![Prácticas de Informática
Método de Newton-Raphson
Para encontrar las raíces de una ecuación (Isaac Newton 1642-1727)
si Xn es una estimación de la raíz, Xn+1 es una estimación mejor
siendo f ‘ la derivada de la función en Xn.
Tangente=f(Xn)/(Xn-Xn+1)
Método aproximado. Dejamos de iterar hasta que
|Estimación actual –Estimación previa| < precisión
Método de la bisección
Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el
intervalo [a,b]. A continuación se verifica que f(a).f(b)< 0 (Hay
cambio de signo en el intervalo).
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese
valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto
con f(a) o con f(b). Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b]
según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un
cambio de signo
Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la
solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la
precisión deseada
Nota
La clase Math3 representa la librería matemática de Java. La clase ofrece métodos estáticos
(pertenecen a la clase, no a las instancias), por lo que se pueden invocar haciendo referencia a la clase,
no es necesario crear instancias. Compara tus resultados con Math.exp() y Math.sqrt().
3 http://download.oracle.com/javase/1.4.2/docs/api/java/lang/Math.html
Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas](https://image.slidesharecdn.com/p3-141124183353-conversion-gate01/85/Practica-3-Informatica-2-320.jpg)
Práctica 3 Informática
- 1. Prácticas de Informática Práctica 3: Esquemas de composición algorítmica II y tipos de datos reales Objetivo de la práctica El objetivo de esta práctica es consolidar la utilización de los esquemas de composición algorítmica ejercitados en las prácticas anteriores y familiarizarse con los tipos float y double. Ejercicios 1. Escribe un programa Java que escriba por pantalla la raíz cuadrada de un número introducido por teclado. Para ello utilizaremos el método de Newton1: Si A es una aproximación a la raíz cuadrada de x, (A+(x/A))/2 es una aproximación mejor. Puedes iniciar la aproximación A con uno, e iterar hasta que la diferencia entre una aproximación y la calculada en el paso anterior sea menor que la precisión deseada (número de dígitos significativos. Declara la precisión deseada como una constante (p.e. final double PRECISION = 1E-5; ) 2. Escribe un programa Java que escriba por pantalla el valor de la función exp(x) de un valor introducido por teclado. Calcula la función con la serie de Taylor: Calcula la serie hasta que el termino calculado sea menor que la precisión deseada. Declara la precisión deseada como una constante (p.e. final double PRECISION = 1E-5; ) 3. Escribe un programa Java que lea los coeficientes de una ecuación de segundo grado ax2-bx+c=0 y muestre por pantalla las soluciones de dicha ecuación. Escribe al menos tres versiones de la ecuación de segundo grado, una utilizando double, otra utilizando float, y una tercera que obtenga el resultado utilizando float y el teorema de Cardano-Viète2. Según este teorema podemos calcular una raíz a partir de la otra x1 . x2 = c/a. Utiliza los valores a = 1.0, b=1*105, c = -1.0 para probar las diferentes versiones. 4. Utiliza el método de Newton para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado. El método de Newton nos dice que si X es una aproximación al cero de la función, x-(f(x)/f’(x)) es una aproximación mejor. Obtén una de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2-bx+c=0 por el método de Newton, y la otra sabiendo que x1 . x2 = c/a. Utiliza los valores a = 1.0, b=1*105, c = -1.0 y distintas precisiones del resultado (p.e. precision=1E-5). 5. Utiliza el método de la bisección para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado. Obtén una de las raíces por éste método descrito en http://es.wikipedia.org/wiki/Método_de_bisección, y la otra raíz sabiendo que x1 . x2 = c/a. Utiliza los valores a = 1.0, b=1*105, c = -1.0. Utiliza un intervalo adecuado para encontrar una de las raices. 1 http://es.wikipedia.org/wiki/Método_de_Newton 2 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_segundo_grado Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas
- 2. Prácticas de Informática Método de Newton-Raphson Para encontrar las raíces de una ecuación (Isaac Newton 1642-1727) si Xn es una estimación de la raíz, Xn+1 es una estimación mejor siendo f ‘ la derivada de la función en Xn. Tangente=f(Xn)/(Xn-Xn+1) Método aproximado. Dejamos de iterar hasta que |Estimación actual –Estimación previa| < precisión Método de la bisección Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]. A continuación se verifica que f(a).f(b)< 0 (Hay cambio de signo en el intervalo). Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b). Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada Nota La clase Math3 representa la librería matemática de Java. La clase ofrece métodos estáticos (pertenecen a la clase, no a las instancias), por lo que se pueden invocar haciendo referencia a la clase, no es necesario crear instancias. Compara tus resultados con Math.exp() y Math.sqrt(). 3 http://download.oracle.com/javase/1.4.2/docs/api/java/lang/Math.html Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas