Presentacion del metodo del elemento finito
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El documento presenta una introducción al método de elementos finitos, el cual divide el dominio de una solución en elementos simples para desarrollar una solución aproximada a ecuaciones diferenciales. Explica que el método sigue un procedimiento estándar de discretización, desarrollo de ecuaciones para cada elemento, y obtención de una solución óptima. Finalmente, menciona algunas aplicaciones comunes del método de elementos finitos en ingeniería, como en análisis estructural, mecánica de fluidos y propagación de cal
![≪ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ≫.
Esta ecuación ofrece un medio para predecir valores
intermedios (es decir, para interpolar) entre valores dados 𝑢1y
𝑢1 en los nodos.
La derivada de la ecuación … (𝑖𝑖)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑𝑁1
𝑑𝑥
𝑢1 +
𝑑𝑁2
𝑑𝑥
𝑢2
Las derivadas de las N se calculan como sigue.
𝑑𝑁1
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2−𝑥1
𝑦
𝑑𝑁2
𝑑𝑥
=
1
𝑥2−𝑥1
Entonces la derivada de … ( 𝑖𝑖) es:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥2 − 𝑥1
(−𝑢1 + 𝑢2)
≪ 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠>>
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢2−𝑢1
𝑥2 − 𝑥1
Integrando … (𝑖𝑖) en el intervalo [𝑥1; 𝑥2] se expresa como:
∫ 𝑢𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= ∫ (𝑁1 𝑢1 + 𝑁2 𝑢2)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= ∫ ( 𝑁1 𝑢1) 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
+ ∫ (𝑁2 𝑢2)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
Los términos del lado derecho es la integral de un triángulo
rectángulo con base 𝑥2 − 𝑥1 y altura 𝑢.](https://image.slidesharecdn.com/presentaciondelmetododelelementofinito-151226184545/85/Presentacion-del-metodo-del-elemento-finito-5-320.jpg)
![∫ 𝑁𝑢𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
=
1
2
(𝑥2 − 𝑥1)𝑢
Completando la integral:
∫ 𝑢𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
=
𝑢1+𝑢2
2
(𝑥2 − 𝑥1) <<Regla del
trapecio>>
Obtención de un ajuste óptimo de la función a la solución
Elegido la función de interpolación, se desarrolla la
ecuación que rige el comportamiento del elemento. Esta
ecuación es un ajuste de la función a la solución de la ecuación
diferencial de que se trate.
-Método Directo.
-Método de los residuos ponderados.
-Método variacional.
Los resultados de estos métodos son análogos al ajuste de
curvas; estos métodos especifican relaciones entre las incógnitas
de la ecuación: 𝑢 = 𝑁1 𝑢1 + 𝑢2 … ( 𝑖𝑖) que satisfacen
de manera óptima la EDP.
Matemáticamente las ecuaciones del elemento resultante a
menudo son ecuaciones algebraicas lineales expresadas en
forma matricial: [ 𝑘]{ 𝑢} = {𝐹}
[ 𝑘]: Propiedad del elemento o matriz de rigidez.
{ 𝑢}: Vector columna de las incógnitas en los nodos.
{𝐹}: Vector columna determinado por el efecto de cualquier
influencia externa aplicada a los nodos.](https://image.slidesharecdn.com/presentaciondelmetododelelementofinito-151226184545/85/Presentacion-del-metodo-del-elemento-finito-6-320.jpg)
Presentacion del metodo del elemento finito
- 1. PRESENTACION En la presente exposición daremos una introducción al método del elemento finito ya que este método numérico es muy útil en la ingeniería y por consiguiente posee bastante contenido de cálculo y análisis; resulta relativamente complejo el tratar este tema más a fondo ya que el tiempo del que disponemos es corto. El método del elemento finito ofrece una alternativa para la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales. A diferencia de las técnicas por diferencias finitas, la técnica del elemento finito divide el dominio de la solución en regiones con formas sencillas o “elementos”. Se puede desarrollar una solución aproximada de la EDP para cada uno de estos elementos. La solución total se genera uniendo, las soluciones individuales asegurando la continuidad de las fronteras entre los elementos entonces la EDP se satisface por secciones. El método del elemento finito usualmente sigue un procedimiento estándar paso a paso. El método es adaptable a problemas de difusión de calor, de mecánica de fluidos, cálculo estructural, campo electromagnético, campos de velocidades, deformaciones, presiones, etc. Dada la dificultad de encontrar la solución analítica de estos problemas en la práctica ingenieril, los elementos finitos se convierten en la única alternativa práctica de cálculo.
