![3.-Escribe las siguientes expresiones con notación científica y sin utilizar prefijos :
15nC=_______C 3MW=_______W 4.6km=______m 56pF=______F
4.-Expresa los siguientes valores utilizando los prefijos de la tabla 2:
4·10-12C=_______ 0,003 m=______ 7·10-6F=________
5.- En las siguientes ecuaciones x representa una distancia, t un tiempo y v una
velocidad. Realizar el análisis de dimensiones de cada ecuación y determinar la
unidades de cada constante para que las expresiones sean dimensionalmente correctas
así como sus unidades en el sistema internacional de medidas.
a) x=C1 sen(C2 t2) [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___
b) x=½C1 t2 [CI]=_______; unid(C1)=______;
c) v=C1 e-C2 t [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___
d) v=0.5 C1 x [CI]=_______; unid(C1)=______;
B) ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA
1.-En la siguiente tabla se muestran una serie de medidas obtenidas en el laboratorio.
Expresar cada una de ellas correctamente indicando el número de cifras significativas.
Medida obtenida Expresión correcta Nº de cifras sig. de la medida
5698 0.56
0.459 0.063
186342 3620.3
32.92 0.096
0.035 0.001
258 32
693.2 0.003
1.69853 0.0388
548 120
0.003659 0.000064](https://image.slidesharecdn.com/practica1aula-191105220221/85/Practica1-aula-10-320.jpg)
Practica1 aula
- 1. PRÁCTICA I: Magnitudes Físicas. Unidades y dimensiones. Estimación de valores e Incertidumbres: Determinación de la resistencia interna de una batería. Ángeles Marrero Díaz y Alicia Tejera Cruz Alumnos Objetivos: Conocer el concepto de magnitud física, los sistemas de unidades y la ecuación de dimensiones. Saber realizar conversión de unidades. Conocer la diferencia entre precisión y exactitud. Identificar el número de cifras significativas de un valor, conocer las reglas del redondeo y expresar adecuadamente un número según el valor de la incertidumbre asociada al mismo. Aplicar reglas sencillas para estimar el número de cifras significativas en los resultados de operaciones sencillas. Estimación de la incertidumbre en magnitudes determinadas indirectamente. Aplicar estos conceptos en un ejercicio donde se determina la fuerza electromotriz y la resistencia interna de una batería. Introducción teórica 1.- MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES Y DIMENSIONES De todas las cualidades que pueden observarse, se denominan magnitudes físicas a aquellas que se pueden medir objetivamente, utilizando un valor patrón de la misma magnitud para indicar su valor. Por ejemplo, la belleza no sería una magnitud física ya que no se le puede asignar un valor objetivo. Sin embargo, la longitud sería una magnitud física ya que cualquier observador estaría de acuerdo con otro en que determinado cuerpo es más largo que otro.
- 2. Unidades Para determinar el valor de una magnitud física debe compararse con cierto valor unitario de la misma. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos puntos debe utilizarse una medida patrón, supongamos el metro, de forma que si la distancia entre estos dos puntos es 5 veces el valor del metros decimos que están distanciados 5 metros. Por tanto, es indispensable expresar cualquier magnitud física como su valor seguido de las unidades adecuadas ( d=5m). Muchas de las magnitudes físicas pueden expresarse en función de otras magnitudes, a las que se denominan magnitudes fundamentales. Normalmente se toman como magnitudes fundamentales: la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, la cantidad de sustancia, la cantidad de corriente y la intensidad luminosa. La asignación de las unidades patrón para cada una de las magnitudes fundamentales da origen a los diferentes sistemas de unidades. Nosotros utilizaremos el Sistema Internacional de Unidades, SI, que toma como unidades fundamentales las que aparecen en la tabla 1. En ocasiones la magnitud a medir es mucho mayor o mucho menor que su unidad patrón y entonces se utilizan prefijos para indicar la unidad. Los más comunes aparecen en la Tabla 2 Magnitud Unidad Símbolo longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s temperatura Kelvin K cantidad de sustancia mol mol corriente eléctrica Amperio A intensidad luminosa candela cd Tabla 1: Unidades fundamentales, SI Múltiplo Prefijo Símbolo 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 102 hecto h 101 deca da 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro 10-9 nano n 10-12 pico p Tabla 2: Prefijos para potencias de 10
