Simplex metodo 22622

METODO SIMPLEX POR DT
PROCEDIMIENTO ITERATIVO QUE DADA UNA SOLUCION BASICA
FACTIBLE, NOS LLEVA A OTRA SOLUCION BASICA FACTIBLE QUE MEJORA
EL VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO EN SU INTERES DE LLEVARNOS A LA
SOLUCION OPTIMA EN EL MENOR NUMERO DE ITERACIONES POSIBLES
LA FUNCION OBJETIVA ES:
MAX Z = C1X1 + C2X2 + … +C(n+m) X(n+m)
Y LAS RESTRICCIONES DE FORMA AUMENTADA:
P1X1 +P2X2+ … +PnXn+ … +P(n+m)X(n+m) = P0

Soluciones en Programacion Lineal
Básicas
m variables
No Básicas
Un No. de variables
≠ de m variables
S
O
L
U
C
I
O
N
E
S
Factibles
XB ≥ 0
No Factibles
Algún XB ≤0
No Degenerada
XB > 0
Degenerada
XB ≥ 0, algún XB=0

MAXIMIZAR Z = 3X1 + 2X2
S.A -X1 + 2X2 ≤ 4
3X1 + 2X2 ≤ 14
X1 – X2 ≤ 3
X1,X2 ≥ 0
• LO EXPRESAMOS EN FORMA AUMENTADA:
• MAX Z = 3X1 + 2X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5
• S.A
-X1 + 2X2 + X3 + 0X4 + 0X5 ≤ 4
3X1 + 2X2+ 0X3+ X4 + 0X5 ≤ 14
X1 – X2 + 0X3 +0X4 + X5 ≤ 3
Xi ≥ 0
La base formada por los vectores correspondientes a
las variables X3, X4 y X5 nos da una solución directa:
X3=4, X4=14, X5=3, X1=0, X2=0, Z=$0
Si observamos, todos lo valores de la variables son
positivos, siendo esta primera solución básica también
factible.

Debemos comprobar si es posible hallar una solución básica factible mejor, con un
valor mayor de Z. Analizamos primero si la solución actual es optima. Hacemos
básicas las variables fuera de la base y observamos cual es el efecto en la función
objetivo.
Incrementamos X1 de valor 0 a 1:
-X1 + 0X2 + X3 + 0X4 + 0X5 = 4
3X1 + 0X2+ 0X3+ X4 + 0X5 = 14
X1 – 0X2 + 0X3 +0X4 + X5 = 3
• Este valor es llamado el beneficio relative o neto de la variable no básica X1.
Dado que el beneficio relativo de X1 es positivo, la función objetivo puede ser
mejorada haciendo básica a X1. Esto implica que la solución actual no es
optima.
Así cuando X1 = 1
X3 se incrementa hasta 5
X4 disminuye hasta 11 y
X5 disminuye hasta 2
O sea X1=1, X2=0, X3=5, X4=11, X5=2, y el nuevo valor de la función
objetivo es
Z= 3(1)+2(0)+0(5)+0(11)+0(2) = $3
De ahí que el cambio neto en el valor de Z por unidad de incremento
de X1 es =$3

Si hacemos otro tanto con la variable X2, ausente de la base, dejando a X1=0, de ahí que.
2X2 + X3 + 0X4 + 0X5 = 4
2X2+ 0X3+ X4 + 0X5 = 14
- X2 + 0X3 +0X4 + X5 = 3
• No teniendo mas variables omitidas, podemos ya decidir cual variable omitida hacer
básica dado que sabemos que la actual solución no es optima.
• Como vimos antes, cada unidad de X1 aumenta el valor de Z en $3, de manera que nos
conviene hacer a X1, tan grande como sea posible ya que el objetivo es Maximizar Z
• Debemos mantener la solución factible del sistema de restricciones:
Así cuando X2 = 1, X1 = 0, X3=2, X4=12, X5=4
Z= 3(0)+2(1)+0(2)+0(12)+0(4) = $2
De ahí que el cambio neto en el valor de Z por unidad de incremento
de X2 es =$2 y por tanto ese será el beneficio relativo de X2
-X1 + X3 + 0X4 + 0X5 = 4
3X1 + 0X3+ X4 + 0X5 = 14
X1 + 0X3 +0X4 + X5 = 3
Así cuando X1 aumenta los valores de X4 y X5 disminuyen mientras que el valor de X3
aumenta
Así, vemos que X4 se hace negativa si X1 toma un valor mayor de 14/3, mientras que
X5 se haría negativa si X1 toma un valor mayor de 3. Por otro lado, no importa que
valor positivo tome X1, X3 nunca se hará negativa
• Esto nos dice que el valor máximo que puede tomar X1 será el de 3 para que
la nueva solución sea básica factible.

