Programacion lineal ejemplos y teoria - ingenieria

Método de las gran M
Éste método añade variables artificiales, que no deben de aparecer en la
solución óptima final
Po = c1x1 + …. + cnxn Objetivo original
Pa = c1x1 + …. + cnxn + Mxa1 + ….+Mxam Objetivo modificado
Las variables artificiales dan una solución inicial en forma canónica.
Optimización de procesos químicos. 2007-2008 DIQUIMA-ETSII

Todas las variables “reales” valen inicialmente 0 y las variables artificiales
É
son las que satisfacen las ecuaciones. Éstas variables tienen de coeficiente 1.
En el óptimo todas las variables artificiales deben de valer 0.
p f
Se consigue poniendo una alta penalización a las mismas en la función
objetivo, la “gran M”.

La resolución es en forma de tabla como en los casos anteriores
Coeficientes función objetivo
Coeficientes de
restricciones LHS
Variables
artificiales
Coeficientes de
restricciones RHS

Ejemplo de resolución empleando el método de la
gran M

Convertir el problema a estándar añadiendo variables de holgura

Añadir variables artificiales para encontrar una solución inicial
f tibl
factible.

Añadir altas penalizaciones a las variables en la función objetivo.

Formular el problema en forma de tabla
¡¡¡NOTA!!! En este caso la función objetivo se ha despejado al
¡¡¡NOTA!!! En este caso la función objetivo se ha despejado al
revés a lo visto en el método anterior poníamos (z-2x1-3x2-Ma2-Ma3),
por eso se escogerá el menor valor negativo en lugar del mayor
positivo. ¡Y se acabará cuando todos sean positivos!
0
3
2 3
2
2
1 =
+
+
+
+
− Ma
Ma
x
x
z
z x1 x2 s1 s2 a2 a3 rhs Basic Ratio
p ¡ p
1 2 1 2 2 3
variable
-1 2 3 0 0 M M 0 z
0 .5 .25 1 0 0 0 4 s1 ---
0 1 3 0 1 1 0 20
0 1 3 0 -1 1 0 20 a2 ---
0 1 1 0 0 0 1 10 a3 ---
Canonical form: Buscamos que todas las variables básicas tengan una columna con un 1 y
el resto de elementos 0.
Luego operamos para tener esta condición en las variables a2 y a3

Ahora el problema está en una solución factible (vértice) y en forma canónica.
Empezamos el procedimiento cambiando una variable de la base (cambiar a un
Empezamos el procedimiento cambiando una variable de la base (cambiar a un
vértice adyacente) para:
1. Mejorar la función objetivo
2 M t l l ió f tibl
I iti l t bl
2. Mantener la solución factible.
Initial tableau
This (x2) is the variable entering the basis (smallest value < 0).
z x1 x2 s1 s2 a2 a3 rhs Basic Ratio
z x1 x2 s1 s2 a2 a3 rhs Basic
variable
Ratio
-1 -2M+2 -4M+3 0 M 0 0 -30M z
0 .5 .25 1 0 0 0 4 s1 16
0 1 3 0 -1 1 0 20 a2 20/3
0 1 1 0 0 0 1 10 a3 10
This (a ) is the variable leaving the basis
This (a2) is the variable leaving the basis.
Pivot element, ars (Smallest value of bi/aij for entering aij >0)

Si la solución no es óptima seguimos con el procedimiento.

Third tableau
All reduced costs are greater than 0.0. The objective cannot be decreased by changing
the basis i e moving to an adjacent corner point We have found the optimum!
the basis, i.e., moving to an adjacent corner point. We have found the optimum!
z x1 x2 s1 s2 a2 a3 rhs Basic
variable
Ratio
-1 0 0 0 1/2 -1/2+M -3/2+M -25 z = 25
1 0 0 0 1/2 1/2+M 3/2+M 25 z 25
0 0 0 1 -1/8 1/8 -5/8 1/4 s1 = 1/4 ---
0 0 1 0 -1/2 1/2 -1/2 5 x2 = 5 ---
0 1 0 0 1/2 -1/2 3/2 5 x1 = 5 ---
10. In this problem, the optimum was reached after the artificial variables were eliminated.
Typically, (many) additional corner points would have to be evaluated using the pivoting
procedure
procedure.
The solution is x1 = 5, x2 = 5; slack variables values are s1 = ¼ and s2 = 0.
The objective function value is z = 25.
j

