cada término de la diferencia y, posteriormente, construir con ellas el par de binomios conjugados. Ejemplo: Factorizar 36x2 – 9y4 Descripción Diferencia de cuadrados Se obtiene la raíz cuadrada de cada término de la diferencia 36x2 6x - 9y4 3y2 Descripción Binomios Conjugados Se construyen los correspondientes binomios conjugados 6x + 3y2 6x - 3y2 Por lo tanto: 36x2 – 9y4 = (6x + 3y2 ) (6x – 3y2 ) Resuelve los ejercicios por factorización de diferencia de cuadrados. 1. 9a2 - 25b2 = 2. 4x2 - 1 = 3. 36m2 n2 - 25 = 4. 169m2 - 196 n2 = 5. 22 36 49 25 9 ba 6. 16x2 - 100 = 7. 9p2 - 144q2 = 8. 49x2 - 64t2 = 9. 121 x2 - 144 k2 = 10. 44 16 9 25 1 yx 11. x4 - y2 = 12. x6 – y6 = 13. 4 2 x x = 14. 4 2 25x x = 15. 2 49 36x = 16. 24 1 49 81 x = 17. 12 b 18. 42 c = 19. 14 2 b = 20. 252 d 21. 2 1 b 22. 164 2 n 23. 6 3625 b 24. 44 121 81 49 9 yx
- 3. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Factorización por Diferencia de Cubos http://www.youtube.com/watch?v=LZE5eWFeAo4 Se llama diferencia de cubos a un binomio de la forma a3 – b3 y se obtiene del producto de un binomio y un trinomio. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 ) El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la diferencia de cubos y el trinomio es muy semejante a un trinomio cuadrado perfecto, pero el término cruzado no es multiplicado por dos. Ejemplo: Factorizar 125x3 – 27y6 Descripción Diferencia de cuadrados Se obtiene la raíz cúbica de cada término de la diferencia 125x3 5x - 27y6 3y2 Descripción Binomio Trinomio Se construyen los correspondientes binomios y trinomio (5x - 3y2 ) (25x2 + 15xy2 + 9y4 ) Por lo tanto: 125x3 – 27y6 = (5x - 3y2 ) (25x2 + 15xy2 + 9y4 ) Factorización por Suma de Cubos http://www.youtube.com/watch?v=DjW6Az8huBI Se llama suma de cubos a un binomio de la forma a3 + b3 la obtención de la factorización de esta suma se apoya en el hecho de que es divisible entre a + b. Si se realza esa división lo que se obtiene es: 𝑎3 + 𝑏3 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 Ejemplo: Factorizar 64x3 + 8y6 Descripción Diferencia de cuadrados Se obtiene la raíz cúbica de cada término de la diferencia 64x3 4x - 8y6 2y2
- 4. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Descripción Binomio Trinomio Se construyen los correspondientes binomios y trinomio (4x + 2y2 ) (16x2 - 8xy2 + 4y4 ) Por lo tanto: 64x3 + 8y6 = (4x + 2y2 ) (16x2 - 8xy2 + 4y4 ) Resuelve los siguientes ejercicios de factorización por suma y diferencia de cubos. Suma de Cubos Diferencia de Cubos 1. 1 + a3 = 2. x3 + y3 = 3. y3 + 1 = 4. a3 + 27= 5. 8x3 + y3 = 6. 64 + a6 = 7. 8a3 + 27b6 = 8. 1 + 343n3 = 9. 512 + 27a3 = 10. 1 + 729x6 = 11. 27m3 + 64n9 = 12. 343x3 + 512y6 = 13. a3 b3 x3 + 1 = 14. x3 + y9 = 15. a6 + 125b12 = 16. x12 + y12 = 17. 8x6 + 729 = 18. a3 + 8b12 = 19. 27m6 + 343n9 = 20. 125x15 + 64y18 = 1. 1 – a3 = 2. m3 – n3 = 3. a3 – 1 = 4. y3 – 1 = 5. 8x3 – 1 = 6. 1 – 8x3 = 7. x3 – 27 = 8. 27a3 – b3 = 9. a3 – 125 = 10. 1 – 216m3 = 11. x6 – b9 = 12. 8x3 – 27y3 = 13. 64a3 – 729 = 14. a3 b3 – x6 = 15. x6 – 8y12 = 16. x3 y6 – 216y9 = 17. 1000x3 – 1 = 18. 1 – 27a3 b3 = 19. 8x9 – 125y3 z6 = 20. 216 – x12 =
