Aplicaciones de las_derivadas

1
Aplicaciones de las derivadas
Ejercicio nº 1.-
abscisa x0
 1.
Ejercicio nº 2.-
eje de absisas.
Ejercicio nº 3.-
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x)  2x2
3x  1, que es paralela a la recta 2x  3y 1 
0.
Ejercicio nº 4.-
Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x)  4x3
 2x  1 que son paralelas a la recta y
 10x  2.
Ejercicio nº 5.-
Ejercicio nº 6.-
Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
Ejercicio nº 7.-
Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
Ejercicio nº 8.-
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de
inflexión:
  depuntoelentangenterectasudeecuaciónlaescribe,funciónlaDada 33 2

 x
exf
elconcortedepuntoelen
1
2
curv alaatangenterectaladeecuaciónlaObtén



x
x
y
.2en63curvalaatangenterectaladeecuaciónlaHalla 0
2
 xxxy
  2
2
124
)( 


x
x
xf
 
1
222



x
xx
xf
  1
912
2
34
 x
xx
xf

2
Ejercicio nº 9.-
Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x)  (x  2)2
(x  1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Ejercicio nº 10-
Considera la función:
f (x)  2x3
 9x2
 12x  1
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.
Ejercicio nº 11-
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus
catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga
volumen máximo.
Ejercicio nº 12-
La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en C)
según la expresión: Q(x)  (x  1)2
(32  x)
a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
Ejercicio nº 13-
Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe
tener para que su fabricación sea lo más económica posible?
Ejercicio nº 14-
Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200
helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por
unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero?
¿Cual será ese beneficio?
Ejercicio nº 15-
Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol
adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de
árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

3
Soluciones Aplicaciones de las derivadas
Ejercicio nº 1.-
abscisa x0
 1.
Solución:
 Ordenada en el punto:
f (1)  1
 Pendiente de la recta:
f (1)  6
 Ecuación de la recta tangente:
y  1  6 (x  1)  y  6x  5
Ejercicio nº 2.-
eje de absisas.
Solución:
 Punto de corte con el eje X:
  depuntoelentangenterectasudeecuaciónlaescribe,funciónlaDada 33 2

 x
exf
  xexf x
6·' 33 2


elconcortedepuntoelen
1
2
curv alaatangenterectaladeecuaciónlaObtén



x
x
y
 0,2Punto202
1
2
0 


 xx
x
x
y
222
)1(
3
)1(
21
)1(
)2(1
'








xx
xx
x
xx
y
 
3
1
9
3
2' y
 
3
2
3
1
2
3
1
 xyxy

4
Ejercicio nº 3.-
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x)  2x2
3x  1, que es paralela a la recta 2x  3y 1 
0.
Solución:
Ejercicio nº 4.-
Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x)  4x3
 2x  1 que son paralelas a la recta y
 10x  2.
Solución:
 Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:
f '(x)  10
 Ordenadas en los puntos:
f (1)  1; f (1)  3
 Ecuaciones de las rectas tangentes:
 En x  1  y  1 + 10 (x  1)  y  10x  9
 En x  1  y  3  10 (x  1)  y  10x  7
2 1
Si es paralela a la recta 2 3 1 0 , tendrá la misma pendiente:
3
x
x y y
 
     
3
2
'

y
 
12
7
3
7
4
3
2
34' 

 xxxxf
72
5
12
7 






f
72
23
3
2
12
7
3
2
72
5










 xyxy
 






1
1
1121210212' 222
x
x
xxxxf

5
Ejercicio nº 5.-
Solución:
 Ecuación de la recta:
Ejercicio nº 6.-
Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
Solución:
 Dominio  R { 2 }
 Derivada:
f '(x)  0  4x  16  0  x  4
 Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (, 2)  (4, ); es decreciente en (2, 4). Tiene un máximo en (4, 1).
Ejercicio nº 7.-
Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
.2en63curvalaatangenterectaladeecuaciónlaHalla 0
2
 xxxy
  4162 y
 
632
32
32·
632
1
'
22





xx
x
x
xx
y
 
8
7
2'

y
 
4
9
8
7
2
8
7
4 

 xyxy
  2
2
124
)( 


x
x
xf
  





 44
2
2)(x
])124(2)2(4[)2(
)2(
)2(2·)124()2(4
'
xxx
x
xxx
xf
33
)2(
164
)2(
24884






x
x
x
xx
 
1
222



x
xx
xf

6
Solución:
 Dominio  R  {1}
 Derivada:
 Signo de f' (x).
f (x) es creciente en (, 0)  (2, ); es decreciente en (0, 1)  (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un
mínimo en (2, 2).
Ejercicio nº 8.-
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de
inflexión:
Solución:
 Derivada:
 Signo de f' (x):
f (x) es decreciente en (, 2)  (0, 3); es creciente en (2, 0)  (3, ). Tiene un mínimo
      
     2
2
2
22
2
2
1
2
1
222222
1
22122
'









x
xx
x
xxxxx
x
xxxx
xf
   






2
0
02020' 2
x
x
xxxxxf
  1
912
2
34
 x
xx
xf
  x
xx
xf 2
33
'
23

   














2
2411
06
0
0
3
6
3
6
0'
2
223
xxx
x
xxxxxx
xf





3
0
x
x
 
7 17
en 2, y otro en 3, . Tiene un máximo en 0, 1 .
9 4
    
   
   

