Saia b calculo

Universidad Fermín Toro
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería
Cabudare

Integrantes:
Luis Díaz CI: 24163087
Luis Delgado CI: 24162083
Prof: Marleny de Parra
Saia B

Febrero 2014

´
Indice general
0.1. Circuitos no lineales en general y sus gr´ficas . . . . . . . . . . .a
0.1.1. Gr´ficas asociadas a un circuito . . . . . . . . . . . . . . .a
0.1.2. An´lisis de los circuitos por ramas y nodos . . . . . . . .a
0.1.3. Las ecuaciones diferenciales de las redes no lineales . . . .
0.1.4. Espacios simplćticos y reciprocidad en circuitos . . . . .e
0.2. Resultados para redes lineales y conclusiones . . . . . . . . . . .
0.2.1. Transformaciń de fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
0.2.2. Topolog´ de las Redes Lineales en el Estado Estacionarioıa
0.2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Elementos en Circuitos Elćtricos.e43
A.1. Definiciń y caracteróısticas de los principales elementos elćtricose
lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.2. Resistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.3. Capacitor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.4. La bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.5. Generador o Fuente de Voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.6. Generador de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.7. An´lisis y comparaciń de elementos lineales y no lineales. . . . 47ao

B. Conceptos Matem´ticos B´sicos.aa51
B.1. Funcional Lineal y Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B.1.1. Espacio Simplćtico y Forma Bilineal . . . . . . . . . . . . 53e
B.2. Homolog´ y Cohomolog´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56ıaıa

1

4
4
5
10
21
34
34
37
42

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INDICE GENERAL

2

Resumen
En este trabajo se trata de hacer un estudio de las ecuaciones diferenciales
que aparecen en conexiń con los circuitos elćtricos.oe
Para iniciar podemos decir que, la forma de conectar los elementos de un
circuito implica la existencia de mapeos lineales que se relacionan de forma muy
natural a los espacios vectoriales asociados. Los espacios vectoriales (cadenas)
representan las corrientes y los espacios vectoriales duales (cocadenas) representan voltajes. As´ımismo la suma directa de un espacio vectorial con su dual
tiene una estructura simplćtica natural, donde las condiciones de reciprocidade
tienen mucha importancia.

La reciprocidad aparece aqu´ cuando las caracter´ıısticas del circuito definen ciertas subvariedades de los espacios simplćticos, que son generadas pore
funciones escalares; Siempre hay una reciprocidad lineal debido a las leyes de
interconexiń de Kirchhoff que definen subespacios lineales. Una clase ampliao
de circuitos no lineales llamados rec´ıprocos presenta tambiń reciprocidad.e
En este trabajo tratamos de demostrar tres resultados de Ekmann, adem´sa
de que hasta donde tenemos informaciń se demuestran por primera vez, en-o
contramos que en los circuitos lineales las demostraciones se volvieron sencillas
usando matrices, sin necesidad de usar la herramienta simplćtica. En el caso dee
los circuitos no lineales vislumbramos que el asunto corre por el lado de la posible invertibilidad de las caracter´ısticas de los elementos elćtricos que formane
al circuito.

Estas propuestas o resultados de Ekmann nos parecieron importantes porque constituyen un intento para obtener ecuaciones diferenciales expl´ıcitas en
un circuito no lineal. Estas condiciones se dan cuando suponemos que las capacitancias e inductancias son siempre funciones positivas; lo cual implica que
las relaciones constitutivas de las cuales las anteriores son sus derivadas, son
invertibles.

Adem´s podemos usar indistintamente control por voltaje o por carga paraa
los capacitores, y por corriente o por flujo para los inductores.
En este trabajo tambiń usamos la construcciń de una funciń llamadaeoo
potencial mixto y damos una demostraciń del teorema de Brayton-Mosser deo
una forma mas sencilla que las que se dan en la literatura en general en la seccińo
1,3.

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INDICE GENERAL

3

Introduccińo
En este trabajo tratamos de presentar un estudio de conceptos que son de
inter´s en las matem´ticas, aplicńdolos a los circuitos elćtricos lineales y noeaae
lineales. Un circuito elćtrico consiste en la interconexiń de varios elementoseo
elćtricos.e
Nuestro inter´s est´ m´s enfocado sobre las ecuaciones diferenciales ordi-ea a
narias que aparecen de manera natural en los circuitos elćtricos. Sin embargoe
debido a la forma como se comportan los principales elementos elćtricos, y lae
forma como estń interconectados dentro del circuito, tambiń echamos manoae
de conceptos de Topolog´ Algebraica como son: Complejos simpliciales, cade-ıa
nas, cocadenas, operadores frontera y cofrontera. As´ mismo, hacemos uso delı
Algebra Lineal y del An´lisis Matem´tico.aa

Una propiedad que es muy importante en nuestro estudio es la reciprocidad
que aparece asociada a las redes elćtricas. En el caso m´s simple ´sta est´ aso-eaea
2ciada a la propiedad general d f = 0 (con d la diferencial
exterior), donde f
es una funciń escalar y as´ aparecen las llamadas Subvariedades Lagrangianas,oı
que definiremos en el curso de este trabajo.
Debido a las leyes de Kirchhoff, una red elćtrica siempre posee una reci-e
procidad lineal, que resulta de las distintas interconexiones de los elementos,
independientemente de su naturaleza.
Cuando existen inductores o capacitores, aparecen ecuaciones diferenciales
ordinarias que bajo ciertas condiciones estń definidas sobre una suvariedada
lagrangiana £, que en general es no lineal. Cuando ciertas condiciones espec´ıficas
son v´lidas, ´stas quedan en forma expláeıcita. Las leyes fenomenol´gicas de Ohmo
para los resistores son de gran ayuda porque hacen que el espacio fase se reduzca,
esencialmente, a las corrientes y voltajes correspondientes a los elementos no
resistivos.

En analog´ con las ecuaciones de tipo gradiente o de Hamilton, aparecenıa
las ecuaciones de Brayton-Moser que tambiń se mencionan aqu´ y que estńeıa
definidas al menos en forma local, debido a la reciprocidad que presentan los
circuitos correspondientes.
Aqu´ aclaramos que, generalmente las variables que controlan a un inductorı
y a un capacitor son corriente y voltaje, respectivamente.

´
INDICE GENERAL

4

0.1.
0.1.1.

Circuitos no lineales en general y sus gr´fi-a
cas
Gr´ficas asociadas a un circuitoa

A continuaciń definiremos lo que se conoce como una gr´fica planar:oa
Definiciń. Una gr´fica planar es aquella que puede trazarse en un plano sinoa
que se crucen sus aristas. La figura 1 muestra una gr´fica con dos aristas quea
se cruzan; Pero es posible dibujar la figura como se muestra en b), sin que se
crucen las aristas. Por lo tanto es una gr´fica planar.a
En cambio la que se muestra en la figura c) no es posible dibujarla de ninguna
forma sin que se crucen sus aristas.
Por lo tanto es no planar.

a)

b)

c)

Figura 1: Ilustraciń del concepto de gr´fica planar.oa

Definiciń Una Subgr´fica es cualquier parte de una gr´fica.oaa
Las figuras a) y b) muestran dos posibles conjuntos de subgr´ficas de laa
gr´fica 1 − a.a
Se conoce como subgr´fica degenerada a aquella que est´ formada por unaa
solo nodo.
Una gr´fica es pivotante si puede dividirse en dos subgr´ficas, unidas poraa
medio de un solo nodo. Esto se muestra en la figura y el ejemplo. Una gr´ficaa
que no tiene esta propiedad se conoce como no pivotante. Este es el caso de las
gr´ficas de la figura 2.a

Una gr´fica pivotante puede tratarse como dos gr´ficas no pivotantes inde-aa
pendientes, si se les separa en el nodo que sirve de pivote, ya que las ecuaciones
de Kirchhoff de cada una de las gr´ficas son independientes.a

´
0.1. CIRCUITOS NO LINEALES EN GENERAL Y SUS GRAFICAS

Figura 2: Dos posibles conjuntos de subgr´ficas de la gr´fica de la figura 1b.aa

Figura 3: Gr´fica pivotante.a

0.1.2.

An´lisis de los circuitos por ramas y nodosa

En esta secciń haremos el estudio de los circuitos en base al an´lisis poroa
ramas y nodos. La topolog´ del circuito tiene que ver con la forma como seıa
interconectan los elementos elćtricos que consideramos en este trabajo.e
La formas de las interconexiones de los elementos se refleja en las leyes de
Kirchhoff y de Tellegen.
En este rubro lo que m´s interesa es c´mo se orientan los elementos y lasao
mallas, lo que tiene relaciń con la topolog´ combinatoria. Para que estas ideasoıa
vayan quedando claro, consideremos la siguiente analog´ entre un circuito queıa
tiene como elementos un resistor, dos capacitores y una fuente de voltaje con
la gr´fica (complejo simplicial de una dimensiń ) orientada que se le asocia; laao
cual se muestra a su derecha

Figura 4: Analog´ de un circuito con su gr´fica orientada.ıaa
Haremos las siguientes hip´tesis que son razonables en este trabajo:o

5

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INDICE GENERAL

6

a) Todos los elementos del circuito estń conectados a nodos en sus dos ex-a
tremos,
b) una rama ´ elemento conecta dos diferentes nodos yo
c) un nodo tiene al menos dos ramas que inciden sobre ´l.e
Si tenemos n nodos y b ramas en un circuito dado, nuestras hip´tesis ante-o
riores implican que b ≥ n.
Si 01 , . . . , 0n son los diferentes nodos y e1 , . . . , eb las diferentes ramas de un
circuito, podemos formalmente definir los siguientes espacios vectoriales reales,
conocidos como 0-cadenas y 1-cadenas respectivamente:

βk 0k : βk ∈ R

C0 =
k

αj ej : αj ∈ R

C1 =

.

j

Los elementos de estos espacios vectoriales f´ısicamente pueden ser interpretados como asignar un n´mero a cada nodo ´ a cada rama del circuito.uo
Estos n´meros, asignados en un instante de tiempo dado t son la corriente ins-u
tantńea Ik en el nodo k y la corriente instantńea de rama ij en la rama j.aa
Los correspondientes vector de corriente de nodo I y de corriente de rama i son,
respectivamente
n

I

Ik Ok ∈ C0,

=
k=1
b

ij ej ∈ C1 .

i=
j=1

Por ejemplo, eJ ∈ C1 significa una corriente unitaria en la rama j y cero en
cualquier otra rama.
Para poder tratar con cantidades como potenciales de nodo y ca´ıdas de
potencial elćtrico (o voltaje) a trav´s de las ramas tenemos que considerar losee
∗∗espacios duales de los
definidos anteriormente esto es C 0 = C0 y C 1 = C1 ,
conocidos como 0-cocadenas y 1-cocadenas respectivamente.
Para dar una descripciń de las interconexiones entre nodos y ramas se tieneo
que definir un operador llamado operador frontera ∂ : C1 → C0 . As´ mismo enı
∗los respectivos espacios
duales, definimos el operador cofrontera ∂ : C 0 → C 1 .

´

7

Como el operador frontera es una transformaciń lineal, es suficiente cono
definirlo en las ramas ei la cuales forman una base de C1 , y posteriormente
extenderlo por linealidad.
En efecto, si el ∈ C1 es una rama dirigida del nodo Ok al nodo Oj definimos
∂el = Oj − Ok ∈ C0 .

Figura 5: Rama dirigida del nodo Ok al nodo Oj .
Para definir la cofrontera primero tomamos la base dual e∗ , . . . , e∗ en C 1 y1b
. . . , On en C 0 , esto es, las formas lineales tal que e∗ (ej ) = δlj , OK (Ol ) =l
∗δKl . As´ tenemos ∂ ∗ OK = m ∈km e∗ , k = 1, 2, . . . , n, donde los coeficientesım
∈Km estń por determinarse. Por la definiciń estandar de mapeo dual y de ∂elao
en general obtenemos
∗∗∗O1 ,

∗∗∂ ∗ OK (el )

= OK (∂el ) = δlj − δlK

Ya que el lado izquierdo es ∈Kl por la expresiń de arriba, obtenemoso
−1 si el sale del nodoOk ,
(5)
∗+1

si el llega hacia el nodo Ok ,∈kl = ok (∂el ) =

∗Esto implica que ∂ ∗ OK es la suma algebraica de duales de los elementos
dirigidos al nodo k. Una interpretaciń geom´trica de este hecho es que el dualoe
del nodo OK es cofrontera comń para los duales de todas las ramas que llegan au
´l, con el signo adecuado. La matriz de ∂ o matriz de incidencia es exactamentee
(∈Kl ).
0 si el no incide en Ok .

A un elemento V ∗ ∈ C 0 se le llama vector potencial de nodo. De la misma
forma, a un elemento v ∗ ∈ C 1 se le llama vector potencial de rama as´ queı
podemos escribir
n

V∗
=

b
∗VK OK ,

K=1

v ∗=

v j e ∗ .j
j=1

los n´meros VK son potenciales instantńeos asignados a los nodos y vj sonua
ca´ıdas de potencial (o de voltaje) instantńeo asignados a las ramas.a
Ahora podemos citar las leyes de Kirchhoff, en una forma que es adecuada
para su formulaciń en t´rminos de operadores ∂ y ∂ ∗ . Estas ultimas tambińoeé
serń reescritas m´s adelante en una forma m´s familiar:aaa

´
INDICE GENERAL

8

Ley de corrientes de Kirchhoff: La suma algebraica de corrientes de las ramas
que entran a cualquier nodo es cero.
Ley de voltajes de Kirchhoff: La ca´ de voltaje a trav´s de un elemento,ıdae
es la diferencia algebraica entre los potenciales de los nodos en los que incide.
ij ej ∈ C1 y el vector

Dado un vector corriente de rama arbitrario i =
potencial de nodo
v∗ =vK 0∗ ,K
calculamos
∂i =

Il 0l , ∂ ∗ v ∗ =

ij ∂ej =

vK ∂ ∗ 0∗ =K

Vl e∗ ,l

donde por dualidad y tomando en cuenta (5) obtenemos
Il = 0 ∗l

vk ∂ ∗ 0∗ (el ) =K

ij ∈lj , Vl =

ij ∂ej =
j

k

vK ∈Kl .

(6)

K

Recordemos que ∈Kl = ±1 (no cero) solamente cuando la rama el incide en
el nodo 0K , Il es la corriente neta que entra al nodo 0K , mientras Vl = vj − vm
cuando la rama el va de 0m a 0j .
Observemos que la definiciń formal de ∂el se ve como la f´rmula para laoo
∗ ∗cantidad dual Vl , mientras ∂ 0K se ve como Il . La explicaciń
es que a fin deo
calcular los coeficientes en (6), tuvimos que aplicar los elementos de la base dual
correspondiente.
Ahora es evidente que la ley de corrientes de kirchhoff (LCK) y la ley de
voltaje (LVK) se pueden reescribir diciendo que i ∈ C1 , v ∈ C 1 deben satisfacer
que ∂i = 0 y v = ∂ ∗ v ∗ para algń v ∗ ∈ C 0 . Esto puede escribirse simplementeu
como
LV K : v ∈ im∂ ∗ ,
LCK : i ∈ Ker∂.
Al subespacio vectorial Ker∂ ⊂ C1 se le llaman los 1-ciclos (o combinaciones
lineales de mallas) del circuito, al subespacio im∂ ∗ ⊂ C 1 se le llama las 1cofronteras del circuito.
Con el fin de calcular la dimensiń de Ker∂ usamos el hecho de que sio
l : V → W es un mapeo lineal, entonces por un teorema elemental del ´lgebraa
lineal
dim(Ker l) + dim(im l) = dimV.(7)
Si l∗ : W ∗ → V ∗ es el mapeo dual, tenemos que
dim(iml) = dim(im1∗ ).

(8)

´

9

Como la unica forma de obtener ca´ de voltaje cero en todas la ramas es´ıda
asignando el mismo potencial a todos los nodos, vemos que dim(Ker∂ ∗ ) = 1.
Usando (7) para l = ∂ ∗ , V = C 0 encontramos que
dim(im∂ ∗ ) = n − 1.

(8)

Por la f´rmula (8) tenemos dim(im∂) = n − 1, y usando (7) de nuevo cono
l = ∂ obtenemos
dim(Ker∂) = b − n + 1.(9)
Por lo tanto Ker∂ ⊕ im∂ ∗ es un subespacio vectorial b-dimensional del espacio vectorial C1 ⊕ C 1 de dimensiń 2b. Las consecuencias de este hecho seo
analizarń mas adelante.a
Existe una interpretaciń muy interesante de la ecuaciń (9) en el caso deoo
gr´ficas planas. Pensemos que el contorno exterior de la gr´fica de la red nos des-aa
cribe una regiń poligonal en el plano. Entonces (9) es el n´mero de los 1-ciclosou
linealmente independientes o mallas en la red, c = dim(Ker∂) es exactamente
el n´mero de caras independientes entre los polúıgonos descritos anteriormente.
Entonces (9) puede ahora escribirse como c − b + n = 1, lo cual nos dice que la
caracter´ıstica de Euler c − b + n de tales regiones poligonales es 1; a su vez un
invariante topol´gico.o

De la dualidad entre los operadores de frontera y cofrontera obtenemos el
Teorema de Tellegen:
Teorema 1. si i ∈ Ker∂ y v ∈ im∂ ∗ , entonces
v(i) =

ij vj = 0.

(10)

j

De hecho, como v se puede escribir como v = ∂ ∗ v∗ para algun v∗ ∈ C 0 ,
entonces ∂ ∗ v ∗ (i) = v ∗ (∂i) = 0.
La f´rmula (10) se puede interpretar fóısicamente como que la potencia total
de la red en cualquier instante de tiempo es igual a cero. Esto es una propiedad
topol´gica, ya que las corrientes y los voltajes no necesitan residir sobre el mismoo
circuito, sino sobre circuitos topol´gicamente equivalentes [5].o
Con el fin de dar otra interpretaciń de (8) y (9) as´ como una terminologóııa
para m´s adelante, necesitamos las nociones de ´rbol, eslabones y conjunto deaa
corte para una gr´fica dada.a
Dada una red con gr´fica G, una subgr´fica T conexa se llama un ´rbol paraaaa
G si sus ramas conectan todos los nodos de T , pero no forman ninguna malla.
Las ramas de T se llaman ramas de ´rbol y las ramas de G que no estń en T seaa
llaman eslabones o ligas. Claramente, la elecciń del ´rbol en una gr´fica no esoaa

10

´
INDICE GENERAL

unica, pero el n´mero de sus ramas es siempre n − 1 de tal manera que existenú
b − n + 1 eslabones asociados.
De hecho por inducciń probaremos que cualquier ´rbol de toda gr´fica conoaa
n+1 nodos tiene exactamente n ramas. En efecto, una gr´fica con dos nodos tienea
un ´rbol con una sola rama, ya que ninguna malla es admitida. Supongamosa
que cualquier red con K nodos tiene un ´rbol con K − 1 ramas.a
Si se agrega un nodo a esta red, necesitamos agregar una rama m´s al ´rbolaa
original, porque la adiciń de m´s de una rama crear´ una malla. Por lo tanto,oaıa
el nuevo ´rbol para la red de K + 1 nodos tiene K ramas.a
En particular para la elecciń de un ´rbol im∂ ∗ puede ser parametrizado poroa
voltajes en las ramas de ´rbol, y Ker∂ puede ser parametrizado por corrientesa
en los eslabones.
Esto es cierto porque las ramas de ´rbol no forman ninguna malla, as´ que esaı
imposible obtener ningń voltaje de rama de ´rbol en t´rminos de los voltajesuae
restantes.
Esto significa que son independientes y por (8) generan todos los otros voltajes. Similarmente es imposible encontrar un nodo conectado solamente por
eslabones, tal que las corrientes del eslabń sean independientes. Y por (9) ge-o
neran todas las otras corrientes.
Note que dado un ´rbol, cada vez que agregamos un eslabń se forma exac-ao
tamente una nueva malla, dando una manera sistem´tica de formar una basea
de mallas.
Decimos que una red es plana si se puede dibujar en un plano sin que se
crucen ningń par de ramas, excepto en los nodos. Dada una red plana con nu
nodos, b ramas y c = b − n + 1 mallas independientes, hay un procedimiento [7]
para constru´ una red plana bien definida llamada su red dual con c+1 nodos, bır
ramas y n−1 mallas independientes de tal manera que las dimensiones duales en
(8) y (9) son intercambiadas. Podemos probar que cuando se pasa de una gr´ficaa
plana a su dual, los conjuntos de corte son cambiados por mallas, mientras las
ramas de ´rbol son cambiadas por eslabones. Por extensiń, decimos que estosao
pares de objetos son duales uno del otro, cuando estń considerados en la mismaa
gr´fica (no necesariamente plana).a

0.1.3.

Las ecuaciones diferenciales de las redes no lineales

Esencialmente se conocen 2 casos generales en que podemos escribir de manera sistem´tica, las ecuaciones diferenciales de un circuito no lineal. En estaa
parte consideramos un punto de vista unificado para ambos casos, generalizando las llamadas ecuaciones de Brayton-Moser. Este punto de vista justifica que
tengamos que estudiar a fondo las estructuras simplćticas.e

´

11

Antes de continuar daremos un ejemplo para motivar las ideas e ilustrar las
leyes de Kichhoff. Los ejemplos 1 y 2 que estudiaremos a continuaciń conduceno
0a ecuaciones diferenciales expl´ıcitas, y el 3 da
ecuaciones diferenciales impl´ıcitas
.
Ejemplo 1. Considere el circuito siguiente con un resistor no lineal controlado
por voltaje; con caracter´ıstica dada por i = f (v).

Figura 6: Diagrama del circuito del ejemplo 1 de la secc II.3.
Aplicando la LCK al nodo A, la LV K a la malla externa que consiste de
elementos lineales junto con sus relaciones constitutivas, obtenemos las ecuaciones:
Cdv/dt = i − f (v),
Ldi/dt = E − Ri − v.
Este es un sistema lineal de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, los cuales
se pueden escribir como:
Ldi/dt = −∂P/∂i,(11)
Cdv/dt = ∂P/∂v,
v
2
donde P (i, v) = Ri /2 − Ei + iv −

f (v)dv, funciń que se conoce comoo
0

Potencial Mixto [5], que se definir´ mas adelante de manera expláıcita.
Ejemplo 2. Considere el siguiente circuito con elementos no lineales cuyas
caracter´ısticas son indicadas en la figura
Aplicando la LCK al nodo A, la LV K a las 2 mallas independientes, y
usando la relaciń (1) para describir voltajes en los inductores como la derivadao
respecto al tiempo de sus flujos, as´ como las corrientes en los condensadoresı
como derivada con respecto al tiempo de sus cargas, encontramos el siguiente
sistema de ecuaciones:
q
φ1
φ2

= −F1 (φ1 ) − F2 (φ2 )
= fC (q) − f1 (F1 (φ1 )) − es
= fC (q) − f2 (F2 (φ2 )).

(12)

´
INDICE GENERAL

12

Figura 7: Diagrama del circuito del ejemplo 2 de la secc. II.3
Este es un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de 1 er
orden en las variables q, φ1 , φ2 .
Ejemplo 3 Considere el siguiente circuito no lineal con las caracter´ısticas que
se indican:

Figura 8: Diagrama del circuito del ejemplo 3 de la secc. II.3.
De nuevo utilizando las ecuaciones (1), aplicamos la LCK a los nodos A y
B, y LV K para la unica malla obtenemos:´
q
0
φ

=
=
=

f (vR )
g(φ) − f (vR )
−vR − h(q)

(13)

Este es un sistema de 3 ecuaciones diferenciales no lineales de 1 er orden en
las variables q, vR , φ. Sin embargo, es un sistema impl´ıcito porque la segunda
ecuaciń no contiene vR . Si la funciń f fuera invertible podróoıamos resolver para

´
vR en t´rminos de φ, consiguiendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Ene
el caso general, hay un procedimiento llamado de regularizaciń [5], medianteo
el cual agregamos capacitores pequeõs como una pequeã perturbaciń delnno
sistema, a fin de conseguir un sistema de ecuaciones diferenciales expl´ıcito.
Las ecuaciones diferenciales impl´ıcitas estń relacionadas con las llamadasa
“Oscilaciones de Relajaciń”[7]. Siempre se puede conseguir ecuaciones diferen-o
ciales en algunas variables y adicionalmente ecuaciones funcionales impl´ıcitas
como en (13). Takens [7] ha estudiado ecuaciones diferenciales impl´ıcitas para
circuitos en este contexto.
En el ejemplo 1, todos los inductores son controlados por corriente y todos los
capacitores por voltaje. En cambio , en los ejemplos 2 y 3 todos los inductores son
controlados por flujo y todos los capacitores estń controlados por carga. En losa
2 primeros ejemplos vemos que los par´metros que controlan a los inductores ya
capacitores, corrientes y voltajes, se pueden determinar en todos los elementos,
solamente por medio de las leyes de Kirchhoff y las relaciones constitutivas
del circuito (no necesariamente con derivadas respecto del tiempo). Este hecho
implica una descripciń mediante ecuaciones diferenciales explóıcitas.

En general, se imponen algunas hip´tesis generales para evitar ecuacioneso
diferenciales impl´ıcitas las cuales serń mencionadas en seguida.a
Hasta donde tenemos informaciń, las condiciones m´s generales para obte-oa
ner ecuaciones diferenciales expl´ıcitas en un circuito no lineal fueron probadas
por Eckman [6]. Estas condiciones estń dadas suponiendo que las capacitan-a
cias y las inductancias son siempre funciones positivas. Esto implica que las
relaciones constitutivas de las cuales las capacitancias e inductancias son sus
derivadas, son invertibles; podemos usar indistintamente control por voltaje o
por carga para los capacitores, y por corriente o flujo para los inductores.

Resumiremos aqu´ los resultados de Eckman:ı
Denotemos por vρ , vγ , vλ los voltajes atrav´s de los resistores, capacitores ee
inductores respectivamente; y por iρ , iγ , iλ las corrientes correspondientes.
Lema. Sea η = (G, R, E) una red lineal de Kirchhoff donde G es la gr´ficaa
orientada del circuito, R las resistencias en el circuito y E las fuentes; adem´sa
X una matriz cuyas columnas forman un conjunto completo de soluciones linealmente independientes del sistema de ecuaciones at x = 0, que es la LCK (a
es la matriz de incidencia, que en sus filas tiene a los nodos y en los renglones
tiene a las ramas); entonces η tiene soluciń unica si y s´lo s´ det(X t RX) = 0.o óı
Adem´s, la soluciń J, de la LV K ct [RJ − E] = 0 (donde c es un vectorao
columna de n´meros reales) y la LCK at J = 0; correspondiente a E, est´ dadaua
t−1 tpor J = X(X RX) X E.

13

´
INDICE GENERAL

14

Demostraciń: De aT J = 0 se tiene que J = Xy.o
Ahora calculamos y tal que el producto Xy = J satisfaga la ecuacińo
TTC [RJ − E] = 0 para todo malla C h de G.
C = Xy donde y es cualquier vector, es una soluciń de la ecuaciń aT C =oo
TT0, por lo tanto, C h = (Xy ) h es un ciclo.
Sustituyendo en la ecuaciń anterior J por Xy y C T por (Xy )T = y T X T ,o
TTtenemos la ecuaciń y [X (RXy − E)] = 0 la cual se satisface para todo
vectoro
y T.
La ecuaciń anterior es un producto escalar de y T con el parńtesis cuadradooe
Ty como y no es idńticamente cero entonces necesariamente lo que est´ en elea
parńtesis cuadrado es igual a cero; con lo que tenemos:e
X T RXy = X T E.
Este sistema tendr´ soluciń unica “y”, s´ y s´lo s´ det(X T RX) = 0.ao ´ıoı
Supongamos que det(X T RX) = 0, entonces y = X T RX)−1 X T E queda
determinada en forma unica, consecuentemente J queda determinada en forma´
T−1 Tunica: J = X(X RX) X E.´
Teorema 2. Dado un circuito, las variables vγ e iλ son linealmente independientes bajo las leyes Kirchhoff, si y s´lo si no tiene mallas de capacitores yo
ningń conjunto de corte de inductores. (Sin embargo podemos eliminar las ma-u
llas de capacitores y los conjuntos de corte de inductores introduciendo resistores
pequeõs dentro del circuito).n
Prueba. Primero probaremos que las variables iλ en los inductores no son linealmente independientes si existe un conjunto de corte de inductores. Por la
Ley Generalizada de Kirchhoff [3] al separar con un corte en 2 subgr´ficas, preci-a
samente la suma algebraica de corrientes en esos inductores de corte es cero (las
dos subgr´ficas funcionan como dos grandes nodos) as´ que son dependientes.aı
En general, si existe una malla de capacitores, entonces tenemos una ecuacińo
lineal que relaciona los voltajes de los capacitores de esa malla por la ley de
Kirchhoff de voltajes; entonces todos los voltajes de capacitores en el circuito
vγ no son linealmente independientes.
En ambos casos se sigue que vγ e iλ ya no son linealmente independientes. Con lo cual queda demostrado que si los voltajes en los capacitores y las
corrientes en los inductores son linealmente independientes bajo las leyes de
Kirchhoff; entonces no deben existir mallas de capacitores ni conjuntos de corte
de inductores.
Ahora haremos esta prueba en el otro sentido:

´

15

Suponiendo como conocidas las corrientes en inductores y el voltaje en los
capacitores, estos elementos los podemos ver como fuentes respectivas de corrientes y de voltaje. De aqu´ podemos transformar todas las fuentes de corriente enı
fuentes de voltaje (´ todas las fuentes de voltajes en fuentes corrientes); cosao
que siempre se puede hacer mediante una transformaciń de fuentes [3].o
Teniendo esta red resultante con puras resistencias lineales (red lineal de
Kirchhoff) y solo fuentes de voltaje podemos aplicar el Lema anterior, el cual
nos dice que podemos escribir todas las corrientes y voltajes desconocidas del
circuito en t´rminos de las fuerzas electromotrices en fuentes (cuyos valores sone
conocidos). Solo que recordemos que las fuerzas electromotrices de las fuentes
estń dadas en t´rminos de los voltajes en capacitores y corrientes en inductores.ae
Con lo que queda demostrado la rec´ıproca de lo que probamos antes. Con esto
se tiene una demostraciń completa.o

En otras palabras, si no existen conjuntos de corte de inductores ´ mallas deo
capacitores en el circuito, entonces siempre podemos conocer todas sus variables
en t´rminos de los voltajes en capacitores y corrientes en inductores.e
El resultado del lema anterior es un caso particular del resultado de Roth
que se enuncia despu´s de la ecuaciń (29) del capéoıtulo 3, si all´ tomamos lası
impedancias reales (resistores), fuentes de corriente nulas (J = 0) y fuentes de
voltaje reales.
Corolario 1. Sea dado un circuito con todos sus resistores lineales. Las variables vγ e iλ son independientes bajo las leyes de Kirchhoff y las leyes de Ohm y
determinan todas las corrientes y todos los voltajes de forma unica en los ele-´
mentos, si y s´lo si, el circuito no tiene ninguna malla que contenga capacitoreso
ni conjuntos de corte de inductores.
Prueba: La demostraciń de este resultado es exactamente an´logo al resultadooa
anterior.
Proposiciń. Considere un circuito con resistores no lineales. Suponga queo
cada uno de los resistores controlados por voltaje est´ contenido en una mallaa
donde todas las otras ramas contienen solamente capacitores; y que cada uno
de los resistores controlados por corriente est´ dentro de una malla donde lasa
otras ramas solamente contienen inductores. Si no hay mallas de capacitores ni
conjuntos de corte de inductores entonces las variables vγ e iλ son independientes
bajo las leyes de Kirchhoff y las leyes de Ohm, y determinan todos los otros
voltajes y corrientes. (Sin embargo siempre es posible agregar capacitores e
inductores lineales pequeõs al circuito, con el fin de obtener un circuito quen
satisfaga las condiciones del resultado 3: Esto se llama una regularizaciń en elo
sentido mencionado en el ejemplo 3 *).

Con este material, estamos ya preparados para definir las ecuaciones de
Brayton- Moser* que generalizan a (11). La hip´tesis general es que vγ e iλ sono

´
INDICE GENERAL

16

linealmente independientes bajo las leyes de Kirchhoff y de Ohm, y estas leyes
determinan de manera unica los dem´s voltajes y corrientes. Esto es cierto siá
las hip´tesis de los resultados 2 o 3 son satisfechas y esto proporciona una baseo
fuerte a la hip´tesis de Brayton-Mosser para calcular todas las otras variables delo
circuito. Tambiń estamos usando la hip´tesis de Eckmann de que las relacioneseo
constitutivas de condensadores e inductores son invertibles.

En forma m´s precisa, definimos el espacio de estados fáısicos∗ como el
1subconjunto de todas las corrientes y
voltajes en C1 ×C que satisfacen las leyes
de Kirchhoff y de Ohm :
= (i, v) ∈ C1 xC 1 /(i, v) ∈ Ker∂ × im∂ ∗ , vρ = fρ (iρ ), ρ = 1, . . . , r
donde (iρ , vρ ) denota las componentes de i, v en la rama, donde ρ var´ sobre lasıa
ramas r con resistores. Por facilidad, esta definiciń supone que los resistoreso
son controlados por corriente, as´ que la ley de Ohm tiene que modificarse enı
forma adecuada para los resistores controlados por voltaje.
Bajo condiciones muy generales,ser´ una variedad, esto es, el an´lo-aa
go de una superficie en dimensiń m´s alta. Como el subespacio de Kirchhoffoa
∗Ker∂ × im ∂ tiene la misma dimensiń que C1 y las leyes de Ohm agregan ro
restricciones, claramente tenemos
dim

=l+c

donde l es el n´mero de inductores y c el n´mero de capacitores.uu
Denotemos por iL ⊂ C1 y vC ⊂ C 1 a los subespacios vectoriales de corrientes
en los inductores y voltajes en los capacitores, respectivamente. Considere la
proyecciń π :o→ iL × vC , la cual a cualquier estado f´ısico enasocia sus
corrientes correspondientes en los inductores y voltajes en los capacitores. La
hip´tesis de Brayton-Moser, formulada por Smale*, es como sigue:o
Hip´tesis de Brayton-Moser: El mapeo π :o
la cual es un mapeo diferenciable.
iL × vc →

→ iL × vC tiene una inversa,

⊂ C1 × C 1 .

En otras palabras, ya que iL × vc son buenas coordenadas globales para la
variedad , podemos trabajar en forma m´s sencilla en el espacio euclidianoa
iL × vc .
M´s adelante veremos c´mo obtener ecuaciones diferenciales expláoıcitas para
el circuito en este caso.
De hecho no es suficiente quesea una subvariedad para obtener ecuaciones diferenciales expl´ıcitas; adem´s, tiene que proyectarse bien sobre iL × vC .a

´

17

Smale ha demostrado mediante una construcciń general que las ecuaciones di-o
ferenciales expl´ıcitas tienen lugar localmente si y s´lo si iL × vC son v´lidasoa
como coordenadas incrementales (o sea a nivel del espacio tangente). Aplicando
el Teorema de la Funciń Implóıcita esto significa que ´stas nos proporcionane
coordenadas para toda una vecindad de . Analizaremos el ejemplo 3 en este
contexto. El subespacio 3 dimensional de Kirchhoff puede ser parametrizado por
i, vC , vR aunque el espacio completo de voltajes y corrientes tiene dimensiń 6.o
La subvariedadde dimensiń 2 puede ser representada en el espacio de 3o
dimensiones, como la siguiente superficie

{(i, vc , vR ) : i = f (vR )}.
Los par´metros i, vC son buenas coordenadas para la superficie solo si f (vR ) =a
0, lo cual significa que f es localmente invertible. Si f es globalmente invertible, el resistor tambiń puede pensarse como controlado por corriente, y comoe
se mencion´ antes, se encuentran ecuaciones diferenciales explóıcitas para este
ejemplo.
Supongamos que la superficie est´ dada por la siguiente figura, admitiendoa
i, vc como coordenadas locales en todas partes, excepto en la l´ınea f (vR ) = 0
donde el plano tangente es ortogonal al plano i, vc .

Figura 9: Subvariedad de dimensiń 2 representada en un espacioo

Para formular las ecuaciones diferenciales, definimos la Funciń Potencialo
Mixto
P : C1 × C 1 → R mediante la f´rmula P (i, v) =o

iγ vγ +
γ

vρ diρ
ρ

donde las sumas sobre γ y ρ son sobre las ramas de capacitores y resistores,
respectivamente. Para el caso controlado por corriente la integral indefinida se
define con respecto a la variable independiente iρ , de manera que P est´ definidaa
excepto por una constante.

´
INDICE GENERAL

18

Si el resistor es controlado por voltaje, aplicamos el m´todo de integracińeo
por partes, tomando a v como variable independiente
vρ diρ = iρ vρ −

iρ dvρ .

Mediante las leyes de Kirchhoff y de Ohm, P puede ser considerado como un
mapeo deen R. Por la hip´tesis de Brayton-Moser, tenemoso
P : iL × vC → R.

A continuaciń mencionaremos el teorema de Brayton-Moser y daremos unao
demostraciń m´s sencilla que la encontrada en la literatura en general.oa
Teorema 3. (Brayton-Moser) Toda trayectoria f´ısica de un circuito elćtricoe
que satisface las hip´tesis mencionadas anteriormente, es una curva solucińoo
del sistema
Lλ (iλ )diλ /dt = −∂P/iλ ,

Cγ (vγ )dvγ /dt = ∂P/vγ .

(14)

Los ´ındices λ y γ denotan todos los elementos del circuito que tienen inductores o capacitores, respectivamente. Rec´ıprocamente, toda soluciń a estaso
ecuaciones es una trayectoria f´ısica .
Prueba : Consideremos una curva arbitraria C 1 en L × C ∗ . Debido a nuestra
hip´tesis podemos identificar L × C 1 cono⊂ C1 × C 1 ; entonces tomamos la
curva escrita en la forma
t(i(t), v(t)) ∈ C1 × C 1
Por leyes de Kichhoff i(t) ∈ Ker∂ . Entonces i ∈ Ker∂. Por LV K v(t) ∈
Im∂ ∗ . Por el Teorema de Tellegen, para todo t se cumple
vn (t)in (t) = 0.
n∈N

Que tambiń podemos escribir comoe
vi +

vi +

vi = 0.

Por regla de Leibniz nosotro tenemos
vi = (

vi) −

iv .

Substituyendo esta ultima en la ecuaciń precedente obtenemosó
−

vi +

iv = (

iv) +

vi = dP/dt,

´

19

por la definiciń de P y las Leyes de Ohm generalizadas. Por la regla de lao
cadena tenemos
dP/dt =

(∂P/∂i).i +

(∂P/∂v)v .

Para las dos ultimas ecuaciones encontramos´
(∂P/∂i + v)i” +

(∂P/∂v − i)v = 0.

Como i y v pueden tomar cualquier valor,
∂P/∂i = −v, ∂P/∂v = i.
La demostraciń se da por terminada si se toman en cuentao
L(i)di/dt = vyC(v)dv/dt = i.
Para resolver (14) como una ecuaciń diferencial explóıcita, necesitamos la hip´te-o
sis de Eckmann de que las relaciones constitutivas para los inductores y capacitores sean invertibles. De hecho, se probar´ el resultado siguiente que consideraa
una hip´tesis m´s general.oa
Consideremos el circuito que consiste de inductores, que pueden estar controlados tanto por flujo como por corriente; tambiń, capacitores que puedene
estar controlados tanto por carga como por voltaje. Las relaciones constitutivas no son necesariamente invertibles. Para el caso de relaciones constitutivas
invertibles el teorema que sigue se reduce al teorema de Brayton-Moser.

