Sistemas de numeros
- 2. SISTEMA DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es una serie de símbolos que se utilizan, de acuerdo a ciertas reglas, para construir aquellos números que se consideran válidos
- 3. SISTEMA DECIMAL El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del numero diez (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) El sistema decimal, como dijimos, apela a diez dígitos y tiene las potencia del número diez como base. De este modo: 10 elevado a 0 es igual a 1; 10 elevado a 1 es igual a 10; 10 elevado a 2 es igual a 100; etc.
- 4. El número 523, por ejemplo, tiene tres cifras. En el sistema decimal, se construye de la siguiente forma, respetando las posiciones correspondientes: (5 x 10 elevado a 2) + (2 x 10 elevado a 1) + (3 x 10 elevado a 0) (5 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1) 500 + 20 + 3 523 Como se puede apreciar, de derecha a izquierda, el primer lugar corresponde a la unidad (10 elevado a 0), el segundo lugar corresponde a la decena (10 elevado a 1) y el tercer lugar corresponde a la centena (10 elevado a 2).
- 5. SISTEMA BINARIO es aquello que está formado por dos componentes o unidades. El sistema binario, de este modo, emplea sólo dos dígitos o cifras: el cero (0) y el uno El método más común consiste en dividir la cantidad del sistema decimal por 2: el número entero que da como resultado se divide nuevamente por 2, de forma sucesiva hasta que el dividendo resulta inferior al divisor. Hecho esto, los restos de cada división se ordenan desde el último resto hasta el primero. De este modo, si queremos expresar el número 34 en el sistema binario haremos lo siguiente: 34 / 2 = 17 (resto = 0) 17 / 2 = 8 (resto = 1) 8 / 2 = 4 (resto = 0) 4 / 2 = 2 (resto = 0) 2 / 2 = 1 (resto = 0) 1 / 2 = 0 (resto = 1) Y para sacar el equivalente se ordenan del ultimo resultado hacia arriba(100010) De este modo, el número decimal 34 es equivalente al número binario 100010.
- 6. SISTEMA OCTAL Sistema octal. El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal entonces para el número 3452.32q tenemos: 2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 +0. 40625d entonces, 3452.32q = 1834.40625d
- 7. NUMERO HEXADECIMAL (HEX) El sistema hexadecimal (Hex) es el que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática ,pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores posibles, y esto puede representarse como , que equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente a un byte. Se debe notar que 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.
- 8. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
- 9. DE DECIMAL A BINARIO Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar). La lista de ceros y unos leídos de abajo a arriba es el resultado. Ejemplo: vamos a pasar a binario 7910 79 1 (impar). Dividimos entre dos: 39 1 (impar). Dividimos entre dos: 19 1 (impar). Dividimos entre dos: 9 1 (impar). Dividimos entre dos: 4 0 (par). Dividimos entre dos: 2 0 (par). Dividimos entre dos: 1 1 (impar). Por tanto, 7910 = 10011112 CONVERSIONES
- 10. BINARIO A DECIMAL Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Vamos a convertir el número 10100112 a Sistema decimal: PASO 1 – Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0. PASO 2 – A cada bit le hacemos corresponder una potencia de base 2 y exponente igual al número de bit. PASO 3 – Por último se suman todas las potencias. 6 5 4 3 2 1 0 exponentes 1 0 1 0 0 1 1 1*2 6 + 0*2 5 + 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 83 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 =83 10100112 = 8310
- 11. OCTALES A DECIMALES: Veamos ahora como pasar números Octales a Decimales: 1.- Tomamos nuestro numero octal, digamos 3014 y lo dividimos en cifras: 3 0 1 4 2.- A cada una de extras cifras le agregamos un multiplicador por 8 (*8): 3*8 0*8 1*8 4*8 3.- Cada “*8″ lo elevamos, de derecha a izquierda, a una potencia consecutiva empezando del cero: 3*83 0*82 1*81 4*80 4.- Resolvemos cada uno de estos grupos: 1536 + 0 + 8 + 4 5.- Sumamos estos resultados: 1536 + 0 + 8 + 4 = 1548 6.- “1548″ es nuestro numero decimal y con esto hemos terminado la transformación
- 12. NÚMERO DECIMAL A OCTAL La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones: 122 : 8 = 15 Resto: 2 15 : 8 = 1 Resto: 7 1 : 8 = 0 Resto: 1 Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal: 12210 = 1728
- 13. BINARIOS A OCTALES Y VICEVERSA Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal: DECIMA L BINARIO OCTAL 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 0100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7
- 14. BINARIO A OCTAL Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal. Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal: 1012 = 58 0012 = 18 0112 = 38 y, de ese modo: 1010010112 = 5138
- 15. OCTAL A BINARIO La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos: 78 = 1112 58 = 1012 08 = 0002 y, por tanto: 7508 = 1111010002
- 16. DECIM AL BINARI O HEXADECIM AL 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A BINARIOS A HEXADECIMALES Y VICEVERSA Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla: DECIM AL BINARI O HEXADECIM AL 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F
- 17. HEXADECIMAL A BINARIO La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 10102 = A16 01112 = 716 00112 = 316 y, por tanto: 1010011100112 = A7316 En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo: 1011102 = 001011102 = 2E16
- 18. HEXADECIMAL A BINARIOS La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias: 116 = 00012 F16 = 11112 616 = 01102 y, por tanto: 1F616 = 0001111101102