Plano numérico
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Este documento describe las ecuaciones que definen varias figuras geométricas en un plano cartesiano, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Explica las fórmulas para las ecuaciones paramétricas, continuas, vectoriales y funcionales de una recta, así como las ecuaciones para circunferencias centradas en diferentes puntos. También cubre las ecuaciones ordinarias, generales y de parámetros para parábolas, elipses y hipérbolas, junto con una
Plano numérico
- 2. Es una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente en los casos bidimensionales. La finalidad es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. También sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. ¿QUÉ ES?
- 3. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Para calcular el punto medio se usa la siguiente formula: DISTANCIA PUNTO MEDIO Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Para calcular la distancia se puede usar la siguiente formula:
- 4. ECUACIONES ECUACIONES PARAMÉTRICAS: Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta. ECUACIONES DE LA RECTA ECUACION VECTORIAL: Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector directriz es . Si tomamos un punto genérico de la recta P(x,y) se tiene: que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo λ un parámetro, tal que al ir tomando los distintos valores de R nos va dando los distintos puntos P de la recta. ECUACIÓN CONTINUA: Despejando λ en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación continua de la recta
- 5. ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: Dados dos puntos del plano, la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es: ECUACIÓN SEGMENTARIA: (siendo a el punto de corte con el eje X y b el punto de corte con el eje Y) ECUACIÓN FUNCIONAL: Siendo m el valor de tg α (también llamada "pendiente" de la recta), b el punto de corte del eje y. ECUACIÓN CARTESIANA:
- 6. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CENTRADA EN EL ORIGEN: Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas: ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CENTRADA EN OTRO PUNTO: Para una circunferencia de radio R centrada en un punto P(a,b): ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA CIRCUNFERENCIA: Para una circunferencia de radio r centrada en el origen: En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto distinto del origen, digamos en P(a,b), las ecuaciones paramétricas quedan:
- 7. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA: Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es: Donde el centro o vértice de la parábola es el punto La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de manera vertical, Análogamente, para definir una parábola orientada de manera horizontal, debemos usar la siguiente variante de la ecuación ordinaria de la parábola: ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA: Una parábola también puede ser oblicua o inclinada. Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente: La ecuación anterior se trata de una parábola si, y solo si, los coeficientes A y B No son simultáneamente nulos y, además, se cumple la siguiente condición:
- 8. ECUACIÓNES DE LA ELIPSE ECUACIÓN DE LA ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN: Sea una elipse centrada en O, y cuyos semiejes sean a, b. Esta elipse tiene por ecuación en coordenadas cartesianas: ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA ELIPSE: Si el eje focal es horizontal la ecuación ordinaria es: Si el eje focal es vertical la ecuación ordinaria es: EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE Evidentemente, no todas las elipses son iguales, sino que unas son más alargadas y otras más achatadas. La formula para determinarlo es: Donde c es la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos y a la longitud del semieje principal.
- 9. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA: -Donde: X0 y Y0 son las coordenadas del centro de la hipérbola: O(X0, Y0) -a es la longitud del semieje mayor de la hipérbola. -b es la longitud del semieje menor de la hipérbola. Con está ecuación se pueden describir hipérbolas cuyo eje focal es horizontal. Pero si estamos trabajando con un eje focal vertical. el signo negativo cambia de la variable y a la variable x: ECUACIÓN CANÓNICA O REDUCIDA DE LA HIPÉRBOLA Igual que antes, si el eje focal fuese vertical en vez de horizontal, la variable negada sería la x: ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
- 10. CÓNICAS Las llamadas curvas cónicas son cuatro: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. Estas curvas se obtienen al cortar un cono con un plano, según la inclinación del plano obtendremos una u otra cónica según muestran las ilustraciones siguientes. Circunferencia Cuando cortamos el cono con un plano horizontal Parábola Cuando cortamos el cono con un plano paralelo a la generatriz Hipérbola Cuando cortamos el cono con un plano de inclinación mayor que la generatriz Elipse Cuando cortamos el cono con un plano de inclinación menor que la generatriz