- 3. Aunque las unidades fundamentales son las que aparecen en la Tabla 1, hay algunas magnitudes cuyas unidades tienen nombre propio, aún cuando se puedan expresar en función de estas magnitudes fundamentales. Por ejemplo, la unidad de fuerza en el SI es el Newton (N), cuya relación con las unidades de la tabla 1 es: 1N=1kg m s-2. Operar con magnitudes físicas. Conversión de unidades Cuando se realizan operaciones algebraicas con magnitudes físicas, estas operaciones afectan tanto al valor de la magnitud como a sus unidades, y se opera con las unidades como con cualquier otra magnitud algebraica. Por ejemplo, sea un rectángulo de 5 cm de largo por 2 cm de ancho. Su superficie será 2 cm10cm2cm5ALS , de donde operando con los valores y sus unidades se obtiene una nueva magnitud física, la superficie, con sus unidades correspondientes cm2. Esta propiedad se aplica para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo, sabemos que un coche circula a 80 km/h y queremos expresar su velocidad en m/s. Como 1 km son 103 m y 1 h son 3600 s, se verifica que: s m 2.22 s3600 m10 80 h km 80v 3 El caso inverso sería un coche que circula a 30 m/s del que se quiere conocer su velocidad en km/h. En este caso, h km 108 h km 10360030 h km10 30 s m 30v h 3600 1 s1s3600h1 km10km 10 1 m1m10km1 3 3600 1 3 3 3 3 Dimensiones. Ecuación de Dimensiones Encontrar las dimensiones de una magnitud es expresar dicha magnitud en función de las magnitudes fundamentales. La dimensión de las magnitudes fundamentales es: Magnitud Dimensión longitud L masa M tiempo T
- 4. La relación entre magnitud no fundamental y las magnitudes fundamentales es la denominada ecuación de dimensiones. Para obtener la ecuación de dimensiones de cierta magnitud deben seguir ciertos pasos. 1. Las magnitudes de las que se quiere obtener su dimensión se escriben entre corchetes. 2. En la expresión final de la ecuación de dimensiones sólo pueden aparecer dimensiones de magnitudes fundamentales. 3. Los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son adimensionales. 4. Los ángulos y las constantes matemáticas son adimensionales. 5. Las magnitudes adimensionales tienen dimensión 1. 6. Las dimensiones de las constantes físicas se pueden deducir a partir de las unidades en las que se expresan. Así, la ecuación de dimensiones de la fuerza es 2 MLTamamF . Por otro lado, supongamos que queremos conocer las dimensiones de la constante de amortiguamiento, , que aparece en la expresión de la amplitud del movimiento amortiguado: t oeAA . Como el exponente ha de ser adimensional: 1 T Ttt 1t La ecuación de dimensiones es muy útil porque puede ayudar a identificar relaciones incorrectas entre magnitudes físicas, ya que las relaciones han de ser dimensionalmente coherentes, esto es: 1. A ambos lados de una igualdad las dimensiones deben ser las mismas. 2. Todos los sumandos de una expresión han de tener las mismas dimensiones. 2.- ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA En la Física, y en la Ciencias experimentales en general, es imprescindible el proceso de medición. Desde el momento que se determina experimentalmente el valor de una magnitud, existe cierta incertidumbre asociada a la medida. Esta incertidumbre depende tanto de la habilidad del experimentador como de la precisión de los aparatos
