Operadores vectoriales
- 1. OPERADORES VECTORIALES EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS Coordenadas cartesianas dzdydxddzdydxd =++= τ,ˆˆˆ zyxl Gradiente: zyx ˆˆˆ z t y t x t t ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ . Divergencia: z v y v x v zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ v Rotor: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =×∇ zyx xyzxyz vvv zyxy v x v x v z v z v y v zyx zyxv ˆˆˆ detˆˆˆ Laplaciano: 2 2 2 2 2 2 2 z t y t x t t ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ Coordenadas esféricas ϕθθτϕθθ dddrrddrrddrd sin,ˆsinˆˆ 2 =++= φθrl Gradiente: φθr ˆ sin 1ˆ1 ˆ ϕθθ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ t r t rr t t Divergencia: ( ) ( ) ϕθ θ θθ ϕ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ v r v r vr rr r sin 1 sin sin 11 2 2 v Rotor: ( ) ( ) ( ) φθrv ˆ 1ˆ sin 11 ˆsin sin 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =×∇ θϕθϕ θ θθ θϕ θ ϕ rr v rv rr rv r v r v v r Laplaciano: 2 2 222 2 2 2 sin 1 sin sin 11 ϕθθ θ θθ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =∇ t r t rr t r rr t Coordenadas cilíndricas dzddddzddd ϕρρτϕρρ =++= zφρl ˆˆˆ Gradiente: zφρ ˆˆ 1 ˆ z ttt t ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ϕρρ Divergencia: ( ) z vv v z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ ϕρ ρ ρρ ϕ ρ 11 v Rotor: ( ) zφρv ˆ 1 ˆˆ 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =×∇ ϕ ρ ρρρϕρ ρ ϕ ρϕ v v v z v z vv zz Laplaciano: 2 2 2 2 2 2 11 z ttt t ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =∇ ϕρρ ρ ρρ
- 2. IDENTIDADES VECTORIALES gf , son campos escalares, CBA ,, son campos vectoriales Productos triples (1) ( ) ( ) ( )BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ (2) ( ) ( ) ( )BACCABCBA ⋅−⋅=×× Derivación de productos (3) ( ) ( ) ( )fggffg ∇+∇=∇ (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABBAABBABA ∇⋅+∇⋅+×∇×+×∇×=⋅∇ (5) ( ) ( ) ( )fff ∇⋅+⋅∇=⋅∇ AAA (6) ( ) ( ) ( )BAABBA ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ (7) ( ) ( ) ( )fff ∇×−×∇=×∇ AAA (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABBABAABBA ⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅=××∇ Segundas derivadas (9) ( ) 0=×∇⋅∇ A (10) ( ) 0=∇×∇ f (11) ( ) ( ) AAA 2 ∇−⋅∇∇=×∇×∇ TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema del gradiente: ( ) ( ) ( )abl b a ffdf −=⋅∇∫ Teorema de la divergencia o de Gauss: ( ) ∫∫ ⋅=⋅∇ aAA ddτ Teorema del rotor o de Stokes: ( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇ lAaA dd