Programacion lineal

1
Programación Lineal
Ejercicio nº 1.-
a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
2x y  3
b) Averigua cuál es la inecuación cuyas soluciones corresponden al siguiente semiplano:
Ejercicio nº 2.-
a) Representa las soluciones de la inecuación:
2x  2y  1
b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
Ejercicio nº 3.-
a) Haz una representación gráfica de las soluciones de la siguiente inecuación:
x  2y  4
b) Halla la siguiente inecuación cuyas soluciones vienen representadas por:

2
Ejercicio nº 4.-
a) Representa las soluciones de la siguiente inecuación:
3x  4y  1
b) Identifica la inecuación cuyas soluciones corresponden al siguiente semiplano:
Ejercicio nº 5.-
a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
3x y  2
Ejercicio nº 6.-
a) Construye el recinto de soluciones del siguiente sistema:
b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), ¿forman parte de las soluciones del sistema anterior?
Ejercicio nº 7.-
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones:
b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema anterior.











0
0
18063
12033
y
x
yx
yx








2
1
16
y
yx
yx

3
Ejercicio nº 8.-
a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:
b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior.
Ejercicio nº 9.-
a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:
b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.
Ejercicio nº 10.-
a) Dibuja el recinto que cumple estas restricciones:
b) ¿Pertenecen los puntos (0, 6), (4, 0) y (5, 6) al conjunto de soluciones del sistema anterior?
Ejercicio nº 11.-
Halla el mínimo de la función z  3x  2y con las siguientes restricciones:
Ejercicio nº 12.-
a) Dibuja el recinto definido por:
b) Halla los vértices del recinto anterior.
c) Halla el máximo de la función z  4y x, sujeta a las restricciones propuestas en a). ¿En qué punto del
recinto alcanza dicho máximo?








03
1
3
xy
xy
y











0
0
82
93
y
x
yx
yx











0
0
205
153
y
x
yx
yx











0
0
223
1243
y
x
yx
yx








42
22
32
yx
yx
yx

4
Ejercicio nº 13.-
Halla el máximo y el mínimo de la función z  x  y, en la región determinada por:
Ejercicio nº 14.-
Maximiza la función z  x  y, sujeta a las siguientes restricciones:
Ejercicio nº 15.-
Maximiza la función z = 150x  100y, sujeta a las siguientes restricciones:
Ejercicio nº 16.-
Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de
producción: sección de montaje y sección de pintura.
El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B,
tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura
solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A
es de 20 euros.
Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.
Ejercicio nº 17.-
Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40
euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50
euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.
Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.











1
1
1
32
y
x
yx
yx













0
0
2832
4434
263
y
x
yx
yx
yx











0
0
4802
60032
y
x
yx
yx

5
Ejercicio nº 18.-
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello,
lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a
30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se
desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.
¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
Ejercicio nº 19.-
En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de
una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de
compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una
composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30
euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
Ejercicio nº 20.-
Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y
acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:
El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado,
debido a las limitaciones de operarios.
Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, ¿cuántas
deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio?
Ejercicio nº 21.-
Un quiosco vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos a 30 céntimos de euro. Llevamos 120
céntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será
el número máximo de piezas que podemos comprar?
Ejercicio nº 22.-
En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo
pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B.
Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 60 euros,
teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son de 30 y 10 euros, respectivamente.
Ejercicio nº 23.-
La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1000 kilos. La fabricación de un kilo de A
cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la
casa dispone de 2700 euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B.
MONTAJE ACABADO
UTILITARIA 3 horas 3 horas
LUJO 3 horas 6 horas

6
Ejercicio nº 24.-
Disponemos de 210000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A
que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130000 euros en las de
tipo A y, como mínimo, 6000 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A
sea menor o igual que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?
Ejercicio nº25.-
Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8
gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer
elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y
las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la
cantidad de A es como mucho el doble que la de B.
Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2
euros y uno de B 10 euros.
¿Puede eliminarse alguna restricción?
Soluciones Programación Lineal
Ejercicio nº 1.-
a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
2x y  3
b) Averigua cuál es la inecuación cuyas soluciones corresponden al siguiente semiplano:
Solución:
a) Representamos la recta 2x y  3  y  2x 3. Pasa por los puntos (0, 3) y (1, 1).
Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (0,
0):
2 0 0  0  3  (0, 0) sí es solución.

Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano:

7
b Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo, (0, 1) y
(1, 1).
La ecuación de la recta es: y 1  2x  y  2x  1
Como (0, 0) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: y  2x  1
Ejercicio nº 2.-
a) Representa las soluciones de la inecuación:
2x  2y  1
b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
Solución:
0):
2 0  2 0  0  1  (0, 0) no es solución.
2
01
11
:serápendienteLa 


m
puntoslosporPasa.
2
21
122rectalamosRepresentaa)
x
yyx


.
2
1
1,y
2
1
0, 




 







8
b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (0, 2) y
(1, 0).
La ecuación de la recta es: y 2  2x  y  2x  2
Como (0, 0) es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
y  2x  2
Ejercicio nº 3.-
a) Haz una representación gráfica de las soluciones de la siguiente inecuación:
x  2y  4
b) Halla la siguiente inecuación cuyas soluciones vienen representadas por:
Solución:
0):
0  2 0  0  4  (0, 0) no es solución.
2
01
20


m
   .12,y20,puntoslosporPasa.
2
4
42rectalamosRepresentaa)
x
yyx



9
b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo, (0, 2) y
(1, 1).
La ecuación de la recta es y 2  3x  y  3x  2
Como (0, 0) es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
y  3x  2
Ejercicio nº 4.-
a) Representa las soluciones de la siguiente inecuación:
3x  4y  1
b) Identifica la inecuación cuyas soluciones corresponden al siguiente semiplano:
Solución:
0):
3 0  4 0  0  1  (0, 0) no es solución.
3
01
21


m
1 3
a) Representamos la recta 3 4 1 . Pasa por los puntos ( 1,1) (3, 2).
4
x
x y y y

     

10
b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (2, 0) y (2, 1).
Como (0, 0) es la solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
4y  x  2
Ejercicio nº 5.-
a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
3x y  2
Solución:
a) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos. Por ejemplo (0, 3) y (3, 0).
La ecuación de la recta es: y 3  x  y  x  3
Como (0, 0) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
y  x  3
b) Representamos la recta 3x y  2  y  3x 2. Pasa por los puntos (0, 2) y (1, 1).
0):
4
1
22
01
:serápendienteLa




m
  24242
4
1
:esrectaladeecuaciónLa 

 xyxyxy
1
03
30


m

11
3 0 0  0  2  (0, 0) sí es solución.
Ejercicio nº 6.-
a) Construye el recinto de soluciones del siguiente sistema:
b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), ¿forman parte de las soluciones del sistema anterior?
Solución:
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que los tres puntos son soluciones del sistema.











0
0
18063
12033
y
x
yx
yx

















0
0
2
30
6
3180
18063
404012033
rectaslasmosRepresentaa)
y
x
x
y
x
yyx
xyyxyx

12
Ejercicio nº 7.-
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones:
b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema anterior.
Solución:
Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 1) sí es solución del sistema, (0, 0) también lo es, pero (0, 3)
no.
Ejercicio nº 8.-
a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:
b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior.
Solución:
Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las








2
1
16
y
yx
yx








2
11
1616
y
xyyx
xyyx








03
1
3
xy
xy
y








xyxy
xyxy
y
303
11
3

13
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.
Ejercicio nº 9.-
a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:
b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.
Solución:
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).











0
0
82
93
y
x
yx
yx












0
0
2882
3
9
93
y
x
xyyx
x
yyx

14
Ejercicio nº 10.-
a) Dibuja el recinto que cumple estas restricciones:
b) ¿Pertenecen los puntos (0, 6), (4, 0) y (5, 6) al conjunto de soluciones del sistema anterior?
Solución:
ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen
x  3y  15.
b) A la vista del dibujo obtenido en a), tenemos que (0, 6) no es solución; (4, 0) sí lo es y
(5, 6) no.
Ejercicio nº 11.-
Halla el mínimo de la función z  3x  2y con las siguientes restricciones:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x  0 e y  0.











0
0
205
153
y
x
yx
yx
15
a) Representamos la recta 3 15 y tomamos un punto cualquiera; por
3
x
x y y

   








0
0
520205
rectaslasconmismoloHacemos
y
x
xyyx











0
0
223
1243
y
x
yx
yx










2
32
223
4
312
1243
rectaslasmosRepresenta
x
yyx
x
yyx

15
Los vértices de dicha región son los puntos:
 Representamos la dirección de las rectas z  3x  2y, dibujando lo que pase por el origen de coordenadas: 3x 
2y  0
 Observamos que la recta 3x  2y  0 y la recta 3x  2y  2 son paralelas. Por tanto,
Este mínimo vale:
z  3 0  2 1  2
Ejercicio nº 12.-
a) Dibuja el recinto definido por:
b) Halla los vértices del recinto anterior.
c) Halla el máximo de la función z  4y x, sujeta a las restricciones propuestas en a). ¿En qué punto del
recinto alcanza dicho máximo?
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema.
 Los vértices del recinto son los puntos:
      





0,
3
2
y0,4;3,0;1,0
  .0,
3
2
y1,0unequesegmentodelpuntoslostodosenalcanzasemínimoel 













42
22
32
yx
yx
yx












2
4
42
2222
3232
x
yyx
xyyx
xyyx











 
5
6
,
5
8
y
5
11
,
5
2
BA

16
 Representamos la dirección de las rectas z  4y x, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 4y
x  0
Ejercicio nº 13.-
Halla el máximo y el mínimo de la función z  x  y, en la región determinada por:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema.
 Representamos la dirección de las rectas z  x  y, dibujando lo que pasa por el origen de coordenadas: x  y 
0
 El mínimo se alcanza en el punto m(1, 1) y vale z  11  2.
:valey
5
11
,
5
2
puntoelenalcanzasemáximoEl 




 
A
2,9
5
46
5
2
5
44
5
2
5
11
4 




 
z











1
1
1
32
y
x
yx
yx













1
1
11
2
3
32
y
x
xyyx
x
yyx

17
Ejercicio nº 14.-
Maximiza la función z  x  y, sujeta a las siguientes restricciones:
Solución:
 Representamos la dirección de las rectas z  x  y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x  y 
0
el máximo, que vale: z  8  4  12
2 3
El máximo se alcanza en el punto , intersección de las rectas ; es decir,
1
x y
M
x y
 
 
 
.
3
7
3
2
3
5
valey;
3
2
,
3
5
en 





zM













0
0
2832
4434
263
y
x
yx
yx
yx














3
228
2832
3
444
4434
3
26263
x
yyx
x
yyx
xyyx
  aproporcionqueeles,4,8decir,es
2832
4434
deónintersecci,puntoEl





M
yx
yx
M

18
Ejercicio nº 15.-
Maximiza la función z = 150x  100y, sujeta a las siguientes restricciones:
Solución:
Los vértices de dicha región son los puntos:
(0, 0); (0, 200); (240, 0) y (210, 60)
 Representamos la dirección de las rectas z  150x  100y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas:
150x  100y  0
 El máximo se encuentra en el vértice (210, 60), en el que z  150 210  100 60 
 37500.
Ejercicio nº 16.-
Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de
producción: sección de montaje y sección de pintura.
El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B,
tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura
solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A
es de 20 euros.
Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.
Solución:
Llamamos x a la producción diaria de artículos A e y a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla:











0
0
4802
60032
y
x
yx
yx









xyyx
x
yyx
24804802
3
2600
60032

19
Las restricciones son:
La función que nos da el beneficio es z  20x  40y  20(x  2y). Debemos obtener el máximo de esta función,
sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 20(x  2y)  0 
x  2y  0, que nos da la dirección de las rectas z  20x  40y.
es decir, en (3, 2).
Por tanto, deben producirse 3 unidades de A y 2 de B. En este caso, el beneficio será de
z  20 3  40 2 140 euros.
Ejercicio nº 17.-
Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40
euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50
euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.
Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.
Solución:
Llamamos x al número de joyas del tipo A e y al número de joyas del tipo B. Resumimos los datos en una
tabla:
CANTIDAD MONTAJE PINTURA BENEFICIO
A x x horas 2x horas 20x
B y 3y horas y horas 40y
TOTAL x + 3y 2x + y 20x + 40y