Teorema 4. Supongamos que todas las corrientes en el circuito son determinadas unicamente por flujos φ en inductores que son controlados por flujo, y´
corrientes iλ en inductores controlados por corriente, cargas qC en capacitores
controlados por carga y voltajes vγ en los capacitores controlados por voltaje;
entonces las ecuaciones diferenciales del circuito estń dadas pora
−∂P ∂φl , Sc (qc )dqc /dt = ∂P/∂qc ,
−∂P ∂iλ , Cγ (vγ )dvγ /dt = ∂P ∂vγ

Nl (φl )dφl /dt =
Lλ (iλ )diλ /dt =

Prueba: Esencialmente seguiremos las ideas de [4] hasta la ecuaciń (16). Re-o
petimos aqu´ todos los detalles ya que en la referencia hay un error tipogr´fico.ıa
Considere el potencial mixto escrito en la forma
P (i, v) =

ic vc +
c

iγ vγ +
γ

vρ diρ
ρ

donde separamos la suma sobre C para controlados por carga y suma sobre γ
para los controlados por voltaje, respectivamente.

(15)

´
INDICE GENERAL

20

De acuerdo a la hip´tesis del teorema, el potencial mixto puede ser con-o
siderado una funciń de las variables φl , iλ , qC , vγ . Nuevamente, por la ley deo
Kirchhoff de corriente i(t) ∈ Ker∂. Como esto es un subespacio vectorial, lo
mismo se cumple para la derivada respecto al tiempo i (t) ∈ Ker∂. En este caso
el teorema de Tellegen es v´lido en la siguiente formaa
vρ iρ +

vλ iλ +

ρ

vl il +

λ

vC iC +

vγ iγ = 0

(15 )

γ

C

l

donde la suma sobre l es para inductores controlados por flujo, y sobre λ para
inductores controlados por corriente.
Por la regla de Leibnitz podemos reemplazar como sigue en la ecuaciń queo
precede
vC iC = (iC vC ) − iC vC , vγ iγ = (iγ vγ ) − iγ vγ .
Por definiciń de P , tenemos entonceso
dP/dt

=

iC vC +

=

iγ vγ

(iC vC + iC vC ) +

+

vρ iρ =

(iγ vγ + iγ vγ ) +

vρ iρ
(16)

=
=

iC vC +
−

iγ vγ +

vl i l −
l

iρ vρ +

vλ iλ +
λ

iC vC +

i C vC +
C

iγ vγ

iγ vγ .
γ

Por otro lado, por la regla de la cadena
dP/dt =

∂P/∂φl φl +

∂P/∂iλ iλ +

∂P/∂qC qC +

∂P/∂vγ vγ (17)

Recordando que φl = vl y qc = ic y comparando con (16), conclu´ımos que
∂P/∂φl = −il , ∂P/∂iλ = −vλ , ∂P/∂qc = vc , ∂P/∂vγ = iγ .

(18)

Usando (2) y las ecuaciones an´logas para elementos controlados por flujo ya
por carga se tiene
il = Nl (φl )φl , vλ = Lλ (iλ )iλ , vC = SC (qC )qC , iγ = Cγ (vγ )vγ ,

(19)

donde las Nl son inductancias inversas y las SC son elastancias de los correspondientes elementos. Substituyendo (19) en (18) se obtiene (15).
Si hay solo inductores controlados por flujo y capacitores controlados por
carga, solo se obtiene el primer renglń de las ecuaciones (15). En algń sentidoou
esto es una contraparte de las ecuaciones de Brayton - Moser.

´

21

Las ecuaciones (11) en el ejemplo 1 son un caso particular de las ecuaciones
de Brayton-Moser.
Analicemos el ejemplo 2, teniendo en mente las ecuaciones m´s generales.a
Usando leyes de Kirchhoff y de Ohm, con las relaciones constitutivas para
inductores y capacitores, calculamos el potencial mixto para el circuito como
sigue
P (q, φ1 , φ2 ) = −fc (q)F1 (φ1 ) − fc (q)F2 (φ2 ) + es F1 (φ1 )
+

f1 (F1 (φ1 ))F (φ1 )dφ1 +

f2 (F2 (φ2 ))F2 (φ2 )dφ2 .

Podemos probar de una manera relativamente fćil que las ecuaciones (12)a
multiplicadas por la elastancia fC (q) del capacitor y las inductancias inversas
F1 (φ1 ) y F2 (φ2 ) de los inductores, respectivamente, se transforman en
fc (q)q
F1 (φ1 )φ
F2 (φ2 )φ2

=
=
=

∂P/∂q
−∂P/∂φ1
−∂P/∂φ2

(12 )

Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales expl´ıcitas, si pudi´ramos re-e
solverlas para q , φ1 y φ2 , respectivamente. Esto es posible si fc , F1 , F2 siempre
tienen el mismo signo, esto es, positivo.
Como las ecuaciones (12) son ecuaciones diferenciales expl´ıcitas, son por lo
tanto menos generales que (12 ). As´ a fin de obtener las ecuaciones de Brayton-ı,
Moser como ecuaciones diferenciales expl´ıcitas, se pierde alguna generalidad por
pedir que las caracter´ısticas de los elementos no resistivos sean invertibles.
Corolario. Para obtener ecuaciones diferenciales expl´ıcitas, utilizando las hip´-o
tesis del teorema 1, las caracter´ısticas de los inductores controlados por corriente
y capacitores controlados por voltaje tienen que ser invertibles. As´ que podemosı
considerar que todos los inductores estń controlados por flujo y todos los capa-a
citores estń controlados por carga, obteniendo las siguientes ecuaciones:a
N (φl )dφl /dt = −∂P/∂φl , SC (qC )dqC /dt = ∂P/∂qC
donde los ´ındices l, c corren sobre los inductores y capacitores respectivamente.
Las Nl y Sc pueden ser formalmente canceladas de estas ecuaciones, obteniendo
ecuaciones igualmente v´lidas.a
Demostraciń. Recordemos que P = γ iγ vγ + ρ vρ diρ donde γ corre sobreo
las ramas de capacitores y ρ sobre las ramas de resistores. Con esto podemos
calcular
∂P/∂qC

(iγ ∂vγ /∂qC + ∂iγ /∂qC vγ ) +

=

vρ ∂iρ /∂qC
ρ

∂P/∂φl

(iγ ∂vγ /∂φl + ∂i/∂φl vγ ) +

=
γ

vρ ∂iρ /∂φl .
ρ

(20)

´
INDICE GENERAL

22

Solo necesitamos verificar que la funciń ∂P/∂qC tiene como uno de suso
factores a dvC /dqC = SC (qC ), y ∂P/∂φ tiene como factor a dil /dφl = Nl (φl ).
Debido a la hip´tesis tenemos que qC , φl determinan todas las corrienteso
y voltajes en el circuito, as´ que vγ = Fγ (vc , il ) para ramas de capacitores eı
ik = Gk (vc, il ) para cualquier rama k, donde vC es una funciń de la carga qC ,o
y cada il es una funciń del flujo φl . Entonceso
∂vγ /∂φl
∂iK /∂qC

=
=

∂Fγ /∂il dil /dφl , ∂iK /∂φl = ∂GK /∂il dil /dφl ,
∂GK /∂vC dvC /dqC , ∂vγ /∂qC = δγC dvC /dqC .

donde δγC es la delta de Kronecker para ´ındices γ, C, la cual vale 1 si γ = C y
0 si γ = C. Substituyendo en (20) completamos la demostraciń.o
Aqu´ aclaramos que los ´ıındices γ y C corren ambos sobre todos los capacitores del circuito. Esto se debe a que todos pueden pensarse como controlados
por carga o por voltaje.

0.1.4.

Espacios simplćticos y reciprocidad en circuitose

En esta secciń se interpretan las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones deo
Brayton–Moser, as´ como las ecuaciones generalizadas para circuitos no linea-ı
les en t´rminos de los conceptos de reciprocidad y de espacios simplćticos.ee
Informalmente hablando, la reciprocidad, tiene que ver con el hecho de que
excepto por multiplicaciń por una matriz, las ecuaciones (15) son ecuacioneso
diferenciales tipo gradiente.

Para motivar la idea de reciprocidad, utilizaremos el ejemplo 1 que estudiamos antes. Para la funciń P (i, v) donde i es la corriente en el inductor y v elo
voltaje en el capacitor, podemos escribir
dP = ∂P/∂idi + ∂P/∂v dv.
Usando el sistema de ecuaciones (11), podemos escribir
dP = −v ∗ di + i ∗ dv

(21)

donde v ∗ es el voltaje en el inductor, e i∗ es la corriente en el capacitor. An´lo-a
gamente, debido a la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de P , la cual
en notaciń de formas diferenciales se escribe como d2 P = 0, obtenemos lao
siguiente condiciń de reciprocidad para la redo
∂v ∗ /∂v = −∂i∗ /∂i.
Esta condiciń la podemos interpretar como sigue:o
Consideremos las variables independientes (i, v) como variables de control
y las correspondientes (v ∗ , i∗ ) como variables de respuesta. Suponiendo que

(22)

´

23

el inductor y el capacitor se quitan del circuito, obtenemos un puerto de dos
entradas, como se muestra en la Figura 10, abajo. El puerto del capacitor queda
a la izquierda de la figura y el del inductor a la derecha.
Si se aplica una fuente de voltaje con valor constante v en el puerto del
capacitor y una de corriente de valor constante i se aplica al puerto del inductor,
obtenemos la corriente i∗ y el voltaje v ∗ respectivamente, como se muestra.
Ahora cambiamos v mediante un pequeõ incremento ∆v, manteniendo in
fija, y calculamos la relaciń de transferencia de voltaje ∆v ∗ /∆v. Repetimos elo
mismo procedimiento para la i con un pequeõ incremento ∆i manteniendo vn
∗fijo, y calculamos ∆i /∆i. Excepto por el cambio de signo, ambos
cocientes de
diferencias tienen el mismo l´ımite cuando ∆v y ∆i tienden a 0.
l´ım
v→0

v ∗ / v = − l´ım

i∗ / i
i→0

Figura 10: Puerto de dos entradas, con fuentes de voltaje y corriente.

Si el circuito es lineal y pasivo (no hay bater´ lo anterior es demostradoıa)
aplicando primero una fuente de voltaje de valor v en el puerto de la izquierda,
y calculando el voltaje a circuito abierto v ∗ en el de la derecha.
Luego aplicamos una fuente de corriente de valor i en el puerto de la derecha
y se registra el valor de corriente en corto circuito i∗ en el de la izquierda. Como
resultado obtenemos
v ∗ /v = −i∗ /i
lo cual nos da, excepto por el cambio de signo la igualdad de la relaciń transfe-o
rencia de voltaje y la de corriente en el puerto con 2 entradas. En este sentido,
(22) es una relaciń de incremental en el caso no lineal.o
Finalmente, al aplicar diferenciales en ambos lados de (21), obtenemos
0

=

d2 P = −dv ∗ ∧ di + di∗ ∧ dv

=

di ∧ dv ∗ + di∗ ∧ dv.

´
INDICE GENERAL

24

Por otro lado, si consideramos el espacio de dimensiń 4 dado por (i, i∗ , v ∗ , v),o
espacio de corrientes y voltajes en la bobina y el capacitor, en ese orden, entonces
el conjunto
L = {(i, i∗ , v ∗ , v) : i∗ = ∂P/∂v, v ∗ = −∂P/∂i}
es una subvariedad de dimensiń 2 en un espacio de 4 dimensiones, donde lao
∗∗∗2-forma Ω = di dv + di dv se anula. La Ω es un ejemplo de lo que se conoce
como una 2-forma simplćtica y L se llama una subvariedad lagrangiana cone
respecto a Ω. Su dimensiń es la mitad de la dimensiń del espacio total deoo
corrientes y de voltajes. En esta definiciń, decimos que L tiene a P : R2 → Ro
como funciń generatriz. Para una red lineal pasiva, P ser´ cuadr´tica y L unoıaa
4subespacio vectorial (subespacio
lagrangiano) de R . Estos t´rminos se harńea
precisos m´s adelante.a
Ahora consideremos el caso m´s general de un circuito no lineal que satis-a
face la hip´tesis de Brayton-Moser, con bobinas controladas por corrientes iλo
y condensadores controlados por voltajes vγ , en un espacio euclidiano R2k cuyas coordenadas (iλ , iγ , vλ , vγ ) son las corrientes y voltajes en las bobinas y los
condensadores respectivamente.
(Consideramos que entre condensadores y bobinas suman un total de k elementos).
Definamos la siguiente 2-forma simplćtica, motivados por el ejemplo ante-e
rior:

Ω=diλ ∧ dvλ +diγ ∧ dvγ .(23)
γ

λ

La subvariedad de R2k generada por el potencial mixto P (iλ , vγ ) se define como
L = {(iλ , iγ , vλ , vγ ) : iγ = ∂P/∂vγ , vλ = −∂P/∂iλ }.
Su dimensiń es exactamente k, puesto que est´ parametrizada por las coorde-oa
2nadas (iλ , vγ ). De la propiedad d P = 0, podemos asegurar
como antes que Ω
se aniquila en L, as´ que la variedad es lagrangiana.ı
En el caso donde las bobinas estń controladas por flujo y los condensadoresa
por carga, el potencial mixto es una funciń de los flujos de las bobinas y de laso
cargas de los condensadores (φλ , qγ ). Diferenciando P , tenemos
dP

∂P/∂φλ dφλ +

=

∂P/∂qγ dqγ
γ

λ

=

−

iλ dφλ +
λ

vγ dqγ ,
γ

La segunda relaciń es el resultado de las ecuaciones (18). Diferenciandoo
nuevamente, nos queda
0 = d2 P =

dφλ ∧ diλ +

dvγ ∧ dqγ .

´

25

Esto sugiere que las variables correctas para describir este tipo de circuito pueden ser (φλ , vγ , iλ , qγ ) donde vγ e iλ son las derivadas respecto al tiempo del
voltaje en los capacitores y de la corriente en las bobinas. La 2-forma simplćticae
es
ω=dφλ ∧ diλ +dvγ ∧ dqγ ,(23 )
λ

γ

y la subvariedad con dimensiń la mitad del espacio R2k , generada por P cono
la condiciń de que ω se anule (esto es, es lagrangiana) est´ definida poroa
l = {(φλ , vγ , iλ , qγ ) : vγ = ∂P/∂qγ , iλ = −∂P/∂φλ } ⊂ R2k .
En el caso general del teorema 2, la forma simplćtica es la suma de (23) y dee
(23’). Ahora haremos precisos los t´rminos considerados anteriormente.e
Si (x1 , . . . , xn ) son coordenadas en Rn , las 1-formas diferenciales elementales
dxi (i = 1, . . . , n) son objetos incrementales, los cuales cuando se aplican a un
vector tangente que tiene base en un punto p en Rn toman la i-´sima componentee
del vector y excluyen el punto base. Una 1-forma diferencial en general θ =
f1 dx1 + · · · + fn dxn cuando se aplica a un vector tangente v = (v1 , . . . , vn )
basado en el punto p ∈ Rn , es evaluada como
θ(vp ) = f1 (p)v1 + · · · + fn (p)vn .
Este es un mapeo lineal para para p fijo, cuyos coeficientes cambian suavemente
con p. Un caso particular es la diferencial
df = ∂f /∂xn dx1 + · · · + ∂f /∂xn dxn
de una funciń f : Rn → R de clase C ∞ .o
Ahora vamos a interpretar las ecuaciones (14) y (15), en t´rminos de 1-e
formas. Primero escribimos
∂Pdiλ
diλ =diλ
dt∂iλ
dvγ∂P
Cγ (Vγ )
dvγ =dvγ
dt∂vγ
Sumando sobre λ y γ obtenemos
−Lλ (iλ )

−

Lλ (Lλ )diλ /dtdi +

Cγ (vγ )dvγ /dtdvγ = dP

El primer miembro es an´logo a la siguiente forma cuadr´ticaaa
η=−

Lλ (iλ )diλ · diλ +

Cγ (vγ )dvγ · dvγ

definida en los vectores tangentes al subespacio iL ×vC de inductores controlados
por corriente y condensadores controlados por voltaje. Este es un caso particular

(24)

´
INDICE GENERAL

26

de una m´trica Riemaniana [ 4], dado que es una forma cuadr´tica en cadaea
espacio tangente. Es indefinida en general (como una m´trica de Minkowski),e
siempre que haya tanto inductores como condensadores. En general, una forma
cuadr´tica, digamos Q =afi dxi · dxi se evalá en una pareja de vectoresu
tangentes up , wp basados en el mismo punto p por medio de la regla
Q = (up , wp ) = Σfi ( p)ui wi .
Si se evalá solamente en un vector tangente, obtenemos una 1-forma Q(up , ·) =u
fi (p)ui dxi , cuya aplicaciń a un vector wp se define como Q(up , ·)wp = Q(up ,o
wp ) =fi (p)ui wi =fi (p)ui dxi (wp ), la cual tiene la forma de la f´rmula (24)o
para la m´trica η, evaluada en un vector tangente a la soluciń de (14). En esteeo
caso, de las primeras ecuacińes en (15), podemos definir del mismo modo unao
m´trica riemaniana indefinidae
ξ=−

l Nl (φl )dφl

· dφl +

C SC (qC )dqC

· dqC .

Una situaciń similar aparece en la ecuaciń de Hamilton en mecńica cl´sicaooaa
[1], solamente que η es remplazada por una 2-forma simplćtica (la cual ese
antisim´trica). Esto explica el que las ecuaciones tengan una estructura an´logaea
al caso Hamiltoniano.
Las 2 − f ormas diferenciales son objetos bilineales antisim´tricos en cadae
espacio tangente. Las 2−f ormas diferenciales m´s elementales son objetos de laa
forma dxi ∧ dxj . Estos estń definidos para cualquier par de vectores tangentesa
up , wp con base en el mismo punto p, por la formula:

dxi ∧ dxj (vp , wp ) =

dxi (vp )
dxj (vp )

dxi (wp )
dxj (wp )

= wi wj − vj wi

Si θ es la 1 − f orma anterior, su diferencial est´ definida como la 2 − f ormaa
dθ = df1 ∧ dx1 + df2 ∧ dx2 + · · · + dfn ∧ dxn .
Es fćil de probar que si θ = df , entonces dθ = 0, esto es d2 f = 0 para cualquiera
funciń f .o
Consideremos ahora el caso de dimensiń par n = 2k, renombrando laso
2kcoordenadas (x1 , . . . , xk ; y1 , . . . , yk )
en R .
La 2 − f orma canńicao
Ω = dx1 ∧ dy1 + · · · + dxK ∧ dyK
es llamada una forma simplćtica en R2k , porque su matriz como forma bilineale
en cualquier punto es no singular.

(25)

´

27

De hecho, a partir de la definiciń obtenemos:o
Ω(up , wp )

= (v1 wk+1 − vk+1 w1 ) + · · · + (vk w2k − v2k wk )
=

v1 , . . . , vk ; vk+1 , . . . , v2k

0I
I0

(w1 , . . . , wk ; wk+1 , . . . , w2k )t

donde t denota traspuesta e I y O son las matrices identidad y nula de orden
k, repectivamente.
Esta definiciń depende de las coordenadas, pero puede ser demostrado queo
para cualquier 2−f orma diferencial cuya matriz es no singular, existe un cambio
local de coordenadas bajo el cual toma la forma (25). Recordando la estructura
de las formas simplćticas (23), (23’) definidas anteriormente, vemos que estoe
es suficiente para nuestros prop´sitos.o
Una subvariedad lagrangiana de R2k con respecto a la forma simplćtica Ωe
es una subvariedad L de dimensiń k, tal que Ω restringida a L nos da cero. Estoo
demuestra que, por lo menos localmente, la funciń cuya gr´fica define L puedeoa
ser escrita en la forma F = P para alguna funciń P con valores reales, la cualo
es llamada una funciń generatriz para L. Esto es lo que queremos decir cono
reciprocidad. Las subvariedades lagrangianas en los ejemplos anteriores tienen
coordenadas globales en un subespacio vectorial k − −dimensional de R2k con
funciń generatriz P .o

En el caso donde L es en particular un subespacio vectorial de R2k , decimos
que L es un subespacio lagrangiano. Dado que nuestras formas simplćticase
no dependen del punto base, podemos operar al nivel incremental (lineal) y
vemos que un subespacio vectorial lagrangiano k−dimensional aniquila la forma
0I
bilineal cuya matriz es. Aqu´ no hay distinciń entre elementos yıo
−I 0
vectores tangentes de un subespacio.
M´s generalmente, si W es un espacio vectorial real de dimensiń finita y W ∗ao
∗su dual, podemos formar un
nuevo espacio vectorial S = W ⊕ W de dimensińo
par. A este espacio vectorial S se le llama espacio vectorial dual.
Hay una manera natural de definir, utilizando un par dual como S, una
forma bilineal no degenerada antisim´trica en S, i.e. una estructura simplćtica,ee
dada por:
A(u ⊕ u∗ , w ⊕ w∗ ) = w∗ (u) − u∗ (w) para u, w ∈ W ; u∗ , w∗ ∈ W ∗ .

