Optimizacion presentacion 2
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1) El documento describe el método de LaGrange para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 2) Incluye ejemplos de aplicar el método para encontrar valores de X e Y que minimizan el costo total de cortar y decorar un espejo rectangular. 3) Explica cómo usar las condiciones de Kuhn-Tucker para resolver problemas de optimización con restricciones.
Optimizacion presentacion 2
- 1. República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Porlamar Manuel Mier y Teran C.I 19.318.690
- 2. Método de LaGrange Y= X² + 3 Tabulación X=3. X Y Solución 0 3 Y= (0)² +3= 3 1 4 Y= (1) ² +3= 4 4 19 Y= (4) ² + 3= 19 6 39 Y= (6) ² + 3= 39 Introduciendo diferentes valores de X en la ecuación se obtuvo los valores respectivos en Y.
- 3. F0(X) = (X-1) (X-4) (X-6) (0-1) (0-4) (0-6) F1(X) = (X-0) (X-4) (X-6) (1-0) (1-4) (1-6) F2(X) = (X-0) (X-1) (X-6) (4-0) (4-1) (4-6) F3(X) = (X-0) (X-1) (X-4) (6-0) (6-1) (6-4) = = = = - 0.25 0.6 0.75 -0.1 Utilizando las formulas y evaluando con los diferentes valores de X, obtenemos los valores de 0,1,2 y 3 como se muestra en este caso.
- 4. P(X)= 3² (X-1) (X-4) (X-6)+4² (X-0) (X-4) (X-6)+ 19² (X-0) (X-1) (X-6) + 39² (X-0) (X-1) (X-4) (0-1) (0-4) (0-6) (1-0) (1-4) (1-6) (4-0) (4-1) (4-6) (6-0) (6-1) (6-4) P(x) = 12. Se realiza el polinomio P(X=3) con la formula mostrada, en donde se multiplican los valores de Y con el valor obtenido de cada función evaluada, obteniendo el resultado final del polinomio.
- 5. Multiplicadores de LaGrange Se requiere cortar y decorar un espejo rectangular de área 40dm². Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decímetro y de los lados verticales cuestan 25 centavos por decímetro ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total? A= 40dm² 16c/dm Espejo Información: Y 25c/dm X X>0 Y>0
- 6. Función Objetivo: C=Costo C= (2X)x16 + (2Y)x25 Costo decoración Vert. Costo decoración Horz. C= 32X+50Y F( x, y) = 32X+50Y Restricciones: X.Y= 40 x.y-40=0 G(x,y)= X.Y-40
- 7. ▼F = ʎ. ▼G (Fx,Fy)= ʎ(Gx,Gy) Fx= ʎGx Fy= ʎGy ʎ= Fx ʎ= Fy Gx Gy Fx = Fy Gx Gy Derivadas Parciales: F( x, y) = 32X+50Y G(x,y)= X.Y-40 Fx= 32 Gx=y Fy= 50 Gy=x 32 = 50 Y X 32X=50Y ÷2 (cada lado de la igualdad)= 16X=25Y
- 8. 1) 16X=25Y R) X.Y= 40 Despejamos X en la 1) X=25Y 16 Seria nuestra función numero 2. Ahora sustituimos 2 en la función R. 25Y . Y=40 16 25y² =40 16 y² =40x16 Simplificando con quinta quedaría= y² = 8x16= 128= 25 5 5 ____ Y= √ 128 5 Y= 5.06 dm