PROGRAMACIÓN LINEAL
¿Puedo saber
25
Problema Solución
algo más con la
solución?
z = 25
3.75 ≤ 4.0
20 ≥ 20
10 = 10
x1 = 5 ≥ 0
x2 = 5 ≥ 0

Análisis de sensibilidad
Cómo afecta el cambio de parámetros en la solución.
Problema
Cómo afecta un cambio
en este parámetro en z y
en este parámetro en z y
en los valores de x*?
¡Sin tener que resolver
¡ q
de nuevo el problema!

Los coeficientes de la función objetivo de las variables
originales se denominan: costes reducidos
originales se denominan: costes reducidos
Los coeficientes de la función objetivo de las demás variables
(holgura) se denominan: precios sombra o duales
En el óptimo:
O la variable es cero (no básica) o el precio dual o el coste reducido es cero.
En el caso de que ambos sean cero:
E i l ió d d i l i bl bá i
Existe solución degenerada si la variable es básica
Existen múltiples óptimos si la variable es no básica

S ibilid d Δ /Δ d l i bl bá i
• Sensibilidad= Δz/Δα con todas las variables básicas, xB,
pueden cambiar luego la solución es un nuevo óptimo.
1. Los resultados se limitan a los óptimos con las mismas
restricciones activas que el caso base, es decir, no requiere
q , , q
cambiar la base escogida.
2. Los resultados definen el rango de cambio de parámetros
(coeficientes función objetivo o constantes de RHS) que
implican que no hay cambio en las restricciones activas.
3 El resultado proporciona un valor exacto cuantitativo de
3. El resultado proporciona un valor exacto, cuantitativo de
ΔOBJ*/Δparametro

El software presenta informes con el valor y rango de la
ibilid d d d i ió F d l b
sensibilidad de cada restricción. Fuera de ese rango la base
cambia.
Constraint ID Status
(Binding/
non-binding)
slack Shadow price
(sensitivity of
rhs)
Maximum
allowable
increase (AI)
Maximum
allowable
decrease (AD)
o b d g)
(Active/inactive)
s) c e se ( ) dec e se ( )
Max. Reflux flow Active 0 3.74 47 123
Max. Pump 7 Inactive 321 0 1.0E30 321
Shadow price = ΔOBJ*/ΔRHS, has units!

Cambios en el parámetro RHS
Cuánto puedo cambiar la
restricción 1 sin cambiar
de base?
Optimum
Variable
x
2
1b
de base?
V
1 1a
Los valores de x*
cambian!
Variable x1
cambian!

Los valores de las variables (si la restricción está activa) y de la función
objetivo variarán, pero la base permanece.
El nuevo valor de la función objetivo será:
Znew=Zoriginal - precio sombra x ∆b
Znew=Zoriginal - precio sombra x ∆b

Función objetivo = z = Σcjxj
Sensibilidad a un cambio en un coeficiente de la función
objetivo.
The
original
optimum
j
Cambios en cj que no cambian la
base,
Δx = 0
Δ z = Δ Σcjxj= Σ Δ cj(xj)
cj j cj( j)
= Δ ck(xk)
D d k l fi i t bi d
Original problem
Donde k = el coeficiente cambiado

Los valores de las variables en el nuevo óptimo no cambian, al no
variar las restricciones y no cambiar la base. Luego el óptimo es el
mismo punto en el espacio.
El l bj ti l l i d l l d l
El nuevo valor objetivo se calcula poniendo los valores de las
variables en la nueva función objetivo, dado que cada vez se varía un
coeficiente se puede calcular el cambio en la función objetivo debido
a un cambio en el coeficiente
a un cambio en el coeficiente.

En general cambios
En general cambios
en los coeficiente “A”
del LHS, implican
que el problema se
debe resolver de
nuevo
nuevo.