Al tomar cualquier base en W y su base dual en W ∗ , vemos que la matriz
0I
de A es exactamente, donde el orden de los bloques matriciales es
−I 0
igual a la dimensiń de W.o

(26)

28

´
INDICE GENERAL

Recordemos que el espacio de todos los vectores voltajes de rama C 1 en una
red, es el dual de los vectores corrientes de rama C1 . En particular, esto sigue
siendo verdadero si tomamos cualquier subconjunto de ramas, por ejemplo, las
que corresponden a bobinas y condensadores en los ejemplos anteriores.

Entonces la estructura simplćtica considerada en cada caso puede ser obte-e
nida exactamente por medio de la formula (26).
Consideremos ahora el espacio simplćtico completo S1 = C1 ⊕ C 1 , dondee
puede definirse la forma simplćtica A como arriba, identificando W = C1 ye
∗1W = C . Queremos interpretar las leyes de Kirchhof f como la restricciń ao
un subespacio lagrangiano de S1 .

En efecto, recordemos de la secciń 3 que las leyes de Kirchhoff nos restringeno
al subespacio lineal K = Ker∂ ⊕ im∂ ∗ ⊂ C1 ⊕ C 1 de dimensiń la mitad delo
espacio total. Este subespacio es lagrangiano, puesto que por el teorema de
Tellegen v ∗ (i) = 0 para cualquier i ⊕ v ∗ ∈ K y por definicion tenemos A = 0 en
K.

En este sentido, las leyes de Kirchhoff pueden ser interpretadas como una
reciprocidad-lineal generalizada de origen topol´gico.o
Es muy fćil de construir una funciń generatriz para tal subespacio la-ao
grangiano K. Esta tiene que ser necesariamente una funciń cuadr´tica, por laoa
linealidad. Las coordenadas para parametrizar K son simplemente un conjunto
independiente de las corrientes y voltajes. Recordemos que hemos denotado por
b al n´mero total de ramas, y por n el n´mero de nodos en la red.uu
As´ escogemos simplemente cualquier ´rbol del circuito, el cual tiene b − c =ı,a
n − 1 ramas, de acuerdo a (9), mientras que las correspondientes ligas serń lasa
c ramas restantes de acuerdo a la f´rmula (8). Renumeremos las ramas si eso
necesario, de manera que los indices 1, 2, . . . , b − c, corresponden a ramas del
´rbol , mientras que b − c + 1, b − c + 2, . . . , b corresponden a las ramas de liga.a
Definimos la funciń generatriz requerida por K como la potencia total en laso
ramas de ´rbol:a

Definimos la funciń generatriz con la siguiente proposiciń:oo
Teorema 5. Dado un circuito arbitrario, una funciń generatriz para definiro
el subespacio Lagrangiano K de las leyes de Kirchhoff se puede construir de la
siguiente manera: Escogemos cualquier ´rbol del circuito y la funciń generatrizao
G es la potencia total en las ramas de ese ´rbol, donde las corrientes del ´rbolaa
se expresan en t´rminos de las corrientes de enlace usando las LCK como:e
G1 (v1 , . . . , vb−c ; i1 , . . . , ib−c ) = G(v1 , . . . , vb−c ; ib−c+1 , . . . , ib ),

(27)

´

Por definicińo
iK =

∂G
∂VK

29

paraK = 1, 2, . . . , b − c,

(28)

Prueba: Para los voltajes y corrientes de ´rbol (ramas) tenemos que la funcińao
generatriz se escribe como
G1 (v1 , . . . , vb−c ; i1 , . . . , ib−c ) = i1 v1 + · · · + ib−c vb−c
y en forma matricial
i1
i2
.
.
.
ib−c
G1 (v1 , . . . , vb−c ; i1 , . . . , ib−c ) = (v1 , . . . , vb−c )I

y queremos expresar al vector columna de corrientes de rama dps

t´rminos del vector de corrientes de enlace

e

ib−c+1
ib−c+2
.
.
i.
b

i1
i2
.
.
.
ib−c

.

Para hacer esto ultimo tomamos primero (n − 1) ecuaciones de nodo lineal-´
mente independientes en la forma AJ = 0, donde J es el vector columna de
corrientes, y A es la matriz de incidencia reducida que se encuentra de la forma
siguiente:
Los renglones de A corresponden a (n − 1) nodos del circuito y las columnas
corresponden a las b ramas del circuito.
Para dar un elemento de esta matriz hacemos lo siguiente:
ajk = 1 si la rama del k sale del nodo j.
ajk = −1 si la rama del k entra al nodo j.
ajk = 0 si la rama del k no incide al nodo j.
Los renglones que quedan en dicha matriz son linealmente independientes
entre s´ı.
Tambiń tomamos c ecuaciones linealmente independientes de mallas comoe
BV = 0, donde V es el vector columna de voltajes y B es la matriz fundamental
que se puede encontrar de la siguiente manera.

en

´
INDICE GENERAL

30

Primero se escoge un ´rbol del circuito que ya sabemos que contiene a todosa
los nodos; en los renglones de B ponemos las ramas de enlace del circuito y
en las columnas tenemos otra vez las ramas de enlace y las ramas de ´rbol dela
circuito.
Observe que entonces la matriz B tiene una particiń natural donde la pri-o
mera parte de ´sta es la matriz unidad I y V es el vector columna de voltajes.e
Tomando la ultima ecuaciń y haciendo una particiń de las matrices tene-óo
mos
Vc
[I | F ] · · · = 0,
Vt
donde I es la identidad de orden b − c + 1,
F es una matriz de orden cx(b − c) que resulta de la particiń de B.o
Vc es el vector de voltajes de elementos de enlace
Vt es el vector de voltajes de elementos de rama de ´rbol.a
La ultima ecuaciń se escribe comoó
Vc + F V t = 0

(29)

an´logamente para AJ = 0 tenemos la particińao

[X | K]

···

Jc
= 0,
Jt

o sea
XJ + KJ = 0

(30)

Jc es el vector de corrientes de enlace y
Jt es el vector de corrientes de rama.
Como los renglones de la matrirz A son linealmente independientes, y al haberle
quitado un nodo ese n´mero es igual al n´mero de ramas de la gr´fica deluua
circuito, entonces K es una matriz cuadrada de m´ximo rango. Por lo cual laa
matriz K tiene inversa; con esto podemos multiplicar a la ecuaciń (30) por lao
−1matriz inversa K del lado izquierdo:
Jt + K −1 XJc = 0

(31)

Al multiplicar esta ultima ecuaciń a la izquierda por Vtt obtenemos la ecuacińóo
Vtt Jt + Vtt K −1 XJc = 0

(31 )

´
ty

31

multiplicando (29) por Jc a la izquierda

obtenemos
ttJc Vc +

Jc F Vt = 0

(32)

Vct Jc + Vtt F t Jc = 0

(32 )

sacando transpuesta a (32) tenemos

Sumando (31’) y (32’) obtenemos
−Vtt [F t + K −1 X]Jc

=
=
=

Vct Jc + Vtt Jt
ttJc Vc + Jt Vt
J, V = 0 Por Teorema de Tellegen.

Entonces, tomando los respectivos vectores unitarios para Vtt y Jc la forma
cuadr´tica (escalar) del lado izquierdo vemos que F t + K −1 X = 0, de dondea
K −1 X = −F t .
Entonces sustituyendo en (31) obtenemos
Jt = F t Jc
y de (29)
Vc = −F Vt .
Si definimos a D = F t entonces reescribimos
Jt = DJC

(33)

Vc = −Dt Vt .

(34)

Tomando la ecuaciń (33) y sustituyendo en la ecuaciń que define la funcińooo
generatriz obtenemos
G(v1 , . . . , vb−c ; ib−c+1 , . . . , ib ) = (v1 , . . . , vb−c )IDJc = (v1 , . . . , vb−c )DJc
Donde Jc es el vector de corrientes de enlace.
Con esto tenemos que
ib−c+1
.
.G(v1 , .
. . , vb−c ; ib−c+1 , , ib ) = (v1 , ..., vb−c )D
.
ib

De aqu´ sale directamente la ecuaciń (28).ıo
Corolario 4. Por el teorema de Tellegen podemos escribir que
b

G=−

il vl ,
l=b−c+1

´
INDICE GENERAL

32
donde
−vl = ∂G/∂il

para

l = b − c + 1, ..., b.

(28 )

Prueba: Esta demostraciń es directa usando el teorema de Tellegen.o
Posterormente daremos 4 ejemplos con el objetivo de que quede m´s claroa
este resultado.
Ejemplo 4.
Sea el circuito cuya gr´fica es la siguientea

Figura 11:

Encontrar la funciń generatriz en t´rminos de v1 , v2 , v3 , v4 , i5 , e i6 . Y de-oe
muestre derivando respecto de la variable apropiada que se cumplen las leyes
de Kirchoff como lo indica el corolario.
De alguna forma lo que se concluy´ en la demostraciń del teorema es queoo
la matriz D es aquella matriz que tiene eslabones en sus columnas y ramas de
´rbol en los renglones. As´ en nuestro ejemplo escogemos el siguiente ´rbol yaıa
empezamos la numeraciń de todas las ramas de la red en dicho ´rbol, como seoa
muestra en la figura.
Con esto tenemos que la matriz D es:
01
1−1
ramas
−10D=
−10
eslabones
con esto tenemos que el vector de corrientes del ´rbol escogido en t´rminos deae
las de enlace es:
i101
i2
1 −1 i5
i3

−1 0

=

i6

i4−1 0
Entonces
i1
i
G = (v1 , v2 , v3 , v4 )

2

= (v1 , v2 , v3 , v4 )
i3
i4

0
1
−1
−1

1
−1
0
0

i5
i6

´

33

O en forma algebríca:a
G = v1 i6 + v2 (i5 − i6 ) + v3 (−i5 ) + v4 (−i5 ).
Derivando parcialmente como sigue se encuentran las leyes de Kirchoff para este
circuito.
∂G/∂v1
∂G/∂v2
∂G/∂v3
∂G/∂v4
∂G/∂i5
∂G/∂i6

=
=
=
=
=
=

i6 = i1
i5 − i6 = i2
−i5 = i3
−i5 = i4
v2 − v3 − v4 = −(v3 + v4 − v2 ) = −v5 .
v1 − v2 = −(v2 − v1 ) = −v6 .

Dada la figura plana del circuito que se muestra en la figura encuentre la
Funciń Generatriz, en t´rminos de los voltajes de ´rbol y las corrientes de rama.oea
An´logamente al circuito anterior, para el ´rbol que se muestra en la figuraaa
tenemos que la matriz D es la siguiente:

D=

−1 0 0
−1 1 0
0 1 −1

As´ con esta matriz tenemos que las corrientes 1, 2 y 3 en t´rminos de lasıe
numeradas como 4, 5 y 6 quedan escritas como:

i2

=

i1−1 0 0i4
−1 1 0
i30 1 −1i6

i5

Con esto la funciń G nos queda:o

G(v1 , v2 , v3 ; i4 , i5 , i6 ) = v1 v2 v3

−1 0
−1 1
01

0i4
0
−1i6

i5

En forma algebríca tenemos:a
G = −v1 i4 + v2 (i5 − i4 ) + v3 (i5 − i6 )
De aqu´ se ve claro que al derivar parcialmente respecto a las variables en queı
est´ escrita la funciń G aparecen las ecuaciones de Kirchoff para este circuito.ao
Dada la gr´fica no planar como se muestra en la siguiente figura muestrea
que existe la funciń G, como en los anteriores ejercicios.o

´
INDICE GENERAL

34
Para el ´rbol que se muestra en la figuraa
siguiente:

tenemos que la matriz D es la
0
−1
−1
−1

1 −1 00
1 −1 0 −1
D=

−1
−1

−1
1 0 −1 −1
0
1 0 −1 0
Con esta matriz tenemos que las corrientes de ramas quedan escritas como:
i5
i6 i11 −1 000 −1
1 −1 0 −1 −1 −1

i2
i3

=

i7

1 0 −1 −1 −1 −1

i8
i9 1 0 −1 0 −1 0i4

entonces la funciń G nos queda:o
i10
G(v1 , v2 , v3 , v4 ; i5 , i6 , i7 , i8 , i9 , i10 ) =

= v1 v2 v3 v4

1 −1 0
1 −1 0
1 0 −1
1 0 −1

0
−1
−1
0

0
−1
−1
−1

i5
i6
i7
i8
i9

−1
−1

i10

·
−1

Y algebraicamente

0

G = v1 (i5 −i6 −i10 )+v2 (i5 −i6 −i8 −i9 −i10 )+v3 (i5 −i7 −i8 −i9 −i10 )+v4 (i5 −i7 −i9 )
De esta funciń algebríca se pueden deducir las ecuaciones de Kirchoff sinoa
ningń problema.u
Este ejemplo pone de relieve que la gr´fica del circuito no necesariamentea
debe poder dibujarse en un plano, solo importa la relaciń que existe entre elo
n´mero de nodos y las aristas de la gr´fica. Adem´s en ete sentido no importauaa
si un circuito elćtrico real se puede “aplastar” en un plano bidimensional o no.e
Ejemplo 5.
Considere el circuito cuya gr´fica se muestra en la siguiente figura. Las ramasa
de un ´rbol estń dibujadas por medio de láaıneas continuas, mientras que las
ramas de enlace asociadas estń con láıneas punteadas.
En este caso , (27) queda
G = i4 v1 + (i4 +, i5 )v2 + i5 v3 ,

(27 )

´

35

Figura 12:
y verificamos que (28), (28’) se convierten en
i1= i4 , i2 = i4 + i5 ,

i3 = i5 , v4 = −(v1 + v2 ), v5 = −(v2 + v3 ),

que estń de acuerdo con las LCK y LV K, respectivamente.a
Es posible trasladar K ⊂ S1 en el caso general a un subespacio Lagrangiano
en t´rminos de corrientes y potenciales de nodo. Sea S0 = C0 ⊕ C 0 , un espacioe
simpl´tico con la estructura simplćtica natural dada en (26).ee
Recordemos que las cadenas y las cocadenas a los niveles 0- y 1- estń rela-a
0cionadas por los
operadores frontera y cofrontera ∂ : C1 −→ C0 y ∂ : C −→ C 1 .
Dado que las flechas que van en direcciń opuesta, no podemos definir un ma-o
peo de S1 a S0 o viceversa, pero podemos definir una relaciń que nos permitao
transferir el subespacio K ⊂ S1 a otro subespacio Lagrangiano K0 ⊂ S0 . Puesto
que K = Ker∂ ⊕ im∂ ∗ , transfiriendo la 1a componente Ker ∂ mediante la
aplicaciń de ∂ nos da 0 ∈ C0 .o
Transfiriendo im∂ ∗ por medio de ∂ ∗ a C 0 corresponde a tomar la imagen
inversa. Esto nos da K0 = 0 ⊕ C 0 (trivialmente lagrangiano), lo cual significa
0 corrientes de nodo y potenciales arbitrarios de nodo. Eso es una expresińo
equivalente de las leyes de Kirchhoff.
Similarmente podemos interpretar K en t´rminos de mallas orientadas in-e
dependientes del circuito. Definimos un espacio de 2-cadenas C2 como sus combinaciones lineales formales. Este espacio tiene dimensiń c; otra elecciń deoo
2∗mallas independientes
corresponde a hacer un cambio de base. Sea C = C2
el espacio correspondiente de cocadenas. La frontera de una malla es definida
como la suma algebraica de las ramas orientadas que la componen. Extendiendo
por linealidad, obtenemos otro mapeo frontera: ∂2 : C2 −→ C1 ; y por dualidad,
∗la cofrontera correspondiente ∂2 : C 1 −→ C 2 . Formamos
finalmente el espacio
simplćtico natural S2 = C2 ⊕ C 2 , como antes.e
∗Procediendo como en el caso de arriba con ∂2 y ∂2 ,
obtenemos a partir de K
otro subespacio lagrangiano K2 ⊂ S2 como K2 = C2 ⊕ O. Estructuralmente este
subespacio se interpreta como corrientes arbitrarias de malla y cero voltajes de
malla, y es otra expresiń equivalente de las Leyes de Kirchhoff. La matriz parao
∗∂2 es conocida como la matriz circuital, en analog´ a la matriz de incidenciaıa
para ∂.

´
INDICE GENERAL

36

0.2.

0.2.1.

Resultados para redes lineales y conclusiones
Transformaciń de fuenteso

Para poder aplicar los m´todos que posteriormente analizaremos, primeroe
es necesario saber c´mo se transforma una fuente de corriente en una fuenteo
de voltaje y o a la inversa, una fuente de voltaje en una fuente de corriente.
De hecho cuando se aplican los m´todos de an´lisis por mallas y por lazos, esea
necesario haber transformado todas las fuentes de corriente en fuentes de tensińo
(voltaje).

Antes de definir lo que son las transformaciones de fuentes, tenemos que mencionar que todo elemento pasivo (inductor o capacitor) con condiciones iniciales
arbitrarias, puede sustituirse por el elemento con condiciones iniciales nulas y
una fuente; como se ilustra en la siguiente figura:

a) Inductor

b) Capacitor
Figura 13: Cambio de elementos pasivos con condiciones iniciales.
La transformaciń de una fuente de voltaje en una fuente de corriente, oo
viceversa, se realiza como se ilustra en la figura siguiente:
Aqu´ aclaramos que en contraposiciń a lo que llamamos fuente real de ten-ıo
siń, cuando la impedancia resulte despreciable (cero) a la fuente se le conoceo
como fuente ideal de tensiń.o

An´logamente, cuando una fuente de corriente real tenga una impedancia ena
paralelo muy grande (infinita), se le conoce como fuente ideal de corriente.

0.2. RESULTADOS PARA REDES LINEALES Y CONCLUSIONES

37

Figura 14: Transformaciń de una fuente real de tensiń en una fuente real deoo
corriente.

Cuando existen fuentes ideales de voltaje en un circuito, no se les puede
transformar en fuentes reales de corriente empleando los m´todos ilustrados ene
las figuras anteriores, por lo que no se puede realizar un an´lisis por nodos oa
por secciones de corte.

De la misma forma no se puede hacer la transformaciń de fuentes ideales deo
corriente a fuentes reales de tensiń, que se requiere para un an´lisis por mallasoa
o por lazos.
Antes de cotinuar daremos un ejemplo de cada una de las trasformaciones de
fuentes ideales de tensiń o corriente en sus respectivas fuentes reales de tensińoo
o corriente.
Ejemplo 6. Transformaciń de una fuente ideal de voltaje en una fuente realo
de voltaje.
Considere la figura 15-a donde la arista ab contiene una fuente ideal de voltaje, esto es no tiene ninguna impedancia en paralelo. Para poder transformarla
en fuente real de voltaje se hacen las transformaciones indicadas en los incisos
a), b) y c) de la misma figura donde se pone en serie con cada una de las impedancias la fuente de voltaje (inciso b). Posteriormente, como entre los nodos
a1 , a2 , a3 y a4 no existe diferencia de potencial, entonces no circula corriente
entre ellos por lo tanto se puede abrir la conexiń entre los mismos.o

Con estos cambios, la fuente ideal de voltaje qued´ transformada en cuatroo
fuentes reales de voltaje (inciso c).
Una ilustraciń un poco mas general de c´mo transformar una fuente ideal deoo
voltaje en varias fuentes de voltaje real de dos maneras distintas la mostramos
en la siguiente figura:
Lo que se observa en esta figura es que se “empuja” la fuente ideal de voltaje a
trav´s de una de sus terminales como se ilustra en las figuras b) y c), obteniendoe
circuitos equivalentes al original.

´
INDICE GENERAL

38

a)

b)

c)

Figura 15: Transformaciń de una fuente ideal de tensiń en fuentes de voltajeoo
reales.