- 9. Ahora se encontrara X por medio de la función numero 2 sustituyendo a Y. X= 25x(5.06) 16 X= 7.91 dm. Seguidamente el punto X y el punto Y forman parte del punto critico de la función objetivo. Punto Critico: ( 7.91 ; 5.06) Comprobación: xy=40 X Y C=32X + 50Y 7.91 5.06 =32(7.91)+50(5.06)= 506.12 10 4 =32(10)+50(4)= 520 20 2 =32(20)+50(2) = 740 Primeramente se calcula los valores obtenidos en X y Y sustituyendo en la función objetivo, luego ponemos valores arbitrarios que cumplan con la restricción xy=40. es decir 10x4=40 la cumple, y 20x2=40 la cumple. Valor min. Respuesta: X=7.91dm Y=5.06 dm
- 10. Matriz Jacobiana Ъ =Derivada Parcial. 1) Escriba la Matriz Jacobiana de la función: Ƒ(x,y) = (x²+3y², 5x³+2y^6) ,donde F1= x²+3y² y F2= 5x³+2y^6. J Ƒ(x,y) = Ъf1 Ъf1 Ъx Ъy Ъf2 Ъf2 Ъx Ъy J Ƒ(x,y) = 2x 6y 15x² 12y^5 2x2
- 11. Determinante Jacobiano 1) El determinante de jacobiano de la función F: R³ R³ definida como: Ƒ(x1, x2,x3) = (5x2, 4x² -2sin(x2x3), x2x3) 1 J(x1, x2,x3) = 0 5 0 8x1 -2x3cos(x2x3) -2x2cos(x2x3) 0 x3 x2 = -5x 8x1 -2x2cos(x2x3) 0 x2 = -40x1x2.
- 12. Condición Kuhn Tucker Encuentre los valores mínimo y máximo de la función Ƒ(x1, x2)= 3-x1-x2 sujeto a las restricciones 0 ≤ x1, 0 ≤ x2 y 2x1 + x2 ≤2. Primero cambiar las restricciones a la forma g ≤0. 0 ≤ x1 g1= - x1 ≤0 0 ≤ x2 g2= - x2 ≤0 X1 + x2 ≤2 g3= 2 x1 + x2 -2 ≤0 Luego se resuelve el problema de minimización primeramente: m Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1+2 ʎ1 -ʎ2 = 0 ЪX1 i=1 ЪX1 m Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1 + ʎ1- ʎ3 = 0 ЪX2 i=1 ЪX1
- 13. Condición de Holgura Complementaria ʎ1G1 = ʎ1 (2x1 + x2 – 2) = 0 ʎ2G2 = -ʎ2x1 = 0 ʎ3G3 = -ʎ3x2 =0 X1 X2 ʎ1 ʎ2 ʎ3 G1 G2 G3 F 0 0 0 -1 -1 -2 0 0 3 1 0 1/2 0 -1/2 0 -1 0 2 0 2 1 1 0 0 0 -2 1
- 14. Para determinar el máximo las condiciones quedan de la siguiente manera: m - Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1+2 ʎ1 -ʎ2 = 0 ЪX1 i=1 ЪX1 m - Ъf(Xo) + ∑ ʎi ЪGi(Xo) = -1 + ʎ1- ʎ3 = 0 ЪX2 i=1 ЪX1 Condición de Holgura complementaria: ʎ1G1 = ʎ1 (2x1 + x2 – 2) = 0 ʎ2G2 = -ʎ2x1 = 0 ʎ3G3 = -ʎ3x2 =0 X1 X2 ʎ1 ʎ2 ʎ3 G1 G2 G3 F 0 0 0 1 1 -2 0 0 3 1 0 -1/2 0 1/2 0 -1 0 2 0 2 -1 -1 0 0 0 -2 1
- 15. Observamos que las tablas de minimización y de maximización son idénticas salvo que los valores de los multiplicadores están cambiados de signo. Por tanto, la estrategia conveniente para optimizar la función sujeta a restricciones de desigualdad por el método de las condiciones de Kuhn Tucker será: 1) Plantear el problema como si se tratara solo de minimización y resolver el sistema de ecuaciones correspondientes. 2) Eliminar aquellos puntos encontrados que no satisfacen las restricciones G1 ≤0 . 3) Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez multiplicadores positivos y negativos. 4) Para minimización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no negativos, aquellos que tienen la menor evaluación de función objetivo. 5) Para maximización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no positivos, aquellos que tienen la mayor evaluación de la función objetivo.