- 5. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Factorización forma x2 + bx + c http://www.youtube.com/watch?v=6yIvPIVxQxY Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c deben seguirse los siguientes pasos: Se obtiene la raíz cuadrada del término que se encuentra elevado al cuadrado Se eligen dos número que multiplicados den como resultado el término “c” Los dos números multiplicados, al sumarse deben dar como resultado el término “b” Ejemplo: x2 – 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) Resuelve los ejercicios por factorización de la forma x2 + bx + c. 1. a2 + 7a + 10 = 2. x2 – 5x + 6 = 3. x2 – 3x - 10 = 4. x2 + x – 2 = 5. a2 + 4a + 3 = 6. m2 + 5m – 14 = 7. y2 – 9y + 20 = 8. x2 – x – 6 = 9. x2 – 9x + 8 = 10. c2 + 5c – 24 = 11. x2 – 3x + 2 = 12. a2 + 7a + 6 = 13. y2 – 4y + 3 = 14. n2 – 8n + 12 = 15. x2 + 10x + 21 = 16. a2 + 7a – 18 = 17. m2 – 12m + 11 = 18. x2 – 7x + 30 = 19. n2 + 6n -16 = 20. a2 – 21a + 20 = 21. y2 + y – 30 = 22. a2 -11a + 28 = 23. n2 – 6n – 40 = 24. x2 – 5x – 36 = 25. a2 – 2a - 35 = 26. x2 + 14x + 13 = 27. a2 – 14a + 33 = 28. m2 + 13m – 30 = 29. c2 – 13c – 14 = 30. x2 + 15x + 56 = 31. x2 – 15x + 54 = 32. a2 + 7a – 60 = 33. x2 – 17x - 60 = 34. x2 + 8x – 180 = 35. m2 – 20m – 300 = 36. x2 + x – 132 = 37. m2 – 2m – 168 = 38. c2 + 24c +135 = 39. m2 -41m + 400 = 40. a2 + a – 380 = 41. x2 + 12x – 364 = 42. a2 + 42a + 432 = 43. m2 – 30m - 675 = 44. y2 + 50y + 336 = 45. x2 – 2x – 528 = 46. n2 + 43n + 432 = 47. c2 – 4c – 320 = 48. m2 – 8m – 1008 =
- 6. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Factorización forma ax2 + bx + c http://www.youtube.com/watch?v=OWjgHm-rzgE Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación: Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en el término “a ” de la manera . Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término la que sería “ax”. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior. Ejemplo: (2x2 + 11x + 5)(2) = 4x2 + 11x(2) + 10 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟐 (𝟏) =(x + 5)(2x + 1) Resuelve los siguientes ejercicios por factorización de la forma ax2 + bx + c. 1. 2x2 + 3x – 2 = 2. 3x2 – 5x – 2 = 3. 6x2 + 7x + 2 = 4. 5x2 + 13x – 6 = 5. 6x2 – 5x – 6 = 6. 12x2 – x – 6 = 7. 4a2 + 15a + 9 = 8. 10a2 – 11a + 3 = 9. 20y2 + y – 1 = 10. 2a2 + 5a + 2 = 11. 9a2 + 10a + 1 = 12. 15m2 + m – 6 = 13. 9x2 + 37x + 4 = 14. 5x2 + 11x + 2 = 15. 4x2 + 7x + 3 = 16. 2b2 + 7b + 5 = 17. 6x2 + 7x - 5 = 18. 5c2 + 11cd + 2d2 = 19. 3m2 - 7m - 20 = 20. 5x2 + 3xy - 2y2 = 21. 6a2 - 5a - 21 = 22. 2a2 - 13a + 15 = 23. 3a2 + 10ab + 7b2 = 24. 4h2 + 5h + 1 = 25. 7x2 - 15x + 2 = 26. 2x2 + 5x - 12 = 27. 6a2 + 23ab - 4b2 = 28. 8x2 - 14x + 3 = 29. 7p2 + 13p - 2 = 30. 2x2 - 17xy + 15y2 =
- 7. ÁLGEBRA I BLOQUE 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Escuela Preparatoria Regional del Rincón LIA. Miriam Gálmez Plascencia Factorización por agrupación http://www.youtube.com/watch?v=kJCPgBwvXv0 Se realiza por medio de factor común, solo que primero deben asociarse en término por grupos que sean comunes y posteriormente resolverlo por secciones para finalizar uniéndoles en pares de binomios. Ejemplo: = x2 (x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x2 + 2) Resuelve los siguientes ejercicios de factorización por agrupación 1. a2 + ab + ax + bx = 2. ab - 2a - 5b + 10 = 3. am - bm + an - bn = 4. 3x2 - 3bx + xy - by = 5. 3a - b2 + 2b2 x - 6ax = 6. ac - a - bc + b + c2 - c = 7. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = 8. ax - ay - bx + by - cx + cy = 9. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 10. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z = 11. ab + 3a + 2b + 6 = 12. 2ab + 2a - b - 1 = 13. 3x3 - 9ax2 - x + 3a = 14. 6ab + 4a - 15b - 10 = 15. a3 + a2 + a + 1 = 16. ax + x + bx + b = 17. 2a + ax – 2 + x = 18. ap + bp + aq + bq = 19. 2am – 4an – bm + 2bn = 20. x2 + xy + xz + yz =