Analisis de sinsibilidad en problemas de programacion linial
- 1. DOCENTE ING. CARDENAS PINTO, Juan Percy ESTUDIANTES: JAVIER AMANCAY, Frank ONOFRE ENRIQUEZ, Noime TRUCIOS MITMA, Miriam CAJAHUAMAN MALLCCO, Javier VILLARROEL CARDENAS, Jorge Miguel UNIDAD DIDACTICA INVESTIGACION DE OPERACIONES V CICLO UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA “FACULTAD INGENIERIA DE ELECTRONICA - SISTEMAS” ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS “ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL”
- 3. A nuestros amados padres, por su apoyo y su amor plasmado en ayuda efectiva para culminar nuestros estudios.
- 4. INDICE Contenido INTRODUCCION......................................................................................................................... 5 CAPITULO 1................................................................................................................................ 6 1. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL ......... 6 1.1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD..................................................................................... 6 1.1.1. COSTES RELATIVOS O SOMBRA..................................................................... 6 1.2. TIPOS DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD................................................................... 7 1.3. LAS VARIABLES DE HOLGURA................................................................................ 8 1.3.1. VARIABLES BÁSICAS:........................................................................................ 8 1.3.2. VARIABLES NO BÁSICAS:.................................................................................. 8 1.4. INCLUSIÓN DE VARIABLES. ..................................................................................... 8 1.5. MODIFICACIÓN DE COEFICIENTES DE VARIABLE NO BÁSICA EN RESTRICCIONES...................................................................................................................10 1.6. AÑADIR NUEVAS RESTRICCIONES. .......................................................................11 1.7. RANGO DE VARIABILIDAD:......................................................................................11 1.8. Un ejemplo “ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL”..................................................................................................11
- 5. INTRODUCCION En el presente trabajo se dara conocer el analisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de programacion lineal El análisis de sensibilidad, en este caso lo que se determina es el rango o campo de variación admisible para los diferentes coeficientes del problema, dentro del cual la solución actual se mantiene como factible y como óptima. Asi teniendo como objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente. Es decir utilizando el Método Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin tener la necesidad de resolver para cada variación un nuevo problema.
- 6. CAPITULO 1 1. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL El Análisis de Sensibilidad se relaciona con la cuantificación de los efectos en la solución óptima de cambios en los parámetros del modelo matemático. Cuando escribimos un modelo, damos por aceptado que los valores de los parámetros se conocen con certidumbre; pero en la realidad no siempre se cumple que los valores sean verídicos, ya que por ejemplo las variaciones en los costos de los materiales, en la mano de obra o en el precio de un producto, ocasionan cambios en los coeficientes de la función objetivo. Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores, las huelgas, los deterioros no previstos y otros factores imponderables generaran cambios en la disponibilidad de los recursos. Los cambios en el modelo matemático, que pueden cuantificarse a veces sin necesidad de volver a resolver el modelo, se relacionan con: Cambios en los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo (Ganancias por unidad de variable de decisión) o Cambios en los lados derechos de las restricciones que definen el modelo. (Cantidad de recursos disponibles) Los efectos de cambios en los coeficientes dentro de la matriz A son muy difíciles de cuantificar, y por tanto en estos casos se aconseja correr de nuevo el modelo con los cambios. En primera instancia veremos cuando solo un coeficiente cambia; después veremos cuando varios coeficientes cambian simultáneamente. 1.1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. La tabla que nos proporciona el método simplex es una gran fuente de información sobre los datos de nuestro problema, siempre y cuando los sepamos descifrar. Para ello realizaremos lo que se denomina análisis de sensibilidad. Una de las cosas más importantes que nos proporciona este análisis, es la de conocer el intervalo de variación de los parámetros del problema, sin que cambie nuestra solución óptima. 1.1.1. COSTES RELATIVOS O SOMBRA Los coeficientes que en el momento de obtenerse la solución óptima tiene la tabla en la LO, son los costes relativos o sombra. Representan el empeoramiento o disminución que tendría la función objetivo por el incremento unitario de una variable no básica, al introducir en la base. Si se modifican los coeficientes de nuestra función objetivo, es evidente que nuestra solución seguirá siendo factible. En un principio no sería