Ejemplo7. En este ejemplo hacemos la transformaciń de una fuente ideal deo
corriente en varias fuentes reales de corriente.
Observando la figura 24 notamos que la transformaciń se hace teniendoo
cuidado de que las leyes de Kirchhoff para los nodos principales (en nuestro
ejemplo los nodos a, b,c y c) se sigan cumpliendo.
Un caso mas general de transformaciń de fuentes de corriente ideal lo mues-o
tra la figura 15. Se comienza seleccionando cualesquier malla que contenga la
arista de la fuente ideal. Por ejemplo en nuestro caso la malla cuyos nodos son:
abcda o la malla con nodos aef ghda. Y la fuente ideal se desconecta de su lugar
original , y ahora se conecta en paralelo con cada una de las aristas, cuidando
el sentido de la corriente para no violar las leyes de Kirchhoff correspondientes
a cada nodo de las aristas seleccionadas.

Cuando en un circuito ya no tenemos ninguna fuente ideal de corriente o
voltaje, al punto de uniń entre dos o m´s elementos pasivos de una red se leoa
conoce con el nombre de nodo. Si los elementos pasivos de un circuito se representan por lineas (arcos), llamados aristas, se obtiene la gr´fica. Normalmentea
los t´rminos arista y rama se consideran como sinńimos aunque estrictamenteeo
rama deber´ utilizarse solo para las aristas de un ´rbol.ıaa

Un ´rbol es un conjunto de aristas que no forman una trayectoria cerrada;a
pero que conectan entre s´ a todos los nodos de una gr´fica. Cada una de lasıa
aristas que no pertenece al ´rbol que se escogi´, recibe el nombre de eslabń.aoo
Asociando a cada una de las aristas de la gr´fica una direcciń o marcasao
de polaridad (normalmente el sentido de la corriente), obtenemos la gr´ficaa
orientada de un circuito.


Figura 16: Transformaciń de una fuente ideal de tensiń en varias fuentes realesoo
de tensiń.o

La figura 17-a muestra un circuito elćtrico y las figuras b y c muestran sue
gr´fica y su gr´fica orientada, respectivamente.aa

0.2.2.

Topolog´ de las Redes Lineales en el Estado Esta-ıa
cionario

En esta secciń discutimos circuitos lineales de corriente alterna en el esta-o
do estacionario, i.e. cuando se desprecia la parte transitoria. Suponemos que se
aplican fuentes de corriente a nodos , mientras que en forma dual se aplican
fuentes de voltaje a mallas en serie. En contraste con el tratamiento de circuitos
no lineales, todas las fuentes son consideradas por separado respecto a los elementos pasivos. Si ω > 0 es la frecuencia angular de todas las fuentes (voltaje
o corriente), sus expresiones como funciones del tiempo pueden ser escritas en

39

´
INDICE GENERAL

40

17-a) Circuito elćtrico.e

17-b) Gr´fica no dirigida y un posible ´rbol (en trazo mas grueso)aa

17-c) Gr´fica dirigidaa
Figura 17: Circuito y sus gr´ficas.a

la forma
Re(Bej ωt) = |B| cos(wt + φ)
donde B = |B| ejφ es un n´mero complejo. Substituyendo los valores de la fuen-u
jwtte Bedentro de la ecuaciń del circuito elćtrico [1, ch7] esto conduce a laoe
soluciń para corrientes y voltajes en los elementos pasivos de la forma Dejwto
donde D ∈ C. Esto es debido al hecho de que para excitaciones externas (fuendtes) de la forma dada arriba dt es reemplazado por la
multiplicaciń por jw, yo
las ecuaciones diferenciales lineales son transformadas en ecuaciones algebraicas
a ser resueltas para las D’s en t´rminos de ω y de las B’s. La soluciń real eseo
jwtobtenida mediante c´lculo de la funciń (De
).ao
La anterior discusiń muestra que en este caso podemos suponer que laso
ramas de corrientes y voltajes no cambian con el tiempo y son n´meros complejosu
(las D’s antes mencionadas), en lugar de n´meros reales. Esto implica que losu
espacios vectoriales de cadenas y cocadenas son tomados sobre los complejos C
como escalares.

El paso siguiente es que supondremos aqu´ que la gr´fica del circuito es unıa
complejo simplicial de dimensiń 1, lo cual implica que no tiene complejos deo
dimensiń 2. Esto est´ en contraste con la secciń anterior, donde las mallasoao
estaban consideradas como complejos de dimensiń 2 (aunque fóısicamente no
aparecen objetos 2- dimensionales)

La construcciń que sigue es debido a Roth [5];o


41

Tenemos los siguientes mapeos:
Co ←− ∂ ←− C1 ←− ∂2 ←− C2 = 0
∗C o −→

∂ ∗ −→ C 1 −→ ∂2 −→ C 2 = 0

∗donde ∂2 y ∂2 son triviales. Esto hace posible obtener 2 sucesiones exactas
de estos mapeos, como sigue: Primero reemplazamos Co por las llamadas Ofronteras Bo = im∂, tal que ∂ : C1 → Bo es sobre. Por dualidad, reemplazamos
C o por C o Z o donde Z o = ker∂ ∗ se llaman O-cociclos; entonces ∂ ∗ : C o /Z o →
C 1 es inyectiva. Los elementos de Bo son interpretados como corrientes en los
nodos y C o /Z o son potenciales de nodo efectivos (dos de ellos estan identificados
si dan lugar a las mismas ramas de voltajes).

El espacio vectorial anterior es isomorfo a B0 . Estos espacios tienen dimensiń n − 1, dado que Z o ⊂ C o es exactamente el subespacio de 1- dimensińoo
correspondiente a asignar el mismo potencial a todos los nodos (secciń 3). Deo
oohecho, Bo ⊕ C /Z con la estructura simpl´tica inducida puede ser consideradoe
ocomo una reducciń de Co ⊕ C .o
Dado que las 2-cadenas, las 2-cocadenas y los mapeos relacionńdolos con C 1a
y C1 son triviales, consideremos en lugar de ellos la inclusiń Z1 → C1 en dondeo
Z1 = ker ∂ son los 1-ciclos . Como C2 = 0, las 1-fronteras forman un espacio
trivial, B1 = im∂2 = 0 . Por lo tanto podemos identificar Z1 con el espacio
de homolog´ de dimensiń 1 H1 = Z1 /B1 = Z1 /0, el cual es un invarianteıaso
topol´gico del circuito. Por dualidad, consideramos al nivel de cocadenas elo
mapeo in∗ : C1 → C1 /Ker(in∗ ).

Si definimos la 1-cofrontera como B 1 = im∂ ∗ ,inmediatamente vemos que
B 1 ⊂ Ker(in∗ ). Pero el espacio Ker(in∗ ) puede ser caracterizado como el conjunto de α ∈ C 1 tales que α(z) = 0 para cualquier z ∈ Z1 . Tomando una base
en Z1 y extendiendo a una en C1 , consideremos la base dual en C 1 . Probemos
que dimKer(in∗ ) = dimC1 − dimZ1 , mismo que coincide con dimB 1 , dado que
K = Z1 ⊕ B 1 y dimK = dimC1 . Recordemos que K fu´ definida en la seccińeo
1∗2anterior, por lo tanto,B = ker(in ). Por otro lado, dado que C = 0 el
mapeo
∗∗∂2 es nulo, entonces los
1-cociclos son todo el espacio Z 1 = ker∂2 = C 1 . Por lo
tanto C 1 /B 1 = Z 1 /B 1 = H 1 que se conoce como el espacio de cohomolog´ deıa
dimensiń 1, otro invariante topol´gico dual de H1 .oo
La dimensiń de H1 y H 1 se conoce como el n´mero de Betti de orden 1ou
del circuito, y topol´gicamente nos da el n´mero de mallas independientes delou
circuito.
Los elementos de H1 ≈ Z1 son corrientes de la malla del circuito, mientras
1
H = Z 1 /B 1 son fuerzas electromotrices efectivas de mallas ( todos los voltajes
de rama B 1 que provienen de la asignaciń de un potencial de nodo, se identificano
con cero).

´
INDICE GENERAL

42
Resumiendo tenemos el siguiente diagrama
O ←←← Bo ← ∂ ← C1 ← in ← H1 ← 0
T↓
O → C o /Z o → ∂ ∗ → C 1 → in∗ → H 1 → 0

donde T : C1 → C 1 es un isomorfismo lineal llamado la impedancia de las ramas
pasivas (resistores, bobinas y capacitores). Si no estń acopladas las resistenciasa
o las bobinas, la matriz de T es diagonal; las entradas distintas de cero son reactancias de la forma jwL, (jwC)−1 o (resistores) R. Las dos hileras del diagrama
mencionado han sido completadas con transformaciones lineales triviales que
vienen o van a un espacio vectorial nulo, con el prop´sito de tener una sucesińoo
exacta: esto indica que para cualquier espacio vectorial no trivial de la sucesiń,o
la imagen de la transformaciń entrada es igual al nćleo de la salida.ou

Estas sucesiones pueden ser interpretadas en t´rminos de las sucesiones dee
homolog´ y cohomolog´ relativas, ver [4]. Para nuestros prop´sitos, interpre-ıaıao
∗tamos las ecuaciones del circuito
como sigue: Si i ∈ C1 , v ∈ C 1 son vectores
corriente y voltaje en los elementos pasivos, E ∈ H 1 son las fuerzas electromotrices en las mallas, y J ∈ B0 son fuentes de corriente en nodos, con eso
tenemos:
v∗= T (i)
∗ ∗in v = E(29)
∂i= J
La primera ecuaciń relaciona las caidas de voltaje con las corrientes por medioo
de la impedancia, y puede ser pensada como una generalizaciń de la ley de Ohm.o
Las otras 2 ecuaciones son expresiones de las LKV y LKC respectivamente, las
cuales definen un subespacio af´ de C1 ⊕ C 1 .ın
Dados E, J, las ecuaciones (29) tienen una soluciń unica para i y v ∗ si T eso ´
Ohmica, condiciń que puede escribirse como T (i) · i = 0 para cualquier i = 0.o
Ver detalles en [4].
Recordemos que las fuentes de corriente J estń aplicadas a nodos dondea
llegan corrientes externas al circuito. De la conservaciń de la corriente, podemoso
suponer que la suma algebraica de estas fuentes es igual a cero, lo cual se conoce
como una condiciń flotante [6]. Vemos que, al definir un mapeo lineal σ : Co →o
R mediante la f´rmula σ(Σβk Ok ) = Σβk . Dado que ∂el = Ok − Oj donde lao
rama el conecta al nodo Oj con el nodo Ok , tenemos σ(∂el ) = 0. Extendiendo
por linealidad, probamos que σ(J) = 0 para cualquier J ∈ Bo como en (29). De
hecho, Bo = kerσ por eso su dimensiń es n − 1 como se observ´ anteriormente.oo

Notemos que H1 y H 1 pueden ser respectivamente identificados con los espacios C2 y C 2 , considerados al final de la secciń anterior donde todas las mallaso
fueron interpretadas como elementos 2-dimensionales del complejo simplicial de
la red.


43

Entonces el mapeo in tiene que ser reemplazado por un operador frontera y
las sucesiones son exactas como antes.
Ejemplo 8.
Considere el siguiente circuito en estado estacionario, donde las fuerzas electromotrices E1 , E2 ∈ C2 y las fuentes de corriente J1 , J2 ∈ C2 . Todas las fuentes
tienen una frecuencia angular ω.

Figura 18: Diagrama del circuito del ejemplo 6
Considerando que i1 es la corriente com´n para los elementos R1 y L1 ,u
obtenemos la ecuaciones (29) en la siguiente forma:
vR1 = R1 (i1 ),

vR2 = R2 i2 ,

vL1 = jwL(i1 ),

vc = i4 /(jwC)

vL2 = jwL2 (i3 ),

Vc + VR1 + VL1 = E1 + E2
Vc − VR2 − VL2 = E2

i2 − i3 = J 2
i3 + i4 − i1 = J1
i2 + i4 − i1 = 0

(1)
(2)
(3)

Reemplazando las ca´ıdas de voltaje en cada elemento en los renglones 3 y 4 en
t´rminos de las corrientes respectivas, dichas ecuaciones se convierten ene
i4 /jwC + R1 i1 + jwL1 = E1 + E2 ,

(4)

i4 /jwC − R2 i2 − jwL2 i3 = E2 .

(5)

´
INDICE GENERAL

44

Las ecuaciones de (1) a (5) forman un sistema de ecuaciones sobredeterminado para las corrientes i1 , i2 , i3 , i4 . Sin embargo, las ecuaciones (1), (2) y (3)
de las LCK no son independientes: Se combinan para recuperar la condicińo
flotante
J1 + J2 = 0.
Quitando la ecuaciń (3), nos queda un sistema de ecuaciones independien-o
tes.
Resolviendo, tenemos
= (−T1 J2 + E1 + E2 )/(jwc) − (T1 + (jwc)−1 )(R2 J2 + E2 )
= T2 (−T1 J2 + E1 + E2 ) + T1 (R2 J2 + E2 )

i3
i4
i2
i1

=
=

i3 + J2
i3 + i4 + J2 ,

donde
=

R1 R2 + L1 L2 /C − w2 L1 L2 + j(w(L1 R2 + L2 R1 )
−(R1 + R2 )w−1 C −1 ), T1 = R1 + jwL1

y
T2 = R2 + jwL2 .
Que tiene siempre soluciń unica, puesto que podemos probar queo ´
todo ω > 0.

= 0 para

Recalcamos que todas las corrientes en estos circuitos pueden ser obtenidas
empezando por 3 mallas de corriente: corrientes i1 e i2 alrededor de la malla 2
claramente definiendo circuitos independientes, y la corriente J2 en el circuito
parcial formado por J2 , L2 , J1 , y que se cerrar´ externamente en un caminoıa
desconocido.
Para concluir con esta secciń, mencionamos que las mismas ecuaciones seo
aplican a circuitos con resistencias lineales de corriente directa (fuentes constantes), la diferencia es que cadenas, cocadenas y todos los espacios derivados
son espacios vectoriales sobre los n´meros reales, dado que all´ no hay inducto-uı
res ni capacitores. Aqu´ no hay ecuaciones diferenciales involucradas, sino soloı
ecuaciones lineales (algebraicas) no homogńeas [10].e

in∗ T (i) = E
∂i = 0,
probando que hay exactamente c = b − n + 1 ecuaciones independientes y describiendo las soluciones por medio de determinantes.
Ejemplo 9.

(30)


45

Considere el siguiente circuito de corriente directa de la figura 27.
Las ecuaciones (29) quedan:

v1 = R1 i1 , v2 = R2 i2 ,
v1 + v2 = E
i1 = i2

Figura 19: Diagrama del circuito del ejemplo 9.

Las ecuaciones de la ley de Ohm definen un subespacio 2- dimensional en un
espacio vectorial de 4-dimensiones con coordenadas (i1 , i2 , v1 , v2 ). Las ultimas´
2 ecuaciones de Kirchhoff definen un subespacio 2-dimensional af´ın.
La intersecciń de ambas es el punto −(R1 + R2 )−1 (E, E, R1 E, R2 E) mien-o
tras que las ecuaciones equivalentes (30) se escriben como:
R1 i1 + R2 i2 = E
i1 = i2

0.2.3.

Conclusiones

En este trabajo comparamos los tres tipos distintos de reciprocidad. Recordando que cuando todas las ramas de una red fueron tomadas en cuenta,
las leyes de interconexiń de Kirchhoff restringidas a un espacio lagrangiano deo
1S1 = C1 ⊕ C ; esto es una reciprocidad lineal de origen puramente topol´gico.o
En la secciń 7, S1 fue constru´ solamente de una red lineal de resistores,oıdo
mientras las fuentes de corriente continua fueron consideradas por separado de
manera que trasladan el voltaje y la corriente en una constante. Los espacios
lagrangianos resultantes obtenidos de la interconecciń ya no son lineales, si noo
subespacios afines.

46

´
INDICE GENERAL

A considerar la impedancia como un isomorfismo se requiere tomar la intersecciń con un subespacio Lagrangiano lineal. Esa intersecciń es exactamenteoo
un punto, si ambos espacios son transversales, y en dado caso un subespacio af´ın
para fuentes no triviales. Parecer´ que se puede definir una estructura simplćti-ıae
1ca y cierta reciprocidad cuando C1 y C son espacios
vectoriales complejos, pero
nosotros no abordamos esta idea en el presente trabajo.
En la secciń 1,3 y al inicio de la secciń 1,4 consideramos circuitos recóoıprocos
no lineales. El espacio S1 fue construido por corrientes y voltajes para todos los
inductores, y ramas de capacitores del circuito.
Bajo la hip´tesis de Brayton-Moser, el potencial mixto es una funciń genera-oo
triz para la subvariedad lagrangiana (no lineal) ϕ en S1 de corrientes admisibles
y voltajes en los inductores y capacitores, bajo las leyes de interconexiń, y le-o
yes de Ohm en resistores. Estrictamente hablando, las ecuaciones diferenciales
para el circuito estń definidas por ϕ, la cual es parametrizada por corrientesa
en inductores y voltajes en capacitores (o por flujos en inductores, y cargas en
capacitores).

Invariantes topol´gicos como los espacios vectoriales H1 y H 1 , y par´metrosoa
como el n´mero de mallas independientes c y la caracterúıstica de Euler (igual
a 1) de la regiń poligonal fue mostrado que son constantes muy importanteso
para el punto de vista de las interconexiones.
A la pregunta de que si el n´mero n de nodos y b de ramas son invariantes,u
la respuesta es: no; porque dado un circuito nosotros podemos reemplazar una
rama por otra rama en serie, cambiando b y n.

Apńdice Ae

Elementos en Circuitos
Elćtricos.e
A.1.

Definiciń y caracteróısticas de los principales elementos elćtricos lineales.e

Todos los elementos elćtricos considerados en este trabajo son de dos ter-e
minales.
En circuitos elćtricos encontramos cinco elementos lineales b´sicos, 3 pa-ea
sivos y 2 activos. Los pasivos almacenan o discipan energ´ y estos son: Elıa;
resistor, el capacitor y la bobina. Los otros dos elementos, son activos y son los
que suministran energ´ a un circuito. Ellos son, el generador de voltaje y elıa
generador de corriente.

Ahora definiremos y analizaremos a cada uno de ellos.

A.2.

Resistor.

En general la resistencia de un material depende del ´rea transversal, laa
longitud, la temperatura, la resistividad del material,etc. Incluso puede variar
con la frecuencia, cuando se le aplica una corriente alterna.
Como ya se dijo anteriormente el Resistor es un elemento pasivo y tiene 2
terminales, el par´metro que lo caracteriza se llama resistencia R y es el cocientea
de la diferencia de potencial (o voltaje) medida entre sus dos terminales, dividido
entre la corriente que atraviesa este elemento.

De hecho esta relaciń es experimental y fu´ descubierta por Ohm.oe
47

´´
APENDICE A. ELEMENTOS EN CIRCUITOS ELECTRICOS.

48

En seguida ponemos sus s´ımbolos y sus propiedades:
R = V (t)/I(t)
Donde: V (t) es la diferencia de potencial ´ voltaje entre sus terminales e I(t) lao
corriente que atraviesa el elemento; al rec´ıproco de R se le llama conductancia,
en contraposiciń a resistencia.o
Como la resistencia R es constante, la relaciń entre voltaje y corrienteo
est´ dada por la siguiente gr´fica:aa

Figura A.1: Resistor Lineal
Si la gr´fica no es una linea recta entre las variables V (t) e I(t), el elementoa
es no lineal, como se ver´ en la secciń I.2.ao

A.3.

Capacitor.

Tambiń es un elemento pasivo, y su almacenamiento de energ´ lo haceeıa
mediante un campo elćtrico; a la propiedad que lo distingue le llamamos capa-e
citancia y es el cociente de la carga acumulada entre la diferencia de potencial
que se mide entre sus terminales
As´ tenemos que C = q/V , donde:ı
C− es la capacitancia,
q− es la carga acumulada y
V − el voltaje.
De este tipo de elementos, el m´s conocido es el de placas paralelas, el cuala
mostramos en seguida:

A.3. CAPACITOR.