Animación análisis sensibilidad

The LP Simplex Algorithm Weird Events
e S p e go We d ve s
We must monitor and diagnose the LP solution. We could
g
have made a formulation error, or we could have defined a
problem that is correct but has special, unusual, properties.
We must monitor for weird effects.
The
original
optimum
Let’s learn to
• diagnose and
• correct (if possible).
Original problem

Solution
Diagnosis
feasible
NO FEASIBLE SOLUTION
feasible
X2 ≥ 0
• Diagnosis -
feasible
feasible
• Remedial Action -
X1 ≥ 0
Remedial Action -

Solution
Diagnosis
feasible
NO FEASIBLE SOLUTION
• Diagnosis At least one
feasible
X2 ≥ 0
• Diagnosis - At least one
artificial variable in
optimal basis - software feasible
feasible
optimal basis software
reports this as infeasible.
X1 ≥ 0
Remedial Action -
reformulate, if
appropriate
(See goal programming)

Solution
Diagnosis
UNBOUNDED SOLUTION
i i
ariable
x
2
Increasing profit
• Diagnosis -
Va
Variable x1

Solution
Diagnosis
UNBOUNDED SOLUTION
i i i
ariable
x
2
Increasing profit
• Diagnosis - The distance to
the best adjacent corner
point is infinity - software
Va
point is infinity - software
will report.
• Remedial Action
Variable x1
Reformulate, which is
always possible - realistic
always possible realistic
variables never go to ∞

Solution
Diagnosis
Increasing profit
ALTERNATIVE OPTIMA
i i
Variable
x
2
Shaded area
Optimal
corner points
• Diagnosis -
V
is the feasible
region
Variable x1

Solution
Diagnosis
ALTERNATIVE OPTIMA
Increasing profit
ALTERNATIVE OPTIMA
• Diagnosis 1 - The basis can
change with no change in
Variable
x
2
Shaded area
Optimal
corner points
change with no change in
objective.
O b i
V
is the feasible
region
One or more non-basic
variables has a zero
marginal cost.
Variable x1
marginal cost.
Software does not report
warning
warning

Solution
Diagnosis
ALTERNATIVE OPTIMA
Increasing profit
ALTERNATIVE OPTIMA
• Diagnosis 2 - One or more
active constraint rhs can be
Variable
x
2
Shaded area
Optimal
corner points
active constraint rhs can be
changed without affecting
the objective.
V
is the feasible
region
j
An active constraint has a
zero marginal value and
Variable x1
zero marginal value and
non-zero range (both ways).
Software does not report Constraint rhs can
warning
be changed with no
change to OBJ

Solution
Diagnosis
ALTERNATIVE OPTIMA
Increasing profit
ALTERNATIVE OPTIMA
• Remedial action- We have
found the best value of the
Variable
x
2
Shaded area
Optimal
corner points
found the best value of the
Función objetivo!
W lik l f f th
V
is the feasible
region
We likely prefer one of the
different sets of x values.
We would like to know all
Variable x1
We would like to know all
solutions and select the
“best”, using additional
criteria.

Solution
Diagnosis
CONSTRAINT
DEGENERACY: Redundancy
ariable
x
2
O ti
2
• Diagnosis -
Va
Optimum
1
3
R di l A ti
Variable x1

Solution
Diagnosis
CONSTRAINT
DEGENERACY: Redundancy
ariable
x
2
O ti
2
• Remedial action- The
solution is correct.
Va
Optimum
1
3
The sensitivity information
is not reliable!
Variable x1
If you need sensitivity
information, introduce the
change (rhs, cost, etc.) and
rerun the optimization.

Solution
Diagnosis
CONSTRAINT optimum
x3
DEGENERACY:
• Diagnosis -
x
R di l A ti x1
x2

Solution
Diagnosis
CONSTRAINT optimum
x3
DEGENERACY:
• Diagnosis -
x
More inequalities are active
(slacks = 0) than dimension x1
x2
( )
of the problem.
warning

Solution
Diagnosis
CONSTRAINT optimum
x3
DEGENERACY:
• Remedial action - The
solution is correct.
x
The sensitivity information
is not reliable!
x1
x2
If you need sensitivity
information, introduce the
change (rhs, cost, etc.) and
rerun the optimization.

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