- 7. necesario comenzar desde el origen del algoritmo, sino simplemente sustituirlos y continuar con el procedimiento conocido. Variables no básicas Si el coeficiente de una variable no básica se incrementa, llegaría un momento en el que formaría parte de nuestra función objetivo. En el empleo de fabricación de patatas que vimos anteriormente, en el que nuestra función objetivo era: Max 4 X1 + 5 X2 + 9 X3 + 11 X4 No fabricábamos nada del producto 2. Vamos a ver cuánto podríamos variar el coeficiente de la variable X2 sin que se modifique el valor óptimo de nuestra función objetivo: FO: Max 4 X1 +(5 + p2) X2 + 9 X3 +11 X4 p2≥0 En sucesivas iteraciones llegaríamos a una LO: Si p2 < 3/7, no varia nada nuestro problema. Si p2 = 3/7, entonces quiere decir que podría obtener otra solución en la que X2 entrase en la base. El valor de nuestra función objetivo no variaría. Si p2 > 3/7, el coeficiente de la LO de X2 sería negativo y X2 entraría en la base, con lo que el valor que obtendríamos para nuestra función objetivo erá mayor. Por tanto, los coeficientes en la LO en la solución optimal representan el incremento máximo que puede tomar el coeficiente de una variable no básica para entrar en la base. 1.2. TIPOS DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD Cambio en el "lado derecho" de las restricciones: Lo que se busca identificar si las actuales variables básicas se mantienen luego de la modificación de uno o más parámetros asociados al "lado derecho" del modelo. Si calculamos: y se cumple , Las mismas variables básicas lo son también de la nueva solución óptima, calculada con el nuevo . Si lo anterior no se cumple, se puede aplicar el Método Simplex Dual X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi LO 0 3/7-p2 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7
- 8. a) INCLUSIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE: Debemos evaluar si la nueva variable es un aporte significativo a los resultados del modelo original. Luego, para decir si la actual solución básica es óptima para el nuevo problema, calculamos el costo reducido de la nueva variable como: donde k es el índice de la nueva variable y Ak su respectiva columna en la matriz de coeficientes. Si se cumple que rk>=0 se conserva la actual solución óptima. En caso contrario, se puede seguir con el Simplex agregando a la tabla una nueva columna con entradas B-1Ak y rk y tomando como variable entrante a la nueva base la que acabamos de introducir al problema 1.3. LAS VARIABLES DE HOLGURA. El valor de una variable de holgura, representa el sobrante de la restricción a la que está asociada. Por ello, una variación en el valor de una variable de holgura implica una modificación en los términos independientes de las restricciones. 1.3.1. VARIABLES BÁSICAS: El valor de una variable de holgura BÁSICA representa la disminución máxima que puede tener la restricción a la que está asociada, sin que varíe nuestra base factible Es decir, refleja el exceso que tenemos en la restricción correspondiente. 1.3.2. VARIABLES NO BÁSICAS: Las modificaciones en los coeficientes bi de las líneas correspondientes a las restricciones, están determinados por las variables de holgura. Vamos a ver qué sucede si modificamos un coeficiente correspondiente a una restricción cuya variable de holgura asociada es no básica. 1.4. INCLUSIÓN DE VARIABLES. Vamos a pasar a estudiar la posible inclusión de una nueva variable en nuestro problema. Para ello nos basaremos en un ejemplo. Supongamos el siguiente problema: F.O.: Max 3 X1 + 5 X2 S.a.: X1 ≤ 4 3 X1 + 2 X2 ≤ 18
- 9. cuya solución final es: X1 X2 X3 X4 bi LO 9/2 0 0 5/2 45 L1 1 0 1 0 4 L2 3/2 1 0 1/2 9 Vamos a ver qué sucede si nos aparece una nueva variable X5 que nos transforme el problema en: F.O.: Max 3 X1 + 5 X2 + 7 X5 S.a.: X1 + X5 ≤ 4 3 X1 + 2 X2 + 2 X5 ≤ 18 El coeficiente correspondiente a esta variable en la LO será: (A) * (B) + m = n Siendo: A. matriz fila de los coeficientes de las variables de holgura en la LO B. matriz columna de los coeficientes (de la nueva variable) incluidos en las restricciones antiguas. M: coeficiente (de la nueva variable) incluido enla función objetivo antigua. N: coeficiente de la nueva variable en la LO de la nueva tabla solución. Así tendremos: (0,5/2) * 1 - 7 =2 Además, también podemos calcular cuáles son los coeficientes de la nueva variable en las casillas de la tabla, correspondientes a las restricciones. El procedimiento será: (A’) * (B) = (C) Donde: A: matriz de los coeficientes correspondientes a las variables de holgura en las lineas de las restricciones en la tabla solucion del
