Pruebas final mayor2006
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El documento presenta 6 problemas matemáticos correspondientes al segundo día de la Final Nacional de la 18a Olimpiada de Matemática. Los problemas incluyen: hallar la menor cantidad de fracciones necesarias para cumplir una condición dada, determinar las longitudes de los lados de un triángulo a partir de información sobre su área y circunferencia circunscrita, calcular las formas de moverse entre dos puntos en un tablero, encontrar un número que es cuadrado y cubo perfecto con cierta condición, determinar el último armario abierto en un
Pruebas final mayor2006
- 1. Final Nacional 18º Olimpiada de Matemática 12 de Octubre de 2006 Primer día Mayores Tiempo 4 horas 1.- Juana y Juan tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma de todas las fracciones de la lista de Juana y la suma de todas las fracciones de la lista de Juan sea mayor que 123. 12 2 2 3 2 4 2 5 2 Las fracciones de la lista de Juana son ; ; ; ; ;............ 1 3 5 7 9 12 2 2 3 2 4 2 5 2 Y las fracciones de la lista de Juan son ; ; ; ; ;............ 3 5 7 9 11 Hallar la menor cantidad de fracciones que deben escribir cada uno para lograr el objetivo. 2.- En un triángulo ABC con lados de longitudes enteras en centímetros, se sabe que el 65 radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide centímetros y el área es 8 84 centímetros cuadrados. Determinar las longitudes de los lados del triángulo. 3.- Se tiene el siguiente tablero de 2 × 6 Hallar de cuantas maneras se puede ir desde el punto A hasta el punto B, desplazandose por los segmentos del tablero, respetando las reglas siguientes. - No se puede pasar dos veces por un mismo punto. - Sólo se puede hacer tres tipos de movimientos desplazándose por los segmentos: Hacia la derecha, hacia arriba, hacia abajo - Se tiene que pasar por el punto C
- 2. Final Nacional 18º Olimpiada de Matemática 13 de Octubre de 2006 Segunda día Mayores Tiempo 4 horas 4.- Sea n un número de 6 cifras, cuadrado perfecto y cubo perfecto, si n − 6 no es par ni múltiplo de 3. Hallar n . 5.- Un estudiante aburrido pasea por un pasillo donde hay una fila de armarios cerrados, numerados del 1 al 1024. Abre el armario Nº 1, luego se salta un armario y abre el siguiente, y así sucesivamente. Cuando llega al final de la fila da la vuelta y vuelve a empezar: abre el primer armario que encuentra cerrado, se salta el siguiente armario cerrado y así sigue hasta el inicio del pasillo. Recorre de inicio a final, de final a inicio el pasillo hasta que todos los armarios quedan abiertos. ¿Cuál es el nº del ultimo armario que abrió? 6.- Sea ABC un triángulo acutángulo y escaleno, siendo BC su lado menor. Sean P y Q puntos sobre AB y AC respectivamente, tales que BQ = CP = BC. Sean O1 y O2 los centros de los círculos circunscritos de AQB y APC, respectivamente. Sean H y O el ortocentro y circuncentro de ABC. i).- Demuestre que O1O2 = BC ii).- Demuestre que BO2 , CO1 y HO son concurrentes.