49

Figura A.2: a) Capacitor de placas planas paralelas

b) S´ımbolo del capacitor

El par´metro C que caracteriza este elemento depende del ´rea de las placas,aa
la distancia de separaciń entre ellas y otra propiedad llamada permitividado
elćtrica [3] del medio que separa las placas.e
Si tomamos la ecuaciń que define a C y recordando que la corriente es lao
derivada de la carga respecto al tiempo tenemos:
I = dq/dt = d/dt(CV ) = CdV /dt

(1)

Obteniendo la ultima igualdad al suponer que C es una constante, puesto´
que el elemento es lineal. De aqu´ observamos que cuando el voltaje es constanteı
entre las placas, entonces no pasa corriente a trav´s del conductor.e
Esto significa que s´lo habr´ corriente en el capacitor cuando haya cambiosoa
de voltaje, por ejemplo cuando se aplica un voltaje alterno ´ al cerrar o abriro
interruptores.
An´logamente podemos expresar el voltaje en t´rminos de la corriente, des-ae
pejando dv en (1) e integrando:
V (t)

t

dV (t) = 1/C
V (0)

I(t)dt;
t=0

o sea que
t

V (t) − V (0) = 1/C

I(t)dt
t=0

Y despejando V (t) de aqu´ tenemos:ı
t

V (t) = 1/C

I(t)dt + V (0)
t=0

Donde V (0) se conoce como voltaje inicial del capacitor.

´´

50

A.4.

La bobina.

Es un hecho experimental conocido que cuando circula corriente por un
conductor elćtrico, este genera un campo magn´tico alrededor de ´l.eee
Una bobina se construye enrollando un conductor de manera que una seccińo
transversal del enrollado sea circular.
El par´metro que lo distingue es la inductancia L, y podemos definirla comoa
el n´mero N de vueltas de la espira, multiplicada por el cambio respecto a lau
corriente del flujo magn´tico producido por cada espira; esto es:e
L = N dψ/dI.
Ahora bien, si sabemos que el voltaje es la derivada del flujo magn´tico to-e
tal, N ψ, respecto al tiempo; o sea el cambio del flujo total V (t) = d(N ψ)/dt;
entonces aplicando la regla de la cadena y la definiciń de L tenemos:o
V (t) = dN ψ/dt = N dψ/dI dI(t)/dt = LdI/dt,
Ahora si deseamos expresar la corriente en funciń del voltaje en el inductor,o
tenemos:
t

I(t) = 1/L

V (t)dt + I(0)
t=0

donde 1/L se conoce como invertancia de la bobina e I(0) es la corriente inicial
a trav´s de la bobina.e
Su representaciń es la siguiente:o

Figura A.3: La Bobina

Una de las tantas aplicaciones de la bobina es el Transformador Elćtrico,e
que es un dispositivo m´s complejo que los elementos que hemos visto y que noa
consideraremos en este trabajo.

(2)

A.5. GENERADOR O FUENTE DE VOLTAJE.

A.5.

Generador o Fuente de Voltaje.

Es un elemento activo, porque mantiene entre sus dos terminales una diferencia de potencial (o un voltaje) independientemente de c´mo se conecte,o
siempre que no se unan sus terminales en corto circuito.
En seguida mostramos los s´ımbolos con que se acostumbra representarlo

Figura A.4: Generador de voltaje

A.6.

Generador de Corriente

Este elemento mantiene entre sus dos terminales una circulaciń de corrienteo
elćtrica, que es una funciń conocida. Adem´s es independiente de c´mo seeoao
conecte, siempre que sus dos terminales estń conectadas a un elemento o a une
circuito.
La siguiente figura representa al generador de corriente:

Figura A.5: Generador de Corriente
donde la flecha indica el sentido de la corriente.
Con lo que hemos dicho anteriormente para los generadores respectivos tenemos las siguientes afirmaciones:
Para el generador de voltaje: Vg (t) es una funciń conocida, que no dependeo
del circuito al que se conecte ni c´mo se conecte. La corriente que circula poro
dicho generador es una funciń del tiempo desconocida que depende de c´mo seoo
conecte el mismo a un circuito elćtrico y en principio es posible calcularla.e
Sim´tricamente, para el generador de corriente: la diferencia de potencial ese
desconocida y depende de c´mo se conecte al circuito y en principio es posibleo
calcularla. En este generador, la Ig (t) es una funciń conocida, que no dependeo
c´mo se conecte el generador al circuito.o

51

´´

52

A.7.

An´lisis y comparaciń de elementos li-ao
neales y no lineales.

En la secciń anterior describimos los elementos lineales que hasta ciertoo
punto son una idealizaciń de lo que ocurre en la realidad. Aqu´ vamos a describiroı
los elementos no lineales comparńdolos con los lineales.a

Las variables m´s importantes para describir los circuitos elćtricos, son laae
corriente i que circula a trav´s de un elemento elćtrico y el voltaje v que seee
puede medir en las terminales del mismo elemento. Cabe aclarar que existen
elementos que tienen m´s de dos terminales como por ejemplo el transistor, quea
tiene tres terminales o entradas.

Para un elemento electrost´tico como lo es el capacitor, a la variable corrientea
la podemos reemplazar por la variable carga elćtrica q que ha sido acumuladae
por dicho elemento hasta cierto instante. Para un elemento electromagn´ticoe
como lo es el inductor, a la variable voltaje v la podemos reemplazar por la
variable flujo magn´tico φ. Esta nueva variable mide la densidad de campoe
magn´tico que atraviesa una secciń de ´rea unitaria A, colocada en el centroeoa
del enrollado donde se concentra el campo magn´tico y perpendicular a dichoe
campo. Aqu´ aclaramos que en todo el centro de este elemento el campo magn´ti-ıe
co prćticamente es constante o de la misma intensidad, por tal motivo tienea
sentido poner un ´rea unitaria a la que atraviesa el campo dentro de la espiraa
con el fin de medir el flujo magn´tico de esta forma, esto ese

φ=
S

→ −− →
B · dA,

−→
donde B es el campo magn´tico dentro de la espira.e

La relaciń entre las dos variables q e i en el capacitor eso
i = dq/dt.
An´logamente la relaciń entre las 2 variables en el inductor esao
v = dφ/dt.
Aqu´ resumiremos en una tabla los elementos antes definidos, primero losı
lineales y luego los no lineales:

´´
A.7. ANALISIS Y COMPARACION DE ELEMENTOS LINEALES Y NO LINEALES.53

S´ımbolo

NombreRelaciń entre sus par´metrosoa
Resistor o Resistencia Elćtrica v = iR (LeydeOhm)e

Fuente de Corriente

i = constante

Fuente de Voltaje

v = constante

Capacitor

q = Cv, i = Cdv/dt

Inductor

φ = Li, v = Ldi/dt

Figura 6. Principales elementos elćtricose

Como dijimos antes, R es la resistencia, C la capacitancia y L la inductancia,
par´metros que definen a sus respectivos elementos y que son proporcionadosa
por el fabricante de los mismos.

Observemos que algunos elementos implican derivadas con respecto al tiempo para relacionar corrientes con voltaje. M´s adelante veremos que esto generaa
ecuaciones diferenciales ordinarias para modelar los circuitos analizados.

Elementos no Lineales:

´´

54

S´ımbolo

Nombre

Posibles Gr´ﬁcas y Relaci´nao

Resistor (incuyendo fuentes) v = f (i) ´ i = f (v)o

Capacitor

q = f (v) ´ v = g(q)o

Inductor

φ = f (i) ´ i = g(φ)o

Figura 7. Relaciones funcionales posibles entre las variables el´ ctricas.e

Observemos que los elementos lineales se pueden ver como un caso particular
de los elementos no lineales.
En la teor´ de Brayton-Moser, que posteriormente veremos se requiere que,ıa
las relaciones constitutivas para un capacitor y para un inductor no lineales sean
funciones, respectivamente, de la siguiente forma
q = fc (Vc ), φ = fL (iL )
Tomando en cuenta que la derivada respecto al tiempo de la carga es la corriente
en el condensador, tenemos que
ic = dq/dt = d/dt(fc (vc ))/dt
o usando la regla de la cadena se escribe ic = f (vc )dvc /dt.

´´
A.7. ANALISIS Y COMPARACION DE ELEMENTOS LINEALES Y NO LINEALES.55
Por analog´ con la ecuaciń (1), podemos escribirıao
ic = C(vc )dv/dt
donde
C(vC ) = fC (vC )
De la misma manera, para el inductor la derivada del flujo magn´tico res-e
pecto al tiempo es el voltaje
vL = dφ /dt = d/dt(fL (iL )),
oy usando la regla de
la cadena v = fL (iL )diL /dt. Como una generalizaciń de
la ecuaciń (2), escribimoso
v = L(iL )diL /dt,
donde
L(iL ) = fL (iL ).
Lo cual quiere decir que las funciones C(vc ) y L(iL ) pueden interpretarse
respectivamente como las pendientes en cada punto de la gr´fica de las funcionesa
q = fc (vc ) y φ = fL (iL ).
El par´metro C(vc ) es conocido como capacitancia incremental ´ simplemen-ao
te como capacitancia no lineal; el par´metro L(iL ) es conocido como inductanciaa
incremental ´ inductancia no lineal.o

56

´´

Apńdice Be

Conceptos Matem´ticosa
B´sicos.a
B.1.

Funcional Lineal y Espacio Dual

En esta secciń se darń algunas definiciones que se consideran b´sicas paraoaa
el desarrollo de nuestro trabajo y que queremos incluir, para que este trabajo
sea autocontenido.
Para ello comenzaremos con lo que se llama una Funcional Lineal y daremos
algunos ejemplos.
Si consideramos un espacio vectorial V sobre un campo K, Un Funcional
Lineal φ es una aplicaciń lineal que va de V al campo K o sea que satisface lao
propiedad φ(au + bv) = aφ(u) + bφ(v) donde a, b ∈ K y u, v ∈ V .
Ejemplo 1.
Sea πi : Rn → R la proyecciń i-´sima, o sea πi (x1 , ..., xn ) = xi .oe
Veamos si cumple con πi (au + bv) = aπi (u) + bπi (v).
Tomando u = (x1 , ..., xn ) y v = (y1 , ..., yn ), entonces tenemos: au = (ax1 , ax2 , ...., axn )
y bv = (by1 , by2 , ....byn ), y con esto se tiene que:
au + bv

= (ax1 , ax2 , axn ) + (by1 , by2 , ...byn )
= (ax1 + by1 , ax2 + by2 , ..., axn + byn )

aplicando πi a este vector suma, se tiene:
πi (au + bv) = axi + byi (por definiciń deπ).o
57

´´´
APENDICE B. CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS.

58

Por otro lado se tiene que: a(u) + b(v) = ax + by por lo tanto πi (au + bv) =
aπi (u) + bπi (v) con esto entonces mostramos que πi es funcional lineal.
Ejemplo 2.
Sea V el espacio vectorial de los polinomios en t sobre R. Sea g : V → R el
operador de integracińo
1

g(P (t)) =

P (t)dt.
0

Ahora veamos si se cumple que g(aP (t)+bL(t)) = ag(P (t))+bg(L(t)), donde
a, b ∈ R y P, L ∈ V .
1

Tenemos que: g(aP (t) + bL(t)) =

1

(aP (t) + bP (t))dt =
0

1

aP (t)dt +
0

bL(t)dt, por la propiedad de que la integral preserva sumas.
0

Luego se tiene que
1

g(aP (t) + bL(t)) = a

1

P (t)dt + b
0

L(t)dt.
0

Pues a y b son constantes y finalmente:
g(aP (t) + bL(t)) = ag(P (t)) + bg(L(t)).
Por lo tanto es una funcional lineal.
Ejemplo 3.
Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n sobre un
campo K. Sea T : V → K la aplicaciń traza dada poro
T (A) = a11 + a22 + ... + ann donde A = (aij )
o sea que T asigna a una matriz A la suma de los elementos que estń en sua
diagonal.
Veamos si es funcional lineal:
Tomemos A, B matrices de orden n × n y α, β ∈ K, entonces
αA = (αaij ) y βB = (βbij )
y tambiń se tiene por suma de matrices que:e
αA + βB = (αaij + βbij ).

B.1. FUNCIONAL LINEAL Y ESPACIO DUAL
Ahora aplicando T a esta suma se tiene:
T (αa + βb) =
=
=

αa11 + αa22 + ... + αann + βb11 + βb22 ... + βbnn
α(a11 + a22 + ... + ann ) + β(b11 + b22 + ... + bnn )
αT (A) + βT (B).

Por lo tanto la aplicaciń traza es funcional lineal.o
Ahora enunciaremos un teorema sin demostraciń [9], con objeto de definiro
lo que se conoce como Espacio Dual.
Teorema 1. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un campo K. Entonces
el conjunto de las aplicaciones de U en V , con las operaciones de adiciń yo
multiplicaciń por un escalar, forman un espacio vectorial sobre K.o
Con el teorema anterior tenemos que el conjunto de las funcionales lineales de
un espacio vectorial U sobre un campo K, es tambiń un espacio vectorial sobree
K con la adiciń y multiplicaciń por un escalar. En efecto, basta substituir enoo
el teorema anterior a V por K. Esto significa que consideramos a V = K como
un espacio de una dimensiń.o
Las operaciones en este espacio vectorial estń definidas como:a
(φ + σ)(U ) = φ(U ) + σ(U ) y (kφ)(U ) = kφ(U )
donde φ y σ son funcionales lineales sobre U y k ∈ K. Este espacio se llama
Espacio Dual de U y se denota por U ∗ .

B.1.1.

Espacio Simplćtico y Forma Bilineale

En esta secciń definiremos lo que se conoce como Forma Bilineal, as´ comooı
Forma Bilineal Sim´trica y Forma Bilineal Antisim´trica. En base al ultimoee´
concepto definiremos lo que se conoce como un Espacio Simplćtico.e
Sea V un espacio Vectorial de dimensiń finita sobre un campo K. Unao
Forma Bilineal sobre V es una aplicaciń f : V × V → K que satisface:o
i) f (au1 + bu2 , v1 ) = af (u1 , v1 ) + bf (u2 , v1 )
ii) f (u1 , av1 + bv2 ) = af (u1 , v1 ) + bf (u1 , v2 )
para todo a, b ∈ K y todo ui , vi ∈ V . Cuando se cumple i) decimos que f es
lineal en la primera variable y cuando se cumple ii), decimos que es lineal en la
segunda variable.
Ejemplo 1.
Sean φ y σ dos funcionales lineales arbitrarias sobre V . Sea f : V × V → K
definida por
f (u, v) = φ(u)σ(v)
Veamos si cumple las dos propiedades:

59

60

´´´
i) Sean u1 , u2 , v ∈ V y a, b ∈ K. Entonces f (au1 +bu2 , v) = φ(au1 +bu2 )σ(v)
y como φ es lineal tenemos
f (au1 + bu2 , v) = (aφ(u1 ) + bφ(u2 ))σ(v)
= aφ(u1 )σ(v) + bφ(u2 )σ(v)
= af (u1 , v) + bf (u2 , v)
con lo que se sigue i).
Luego sean u, v1 , v2 ∈ V y a, b ∈ K.
f (u, av1 + bv2 ) = φ(u)σ(av1 + bv2 ),

pero como σ es lineal
f (u, av1 + bv2 ) =
=
=

φ(u)(aσ(v1 ) + bσ(v2 ))
aφ(u)σ(v1 ) + bφ(u)σ(v2 )
af (u, v1 ) + bf (u, v2 ),

con lo que se tiene ii), y por lo tanto f es bilineal.
De hecho a la forma bilineal de este ejemplo se le conoce como “producto
tensorial” de φ y σ, y por esta raz´n se acostumbra representar como f = φ ⊗ σ.o
Sea f el producto escalar sobre R; esto es
f (u, v) = u · v

= (u1 , u2 , . . . , un ) · (v1 , v2 , . . . , vn )
= u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn

donde u = (ui ) y v = (vi ).
Para probar la bilinealidad, tomemos primero una combinaci´n lineal en lao
primera entrada:
f (au + bv, w) =
(au + bv) · w =
= (a(u1 , . . . , un ) + b(v1 , . . . , vn )) · (w1 , . . . , wn )
= ((au1 , . . . , aun ) + (bv1 , . . . , bvn )) · (w1 , . . . , wn )
= (au1 + bv1 , . . . , aun + bvn ) · (w1 , . . . , wn )
= (au1 + bv1 )w1 + (au2 + bv2 )w2 + · · · + (aun + bvn )wn
= au1 w1 + bv1 w1 + au2 w2 + bv2 w2 + · · · + aun wn + bvn wn
= a(u1 w1 + u2 w2 + · · · + un wn )+
+b(v1 w1 + v2 w2 + · · · + vn wn )
= af (u, w) + bf (v, w),

con lo que se sigue i).

B.1. FUNCIONAL LINEAL Y ESPACIO DUAL

61

Ahora tomemos la combinaciń lineal en la 2 da entrada:o
f (u, bv + cw) = (u1 , . . . , un ) · (b(v1 , . . . , vn ) + c(w1 , . . . , wn ))
= (u1 , . . . , un ) · ((bv1 , . . . , bvn ) + (cw1 , . . . , cwn ))
= (u1 , . . . , un ) · (bv1 + cw1 , . . . , bvn + cwn )
= u1 (bv1 + cw1 ) + · · · + un (bvn + cwn )
= bv1 u1 + cw1 u1 + · · · + bvn un + cwn un
= b(v1 u1 + · · · + vn un ) + c(w1 u1 + · · · + wn un )
= af (u, v) + bf (u, w)

Entonces es lineal en la 2da entrada. Por lo tanto es bilineal.
Sea A = (aij ) cualquier matriz n × n sobre R. Veamos si es bilineal sobre
R n aplicaciń con valores reales definida matricialmente a partir de A comoo
la

a21 a22a2n
t

a11 a12a1ny1
y2

.f (X, Y ) = X AY = (x1 x2 . . . xn )

an1 an2annyn
La cual tiene tambiń una representaciń polinomial comoeo
n

f (X, Y ) =

aij xi yj = a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + · · · + ann xn yn .
i,j=1

La linealidad de f se sigue inmediatamente de la distributividad del producto de
matrices con respecto a la suma en uno de los factores. Los factores en cuestińo
se toman como el vector fila y el vector columna, respectivamente.
Este tercer ejemplo es importante, porque muestra, en cierto sentido, que
toda forma bilineal es de este tipo en t´rminos de coordenadas respecto a unae
base.
De hecho a la sumatoria (2) en este ejemplo en las variables xi , yi se le llama
un Polinomio Bilineal.
Definiciń 1. El rango de una forma bilineal f sobre V , escrito rang(f ), seo
define como el rango de cualquier representaciń matricial de f . Se dice queo
f es degenerada o no degenerada segń si rang(f ) es menor que dimV ´ siuo
rang(f ) = dimV . Esta ultima condiciń de no degeneraciń es equivalente aóo
que la matriz de cualquier representaciń matricial de f tenga determinanteo
distinto de cero.

tX

As´ que podemos escribir: f (X, Y ) = X t AY = (X t AY )t = Y t At X dado queı
AY es un escalar y por lo tanto su transpuesta es la misma.

(2)

´´´

62

Resumiendo, tenemos que si f es sim´trica, se tiene:e
Y t At X = Y t AX
de donde tenemos que At = A. O sea que la matriz A, es sim´trica.e
Un teorema general de ´lgebra lineal nos dice que si A es una matriz sima
´trica sobre un campo K, entonces existe una matriz invertible P tal que P t APe
es una matriz diagonal.
Ilustraremos este resultado con el siguiente ejemplo:
Sean
1−212−3

15−4
0A=

7
P = −2

2

Ahora verifiquemos que P t AP es una matriz diagonal:
00−3−48

1

En efecto, esta ultima matriz es diagonal.´
Definiciń 2. Si una forma bilineal cumple con la condiciń de que f (u, v) =oo
−f (v, u) se le conoce como forma bilineal antisim´trica.e
Definiciń 3. Si f es bilineal sim´trica, entonces f (v, v) se conoce como unaoe
forma cuadr´tica.a
En base a las definiciones anteriores podemos definir lo que se conoce como
un Espacio Simplćtico: Un Espacio Simplćtico es un espacio vectorial con unaee
forma bilineal antisim´trica no degenerada (o sea con determinante distinto dee
cero).

