Pia de tecnicas
- 1. 1 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Contaduría Pública y Admiración Producto Integrador De Aprendizaje Técnicas Cuantitativas 1 Realidad Aumentada “Algebra Booleana “ Equipo #7 García Pardo Alan Israel Mat: 1663656 Eivet Cuéllar David Alejandro Mat: 1660790 López Martínez Luis Roberto Mat: 1686566 Grupo: 12 ME. María Teresa Tovar Morales
- 2. 2 Índice Introducción……………………………………………………………………… 3 Antecedentes…………………………………………………………………….4 a 8 Desarrollo de aplicaciones……………………………………………………. 9 a 13 Conclusiones…………………………………………………………………… 14 Referencias bibliografías……………………………………………………….15
- 3. 3 Introducción En este trabajo explicaremos a fondo sobre el tema de Algebra Booleana sobre en qué consiste, sus diferentes propiedades de los valores booleanos. También hablamos acerca de los operadores lógicos como AND (Multiplicación lógica), ORD (Suma lógica), NOT (Negación) que más adelante explicaremos como identificarlos, sus símbolos y como usarlos correctamente para los problemas que se vean en el futuro. Que estas mismas son utilizadas como las compuertas lógicas que son AND, ORD, NOT y también están NAND, NOR y XOR que son los operadores lógicos compuestos, un dato importante de las compuertas es que todos los símbolos que tienen las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha. Después mostramos como se puede aplicar la Algebra Booleana en diferentes áreas como en la de computación, ingeniería, electrónica o cualquier otra área donde se relacione sobre este tema. Aparte de que investigamos de las diferentes maneras de simplificar las expresiones booleanas usando los teoremas del algebra de Boole y los mapas de Karnaugh. Esperemos haberlo explicado correctamente todo, que la información investigada sea útil y que se entienda bien los puntos requeridos para este trabajo.
- 4. 4 Antecedentes Álgebra de Boole también llamada álgebra booleana, en informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Las expresiones booleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operados de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes: Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como mfn<10; Funciones booleanas: tal como p (v24), que regresa un valor de verdad (estos se explican bajo "Funciones booleanas"). Las expresiones relacionales permiten determinar si una relación dada se verifica entre dos valores. La forma general de una expresión relacional es: Expresión-1 operador-de-relación expresión-2 Dónde: Expresión-1 es una expresión numérica o de cadena Operador-de-relación es uno de los siguientes: = Igual No igual (diferente de) < Menor que <= Menor o igual que Mayor que >= Mayor o igual que : Contiene (puede ser usado sólo en expresiones de cadena)
- 5. 5 Una expresión booleana es una sucesión de símbolos que incluye 0,1, algunas variables y las operaciones booleanas. Para ser más precisos definamos una expresión booleana en n variable x1, x2..., xn recursivamente como: - Los símbolos 0 y 1 y x1, x2,..., xn son expresiones booleanas en x1, x2,... xn. - Si E1 y E2 son expresiones booleanas en x1, x2,... xn también lo son E1 + E2; E1 E2 y E1í. Las expresiones booleanas 0 y 1 pueden verse como expresiones en cualquier número de variables. El número de variables de una expresión booleana es el número de letras distintas que aparezcan en la expresión, sin tener en cuenta si están o no complementadas. Propiedades de las expresiones booleanas a) Formadas con variables booleanas b) Valores de 1 (verdadero) ó 0 (falso) c) Puede tener constantes booleanas (1 ó 0) d) Puede tener operadores lógicos: AND (&, ^), OR (V) y NOT (¬, ‘ , -, ~) • Multiplicación lógica: AND xy = x ∙ y = (x)(y) • Suma lógica: OR x + y • Complemento (negación): NOT x’ e) Se puede obtener el resultado lógico de una expresión booleana aplicando las tablas de verdad (valores de certeza) f) Se puede aplicar la Ley de Morgan Las expresiones booleanas poseen las siguientes propiedades: 1.-Están compuestas de literales (A, B, C, ...) y cada una de e§ representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F = A'B,DAB'CD. 2.-El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, í= falso o verdadero. 3.-Además de literales, en la expresión booleana se puede tener valor de 0 o 1. Por ejemplo: F = A'BDl + AB'CD + 0.