Cuando X1 =3, X3 =7, X4 =5 y X5 = 0, como la base solo puede tener tres variables en este
caso, X5 será la variable básica que se hace no básica, es decir, que sale de la solución para
darle lugar a X1
La variable que sale de la solución es la que primero llega a cero cuando el valor de la
nueva variable aumenta. El valor de las variables para esta segunda solución es:
X1=3, X2=0, X3=7, X4=5 y X5 = 0
El valor de Z será: Z2 = 3(3) + 2(0) + 0(7) + 0(5) + 0(0) = $9
• El sistema de restricciones quedaría de la siguiente forma después de aplicar
las operaciones con renglón necesaria para indicar que en la base están:
• X1, X3 y X4 Es decir, se trata de que los vectores P1, P3 y P4 formen la matriz
identidad 0X1 + X2 + X3 + 0X4 + X5 = 7
0X1 + 5X2 + 0X3+ X4 - 3X5 = 5
X1 – X2 + 0X3 +0X4 + X5 = 3
• De nuevo debemos ver si la solucion actual es optima para lo cual debemos
calcular el “beneficio relative” de las variables omitidas o criterio simplex

Si X2 pasa a se básica y toma valor de 1, quedando X5 = 0 el sistema será.
0X1 + X2 + X3 + 0X4 = 7
0X1 + 5X2+ 0X3+ X4 = 5
X1 – X2 + 0X3 +0X4 = 3
• De ahí que el incremento en Z es de 14-9=5 de manera que el beneficio
relativo de X2 es =$5. Como este valor es positivo, la solución no es optima.
• Si hacemos lo mismo con X5, veremos que su beneficio relativo es de: -3. De
manera que X2 es la mejor candidata a entrar a la base. Para saber qué valor
tomará vemos que la única variable básica que podría hacerse no factible si
X2 aumenta mas de lo debido es X4 . Así, el valor máximo de X2 será 1. Esto
nos da la siguiente solución:
X1=4, X2=1, X3=6, X4=0 y X5 =0, y el nuevo valor de la función objetivo es
Z= 3(4)+2(1)+0(6)+0(0) +0(0)= $14
Así cuando X2 = 1
X3 se reduce a 6
X4 se hace 0 y
X1 aumenta a 4
O sea X1=4, X2=1, X3=6, X4=0, y el nuevo valor de la función objetivo es
Z= 3(4)+2(1)+0(6)+0(0) = $14

Max Z = 30X1 + 50X2 + 0X3 + 0X4
S.A 3X1 + 4X2 + X3 + 0X4 = 60
8X1 + 4X2 + 0X3 + X4 = 80
Xi≥0
P1 P2 P3 P4 P0
3 4 1 0 60
8 4 0 1 80
El conjunto de vectores P3 y P4 son seleccionados para formar la primera base al ser la matriz
identidad y lo combinamos con P0 buscando primera solución P3X3 + P4X4 = P0
1
0
X3 X4
0
1
+ =
60
80
Lo que nos da
X3=60 y X4=80
De ahí que
X1=X2=0
El valor de la Funcion Objetivo para esta primera solucion es
Max Z = 30X1 + 50X2 + 0X3 + 0X4
Z=0
Una empresa de manufactura produce puertas y ventanas. Una Puerta requiere 3 horas en el
departamento 1 y 8 horas en el departamento 2, una Ventana requiere 4 horas en el departamento 1 y 4
horas en el departamento 2. El beneficio es de $30 por cada puerta y $50 por cada ventana. El
departamento 1 tiene 60 horas disponibles por semana y el departamento 2 cuenta con 80 horas por
semana. Cuantas unidades de cada producto debe elaborar la compañía si desea maximizar sus beneficios?
Agregamos variables de holgura

Cj 30 50 0 0
CB XB BASE P1 P2 P3 P4
0 60 P3 3 4 1 0
0 80 P4 8 4 0 1
0 Zj 0 0 0 0
Cj - Zj 30 50 0 0
Fila Cj contiene coeficientes de la variables en la función objetivo y representa el criterio simplex
En la columna CB se colocan los coeficientes de la función objetivo correspondientes a las variables que están en la
solución. En la primera tabla los de X3 y X4.
Debajo de la columna de encabezado con la palabra Base se encuentran los vectores que forman la base a esa
solución particular. En la primera tablas la base esta formada por P3 y P4.
En la columna encabezada XB están los valores respectivos de las variables correspondientes a los vectores en la
base. Es decir, los valores de las variables en la primera solución X3=60 y X4=80
Debajo de los vectores Pj están los respectivos coeficientes de cada uno
La fila Zj contiene el costo marginal del criterio simplex y se obtiene con CjXie y lo cual resulta de multiplicar los
valores en la Columna Cj con los respectivos Xie de cada columna y sumando algebraicamente.
Los valores de la fila Cj-Zj se obtienen restando de la primera fila Cj la fila Zj, siendo la fila Cj-Zj la del Criterio
Simplex
El valor de la función Objetivo se obtiene multiplicando los valores de la Columna CB por los respectivos valores de
la columna de XB y sumando.

