![MODELO 1
UNIVERSIDADES DE ANDALUC´
IA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
´
MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n A
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Entre todos los tri´ngulos rect´ngulos de 5 metros de hipotenusa, determina
a
a
los catetos del de ´rea m´xima.
a
a
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (−2, +∞) → R la funci´n definida por f (x) = ln(x + 2). Halla una
o
primitiva F de f que verifique F (0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano).
Ejercicio 3.- Considera el sistema
3x − 2y + z =
5
2x − 3y + z = −4
(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al a˜adirle la
n
ecuaci´n x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado.
o
(b) [1 punto] ¿Existe alg´n valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene soluci´n?
u
o
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 2, 4) y la recta r definida por
x+2
z−1
=y−1=
2
3
(a) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´n del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.
o
(b) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.
o](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-1-320.jpg)
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UNIVERSIDADES DE ANDALUC´
IA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
´
MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n B
o
Ejercicio 1.- Sea f : (0, +∞) → R la funci´n definida por f (x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el
o
logaritmo neperiano.
(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gr´fica de f en los que la recta tangente a la
a
gr´fica es paralela a la recta de ecuaci´n x − 2y + 1 = 0.
a
o
(b) [1 punto] Halla la ecuaci´n de la recta tangente y de la recta normal a la gr´fica de f en el punto
o
a
de abscisa x = 3.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el ´rea del recinto comprendido entre
a
la par´bola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas.
a
Ejercicio 3.- Sean las matrices
1 2 3
A= α 1 3
0 2 α
y
−2
B= 3
4
(a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa.
(b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1.
(c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2).
(a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de v´rtices A, B, C y D.
e
(b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´n de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que
o
contiene a los puntos A, B y C.](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-2-320.jpg)
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n A
o
Ejercicio 1.- Sea f la funci´n definida como f (x) =
o
ax2 + b
para x = a.
a−x
(a) [1’5 puntos] Calcula a y b para que la gr´fica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una as´
a
ıntota
oblicua con pendiente −4.
(b) [1 punto] Para el caso a = 2, b = 3, obt´n la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el
e
o
a
punto de abscisa x = 1.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula
π2
Sugerencia: Efect´a el cambio
u
√
√
sen( x)dx
0
x = t.
Ejercicio 3.- Sean las matrices
1 0 −1
3 ,
A= 0 m
4 1 −m
1 0
B= 3 2
−1 1
y C=
5 −3 4
−3 −2 2
(a) [0’5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.
(b) [2 puntos] Resuelve la ecuaci´n matricial XA − B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta
o
de B).
Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s de ecuaciones
x−1=y =1−z
y
x − 2y = −1
y+z =1
(a) [0’75 puntos] Determina su punto de corte.
(b) [1 punto] Halla el ´ngulo que forman r y s.
a
(c) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´n del plano que contiene a r y s.
o](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-3-320.jpg)
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n B
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula
ex − esen x
x→0
x2
l´
ım
Ejercicio 2.- Considera la funci´n f dada por
o
para x = 0.
f (x) = 5−x
y la funci´n g definida como
o
g(x) =
4
x
(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gr´ficas de f y g indicando sus puntos de corte.
a
(b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de dicho recinto.
a
Ejercicio 3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones
λx + y + z = λ + 2
2x − λy + z = 2
x − y + λz = λ
(a) [1’75 puntos] Disc´telo seg´n los valores de λ. ¿Tiene siempre soluci´n?
u
u
o
(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = −1.
Ejercicio 4.- Los puntos P (2, 0, 0) y Q(−1, 12, 4) son dos v´rtices de un tri´ngulo. El tercer v´rtice S
e
a
e
pertenece a la recta r de ecuaci´n
o
4x + 3z = 33
y=0
(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que
pasa por P y S.
(b) [1 punto] Comprueba si el tri´ngulo es rect´ngulo.
a
a](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-4-320.jpg)
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n A
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea la funci´n f : R → R dada por
o
si x ≤ 0
ex (x2 + ax)
f (x) =
b x2 + c
si x > 0
x+1
Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gr´fica de f en el
a
punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.
3
para x = 1 y x = 4.
− 5x + 4
Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3.
a
a
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la funci´n f definida por
o
f (x) =
x2
Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices
A=
−1 2
0 1
y B=
−3
0
2 −1
(a) [0’75 puntos] Calcula A−1 .
(b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuaci´n matricial AXAt − B = 2I, donde I es la matriz identidad de
o
orden 2 y At es la matriz traspuesta de A.
Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3).
(a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes
iguales.