B.2.

Homolog´ y Cohomolog´ıaıa

Tomemos R = R2 {(0, 0)}. Cualquier l´ınea contenida en R es llamada “1cadena”´ cadena 1-dimensional; Una 1-cadena puede ser s´lo un segmento deoo
recta o un lazo cerrado. La frontera de un segmento de recta son sus puntos
extremos. Una 1-cadena que no tiene puntos extremos no tiene frontera, y es
llamada “1-ciclo”.
Una cadena la cual es frontera de alguna “´rea”totalmente contenida en Ra
es llamada “1-frontera”.
Dos ciclos se dicen “hom´logos”(equivalentes), si su diferencia es una fron-o
tera.

B.2. HOMOLOG´ Y COHOMOLOGÍAIA

63

Consideremos ahora la colecciń de 1-ciclos:o
H1 = {..., −2c2 , −c2 , 0, c2 , −2c2 , ...},
donde nc2 circula alrededor del hoyo n-veces a lo largo de c2 contra reloj.
H1 es llamado el “primer grupo de homolog´ de R”, y este es claramenteıa
igual al grupo aditivo de los enteros Z, entonces escribiremos H1 (R) = Z.
Para una l´mina u hoja de papel con k-hoyos en ella P k , se tiene: H1 (P k ) =a
Z ⊕ Z ⊕ ... ⊕ Z (k-veces).
La suma directa del lado derecho, representa a todos los vectores k-dimensionales
con entradas enteras; la p-´sima coordenada de uno de estos vectores, describee
el n´mero de veces que el p-´simo hoyo es circulado o rodeado. Definiremos losue
grupos de homolog´ de una forma m´s precisa.ıaa
Definiciń 1: Sea V un espacio vectorial sobre el campo R, y sea C un sub-o
conjunto de V, diremos que C es convexo si:
c1 , c2 ∈ C =⇒ tc1 + (1 − t)c2 ∈ C

∀ t ∈ I(I = [0, 1])

Definiciń 2: Un conjunto {v0 , ..., v1 } de puntos ´ vectores en un espacio vecto-oo
rial V es convexo-independiente (c-independiente), si el conjunto {v1 −v0 , ..., vk −
v0 } es linealmente independiente; adem´s note que esta definiciń no dependeao
de qu´ vector sea llamado v0 .e
Definiciń 3: Un conjunto de puntos [v0 , v1 , ..., vk ] en Rn , es llamado k-simplejoo
simplicial y se denota por σ k ; si [v0 , ..., vk ] es c-independiente, k es la dimensiń del sóımplejo. Si V ∈ [v0 , ..., vk ] entonces los coeficientes ai con ai ≥ 0 y
kΣi=0 ai = 1 tales que V = Σk ai vi , son llamadas las coordenadas baricńtricasei=0
de V.

Las caras de un simplejo n-dimensional [v0 , ..., vn ] son los simplejos posibles
generados por n − 1 v´rtices [v0 , ..., vn−1 ], [v0 , ..., vn−2 , vn ], ..., [v1 , v2 , ..., vn ].e
As´ la i-´sima cara se obtiene al separar el i-´simo v´rtice vi del conjuntoıeee
[v0 , ..., vn ], y ella es opuesta a este v´rtice.e
Definiciń 4: La i-´sima cara del simplejo simplicial σ n es:oe
n−1σ(i) =

[v0 , ..., vi , ..., vn ]ˆ

Las caras de menor dimensiń se obtienen, de un simplejo [v0 , ..., vn ] al separaro
un n´mero cualesquiera de v´rtices.ue

´´´

64

Definiciń 5: Sea σ un simplejo, con v´rtices v0 , ..., vk . Dos orientacionesoe
[vi1 , ..., vik ] y [vj1 , ..., vjk ] de los v´rtices de σ son equivalentes si (j1 , ..., jk ) ese
una permutaciń par de (i1 , ..., ik ). Esto es claramente una relaciń de equiva-oo
lencia y para k > 1, se separan las orientaciones de v0 , ..., vk en dos clases de
equivalencia. Un simplejo orientado, es un simplejo σ junto con la elecciń deo
una de estas clases de equivalencia.

Definiciń 6: La frontera orientada del simplejo [v0 , ..., vn ], es una combinacińoo
lineal de sus caras del siguiente tipo:
n

(−1)i [v0 , ..., vi , ..., vn ] =ˆ

∂σ n ∂[v0 , ..., vn ] =
=

n−1(−1)i σ(i)

i=0

.
Ejemplo: Para los simplejos de dimensiń 0,1 y 2 se tiene:o
∂[v0 ] = 0
∂[v0 , v1 ] = [v1 ] − [v0 ]
∂[v0 , v1 , v2 ] = [v1 , v2 ] − [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ]
Teorema 1: Para un simplejo n-dimensional tiene lugar la f´rmula:o
∂∂[v0 , ..., vn ] = 0
Demostraciń:o
Para la demostraciń se aplica el c´lculo directo y la definiciń de ∂. Poroao
ejemplo para n = 2, se tiene:
∂[v0 , v1 , v2 ] = [v1 , v2 ] − [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ]
entonces
∂∂[v0 , v1 , v2 ] = {[v2 ] − [v1 ]} − {[v2 ] − [v0 ]} + {[v1 ] − [v0 ]} = 0
El c´lculo es an´logo para cualquier n:aa

n
n−1(−1)i σ(i)

n
∂∂σ = ∂
i=0
n−2en

esta suma la cara σ(i,j) (los v´rtices vi , vj se omiten) se incluye dos veces

ene
n−1n−1las

fronteras ∂σ(i) y ∂σ(j) con signos opuestos.

Definiciń 7: Un complejo simplicial K es un conjunto de simplejos, de dimen-o
siń arbitaria, que tienen las siguientes propiedades:o
(i) Si un simplejo est´ en K, sus caras de cualquier dimensiń estń en K.aoa


65

(ii) Si σ k y σ t son elementos distintos de K, entonces σ k ∩ σ t = ∅.

Si p es la dimensiń m´xima de los simplejos que constituyen a K, entoncesoa
se dice que K tiene dimensiń p.o
Un complejo simplicial finito se compone de un n´mero finito de simplejos:u
p012K

= {σi , σj , σk ,

..., σ1 }

Definiciń 8: Una variedad triangulable es una terna (M, K, h), donde M eso
una variedad, K es un complejo simplicial, y h : [K] → M es un homeomorfismo.
p

Definiciń 9: La frontera de la cadena k-dimensional o k-cadena Ck = i gi σio
con gi ∈ Z denotada por (∂Ck ), es la (k − 1)-cadena definida por la f´rmula:o
p

∂Ck =

gi ∂σi

donde 0 ≤ p ≤ k.

Corolario 1: El operador iterado
Ck−1 (K; Z) ← Ck (K, Z) ← Ck+1 (K, Z)
satisface ∂ 2 = ∂ ◦ ∂ = 0.
Demostraciń:o
La prueba es directa aplicando el Teorema 1.
Definiciń 10: Un k-ciclo, es una k-cadena Ck , tal que ∂Ck = 0, claramenteo
estos forman un subgrupo conmutativo de Ck (K, Z) para un complejo K y grupo
conmutativo Z, el cual denotaremos por Zk (K, Z).
Definiciń 11: Las fronteras son cadenas Zk ∈ Ck (K, Z) tales que existe unao
(k+1)-cadena Ck+1 , tal que Zk = ∂Ck+1 ; estos ciclos forman el grupo Bk (K, Z),
el cual llamaremos grupo de fronteras k-dimensionales.
Definiciń 12 (GRUPO DE HOMOLOG´ DE UN COMPLEJO SIM-oIA
PLICIAL K): Al grupo de homolog´ de dimensiń Hk (K, Z) de un complejoıao
simplicial K, lo definimos como el grupo cociente del grupo Zk de todos los
ciclos de dimensiń k, por ciclos Bk .o

Hk (K, Z) =

Zk (K, Z)
Bk (K, Z)

Dos ciclos son homol´gos o equivalentes si y s´lo si difieren por una frontera,oo
zk − zk = ∂ck+1

´´´

66

Al grupo definido anteriormente, tambiń se le conoce como el grupo dee
homolog´ de K con coeficientes en Z.ıa
Definiciń 13: Definamos el grupo Abeliano C k (K, Z), de k-cocadenas f k deo
K con coeficientes en el grupo abeliano Z por:
C k (K, Z) =
=

{f k f k : Ck (K, Z) → Z
Hom(Ck (K, Z), Z)

es un homomorfismo}

Esto es, una k-cocadena f k es un homomorfismo que asigna a cada Ck un
elemento f k (Ck ) en el grupo Z.
kkkkComo f1 +f2 , es un mapeo el cual env´ Ck sobre f1 (Ck )+f2 (Ck ), entoncesıa
C k (K, Z) es un grupo Abeliano.

ppObservaciń 1- Si llamamos fik al operador dado por fik
(σj ) = δi,j , donde ∂jo
es el j-´simo séımplejo de K de dimensiń p con 1 ≤ p ≤ k, observemos que loso
kelementos de C estń dados por:a

fk =

gi fip

En analog´ con el operador frontera ∂, sobre cadenas daremos la siguienteıa
definiciń.o
Definiciń 14: Definiremos un operador cofrontera δ, que envia k-cocadenas eno
(k +1)-cocadenas. Para f k en C k asignaremos δf k en C k+1 , y una especificacińo
kde la acciń de δf sobre (k + 1)-cadenas es como sigue:o
δf k (Ck+1 ) = f k (∂Ck+1 )
Observaciń: De aqu´ en adelante denotaremos al grupo abeliano por G.oı
Teorema 2: El operador iterado:
C k−1 (K, G) → C k (K, G) → C k+1 (K, G)
satisface que δ ◦ δ = δ 2 = 0.
Demostraciń:o
La prueba es directa como consecuencia del teorema 1.
Definiciń 15: Definamos los cociclos (z k ) y las cofronteras de la siguienteo
manera:
Zk

=

ker(δ : C k → C k+1 )

(grupo de cociclosZ k (K, G))

Bk

=

im(δ : C k−1 → C k )

(grupo de cofronterasB k (K, G))

donde δ : C k → C k+1 y δ : C k−1 → C k respectivamente.


67

Definiciń 16: El p-´simo grupo de cohomolog´ del complejo sóeıaımplicial K
(0 ≤ p ≤ dimK), con coeficientes en el grupo Abeliano G, es el grupo cociente:
Z p (K, G)
p
H (K, G) = p
B (K, G)
La Cohomolog´ se definir´ como el grupo cociente de las formas diferencialesıaa
cerradas por las formas diferenciales exactas, en una variedad triangulable M.
Un producto interno en un espacio vectorial V sobre un campo F, es una
funciń bilineal de V ×V → F , denotada por (V, W ) → V, W , que es sim´tricaoe
V, W = W, V
y no degenerada: si V = 0, ⇒ existe W = 0 tal que W, V = 0.
Aqu´ el campo F casi siempre es R.ı
Para cada r con 0 ≤ r ≤ n podemos definir un producto interno ,
por
r

en Rn

n
i
abi −

a, b r =

r

i=1

ai bi
i=r+1

que es no degenerada, pues si tomamos a = 0, ⇒
n
n
r
(a 1 ..., a ), (a , 1 a , −a
,
...,

r+1

, ..., −a n =
)

(ai )2 > 0
i=1

En particular, para r = n “obtenemos el producto interno usual”, , en Rn ,
n

ai bi

a, b =
i=1

para este producto interno tenemos que a, a > 0 si a = 0.
En general una funciń bilineal sim´trica , es llamada def inida positivaoe
si V, V > 0 para toda V = 0.
Una funciń bilineal definida positiva , es claramente no degenerada, yo
consecuentemente un producto interno. Note que un producto interno , en V
es un elemento del conjunto de las funciones bilineales sim´tricas en V, as´ sieı,
f : W → V es una transformaciń lineal ⇒ f ∗ , es una funciń bilinealoo
sim´trica en W. Esta funciń bilineal sim´trica puede ser degenerada si f es 1-1,eoe
2por ejemplo, si , est´ definida en R pora
a, b = a1 b1 − a2 b2 ,
y f : R → R2 es f (a) = (a, a). Sin embargo, f ∗ , es claramente no degenerada
si f es un isomorfismo sobre V.

68

´´´

Por otro lado, si , es definida positiva, entonces f ∗ , es definida positiva
si y solo si f es 1-1.
∗ ∗∗Para

base dual correspondiente v1 , v2 , ..., vn ,
n
podemos escribir
,=

∗∗gij vi ⊗

una base v1 , v2 , ..., vn de V, con su

vj

i,j=1

En esta expresiń gij = vi , vj junto con la simetr´ de , implica que la matrizoıa
(gij ) es “sim´trica”:e
gij = gji
La matriz (gij ) tiene otra importante interpretacińo
Dado un producto interno , que es lineal en la segunda entrada, podemos
definir una funciń lineal ϕv ∈ v ∗ para cada v ∈ V poro
ϕv (w) = v, w

Dado que , es lineal en la primera entrada, el mapeo V → ϕV es una
transformaciń lineal de V a V ∗ . La no degeneraciń de , implica que ϕv = 0oo
si v = 0. As´ si V es de dimensiń finita, un producto interno , dado induceı,o
∗un isomorfismo α : V → V , con v, w = α(v)(w).
Claramente la matriz (gij ) es justamente la matriz de α : V → V ∗ con
∗respecto a las bases {vi } de V y {vi } de V ∗ .
As´ la no degeneraciń de , es equivalente a la condiciń que (gij ) es noı,oo
singular, o sea det(gij ) = 0.
El que , sea definida positiva corresponde a la condiciń mas complicadao
nde que la matriz (gij )
sea“positiva definida”, cumpliendo que i,j=1 gij ai aj > 0
para toda a1 , ..., an con al menos un ai = 0.
Dado un producto interno , definido positivo en V, definimos la norma
asociadapor
v = v, v

1
2

(se toma la ra´ cuadrada de un positivo)ız

En Rn denotamos la norma correspondiente como , simple por
| a |= a, a
con la propiedad principal siguiente.
Teorema. Para toda v, w ∈ V tenemos

1
2

1)

av =| a | .

v
w

2) | v, w |≤ v .
independientes
3)

v+w ≤ v

69

+

la igualdad se d´ si y solo si v y w son linealmentea

w

Prueba:
1) Es trivial.
2) Si v y w son linealmente independientes,se cumple la igualdad. Si no,
entonces λv − w = 0 para toda λ ∈ R, as´ı
2

0 < λv − w

λv − w, λv − w
λ2 v 2 −2λ v, w +

=
=

w

2

es una ecuaciń cuadr´tica en λ que no tiene soluciń real y por lo tanto suoao
22discriminante es negativo. As´ 4 v, w − 4 vı,w 2 < 0.
3)
v+w

2

= v + w, v + w
=v 2 + w 2 +2 v, w
≤v 2 + w 2 +2 v .
= ( v + w )2

w

por

2)

La funcińociertamente tiene grandes propiedades, por ejemplo, la funnciń | | en R no es diferenciable en 0 ∈ Rn .o
2
es una“funciń cuadr´tica.en V en t´rminos de una base {vi } para Voae
podemos escribirla como un polinomio de grado 2 homogńeo en las componen-e
tes
n

n
i
avi

2

gij ai aj

=

i=1

i,j=1

m´s concisamentea
n
2

∗ ∗gij vi .vj

=
i,j=1

es la norma asociada al producto interno

Teorema. Si
entonces
1) v, w = 1 ( v + w
2

2

−

v

2

−

w

2

)

,

en V,

´´´

70

2) v, w = 1 ( v + w

2

−

v−w

2

)

4

Prueba:
C´lculo directoa
Este teorema muestra que dos productos internos con la misma norma,
son ellos mismos iguales. De forma similar, si f : V → V preserva normas
( f (v) = vpara toda v ∈ V ), ⇒ f as´ mismo preserva productos in-ı
terno ( f (v), f (w) = v, w ∀ v, w ∈ V ).
Podemos notar que un isomorfismo preserva productos internos definidos
positivos.
Teorema. Si,es un producto interno definido positivo en un espacio
vectorial V de dimensiń n, entonces existe una base para V, {v1 , ..., vn } talo
que vi , vj = δij (esta base es llamada ortonormal respecto a,). En
nconsecuencia, el isomorfismo f : R → V tal que
a, b ∈ Rn

a, b = f (a), f (b)
en otras palabras
f∗

,

=

,

Demostraciń:o
Sea {w1 , ..., wn } una base para V, obtenemos una base deseable por el proceso
de ortogonalizaciń de Gram-Schmidt: Dado w1 = 0 podemos definiro
w1
,
w1
v1 = 1. Suponga que construimos {v1 , ..., vk } tal que
v1 =

y claramente

vi , vj = δij

1 ≤ i, j ≤ k

y

span{v1 , ..., vk } = span{w1 , ..., wk }
Entonces, wk+1 es linealmente independiente de {v1 , .., vk }.
Sea wk+1 = wk+1 − v1 , vk+1 v1 −...− vk , vk+1 vk = 0,vemos que wk+1 , vi =
0,

i = 1, ..., k. Podemos definir vk+1 =

wk+1
wk+1

y se continua por inducciń.o


71

Definimos Frontera de un q-simplejo singular σ, como una (q − 1)-cadena
singular
q

(−1)i σ (i)

∂(σ) =
i=0

En el caso especial σ = (p0 ...pq );
∂(p0 ...pq ) =

(−1)i (p0 ...pi ...pq )ˆ

Extendemos σ a un homomorfismo entre modulos Sq (x) → Sq−1 (x) por
linealidad, as´ı
∂νσ σ =νσ (∂σ)
Para q = 0, la frontera de 0-cadenas es por definiciń 0.o
Proposiciń 9.2 ∂∂ = 0o
Prueba:
Es suficiente con verificar que ∂(∂c) = 0 donde c es un q-simplejo singular
σ.
Derivamos el siguiente resultado por medio de un c´lculo basado en el lemaa
siguiente.
iiDefinamos Fq para q > 0 como las aplicaciones afines Fq : ∆q−1 → ∆q para
0 ≤ i ≤ q tales que mandan al complejo simplicial de dimensiń q − 1 en la carao
del complejo simplicial de dimensiń q, que se obtiene omitiendo en el v´rtice i.oe
i jj i−1Lema

Fq Fq−1 = Fq Fq−1 para j < i.

