Problema de idiomas
- 1. XXV Olimpiada Thales Problema de Idiomas
- 2. Solución Menú El profesor de Matemáticas le propuso a Arquimedín la siguiente cuestión: “En la clase de al lado 6 estudiantes saben español , 7 inglés y 5 francés . De éstos sólo uno habla los tres idiomas. De los demás, se sabe que exactamente 2 saben sólo español e inglés, exactamente 2 saben sólo inglés y francés y 1 único alumno sabe sólo español y francés. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?”. Arquimedín le contestó: “Profesor, estoy convencido que 12” . ¿Es correcta la contestación? Razona tu respuesta. PROBLEMAS DE IDIOMAS
- 3. Solución Menú Enunciado ¡Debemos elegir la mejor estrategia para obtener el resultado correcto! ” “ ¡Leamos con detalles!”
- 4. Solución Menú Enunciado Vamos a ponernos en situación. Hay varias formas de abordar el problema. “ Veamos si Arquimedín tiene razón, y el número de alumnos de la clase de al lado es 12 ”
- 5. Solución Menú Enunciado “ Vamos a recurrir a uno de los métodos gráficos de representación utilizado por John Venn (Matemático conocido por sus sistemas de representación gráfica de proposiciones)” Si aplicamos Álgebra Lineal vamos a tener alguna dificultad para llegar a la solución. John Venn (Drypool, 1834-Cambridge, 1923)
- 6. Solución Menú Enunciado Vamos a representar los alumnos así: ESPAÑOL 6 E FRANCÉS 5 F INGLÉS 7 I
- 7. “ ¿Por dónde empezamos?” Solución Menú Enunciado Vemos la distribución de todos los estudiantes tal como se ha planteado en el enunciado: Saben ESPAÑOL (E) : 6 Saben INGLÉS (I): 7 Saben FRANCÉS (F): 5 Saben ESPAÑOL + INGLÉS + FRANCÉS ( E I F ): 1 Saben ESPAÑOL + INGLÉS ( E I ): 2 Saben INGLÉS + FRANCÉS ( I F ):2 Saben ESPAÑOL + FRANCÉS ( E F ): 1
- 8. Solución Menú Enunciado La estrategia consiste en representar: PRIMERO, los que hablan los tres idiomas: E I F que es 1 E I F 1
- 9. Solución Menú Enunciado Una vez encajado el que habla E I F .La estrategia consiste en representar los que hablan dos idiomas: Español - Inglés : E I a) Sabemos que en total hablan E I : 2, por lo tanto los encajamos en la zona donde hablan sólo estos dos idiomas. E I F 2 1
- 10. Solución Menú Enunciado Inglés - Francés : I F b) Sabemos que en total hablan I F : 2, por lo tanto colocamos 2 en la zona donde sólo se hablan los idiomas citados. E I F 2 2 1
- 11. Solución Menú Enunciado Español- Francés : E F c) Y por último colocamos el que habla sólo E F , en la zona correspondiente . E I F 1 2 2 1
- 12. Solución Menú Enunciado “ Qué bien nos ha venido el diagrama de Venn, parece que la solución se acerca. Todavía no sabemos si Arquimedín ha acertado” E I F 2 2 1 1
- 13. Solución Menú Enunciado Con esta representación ya es fácil encajar el resto de los estudiantes que faltan: Cómo hay 6 que hablan español nos falta por colocar 6 -(1+1+2)= 2 b) Cómo hay 7 que hablan i nglés nos falta por colocar 7 -(1+2+2)= 2 c) Cómo hay 5 que hablan francés nos falta por colocar 5 -(1+1+2)= 1 E I F 2 2 1 2 2 1 1
- 14. Solución Menú Enunciado Basta con sumar todos los estudiantes que aparecen representados por los tres idiomas y cuyo total es: 2 + 2 + 2 + 2+ 1+ 1 +1 =11 E I F 2 2 2 1 1 2 1
- 15. Solución Menú Enunciado “ No pasa nada, Arquimedín, has estado muy cerca pero no son 12 los alumnos de la clase de al lado sino” E I F 2 2 2 1 11 1 2 1
- 16. Solución Menú Enunciado “ Hemos utilizado el procedimiento gráfico de Venn. Otra forma de hacerlo, es utilizando la teoría de conjuntos” Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplo: En la figura adjunta tienes un conjunto de estudiantes
- 17. Solución Menú Enunciado “ ¿Qué significa el cardinal de un conjunto? A LLamamos cardinal de un conjunto A al número de sus elementos, y lo representamos por card(A) a e d b c f Por lo tanto en este ejemplo card(A)=6
- 18. Solución Menú Enunciado “ En nuestro caso tenemos tres conjuntos con elementos comunes entre ellos. Por lo tanto tenemos que hablar de dos operaciones entre conjuntos: la intersección y la unión.” E I F 2 Según la distribución dada en el enunciado card( E)=6 ; card( I ) =7 ; card(F ) =5 card( E I )=3; card( I F )=3; card( E F )=2 card(E I F )=1 Conocemos, por lo tanto, el cardinal de cada conjunto y el cardinal de las intersecciones 1 2 1
- 19. Solución Menú Enunciado “ A continuación escribimos la fórmula que nos permite relacionar las citadas operaciones entre dos y tres conjuntos” Por lo tanto, se puede demostrar por inducción que conociendo el cardinal de cada conjunto, así como el cardinal de cada intersección de dos y de tres conjuntos ( en nuestro caso), la fórmula para calcular el cardinal de la unión E U F U I es: card( E F I )=card( E) +card( F )+card( I )-card( E F )-card( E I )- card( I F )+card( E F I )
- 20. Solución Menú Enunciado Igual resultado. ¡Lo sentimos Arquimedín! “ ¿Habrá algún resultado sorpresa que no coincida con la forma empleada anteriormente? Se tiene que card( E F I )=6+5+7-3-3-2+1= 11 E I F 2 2 2 1 1 1 2