- 5. utilizados y es fundamental su estimación para tener una idea de la bondad de la medida. Ninguna medición es exacta y cuando se determina experimentalmente el valor de una magnitud, su expresión debe contener: el valor obtenido, la precisión estimada de la medida y las unidades en las que está expresada. Precisión y exactitud Hay que distinguir entre precisión y exactitud. Un ejemplo habitual para diferenciar estos concepto es el de un jugador da dardos. Cuando todos sus lanzamientos están muy cercanos entre sí, pero alejados del centro de la diana, se diría que tiene buena precisión, pero poca exactitud. Cuando sus lanzamientos están separados entre sí y además alejados del centro de la diana, tiene poca precisión y poca exactitud. Ahora bien, si sus lanzamientos están cercanos entre sí y además en el centro de la diana, tiene buena precisión y buena exactitud. Es decir, con la precisión obtenemos al repetir las medidas valores muy parecidos, esto no indica que sea el valor correcto (por ejemplo porque el aparato esté mal calibrado). Ya hemos indicado que ninguna medida va a ser exacta, es decir, no podremos dar el valor verdadero de la medida, daremos un valor con un rango de incertidumbre y el valor verdadero debe estar dentro de ese intervalo si nuestro experimento se ha desarrollado cuidadosamente. Si pretendemos medir la longitud de una tabla, podremos ser más precisos con una regla de milímetros que con una de centímetros. Con la primera podríamos decir que la longitud de la tabla está entre 52 cm y 53 cm, estimando por la cercanía a 52, una longitud de 52.2 cm. Con la segunda puedes afinar más la medida y decir que está entre 52.2 y 52.3, estimando una longitud de 52.25 cm. En ambas lecturas, se añade a los dígitos conocidos con exactitud, un dígito más que ha sido estimado. La medida con la segunda regla es más precisa que con la primera. Cifras significativas La precisión se indica con el número de cifras significativas, que son los dígitos que se conocen con certeza más un dígito afectado de incertidumbre. Para identificar el número de cifras significativas en valores dados, existen una serie de reglas: 51 52 53 51 52 53
- 6. 1. En los números que no contienen ceros todas sus cifras son significativas (3.1428 cinco cifras significativas) 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos (7.053 cuatro cifras significativas) 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito no son significativos ya que sólo sirven para fijar la posición del punto decimal (0.0056 dos cifras significativas) 4. En un número con ceros a la derecha del punto decimal los ceros son cifras significativas (43.00 cuatro cifras significativas) 5. En números decimales, los ceros a la derecha de la última cifra diferente de cero son significativos (0.00200 tres cifras significativas) 6. En un número sin punto decimal, que termine en uno o más ceros, estos pueden ser significativos o no. Para evitar confusiones es aconsejable expresar los números en notación científica, donde todas las cifras son significativas (3600 no se sabe cuántas cifras significativas tiene, sin embargo, expresado como 3.60103 sabemos que tiene tres cifras significativas) Redondeo Al estimar el valor de una magnitud puede ser necesario redondear el valor para expresarlo de acuerdo a las cifras significativas que indica su incertidumbre. Por ello es necesario conocer las reglas del redondeo: 1. Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que cinco, simplemente se elimina ese dígito y todos los que le siguen (32.647 se redondea a tres cifras significativas como 32.6) 2. Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que cinco o es cinco seguido de dígitos distintos de cero, todos los dígitos siguientes se eliminan y se aumenta una unidad el valor del último dígito que se conserva (454.3598 se redondea a cuatro cifras significativas como 454.4) 3. Si el primer dígito a eliminar es 5 y va seguido sólo de ceros o bien no va seguido de ningún otro dígito, se aplica la siguiente regla. Si el último dígito a conservar es par, su valor no cambia y simplemente se eliminan el 5 y los ceros siguientes. Si el último dígito a conservar es par, su valor se aumenta
