Presentación de 2 ejercicios
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El documento presenta los pasos para encontrar el ángulo formado por dos líneas rectas parametrizadas. En la primera parte, se calculan los valores de las rectas l1 y l2 y se aplica la fórmula cos θ = (l1)(l2)/(||l1||||l2||) para determinar que el ángulo es de 56° 25' 17". En la segunda parte, se repite el proceso para otro par de rectas dadas y se establecen sus ecuaciones paramétricas.
Presentación de 2 ejercicios
- 1. Nombre del los integrantes: Magdaleno Cruz Cruz Diego Jiménez Alcántara Brenda Juares Puentes Grupo: 521 Carrera : Ing. Civil Materia : Calculo Vectorial Nombre de profesor: Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
- 2. Encuentre el Angulo que forman las líneas rectas parametrizadas. A) x1= 4-t x2=5+2t y1 =3+2t y2 = 1 +3s z1 = -2t z2 = 5-6s Contamos con la formula: (l1 )(l2)= ||l1||||l2|| cos θ Como necesitamos el Angulo despejamos a ᴓ y nos queda la siguiente formula: θ = arc cos)
- 3. Pero primero debemos apoyarnos en el modelo general para poder sacar los valores de las dos rectas que están representadas como: l1 y l2 , para esto contamos con esta otra formula R=r2 + t (a) R= (X2, Y3, Z2) + T (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 – Z1) X = X2 +T (X2 - X1) Y = X2 +T (Y2 - Y1) Z = X2 +T (Z2 – Z1)
- 4. Ahora sustituyendo los valores del problema en las ecuaciones primero para l1 nos queda: Para x: X2=4 X2-X1=-1 Despejando X2+1=X1 Y sustituyendo 4+1=5 por lo tanto X1=5 Para “Y” tenemos: Y2=3 Y2-y1=2 Despejando a Y1 nos quedaría: Y2-2=Y1 Y sustituyendo el valor de y2: 3-2=1 por lo tanto Y1=1 Para “Z” tenemos: Z2=0 Z2-Z1=-2 Despejando a Z1 nos queda Z2+2=Z1 Y sustituyendo obtenemos: 0+2=2 por lo tanto Z1=2 Entonces sabemos que l1 =(5,1,2)
- 5. Ahora para l2 (recta 2) Tenemos que: Para x: X2=5 X2-X1=2 Despejando X2-2=X1 Y sustituyendo 5-2=3 por lo tanto X1=3 Para “Y” tenemos: Y2=1 Y2-y1=3 Despejando a Y1 nos quedaría: Y2-3=Y1 Y sustituyendo el valor de y2: 1-3=-2 por lo tanto Y1=-2 Para “Z” tenemos: Z2=5 Z2-Z1=-6 Despejando a Z1 nos queda Z2+6=Z1 Y sustituyendo obtenemos: 5+6=11 por lo tanto Z1=11 Ahora sabemos que l2 = (3,-2,11)
- 6. Posteriormente ya podemos utilizar la primera formula planteada Y sacando el producto punto de ambas rectas obtendríamos: l1 = (5,1, 2) l2 = (3,-2,11) =(5)(3)+(1)(-2)+(2)(11) ; =15-2+22 ; =35 Y al sacar las magnitudes mediante el teorema de Pitágoras obtenemos: para l1=5.47 y para l2=11.57 ya para terminar sustituimos los valores obtenidos en la formula original (la primera) y nos queda como resultado θ = arc cos) así que θ = 56° 25´17”
- 7. b) x-1/2 = y+5/7 = z-1 / -1 x+3/ -2 = y-9 = z/4 1 x = x2 + t (x2-x1) y = y2 + t (y2-y1) 2 z = z2 + t (z2-z1) 3 Despejando t en1 t = x - x2 t / x2-x1 Despejando t en2 t =y - y2 / (y2-y1) Despejando t en3 t = z - z2 / z2-z1
- 8. Para li x2=1 x2-x1 = 2 :. X1 = -1 z2=-5 y2-y1 =7 :. y1 = -12 z2= 1 z2-z1 = -1 :. z1 = 2 li = (-1,-12,2) Para l2 X2 = -3 x2 – x1 =-2 :. X1 = -1 y2 = 9 y2 – y1 =-1 y1=10 z1 = 0 z2 – z1 = 4 z1= -4
- 9. r = r1 + t a x = x2 + t (x2-x1) y = y2 + t (y2-y1) Ecuaciones paramétricas z = z2 + t (z2-z1) Ecuación continua x - x2 t / x1-x2 = y - y2 / (y1-y2) = z - z2 / z1-z2 :. (l1)(l2)= ||l1||||l2|| cos θ ||l1|| = raíz de (19) + 144 + 4 ||l1|| = raíz de 149 ||l1|| = 12.20 ||l2||= raíz de 1+ 64+16 ||l2||= raíz de 81 ||l2||= 9