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.
o](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-5-320.jpg)
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n B
o
√
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci´n definida como f (x) = (x + 1) 3 3 − x. Halla las
o
ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = −5 y
a
en el punto de abscisa x = 2.
Ejercicio 2.- Considera la funci´n f : R → R definida por f (x) = x|2 − x|.
o
(a) [1 punto] Esboza su gr´fica.
a
(b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y la recta
a
a
de ecuaci´n x = 3.
o
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Obt´n un vector no nulo v = (a, b, c), de
e
tengan simult´neamente rango 2.
a
1 1 a
2
0
1 0 b
0 −1
A=
B=
1 1 c
3
1
Ejercicio 4.- Considera el plano π definido por
2x − y + nz = 0
manera que las matrices siguientes
a
b
c
y la recta r dada por
x−1
y
z−1
= =
m
4
2
con m = 0.
(a) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π.
(b) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r est´ contenida en el plano π.
e](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-6-320.jpg)
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n A
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] La hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo mide 90 cm. Si se hace girar
a
a
alrededor de uno de sus catetos, el tri´ngulo engendra un cono. ¿Qu´ medidas han de tener los catetos
a
e
del tri´ngulo para que el volumen del cono engendrado sea m´ximo? (Recuerda que el volumen del cono
a
a
1
es: V = πr2 h).
3
Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R → R definidas por
f (x) = 2 − x2
y
g(x) = |x|.
(a) [1 punto] Esboza sus gr´ficas en unos mismos ejes coordenados.
a
(b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de f y g.
a
a
Ejercicio 3.- Sea la matriz
5 −4
2
1
A = 2 −1
−4
4 −1
(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I.
(b) [1’25 puntos] Calcula A−1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula el ´rea del tri´ngulo cuyos v´rtices son los puntos de intersecci´n
a
a
e
o
del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-7-320.jpg)
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
´
MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n B
o
Ejercicio 1.- Sea f la funci´n definida como f (x) =
o
x3
para x = ±1.
x2 − 1
(a) [1 punto] Estudia y halla las as´
ıntotas de la gr´fica de f .
a
(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(c) [0’75 puntos] Esboza la gr´fica de f .
a
Ejercicio 2.- Dada la funci´n f : (0, +∞) → R definida por f (x) = ln x, donde ln es la funci´n logaritmo
o
o
neperiano, se pide:
(a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuaci´n
o
gr´fica de f en el punto de abscisa x = e.
a
y = −ex + 1 + e2
es la recta normal a la
(b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de f , el eje de abscisas y la recta
a
o
a
normal del apartado (a).
Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
(m + 2)x −
y − z =
1
−x −
y + z = −1
x + my − z = m
(a) [1’75 puntos] Disc´telo seg´n los valores de m.
u
u
(b) [0’75 puntos] Resu´lvelo para el caso m = 1.
e
Ejercicio 4.- Sean los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(t, −2, 2)
(a) [1’25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D est´n en el mismo plano.
e
(b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B,
o
que contenga al punto C.](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-8-320.jpg)
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IA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n A
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los m´rgenes superior
a
e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que
el gasto de papel sea m´
ınimo.
Ejercicio 2.- Sea I =
1+
5
√
e−x
dx.
(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e−x .
(b) [1’5 puntos] Determina I.
Ejercicio 3.(a) [1’75 puntos] Discute, seg´n los valores del par´metro λ, el siguiente sistema de ecuaciones
u
a
−x + λy +
z = λ
λx + 2y + (λ + 2)z = 4
x + 3y +
2z = 6 − λ
(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0.
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuaci´n del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones
o
x = 1 − 5λ
x − 2y + 11 = 0
y = −2 + 3λ
y contiene a la recta s definida por
2y + z − 19 = 0
z = 2 + 2λ](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-9-320.jpg)
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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n B
o
Ejercicio 1.- Considera la funci´n f : [0, 4] → R definida por:
o
f (x) =
x2 + ax + b
cx
si 0 ≤ x ≤ 2
si 2 < x ≤ 4
(a) [1’75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f (0) = f (4), determina
los valores de a, b y c.
(b) [0’75 puntos] Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se
obtienen y valores que se alcanzan).
Ejercicio 2.- Considera la funci´n f : R → R dada por f (x) = x2 + 4.
o
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 1.
o
a
(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de ordenadas y la recta de
a
ecuaci´n y = 2x + 3. Calcula su ´rea.
o
a
Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sean las matrices
1
0
0
1 0
A=
, B = 0 −1 −1
−1 1
0
1
2
y C=
3 1
2
0 1 −2
Calcula la matriz X que cumpla la ecuaci´n AXB = C.
o
Ejercicio 4.- Considera los planos π1 , π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones
x + y = 1,
ay + z = 0
y
x + (1 + a)y + az = a + 1
(a) [1’5 puntos] ¿Cu´nto ha de valer a para que no tengan ning´n punto en com´n?
a
u
u
(b) [1 punto] Para a = 0, determina la posici´n relativa de los planos.
o](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-10-320.jpg)
![MODELO 6
UNIVERSIDADES DE ANDALUC´
IA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
´
MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n A
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funci´n f : R → R definida como f (x) = a sen(x) + bx2 + cx + d,
o
determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gr´fica de f tiene tangente horizontal
a
en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f (x) = 3 sen(x) − 10.
Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funci´n f dada por
o
f (x) =
x2
1
+x
para x = −1 y x = 0.
Determina la primitiva F de f tal que F (1) = 1.
Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones
λx + 2y + 6z = 0
2x + λy + 4z = 2
2x + λy + 6z = λ − 2
(a) [1’75 puntos] Disc´telo seg´n los valores del par´metro λ.
u
u
a
(b) [0’75 puntos] Resu´lvelo para λ = 2.
e
Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto sim´trico de P (1, 1, 1) respecto de la recta r de ecuaci´n
e
o
x−1
y
z+1
= =
2
3
−1](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-11-320.jpg)
![MODELO 6
UNIVERSIDADES DE ANDALUC´
IA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
´
MATEMATICAS II
CURSO 2009-2010
a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos.
o
b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B.
o
´
o
c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma.
o
a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.
e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con
a
a
capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos
conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio
cados.
Opci´n B
o
Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Considera la funci´n f : R → R definida por
o
−x
e
si x ≤ 0
1 − x2
si 0 < x < 1
f (x) =
2
si 1 ≤ x
x+1
Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funci´n derivada de f .
o
Ejercicio 2.- Sean f, g : R → R las funciones definidas por f (x) = x2 − 2x + 3
1
y g(x) = x2 + 1.
2
(a) [1 punto] Esboza las gr´ficas de f y g, y halla su punto de corte.
a
(b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de ambas funciones y el eje de
a
a
ordenadas.
Ejercicio 3.- De la matriz A =
(a) [1’25 puntos]
Halla
a b
c d
det(−3At )
se sabe que det(A) = 4. Se pide:
y
det
2b
2a
−3d −3c
. Indica las propiedades que utilizas.
(At es la matriz traspuesta de A).
(b) [0’75 puntos] Calcula det(A−1 At ).
(c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B).
Ejercicio 4.- Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ − 1).
(a) [1 punto] ¿Existe alg´n valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C est´n alineados? Justifica
u
e
la respuesta.
(b) [1’5 puntos] Para λ = 1 halla la ecuaci´n del plano que contiene al tri´ngulo de v´rtices A, B y C.
o
a
e
Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.](https://image.slidesharecdn.com/s2010-131106041638-phpapp02/85/Selectividad-2010-12-320.jpg)
Selectividad 2010
- 1. MODELO 1 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n A o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Entre todos los tri´ngulos rect´ngulos de 5 metros de hipotenusa, determina a a los catetos del de ´rea m´xima. a a Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (−2, +∞) → R la funci´n definida por f (x) = ln(x + 2). Halla una o primitiva F de f que verifique F (0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano). Ejercicio 3.- Considera el sistema 3x − 2y + z = 5 2x − 3y + z = −4 (a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al a˜adirle la n ecuaci´n x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado. o (b) [1 punto] ¿Existe alg´n valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene soluci´n? u o Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 2, 4) y la recta r definida por x+2 z−1 =y−1= 2 3 (a) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´n del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B. o (b) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B. o
- 2. MODELO 1 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n B o Ejercicio 1.- Sea f : (0, +∞) → R la funci´n definida por f (x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el o logaritmo neperiano. (a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gr´fica de f en los que la recta tangente a la a gr´fica es paralela a la recta de ecuaci´n x − 2y + 1 = 0. a o (b) [1 punto] Halla la ecuaci´n de la recta tangente y de la recta normal a la gr´fica de f en el punto o a de abscisa x = 3. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el ´rea del recinto comprendido entre a la par´bola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas. a Ejercicio 3.- Sean las matrices 1 2 3 A= α 1 3 0 2 α y −2 B= 3 4 (a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1. (c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B. Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de v´rtices A, B, C y D. e (b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´n de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que o contiene a los puntos A, B y C.