- 7. en una unidad. (263.2500 se redondea a cuatro cifras significativas como 263.2; 63.350 se redondea a tres cifras significativas como 63.4) Cifras significativas en cantidades medidas Al realizar determinaciones experimentales de magnitudes los resultados han de expresarse con las cifras significativas adecuadas. Podemos distinguir dos casos distintos, el de magnitudes determinadas directamente en el laboratorio y el de magnitudes indirectas obtenidas a partir de su relación con magnitudes medidas en el laboratorio. Además de la determinación de incertidumbres debidas a las limitaciones impuestas por el instrumento de medida, y que puede ser determinado con una medida, se puede hacer una análisis estadístico del error cometido a partir de la repetición del número de medidas. Esta análisis será obviado en esta práctica ya que será tratado detalladamente en la asignatura de estadística. a) Determinación de incertidumbres en magnitudes determinadas directamente. Normalmente los instrumentos de medida indican cuál es su precisión. En caso contrario hay dos criterios, bien se toma como precisión la cantidad más pequeña que puedan medir, bien la mitad de esta cantidad. Así, por ejemplo, en el caso de una regla de milímetro, la cantidad más pequeña que puede medir es 0.1 cm. En el primer caso la precisión de la regla se tomaría como 0.1cm, mientras que el segundo la precisión sería de 0.05 cm. Con nuestro criterio de cifras significativas, elegiremos el segundo caso para la asignación de precisión en aparatos en los que no se indique la misma. Una vez que se sabe la precisión del aparato, todas las medidas obtenidas con el mismo deben expresarse como valor de la medida precisión del aparato (unidades) Para expresar adecuadamente este valor, la precisión sólo debe tener una cifra significativa, y el valor debe tener el último dígito en la misma posición que la precisión del aparato correctamente expresada. Así, que nos dicen que la longitud de un tablón es de 86.7935 cm con una precisión de 0.01267 cm debemos redondear la precisión a una sola cifra significativa, esto es 0.01 cm. Ahora debemos redondear la longitud de la
- 8. tabla de forma que tenga el último dígito en la misma posición que la cifra significativa de la precisión, esto es 86.79 cm. De forma que la expresión correcta de la medida es: L=86.790.01 (cm) El resto de cifras no tiene sentido ya que están afectadas de error. b) Determinación de incertidumbres en magnitudes determinadas indirectamente. En este caso se quiere determinar cómo afecta a la precisión de ciertas magnitudes su relación con magnitud obtenidas directamente en el laboratorio. Por ejemplo, supongamos que queremos determinar la velocidad de caída de un objeto que se mueve con velocidad constante a partir de la determinación del espacio que recorre y el tiempo que invierte en ese recorrido. Las magnitudes medidas directamente son la altura, h, y el tiempo, t, y la relación entre éstas y la velocidad, v, es v=x/t. Para determinar el error asociado a la magnitud determinada indirectamente, se realiza la siguiente operación. Supongamos una magnitud q=q(r,s,t) de la que se pretende obtener su valor a partir de la magnitudes r, s y t medidas directemente y de las que se conoce su incertidumbre, r, s y t, respectivamente. La incertidumbre que q, q, se obtiene de la siguiente manera: t t q s s q r r q q de forma que el valor de q sería el obtenido en la relación al sustituir los valores de r, s y t, con la precisión dada por la expresión anterior. En el ejemplo de la velocidad, la relación es v=x/t y supongamos que las medidas de la altura y el tiempo dan, respectivamente, x=25.30.1 (cm) y t=10.0340.001 (s). La precisión de la velocidad será: 102100010 03410 325 10 03410 1 t t x x t 1 x x v x x v v 22 .. . . . . que escrita con una cifra significativa vale: v=0.1 (cm/s). El valor de la velocidad obtenida a partir de los datos del laboratorio es scm52142 03410 325 t x v /. . . , por lo que el resultado, expresado correctamente es scm1052v /.. .