- 2. METODO DEL ELEMENTO FINITO Es un método numérico que sirve para la resolución ecuaciones diferenciales, utilizado en diversos problemas de modelamiento en sistemas matemáticos (“físicos” y de “ingeniera”). En este método el dominio de la solución se divide en una malla con puntos discretos o nodos. Una importante propiedad del método es la convergencia, si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más
- 3. finas, la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones. CONCEPTOS PREVIOS: DISCRETIZACION: Este paso consiste en dividir el dominio de la solución en elementos finitos. Los puntos de intersección de las líneas q forman los lados de los elementos se conocen como nodos, y los mismos lados se denominan líneas o planos nodales. ECUACIONES DE LOS ELEMENTOS: Este paso consiste en desarrollar ecuaciones para aproximar la solución de cada elemento y consta de dos pasos. 1.- Se debe elegir una función apropiada con coeficientes desconocidos que se aproximara a la solución. 2.- Se evalúan los coeficientes de modo que la función se aproxime a la solución de manera óptima.
- 4. ECUACIONES DE LOS ELEMENTOS: Debido a su facilidad de manipulación se utilizan polinomios para este propósito. En el caso unidimensional la alternativa más sencilla es un polinomio de primer grado (línea recta). 𝑢(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 …(i) donde: 𝑢(𝑥): Variable dependiente. 𝑎0, 𝑎1: Coeficientes. 𝑥: Variable independiente. Esta función pasa a través de los valores de 𝑢(𝑥) en los puntos extremos del elemento en 𝑥1 y 𝑥2, por tanto: 𝑢1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 𝑢2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2 Usando la regla de Cramer se obtiene: 𝑎0 = 𝑢1 𝑥2 − 𝑢2 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑎1 = 𝑢2 − 𝑢1 𝑥2 − 𝑥1 ≪ 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ≫. Siendo: 𝑁1 = 𝑥2 − 𝑥 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 𝑁2 = 𝑥−𝑥2 𝑥2 − 𝑥1 Reemplazando en … ( 𝑖) obtenemos: 𝑢 = 𝑁1 𝑢1 + 𝑢2 … ( 𝑖𝑖)
- 5. ≪ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ≫. Esta ecuación ofrece un medio para predecir valores intermedios (es decir, para interpolar) entre valores dados 𝑢1y 𝑢1 en los nodos. La derivada de la ecuación … (𝑖𝑖) 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 𝑢1 + 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 𝑢2 Las derivadas de las N se calculan como sigue. 𝑑𝑁1 𝑑𝑥 = − 1 𝑥2−𝑥1 𝑦 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 = 1 𝑥2−𝑥1 Entonces la derivada de … ( 𝑖𝑖) es: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 𝑥2 − 𝑥1 (−𝑢1 + 𝑢2) ≪ 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠>> 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢2−𝑢1 𝑥2 − 𝑥1 Integrando … (𝑖𝑖) en el intervalo [𝑥1; 𝑥2] se expresa como: ∫ 𝑢𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 = ∫ (𝑁1 𝑢1 + 𝑁2 𝑢2)𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 = ∫ ( 𝑁1 𝑢1) 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 + ∫ (𝑁2 𝑢2)𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 Los términos del lado derecho es la integral de un triángulo rectángulo con base 𝑥2 − 𝑥1 y altura 𝑢.
- 6. ∫ 𝑁𝑢𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 = 1 2 (𝑥2 − 𝑥1)𝑢 Completando la integral: ∫ 𝑢𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 = 𝑢1+𝑢2 2 (𝑥2 − 𝑥1) <<Regla del trapecio>> Obtención de un ajuste óptimo de la función a la solución Elegido la función de interpolación, se desarrolla la ecuación que rige el comportamiento del elemento. Esta ecuación es un ajuste de la función a la solución de la ecuación diferencial de que se trate. -Método Directo. -Método de los residuos ponderados. -Método variacional. Los resultados de estos métodos son análogos al ajuste de curvas; estos métodos especifican relaciones entre las incógnitas de la ecuación: 𝑢 = 𝑁1 𝑢1 + 𝑢2 … ( 𝑖𝑖) que satisfacen de manera óptima la EDP. Matemáticamente las ecuaciones del elemento resultante a menudo son ecuaciones algebraicas lineales expresadas en forma matricial: [ 𝑘]{ 𝑢} = {𝐹} [ 𝑘]: Propiedad del elemento o matriz de rigidez. { 𝑢}: Vector columna de las incógnitas en los nodos. {𝐹}: Vector columna determinado por el efecto de cualquier influencia externa aplicada a los nodos.
- 7. CONCLUSION: El método se puede aplicar a problemas muy diversos como la propagación de radioactividad de una bomba atómica, el comportamiento de los diques frente a las olas, simular en general el comportamiento de fluidos y sólidos, estructuras, comportamiento de las moléculas como en materiales piezoeléctricos su aplicación en si es insospechada. ALGUNAS APLICACIONES DEL ELEMENTO FINITO. Sobre se utiliza en la ingeniería preventiva, en la prevención del comportamiento de un producto. En la industria aeronáutica para una mejor descripción de flexión y torsión.
- 8. BIBLIOGRAFIA: -Metodos Numericos para ings. Chapra and Canale 5ed. -Finite Element Methode. Gouri Dhatt, Gilbert Tousot, Enmanuel. - http://www.adina.com/multiphysics.shtml