![Derivación e Integración de las Series
de Fourier:
CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES SERIES DE FOURIER EN EL
INTERVALO [- Π, Π]:
X^1 → 2 ∑((- 1)^(N+1) SEN(N X) / N).
X^2 → Π^2 / 3 + 4 ∑((- 1)^N COS(N X) / N^2).
X^3 → ∑((12 / N^3 – 2 Π^2 / N) (- 1)^N SEN(N X)).
X^4 → Π^4 / 5 + ∑((8 Π^2 / N^2 – 48 / N^4) (- 1)^N COS(N X)).
OBSÉRVESE QUE LA SERIE DE FOURIER DE “X” SE PUEDE
OBTENER DERIVANDO TÉRMINO A TÉRMINO LA DE “X^2”,
PERO ESTO NO ES UN RESULTADO GENERAL, ES DECIR, LA
CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER NO GARANTIZA
QUE LA DERIVADA TÉRMINO A TÉRMINO DE LA SERIE
CONVERJA A LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN DE PARTIDA. LA
PROPIA SERIE DE FOURIER DE “X” NO PUEDE SER
DERIVADA TÉRMINO A TÉRMINO PARA OBTENER LA
CONSTANTE UNIDAD.](https://image.slidesharecdn.com/presentacinmate4-160119004713/85/Presentacion-mate-4-7-320.jpg)
![PLANTEEMOS EL PROBLEMA DE ENCONTRAR LOS
COEFICIENTES “AN” Y “BN” QUE HACEN QUE SE CUMPLA
LA IGUALDAD ANTERIOR EN EL INTERVALO [-Π, Π]. MÁS
ADELANTE ESTUDIAREMOS EN DETALLE QUÉ
CONDICIONES HA DE CUMPLIR “F(X)” PARA QUE ESTE
DESARROLLO SEA CORRECTO.
SUPONDREMOS QUE ESTA SERIE ES UNIFORMEMENTE
CONVERGENTE PARA PODER INTEGRAR TÉRMINO A
TÉRMINO:
∫(F(X) DX) = (A0 / 2) ∫(DX) + ∑[AN ∫(COS(N X) DX) + BN ∫(SEN(N X)
DX]).
OBSERVEMOS QUE, CON NUESTROS CRITERIOS:
∫(DX) = 2 Π.
∫(COS(N X) DX) = 0.
∫(SEN(N X) DX) = 0.
DE MODO QUE OBTENEMOS:
A0 Π = ∫(F(X) DX).
A0 = ∫(F(X) DX) / Π.
ES DECIR, “A0” ES EL VALOR MEDIO DE LA FUNCIÓN “F(X)” EN
EL INTERVALO [-Π, Π].
Coeficientes de Fourier](https://image.slidesharecdn.com/presentacinmate4-160119004713/85/Presentacion-mate-4-9-320.jpg)
Presentación mate 4
- 1. Instituto politécnico Santiago mariño Extensión “Porlamar”
- 3. TAMBIEN SE PUEDE DECIR QUE ES UNA TRANSFORMACIÓN MATEMÁTICA EMPLEADA PARA TRANSFORMAR SEÑALES ENTRE EL DOMINIO DEL TIEMPO (O ESPACIAL) Y EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA, QUE TIENE MUCHAS APLICACIONES EN LA FÍSICA Y LA INGENIERÍA. ES REVERSIBLE, SIENDO CAPAZ DE TRANSFORMACIONES DE CUALQUIERA DE LOS DOMINIOS AL OTRO. Transformada Inversa de Fourier Transformada de Fourier de funciones simples
- 4. ES UNA FUNCIÓN DE VALORES COMPLEJOS Y DEFINIDA EN LA RECTA, CON OTRA FUNCIÓN . DEFINIDA DE LA MANERA SIGUIENTE:
- 5. Serie de Fourier LA SERIE DE FOURIER MUESTRA UNA ONDA PERIÓDICA EN SUS COMPONENTES CONTINUA Y ALTERNA. PUEDE SER REPRESENTADA COMO SUMA DE UNA SEÑAL DE FUENTE CONTINUA Y UNA SERIE ILIMITADA DE FUENTES ALTERNAS, COMO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA. ASÍ SE PODRÁ CALCULAR LA RESPUESTA A UNA ENTRADA PERIÓDICA POR SUPER POSICIÓN:
