Problemas de razonamiento (áreas)
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El documento describe cómo calcular el área sombreada entre dos circunferencias tangentes y sus líneas tangentes. Explica que las líneas tangentes miden el doble del radio, lo que permite trazar un cuadrado circunscrito. Calcula el área del cuadrado menos el área de una circunferencia para obtener el área sombreada. Luego, describe cómo usar el teorema de Pitágoras para calcular el diámetro de un círculo a partir del lado de un cuadrado inscrito, y así determinar los áreas del cí
Problemas de razonamiento (áreas)
- 3. En la figura, las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm cada una y son tangentes entre sí, las rectas l1 y l2 son tangentes a las circunferencias como se observa en la figura. Determina el área sombreada.
- 4. Al tener las rectas l1 y l2 la misma dimensión que dos veces el radio o el diámetro de una circunferencia. Entonces: 𝑙1 = 𝑙2 = ∅ = 2𝑅 𝑙1 = 𝑙2 = 40𝑐𝑚 = 2 20𝑐𝑚 Para calcular el área sombreada, primero, se trazan los dos diámetros de las circunferencias en forma perpendicular a las rectas l1 y l2, formando así un cuadrado. Se obtiene el área del cuadrado con la fórmula: 𝐴 = 𝑙2 𝐴 = (40𝑐𝑚)2= 1, 600 𝑐𝑚2 1 2
- 5. Se obtiene el área de una de las circunferencias con la fórmula: 𝐴 = 𝜋𝑟2 Donde: 𝑟 = 20 𝑐𝑚 𝐴 = 𝜋(20𝑐𝑚)2 = 1, 256.637061 𝑐𝑚2 Finalmente, para obtener el área sombreada, se le resta al área del cuadrado el área de una de las circunferencias, teniendo: 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 1, 600 𝑐𝑚2 − 1, 256.637061𝑐𝑚2 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝟑𝟒𝟑. 𝟑𝟔𝟐𝟗𝟑𝟖𝟔𝒄𝒎 𝟐 3 4
- 7. El área del cuadrado menor es 81 in2 . Determina el área del círculo y del cuadrado mayor.
- 8. A partir del área del cuadrado pequeño, determinar la dimensión de sus lados, tomando en cuenta que: 𝐴 = 𝑙2 Despejando el área: 𝑙 = 81 𝑖𝑛2 𝑙 = 9 𝑖𝑛 Teniendo en cuenta que, una diagonal del cuadrado pequeño representa el diámetro de la circunferencia, calcular la diagonal del cuadrado pequeño utilizando el teorema de Pitágoras: ∅ = 9𝑖𝑛 2 + 9𝑖𝑛 2 ∅ = 162 𝑖𝑛2 = 12.72292206 𝑖𝑛 1 2
- 9. Obtener el área del círculo utilizando la fórmula 𝐴 = 𝜋𝑟2 , y teniendo en cuenta que: 𝑅 = ∅ 2 = 12.72292206 𝑖𝑛 2 = 6.363961031 𝑖𝑛 𝐴 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋(6.363961031 𝑖𝑛)2 = 𝟏𝟐𝟕. 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟎𝟐𝟓𝒊𝒏 𝟐 Teniendo en cuenta que, el diámetro del circulo tiene la misma dimensión que los lados del cuadrado pequeño, es fácil calcular el área del cuadrado, utilizando la fórmula: 𝐴 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 𝑙2 = (12.72292206 𝑖𝑛)2 𝑨 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆 = 𝟏𝟔𝟐𝒊𝒏 𝟐 3 4