Cj 30 50 0 0
50 15 P2 3/4 1 ¼ 0
0 20 P4 5 0 -1 1
750 Zj 37.5 50 12.5 0
Cj - Zj -7.5 0 -12.5 0
La segunda tabla se logra realizando varias operaciones:
1) El vector entrante Pe será el que tenga el mayor valor positivo en la fila de Cj-Zj. En este caso el vector P2 y la variable X2.
2) El vector saliente será el que corresponda al valor dado por
Min de ahí que = Min ; = 15 que corresponde a la variable X3. Luego, sale X3 de la solución
y P3 de la base
La Xi están en la tabla debajo de XB y las Xie están debajo del vector que entra, en este caso del vector P2.
3) Se procede a transformar los valores en la tabla 1, para obtener los de la tabla 2. (cálculos estandarizados) Valores
importantes a reconocer en la tabla:
a) Valores en la columna “Valores Interseccionales”
b) El valor que está en la intersección de la columna que entra con la fila que sale se llama “Elemento Pivote”
Xi
Xie>0
60
4
80
4
Cálculos Estandarizados
1) Para obtener los valores de la fila que entra Valores P2:
Se dividen los valores de la fila que sale entre el elemento pivote
Fila de P2 = = = 15, ¾, 1, ¼, 0
Fila de P3
Pivote
60, 3, 4, 1, 0
4
2) Para obtener los valores de cualquier otra fila, excepto la Zj:
A los valores de la fila vieja se les resta el resultado de multiplicar
la fila nueva que entra por el elemento intersección de esa fila
Valores nuevos para
cualquier otra fila
= Elementos
fila vieja
Elementos
intersección
Elementos fila
que entró
- x
Valores para fila P4 =
80
8
4
0
1
- 4
15
3/4
1
1/4
0
=
80 - 60
8-3
4-4
0-1
1-0
20
5
0
-1
1
=
Zj = CiXie = 50*3/4=37.5
Función Objetivo = 50*15=750

Deben verificar que los valores de la solución satisfacen todas las restricciones.
Si observan en el cuerpo de la tabla, debajo de los vectores en la base debe siempre aparecer la matriz identidad
En la fila Cj-Zj debajo de los vectores en la base los valores deben ser cero
Si aparece un cero debajo de otro vector en la tabla optima, tendremos infinitas soluciones optimas
Si la fila Cj-Zj indica que es la tabla final y aparece una variable artificial en la solución, con un valor mayor que
cero estaríamos ante un problema sin solución factible
LA TRANSFORMACION DE LA TABLA SE CONTINUA HASTA TANTO NO SE HAYA SATISFECHO LA CONDICION DE
OPTIMIDAD DEL CRITERIO SIMPLEX
Si en cualquier iteracción, tabla, algunos de los vectores que sean candidatos a formar parte de la base tiene
todas las tasas de sustitución Xij negativos o cero, el problema no tiene solución finita o sea es un problema no
acotado por arriba.
Debajo de los vectores que sirvieron de base en la tabla inicial tendremos siempre la matriz inversa de la base que
se tenga en esa interacción particular.
En la tabla buscamos en la fila del Criterio Simplex Cj-Zj por algún
valor positivo o un valor que mejore la solución y como todos los
valores son cero o negativos, esta segunda solución es Optima al
cumplirse el criterio Cj-Zj ≤ 0 para todos los vectores que no estén
en la base.
La solución optima del problema es producir 15 unidades de X2 o
sea, ventanas lo que arrojará un beneficio de $750. El valor de X4
= 20 nos indica que hay 20 horas ociosas por semana en el
departamento 2.
Cj 30 50 0 0
50 15 P2 3/4 1 ¼ 0
0 20 P4 5 0 -1 1
750 Zj 37.5 50 12.5 0
Cj - Zj -7.5 0 -12.5 0

Buscaremos el vector que debe entra y el que debe salir. Para ello expresamos los vectores que
no están en la base como combinación lineal de los vectores en la base. Los vectores omitidos
son P1 y P2, o llamamos Pe
Para P1 tenemos P3X31 +P4X41 = P1 y sustituyen :
1
0
X31 X41
0
1
+ =
3
8
Tenemos las tasas de sustitución, y podemos
encontrar el criterio para las variables X1 y X2
Ce – C1Xie – C2X2e-C3X3e-… -CmXme
Para X1= C1-C3X31-C4X41 = 30-0(3)=0(8)=30
Para X2= C2-C3X32-C4X42 = 50-0(4)-0(4)=50
Conviene traer a X2 ala solución y P2 a la base pues es la variable
que aumenta mas por unidad el valor de la función objetivo como
lo demuestra el criterio simplex
1
0
X32 X42
0
1
+ =
4
4
Lo que nos da
X31=3 y X41=8
Para P2 tenemos P3X32 +P4X42 = P2 y sustituyen :
Lo que nos da
X32=4 y X42=4
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