- 6. Las series de Fourier tienen la forma:
- 7. Derivación e Integración de las Series de Fourier: CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES SERIES DE FOURIER EN EL INTERVALO [- Π, Π]: X^1 → 2 ∑((- 1)^(N+1) SEN(N X) / N). X^2 → Π^2 / 3 + 4 ∑((- 1)^N COS(N X) / N^2). X^3 → ∑((12 / N^3 – 2 Π^2 / N) (- 1)^N SEN(N X)). X^4 → Π^4 / 5 + ∑((8 Π^2 / N^2 – 48 / N^4) (- 1)^N COS(N X)). OBSÉRVESE QUE LA SERIE DE FOURIER DE “X” SE PUEDE OBTENER DERIVANDO TÉRMINO A TÉRMINO LA DE “X^2”, PERO ESTO NO ES UN RESULTADO GENERAL, ES DECIR, LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER NO GARANTIZA QUE LA DERIVADA TÉRMINO A TÉRMINO DE LA SERIE CONVERJA A LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN DE PARTIDA. LA PROPIA SERIE DE FOURIER DE “X” NO PUEDE SER DERIVADA TÉRMINO A TÉRMINO PARA OBTENER LA CONSTANTE UNIDAD.
- 8. Convergencia de una Serie Funcional: SEA “FN”, CON “N” NATURAL, UN CONJUNTO DE FUNCIONES REALES CON EL MISMO DOMINIO “S” SOBRE LA RECTA REAL. SE DICE QUE LA SUCESIÓN “FN” CONVERGE PUNTUALMENTE A “F” EN EL DOMINIO “S” SI CUMPLE QUE: F(X) = LIM(N→∞) FN(X). PARA CUALQUIER “X” PERTENECIENTE A “S”. SE DICE QUE LA SUCESIÓN “FN” CONVERGE UNIFORMEMENTE A “F” EN EL DOMINIO “S” SI CUMPLE QUE: PARA TODO: Ε > 0. EXISTE UN NÚMERO NATURAL “N” TAL QUE TODO: N > N. SE CUMPLE QUE: |FN(X) – F(X)| < Ε. SIENDO “X” PERTENECIENTE A “S”.
- 9. PLANTEEMOS EL PROBLEMA DE ENCONTRAR LOS COEFICIENTES “AN” Y “BN” QUE HACEN QUE SE CUMPLA LA IGUALDAD ANTERIOR EN EL INTERVALO [-Π, Π]. MÁS ADELANTE ESTUDIAREMOS EN DETALLE QUÉ CONDICIONES HA DE CUMPLIR “F(X)” PARA QUE ESTE DESARROLLO SEA CORRECTO. SUPONDREMOS QUE ESTA SERIE ES UNIFORMEMENTE CONVERGENTE PARA PODER INTEGRAR TÉRMINO A TÉRMINO: ∫(F(X) DX) = (A0 / 2) ∫(DX) + ∑[AN ∫(COS(N X) DX) + BN ∫(SEN(N X) DX]). OBSERVEMOS QUE, CON NUESTROS CRITERIOS: ∫(DX) = 2 Π. ∫(COS(N X) DX) = 0. ∫(SEN(N X) DX) = 0. DE MODO QUE OBTENEMOS: A0 Π = ∫(F(X) DX). A0 = ∫(F(X) DX) / Π. ES DECIR, “A0” ES EL VALOR MEDIO DE LA FUNCIÓN “F(X)” EN EL INTERVALO [-Π, Π]. Coeficientes de Fourier
- 10. ejemplos ENCONTRAR LA TRASFORMADA DE FOURIER DE LA FUNCIÓN IMPULSO DEFINICIÓN DE IMPULSO:
- 11. Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: SOLUCION PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO ENTONCES entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe que al evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es cero por lo tanto: entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe que al evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es cero por lo tanto: