Proyecto

Especialización Enseñanza de las Matemáticas
Mención Educación Superior
2014
Licdo. Deybis Boyer
U.C. Matemáticas Experimentales.
Proyecto:
APLICACIONES DE HERRAMIENTAS TECNOLOGICAS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
1. Identificar elementos básicos en el enunciado de un problema de valor inicial.
2. Formular matemáticamente el modelo de la ecuación diferencial de primer orden
con condición inicial.
3. Aproximar la solución de la ecuación diferencial de primer orden con condición
inicial mediante técnicas numéricas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Calculo de integrales básicas, solución de ecuaciones de primer orden a través del
método de separación de variables, solución general de la ecuación diferencial lineal de
primer orden.
PROBLEMA:
Ley de Enfriamiento de Newton
A partir de observaciones experimentales se sabe que (hasta una aproximación ``
satisfactorio'') la temperatura de la superficie de un objeto cambia a una velocidad
proporcional a su temperatura relativa. Es decir, la diferencia entre su temperatura y la
temperatura del medio ambiente circundante. Esto es lo que se conoce como la ley de
enfriamiento de Newton.
UNEFM

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Si 휃(푡) es la temperatura de un objeto en un instante de tiempo 푡, 푆 es la temperatura del
ambiente constante y 훽 la constante de proporcionalidad entonces la ecuación diferencial
asociada a los problemas de enfriamiento (calentamiento) es:
UNEFM
푑휃
푑푡
= 훽[휃(푡) − 푆]
Se necesita conocer la lectura de la temperatura del objeto en dos instantes diferentes, ya
que hay dos constantes por determinar: la constante de proporcionalidad β y la constante
de integración. Se tendrá entonces un problema de valor de frontera
{
푑휃
푑푡
= 훽[휃(푡) − 푆]
휃1 = 휃(푡1)
휃1 = 휃(푡2)
La solución del problema de valor de frontera permite obtener la Ley de Variación de la
temperatura en función del tiempo (esto es, una ecuación para 휃(푡))
Un estudio cualitativo de este fenómeno va a demostrar que k > 0. Esta es una
ecuación diferencial lineal de primer orden. La solución, bajo la condición inicial, es dada
por
휃(푡) = 푆 + (휃1 − 푆)푒−푘푡
Por lo tanto,
,
Lo que implica
Esta ecuación permite encontrar 푘 si el intervalo de tiempo 푡1 − 푡2 es conocido y vice-versa.

2014
Ejemplo: Tiempo de Muerte Suponga que un cadáver fue descubierto en una habitación
de un motel en la medianoche y su temperatura era 80표퐹 . La temperatura de la
habitación se mantiene constante a 60표 퐹 . Dos horas más tarde la temperatura del
cadáver se redujo a 75표 퐹 . Encontrar el momento de la muerte.
Solución: Primero usamos las temperaturas observadas del cadáver para encontrar la
constante k. Tenemos
UNEFM
.
Con el fin de encontrar el momento de la muerte tenemos que recordar que la
temperatura de un cadáver en el momento de la muerte es 98.6표 퐹 (suponiendo que la
persona muerta no estaba enfermo). Entonces tenemos
Lo que significa que la muerte ocurrió alrededor de las 19:26.
Ahora aplique métodos numéricos para aproximar la solución.
El modelo que gobierna el problema está dado por:
푑휃
푑푡
{
= 0.1438(휃 − 60)
휃(0) = 98.6
휃(푡1) = 80
휃(푡2) = 75
0 ≤ 푡 ≤ 5
Cuya solución exacta es
휃(푡) = 60 + (38.6.∗ 푒−0.1438 .∗푡 )

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Ahora bien, programemos este modelo para ello siga las instrucciones:
1. Abra el software Scilab
2. En console abra la opción de archivo y seleccione en la carpeta de nuevos algoritmos la
opción EDO-Grafica y ejecute console copiando el nombre grafica (fx, a, b, colorlinea, e).
3. Luego en console abra la opción de archivo y seleccione en la carpeta de nuevos
algoritmos la opción EDO- euler y ejecute copiando en console el nombre euler (f, gx, a,
wo, b, h).
Donde
푓 ∶ Es la funcion asociada a la ecuación diferencial.
푔푥 ∶ Es la solución exacta
푎 ∶ Valor inicial del intervalo
푏 ∶ Valor final del intervalo
ℎ ∶ Tamaño del paso
4. Cargar los valores correspondiente y ejecutar
5. Veamos los resultados generados
UNEFM

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Observemos que con el método de euler el error de aproximación no es muy pequeño. Veamos
qué pasa con el método de eulermejorado.
Aquí el error es más pequeño que en euler. Probemos ahora con rungekutta.
UNEFM
Observemos que en este resultado el
tiempo alcanzado es de t=4.57 seg

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Aquí la aproximación fue mucho mejor que en los dos métodos anteriores
UNEFM

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