- 10. problema inicial. B: matriz columna de los coeficientes (de la nueva variable) incluido en las restricciones antiguas. C: matriz de los coeficientes correspondientes a la nueva variable en las líneas de las restricciones en la tabla de nuestro problema modificado. 1 0 * 1 = 1 0 ½ 2 1 Por tanto, la tabla nos quedaría: Como el coeficiente de la nueva variable en la LO nos ha salido negativo, será necesario continuar aplicando el método simplex a esta nueva tabla. Así obtenemos: X1 X2 X3 X4 X5 bi LO 13/2 0 2 5/2 0 53 L1 1 0 1 0 1 4 L2 1/2 1 -1 1/2 0 5 La solución por tanto sería: X2 = 5 X5 = 4 1.5. MODIFICACIÓN DE COEFICIENTES DE VARIABLE NO BÁSICA EN RESTRICCIONES. La modificación de un problema de programación lineal, mediante el cambio de alguno o varios coeficientes en las restricciones correspondientes a una variable no básica, lo vamos a analizar basándonos en un ejemplo. X1 X2 X3 X4 X5 bi LO 9/2 0 0 5/2 -2 45 L1 1 0 1 0 1 4 L2 3/2 1 0 1/2 1 9
- 11. 1.6. AÑADIR NUEVAS RESTRICCIONES. En el caso de tener un problema de programación lineal y querer modificarlo incluyendo nuevas restricciones, en lugar de volver a resolverlo, podremos realizar un análisis de sensibilidad y modificar la tabla anteriormente obtenida para encontrar una solución óptima a nuestro nuevo problema. 1.7. RANGO DE VARIABILIDAD: El Rango de variabilidad para una variable i: el rango de valores donde puede estar el coeficiente de la variable i en la funci´on objetivo y seguir siendo ´optima la soluci´on encontrada. La variaci´on en el valor de la funci´on objetivo puede calcularse: multiplicando este in(de)cremento por el valor que tiene la variable i. El nuevo valor de la funci´on objetivo se obtiene sumando tal incremento al valor del ´optimo anterior. 1.8. Un ejemplo “ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL” Considere el siguiente problema de Programación Lineal: Dos artículos A y B pueden producirse en 4 procesos diferentes los cuales requieren de diferentes cantidades de equipo, mano de obra y materia prima. Estos recursos sonlimitados y la venta de estos artículos generan una utilidad conocida dependiendo del proceso con el que se realizan. Se trata de determinar la cantidad de artículos a producir en cada proceso de manera de maximizar la utilidad. Los recursos requeridos y disponibles, así como la utilidad generada porcada unidad de artículo se muestra en la siguiente tabla:
- 12. Cantidades requeridas por unidad de producto ARTÍCULO A ARTÍCULO B RECURSO PROC.. 1 PROC. 2 PROC. 1 PROC. 2 DISPONIBILIDAD EQUIPO (Hras) 3 2 4 3 70 MANO DE OBRA (Hras) 7 8 10 12 120 MATERIA PRIMA (Kg) 1 1 1 1 15 UTILIDAD (usd / 100) 6 5.5 7 8 El modelo de Programación Lineal es el siguiente: max 6x1+5.5x2+7y1+8y2 st 3x1+2x2+4y1+3y2<70 7x1+8x2+10y1+12y2<120 x1+x2+y1+y2<15 A continuación se muestran los resultados que arroja LINDO para este problema: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 96.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 12.000000 0.000000 X2 0.000000 0.900000 Y1 0.000000 0.200000 Y2 3.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 25.000000 0.000000 3) 0.000000 0.400000
- 13. 4) 0.000000 3.200000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 2.000000 0.500000 X2 5.500000 0.900000 INFINITY Y1 7.000000 0.200000 INFINITY Y2 8.000000 2.285714 0.333333 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 70.000000 INFINITY 25.000000 3 120.000000 60.000000 15.000000 4 15.000000 2.142857 5.000000 La utilidad máxima es 9600 USD y se tiene produciendo 12 unidades de A con el proceso 1 y 3 unidades de B con el proceso 2. Observe que las variables de holgura tienen los siguientes valores en la solución óptima: w1= 25 w2= 0 w3= 0 Esto es, las restricciones de mano de obra y de materia son activas lo que implica que estos recursos se agotan con esta producción. Sin embargo todavía se tienen horas de equipo disponibles. La gráfica siguiente muestra las restricciones del problema en las variables X1 y Y2
- 14. Y2 X1 + Y2 = 15 7X1 + 12Y2= 120 X1 Si varía la disponibilidad de mano de obra y de materiales las cantidades óptimas de producción cambian. La disponibilidad de equipo puede aumentar o disminuir sin que afecte el nivel óptimo de producción. El análisis de sensibilidad permite evaluar EL EFECTO EN LA SOLUCIÓN ÓPTIMA estos cambios sin resolver otro problema. a) Si aumentamos en una unidad la disponibilidad del recurso 2 (de 120 a 121) la solución se tendría en el punto: 7x1+12y2=121 X1+y2=15 x1 = 59/5, y2= 16/5 El incremento en estas variable es de: - 12 = -1/5 = -0.2 - 3 = 1/5 = 0.2 y la función objetivo se incrementa en X1 = 12 Y2 = 3
- 15. Dz = 6 (-1/5) + 8 (1/5) = 2/5 = 0.4 que es el valor marginal (precio sombra o precio dual) de la mano de obra. “Por cada unidad de mano de obra que se disponga, la utilidad aumenta en 0.4" b) Si aumentamos en una unidad la disponibilidad del recurso 3 (de 15 a 16) la solución se tendría en el punto: 7x1+12y2=120 X1+y2=16 x1 = 72/5, y2= 8/5 El incremento en estas variable es de: - 12 = 12/5 - 3 = -7/5 y la función objetivo se incrementa en Dz = 6 (12/5) + 8 (-7/5) = 16/5 = 3.2 que es el valor marginal (precio sombra o precio dual) de la materia prima. “Por cada unidad de materia prima que se disponga, la utilidad aumenta en 3.2" Para la primera restricción el precio dual es cero ya que esta restricción no es activa. Notemos que: 70 (0) + 120 (2/5) + 15 (16/5) = 96 que es la utilidad máxima.