- 9. Existen algunas reglas para no tener que realizar continuamente las derivadas parciales. Así para las operaciones siguientes los criterios son los que se muestran a continuación: Multiplicación y división: La magnitud calculada debe tener el mismo número de cifras significativas que el valor de la variable multiplicada o dividida con menor número de cifras significativas. (3.625·2.36=8.555 debe redondearse a tres cifras significativas, que es el menor número de cifras significativas de entre las dos magnitudes que se multiplican, así el resultado es 8.56) Suma y resta: La magnitud que se deriva a partir de estas operaciones no puede dígitos más allá de la posición del último dígito común a todos los números sumados o restados. ( 34.5+10+36.7=81.2 y el último dígito común a todos los sumando es la unidad, por lo tanto debe redondearse el resultado, quedando 81) Incertidumbre porcentual Se calcula como: 100 q q 100 estimadovalor breincertudum q (%) y da cuenta de la calidad de la medida. Una medida aceptable suele ser aquella con una incertidumbre porcentual inferior al 10% Parte Práctica: A) MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES Y DIMENSIONES 1.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes magnitudes no son magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional de medidas? a) masa b)tiempo c) fuerza d)temperatura e)presión 2.- La constante universal de los gases vale Kmol J 138 Kmol latm 0820 Kmol cal 991R ... Utiliza esta igual para encontrar los siguientes factores de conversión: 1J=________cal 1 atm l=_______J 1cal =________atm l
- 10. 3.-Escribe las siguientes expresiones con notación científica y sin utilizar prefijos : 15nC=_______C 3MW=_______W 4.6km=______m 56pF=______F 4.-Expresa los siguientes valores utilizando los prefijos de la tabla 2: 4·10-12C=_______ 0,003 m=______ 7·10-6F=________ 5.- En las siguientes ecuaciones x representa una distancia, t un tiempo y v una velocidad. Realizar el análisis de dimensiones de cada ecuación y determinar la unidades de cada constante para que las expresiones sean dimensionalmente correctas así como sus unidades en el sistema internacional de medidas. a) x=C1 sen(C2 t2) [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___ b) x=½C1 t2 [CI]=_______; unid(C1)=______; c) v=C1 e-C2 t [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___ d) v=0.5 C1 x [CI]=_______; unid(C1)=______; B) ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA 1.-En la siguiente tabla se muestran una serie de medidas obtenidas en el laboratorio. Expresar cada una de ellas correctamente indicando el número de cifras significativas. Medida obtenida Expresión correcta Nº de cifras sig. de la medida 5698 0.56 0.459 0.063 186342 3620.3 32.92 0.096 0.035 0.001 258 32 693.2 0.003 1.69853 0.0388 548 120 0.003659 0.000064
- 11. 2.- Realizar los siguientes cálculos redondeando al número apropiado de cifras significativas y expresando el resultado en notación científica (1.14)·(9.99·104)=_____________ (2.78·10-8)-(5.31·10-9)=________________ 27.6 + (5.99·102)=_____________ 2·3.141592·0.76=__________________ 4/3 ·(1,1)3=________________ (2,0)5/(3.141592654)=_________________ 3.-Se han determinado en el laboratorio los valores de la resistencia interna de una batería, r, y la intensidad que recorre el circuito, I. Además se determinaron las incertidumbres asociadas a dichas magnitudes, de forma que las medidas dieron como resultado: I=0.960.01 (A) y r=0.610.02 (). Sabiendo que la potencia disipada por la resistencia interna de la batería se puede expresar como P = I r, calcula la expresión general para la determinación de la incertidumbre de P, en función de I, I, r y r. Obtén también el valor de la potencia disipada en el caso medido en el laboratorio así como la incertidumbre asociada. 4.-Tras hacer varias medidas en el laboratorio para las magnitudes a y b se obtienen los siguientes valores: a = 49 3 b = 35 1 a)Calcular la incertidumbre porcentual asociada a dichas magnitudes. b) Las magnitudes r y q están relacionadas con a y b de la siguiente forma: r a b q = a -b ; . Calcular la incertidumbre relativa de estas nuevas magnitudes y discutir si la estimación de las mismas se ve afectada de la misma manera. c) Otras magnitudes s y t están relacionadas con a y b así: s= a.b t = a / b; . Calcular el error relativo de s y t y discutir si la estimación de las mismas se ve afectada de la misma manera. Calcular también el error absoluto de cada una de ellas.
- 12. 5.- Sea la función z cos x . En el laboratorio se estima un valor de x en:x 27 1º º . ¿Cuál es la incertidumbre en la estimación de z? 6.- Suma la siguiente lista de números, a continuación omite en todos ellos la última cifra y súmalos de nuevo, por último redondea todos los números a dos cifras según las reglas estudiadas y vuelve a sumarlos. Compara y discute los resultados. 2 342 2 359 2 367 2 373 2 351 2 362 2 368 2 374 2 356 2 363. . . . . . . . . . 7.- Sean los números x=8.5637 e y=1.72, cuyas cifras son todas significativas. Escribe los resultados de las siguientes operaciones con todas sus cifras significativas: x+y ; xy ; y