7
 Segunda derivada:
 Signo de f'' (x):
f (x) es decreciente en (; 1,12)  (1,79; ); es convexa en (1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión:
(1,12; 0,03) y (1,79, 1,99)
Ejercicio nº 9.-
Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x)  (x  2)2
(x  1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Solución:
 Derivada:
f '(x)  2 (x  2) (x  1)  (x  2)2
 (x  2) [2 (x  1)  x  2] 
 (x  2) (2x  2  x  2)  3x (x  2)  3x2
 6x
f (x) es creciente en (-, 0)  (2, +); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2,
0).
 Segunda derivada:
f ''(x)  6x  6
f ''(x)  0  6x  6  0  x  1
 Signo de f ''(x):
f (x) es convexa en (, 1); es cóncava en (1, ). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).
  2
3
2
'' 2

x
xxf
 








79,1
12,1
6
762
6
7242
06230'' 2
x
x
xxxxf
   






2
0
0230'
x
x
xxxf

8
Ejercicio nº 10-
Considera la función:
f (x)  2x3
 9x2
 12x  1
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.
Solución:
a) f '(x)  6x2
 18x  12
f '(x)  0  6 (x2
 3x  2)  0
f (x) es creciente en (, 2)  (1, +); es decreciente en (2, 1). Tiene un máximo en
(2, 3) y un mínimo en (1, 4).
b) f ''(x)  12x  18
 Signo de f ''(x):
Ejercicio nº 11-
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus
catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga
volumen máximo.
Solución:
Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que:
x2
 y2
 1  y2
 1  x2
El volumen del cono es:










2
1
2
13
2
893
x
x
x
 
2
3
12
18
018120''



 xxxf
  depuntounTiene.,
2
3
encóncavaes;
2
3
,enconvexaes 












 
xf
.
2
7
,
2
3
eninflexión 




 
    10;
3
1
33
322






 xxxxxxyV

9
Buscamos x para que el volumen sea máximo:
Veamos que es un máximo:
Por tanto, el máximo se alcanza cuando los catetos miden:
Ejercicio nº 12-
La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en C)
según la expresión: Q(x)  (x  1)2
(32  x)
a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
Solución:
a) Buscamos el máximo de la función Q(x):
Q '(x)  2 (x  1) (32  x)  (x  1)2
· (1)  (x  1) [2 (32  x)  (x  1)] 
 (x  1) [64  2x  x  1]  (x  1) (63  3x)
Q ''(x)  (63  3x)  (x  1) · (3)  63  3x  3x  3  6x  60
Q ''(1)  66 > 0  en x  1 hay un mínimo.
Q ''(21)  66 < 0  en x  21 hay un mínimo.
Por tanto, la temperatura ha de ser de 21 C.
b) La producción en este caso sería de:
Q(21)  5324 kg
 2
31
3
' xV 


vale)nonegativaraíz(la
3
1
3
1
0310' 22
 xxxV
      010máximounhay
3
1
en0
3
1
'',6
3
'' 










 VVxVxV
cono)delalturalaseráque(eldm58,0
3
3
3
1
x
dm82,0
3
6
3
2
y
 







210363
101
0'
xx
xx
xQ

10
Ejercicio nº 13-
Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe
tener para que su fabricación sea lo más económica posible?
Solución:
Llamamos x al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es:
La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:
Buscamos x para que A sea mínima:
A'  0  16 000  2x3
 0  2x3
 16 000 
Veamos que es un mínimo:
Por tanto, el lado de la base debe medir x  20 dm y la altura, y  10 dm.
Ejercicio nº 14-
Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200
helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por
unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero?
¿Cual será ese beneficio?
Solución:
Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x céntimos; y
venderá 200  2x helados diarios.
2
32 0004
dm0004
x
yyxV 
0;
000160004
·44 22
2
2
 xx
x
x
x
xxxyA
2
3
2
200016
2
00016
'
x
x
x
x
A




dm2000080008
2
00016 33
 xx
  mínimohay20en020'',2
00032
'' 3
 xA
x
A

11
Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:
I (x)  (50  x) (200  2x)
Pero tiene unos gastos de: G (x)  (200  2x) · 40
Luego, el beneficio será de:
B (x)  I (x)  G (x)  (50  x) (200  2x)  (200  2x) · 40  (200  2x) (50  x  40) 
 (200  2x) (x  10)  2x2
 180x  2000
Hallamos x para que el beneficio sea máximo:
B '(x)  4x  180
B '(x)  0  4x  180  0  x  45
B ''(x)  4; B ''(45) < 0  en x  45 hay un máximo
Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50  45 céntimos de euro. En este caso, el
beneficio sería de B (45)  6050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.
Ejercicio nº 15-
Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol
adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de
árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?
Solución:
Llamamos x al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería:
f (x)  (24  x) (600  15x)  15x2
 240x 14 400
Buscamos x para que f (x) sea máxima:
f' (x)  30x  240
Veamos que es un máximo:
f'' (x)  30 ; f'' (8)  30 < 0  en x  8 hay máximo. (Como f (x) corresponde a una parábola
invertida, en x  8 está el máximo absoluto).
Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 24  8  32 árboles, que producirán 15360 frutos.
  88
30
240
0240300'  xxxxf

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