Entonces
q

∂(∂σ)

(−1)i ∂(σ (i) )

=
i=0
q

q−1
ji(−1)j (σ

(−1)i

=
i=0

◦ Fq ) ◦ Fq−1

j=0
q

=

q−1

(−1)
j<i=1

i+j

σ◦

i j(−1)i+j σ

j i−1(Fq Fq−1 )
+

◦ (Fq Fq−1 )

0=i≤j

y todo se cancela (colocamos i1 = j, j 1 = i−1 en la primera suma).
Aqu´ R es un anillo para las siguientes definiciones.ı
Una q-cadena singular C tal que ∂(C) = 0 es llamada un ciclo; si C = ∂(C )
para alguna (q + 1)-cadena C’, C es llamada una frontera. Dos q-cadenas cuya
diferencia es una frontera son llamadas hom´logas y se escriben C1 ∼ C2 . Poro
el hecho de que ∂∂ = 0 las fronteras forman un subm´dulo Bq del modulo Zqo

72

´´´

de ciclos; el modulo cociente Zq /Bq es llamado el q-´simo m´dulo de homologéoıa
singular de X, denotado por Hq (X, R) o simplemente Hq (X) sin la referencia a
R.
Proposiciń - Sea (Xk ) una familia de componentes conexas por trayectoriaso
de X. Entonces tenemos un isomorfismo canńicoo
Hq (X) ∼ ⊕k Hq (Xk ) para toda=

q>0

⊕Mk es la suma directa de una familia de R-m´dulos y se define como elo
ssubm´dulo del producto cartessiano de Mk que
consiste de las familias (mk )o
tal que a lo mas un conjunto finito de los mk son diferentes de 0.
Prueba:
Tenemos de hecho un isomorfismo
Sq (X) ∼ ⊕k Sq (Xk ) para toda=

q≥0

tal que el operador frontera se aplica componente por componente. Ahora bien,
como todo simplejo simplicial ∆q es conexo por trayectorias, un q-simplejo singular σ manda a ∆q dentro de una componente por trayectorias Xk . As´ cadaı,
q-cadena c se descompone en una unica suma´
c=

ck
k

donde ck es una q-cadena singular en Xk .
Sea A un subespacio de X entonces ∀q ≥ 0, Sq (A) es un subm´dulo deo
Sq (X) que consiste de combinaciones lineales de q-simplejos singulares q → X
cuya imagen est´ contenida en A. Podemos formar el modulo cociente y dadoa
un operador frontera que manda a Sq (A) dentro de Sq−1 (A); esto induce un
¯
homomorfismo ∂ que hace que el siguiente diagrama sea conmutativo
Sq (X) −→ Sq (X)/Sq (A)
¯
↓∂

∂↓

Sq−1 (X) −→ Sq−1 (X)/Sq−1 (A)
¯
[Esto es, si C ∈ Sq (X) definimos ∂ (clase de C modulo Sq (A)) = clase de
¯¯
∂C mod Sq−1 (A)]. Claramente ∂ ∂ = 0. Podemos considerar como antes los
m´dulos:o
∂
a) ker[Sq (X)/Sq (A)→ Sq−1 (X)/Sq−1 (A)]
∂

b) Imagen[Sq+1 (X)/Sq+1 (A) → Sq (X)/Sq (A)]


73

Dado que b) es un subm´dulo de a) podemos tomar el modulo cociente que eso
denotado por Hq (X, A) (´ Hq (X, A, R) si queremos especificar cu´l es el anillo deoa
coeficientes)y lo llamamos el q-´simo modulo relativo de homolog´ de X mod A.eıa
Podemos obtener este m´dulo directamente Sq (X) si queremos, comenzando cono
C ∈ Sq (X). Suponga que al recorrer el diagrama hasta Sq−1 (X)/Sq−1 (A), C
va a cero; esto dice que ∂C ∈ Sq−1 (A). El conjunto de tales C s forma un
subm´dulo Zq (X, A) de Sq (X) cuyos elementos se llaman q-ciclos relativos eno
X mod A.

Ejemplo: Si σ es una trayectoria (curva) en X, es un 1-ciclo relativo mod A si
sus punto extremos estń en el subespacio A. Mas generalmente, un q-simplejoa
es un q-ciclo relativo si sus caras estń en A.a
El modulo Zq (X, A) es justamente preimagen para el homomorfismo cociente
del modulo al anterior. ¿Qu´ seria la preimagen para b)?. Claramente eso es ele
subm´dulo Bq (X, A), de Sq (X) que consiste de cadenas hom´logas a cadenasoo
en Sq (A); estas son llamadas q-fronteras relativas en X modulo A (escribimos
C C modA si C − C es una q-frontera relativa).

Lema. Hq (X, A) ∼ Zq (X, A)/Bq (X, A)=
Este lema es una consecuencia del teorema de isomorfismo (M/P )/(N/P ) ∼=
M/N en ´lgebra de m´dulos.ao
Por ejemplo, si X es el cilindro I × S 1 , A el subespacio 1 × S 1 , entonces el
circulo horizontal s → (t, e2πs ) es una 1-frontera relativa, puesto que es hom´lo-o
2πsgo al circuito s → (1, e ) en A.
Nota: Si A es vac´ Sq (A) = 0 para toda q por definiciń; aqu´ tenemos queıo,oı
Hq (X, φ) = Hq (X). As´ la discusiń de m´dulos de homolog´ relativa incluyeı,ooıa
m´dulos absolutos como un caso especial.o
La propiedad mas importante de los m´dulos de homolog´ relativa Hq (X, A)oıa
es la existencia de homomorfismos

Hq (X, A) → Hq−1 (A)

(B.1)

por medio de la cual obtenemos una secuencia infinita de homomorfismos
... → Hq (A) → Hq (X) → Hq (X, A) → Hq−1 (A) → ...
llamada secuencia de homolog´ del par (X, A).ıa
Definimos este homomorfismo como sigue: Dado un q-ciclo relativo Z que
representa a la clase de homolog´ Z. Por definiciń, ∂Z es una (q − 1)-cadenaıa ¯o

74

´´´

en A, pero ∂∂ = 0, ∂Z es de hecho un (q − 1)-ciclo en A y podemos considerar
¯
su clase de homolog´ ∂Z ∈ Hq−1 (A). Estas clases dependen solo de Z: siıa
Z ∼ Z moduloA, entonces Z = Z + w + ∂Z , donde w es una q-cadena en
A, Z una (q + 1)-cadena en X; entonces ∂Z = ∂Z + ∂w, esto es, ∂Z y ∂Z son
¯
hom´logos en A. Definimos el homomorfismo (1) denotado as´ ∂ por ∂ Z = ∂Z.oı
Teorema. La secuencia de homolog´ de (X, A) es exacta. Esto significa queıa
(a) La composiciń de cada dos homomorfismos en la secuencia es cero, yo
(b) la imagen de un homomorfismo es igual al nćleo de el pr´ximo.uo
Prueba:
Verificamos que cumple con propiedad de ser exacta en la etapa Hq (X, A) y
dejamos como ejercicio verificar la misma propiedad en las etapas para Hq (A),
Hq (X).
¯¯
Sea Z un q-ciclo en X, esto es ∂Z = 0. Entonces ∂Hq (j)(Z) = ∂ Z = 0, as´ queı
¯
la composiciń ∂ ◦ Hq (j) es cero. Sea Z un q-ciclo relativo tal que la imagen ∂ Zo
¯
de Z bajo el homomorfismo (1) es cero. Esto significa que ∂Z = ∂W , donde W
es una q-cadena en A. Por lo tanto Z − W es un ciclo en X. Adem´s, la clase dea
¯
homolog´ relativa de Z − W es la misma que la de Zj , as´ Hq (j)(Z − W ) = Z.ıaı
Nota: La secuencia de imagen determina por la derecha con ∂.ıu
As´ mostramos que la homolog´ Hq (j) es igual al nćleo de la exactitud enıa
→ Ho (X) → Ho (X, A) → 0
La exactitud en Ho (X, A) significa que la imagen de Ho (j) es igual al nćleou
del homomorfismo cero, i.e., Ho (j) es sobreyectiva.
Podemos interpretar esto m´s expláıcitamente como sigue: Dada una secuencia exacta de complejos de cadenas.
0 → Sq (A) → Sq (X) → Sq (X)/Sq (A) → 0
aplicando el functor HomR (R) transformamos a la secuencia en
tp

i

¯0 → S q (X, A)t → S q (X)→ S q (A) →

0
Lema. Esta secuencia es exacta.
Prueba:
Primero se muestra que ti es sobre. Sea Sq (X, A) el subm´dulo de Sq (X)o
agenerado por todos los
simplejos singulares cuyo soporte no est´ contenido en
A, entonces
Sq (X) = Sq (A) ⊕ Sq (X, A).


75

Aqu´ una funcional lineal en Sq (A) puede ser extendida a Sq (X) definińdoloıe
como igual a cero en Sq (X, A). Los pasos que faltan depende de las propiedades
de S(X).
¯
Una f : Sq (X) → R tal que f ◦ i = 0 se extiende a una bien definida f :
¯
Sq (X, A) → R tal que f p = f . Por lo tanto, kerti ⊂ imtp . Los otros pasos se dejan al lector.
Teorema. Los m´dulos de cohomolog´ singular tienen las siguientes propieda-oıa
des
1) Contrafuntorialidad
2) Los diagramas conmutativos
H q (A) −→ H q+1 (X, A)
Hq ↑

↑ H q+1 (f )

H q (B) −→ H q+1 (Y, B)

3) La secuencia exacta de cohomolog´ıa
0 → H 0 (X, A) → ... → H q (X) → H q (A) → H q+1 (X, A) → ...
4) Es homot´picamente invarianteo
f

g

⇒

H q (f ) = H q (g)

¯˙5) Excision U ⊂ A ⇒ H q (X, A) → H q (X − U, A − U ) es un isomorfismo
6) Para un punto simple p,

H q (p) =

R si q = 0
0 si q > 0

Demostraciń:o
Los puntos 1) a 3) se dejan como ejercicio.
4) Se sigue dado que el mapeo homot´pico induce mapeos homot´picos deoo
cadenas de complejos singulares, as´ que mapeos homot´picos de cadenas delıo
complejo de co-cadenas inducen mapeos iguales en cohomolog´ıa.
Para 5) Usando el mismo argumento para obtener la equivalencia de cadena
homot´pica de S(X − U, A − U ) ⊂ S(X, A). Alternativamente considere el dia-o
grama.

76

´´´
0 −→ E q (X, A) −→ H q (X, A) −→ Hq (X, A)∗ −→ 0
E q (f ) = E q (g) ↑

↑

↑ tHq (f ) = tHq (g)

0 −→ E q (Y, B) −→ H q (Y, B) −→ Hq (Y, B)∗ −→ 0
6) se sigue por el teorema de excision en teor´ de homolog´ con el dia-ıaıa,
grama conmutativo anterior con (X, A)en lugar de (Y, B) y (X − U, A − U ) en
lugar de (X, A) y por el lema de Barratt-Whitehead.
7) se sigue de la homolog´ de un punto, el hecho que E q (p) = 0 para todo q,ıa
∗∼
y el isomorfismo canńico R = R.o

En el lenguaje de las formas diferenciales, f que es el operador cofrontera
corresponde a la llamada derivada exterior.
Si Ω3 es una forma diferencial puesto que D(Ω3 ) = 0 para una 3-forma en el
3-espacio, vemos por (σ4 , δc3 (φ)) = ∂σ4 Ω3 (φ) que δc3 (φ) = 0 (por el teorema
general de Stokes).
Definimos los m´dulos de ciclos y cofronteras poro

Z q (X) =

ker δ : S q (X) → S q+1 (X)

B q (X) =

Imδ : S q−1 (X) → S q (X)

y el m´dulo cohomolog´ como H q (X; R) poroıa
H q (X) = Z q (X)/B q (X)
Si f : X → Y , entonces S q (f ) respeta cociclos y cofronteras e induce un
homomorfismo cociente
H q (f ) : H q (Y ) → H q (X)
Para X el 3-espacio Euclidiano tenemos descritas las clases de cohomolog´ıas
por las formas diferenciales. Los cociclos corresponden a formas cerradas, mientras que las cofronteras son las formas exactas (como dw). Pero para q positiva
es cl´sico que la q-forma (en R3 ) es cerrada ⇔ es exacta. Esto corresponde ala
hecho de que H q (R3 ) = 0 para q positiva.
¯Definimos S q (X, A = homR (Sq (X)/Sq (A), R) y definimos la cofrontera δ :
¯¯S q (X, A) → S q+1 (X, A) que es la transpuesta del operador frontera
∂ : Sq+1 (X)/Sq+1 (A) → Sq (X)/Sq (A)


77

Definimos
H q (X, A) = [ker δ

¯en S q (X, A)]/[Imδ

¯en S q−1 (X, A)]

Un subespacio X del espacio euclidiano Rn es llamado un poliedro (finito)
si este puede ser representado como una uniń finita de simplejos geom´tricosoe
tales que la intersecciń de dos simplejos es vac´ ´ una iteraciń de caras deoıo oo
cada uno. Tal representaciń es llamada triangulaciń de X.oo
Un espacio X es llamado triangulable finitamente (tambiń llamado simpli-e
cial finito) si es homeomorfo a un poliedro (finito). Claramente tales espacios
son llamados c´lulas complejas finitas.e
Si X e Y son poliedros, un mapeo f : X → Y es llamado simplicial (con
respecto a triangulaciones dadas si la restricciń de f a cualquier simplejo geo-o
m´trico en X es un mapeo af´ de sobre un simplejo geom´trico en Y. La im-eıne
portancia de los poliedros es que un mapeo arbitrario puede ser aproximado por
un mapeo simplicial en la misma clase de homotop´ıa.

Construcciń de J.P. Rotho
Sea K un circuito elćtrico: consideremos a K como un complejo unidimen-e
sional.
Un conjunto de corrientes que fluyen a trav´s de las ramas K puede sere
considerado como la asignaciń de un n´mero complejo a cada rama. Aqu´ talesouı
conjuntos de corrientes son tratados como un vector o 1-cadena orientada al
espacio de tal conjunto de corrientes de rama, as´ coinciden con el grupo C 1 (K)ı
de 1-cadenas orientadas sobre los coeficientes del campo de n´meros complejos.u
Una malla de corriente donde la corriente fluye alrededor de un circuito cerrado
orientado corresponde a 1-ciclo, pero como podremos ver es m´s apropiadoa
identificar a esto con un elemento de el primer grupo de homolog´ H 1 (K) deıa
K. De hecho, el espacio de tales circuitos de corriente (las llamadas mallas de
corriente) es isomorfa con H 1 (K); con estas identificaciones, la transformacińo
11i = i usada por Kron es el
homomorfismo natural de H (K) sobre C (K).
Aqu´ i , i son vectores columna representando elementos de H 1 (K), C 1 (K) conı
respecto a bases escogidas para cada espacio.

Recordemos sin embargo que C 1 (K) puede ser vista como el grupo de homolog´ relativa de k m´dulo su esqueleto cero (nodos). F´ıaoısicamente esta transformaciń puede ser considerada como una expresiń de la Ley de corrientesoo
de Kirchhoff. Podemos, sin embargo, ver que el espacio de corrientes (nodo =
v´rtice) es isomorfo al grupo de frontera de cero cadenas. En la notaciń deeo
Kron el operador frontera es expresado por la ecuaciń I = At J donde J e I’o

78

´´´

son vectores columna representando vectores en C 1 (K) y B 0 (K)) con respecto
a bases dadas para esos espacios. Usamos la notaciń mas acostumbrada eno
topolog´ıa,I = ∂J donde ∂ es el operador frontera. En este contexto el operador frontera puede ser interpretado como una expresiń alternativa de la Leyo
de corrientes de Kirchhoff, equivalente a la forma antes mencionada. Podemos
combinar las aplicaciones C y ∂ para formar la secuencia de homolog´ reduci-ıa
00da”definida por (K, K ), K siendo el esqueleto cero de K:

0 → H1 (k) → C 1 (k) → B 0 (k) → 0
El resultado ∂C = 0 (´ At C = 0) es una consecuencia de la exactitud deo
esta secuencia y es referido por Kron como“la condiciń de ortogonalidad”. Poro
supuesto este resultado puede ser verificado directamente.
El conjunto dual de relaciones consideradas en los espacios de voltajes y
potenciales serń identificadas con la correspondiente secuencia de homologáıa
relativa. Comenzamos con el opuesto en el final de la secuencia.
Primero identificamos el espacio de potenciales de nodo con el grupo C0 (K)
de cero cadenas de k. El espacio de diferencias de potencias (par nodo potencial) coincide con el subgrupo P0 (K) de C0 (K), el dual P 0 (K), es isomorfo a
C0 (K) m´dulo el subgrupo de 0-cociclos. P0 (K) es seleccionado como la ima-o
00gen de P (K) bajo el siguiente isomorfismo: Sea C 0 =ai σi una 0-cadena
orientada de k, la sumatoria corre sobre el conjunto de todas las 0-c´lulas de Ke
0las ai siendo n´meros complejos. Sea ϕ(C ) la
0-cadena f tal que f (σi ) = ai . Lau
transformaciń ϕ es un isomorfismo de C 0 (K) en C0 (K). Sea P0 (K) la imageno
0de P (K) bajo σ. As´ si {bK } es una base para P 0 (K), llamamos as´ {ϕ(bK )} laı,ı
base correspondiente para P0 (K). Los espacios de ramas de voltajes (terminolog´ para los Voltajes en Kron) puede ser identificado con el grupo de 1-cadenasıa
de K, C1 (K).

El operador cofrontera E = δE (´ E = AE , en notaciń de Kron), dondeoo
E,E’ representan elementos de C1 (K), P0 (K), pueden ser considerados como
una forma de la Ley de Kirchhoff de voltaje. Finalmente, el espacio de mallas
coincide con el primer grupo de cohomolog´ H1 (K). De nuevo, si tomamosıa
11una base fija para H (K) y C (K) y escribimos la ecuaciń matricial para
elo
homomorfismo natural C y entonces usamos las mismas bases para expresar el
homomorfismo dual de C1 (K) sobre H1 (K), entonces el mapeo toma la forma
usada por Kron, Ct V = e. Este mapeo es otra forma equivalente de la Ley de¯
voltajes de Kirchhoff. Estos dos mapeos nos proporcionan la siguiente sucesińo
de homolog´ reducida:ıas
0 → H1 (k) ← C1 (k) ← P0 (k) ← 0
Por exactitud, Ct δ = 0 (´ Ct (A) = 0) esta condiciń es denominada poroo
Kron “La ortogonalidad de mallas y de potenciales de nodos”.


79

Los isomorfismos Torcidos
Estudiaremos las condiciones que prevalecen en las ecuaciones diferenciales descritas por corrientes de ramas y voltajes de rama en un circuito dado reduciendo
las ecuaciones a la ecuaciń matricial V = LJ, una ecuaciń para el circuitooo
donde J es un vector columna que representa la 1-cadena con respecto a bases
dadas para C 1 (k). Finalmente, L es llamada la matriz impedancia y est´ de-a
terminada solamente por las propiedades electrom´gneticas de los elementosa
(resistencia, inductancias mutuas, etc.); esto es esencial para reafirmar la transformaciń L es independiente de la forma en que las ramas estan conectadas,o
esto es, independiente de la estructura topol´gica de K. En la notaciń de Kronoo
L es denotada por Z.

Los problemas de circuitos elćtricos pueden ser interpretados en t´rmi-ee
nos f´ısicos como sigue: Dado un conjunto de elementos con propiedades electrom´gneticas que determinan una transformaciń L, conectadas en una formaao
predeterminada siempre determina a un circuito K y dado un conjunto e’ de
fuentes de corriente conectadas en serie en las mallas (e’ es un elemento de
H1 (K)) y un conjunto I’ de corrientes que fluyen para la salida del sistema
en los nodos de K(I’ es un elemento de P 0 (K)), el problema es encontrar la
corriente que fluye a trav´s de la malla y el potencial en cada elemento - este ese
el tema de las Leyes de Kirchhoff.

En este problema puede o no haber soluciń y la soluciń depende de laoo
naturaleza de L. Decimos que la matriz L y la transformaciń representadao
¯ t es definida positiva. La potencia disipadapor L est´ bien
definida si L + La
1¯ ¯
aı2 (Vt J + Vt J) es definida positiva si y
solo si L est´ bien definida. Aqu´ para un
Teorema. Si L est´ bien definida, entonces el problema circuital tiene una ya
circuito f´ısicamente realizable, esta condiciń est´ satisfecha.oa
solo una soluciń.o
El problema puede ser visualizado por medio de el siguiente diagrama de
circuito algebraico.
C
∂
0 −→ H 1 (K) −→ C 1 (K)−→ P 0 (K) −→ 0

L↓

L ↓↑ Y
C

↑Y
δ

0 ←− H1 (K) ←− C1 (K)←− P0 (K) ←− 0

t

Aqu´ Y es la inversa de L, L = Ct LC, Y = ∂Y δ. Mostramos que bajo lası
condiciones dadas para L, que es equivalente a que L’ y Y’, son no singulares.
Con esto tenemos la soluciń. Suponga que L i = 0, y sea i = Ci , entonceso
¯¯t L i tomadas
como igual a ¯t Li, son cero y as´ ¯t Lt i es cero. As´ ¯t (L+ Lt )i = 0iiıi ¯ı, i
y asumiendo que est´ bien definida en L, i tambien es cero. Pero dado que pora
exactitud, C es un isomorfismo, i’ tiene que ser cero. As´ el ker de L’ es cero y,ı,

80

´´´

dado que el espacio tiene igual dimensi´n, L’ tiene que ser uno a uno. Por uno
argumento similar , Y’ tiene entonces aqui una inversa (por exactitud e igual
¯
argumento podemos mostrar que L’ y Y’ tienen inversas si L − Lt esta bien
deﬁnida).

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