0
0
82
93
y
x
yx
yx
;
82
93
rectaslasdeóninterseccidepuntoelenalcanzasemáximoEl





yx
yx

20
La función que nos da los ingresos es z  40x  50y  10(4x  5y).
Debemos hacer máxima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 10(4x  5y)  0 
4x  5y  0, que nos da la dirección de las rectas z  10(4x  5y).
es decir, en (300, 300).
Por tanto, ha de fabricar 300 joyas del tipo A y 300 del tipo B para obtener el máximo beneficio. Los ingresos en
este caso serían z  40 300  50 300  27000 euros.
Ejercicio nº 18.-
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello,
lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a
30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se
desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.
¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
Solución:
Llamamos x al número de lotes de A e y al número de lotes de B.
Resumimos los datos en una tabla:
CANTIDAD ORO PLATA INGRESOS
TIPO A x x 1,5x 40x
TIPO B y 1,5y y 50y
TOTAL x + 1,5y 1,5x + y 40x + 50y











0
0
7505,1
7505,1
y
x
yx
yx
;
7505,1
7505,1
:rectasladeóninterseccidepuntoelenalcanzasemáximoEl





yx
yx

21
Maximizar las ganancias equivale a maximizar los ingresos.
La función que nos da los ingresos es z  30x  50y  10(3x  5y). Debemos obtener el máximo de esta función
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 30x  50y  10(3x  5y)  0  3x  5y  0, que
nos da la dirección de las rectas z  30x  50y.
Por tanto, se deben hacer 50 lotes de la oferta A y 50 de la B. Los ingresos en este caso serían de z  30 50 
50 50  4000 euros.
Ejercicio nº 19.-
En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de
una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de
compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una
composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30
euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
Solución:
Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos
en una tabla:
Nº LOTES CAMISAS PANTALONES INGRESOS
A x x x 30x
B y 3y y 50y
TOTAL x + 3y x + y 30x + 50y











10
20
100
2003
y
x
yx
yx
;
100
2003
rectaslasdeóninterseccidepuntoelenalcanzasemáximoEl





yx
yx

22
La función que nos da el coste es z  10x  30y  10(x  3y).
Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x  3y)  0 
x  3y  0, que nos da la dirección de las rectas z  10(x  3y).
Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II.
El precio en este caso será de z  10(2,5  32,5)  100 euros.
Ejercicio nº 20.-
Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y
acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:
El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado,
debido a las limitaciones de operarios.
Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, ¿cuántas
deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio?
COMPRAN
UNIDADES DE
SUSTANCIA A
UNIDADES DE
SUSTANCIA B
PRECIO
TIPO I x x x 10x
TIPO II y 5y y 30y
TOTAL x + 5y 5x + y 10x + 30y











0
0
155
155
y
x
yx
yx





2,5).(2,5;endecir,es;
155
155
deóninterseccidepuntoelenalcanzasemínimoEl
yx
yx
MONTAJE ACABADO
UTILITARIA 3 horas 3 horas
LUJO 3 horas 6 horas

23
Solución:
Llamamos x al nº de neveras utilitarias e y al nº de neveras de lujo. Resumimos los datos en una tabla:
La función que nos da el beneficio es z  300x  400y  100(3x  4y). Debemos obtener el máximo de esta función,
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 100(3x  4y)  0 
3x  4y  0, que nos da la dirección de las rectas z  300x  400y:
Por tanto, deben fabricarse 20 neveras de cada uno de los dos tipos. El beneficio será
z  300 20  400 20  14000 euros.
Ejercicio nº 21.-
Un quiosco vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos a 30 céntimos de euro. Llevamos 120
céntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será
el número máximo de piezas que podemos comprar?
Solución:
Llamamos x al número de bolígrafos e y al número de cuadernos.
Tenemos que:
FABRICAN MONTAJE ACABADO BENEFICIO
UTILITARIA x 3x 3x 300x
LUJO y 3y 6y 400y
TOTAL 3x + 3y 3x + 6y 300x + 400y











