![GRACIAS
Ingeniería Civil
Universidad Central del Ecuador
“[Nada puede] reemplazar el esfuerzo consistente en
lecturas copiosas, muchos ejercicios y largas horas de
meditación que el aprender Economía habrá de
demandarles inexorablemente” (Manuel Cordomí, 1977).
Ing. Marco Antonio Pineda C.
Esto es aplicable casi a cualquier ciencia y en especial a
una derivada de las matemáticas.](https://image.slidesharecdn.com/mtodosimplexm-161029202245/85/Metodo-simplex-m-24-320.jpg)
Método simplex m
- 1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA Ing. Marco Antonio Pineda C. Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador
- 2. MÉTODO SIMPLEX M Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador
- 3. DESCRIPCION GENERAL Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador Es una variante del método simplex estándar, para la solución de problemas de PL que no se ajustan a la forma canónica. Problemas de PL que contienen restricciones del tipo ">","≥" o "=" (el origen no es parte de la región de soluciones factibles).
- 4. METODOLOGÍA Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador
- 5. Metodología Al ser una variante del Método Simplex Estándar, trabaja con la misma metodología del simplex estándar. Pero: Al no ser el origen parte del conjunto de soluciones factibles (solución básica inicial), es necesario encontrar un vértice del ≪politopo≫, desde el cual sea factible aplicar el Método Simplex Estándar. De igual manera trabaja con ecuaciones, por tanto, será necesario, adecuar el modelo matemático a un modelo estándar, a través del uso de variables de holgura (escases), superávit (surplus), y artificiales.
- 6. PROCESO GENERAL Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador El proceso general, es el mismo que sigue el método simplex: Planteamiento • Construcción del Modelo Matemático (Variables , Restricciones y Función Objetivo) Conversión • Conversión de las desigualdades en ecuaciones utilizando variables de holgura , superávit y artificiales. Solución • A través del algoritmo iterativo Simplex, solucionar el problema.
- 7. Procedimiento Matemático Proceso: SB: solución básica 1. • Convertir desigualdades en igualdades (var. de holgura y superávit) 2. • Introducir las variables artificiales necesarias (rest. y FO) 3. • Escribir la tabla inicial simplex 4. 5. • Calcular el valor inicial de Z, dado por la SB temporal • Encontrar las variables y coeficientes de la nueva tabla
- 8. Ejemplo: Utilizando el Método Simplex M, resolver Maximizar 𝑍 = 𝑓 𝑥1; 𝑥2 = 5𝑥1 + 8𝑥2 Sujeto a: 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 𝑥2 ≥ 1 −2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
- 9. Procedimiento Matemático Introducir una variable de holgura y/o de superávit en cada una de las restricciones, según el caso : 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑆1 = 30 𝑥2 − 𝑆2 = 1 −2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆3 = 6 𝑍 𝑚á𝑥 = 5𝑥1 + 8𝑥2 + 0𝑆1 − 0𝑆2 + 𝑆3 1. • Convertir las desigualdades en igualdades
- 10. Procedimiento Matemático En problemas, donde exista restricciones del tipo ">", ">=" o"=", es necesario agregar una variable artificial por cada restricción de este tipo, para así formar la base canónica necesaria para aplicar el método simplex estándar.. 6𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑆1 = 30 𝑥2 − 𝑆2 + 𝑅1 = 1 −2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆3 = 6 2. • Introducir las variables artificiales necesarias (Rest. Y FO)
- 11. Procedimiento Matemático Para la función objetivo, la nueva variable artificial se debe restar en la función objetivo, multiplicada por una constante muy grande. Si se trata de maximizar, caso contrario deberá sumarse. 𝑍 𝑚á𝑥 = 5𝑋1 + 8𝑋2 + 0𝑆1 − 0𝑆2 + 𝑆3 − 𝑀𝑅1
- 12. Procedimiento Matemático 3. • Escribir la tabla inicial simplex Variables Solución Variables de Decisión Variables de Holgura, Superávit y Artificiales Valores Solución X1 X2 S1 S2 S3 R1 S1 6 5 1 0 0 0 30 R1 0 1 0 -1 0 1 1 S3 -2 2 0 0 1 0 6 Z -5 -8 0 0 0 M 0
- 13. Procedimiento Matemático La tabla muestra que Z= 0, pero, dado que la SB temporal es: 𝑆1 = 30; 𝑅1 = 1; 𝑆3 = 6 Se tiene que: 𝑍 = 0𝑆1 + 0𝑆3 − 𝑀𝑅1 = −𝑀 Esta contradicción se da porque el coeficiente de 𝑅1 no es cero, por tanto, será necesario sustituir 𝑅1 en Z, a través de operaciones entre filas (anular el coeficiente de 𝑅1) y obtener Z. 4. • Calcular el valor inicial de Z, dado por la SB temporal
- 14. Procedimiento Matemático Con lo que la nueva tabla simplex se reduce a: Variables Solución Variables de Decisión Variables de Holgura, Superávit y Artificiales Valores Solución X1 X2 S1 S2 S3 R1 S1 6 5 1 0 0 0 30 R1 0 1 0 -1 0 1 1 S3 -2 2 0 0 1 0 6 Z -5 -M-8 0 M 0 0 -M Obteniendo el valor de Z esperado bajo la SB temporal.
