Progresiones
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Este documento define y explica las sucesiones, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Introduce las sucesiones como conjuntos ordenados de números reales donde cada elemento se llama término. Explica que los términos pueden determinarse por una regla de formación o expresarse en forma recurrente. Luego define las progresiones aritméticas como sucesiones donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior, y las progresiones geométricas como aquellas donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una
Progresiones
- 1. Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, a5, a6,....... Cada elemento de la sucesión se llama término de la sucesión. Para escribirlos emplearemos subíndices: 1 para el primero, 2 para el segundo, 3 para el tercero, etc. Los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se denomina regla de formación. Término general Se llama término general de una sucesión al que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an. Hay sucesiones cuyo término generales una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n. En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice que están dadas en forma recurrente. Una relación de recurrencia es una expresión algebraica, que expresa el término n en función de los anteriores. 2. Progresiones Aritméticas Definición Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia de la progresión Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente. Si d<0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente.
- 2. Progresiones Aritméticas Término general En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia, observa: a2= a1+d a3= a2+d=a1+d+d=a1+2d a4= a3+d=a1+2d+d=a1+3d a5= a4+d=a1+3d+d=a1+4d y siguiendo así, sucesivamente, se llega a: an= a1+(n-1)d El término general de una progresión aritmética es : an= a1+(n-1)d a1 es el primer término y d la diferencia. 2. Progresiones Aritméticas Suma de n términos. En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos. a1+an = a2+an-1= a3+an-2= ... Aplicando esta propiedad se obtiene que la suma, Sn= a1+a2+.......+an, de los n primeros términos de una progresión aritmética, es: Demostración de la fórmula que nos da la suma: Sn= a1+a2+.......+an Como la suma es conmutativa podemos escribir: Sn= an+an-1+.......+a1 Sumamos término a término las dos expresiones Sn= a1+a2+.......+an Sn= an+an-1+.......+a1 2Sn= (a1+an)+(a2+an-1)+.......+(an+a1) Los n paréntesis son sumas de términos equidistantes de los extremos, luego todos son iguales a (a1+an), por tanto 2Sn= (a1+an)n
- 3. Progresiones Geométricas Definición De la misma manera que en las progresiones aritméticas cada término se obtiene del anterior sumando un nº fijo, podemos construir sucesiones en las que cada término se calcula multiplicando el anterior por una cantidad fija, son las progresiones geométricas. Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero), se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión 3. Progresiones Geométricas Término general En una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicando por la razón: a2= a1·r a3= a2·r=a1·r·r=a1·r2 a4= a3·r=a1·r2 ·r=a1·r3 a5= a4·r=a1·r3 ·r=a1·r4 y siguiendo así se obtiene: an= a1·rn-1 . Progresiones Geométricas Suma de n términos La suma Sn= a1+a2+.......+an de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es: Observa que a1·rn = a1·rn-1 ·r=an·r, la fórmula se puede escribir de esta forma: demostración de la fórmula que nos da la suma, de los n términos de una progresión geométrica: Sn= a1+a2+.......+an El término general de una progresión geométrica es: an= a1·rn-1 a1 es el primer término y r la razón.
- 4. Multiplicamos por r los dos miembros de la igualdad: Sn·r= a1·r +a2·r +.......+an ·r Observa que a1·r = a2, a2·r = a3,.......,an-1 ·r = an Sn·r= a1·r +a2·r +.......+an ·r= a2+a3 +.......+ an-1 +an·r Sn·r= a2+a3 +.......+ an +an +1 - Sn= a1 +a2 +.......+ an-1 +an Sn·r - Sn = -a1 + an ·r Sn(r-1)= an ·r-a1