0
0
60218063
4012033
y
x
yxyx
yxyx
;
602
40
:rectaslasdeóninterseccidepuntoelenalcanzasemáximoEl





yx
yx

24
Dibujamos el recinto correspondiente. Las posibles soluciones son los puntos que aparecen señalados:
Debemos hacer máximo el número de piezas, es decir, debemos maximizar z  x  y. Vemos que hay tres puntos
que hacen máxima esta suma: (0, 4), (1, 3) y (2, 2). El número máximo de piezas que podemos comprar es 4.
Ejercicio nº 22.-
En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo
pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B.
Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 60 euros,
teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son de 30 y 10 euros, respectivamente.
Solución:
Llamamos x al número de aparatos de tipo A e y al número de aparatos de tipo B que podemos fabricar.
Representamos el conjunto de restricciones:
PIEZAS PRECIO
BOLÍGRAFOS x 20x
CUADERNOS y 30y
TOTAL x + y 20x + 30y












enteros,
0
0
12321203020
yx
y
x
yx
yxyx












)(naturalesenterose
63601030
1
0
3
yx
yxyx
y
x
yx

25
Observamos que la única solución posible es fabricar 2 aparatos de tipo A y 1 de tipo B. La venta es entonces de
2 30  1 10  70 euros.
Ejercicio nº 23.-
La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1000 kilos. La fabricación de un kilo de A
cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la
casa dispone de 2700 euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B.
Solución:
Llamamos x a los kilos de A e y a los de B. Sea m el margen de B; entonces el de A es 0,9m.
El margen total es z  0,9mx  mx  m(0,9x  y). Esta es la función que debemos maximizar, sujeta a las
restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta m(0,9x  y)  0 
0,9x  y  0, que nos da la dirección de las rectas z  m(0,9x  y).
CANTIDAD COSTE MARGEN
A x 1,8x 0,9mx
B y 1,5y my
TOTAL x + y 1,8x + 1,5y 0,9mx + my











0
0
70025,18,1
0001
y
x
yx
yx

26
Observamos que 1,8x  1,5y  2700 no impone ninguna restricción nueva. El máximo se alcanza en el punto M (0,
1000).
Por tanto, deben fabricarse 1000 kilos de helado de tipo B y nada de tipo A.
Ejercicio nº 24.-
Disponemos de 210000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A
que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130000 euros en las de
tipo A y, como mínimo, 6000 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A
sea menor o igual que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?
Solución:
Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B.
La función que nos da el rendimiento total es:
Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10000)
INVERSIÓN RENDIMIENTO
A x 0,1x
B y 0,08y
TOTAL x + y 0,1x + 0,08y
















0
0
2
0006
000130
000210
y
x
yx
y
x
yx
     .45
50
1
45
100
2
810
100
1
08,01,0 yxyxyxyxz 

27
El máximo se alcanza en el punto (13, 8).
Por tanto, debemos invertir 130000 euros en acciones del tipo A y 80000 euros en las de tipo B. En este caso,
el beneficio anual será de
Ejercicio nº25.-
Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8
gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer
elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y
las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la
cantidad de A es como mucho el doble que la de B.
Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2
euros y uno de B 10 euros.
¿Puede eliminarse alguna restricción?
Solución:
Llamamos x a los kilos de A e y a los de B.
  rectaslasdedirecciónladanosque,045045
50
1
rectalay  yxyx
 .45
50
1
yxz 
  .euros400190008040001305
50
1
z
KILOS 1er
ELEMENTO 2º ELEMENTO 3er
ELEMENTO COSTE
A x 8x gramos x horas 2x gramos 2x
B y 4y gramos y horas 2y gramos 10y
TOTAL 8x  4y x + y 2x  2y 2x  10y

28
La función que nos da el coste es z  2x  10y  2(x  5y). Debemos minimizar esta función, sujeta a las
restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 2(x  5y)  0 
x  5y  0, que nos da la dirección de las rectas z  2x  10y.
es decir, en (1,6; 0,8).
Por tanto, han de comprarse 1,6 kilos de A y 0,8 de B. El coste en este caso será de
z  2 1,6  10 0,8  11,2 euros.

















0
0
2
)10ente,necesariam
,5sipues,eliminar,puedese(Esta102022
5
421648
y
x
yx
yx
yxyxyx
yx
yxyx
;
2
42
rectaslasdeóninterseccidepuntoelenalcanzasemínimoEl





yx
yx

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