- 15. Procedimiento Matemático Variable de decisión que entra.- el criterio es el mismo que el simplex estándar, una vez reducido a la forma canónica. Variable de holgura que sale.-. el criterio es el mismo que el simplex estándar, una vez reducido a la forma canónica Coeficientes.- aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan El proceso se repite hasta que no exista valores negativos o positivos en la fila ≪función objetivo≫, según sea el caso (Max. o min.) 5. • Encontrar las variables y coeficientes de la nueva tabla
- 16. Procedimiento Matemático Visualización en la tabla simplex se tiene: Variables Solución Variables de Decisión Variables de Holgura, Superávit y Artificiales Valores Solución Cociente X1 X2 S1 S2 S3 R1 S1 6 5 1 0 0 0 30 30/5=6 R1 0 1 0 -1 0 1 1 1/1=1 S3 -2 2 0 0 1 0 6 6/2=3 Z -5 -M-8 0 M 0 0 -M
- 17. Consideraciones Variable de decisión que entra: Variable de holgura que sale: Mismas que para el método Simplex Estándar.
- 18. PREMISAS, CONCLUCIONES Y CONSIDERACIONES Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador
- 19. Premisas El método descrito (Simplex M), se ha detallado, considerando: Que existen restricciones del tipo ">", "≥" o "=", y que no es posible reacomodar el modelo a la forma canónica al multiplicar dicha restricción por (-1) a las restricciones del tipo ">“ y "≥“. Por tanto… Al incorporar al modelo variables artificiales, se obtiene la forma canónica, necesaria para resolver un problema de PL, utilizando el algoritmo Simplex.
- 20. Consideraciones El método simplex M, posee un inherente error de redondeo. En tal sentido, no es conveniente que M sea innecesariamente grande para evitar el error. Por ejemplo, si, los coeficientes de la FO de 𝑥1 y 𝑥2 son relativamente pequeños, es razonable establecer un valor de M 10 veces superior (TORA 100). El uso de la penalización M, no forzara la variable artificial a cero en la iteración simplex final si el problema no tiene una solución factible.
- 21. EJEMPLOS Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador
- 22. Ejemplos: Utilizando el Método Simplex M, resolver Maximizar 𝑍 = 𝑓 𝑥1; 𝑥2 = 5𝑥1 + 8𝑥2 Sujeto a: 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 𝑥2 ≥ 1 −2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
- 23. Ejemplos Utilizando el Método Simplex M, resolver Maximizar 𝑍 = 𝑓 𝑥1; 𝑥2 = 4𝑥1 + 𝑥2 Sujeto a: 3𝑥1 + 𝑥2 = 3 4𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 6 1𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
- 24. GRACIAS Ingeniería Civil Universidad Central del Ecuador “[Nada puede] reemplazar el esfuerzo consistente en lecturas copiosas, muchos ejercicios y largas horas de meditación que el aprender Economía habrá de demandarles inexorablemente” (Manuel Cordomí, 1977). Ing. Marco Antonio Pineda C. Esto es aplicable casi a cualquier ciencia y en especial a una derivada de las matemáticas.