- 3. MODELO 2 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n A o Ejercicio 1.- Sea f la funci´n definida como f (x) = o ax2 + b para x = a. a−x (a) [1’5 puntos] Calcula a y b para que la gr´fica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una as´ a ıntota oblicua con pendiente −4. (b) [1 punto] Para el caso a = 2, b = 3, obt´n la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el e o a punto de abscisa x = 1. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula π2 Sugerencia: Efect´a el cambio u √ √ sen( x)dx 0 x = t. Ejercicio 3.- Sean las matrices 1 0 −1 3 , A= 0 m 4 1 −m 1 0 B= 3 2 −1 1 y C= 5 −3 4 −3 −2 2 (a) [0’5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. (b) [2 puntos] Resuelve la ecuaci´n matricial XA − B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta o de B). Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s de ecuaciones x−1=y =1−z y x − 2y = −1 y+z =1 (a) [0’75 puntos] Determina su punto de corte. (b) [1 punto] Halla el ´ngulo que forman r y s. a (c) [0’75 puntos] Determina la ecuaci´n del plano que contiene a r y s. o
- 4. MODELO 2 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n B o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula ex − esen x x→0 x2 l´ ım Ejercicio 2.- Considera la funci´n f dada por o para x = 0. f (x) = 5−x y la funci´n g definida como o g(x) = 4 x (a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gr´ficas de f y g indicando sus puntos de corte. a (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de dicho recinto. a Ejercicio 3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones λx + y + z = λ + 2 2x − λy + z = 2 x − y + λz = λ (a) [1’75 puntos] Disc´telo seg´n los valores de λ. ¿Tiene siempre soluci´n? u u o (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = −1. Ejercicio 4.- Los puntos P (2, 0, 0) y Q(−1, 12, 4) son dos v´rtices de un tri´ngulo. El tercer v´rtice S e a e pertenece a la recta r de ecuaci´n o 4x + 3z = 33 y=0 (a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. (b) [1 punto] Comprueba si el tri´ngulo es rect´ngulo. a a
- 5. MODELO 3 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n A o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea la funci´n f : R → R dada por o si x ≤ 0 ex (x2 + ax) f (x) = b x2 + c si x > 0 x+1 Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gr´fica de f en el a punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. 3 para x = 1 y x = 4. − 5x + 4 Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3. a a Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la funci´n f definida por o f (x) = x2 Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices A= −1 2 0 1 y B= −3 0 2 −1 (a) [0’75 puntos] Calcula A−1 . (b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuaci´n matricial AXAt − B = 2I, donde I es la matriz identidad de o orden 2 y At es la matriz traspuesta de A. Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3). (a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. o
- 6. MODELO 3 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n B o √ Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci´n definida como f (x) = (x + 1) 3 3 − x. Halla las o ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = −5 y a en el punto de abscisa x = 2. Ejercicio 2.- Considera la funci´n f : R → R definida por f (x) = x|2 − x|. o (a) [1 punto] Esboza su gr´fica. a (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y la recta a a de ecuaci´n x = 3. o Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Obt´n un vector no nulo v = (a, b, c), de e tengan simult´neamente rango 2. a 1 1 a 2 0 1 0 b 0 −1 A= B= 1 1 c 3 1 Ejercicio 4.- Considera el plano π definido por 2x − y + nz = 0 manera que las matrices siguientes a b c y la recta r dada por x−1 y z−1 = = m 4 2 con m = 0. (a) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. (b) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r est´ contenida en el plano π. e
- 7. MODELO 4 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n A o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] La hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo mide 90 cm. Si se hace girar a a alrededor de uno de sus catetos, el tri´ngulo engendra un cono. ¿Qu´ medidas han de tener los catetos a e del tri´ngulo para que el volumen del cono engendrado sea m´ximo? (Recuerda que el volumen del cono a a 1 es: V = πr2 h). 3 Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R → R definidas por f (x) = 2 − x2 y g(x) = |x|. (a) [1 punto] Esboza sus gr´ficas en unos mismos ejes coordenados. a (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de f y g. a a Ejercicio 3.- Sea la matriz 5 −4 2 1 A = 2 −1 −4 4 −1 (a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I. (b) [1’25 puntos] Calcula A−1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula el ´rea del tri´ngulo cuyos v´rtices son los puntos de intersecci´n a a e o del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.
- 8. MODELO 4 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n B o Ejercicio 1.- Sea f la funci´n definida como f (x) = o x3 para x = ±1. x2 − 1 (a) [1 punto] Estudia y halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2.- Dada la funci´n f : (0, +∞) → R definida por f (x) = ln x, donde ln es la funci´n logaritmo o o neperiano, se pide: (a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuaci´n o gr´fica de f en el punto de abscisa x = e. a y = −ex + 1 + e2 es la recta normal a la (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de f , el eje de abscisas y la recta a o a normal del apartado (a). Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones (m + 2)x − y − z = 1 −x − y + z = −1 x + my − z = m (a) [1’75 puntos] Disc´telo seg´n los valores de m. u u (b) [0’75 puntos] Resu´lvelo para el caso m = 1. e Ejercicio 4.- Sean los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(t, −2, 2) (a) [1’25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D est´n en el mismo plano. e (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, o que contenga al punto C.
- 9. MODELO 5 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n A o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los m´rgenes superior a e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea m´ ınimo. Ejercicio 2.- Sea I = 1+ 5 √ e−x dx. (a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e−x . (b) [1’5 puntos] Determina I. Ejercicio 3.(a) [1’75 puntos] Discute, seg´n los valores del par´metro λ, el siguiente sistema de ecuaciones u a −x + λy + z = λ λx + 2y + (λ + 2)z = 4 x + 3y + 2z = 6 − λ (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0. Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuaci´n del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones o x = 1 − 5λ x − 2y + 11 = 0 y = −2 + 3λ y contiene a la recta s definida por 2y + z − 19 = 0 z = 2 + 2λ
- 10. MODELO 5 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n B o Ejercicio 1.- Considera la funci´n f : [0, 4] → R definida por: o f (x) = x2 + ax + b cx si 0 ≤ x ≤ 2 si 2 < x ≤ 4 (a) [1’75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f (0) = f (4), determina los valores de a, b y c. (b) [0’75 puntos] Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Ejercicio 2.- Considera la funci´n f : R → R dada por f (x) = x2 + 4. o (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 1. o a (b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de ordenadas y la recta de a ecuaci´n y = 2x + 3. Calcula su ´rea. o a Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sean las matrices 1 0 0 1 0 A= , B = 0 −1 −1 −1 1 0 1 2 y C= 3 1 2 0 1 −2 Calcula la matriz X que cumpla la ecuaci´n AXB = C. o Ejercicio 4.- Considera los planos π1 , π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones x + y = 1, ay + z = 0 y x + (1 + a)y + az = a + 1 (a) [1’5 puntos] ¿Cu´nto ha de valer a para que no tengan ning´n punto en com´n? a u u (b) [1 punto] Para a = 0, determina la posici´n relativa de los planos. o
- 11. MODELO 6 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n A o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funci´n f : R → R definida como f (x) = a sen(x) + bx2 + cx + d, o determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gr´fica de f tiene tangente horizontal a en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f (x) = 3 sen(x) − 10. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funci´n f dada por o f (x) = x2 1 +x para x = −1 y x = 0. Determina la primitiva F de f tal que F (1) = 1. Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones λx + 2y + 6z = 0 2x + λy + 4z = 2 2x + λy + 6z = λ − 2 (a) [1’75 puntos] Disc´telo seg´n los valores del par´metro λ. u u a (b) [0’75 puntos] Resu´lvelo para λ = 2. e Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto sim´trico de P (1, 1, 1) respecto de la recta r de ecuaci´n e o x−1 y z+1 = = 2 3 −1
- 12. MODELO 6 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II CURSO 2009-2010 a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en la misma. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitir´ el uso de calculadoras que no sean programables, gr´ficas ni con a a capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar suficientemente justifio cados. Opci´n B o Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Considera la funci´n f : R → R definida por o −x e si x ≤ 0 1 − x2 si 0 < x < 1 f (x) = 2 si 1 ≤ x x+1 Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funci´n derivada de f . o Ejercicio 2.- Sean f, g : R → R las funciones definidas por f (x) = x2 − 2x + 3 1 y g(x) = x2 + 1. 2 (a) [1 punto] Esboza las gr´ficas de f y g, y halla su punto de corte. a (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de ambas funciones y el eje de a a ordenadas. Ejercicio 3.- De la matriz A = (a) [1’25 puntos] Halla a b c d det(−3At ) se sabe que det(A) = 4. Se pide: y det 2b 2a −3d −3c . Indica las propiedades que utilizas. (At es la matriz traspuesta de A). (b) [0’75 puntos] Calcula det(A−1 At ). (c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B). Ejercicio 4.- Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ − 1). (a) [1 punto] ¿Existe alg´n valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C est´n alineados? Justifica u e la respuesta. (b) [1’5 puntos] Para λ = 1 halla la ecuaci´n del plano que contiene al tri´ngulo de v´rtices A, B y C. o a e Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.