![Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.
Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de
masas.
El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar
y φ el ángulo acimutal.
La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada en
el eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que:
zcm =
∫ z ρdV
El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como:
∫ ρdV
M = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3
2 2 3 3
Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ
π
R
∫ z ρdV = ∫ ∫ ∫
0
2
0 0
2π
r sinθ cos θ dθ dφ dr =
3
2 2
[ sin θ ]0 = 4
πρR 4 1 2 π 2 πρR 4](https://image.slidesharecdn.com/semiesfera-120819131206-phpapp01/85/Semiesfera-8-320.jpg)
Semiesfera
- 1. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.
- 2. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas.
- 3. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas. El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar y φ el ángulo acimutal.
- 4. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas. El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar y φ el ángulo acimutal. La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada en el eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV ∫ ρdV
- 5. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas. El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar y φ el ángulo acimutal. La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada en el eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdV M = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3
- 6. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas. El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar y φ el ángulo acimutal. La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada en el eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdV M = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3 Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ
- 7. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas. El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar y φ el ángulo acimutal. La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada en el eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdV M = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3 Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ π R 2π ∫ z ρdV = ∫ ∫ ∫ 0 2 0 0 r 3 sinθ cos θ dθ dφ dr
- 8. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro de masas. El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polar y φ el ángulo acimutal. La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada en el eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdV M = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3 Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ π R ∫ z ρdV = ∫ ∫ ∫ 0 2 0 0 2π r sinθ cos θ dθ dφ dr = 3 2 2 [ sin θ ]0 = 4 πρR 4 1 2 π 2 πρR 4
- 9. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R. Sustituyendo el numerador y el denominador, encontramos la coordenada z del centro de masas: 1 πρR 4 3 zcm =4 =8R 2 3πρR 3