- 6. 6 Todas las compuertas lógicas vistas hasta el momento poseen una representación normalizada, la cual se muestra en la figura siguiente: Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha. Estas puertas las podemos encontrar empaquetadas dentro de distintos circuitos integrados. Por ejemplo, para la familia lógica TTL tenemos las siguientes referencias: 54/74 (LS) 00 Cuádruple puerta NAND de dos entradas 54/74 (LS) 02 Cuádruple puerta NOR de dos entradas 54/74 (LS) 04 Séxtuple puerta NOT 54/74 (LS) 08 Cuádruple puerta AND de dos entradas 54/74 (LS) 10 Triple puerta NAND de tres entradas 54/74 (LS) 11 Triple puerta AND de tres entradas
- 7. 7 54/74 (LS) 20 Doble puerta NAND de cuatro entradas 54/74 (LS) 21 Doble puerta AND de cuatro entradas 54/74 (LS) 27 Triple puerta NOR de tres entradas 54/74 (LS) 30 Puerta NAND de ocho entradas 54/74 (LS) 32 Cuádruple puerta OR de dos entradas Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las NAND. Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas puertas. - Mediante teoremas del algebra de Boole Los teoremas que se utilizan se derivan de los postulados del algebra booleana y permiten simplificar las expresiones lógicas o transformarlas en otras que son equivalentes. Una expresión simplificada se puede implementar con menos equipo y su circuito es más claro que el que corresponde a la expresión no simplificada. Para obtener el ''dual'' de un teorema se convierte cada 0 en 1 y cada 1 en 0 los signos (+) se convierten en paréntesis, o simplemente no se ponen, y los puntos en signos más. Además de esto, las variables no se complementan ya que al hacerlo se obtendría el complemento en lugar del dual. - Mediante Mapas de Karnaugh Creados en 1950 por Maurice Karnaugh (físico y matemático de los Laboratorios Bell). • Evita hacer cálculos (aprovecha la capacidad humana del reconocimiento de patrones). • Son representaciones bidimensionales de la tabla de verdad de la función a simplificar
- 8. 8 • Un mapa es un diagrama compuesto de celdas, donde cada una representa un mini término • La cantidad de celdas del mapa es 2n; donde n representa la cantidad de variables • Se recomiendan para expresiones de hasta 6 variables • Generan expresiones en una de las formas estándar: suma de productos ó producto de sumas
- 9. 9 Desarrollo de aplicaciones - Área de la electrónica Álgebra de Boole también llamada álgebra booleana, en informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente. Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. El 0 lógico El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0". El 1 lógico En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico). Ejemplos El álgebra de Boole más importante tiene sólo dos elementos, 0 y 1, y se define por las reglas 0 1 0 1 ---- ---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 1 1 | 0 1 Tiene aplicaciones en la lógica, donde 0 se interpreta como "falso", 1 como "verdadero", como "y", como "o", y ¬ es "no". Las expresiones que involucran variables y operadores booleanos representan proposiciones, y se puede demostrar que dos expresiones son equivalentes usando los axiomas citados anteriormente si y sólo si las correspondientes proposiciones son lógicamente equivalentes. El álgebra de Boole de dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería electrónica; aquí 0 y 1 representan los dos posibles estados en circuitos
- 10. 10 digitales con respecto al voltaje: 0=no conduce (circuito abierto); 1=conduce (circuito cerrado). El álgebra de Boole de dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería electrónica; aquí 0 y 1 representan los dos posibles estados en circuitos digitales con respecto al voltaje: 0=no conduce (circuito abierto); 1=conduce (circuito cerrado). Los circuitos se describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de estas expresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el mismo comportamiento de entrada y salida. Además, cada posible comportamiento de entrada-salida puede ser expresado mediante una expresión booleana. El álgebra de Boole de dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras de Boole, porque una ecuación que implica varias variables es cierta en todas las álgebras booleanas si y sólo si es cierta en un álgebra booleana de dos elementos (lo cual siempre puede ser verificado utilizando el algoritmo trivial de fuerza bruta). Esto puede aplicarse para demostrar que las siguientes leyes (Teoremas del consenso) son válidos en todas las álgebras booleanas: (a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c) (a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c) El conjunto de partes de un conjunto dado S forma el álgebra de Boole con las dos operaciones = unión and = intersección. El elemento mínimo 0 es el conjunto vacío y el elemento máximo 1 es el propio conjunto S. •El conjunto formado por todos los subconjuntos de S que son finitos o cofinitos es el álgebra de Boole. •Para todo número natural n, el conjunto de todos sus divisores positivos forma una retícula distributiva si definimos a ≤ b como a divide a b. Esta retícula es el álgebra de Boole si y sólo si n es libre de cuadrados. El elemento mínimo 0 de este álgebra es el número natural 1; el elemento máximo 1 de este álgebra booleana 1 es el número natural n. •Otros ejemplos del álgebra de Boole surgen de los espacios topológicos: si X es un espacio topológico, entonces la colección de todos los sub espacios de X que son tanto abiertos como cerrados forman un álgebra booleana con las operaciones = unión y = intersección. •Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como A = { e en R : e² = e y ex = xe para todo x en R } entonces el conjunto A se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef.
- 11. 11 •Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como A = { e en R : e² = e y ex = xe para todo x en R } entonces el conjunto A se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef - Área de la computación La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de De Morgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión: A OR B A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND
- 12. 12 Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND. Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste hecho, cada salida representa una función booleana diferente. Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000. En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada para los valores numéricos. 0 a b c d e f 1 b c 2 a b d e g 3 a b c d e g 4 b c f g 5 a c d f g 6 c d e f g 7 a b c 8 a b c d e f g
- 13. 13 9 a b c f g Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más. Circuitos Secuenciales Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits, esto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir un microprocesador completo.
- 14. 14 Conclusiones Esto fue la información y las aplicaciones que investigamos aunque fue complicado al principio porque es un tema que no habíamos visto en la clase y no sabíamos si nuestra investigación era correcta o por lo menos si íbamos por un buen camino ya después nos dimos cuenta que nuestra información era correcta para así poder continuar con el trabajo. Gracias a esto pudimos entender más sobre este tema y al momento de verlo en clase ya sabíamos la mayoría de las cosas solo nos queda practicar más lo practico pero en general este tema nos gustó investigar y hablar sobre el ojala hayamos abarcado bien para que quedara claro lo que es el Algebra Booleana, sus características, los métodos y operadores que utiliza, etc.